Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах
Продовжується вивчення квадратичних функційних рівнянь над квазігруповими операціями. Доведено, що кожне парастрофно нескоротне квадратичне функційне рівняння від п'яти предметних змінних парастрофно рівносильне одному з чотирьох наведених функційних рівнянь....
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165817 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах / Р. Ф. Коваль // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1058 – 1068. — Бібліогр.: 1 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165817 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658172020-02-17T01:27:03Z Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах Коваль, Р.Ф. Статті Продовжується вивчення квадратичних функційних рівнянь над квазігруповими операціями. Доведено, що кожне парастрофно нескоротне квадратичне функційне рівняння від п'яти предметних змінних парастрофно рівносильне одному з чотирьох наведених функційних рівнянь. We continue the investigation of quadratic functional equations over quasigroup operations and prove that every parastrophically uncancelable quadratic equation for five object variables is parastrophically equivalent to one of four given functional equations. 2005 Article Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах / Р. Ф. Коваль // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1058 – 1068. — Бібліогр.: 1 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165817 512.548 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Коваль, Р.Ф. Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах Український математичний журнал |
| description |
Продовжується вивчення квадратичних функційних рівнянь над квазігруповими операціями. Доведено, що кожне парастрофно нескоротне квадратичне функційне рівняння від п'яти предметних змінних парастрофно рівносильне одному з чотирьох наведених функційних рівнянь. |
| format |
Article |
| author |
Коваль, Р.Ф. |
| author_facet |
Коваль, Р.Ф. |
| author_sort |
Коваль, Р.Ф. |
| title |
Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах |
| title_short |
Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах |
| title_full |
Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах |
| title_fullStr |
Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах |
| title_full_unstemmed |
Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах |
| title_sort |
класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165817 |
| citation_txt |
Класифікація квадратичних парастрофно нескоротних функційних рівнянь від п'яти предметних змінних на квазігрупах / Р. Ф. Коваль // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1058 – 1068. — Бібліогр.: 1 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kovalʹrf klasifíkacíâkvadratičnihparastrofnoneskorotnihfunkcíjnihrívnânʹvídpâtipredmetnihzmínnihnakvazígrupah |
| first_indexed |
2025-07-14T20:03:55Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:03:55Z |
| _version_ |
1837654014084251648 |
| fulltext |
UDK 512.548
R. F. Koval\ (Vinnyc. ped. un-t)
KLASYFIKACIQ KVADRATYÇNYX PARASTROFNO
NESKOROTNYX FUNKCIJNYX RIVNQN|
VID P’QTY PREDMETNYX ZMINNYX NA KVAZIHRUPAX
The study of quadratic functional equations over quasigroup operations is continued. It is proved that
every parastrophically irreducible quadratic functional equation of five objective variables is
parastrophically equivalent to one of four given functional equations.
ProdovΩu[t\sq vyvçennq kvadratyçnyx funkcijnyx rivnqn\ nad kvazihrupovymy operaciqmy.
Dovedeno, wo koΩne parastrofno neskorotne kvadratyçne funkcijne rivnqnnq vid p’qty pred-
metnyx zminnyx parastrofno rivnosyl\ne odnomu z çotyr\ox navedenyx funkcijnyx rivnqn\.
Dana stattq [ prodovΩennqm praci [1], v qkij dovedeno, wo koΩne zahal\ne pa-
rastrofno neskorotne kvadratyçne funkcijne rivnqnnq vid tr\ox predmetnyx
zminnyx [ parastrofno rivnosyl\nym funkcijnomu rivnqnng asociatyvnosti, a
vid çotyr\ox predmetnyx zminnyx — toçno odnomu z rivnqn\: medial\nosti abo
psevdomedial\nosti.
U cij statti vstanovlg[t\sq, wo koΩne take rivnqnnq vid p’qty zminnyx pa-
rastrofno rivnosyl\ne odnomu z çotyr\ox navedenyx rivnqn\.
Nahada[mo deqki neobxidni poznaçennq, teoremy ta oznaçennq. Bil\ß detal\-
nu informacig moΩna znajty v [1].
Rozhlqnemo slova movy druhoho porqdku, do zapysu qkyx vxodqt\ predmetni
x0 , x1, … ta funkcijni F0 , F1, … zminni. Ci slova poznaçatymemo ω, v, … .
DovΩynog slova ω nazyvagt\ kil\kist\ poqv predmetnyx symvoliv u danomu
slovi i poznaçagt\ ω .
Oznaçennq 1. Dvi rivnosti sliv druhoho porqdku nazvemo parastrofno riv-
nosyl\nymy, qkwo odnu z inßo] moΩna otrymaty za skinçennu kil\kist\ zastosu-
van\ takyx parastrofnyx peretvoren\:
1) pereimenuvannq predmetnyx abo funkcijnyx zminnyx;
2) peretvorennq za komutuvannqm: zamina pidslova vydu ω ⋅ v slovom
v � ω ;
3) peretvorennq za zovnißnim dilennqm: perexid vid rivnosti vydu ω ω1 2⋅ =
= v v1 2� do odni[] z rivnostej
ω ω1 1 2 2\ v v�( ) = abo v v1 2 2 1�( ) =/ ω ω ,
de /, \ [ vidpovidno livym ta pravym dilennqm operaci] ( )⋅ ;
4) peretvorennq za vnutrißnim (pravym) dilennqm çerez zminnu x: zamina
pidslova x ⋅ ω na x i odnoçasno zamina vsix inßyx poqv zminno] x slovom
x \ ω , qkwo x ne ma[ poqvy v slovi ω.
Oznaçennq 2. Dvi rivnosti sliv druhoho porqdku nazvemo komuta-
tyvno$rivnosyl\nymy, qkwo odne z inßoho moΩna otrymaty za skinçennu kil\-
kist\ zastosuvan\ peretvoren\ 1) i 2) iz oznaçennq parastrofno] rivnosyl\-
nosti.
