O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем
Для слабко нелінійних майже періодичних звичайних диференціальних систем отримано умови існування та запропоновано алгоритми побудови частково нерегулярних майже періодичних розв'язків....
Збережено в:
Дата: | 2005 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
Назва видання: | Український математичний журнал |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165822 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем / А.К. Деменчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1123 – 1130. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-165822 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1658222020-02-17T01:27:26Z O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем Деменчук, А.К. Короткі повідомлення Для слабко нелінійних майже періодичних звичайних диференціальних систем отримано умови існування та запропоновано алгоритми побудови частково нерегулярних майже періодичних розв'язків. For weakly nonlinear almost periodic ordinary differential systems, we obtain conditions for the existence of partially irregular almost periodic solutions and propose algorithms for their construction. 2005 Article O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем / А.К. Деменчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1123 – 1130. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165822 517.925 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Деменчук, А.К. O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем Український математичний журнал |
description |
Для слабко нелінійних майже періодичних звичайних диференціальних систем отримано умови існування та запропоновано алгоритми побудови частково нерегулярних майже періодичних розв'язків. |
format |
Article |
author |
Деменчук, А.К. |
author_facet |
Деменчук, А.К. |
author_sort |
Деменчук, А.К. |
title |
O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем |
title_short |
O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем |
title_full |
O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем |
title_fullStr |
O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем |
title_full_unstemmed |
O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем |
title_sort |
o частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2005 |
topic_facet |
Короткі повідомлення |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165822 |
citation_txt |
O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем / А.К. Деменчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1123 – 1130. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT demenčukak očastičnoneregulârnyhpočtiperiodičeskihrešeniâhslabonelinejnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhsistem |
first_indexed |
2025-07-14T20:04:48Z |
last_indexed |
2025-07-14T20:04:48Z |
_version_ |
1837654069705965568 |
fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 517.925
A.�K.�Demençuk (Yn-t matematyky NAN Belarusy, Mynsk)
O ÇASTYÇNO NEREHULQRNÁX POÇTY PERYODYÇESKYX
REÍENYQX SLABO NELYNEJNÁX OBÁKNOVENNÁX
DYFFERENCYAL|NÁX SYSTEM
*
For weakly nonlinear almost periodic ordinary differential systems, conditions for existence are obtained
and algorithms of the construction of partially irregular almost periodic solutions are suggested.
Dlq slabko nelinijnyx majΩe periodyçnyx zvyçajnyx dyferencial\nyx system otrymano umovy
isnuvannq ta zaproponovano alhorytmy pobudovy çastkovo nerehulqrnyx majΩe periodyçnyx
rozv’qzkiv.
1. Predvarytel\n¥e svedenyq y opredelenyq. Pust\ Rn
×
m — prostranstvo
vewestvenn¥x ( n × m ) -matryc s normoj | ⋅ | , Rn
×
1 = Rn, D — kompaktnoe pod-
mnoΩestvo Rn. Oboznaçym çerez A P (Rn
×
m
) prostranstvo poçty peryodyçes-
kyx (po Boru) matryçnoznaçn¥x funkcyj h : R → Rn
×
m, a çerez A P ( D, Rn
×
m
)
prostranstvo funkcyj H : R × D → Rn
×
m takyx, çto kaΩdaq H ( t , x ) yz πtoho
prostranstva qvlqetsq neprer¥vnoj po sovokupnosty peremenn¥x y poçty pe-
ryodyçeskoj po t ∈ R ravnomerno otnosytel\no x ∈ D. Otmetym, çto A P (Rn
) ,
nadelennoe normoj || ||h = sup { | h ( t ) | , t ∈ R} , stanovytsq banaxov¥m prostran-
stvom. Dlq h ∈ A P (Rn
) poloΩym
lim ( )
T
T
T
h t dt
→∞ ∫1
0
= ĥ , h ( t ) – ĥ = h∗ ( t ) .
