Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2005
Автори: Жигалло, Т.В., Харкевич, Ю.І.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:Український математичний журнал
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165816
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона / Т.В. Жигалло, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1097 – 1111. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-165816
record_format dspace
spelling irk-123456789-1658162020-02-17T01:27:33Z Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона Жигалло, Т.В. Харкевич, Ю.І. Статті 2005 Article Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона / Т.В. Жигалло, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1097 – 1111. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165816 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Жигалло, Т.В.
Харкевич, Ю.І.
Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона
Український математичний журнал
format Article
author Жигалло, Т.В.
Харкевич, Ю.І.
author_facet Жигалло, Т.В.
Харкевич, Ю.І.
author_sort Жигалло, Т.В.
title Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона
title_short Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона
title_full Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона
title_fullStr Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона
title_full_unstemmed Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона
title_sort наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами абеля - пуассона
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2005
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165816
citation_txt Наближення (ψ,β)-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона / Т.В. Жигалло, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1097 – 1111. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT žigallotv nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjzadanihnadíjsníjosíoperatoramiabelâpuassona
AT harkevičûí nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjzadanihnadíjsníjosíoperatoramiabelâpuassona
first_indexed 2025-07-14T20:03:39Z
last_indexed 2025-07-14T20:03:39Z
_version_ 1837653999246901248
fulltext UDK 517.5 G. I. Xarkevyç, T. V. Ûyhallo (Volyn. un-t, Luc\k) NABLYÛENNQ (((( ψψψψ, ββββ )))) -DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX NA DIJSNIJ OSI OPERATORAMY ABELQ – PUASSONA Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations of functions on classes ˆ ,Cβ ψ ∞ and ˆ ,Lβ ψ 1 by the Abel – Poisson operators. Otrymano asymptotyçni rivnosti dlq verxnix meΩ nablyΩen\ funkcij na klasax ˆ ,Cβ ψ ∞ ta ˆ ,Lβ ψ 1 operatoramy Abelq – Puassona. 1. Postanovka zadaçi ta deqki dopomiΩni tverdΩennq. V qkosti nablyΩag- çyx ahrehativ dlq funkcij, zadanyx na vsij çyslovij osi (qki [, vzahali kaΩuçy, neperiodyçnymy), vykorystovugt\sq cili funkci] eksponencial\noho typu ≤ σ . Protqhom ostannix desqtylit\ O. I. Stepancem ta joho poslidovnykamy [1 – 8] rozvyvalas\ teoriq nablyΩennq cilymy funkciqmy, do qko] vxodyt\ i teoriq nablyΩennq periodyçnyx funkcij. Klasy L̂β ψ� , zhidno z [1, 2] abo [8] (hl. IX), oznaçagt\sq takym çynom. Ne- xaj L̂p , p ≥ 1, — mnoΩyna funkcij ϕ ( ⋅ ) , zadanyx na vsij dijsnij osi R, wo magt\ skinçennu normu ϕ p̂ , de pry p ∈ [ 1, ∞ ) ϕ p̂ = sup ( ) / a R p a a p t dt ∈ + ∫     ϕ π2 1 i ϕ ∞̂ = ess sup ϕ ( )t , C — mnoΩyna neperervnyx zadanyx na dijsnij osi funk- cij z normog f C = max ( ) x R f x ∈ . Çerez � poznaçagt\ mnoΩynu opuklyx donyzu funkcij ψ ( v ) , v ≥ 1, dlq qkyx lim ( )v v→∞ ψ = 0. KoΩnu funkcig ψ ∈ � prodovΩymo na promiΩok [ 0, 1 ) takym çynom, wob otrymana funkciq ( qku, qk i raniße, budemo poznaçaty çerez ψ ( ⋅ ) ) bula neperervnog pry vsix v ≥ 0, ψ ( 0 ) = 0 i ]] poxidna ψ ′ ( v ) = = ψ ′ ( v + 0 ) mala obmeΩenu variacig na promiΩku [ 0, ∞ ) . MnoΩynu takyx funkcij poznaçymo çerez �. PidmnoΩynu funkcij ψ ∈ �, dlq qkyx ψ ( )t t dt 1 ∞ ∫ < ∞ , (1) poznaçymo çerez F. Poklademo ˆ ( )ψ t = ˆ ( )ψβ t = 1 20π ψ βπ ( ) cosv v vt d+    ∞ ∫ , de β — deqke fiksovane çyslo. Qkwo ψ ∈ F, to, qk pokazano v [1], dlq bud\-qkoho β ∈ R peretvorennq ˆ ( )ψ t [ sumovnym na vsij osi: ˆ ( )ψ t dt −∞ ∞ ∫ < ∞ . © G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO, 2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1097 1098 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO Dali çerez L̂β ψ budemo poznaçaty mnoΩynu funkcij f ( x ) ∈ L̂1, qki majΩe dlq vsix x ∈ R moΩna podaty u vyhlqdi f ( x ) = A x t t dt0 + + −∞ ∞ ∫ ϕ ψ( ) ˆ ( ) , (2) de A0 — deqka stala i ϕ( ) ˆ⋅ ∈L1, a intehral slid rozumity qk hranycg intehraliv po promiΩkax, wo symetryçno rozßyrggt\sq. Qkwo f L( ) ˆ⋅ ∈ β ψ i ϕ ∈ �, de � — deqka pidmnoΩyna neperervnyx funkcij iz L̂1, to vvaΩagt\, wo f L( ) ˆ⋅ ∈ β ψ� . PidmnoΩyny neperervnyx funkcij iz L̂β ψ , L̂β ψ� poznaçagt\ vidpovidno çerez Ĉβ ψ , Ĉβ ψ� . U vypadku, koly � zbiha[t\sq z mnoΩynog funkcij ϕ( )⋅ , wo zadovol\nqgt\ umovu ess sup ϕ( )⋅ ≤ 1, klas Ĉβ ψ� poznaçagt\ çerez ˆ ,Cβ ψ ∞ . Qkwo Ω f L∈ ˆ β ψ i ϕ( ) ˆ⋅ 1 ≤ 1, to budemo hovo- ryty, wo f L∈ ˆ ,β ψ 1. U roboti [8] (hl. IX) pokazano, wo qkwo ϕ( )⋅ — 2π -periodyçna sumovna funkciq, to v c\omu vypadku mnoΩyny L̂β ψ� , ˆ ,Lβ ψ 1, ˆ ,Cβ ψ ∞ perexodqt\ vidpovidno u klasy Lβ ψ� , Lβ ψ ,1, Cβ ψ ,∞ . Bud\-qku funkcig, ekvivalentnu do funkci] ϕ( )⋅ iz (2), qk i v periodyçnomu vypadku (dyv., napryklad, [9] (hl.FI) ta [1]), nazyvagt\ ( , )ψ β -poxidnog funkci] f ( )⋅ i poznaçagt\ fβ ψ ( )⋅ . Naslidugçy O. I. Stepancq [7, c. 159, 160], dlq bud\-qko] funkci] ψ ∈ � vvedemo xarakterystyky η ( t ) : = ψ ψ−1 2( / )( )t , µ ( t ) : = t t tη( ) − i mnoΩyny �0 = ψ µ ψ∈ < ≤ ∀ ≥{ }� : ( , )0 1t K t , �C = ψ µ ψ∈ < < ≤ ∀ ≥{ }� : ( , )0 11 2K t K t . Qkwo ψ ∈ � i pry c\omu na promiΩku t ≥ 1 ψ ∈ �0 abo ψ ∈ �C , to budemo zapysuvaty, zhidno z [8, c. 112], ψ ∈ �0 abo ψ ∈ �C vidpovidno. U danij roboti vyvçagt\sq vidxylennq na klasax ˆ ,Lβ ψ 1 i ˆ ,Cβ ψ ∞ operatoriv Abelq – Puassona P f xσ( , ) = A f x t e t d dt0 0 1 2 + + +    −∞ ∞ ∞ −∫ ∫β ψ σ π ψ βπ ( ) ( ) cos/v v vv , σ ∈ ( 0, ∞ ) . Operatory P f xσ( , ) moΩna rozhlqdaty qk çastynnyj vypadok operatoriv U f xσ( , , )Λ = A f x t t d dt0 0 1 2 + +     +    −∞ ∞ ∞ ∫ ∫β ψ σπ ψ λ σ βπ ( ) ( ) cosv v v v , wo porodΩugt\sq λ -metodom Uσ( )Λ , oznaçenym sukupnistg Λ = λ σσ v   { } funkcij λσ = e −v/σ pry vsix v ≥ 0 (dyv. spivvidnoßennq (2) iz [10]). VvaΩaty- memo, wo funkci] ψ ( v ) taki, wo peretvorennq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 NABLYÛENNQ ( ψ, β ) -DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1099 1 20π ψ βπσ ∞ −∫ +   ( ) cos/v v vve t d [ sumovnym na vsij dijsnij osi. U roboti doslidΩu[t\sq asymptotyçna povedinka velyçyn �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = sup ( ) ( , ) ˆ ,f C Cf x P f x ∈ ∞ − β ψ σ , (3) �( )ˆ ;, ˆL Pβ ψ σ1 1 = sup ( ) ( , ) ˆ ˆ ,f L f x P f x ∈ − β ψ σ 1 1 pry σ → ∞ i ψ ∈ �0 . Navedemo deqki dopomiΩni oznaçennq i tverdΩennq, neobxidni dlq podal\- ßoho rozhlqdu. Qkwo v qvnomu vyhlqdi znajdeno funkcig ϕ ( σ ) = ϕ ( �; σ ) taku, wo pry σ → ∞ � ( �; Pσ ) X = ϕ ( σ ) + o ( ϕ ( σ )) , to, naslidugçy O. I. Stepancq [7, c. 198], budemo hovoryty, wo na klasi � dlq operatora Abelq – Puassona rozv’qzano zadaçu Kolmohorova – Nikol\s\koho v metryci prostoru X . Qk zaznaçalosq vywe, klasy L̂β ψ� buly vvedeni O. I. Stepancem v [1, 2] (dyv. takoΩ [8], hl. IX). Nym Ωe rozhlqdalas\ zadaça pro nablyΩennq funkcij iz klasiv L̂β ψ� za dopomohog tak zvanyx operatoriv Fur’[ F fγ ( , )⋅ . Tam Ωe bu- lo otrymano zobraΩennq na klasax L̂β ψ� dlq vidxylennq operatoriv Uσ ( f, x, λ ) — intehral\nyx analohiv polinomial\nyx operatoriv, wo porodΩugt\sq try- kutnymy λ-metodamy pidsumovuvannq rqdiv Fur’[. Potim za dopomohog otryma- nyx v [1, 2] metodiv doslidΩen\ zadaça typu (3) poßyrgvalas\ na operatory Zyh- munda, Rohozyns\koho, St[klova, Valle Pussena ta in. (dyv. [3 – 6]). U danij roboti znajdeno rozv’qzok zadaçi Kolmohorova – Nikol\s\koho dlq operatora Abelq – Puassona na klasax ˆ ,Lβ ψ 1 ta ˆ ,Cβ ψ ∞ , β ∈ R i ψ ∈ � 0 . U pe- riodyçnomu vypadku najbil\ß povni rezul\taty v c\omu naprqmku otrymano v roboti [11], a pry ψ ( v ) = v– r, r > 0, — v [12 – 14]. Poklademo τ ( v ) = τσ ( v, ψ ) = ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) , , 1 1 0 1 1 1 − ≤ ≤ − ≥      − − e e v v v v v ψ ψ σ σ ψ σ ψ σ σ (4) de ψ ( v ) — funkciq, vyznaçena i neperervna pry vsix v ≥ 1. Oznaçennq [12]. Nexaj funkciq τ ( v ) zadana na [ 0, ∞ ) , absolgtno nepe- rervna i τ ( ∞ ) = 0. Hovorqt\, wo funkciq τ ( v ) ∈ � a , qkwo poxidnu ′τ ( )v u tyx toçkax, de vona ne isnu[, moΩna dooznaçyty tak, wob dlq deqkoho a ≥ 0 isnuvaly intehraly v vd a ′∫ τ ( ) / 0 2 , v v− ′ ∞ ∫ a d a τ ( ) /2 . Nadali domovymosq çerez K, Ki poznaçaty stali, vzahali kaΩuçy, ne odni i ti Ω u riznyx spivvidnoßennqx. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1100 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO Teorema41′′′′ [12]. Nexaj τ ( v ) ∈ � a i sin ( ) βπ τ 2 0 = 0. Todi dlq zbiΩnosti in- tehrala A ( τ ) = 1 2 0 π τ βπ −∞ ∞ ∞ ∫ ∫ +   ( ) cosv v vt d dt (5) neobxidno i dostatn\o, wob zbihalysq intehraly sin ( )βπ τ 2 0 v v vd ∞ ∫ , τ τ( ) ( )a a d a − − +∫ v v v v 0 . Pry c\omu qkwo 2 2 0π βπ τ sin ( )v v vd ∞ ∫ ≥ 4 2 0π τ τ( ) ( )a a d a − − +∫ v v v v, to A d( ) sin ( )τ π βπ τ− ∞ ∫2 2 0 v v v ≤ K a a d H a τ τ τ( ) ( ) ( ) − − + +    ∫ v v v v 0 , (6) de H ( τ ) = τ ( )0 + τ ( )a + v vd a ′∫ τ ( ) / 0 2 + v v− ′ ∞ ∫ a d a τ ( ) /2 . (7) Qkwo Ω 2 2 0π βπ τ sin ( )v v vd ∞ ∫ ≤ 4 2 0π τ τ( ) ( )a a d a − − +∫ v v v v, to A a a d a ( ) ( ) ( )τ π τ τ− − − +∫4 2 0 v v v v ≤ K d Hsin ( ) ( ) βπ τ τ 2 0 v v v ∞ ∫ +     . (8) Teorema42′′′′ [7, c. 161]. Funkciq ψ ∈ � naleΩyt\ � 0 todi i lyße todi, koly velyçyna α ( t ) = ψ ψ ( ) ( ) t t t′ , ψ′ ( t ) : = ψ′ ( t + 0 ) zadovol\nq[ umovu α ( t ) ≥ K > 0 ∀ t ≥ 1. Teorema43′′′′ [7, c. 175]. Dlq toho wob funkciq ψ ∈ � naleΩala � 0 , neob- xidno i dostatn\o, wob isnuvala stala K taka, wob pry vsix t ≥ 1 vykonuva- las\ nerivnist\ ψ ψ ( ) ( ) t ct ≤ K, de c — dovil\na stala, wo zadovol\nq[ umovu c > 1. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 NABLYÛENNQ ( ψ, β ) -DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1101 2. Ocinka verxnix meΩ nablyΩen\ funkcij na klasax Ĉ ,ββ ∞∞ ψψ ]x operato- ramy Abelq – Puassona. Teorema41. Nexaj ψ ∈ �0 , funkciq g ( v ) = v ψ ( v ) [ opuklog. Todi pry σ → ∞ ma[ misce rivnist\ �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = ψ ( σ ) A ( τ ) , (9) de velyçyna A ( τ ) oznaçena za dopomohog rivnosti (5) i dlq ne] spravedlyvog [ ocinka A ( τ ) = 2 2 1 1 1π βπ σ ψ σ ψ ψ σ ψσ σ sin ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫+     ∞ v v v v vd d + O 1 1+   σ ψ σ( ) . (10) Dovedennq. Za dopomohog teoremyF1′ pokaΩemo spoçatku sumovnist\ pere- tvorennq Fur’[ funkci] τ ( v ) , zadano] spivvidnoßennqm (4). Dlq c\oho znajde- mo ocinky intehraliv v vd ′∫ τ ( ) / 0 1 2 , v v− ′ ∞ ∫ 1 1 2 dτ ( ) / , (11) sin ( )βπ τ 2 0 v v vd ∞ ∫ , τ τ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v vd . (12) Dlq ocinky perßoho intehrala z (11) rozib’[mo