Funkcijne rivnqnnq v = ω nazyvagt\: zahal\nym, qkwo funkcijni zminni,
wo vxodqt\ do joho zapysu, [ poparno riznymy; vrivnovaΩenym, qkwo koΩna
predmetna zminna ma[ toçno po odnij poqvi v livij i pravij çastynax rivnqnnq;
kvadratyçnym, qkwo koΩna predmetna zminna ma[ v rivnqnni toçno dvi poqvy;
skorotnym, qkwo vono ma[ paru pidsliv, qki mistqt\ vsi poqvy v rivnqnni vsix
zminnyx, wo vxodqt\ do ]x zapysu; parastrofno skorotnym, qkwo vono para-
strofno rivnosyl\ne deqkomu skorotnomu rivnqnng.
© R. F. KOVAL|, 2005
1058 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
KLASYFIKACIQ KVADRATYÇNYX PARASTROFNO NESKOROTNYX … 1059
Lema 1 [1]. Qkwo predmetna zminna x ma[ toçno dvi poqvy u funkcijnomu
rivnqnni v = ω, to ce rivnqnnq parastrofno rivnosyl\ne rivnqnng typu1
x x n= …v v v1 2 (1)
dlq deqkyx pidsliv v1, v2 , … , vn c\oho rivnqnnq.
Z lemy 1 vyplyva[, wo (1) moΩna vvaΩaty deqkym kanoniçnym vyhlqdom
funkcijnyx rivnqn\, qki magt\ toçno dvi poqvy zminno] x. Pry c\omu posli-
dovnist\ pidsliv v1, v2 , … , vn nazvemo okantuvannqm zminno] x u rivnqnni
v = ω.
Lema 2 [1]. Cykliçna perestanovka okantuvannq zminno] x takoΩ [ okan-
tuvannqm ci[] zminno] v deqkomu funkcijnomu rivnqnni, qke parastrofno rivno-
syl\ne danomu.
Lema 2, zokrema, oznaça[, wo okantuvannq slid uqvlqty qk poslidovnist\,
qka roztaßovana ne na prqmij, a na koli. Pidposlidovnist\ vi , vi⊕1, … , vi j⊕ ,
de ⊕ [ dodavannqm za modulem n, nazvemo duhog okantuvannq. Qkwo duha mis-
tyt\ vsi poqvy v rivnqnni vsix svo]x zminnyx, to nazyvatymemo ]] samodostat-
n\og. Z lemy 2 vyplyva[ take tverdΩennq.
Lema 3 [1]. Qkwo deqka zminna rivnqnnq ω = v ma[ samodostatng okan-
tovnu duhu, to ce rivnqnnq [ parastrofno skorotnym.
Rozhlqnemo parastrofno neskorotni kvadratyçni funkcijni rivnqnnq, pred-
metni zminni qkyx poznaçatymemo çerez x, y, z, u, t, … i vvaΩatymemo, wo x �
� y � z � u � t � … .
Lema 4 [1]. Qkwo kvadratyçne funkcijne rivnqnnq ne ma[ kvadrativ i
samodostatnix duh, to vono parastrofno rivnosyl\ne funkcijnomu rivnqnng,
qke zadovol\nq[ taki vlastyvosti:
1) dlq dovil\noho pidslova t t1 2
2
isnu[ vza[mne pereimenuvannq zminnyx t1
i t2 ta ]x perestanovka taki, wo t1 � t2 , a takoΩ inßi poqvy cyx zminnyx
roztaßovani tak, wo t1 znaxodyt\sq liviße za t2 ;
2) mnoΩyny dvox pidsliv dovΩyny dva magt\ ne bil\ße odni[] spil\no] zminno];
3) mnoΩyna predmetnyx zminnyx dovil\noho pidslova dovΩyny try [ tryele-
mentnog.
Teorema 1 [1]. KoΩne zahal\ne parastrofno neskorotne kvadratyçne funk-
cijne rivnqnnq vid tr\ox (çotyr\ox) predmetnyx zminnyx [ parastrofno
rivnosyl\nym funkcijnomu rivnqnng asociatyvnosti (abo medial\nosti, abo
psevdomedial\nosti).
Osnovnym rezul\tatom dano] roboty [ taka teorema.
Teorema 2. KoΩne kvadratyçne parastrofno neskorotne funkcijne riv-
nqnnq vid p’qty predmetnyx zminnyx parastrofno rivnosyl\ne prynajmni odno-
mu iz çotyr\ox funkcijnyx rivnqn\
F F F x y F z t u F F F x z u F y t1 2 3 4 5 6 7 8( , ), ( , ) , ( , ), , ( , )( )( ) = ( )( ) , (2)
F F F x y F z t u F F F x u z F y t1 2 3 4 5 6 7 8( , ), ( , ) , ( , ), , ( , )( )( ) = ( )( ) , (3)
F F F x y F z t u F F F x z t F y u1 2 3 4 5 6 7 8( , ), ( , ) , ( , ), , ( , )( )( ) = ( )( ) , (4)
F F F x y F z t u F F F x z F y u t1 2 3 4 5 6 7 8( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) ,( )( ) = ( )( ) . (5)
Qk i v [1], u zapysi funkcijnyx rivnqn\ funkcijni zminni poznaçatymemo sym-
volom ( )⋅ , vvaΩagçy, wo rizni poqvy c\oho symvolu poznaçagt\ rizni funk-
cijni zminni. Take poznaçennq [ dopustymym, oskil\ky rozhlqdagt\sq lyße
1 Opuweni duΩky oznaçagt\ ]x live roztaßuvannq, tobto x nv v v1 2 … poznaça[
… …( )( )( )x
n
v v v1 2 .
2
Tut i dali t1, t2 ,H… poznaçagt\ metazminni, qki nabuvagt\ znaçen\ u mnoΩyni predmetnyx
zminnyx {x, y, z , u, t}.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1060 R. F. KOVAL|
zahal\ni rivnqnnq, tobto taki, v qkyx vsi funkcijni zminni [ riznymy. Krim toho,
dlq zmenßennq kil\kosti duΩok funkcijnyj symvol ( )⋅ budemo opuskaty v
pevnyx miscqx. OtΩe, za ci[g domovlenistg, funkcijni rivnqnnq (2) – (5) moΩ-
na podaty vidpovidno u vyhlqdi
xy zt u xz u yt⋅( ) = ⋅( )⋅ , (6)
xy zt u xu z yt⋅( ) = ⋅( )⋅ , (7)
xy zt u xz t yu⋅( ) = ⋅( )⋅ , (8)
xy zt u xz yu t⋅( ) = ⋅( )⋅ . (9)
DovΩyna rivnqnnq — ce suma dovΩyn sliv livo] i pravo] çastyn. Oskil\ky my
rozhlqdatymemo rivnqnnq, qki magt\ p’qt\ predmetnyx zminnyx i koΩna zminna
ma[ toçno dvi poqvy, to take funkcijne rivnqnnq ma[ dovΩynu 10. Prote v livij
i pravij çastynax rivnqnnq moΩut\ buty slova rizno] dovΩyny. Tomu ma[mo
p’qt\ typiv funkcijnyx rivnqn\:
5 = 5, 6 = 4, 7 = 3, 8 = 2, 9 = 1,
de m = n oznaça[, wo mova jde pro rivnqnnq ω = v, v qkomu m : = ω i n : =
: = v .