Pod çastotn¥m modulem Mod ( h1, … , hk , H1, … , Hl ) funkcyj hi ∈ A P (Rn
) , i =
= 1, k , y Hj ∈ A P ( D, Rn
) , j = 1, l ; k + l ≥ 1, budem ponymat\ naymen\ßug addy-
tyvnug hruppu vewestvenn¥x çysel, soderΩawug vse pokazately Fur\e πtyx
funkcyj. Budem hovoryt\, çto stolbc¥ P1, … , Pk matryc¥ P ∈ A P ( Rn
×
m
) ly-
nejno nezavysym¥ nad R , esly lynejn¥e kombynacyy πtyx stolbcov s vewest-
venn¥my koπffycyentamy toΩdestvenno ravn¥ nulg tohda y tol\ko tohda,
kohda vse koπffycyent¥ nulev¥e. Çerez rankcol P oboznaçym stolbcov¥j ranh
matryc¥ P ( t ) , t.:e. naybol\ßee çyslo lynejno nezavysym¥x stolbcov πtoj mat-
ryc¥.
Peryodyçeskye, kvazyperyodyçeskye y poçty peryodyçeskye reßenyq x ( t )
system¥
*
V¥polnena v ramkax Hosudarstvennoj prohramm¥ fundamental\n¥x yssledovanyj „Matema-
tyçeskye struktur¥” pry çastyçnoj podderΩke Belorusskoho respublykanskoho fonda funda-
mental\n¥x yssledovanyj.
© A.:K.:DEMENÇUK, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1123
1124 A.:K.:DEMENÇUK
ẋ = f ( t , x ) , f ∈ A P ( D, Rn
) , (1)
v rehulqrnom sluçae, t.:e. kohda Mod ( x ) ⊆ Mod ( f ) , yzuçalys\ vo mnohyx rabo-
tax (sm., naprymer, [1 – 10]). Sleduet otmetyt\, çto πffektyvn¥e metod¥ reße-
nyq zadaç teoryy kolebanyj b¥ly razrabotan¥ v trudax ukraynskoj ßkol¥,
vozhlavlqemoj G. A. Mytropol\skym y A. M. Samojlenko (sm., naprymer, [4 – 7]).
Nerehulqrn¥j Ωe sluçaj, kohda ukazannoe vklgçenye çastotn¥x modulej
ne:v¥polnqetsq, dlytel\noe vremq ostavalsq neyssledovann¥m. Vperv¥e voz-
moΩnost\ eho realyzacyy b¥la ustanovlena dlq peryodyçeskoho sluçaq v [11] y
dlq poçty peryodyçeskoho v [12].
Opredelenye 1. Poçty peryodyçeskoe reßenye x t( ) system¥ (1) budem
naz¥vat\ nerehulqrn¥m, esly Mod ( x ) ∩ Mod ( f ) = {0}.
V rabote [13] poluçen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq
nerehulqrn¥x poçty peryodyçeskyx reßenyj system¥ (1). Analohyçn¥e vopro-
s¥ dlq peryodyçeskyx system rassmatryvalys\ v [14, 15]. V πtom sluçae uslo-
vye nerehulqrnosty oznaçaet nesoyzmerymost\ peryodov reßenyq y samoj sys-
tem¥. Kvazyperyodyçeskyj sluçaj yzuçalsq v [16]. Sleduet otmetyt\, çto ta-
koho roda kolebanyq pry opredelenn¥x naçal\n¥x dann¥x voznykagt, na-
prymer, v systeme dvux upruho svqzann¥x maqtnykov s peryodyçesky menqg-
wejsq Ωestkost\g.