promiΩok [ 0; 1 / 2 ] na dvi çastyny: [ 0; 1 / σ ] ta [ 1 / σ; 1 / 2 ] . Oskil\ky pry v ∈ [ 0; 1 / σ ] τ′ ( v ) = e−v ψ ψ σ ( ) ( ) 1 , τ″ ( v ) = – e−v ψ ψ σ ( ) ( ) 1 , to funkciq τ ( v ) [ opuklog dohory pry v ∈ [ 0; 1 / σ ] . Tomu, vraxovugçy, wo 1 – e– v ≤ v, (13) otrymu[mo 0 1/ ( ) σ τ∫ ′v vd = ( )( ) ( ) /− ′ +v v vτ τ σ 0 1 = = – 1 1 1 11 1 σ ψ ψ σ ψ ψ σ σ σ( ) ( ) ( ) ( ) / /( )e e− −+ − = O( ) ( ) 1 2σ ψ σ . (14) Nexaj τ1 ( v ) : = ( ) ( ) ( ) 1 − −−e v v vψ σ ψ σ , (15) τ2 ( v ) : = v vψ σ ψ σ ( ) ( ) . (16) Todi pry v ≥ 1 / σ τ ( v ) = τ1 ( v ) + τ2 ( v ) i v vd ′∫ τ σ ( ) / / 1 1 2 ≤ v vd ′∫ τ σ 1 1 1 2 ( ) / / + v vd ′∫ τ σ 2 1 1 2 ( ) / / . (17) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1102 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO Ocinymo perßyj intehral z pravo] çastyny nerivnosti (17). Dlq c\oho dosli- dymo spoçatku funkcig µ( )v = 1 – e– v – v. (18) Z toho, wo ′µ ( )v = e– v – 1, ′′µ ( )v = – e– v, µ( )0 = 0, ′µ ( )0 = 0, vyplyva[ µ( )v ≤ 0, ′µ ( )v ≤ 0, ′′µ ( )v < 0 pry v ≥ 0. (19) Vraxovugçy (13), (19) i nerivnist\ e– v ≤ 1 2 2 − +v v , (20) oderΩu[mo µ( )v = v – 1 + e– v ≤ v2 2 , ′µ ( )v = 1 – e– v ≤ v, ′′µ ( )v = e– v ≤ 1. (21) Oskil\ky pry v ≥ 1 / σ, zhidno z (15), (18), d ′τ1( )v ≤ µ σ ψ σ ψ σ µ σ ψ σ ψ σ µ ψ σ ψ σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v v v v 2 2 ′′ + ′ ′ + ′′       d , (22) to z uraxuvannqm (21) ma[mo v vd ′∫ τ σ 1 1 1 2 ( ) / / ≤ 1 2 3 2 1 1 2 ψ σ σ ψ σ σ( ) ( ) / / v v v′′∫ d + + 2 12 1 1 2 1 1 2 ψ σ σ ψ σ ψ σ ψ σ σ σ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / v v v v v v′ +∫ ∫d d . Prointehruvavßy perßyj intehral pravo] çastyny ostann\o] nerivnosti za ças- tynamy, otryma[mo v vd ′∫ τ σ 1 1 1 2 ( ) / / ≤ 1 2 3 1 1 2 ψ σ σψ σ σ( ) ( ) / / v v′ + + 7 2 12 1 1 2 1 1 2 ψ σ σ ψ σ ψ σ ψ σ σ σ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / v v v v v v′ +∫ ∫d d . (23) Na pidstavi teoremyF2′ 1 2 1 1 2 ψ σ σ ψ σ σ( ) ( ) / / v v v′∫ d ≤ K d ψ σ ψ σ σ( ) ( ) / / v v v 1 1 2 ∫ . Todi iz (23) z uraxuvannqm teoremyF3′ oderΩymo v vd ′∫ τ σ 1 1 1 2 ( ) / / ≤ K K K d1 2 2 3 1 1 2 + + ∫σ ψ σ ψ σ ψ σ σ( ) ( ) ( ) / / v v v . (24) Oskil\ky funkciq v ψ ( v ) [ opuklog i v ψ ( v ) ≠ 0 pry v ≥ 1, to pry v ∈ [ 1, σ ] moΩlyvi lyße dva vypadky: abo v ψ ( v ) ≤ ψ ( 1 ) , abo v ψ ( v ) ≤ σ ψ ( σ ) . OtΩe, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 NABLYÛENNQ ( ψ, β ) -DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1103 1 2 1 2 σ ψ σ ψ σ ( ) ( ) / v v vd∫ ≤ 1 2 1σ ψ σ ψ σ ( ) ( )v v vd∫ = O 1 1+   σψ σ( ) . (25) Vraxovugçy (25), z (24) otrymu[mo v vd ′∫ τ σ 1 1 1 2 ( ) / / = O 1 1+   σψ σ( ) . (26) Z (16) i opuklosti funkci] v ψ ( v ) vyplyva[ v vd ′∫ τ σ 2 1 1 2 ( ) / / = v vd ′∫ τ σ 2 1 1 2 ( ) / / = ( )( ) ( ) / / v v v′ −τ τ σ2 2 1 1 2 = O 1 1+   σψ σ( ) . (27) Takym çynom, iz spivvidnoßen\ (14), (17), (26) i (27) ma[mo v vd ′∫ τ ( ) / 0 1 2 = O 1 1+   σψ σ( ) . (28) Ocinymo druhyj intehral z (11). Oskil\ky pry v ∈ [ 1 / σ; ∞ ), zhidno z (4), ψ σ τ( ) ( )d ′ v = ( ) ( ) ( ) ( )1 22− ′′ + ′ −{ }− − −e e e dv v vv v v vσ ψ σ σ ψ σ ψ σ , (29) to v v− ′ ∞ ∫ 1 1 2 dτ ( ) / ≤ v vd ′ ∞ ∫ τ ( ) /1 2 ≤ 1 1 2 1 2ψ σ σ ψ σ ( ) ( )( ) / v v vv− ′′− ∞ ∫ e d + + 2 1 1 2 1 2 σ ψ σ ψ σ ψ σ ψ σ ( ) ( ) ( ) ( ) / / v v v v v vv ve d e d− ∞ − ∞ ′ +∫ ∫ . Dali, vraxovugçy, wo pry v ≥ 0 1 – e– v ≤ 1, v e– v ≤ K, (30) i pry v ∈ [ 1 / 2; + ∞ ) ψ ( σ v ) ≤ ψ ( σ / 2 ) , perekonu[mosq, wo v v− ′ ∞ ∫ 1 1 2 dτ ( ) / = O ( 1 ) . (31) Dlq ocinky perßoho intehrala iz (12) rozib’[mo promiΩok [ 0; ∞ ) na try ças- tyny: [ 0; 1 / σ ] , [ 1 / σ; 1 ] ta [ 1; ∞ ) . Vykorystovugçy spivvidnoßennq (4) i (13), otrymu[mo τσ ( ) / v v vd 0 1 ∫ = ψ ψ σ σ ( ) ( ) ( ) / 1 1 0 1 − −∫ e dv v v ≤ ψ ψ σ σ ( ) ( ) / 1 0 1 v v v d∫ = ψ σψ σ ( ) ( ) 1 . (32) Iz spivvidnoßen\ (4), (18), (21) i (25) ma[mo τ ψ σ ψ σ σ σ ( ) ( ) ( ) / / v v v v vd d 1 1 1 1 1∫ ∫− ≤ 1 1 1 ψ σ µ ψ σ σ( ) ( ) ( ) / v v v vd∫ ≤ ≤ 1 2 1 1 ψ σ ψ σ σ( ) ( ) / v v vd∫ = O 1 1+   σψ σ( ) . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1104 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO Zvidsy τ σ ( ) / v v vd 1 1 ∫ = 1 1 1 1σψ σ ψ σψ σ σ ( ) ( ) ( ) v vd O∫ + +    . (33) Iz rivnosti (4), vraxovugçy spadannq funkci] ψ ( v ) pry v ≥ 1, otrymu[mo τ ψ σ ψ σ ( ) ( ) ( )v v v v v vd d 1 1 ∞ ∞ ∫ ∫− = 1 1ψ σ ψ σ ( ) ( ) e d −∞ ∫ v v v v ≤ e d −∞ ∫ v v v 1 ≤ K. (34) Iz spivvidnoßen\ (32) – (34) vyplyva[ τ( )v v vd 0 ∞ ∫ = 1 1 1 1 1σψ σ ψ ψ σ ψ σψ σ σ σ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v vd d O∫ ∫+ + +    ∞ . (35) Ocinymo druhyj intehral iz (12). Qkwo funkciq τ ( v ) ∈ �1 , ψ ∈ � 0, σ > > 1 / 2 , to vykonu[t\sq nerivnist\ (dyv. spivvidnoßennq (21) roboty [10]) τ τ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v v d ≤ λ λ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v v d + + K d dτ τ τ τ( ) ( ) ( ) ( ) / / 0 1 1 0 1 2 1 2 + + ′ + − ′    ∫ ∫ ∞ v v v v , (36) de, zhidno z (4), λ( )v = e– v. Oskil\ky λ λ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v v d = e e d− + − −−∫ 1 1 0 1 v v v v = O ( 1 ) , (37) to z uraxuvannqm spivvidnoßen\ (28), (31) i (37) iz (36) vyplyva[ τ τ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v v d = O 1 1+   σψ σ( ) . (38) Takym çynom, za teoremogF1′ peretvorennq Fur’[ funkci] τ ( v ) , zadano] u vyhlqdi (4), sumovne na vsi çyslovij osi. Todi za lemogF1 roboty V. I. Rukasova [5] ma[ misce rivnist\ (9). Iz nerivnostej (6) i (8) z uraxuvannqm formul (7), (28), (31), (35) i (38) otryma[mo spivvidnoßennq (10). TeoremuF1 dovedeno. Naslidok41. Qkwo funkciq ψ ∈ F C∩ � �0 \ i sin βπ 2 ≠ 0, to pry σ → → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\ �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = 2 2π βπ ψ ψ σ σ sin ( ) ( ) v v vd O ∞ ∫ + ( ) . (39) Dovedennq. Qk vidomo (dyv., napryklad, [9, c. 94]), pry bud\-qkomu ε > 0 i dostatn\o velykyx v funkciq v vε ψ( ) zrosta[, qkwo ψ ∈ F C∩ � �0 \ . Tomu 1 1σψ σ ψ σ ( ) ( )v vd∫ ≤ σ ψ σ σψ σ ε ε σ ( ) ( ) 1 1 v vd∫ = O ( 1 ) . (40) Vykorystovugçy pravylo Lopitalq i te, wo ψ ∈ F ∩ � 0, ma[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 NABLYÛENNQ ( ψ, β ) -DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1105 lim ( ) ( )x x d x→∞ ∞ ∫ ψ ψ v v v = lim ( ) ( )x x x x→∞ ′ ψ ψ . (41) Oskil\ky ψ ∈ F C∩ � �0 \ , to lim ( ) ( )x x x x→∞ ′ ψ ψ = ∞ . OtΩe, pry σ → ∞ ψ ( σ ) = o d ψ σ ( )v v v ∞ ∫     . (42) Pidstavyvßy (40) ta (42) u (9), (10), otryma[mo (39). Prykladom funkcij, qki zadovol\nqgt\ umovy naslidkuF1, [ ψ ( v ) = = 1 ln ( )α v + K , de α > 1, K > 1. Naslidok42. Nexaj ψ ∈ �, sin βπ 2 ≠ 0, funkciq v ψ ( v ) [ opuklog i lim ( ) v v v →∞ ψ = ∞ , (43) lim ( ) ( ) σ σ σψ σ ψ →∞ ∫1 1 v vd = ∞ . (44) Todi pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\ �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = 2 2 1 1π βπ σ ψ ψ σ σ sin ( ) ( )v vd O∫ + ( ) . (45) Dovedennq. Qkwo funkciq ψ zadovol\nq[ umovy (43) i (44), to, vykorysto- vugçy pravylo Lopitalq, ma[mo 1 1 + ′ →∞ lim ( ) ( )x x x x ψ ψ = lim ( ) ( ) ( )x x x x x→∞ + ′ ψ ψ ψ = lim ( ) ( )x x d x x→∞ ∫ ψ ψ v v 1 = ∞ . Zvidsy lim ( ) ( )x x x x→∞ ′ψ ψ = – 1. (46) Z rivnostej (41) ta (46) oderΩu[mo ψ σ ( )v v vd ∞ ∫ = O ψ σ( )( ). Vykorystovugçy ostanng ocinku i spivvidnoßennq (9), (10), (43) ta (44), otrymu- [mo (45). ZauvaΩymo, wo funkci] ψ ( v ) = 1 v vln ( )α + K , K > 0, α > 0, zadovol\nqgt\ umovy