Lema 5. KoΩne kvadratyçne parastrofno neskorotne funkcijne rivnqnnq
vid p’qty predmetnyx zminnyx parastrofno rivnosyl\ne kvadratyçnomu rivnqn-
ng typu 5 = 5.
Dovedennq. Dovil\ne funkcijne rivnqnnq ω ω0 1 = ω typu m + n = k, de
m : = ω0 , n : = ω1 , k : = ω , parastrofno rivnosyl\ne funkcijnomu rivnqn-
ng typu m = n + k. Dlq c\oho dosyt\ podilyty rivnqnnq zovni na ω1 i
otryma[mo potribne rivnqnnq ω0 = ωω1.
Same tomu koΩne z rivnqn\ typiv 9 = 1, 8 = 2, 7 = 3 parastrofno rivnosyl\-
ne funkcijnomu rivnqnng typu 5 = 5 çy 6 = 4. Spravdi, funkcijni rivnqnnq
typu 9 = 1 moΩna podilyty za dovΩynog pidsliv na taki pidtypy:
5 + 4 = 1, 6 + 3 = 1, 7 + 2 = 1, 8 + 1 = 1,
qki zovnißnim dilennqm zvodqt\sq do funkcijnyx rivnqn\ typiv 5 = 5, 6 = 4, 7 =
= 3 ta 8 = 2 vidpovidno. Analohiçno otrymu[mo, wo rivnqnnq typu 8 = 2
parastrofno rivnosyl\ni funkcijnym rivnqnnqm perßyx tr\ox typiv, a same:
5 = 5 abo 6 = 4, abo 7 = 3; a rivnqnnq typu 7 = 3 parastrofno rivnosyl\ni
funkcijnym rivnqnnqm typu 5 = 5 abo 6 = 4.
Funkcijni rivnqnnq typu 6 = 4 moΩna podilyty za dovΩynog pidsliv na try
pidtypy: 5 + 1 = 4, 4 + 2 = 4, 3 + 3 = 4. Funkcijni rivnqnnq pidtypu 5 + 1 = 4
takoΩ zovnißnim dilennqm zvodqt\sq do funkcijnyx rivnqn\ typu 5 = 5.
U rivnqnni pidtypu 4 + 2 = 4 dvoelementne pidslovo ma[ rizni predmetni
zminni, bo inakße rivnqnnq bude skorotnym. Poznaçymo ]x çerez x, y :
ω ω0 ⋅ =xy .
Qkwo druha poqva zminno] x leΩyt\ v slovi ω, to podilymo ce rivnqnnq na y
çerez x i otryma[mo rivnqnnq
ω ω0 ⋅ = ′x ,
de ′ω oderΩano z ω zaminog zminno] x na x y. Otrymane slovo ma[ typ 5 = 5.
Qkwo Ω druha poqva zminno] x mistyt\sq v slovi ω0 , to podilymo rivnqnnq
ω0 ⋅ x y = ω na x y zovni:
ω ω0 = ⋅xy .
Otrymaly wojno proanalizovanyj vypadok.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
KLASYFIKACIQ KVADRATYÇNYX PARASTROFNO NESKOROTNYX … 1061
Z parastrofno] neskorotnosti rivnqnnq typu 3 + 3 = 4 vyplyva[, wo pidslo-
vo dovΩyny try [ tryelementnym, tomu moΩna vvaΩaty, wo vono zbiha[t\sq z
x y ⋅ z :
ω ω0 ⋅ ⋅( ) =xy z .
Podilymo ce rivnqnnq na y çerez x. Qkwo druha poqva zminno] x mistyt\sq v
ω, to otryma[mo rivnqnnq typu 5 = 5; qkwo x mistyt\sq v ω0 , to otryma[mo
rivnqnnq typu 4 + 2 = 4, qke wojno rozhlqnuly.
Lemu dovedeno.
OtΩe, dali rozhlqdatymemo lyße funkcijni rivnqnnq typu 5 = 5, tobto
taki, i liva, i prava çastyna qkyx [ slovom dovΩyny 5. Taki slova moΩna podi-
lyty na try typy za dovΩynog pidsliv:
(a) (2 + 2) + 1, (b) 3 + 2, (c) (3 + 1) + 1. (10)
Dovedemo, wo koΩne nevrivnovaΩene parastrofno neskorotne funkcijne
rivnqnnq parastrofno rivnosyl\ne deqkomu vrivnovaΩenomu. Dlq c\oho spo-
çatku z’qsu[mo, qkymy moΩut\ buty slova parastrofno neskorotnoho kvadra-
tyçnoho rivnqnnq typu 5 = 5.
Slovo nazyva[t\sq kvadratyçnym, qkwo koΩna predmetna zminna ma[ v
n\omu ne bil\ße dvox poqv, tobto qkwo vono moΩe buty storonog deqkoho
kvadratyçnoho rivnqnnq.
Kvadratyçne slovo ω nazvemo parastrofno rivnosyl\nym slovu v, qkwo ω
moΩna otrymaty z v za skinçennu kil\kist\ takyx krokiv: pereimenuvannq pred-
metnyx çy funkcijnyx zminnyx, zamina pidslova v v1 2 pidslovom v v2 1, a takoΩ
taka zamina: qkwo xv1 [ pidslovom i x ma[ dvi poqvy, to zamina pidslova xv1 na
x i zamina inßo] poqvy zminno] x slovom xv1.