V rabote [17] pokazano, çto nekotor¥e klass¥ kvazyperyodyçeskyx system
dopuskagt kvazyperyodyçeskye reßenyq, çastotn¥j bazys kotor¥x soderΩyt
lyß\ nekotor¥e çastot¥ pravoj çasty. Vpolne estestvenno predpoloΩyt\, çto
podobnoe qvlenye ymeet mesto v poçty peryodyçeskom sluçae. Pust\ çastotn¥j
modul\ pravoj çasty system¥ (1) raspadaetsq na dva podmodulq, t.:e. Mod ( f ) =
= L1 ⊕ L2.
Opredelenye 2. Poçty peryodyçeskoe reßenye x t( ) system¥ (1) budem na-
z¥vat\ nerehulqrn¥m po otnoßenyg k L1 ( yly çastyçno nerehulqrn¥m), esly
( Mod ( x ) + L2) ∩ L1 = {0}.
V rabote [18] yzuçalys\ vopros¥ suwestvovanyq çastyçno nerehulqrn¥x
poçty peryodyçeskyx reßenyj system¥ (1).
Opredelenye 3. Poçty peryodyçeskoe reßenye x t( ) system¥ (1) budem
naz¥vat\ slabo L1 -nerehulqrn¥m (yly slabo nerehulqrn¥m), esly Mod ( x ) ⊆
⊆ L2.
V rabote [19] pryveden¥ uslovyq suwestvovanyq takyx reßenyj system¥ (1).
2. Postanovka zadaçy. Budem rassmatryvat\ slabo nelynejnug systemu
ẋ = A ( t ) x + f ( t ) + µ F ( t , x ) , (2)
hde A ( t ) ∈ A P ( Rn
×
n
) , f ( t ) ∈ A P ( Rn
) , F ( t , x ) ∈ A P ( D, Rn
) , µ — dostatoçno
mal¥j vewestvenn¥j parametr. System¥ vyda (2) s postoqnnoj lybo peryody-
çeskoj matrycej A yssledovalys\ v [1, 7 – 10]. V rabote [3] yzuçalas\ systema
(2), u kotoroj sootvetstvugwee lynejnoe pryblyΩenye udovletvorqet uslovyg
πksponencyal\noj dyxotomyy.
Sleduet otmetyt\, çto rassmatryvaem¥e v πtyx rabotax reßenyq ne:qvlqgt-
sq çastyçno nerehulqrn¥my v sm¥sle opredelenyq 2. V svqzy s πtym voznykaet
zadaça: poluçyt\ uslovyq suwestvovanyq y ukazat\ alhorytm¥ postroenyq ças-
tyçno nerehulqrn¥x poçty peryodyçeskyx reßenyj system¥ (2).
3. Nerehulqrnost\ po otnoßenyg k çastotnomu modulg matryc¥ koπf-
fycyentov system¥ lynejnoho pryblyΩenyq. Dopustym, çto
Mod ( f , F ) ∩ Mod ( A ) = {0}. (3)
V¥qsnym uslovyq suwestvovanyq poçty peryodyçeskyx reßenyj x ( t ) system¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
O ÇASTYÇNO NEREHULQRNÁX POÇTY PERYODYÇESKYX REÍENYQX … 1125
(2), nerehulqrn¥x po otnoßenyg k Mod ( A ) , t.:e. takyx, çto ( Mod ( x ) +
+ Mod ( f , F ) ) ∩ Mod ( A ) = {0}.
V dal\nejßem nam ponadobytsq v¥tekagwaq yz [18] lemma.
Lemma. Pust\ P ∈ A P ( Rn
×
m
) . Dlq toho çtob¥ systema P ( t ) z = 0 ymela
netryvyal\noe nerehulqrnoe poçty peryodyçeskoe reßenye z ( t ) , t.'e. takoe,
çto Mod ( x ) ∩ Mod ( P ) = {0}, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ v¥polnqlos\
uslovye rankcol ( P ) < n .