naslidkuF2. Naslidok43. Nexaj sin βπ 2 ≠ 0, funkciq v ψ ( v ) [ opuklog donyzu, lim ( ) v v v →∞ ψ = K < ∞ , (47) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1106 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO lim ( ) σ σ ψ →∞ ∫ v vd 1 = ∞ . (48) Todi pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\ �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = 2 2 1 1 1π βπ σ ψ σ σ sin ( )v vd O∫ +     . (49) Spravdi, z umovy (47) ma[mo ψ σ ( )v v vd ∞ ∫ ≤ K d v v2 σ ∞ ∫ = O 1 σ     . Rivnist\ (49) otryma[mo, pidstavyvßy ostannij vyraz u (10) ta vraxuvavßy spiv- vidnoßennq (9), (47), (48). Prykladom funkcij, dlq qkyx ma[ misce naslidokF3, [ ψ ( v ) = 1 v v( )K e+ − , ψ ( v ) = 1 v vln ( )α + K , de stali K > 1 i – 1 ≤ α ≤ 0 pidibrano tak, wob funkciq v ψ ( v ) bula opuklog donyzu pry v ≥ 1. V umovax teoremyF1, qkwo ψ( )v vd 1 ∞ ∫ < ∞ , rivnist\ (9) ne [ asymptotyçnog. Teorema42. Qkwo ψ ∈ �C , funkciq g ( v ) = v ψ ( v ) [ opuklog donyzu i ψ( )v vd 1 ∞ ∫ < ∞ , to pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\ �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = 1 1 1 0 1 2 1σ σ ψ σ ψ β ψ σ σ sup ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ,f C C f x O t t dt t dt ∈ ∞ ∞ + +    ∫ ∫ , (50) de f0 1( ) — ( , )ψ β -poxidna funkci] f, pry ψ ( v ) = 1 / v , β = 0. Dovedennq. Podamo funkcig τ ( v ) , zadanu spivvidnoßennqm (4), u vyhlqdi τ ( v ) = ϕ ( v ) + µ ( v ) , de ϕ ( v ) = v v v v v ψ ψ σ σ ψ σ ψ σ σ ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , 1 0 1 1 ≤ < ≥      (51) µ ( v ) = ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) , . 1 1 0 1 1 1 − − ≤ < − − ≥      − − e e v v v v v v v ψ ψ σ σ ψ σ ψ σ σ Qk i pry dovedenni teoremyF1, moΩna perekonatysq v sumovnosti funkcij ˆ ( )ϕ t = 1 20π ϕ βπ ( ) cosv v vt d+    ∞ ∫ , ˆ ( )µ t = 1 20π µ βπ ( ) cosv v vt d+    ∞ ∫ . Krim toho, qk pokazano v [10] (dyv. spivvidnoßennq (12)), dlq funkci] τ ( v ) , za- dano] spivvidnoßennqm (4), spravdΩu[t\sq rivnist\ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 NABLYÛENNQ ( ψ, β ) -DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1107 f x P f x( ) ( ; )− σ = ψ σ σ π τ βπ β ψ( ) ( ) cos −∞ + ∞ ∞ ∫ ∫+    +   f x t t d dt 1 20 v v v = = : ψ σ σ τβ ψ( ) ˆ( ) −∞ + ∞ ∫ +   f x t t dt . Tomu �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = sup ( ) ˆ( ) ˆ ,f C C f x t t dt ∈ −∞ + ∞ ∞ ∫ +    β ψ ψ σ σ τβ ψ = = sup ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ,f C C f x t t t dt ∈ −∞ + ∞ ∞ ∫ +    +( ) β ψ ψ σ σ ϕ µβ ψ ≤ ≤ sup ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ,f C C f x t t dt t dt ∈ −∞ + ∞ −∞ + ∞ ∞ ∫ ∫+    + β ψ ψ σ σ ϕ ψ σ µβ ψ . Zvidsy, vraxovugçy (5), ma[mo �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = sup ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ,f C C f x t t dt O A ∈ −∞ + ∞ ∞ ∫ +    + ( ) β ψ ψ σ σ ϕ ψ σ µβ ψ . (52) Zhidno z spivvidnoßennqm (3) roboty [15], funkciq, qku moΩna podaty u vy- hlqdi zhortky 1 20π ψ βπ β ψ −∞ + ∞ ∞ ∫ ∫+ +   f x t t d dt( ) ( ) cosv v v v , bude ( , )ψ β -poxidnog funkci] f, de ψ ( v ) = 1 / v , β = 0. Todi −∞ + ∞ ∫ +   f x t t dtβ ψ σ ϕ̂( ) = 1 0 1 σψ σ( ) ( )( )f x . (53) Pidstavlqgçy (53) v (52), otrymu[mo �( )ˆ ;,C P Cβ ψ σ∞ = 1 0 1 σ ψ σ µ β ψ sup ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ,f C C f x O A ∈ ∞ + ( ) (54) pry σ → ∞ . Dlq toho wob ocinyty velyçynu A ( µ ) , zhidno z sformul\ovanog vywe teo- remogF1′, dosyt\ znajty ocinku intehraliv 0 1 2/ ( )∫ ′v vdµ , 1 2 1 / ( ) ∞ ∫ − ′v vdµ , (55) sin ( )βπ µ 2 0 v v vd ∞ ∫ , µ µ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v vd . (56) Dlq ocinky perßoho intehrala z (55) rozib’[mo promiΩok [ 0; 1 / 2 ] na dvi çastyny: [ 0; 1 / σ ] ta [ 1 / σ; 1 / 2 ] . Oskil\ky, zhidno z (51), ′′µ ( )v = – e−v ψ ψ σ ( ) ( ) 1 pry v ∈ [ 0; 1 / σ ] , to ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1108 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO 0 1/ ( ) σ µ∫ ′v vd = ψ ψ σ σ ( ) ( ) / 1 0 1 v vve d−∫ ≤ ψ ψ σ σ ( ) ( ) / 1 0 1 v vve d−∫ = O 1 2σ ψ σ( )     . Vraxovugçy (24) i te, wo τ1 ( v ) ≡ µ ( v ) , oderΩu[mo 1 1 2 / / ( ) σ µ∫ ′v vd = O d 1 2 1σ ψ σ ψ σ ( ) ( )∫     v v v . OtΩe, 0 1 2/ ( )∫ ′v vdµ = O d 1 2 1σ ψ σ ψ σ ( ) ( )∫     v v v . (57) Oskil\ky dτ′ ( v ) ≡ dµ′ ( v ) , to, zhidno z (31), ma[mo 1 2 1 / ( ) ∞ ∫ − ′v vdµ = O ( 1 ) . (58) Dlq toho wob ocinyty perßyj intehral z (56), rozib’[mo promiΩok [ 0, ∞ ) na try çastyny: 0 1 ; σ     , 1 1 σ ;    ta [ 1, ∞ ) . Vraxovugçy rivnist\ (51) i perßu neriv- nist\ z (20), oderΩu[mo µσ ( ) / v v vd 0 1 ∫ = ψ ψ σ σ ( ) ( ) / ( )1 1 0 1 ∫ − + +−e dv v v v ≤ ψ ψ σ σ ( ) ( ) / 1 2 0 1 ∫ v vd = O 1 2σ ψ σ( )     , µ σ ( ) / v v vd 1 1 ∫ ≤ v v v ψ σ ψ σσ ( ) ( )/ 21 1 d∫ = O d 1 2 1σ ψ σ ψ σ ( ) ( )v v v∫     , µ( )v v vd 1 ∞ ∫ = 1 1 1 1ψ σ ψ σ ( ) ( )v v v ve d −∞ − +    ∫ ≤ 1 1ψ σ ψ σ ( ) ( )v vd ∞ ∫ . Zvidsy µ( )v v vd 0 ∞ ∫ = O d d 1 1 2 1σ ψ σ ψ σψ σ ψ σ σ( ) ( ) ( ) ( )v v v v v∫ ∫+     ∞ . (59) Dlq toho wob ocinyty druhyj intehral z (56), vidmitymo, wo pry λ( )v = = e − +v v ma[ misce rivnist\ (dyv. spivvidnoßennq (21) roboty [10]) µ µ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v v d = λ λ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v v d + + O d dµ µ µ µ( ) ( ) ( ) ( ) / / 0 1 1 0 1 2 1 2 + + ′ + − ′    ∫ ∫ ∞ v v v v . Oskil\ky λ λ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v v d = O ( 1 ) , to, vraxovugçy spivvidnoßennq (57) i (58), otrymu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 NABLYÛENNQ ( ψ, β ) -DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1109 µ µ( ) ( )1 1 0 1 − − +∫ v v v v d = O d 1 2 1σ ψ σ ψ σ ( ) ( )v v v∫     . (60) Pidstavlqgçy (59), (60) v (6), (8) z uraxuvannqm spivvidnoßen\ (7), (57), (58) i to- ho, wo 1 2 1σ ψ σ ψ σ ( ) ( )v v vd∫ ≥ 1 2 1σ ψ σ σψ σ σ ( ) ( ) dv∫ ≥ K, v v vψ σ ( )d 1 ∫ ≥ K, znaxodymo A ( µ ) = O d d1 1 1 1 2 2 1 + + +    ∫ ∫ ∞ σ ψ σ σ ψ σ ψ σψ σ ψ σ σ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v v v v v = = O d d 1 1 2 1σ ψ σ ψ σψ σ ψ σ σ( ) ( ) ( ) ( )v v v v v∫ ∫+     ∞ . Zvidsy, vraxovugçy (54), otrymu[mo (50). TeoremuF2 dovedeno. Prykladom funkcij, dlq qkyx ma[ misce teoremaF2, [: ψ ( v ) = 1 v vln ( )α + K , K > 1, α < – 1; ψ ( v ) = 1 v vr Kln ( )α + , de stali r > 1, K > 1 i α pidibrano tak, wo funkciq v ψ ( v ) [ opuklog donyzu pry v ≥ 1; ψ ( v ) = 1 v vr arctg , ψ ( v ) = 1 v v r K e( )+ − , K > 0, r > 1, α — dovil\ne. 3. Ocinka verxnix meΩ nablyΩen\ funkcij na klasax L̂ββ ψψ ,1 ]x operato- ramy Abelq – Puassona v intehral\nij metryci. Nexaj f ∈ L̂β ψ , funkciq τσ( )v zadana spivvidnoßennqm (4), taka, wo ]] peretvorennq Fur’[ ˆ ( )τ t = ˆ ( )τσ t [ sumovnym na R. Todi majΩe v koΩnij toçci, zhidno z rivnistg (43) [10], f x P f x( ) ( , )− σ = ψ σ σ π τ βπ β ψ σ( ) ( ) cos −∞ ∞ ∞ ∫ ∫+    +   f x t t d dt 1 20 v v v . Oskil\ky funkciq τ ( v ) , zadana spivvidnoßennqm (4), [ neperervnog i ]] pe- retvorennq Fur’[, qk pokazano pry dovedenni teoremyF1, sumovne, to, zhidno z lemog roboty [10, c. 1278], pry σ → ∞ ma[ misce rivnist\ �( )ˆ ;, ˆL Pβ ψ σ1 1 = ψ σ τ ψ σ τ σπ ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) / A O t dt t +       ≥ ∫ 2 . Porivnggçy ce spivvidnoßennq z rivnistg (9), pryxodymo do vysnovku, wo ma[ misce taka teorema. Teorema43. Nexaj ψ ∈ F ∩ � 0 , funkciq g ( v ) = v ψ ( v ) [ opuklog dohory abo donyzu. Todi pry σ → ∞ ma[ misce rivnist\ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1110 