Qkwo ω1 = ω2 i v1 = v2 [ kvadratyçnymy rivnqnnqmy i slovo ω1 [ para-
strofno rivnosyl\nym v1 , to rivnqnnq ω1 = ω2 i v1 = v2 takoΩ para-
strofno rivnosyl\ni. Obernene tverdΩennq nevirne.
Lema 6. KoΩne slovo dovΩyny 5 nevrivnovaΩenoho kvadratyçnoho para-
strofno neskorotnoho funkcijnoho rivnqnnq typu 5 = 5:
1) pry povtorenni v slovi dvox zminnyx [ parastrofno rivnosyl\nym slovu
xy xz y⋅( ) ; (11)
2) pry povtorenni v slovi odni[] zminno] [ parastrofno rivnosyl\nym odnomu
iz sliv
(i) xy xz t⋅( ) , (ii) xy zt x⋅( ) , (iii) xy z t x⋅( ) ⋅ . (12)
Dovedennq. Rozhlqnemo slovo typu (2 + 2) + 1. Dva pidslova dovΩyny dva
moΩut\ maty ne bil\ße odni[] spil\no] zminno], inakße rivnqnnq bude skorot-
nym. Same tomu pidslovo dovΩyny 4 typu 2 + 2 ma[ ne menße tr\ox riznyx
zminnyx. Pozaqk predmetni zminni v pidslovi dovΩyny dva [ riznymy, to rozhlq-
duvane slovo moΩe buty dvox variantiv:
xy xz t⋅( ) 1, xy zt t⋅( ) 2 .
Qkwo v slovi povtorggt\sq dvi zminni, to t1 ∈ { y, z } , a z uraxuvannqm komutu-
vannq bez vtraty zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo metazminna t1 zbiha[t\sq z y,
tomu ma[mo slovo (11). Qkwo povtorg[t\sq lyße odna zminna, to, poklavßy
t1 = t, otryma[mo slovo (i) iz (12).
Znovu z uraxuvannqm komutuvannq bez vtraty zahal\nosti moΩna vvaΩaty,
wo v druhomu slovi metazminna t2 zbiha[t\sq iz zminnog x, tomu v c\omu vy-
padku ma[mo slovo (ii) iz (12).
Rozhlqnemo slovo typu (3 + 1) + 1. Zhidno z lemog 3 pidslova dovΩyny try
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1062 R. F. KOVAL|
skladagt\sq z tr\ox riznyx predmetnyx zminnyx, qki poznaçymo çerez x, y, z.
OtΩe, koΩne slovo zaznaçenoho typu matyme vyhlqd
xy z t t⋅( ) ⋅1 2 .
Pry povtorenni dvox zminnyx otryma[mo samodostatng duhu vidnosno tret\o]
zminno], a ce, zhidno z lemog 3, supereçyt\ parastrofnij neskorotnosti riv-
nqnnq. OtΩe, v takomu slovi moΩe povtorgvatysq lyße odna zminna.
Prypustymo, wo povtorg[t\sq zminna t1. Z neisnuvannq samodostatnix duh
vyplyva[, wo t1 ≠ z, t2 . Ne vtraçagçy zahal\nosti, poklademo t1 = x, tomu
t2 = t i ma[mo slovo xy z x t⋅( ) ⋅ . Podilymo na zminnu y çerez x i perestavymo
dvoelementni pidslova, v rezul\tati otryma[mo slovo (i).
Prypustymo, wo povtorg[t\sq zminna t2 , tomu t1 ne povtorg[t\sq, a otΩe,
zbiha[t\sq z t. Z lemy 3 vyplyva[, wo t2 ≠ t.
Oçevydno, wo pry t2 = x ta pry t2 = y ma[mo slovo (iii). Qkwo Ω t2 = z, to
otrymu[mo slovo xy z t z⋅( ) ⋅ . Podilymo na x y çerez zminnu z : zt xy z⋅ ⋅( ). Otry-
mane slovo podilymo na t çerez zminnu z : xy zt z⋅( ) . Pereimenuvavßy zminni i
skorystavßys\ komutuvannqm, otryma[mo slovo (ii).
I, nareßti, rozhlqnemo slova typu 3 + 2, tobto slova typu xy z t t⋅( )⋅ 1 2 .
Povtorennq dvox zminnyx oznaça[ naqvnist\ samodostatn\o] duhy, tomu moΩlyve
lyße povtorennq odni[] zminno]. OtΩe, odna iz zminnyx dorivng[ t. Ne vtraça-
gçy zahal\nosti, poklademo t2 = t.
Pozaqk rivnqnnq ne ma[ kvadrativ, to t1 ≠ t, a komutuvannq dozvolq[ obme-
Ωytys\ lyße vypadkom, koly lyße t1 zbiha[t\sq z odni[g iz zminnyx x, z. Tomu
otryma[mo taki slova:
xy z xt⋅( )⋅ , xy z zt⋅( )⋅ .
Podilymo perße slovo na t çerez x, a druhe — na t çerez z . V rezul\tati
otryma[mo slova (iii) i (ii) vidpovidno.
Lemu 6 dovedeno.
Lema 7. Zahal\ne nevrivnovaΩene parastrofno neskorotne kvadratyçne
rivnqnnq vid p’qty predmetnyx zminnyx parastrofno rivnosyl\ne deqkomu vriv-
novaΩenomu rivnqnng.
Dovedennq. NevrivnovaΩenist\ kvadratyçnoho rivnqnnq oznaça[, wo obydvi
poqvy deqko] iz predmetnyx zminnyx znaxodqt\sq v odnij çastyni rivnqnnq.
Oskil\ky v livij ta pravij çastynax rivnqnnq ma[ buty odnakova kil\kist\ pred-
metnyx zminnyx, qki povtorggt\sq, to rozhlqnemo spoçatku vypadok, koly v
koΩnij çastyni rivnqnnq povtorggt\sq dvi zminni, a potim — koly odna zminna.
Nexaj u livij çastyni rivnqnnq [ dvi zminni, obydvi poqvy qkyx znaxodqt\sq v
livij çastyni. Poznaçymo ci zminni çerez x ta y. Todi v pravij çastyni takoΩ [
dvi taki zminni, qki poznaçymo çerez u, z. Z lemy 6 vyplyva[, wo v livij i pravij
çastynax znaxodqt\sq slova typu (11). OtΩe, zaznaçene rivnqnnq bude takym:
xy xz y ut uz t⋅( ) = ⋅( ) .