Yz [18] sleduet, çto systema (2) ymeet trebuemoe poçty peryodyçeskoe reße-
nye tohda y tol\ko tohda, kohda πto reßenye udovletvorqet systeme
ẋ = Âx + f ( t ) + µ F ( t , x ) , A∗ ( t ) x = 0. (4)
Poskol\ku Mod ( A∗ ) = Mod ( A ) , to v sylu (3) funkcyq x ( t ) qvlqetsq nere-
hulqrn¥m reßenyem vtoroj system¥ yz (4). Tohda yz lemm¥ sleduet, çto esly
vse stolbc¥ matryc¥ A∗ ( t ) lynejno nezavysym¥, to x ( t ) ≡ 0. Poπtomu pred-
poloΩym, çto
rankcol ( A∗ ) = n1 < n . (5)
V sylu rezul\tatov rabot¥ [20] najdetsq vewestvennaq neosobennaq ( n × n ) -
matryca S takaq, çto preobrazovanye
x = S y (6)
pryvodyt (4) k systeme
ẏ = B y + h ( t ) + µ H ( t , y ) , B∗ ( t ) y = 0, (7)
hde B = S AS−1 ˆ , h ( t ) = S
–1
f ( t ) , H ( t , y ) = S
–1F ( t , S y ) , B∗ ( t ) = A∗ ( t ) S, pryçem
perv¥e k = n – n1 stolbcov matryc¥ B∗ ( t ) nulev¥e, a ostal\n¥e n1 stolbcov
lynejno nezavysym¥. Poslednee obstoqtel\stvo sohlasno lemme oznaçaet, çto
çastyçno nerehulqrnoe poçty peryodyçeskoe reßenye y ( t ) = S
–1
x ( t ) system¥
(7) ymeet sledugwug strukturu: y ( t ) = ( )…˜( ), , ,y t 0 0 , ˜( )y t = ( y1, … , yk ) . Sle-
dovatel\no, systema (7) prymet vyd
˜̇y = B yk k, ˜ + h
(1)
( t ) + µH t y( ) , ˜1 ( ), 0 = B yn k k− , ˜ + h
(2)
( t ) + µH t y( ) , ˜2 ( ) , (8)
hde Bk , k , Bn – k , k — sootvetstvenno lev¥j verxnyj y lev¥j nyΩnyj bloky mat-
ryc¥ B (nyΩnye yndeks¥ ukaz¥vagt razmernost\); col [ h
(1), h
(2)
] = h ( t ),
col [ H
(1), H
(2)
] = H t y( )…, ˜ , , ,0 0 .
PredpoloΩym, çto sobstvenn¥e çysla λ1, … , λk matryc¥ Bk , k udovletvo-
rqgt uslovyg
Re λj ≠ 0, j = 1, k . (9)
Sohlasno [1, s. 157] uslovye (9) obespeçyvaet suwestvovanye edynstvennoho poç-
ty peryodyçeskoho reßenyq
˜ ( )( )y t0 = G t h d( ) ( )( )−
− ∞
+ ∞
∫ τ τ τ1 (10)
lynejnoj system¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1126 A.:K.:DEMENÇUK
˜̇y = B yk k, ˜ + h
(1)
( t ) , (11)
hde G( t ) — funkcyq Hryna sootvetstvugwej odnorodnoj system¥, pryçem
| |˜ ( )( )y t0 ≤ M0 < ∞ . (12)
Yz [3, s. 91] sleduet, çto Mod( )ỹ = Mod ( h
(1)
) .