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO �( )ˆ ;, ˆL Pβ ψ σ1 1 = ψ σ τ σ ( ) ( )A O+     1 , de A ( τ ) vyznaça[t\sq rivnistg (5) i dlq ci[] velyçyny spravedlyvog [ ocin- kaF(10). Iz teoremyF3 na pidstavi mirkuvan\, navedenyx pry dovedenni naslidkivF1 – 3, vyplyvagt\ nastupni tverdΩennq. Naslidok44. Qkwo funkciq ψ ∈ F C∩ � �0 \ i sin βπ 2 ≠ 0, to pry σ → → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\ �( )ˆ ;, ˆL Pβ ψ σ1 1 = 2 2π βπ ψ ψ σ σ sin ( ) ( )( )v v vd O ∞ ∫ + . Naslidok45. Nexaj ψ ∈ � , sin βπ 2 ≠ 0, funkciq v ψ ( v ) [ opuklog dohory abo donyzu, lim ( ) v v v →∞ ψ = ∞ , lim ( ) ( ) σ σ σψ σ ψ →∞ ∫1 1 v vd = ∞ . Todi pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\ �( )ˆ ;, ˆL Pβ ψ σ1 1 = 1 2 1 1π βπ σ ψ ψ σ σ sin ( ) ( )( )v vd O∫ + . Naslidok46. Nexaj sin βπ 2 ≠ 0, funkciq v ψ ( v ) [ opuklog donyzu, lim ( ) v v v →∞ ψ = K < ∞ , lim ( ) σ σ ψ →∞ ∫ v vd 1 = ∞ . Todi pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\ �( )ˆ ;, ˆL Pβ ψ σ1 1 = 1 2 1 1 1π βπ σ ψ σ σ sin ( )v vd O∫ +     . 1. Stepanec A. Y. Klass¥ funkcyj, zadann¥x na dejstvytel\noj osy, y yx pryblyΩenye cel¥my funkcyqmy. I // Ukr. mat. Ωurn. – 1990. – 42, # 1. – S. 102 – 112. 2. Stepanec A. Y. Klass¥ funkcyj, zadann¥x na dejstvytel\noj osy, y yx pryblyΩenye cel¥my funkcyqmy. II // Tam Ωe. – # 2. – S. 210 – 222. 3. Dzymystaryßvyly M. H. PryblyΩenye klassov neprer¥vn¥x funkcyj operatoramy Zyh- munda. – Kyev, 1989.F– S. 3 – 42. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 89.25). 4. Dzymystaryßvyly M. H. O povedenyy verxnyx hranej uklonenyj operatorov Steklova. – Kyev, 1990.F– S. 3 – 29. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 90.25). 5. Rukasov V. Y. PryblyΩenye operatoramy Valle Pussena funkcyj, zadann¥x na dejstvy- tel\noj osy // Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 5. – S. 682 – 691. 6. Repeta L. A. PryblyΩenye funkcyj klassov ˆ ,Cβ ψ ∞ operatoramy vyda U F σ ϕ, // Rqd¥ Fur\e: teoryq y pryloΩenyq: Sb. nauç. tr. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 1992. – S.F147 – 154. 7. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2002. – Ç. 1. – 427 s. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 NABLYÛENNQ ( ψ, β ) -DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1111 8. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2002. – Ç.2. – 468 s. 9. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1987. – 268 s. 10. Xarkevyç G. I., Ûyhallo T. V. NablyΩennq funkcij, zadanyx na dijsnij osi, operatoramy, wo porodΩugt\sq λ -metodamy pidsumovuvannq ]x intehraliv Fur’[ // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 9. – S. 1267 – 1280. 11. Ûyhallo T. V., Xarkevyç G. I. NablyΩennq ( ψ, β ) -dyferencijovnyx funkcij intehralamy Abelq – Puassona // Ekstremal\ni zadaçi teori] funkcij ta sumiΩni pytannq. – Ky]v: In-t ma- tematyky NAN Ukra]ny, 2003. – 314 s. 12. Bausov L. Y. Lynejn¥e metod¥ summyrovanyq rqdov Fur\e s zadann¥my prqmouhol\n¥my matrycamy. I // Yzv. vuzov. – 1965. – 46, # 3. – S. 15 – 31. 13. Tyman A. F. Toçnaq ocenka ostatka pry pryblyΩenyy peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x funkcyj yntehralamy Puassona // Dokl. AN SSSR. – 1950. – 74. – S. 17 – 20. 14. Ûyhallo K. M., Xarkevyç G. I. Povna asymptotyka vidxylennq vid klasu dyferencijovnyx funkcij mnoΩyny ]x harmonijnyx intehraliv Puassona // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 1. – S. 43 – 52. 15. Stepanec A. Y. PryblyΩenye cel¥my funkcyqmy v ravnomernoj metryke. – Kyev, 1988.F– S. 3 – 41. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 88.27). OderΩano 13.07.2004 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8