Podilymo ce rivnqnnq na x çerez z, a potim zovni na t:
xy z y t ut u xz⋅( ) ⋅ = ⋅ ⋅( ) .
Otrymane rivnqnnq podilymo na y çerez x ta na u çerez t :
xz y ut xy z u t⋅( )⋅ = ⋅( ) ⋅ .
Ostann[ rivnqnnq [ vrivnovaΩenym.
Rozhlqnemo funkcijni rivnqnnq, v qkyx liva çastyna mistyt\ lyße odnu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
KLASYFIKACIQ KVADRATYÇNYX PARASTROFNO NESKOROTNYX … 1063
predmetnu zminnu z ]] oboma poqvamy. Poznaçymo taku zminnu çerez x. Zhidno z
lemog 6 u pravij çastyni rivnqnnq takoΩ [ lyße odna taka zminna, qku pozna-
çymo çerez u.
Z lemy 6 vyplyva[, wo liva çastyna rivnqnnq zbiha[t\sq z odnym iz sliv (i), (ii)
abo (iii).
Prava Ω çastyna ma[ takyj samyj typ, tobto pravog çastynog moΩut\ buty
slova
(I) ut ut t1 2 3⋅( ) , (II) ut t t u1 2 3⋅( ) , (III) ut t t u1 2 3⋅( ) ⋅ ,
de t1, t2 , t3 [ metazminnymy, qki nabuvagt\ poparno riznyx znaçen\ u mnoΩyni
predmetnyx zminnyx { y, z, t } .
Podilymo ce rivnqnnq na x çerez y. Qkwo pravog çastynog [ slovo typu
(II) abo (III), to podilymo ce rivnqnnq zovni na u i v rezul\tati otryma[mo
vrivnovaΩene funkcijne rivnqnnq.
Qkwo pravog çastynog [ slovo typu (I), to podilymo take rivnqnnq na u
çerez zminnu t1 çy t2 , qke ne zbiha[t\sq iz zminnog y. V rezul\tati takoΩ
otryma[mo vrivnovaΩene funkcijne rivnqnnq.
Lemu 7 dovedeno.
OtΩe, dlq povno] klasyfikaci] neskorotnyx kvadratyçnyx funkcijnyx riv-
nqn\ dosyt\ rozhlqnuty klasyfikacig parastrofno neskorotnyx vrivnovaΩe-
nyx rivnqn\. Rozib’[mo mnoΩynu vsix rivnqn\ na 6 typiv u vidpovidnosti z typom
sliv, qki [ v livij i pravij çastynax rivnqnnq. Slova dovΩyny p’qt\ za dov-
Ωynog pidsliv moΩut\ buty lyße tr\ox typiv: a, b, c (dyv. (10)). Kombinugçy
ci typy, otrymu[mo 6 typiv funkcijnyx rivnqn\: (aa), (ab), (ac), (bb), (bc), (cc).
Spoçatku pokaΩemo, wo vsi ci rivnqnnq parastrofno rivnosyl\ni rivnqnnqm
typiv (aa) aboHH(ab).
Lema 8. Bud\-qke rivnqnnq typu (cc) parastrofno rivnosyl\ne rivnqnng
odnoho z inßyx typiv.
Dovedennq. Dovil\ne rivnqnnq typu (ss) parastrofno rivnosyl\ne rivnqn-
ng vydu
xy z t u t t t t t⋅( ) ⋅ = ⋅( ) ⋅1 2 3 4 5 , (13)
de t1 � t2 ta v pravij çastyni x znaxodyt\sq liviße za y.
Proanalizu[mo ce rivnqnnq za roztaßuvannqm zminno] y . Ma[mo t1 ≠ y,
oskil\ky zminna x znaxodyt\sq liviße za zminnu y. TakoΩ nemoΩlyvym [ vypa-
dok t2 = y, bo todi z nerivnosti t1 � t2 vyplyvatyme, wo t1 = x, i rivnqnnq
matyme dva pidslova x y, wo supereçyt\ neskorotnosti rivnqnnq.
Prypustymo, wo v (13) t3 = y, todi, vraxovugçy, wo x znaxodyt\sq liviße za
y i t1 � t2 , ma[mo t1 = x, a z lemy 3 vyplyva[, wo t2 ≠ z :
xy z t u xt y t t⋅( ) ⋅ = ⋅( ) ⋅2 4 5.
Podilymo ce rivnqnnq na x çerez y i na x çerez t2 . V rezul\tati otryma[mo
vrivnovaΩene rivnqnnq, liva çastyna qkoho bude zbihatysq z yz xt u⋅( ) abo z
yz t xu⋅( )⋅ i tomu ne bude slovom typu (s).
Nexaj v (13) vykonu[t\sq t4 = y, tobto ma[mo rivnqnnq
xy z t u t t t y t⋅( ) ⋅ = ⋅( ) ⋅1 2 3 5 .
Oskil\ky t1 � t2 , dlq zminno] x moΩlyvi dva vypadky: t1 = x abo t3 = x. Qkwo
t1 = x, to podilymo na x çerez t2 i çerez y, todi u pravij çastyni matymemo
slovo t t xy t2 3 5⋅( ) typu (a).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1064 R. F. KOVAL|
Qkwo t3 = x, to slovo t t1 2 zbiha[t\sq z z u abo z t u, pozaqk t5 ≠ u. V c\omu
vypadku podilymo rivnqnnq na u zovni i na u çerez z, koly t t1 2 � z u, i çerez
t, koly t t1 2 � tu (symvol � poznaça[ hrafiçnyj zbih sliv). V rezul\tati
otryma[mo vrivnovaΩene rivnqnnq, v qkomu liva çastyna [ slovom typu (a) abo
(b).
I, nareßti, nexaj v rivnosti (13) t5 = y. Podilymo rivnqnnq na y zovni:
xy z t u y t t t t⋅( ) ⋅( ) = ⋅( )1 2 3 4.