Dopustym, çto vektor-funkcyq H t y( ) , ˜1 ( ) udovletvorqet uslovyg Lypßyca
po ỹ v oblasty D̃ , soderΩawej zam¥kanye sootvetstvugwej (10) traektoryy
H t y H t y L y y( ) ( ), ˜ , ˜ ˜ ˜1 1( ) ( )′′ − ′ ≤ ′′ − ′ , ˜ , ˜ ˜ ˜ , ˜ ,′ ′′ ∈ = ∈ ≤ >{ }y y D y y MkR ρ ρ 2 0 , (13)
hde M0 opredelqetsq (12) y L = L (ρ) . Tohda yz [8] sleduet suwestvovanye
poloΩytel\noho µ0 = µ0(ρ) takoho, çto dlq | µ | < µ0 systema
˜̇y = B t yk k, ( ) ˜ + h
(1)
( t ) + µH t y( ) , ˜1 ( ) (14)
ymeet v oblasty D̃ edynstvennoe poçty peryodyçeskoe reßenye ˜( , )y t µ . Poka-
Ωem, çto
Mod( )ỹ ⊆ Mod ( h
(1), H
(1)
) . (15)
Dlq πtoho otmetym, çto lgboj obwyj ε -poçty peryod τ funkcyj h
(1)
( t ) y
H t y( ) , ˜1 ( ) pry | µ | < µ0 qvlqetsq ε1 -poçty peryodom dlq reßenyq ˜ ( , )y t µ . ∏to
oznaçaet, çto dlq lgboho ε > 0 suwestvuet ε1 > 0 takoe, çto yz | h
(1)
( t + τ ) –
– h
(1)
( t ) | < ε y H t y H t y( ) ( ), ˜ , ˜1 1( ) ( )+ −τ < ε sleduet | |+ −˜( , ) ˜( , )y t y tτ µ µ < ε1,
t.:e. mnoΩestvo poçty peryodov funkcyj h
(1)
( t ) y H
(1)
( t , µ ) soderΩytsq vo
mnoΩestve poçty peryodov reßenyq ˜( , )y t µ system¥ (14). Tohda yz sootnoße-
nyq meΩdu poçty peryodamy y pokazatelqmy Fur\e dlq poçty peryodyçeskyx
funkcyj [3, s. 61] v¥tekaet (15).
Sleduq [8], poçty peryodyçeskoe reßenye ˜( , )y t µ system¥ (14) moΩno najty
metodom posledovatel\n¥x pryblyΩenyj
˜( , )y t µ = lim ˜ ( , )( )
m
my t
→∞
µ , (16)
hde v kaçestve nulevoho pryblyΩenyq ˜ ( )( )y t0 yspol\zuetsq reßenye (10)
system¥ (11), a
˜ ( , )( )y tm+1 µ = G t h H y dm( ) ( ) , ˜ ( , )( ) ( ) ( )− +( )( )
− ∞
+ ∞
∫ τ τ µ τ τ µ τ1 1 , m = 0, 1, 2, … . (17)
Zametym, çto (16) budet udovletvorqt\ vsej systeme (8), esly v¥polnqetsq
toΩdestvo
B y tn k k− , ˜( , )µ + h
(2)
( t ) + µ µH t y t( ) , ˜( , )2 ( ) ≡ 0. (18)
Pust\ toΩdestvo (18) ymeet mesto. Tohda s uçetom struktur¥ y ( t ) y zamen¥ (6)
naxodym poçty peryodyçeskoe reßenye system¥ (4)
x ( t ) = S y tcol[ ]…˜( , ), , ,µ 0 0 , Mod ( x ) = Mod( )ỹ , (19)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
O ÇASTYÇNO NEREHULQRNÁX POÇTY PERYODYÇESKYX REÍENYQX … 1127
hde ˜( )y t opredelqetsq posredstvom (16), (17). Yz (4) sleduet, çto (19) udovle-
tvorqet y systeme (2).
Poskol\ku Mod ( h
(1), H
(1)
) ⊆ Mod ( h , H ) = Mod ( f , F ) y Mod ( x ) = Mod( )ỹ ,
na osnovanyy (15) ymeem Mod ( x ) ⊆ Mod ( f , F ) . V sylu (3) πto oznaçaet, çto
poçty peryodyçeskoe reßenye (19) system¥ (2) qvlqetsq slabo nerehulqrn¥m.