Podilymo ce rivnqnnq na y çerez zminnu x. Qkwo t4 = x, to otryma[mo
rivnqnnq typu (cb), a qkwo t3 = x — typu (sa). Qkwo Ω t1 = x, to matymemo
rivnqnnq
xz t u y xy t t t⋅( ) ⋅ = ⋅( ) ⋅2 3 4 ,
qke podilymo na x çerez z ta na x çerez y. Znovu otryma[mo vrivnovaΩene
rivnqnnq, v livij çastyni qkoho bude slovo zt u xy⋅( )⋅ ne typu (s).
Lema 9. KoΩne rivnqnnq typu (bc) parastrofno rivnosyl\ne deqkomu riv-
nqnng odnoho z typiv (aa), (ac), (ab).
Dovedennq. KoΩne rivnqnnq typu (bc) parastrofno rivnosyl\ne rivnqnng
xy z tu t t t t t⋅( )⋅ = ⋅( ) ⋅1 2 3 4 5 ,
de
x liviße za y, t liviße za u ta t1 � t2 . (14)
Spravdi, qkwo u pravij çastyni zminna x znaxodyt\sq praviße za y, to vza[mno
pereimenu[mo v rivnqnni zminni x ta y i v livij çastyni otrymanoho rivnqnnq pe-
restavymo zminni x i y v pidslovi y x.
Zvidsy vyplyva[, wo t5 ∈H{ y, z, u }. Rozhlqnemo koΩne z cyx znaçen\ okremo.
Nexaj t5 = y. Podilymo na y çerez x ta zovni na y. V rezul\tati otryma[mo
rivnqnnq, liva çastyna qkoho [ slovom typu (a). V inßyx vypadkax otryma[mo
odne z takyx rivnqn\:
(i) xy z tu xt u y z⋅( )⋅ = ⋅( ) ⋅ , (ii) xy z tu xt y u z⋅( )⋅ = ⋅( ) ⋅ ,
(iii) xy z tu zt x y u⋅( )⋅ = ⋅( ) ⋅ , (iv) xy z tu xz t y u⋅( )⋅ = ⋅( ) ⋅ ,
(v) xy z tu xt y z u⋅( )⋅ = ⋅( ) ⋅ , (vi) xy z tu xt z y u⋅( )⋅ = ⋅( ) ⋅ .
Spravdi, nexaj t5 = z, todi t4 ∈H{ y, u }. U vypadku t4 = y iz spivvidnoßen\ (14)
vyplyva[, wo t2 ≠ x ; pry t2 = u ma[mo t1 = t, i v rivnqnni bude dva pidslova t u,
wo supereçyt\ lemi 3, tomu t2 ≠ u. OtΩe, pry t4 = y ma[mo t2 = t, a z (14)
vyplyva[ t1 = x i t3 = u. Qkwo Ω t4 = u, to z (14) ma[mo t3 ≠ x, t, tomu t3 = y i
t t1 2 � x t. Otryma[mo rivnqnnq (i) ta (ii).
Nexaj t5 = u, todi t1 = x abo t3 = x. Qkwo t3 = x, to z (14) vyplyva[, wo
t4 H= y, i todi t t1 2 � z t, tobto otrymu[mo rivnqnnq (iii). Qkwo Ω t1 = x, to t2 ≠
≠ y, oskil\ky v livij çastyni vΩe [ pidslovo x y, tomu t2 ∈ H{ z, t }. U vypadku,
koly t2 = z, iz neskorotnosti rivnqnnq ta lemy 3 vyplyva[, wo t3 ≠ y, tomu
t3H= t i t4 = y; a qkwo t2 = t, to moΩlyvi obydva varianty: t3 = y, t4 = z i t3 =
= z, t4 = y. Tut my oderΩaly rivnqnnq (iv), (v) ta (vi) vidpovidno.
OtΩe, dlq zaverßennq dovedennq lemy zalyßylos\ rozhlqnuty zaznaçeni
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
KLASYFIKACIQ KVADRATYÇNYX PARASTROFNO NESKOROTNYX … 1065
vywe rivnqnnq (i) – (vi). Podilymo rivnqnnq na predmetni zminni: rivnqnnq (i)
podilymo na x çerez zminnu t ta na x çerez zminnu y ; rivnqnnq (ii) — na t çe-
rez zminnu u ta na t çerez zminnu x ; rivnqnnq (iii) — na t çerez zminnu z ta
na t çerez zminnu u ; rivnqnnq (iv) — na x çerez zminnu y ta na x çerez zminnu
z ; rivnqnnq (vi) — na x çerez zminnu y ta na x çerez zminnu t. V rezul\tati
otryma[mo vrivnovaΩeni rivnqnnq, odna iz storin qkyx [ pidslovom typu (a), a
tomu dlq cyx vypadkiv lemu dovedeno.
Zalyßylos\ rozhlqnuty rivnqnnq (v), qke podilymo na t çerez zminnu x ta
na t çerez zminnu u :
xt y z u xy z tu⋅( ) ⋅ = ⋅( )⋅ .
Otrymane rivnqnnq podilymo na x çerez y i na x çerez t :
xy t z u yz xt u⋅( ) ⋅ = ⋅ ⋅( ) .
Ostann[ rivnqnnq podilymo na y çerez x i na y çerez z, pislq çoho otryma[mo
vrivnovaΩene rivnqnnq typu (as).
Lemu 9 dovedeno.
Lema 10. KoΩne rivnqnnq typu (bb) parastrofno rivnosyl\ne deqkomu
rivnqnng odnoho z typiv (aa), (ac), (ab).
Dovedennq. KoΩne rivnqnnq typu (bb) parastrofno rivnosyl\ne rivnqnng
xy z tu t t t t t⋅( )⋅ = ⋅( )⋅1 2 3 4 5 ,
de v pravij çastyni spravdΩugt\sq taki umovy:
x liviße za y, t liviße za u, t1 � t2 , t4 � t5. (15)
PokaΩemo, wo v c\omu vypadku otryma[mo odne z takyx rivnqn\:
(i) xy z tu xt u yz⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ , (ii) xy z tu xt y zu⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ ,
(iii) xy z tu xz t yu⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ , (iv) xy z tu xt z yu⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ ,
(v) xy z tu zt x yu⋅( )⋅ = ⋅( )⋅ .
Z umov (15) odrazu vyplyva[, wo t5 ∉ H{ x, t }. Qkwo t4 = x, to t5 = y, i take
rivnqnnq bude skorotnym, bo v livij çastyni vΩe [ pidslovo x y. Tak samo ne-
moΩlyvym [ vypadok t4 = t, tomu t4 ∉ H{ x, t }. Oskil\ky t4 � t5, to moΩlyvi
lyße try vypadky: t t4 5 ∈H{ y z, z u, y u }.
Nexaj t t4 5 � y z. Pry t3 = x ma[mo t t1 2 � t u, wo nemoΩlyvo, bo v livij
çastyni [ pidslovo t u. Pozaqk t ma[ buty liviße za u v pravij çastyni, to t1 =
= x, t2 = t, t3 = u, i my ma[mo rivnqnnq (i).
Nexaj t t4 5 � z u. Qkwo t3 = t, to t t1 2 � x y, wo nemoΩlyvo, tomu t3 ≠ t i
pozaqk v pravij çastyni x liviße za y , to t3 = y . Todi t t1 2 � x t, tobto
otryma[mo rivnqnnq (ii).
Nexaj teper t t4 5 � y u. Oskil\ky t1 � t2 , dlq slova t t1 2 moΩlyvi takoΩ
try vypadky: t t1 2 ∈H{ x z, x t, z t }. Qkwo t t1 2 � x z, to t3 = t, a qkwo t t1 2 � x t, to
t3 = z. I nareßti, koly t t1 2 � z t, to t3 = x. U c\omu vypadku matymemo rivnqn-
nq (iii), (iv) ta (v) vidpovidno.
Takym çynom, dlq dovedennq teoremy zalyßylos\ rozhlqnuty i proanalizu-
vaty rivnqnnq (i) – (v). Podilyvßy rivnqnnq (v) na t çerez zminni u ta z,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1066 R. F. KOVAL|
otryma[mo rivnqnnq, liva çastyna qkoho [ slovom typu (a), tomu v c\omu vypad-
ku lemu dovedeno.
Podilymo rivnqnnq (i) i (ii) na t çerez zminni x i u, a koΩne z rivnqn\ (iii)
i (iv) na y takoΩ çerez zminni x ta u. V rezul\tati otryma[mo taki rivnqnnq:
xt y z u x tu yz⋅( ) ⋅ = ⋅( )⋅ , xt y z u xy z tu⋅( ) ⋅ = ⋅ ⋅( ) ,
xz t yu xy z t u⋅ ⋅( ) = ⋅( ) ⋅ , xz t yu xy t z u⋅ ⋅( ) = ⋅( ) ⋅ .
Podilymo ci rivnqnnq zovni na u ta na u çerez zminni t i y vidpovidno. V
rezul\tati otryma[mo vrivnovaΩeni rivnqnnq, v qkyx odna iz çastyn [ slovom
typu (a).
Lemu 10 dovedeno.
Lema 11. Bud\-qke rivnqnnq typu (as) parastrofno rivnosyl\ne rivnqnng
typu (ab).
Dovedennq. KoΩne rivnqnnq typu (as) parastrofno rivnosyl\ne rivnqnng
xy zt u t t t t t⋅( ) = ⋅( ) ⋅1 2 3 4 5,
de v pravij çastyni
x liviße za y, x liviße za z , z liviße za t, t1 � t2 . (16)
PokaΩemo, wo cym umovam zadovol\nqgt\ ßist\ rivnqn\:
(i) xy zt u xz t u y⋅( ) = ⋅( ) ⋅ , (ii) xy zt u xz u t y⋅( ) = ⋅( ) ⋅ ,
(iii) xy zt u xz y u t⋅( ) = ⋅( ) ⋅ , (iv) xy zt u xu z t y⋅( ) = ⋅( ) ⋅ ,
(v) xy zt u xu y z t⋅( ) = ⋅( ) ⋅ , (vi) xy zt u xu z y t⋅( ) = ⋅( ) ⋅ .
Z umov (16) vyplyva[, wo t ∉ { t1, t2 }, bo cq zminna sto]t\ prynajmni na dvi zmini
praviße vid poçatku slova. Same tomu t1 ≠ y. Do toho Ω t2 ≠ y, bo inakße t1 =
= x, a slovo x y vΩe [ v livij çastyni. OtΩe, metazminni t1, t2 nabuvagt\
znaçen\ u mnoΩyni { x, z, u } . Vypyßemo mnoΩynu znaçen\ slova t t1 2, vzqvßy do
uvahy nerivnist\ t1 � t2 i te, wo zminna z ne moΩe stoqty na perßomu misci,
tobto t1 ≠ z. Takyx sliv lyße dva: x z ta x u.
Z umov (16) vyplyva[, wo t5 ≠ x, z, a z lemy 3 ma[mo t5 ≠ u, tomu t5 ∈ { y, t } .
Prypustymo, wo t t1 2 � x z. U vypadku t5 = y dlq inßyx zminnyx obydva zna-
çennq [ moΩlyvymy: t3 = t, t4 = u ta t3 = u, t4 = t, tomu my matymemo rivnqnnq
(i) ta (ii) vidpovidno. Qkwo t5 = t, to t4 = u, i tomu t3 = y. U c\omu vypadku
otryma[mo rivnqnnq (iii).
Nexaj t t1 2 � x u. U vypadku t5 = y iz zaleΩnostej (16) vyplyva[ t3 = z, t4 =
= t, i my ma[mo rivnqnnq (iv). Qkwo Ω t5 = t, to dlq inßyx zminnyx obydva
znaçennq [ moΩlyvymy: t3 = y, t4 = z ta t3 = z, t4 = y, tobto my oderΩaly dva
rivnqnnq: (v) ta (vi).
Takym çynom, dlq dovedennq teoremy zalyßylos\ rozhlqnuty funkcijni
rivnqnnq (i) – (vi). KoΩne z rivnqn\ (i) – (iii) podilymo na pidslovo xy zt⋅
çerez zminnu u. A rezul\tugçi rivnqnnq podilymo zovni: rivnqnnq (i) — na y i
na xz t⋅ ; rivnqnnq (ii) — na y, na t i na x z ; a rivnqnnq (iii) — na t i na xz y⋅ .
Vsi otrymani rivnqnnq matymut\ typ (ab).
KoΩne z rivnqn\ (iv), (v), (vi) podilymo na pidslovo dovΩyny try: rivnqnnq
(iv) — na pidslovo xu z⋅ çerez zminnu t; rivnqnnq (v) — na pidslovo xu y⋅
çerez zminnu z; rivnqnnq (vi) — na pidslovo xu z⋅ çerez zminnu y. KoΩne z
otrymanyx rivnqn\ podilymo na u ta zovni: na x y, na x y i na z t vidpovidno:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
KLASYFIKACIQ KVADRATYÇNYX PARASTROFNO NESKOROTNYX … 1067
z xu z t yt u xy⋅ ⋅( ) = ⋅( )⋅ , t xu y z zt u xy⋅ ⋅( ) = ⋅( )⋅ ,
x xu z y yt u zt⋅ ⋅( ) = ⋅( )⋅ .
Perße rivnqnnq podilymo na zminnu y çerez zminnu t ta zovni na z; druhe riv-
nqnnq — na zminnu t çerez zminnu z i zovni na t; tret[ rivnqnnq — na zminnu t
çerez zminnu y ta zovni na x. V rezul\tati v koΩnomu iz vypadkiv otryma[mo
rivnqnnq typu (ab).
Lemu 11 dovedeno.
Lema 12. Dovil\ne rivnqnnq typu (ab) parastrofno rivnosyl\ne odnomu
z$rivnqn\ (6), (7) i (8).
Dovedennq. KoΩne rivnqnnq typu (ab) parastrofno rivnosyl\ne rivnqnng
xy zt u t t t t t⋅( ) = ⋅( )⋅1 2 3 4 5,
de v pravij çastyni spravdΩugt\sq taki umovy:
x liviße za y, x liviße za z , z liviße za t, t1 � t2 , t4 � t5. (17)
Oskil\ky u [ najbil\ßog zminnog, to z (17) vyplyva[, wo t1 ≠ y, z, t, u, tomu
t1 = x. Znovu iz (17) ma[mo t2 ≠ t, a z lemy 3 otrymu[mo t2 ≠ y, tomu t2 = z abo
t2 = u.
Qkwo t2 = z, to z uraxuvannqm (17) ma[mo t t4 5 ∈ { y t, y u, t u }. Qkwo t t4 5 �
� y t, to otrymu[mo rivnqnnq (6). Qkwo t t4 5 � y u, to ma[mo rivnqnnq (8).
Qkwo Ω t t4 5 � t u , to oderΩu[mo rivnqnnq
xy zt u xz y tu⋅( ) = ⋅( )⋅ .
Vza[mno pereimenu[mo zminni x i z, a takoΩ y i t:
zt xy u zx t yu⋅( ) = ⋅( )⋅ .
Zastosuvavßy komutuvannq, otryma[mo rivnqnnq (8).
Qkwo t2 = u, to t t4 5 ∈ { y z , y t, z t }. Pry t t4 5 � z t ma[mo v rivnqnni dva
odnakovyx pidslova, a ce supereçyt\ lemi 3. Qkwo t t4 5 � y t, to otrymu[mo (7).
Qkwo Ω t t4 5 � y z , to ma[mo rivnqnnq
xy zt u xu t yz⋅( ) = ⋅( )⋅ .
Podilymo dane rivnqnnq na u zovni ta na u çerez zminnu x:
xu y zt xt yz u⋅( )⋅ = ⋅( ) .
Pereimenuvavßy zminni zhidno z cyklom t yz( ) , otryma[mo rivnqnnq (7).
Lemu 12 dovedeno.
Lema 13. Dovil\ne rivnqnnq typu (aa) parastrofno rivnosyl\ne rivnqn-
ngH(9).
Dovedennq. KoΩne rivnqnnq typu (aa) parastrofno rivnosyl\ne rivnqnng
xy zt u t t t t t⋅( ) = ⋅( )1 2 3 4 5,
de v pravij çastyni spravdΩugt\sq taki umovy:
x liviße za y, x liviße za z , z liviße za t, t1 � t2 , t1 � t3 � t4 . (18)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1068 R. F. KOVAL|
Iz zaleΩnostej (18) vyplyva[, wo t5 ≠ x, z, a z lemy 3 odrazu vyplyva[, wo t5 ≠
≠ y. OtΩe, t5 ∈ { y, t } . Z nerivnostej (18) vyplyva[, wo x ∉ { t2 , t3, t4 }, otΩe,
t1 = x.
Nexaj t5 = t. Z lemy 3 vyplyva[, wo t2 ≠ y, tomu t2 ∈ { z, u}. Qkwo t2 = z,
to t t4 5 � y u, i rivnqnnq zbiha[t\sq z (9).
Qkwo Ω t2 = u, to t t4 5 � y z, i rivnqnnq ma[ vyhlqd
xy zt u xu yz t⋅( ) = ⋅( ) . (19)
Vza[mno pereimenu[mo zminni x ta y i skorysta[mos\ komutuvannqm, v rezul\-
tati takoΩ otryma[mo rivnqnnq (9).
Nexaj t5 = y. Odrazu zauvaΩymo, wo z (18) vyplyva[, wo t2 ≠ x , y , t. U
vypadku t2 = u ma[mo slovo t t4 5 � z t, qke vΩe [ v livij çastyni, a ce
supereçyt\ lemi 3. OtΩe, t2 = z, tomu t t4 5 � t u, i rivnqnnq matyme vyhlqd
xy zt u xz tu y⋅( ) = ⋅( ) .
Pereimenu[mo zminni tak, wob prava çastyna bula v porqdku leksykohrafiçnoho
zrostannq, todi liva çastyna zbihatymet\sq z pravog çastynog rivnqnnq (19).
Lemu dovedeno.
Naslidkom z dovedenyx lem [ teorema 2.
Avtor vyslovlg[ wyru vdqçnist\ F.HM.HSoxac\komu, pid kerivnyctvom qkoho
vykonano danu robotu.
1. Soxac\kyj F. M. Klasyfikaciq funkcijnyx rivnqn\ na kvazihrupax // Ukr. mat. Ωurn. –
2004. – 56, # 9. – S. 1259 – 1266.
OderΩano 12.05.2004,
pislq doopracgvannq — 06.06.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
|