Pry v¥polnenyy uslovyj (3), (5), (9), (13) y (18) v oblasty D ′ = { x ∈ Rn, | x | ≤
≤ ρ′, ρ′ = | S | ρ } funkcyq (19) budet edynstvenn¥m slabo Mod ( A ) -nerehulqr-
n¥m reßenyem system¥ (2). Dejstvytel\no, esly b¥ systema (2) v D ′ ymela
ewe odno takoho roda poçty peryodyçeskoe reßenye, to sohlasno [18] systema
(14) v oblasty D̃ ymela b¥ dva poçty peryodyçeskyx reßenyq, çto protyvo-
reçyt [1, s. 158].
Ytak, spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema 1. Pust\ dlq system¥ (2) v¥polnen¥ uslovyq (3), (9), (13). Tohda:
1) esly v oblasty D ′ systema (2) ymeet nerehulqrnoe po otnoßenyg k
Mod ( A ) poçty peryodyçeskoe reßenye, to ono edynstvennoe, slabo nerehulqr-
noe y ymeet vyd (19);
2) systema (2) ymeet reßenye:(19) tohda y tol\ko tohda, kohda dlq stolb-
covoho ranha matryc¥ A∗ ( t ) spravedlyva ocenka (5) y verno toΩdestvo (18).
Sledstvye. ToΩdestvo (18) zavedomo v¥polnqetsq, naprymer, v sluçae nu-
lev¥x blokov Bn – k , k , h
( 2), H
(2).
4. Nerehulqrnost\ po otnoßenyg k çastotnomu modulg system¥ ly-
nejnoho pryblyΩenyq. Perejdem k yssledovanyg voprosov suwestvovanyq
nerehulqrn¥x po otnoßenyg k Mod ( A , f ) poçty peryodyçeskyx reßenyj sys-
tem¥ (2). Dlq πtoho predpoloΩym, çto
Mod ( A , f ) ∩ Mod ( F ) = {0}, (20)
y narqdu s ysxodnoj budem rassmatryvat\ systemu
ẋ = Âx + f̂ + µ F ( t , x ) . (21)
Dopustym, çto sobstvenn¥e çysla λ1, … , λn matryc¥ Â ymegt nenulev¥e
vewestvenn¥e çasty
Re λj ≠ 0, j = 1, n . (22)
V πtom sluçae matryca  nev¥roΩdennaq. Tohda pry µ = 0 systema (21) ymeet
edynstvennoe peryodyçeskoe reßenye, kotoroe qvlqetsq postoqnn¥m
x
(0)( t ) = − −ˆ ˆA f1 , | x
( 0)
| ≤ M
∗. (23)
PredpoloΩym, çto vektor-funkcyq F ( t , x ) udovletvorqet uslovyg Lyp-
ßyca po x
F t x F t x( ) ( )′′ − ′, , ≤ N x x′′ − ′ , ′ ′′ ∈ ′′x x D, = x x Mn∈ ≤ ′′ ′′ >{ }| | ∗R , ,ρ ρ 2 , (24)
hde N = N (ρ′′ ) . Sohlasno [8] pry v¥polnenyy uslovyj (22), (24) najdetsq µ∗ =
= µ (ρ′′ ) > 0 takoe, çto pry | µ | < µ∗ systema (21) v oblasty D ′′ ymeet edyn-
stvennoe poçty peryodyçeskoe reßenye x ( t , µ ) . ∏to reßenye naxodytsq meto-
dom posledovatel\n¥x pryblyΩenyj, hde za nulevoe pryblyΩenye x
(0)( t ) be-
retsq reßenye (23) sootvetstvugwej (21) lynejnoj system¥, a
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1128 A.:K.:DEMENÇUK
x tm( )( , )+1 µ = x
(0) + µ τ τ τ µ τG t F x dm( ) , ( , )( )− ( )
− ∞
+ ∞
∫ , m = 0, 1, 2, … . (25)
Kak y v pred¥duwem punkte, moΩno pokazat\, çto Mod ( x ) ⊆ Mod ( F ) .
Spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema 2. Pust\ dlq system¥ ( 2 ) v¥polnen¥ uslovyq (20), (22), (24).
Tohda:
1) esly v oblasty D ′′ systema (2) ymeet nerehulqrnoe po otnoßenyg k
Mod ( A , f ) poçty peryodyçeskoe reßenye x ( t , µ ) , to ono edynstvennoe, slabo
nerehulqrnoe y moΩet b¥t\ postroeno metodom posledovatel\n¥x prybly-
Ωenyj (25);
2) systema (2) ymeet reßenye x ( t , µ ) tohda y tol\ko tohda, kohda spra-
vedlyvo toΩdestvo
A∗ ( t ) x ( t , µ ) + f∗ ( t ) ≡ 0, t ∈ R. (26)
Dokazatel\stvo. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq (20), (22), (24) y systema (2)
ymeet v oblasty D ′′ nerehulqrnoe po otnoßenyg k Mod ( A , f ) poçty peryo-
dyçeskoe reßenye. V sylu [18] πto reßenye udovletvorqet systeme (21). Kak
otmeçeno ranee, uslovye (22), (24) obespeçyvaet pry | µ | < µ∗ sxodymost\ v ob-
lasty D ′′ posledovatel\n¥x pryblyΩenyj (25) k edynstvennomu poçty peryo-
dyçeskomu reßenyg x ( t , µ ) system¥ (21), pry πtom çastotn¥j modul\ x ( t , µ )
soderΩytsq v Mod ( F ) . Poπtomu nerehulqrnoe po otnoßenyg k Mod ( A , f )
poçty peryodyçeskoe reßenye system¥ (2) sovpadaet s x ( t , µ ) y qvlqetsq slabo
nerehulqrn¥m. Sohlasno [18] funkcyq x ( t , µ ) udovletvorqet takΩe systeme
A∗ ( t ) x + f∗ ( t ) = 0, otkuda v¥tekaet spravedlyvost\ toΩdestva (26).
PokaΩem, çto verno obratnoe. Dejstvytel\no, pry v¥polnenyy uslovyj
(22), (24) systema (21) ymeet dlq | µ | < µ∗ edynstvennoe v oblasty D ′′ poçty
peryodyçeskoe reßenye x ( t , µ ) , pryçem Mod ( x ) ⊆ Mod ( F ) . Poπtomu ˙( , )x t µ ≡
≡ ˆ ( , ) ˆAx t fµ + + µ F ( t , x ( t , µ ) ) . S druhoj storon¥, yz (26) sleduet ˆ ( , ) ˆAx t fµ + ≡
≡ A ( t ) x ( t , µ ) + f ( t ) . Yz poslednyx dvux toΩdestv ymeem ˙( , )x t µ ≡ A ( t ) x ( t , µ ) +
+ f ( t ) + µ F ( t , x ( t , µ ) ) , t.:e. x ( t , µ ) — poçty peryodyçeskoe reßenye system¥
(2). Tot fakt, çto Mod ( x ) ⊆ Mod ( F ) , oznaçaet, çto reßenye x ( t , µ ) qvlqetsq
slabo nerehulqrn¥m.
Prymer 1. Rassmotrym systemu
ẋ = x + a1( t ) y + f1 ( t ) + µ ( F1( t , x , y ) + α x
2) ,
ẏ = a2( t ) y + µ F2( t , x , y ) ,
hde aj ∈ A P ( R ) , Fj ∈ A P ( D, R ) , Fj ( t , x , 0 ) ≡ 0, j = 1, 2, pryçem
Mod ( a1, a2 ) ∩ Mod ( f , F1, F2 ) = {0}.
Pust\ α = 0. Dlq naxoΩdenyq nerehulqrn¥x po otnoßenyg k çastotnomu
modulg matryc¥ koπffycyentov system¥ lynejnoho pryblyΩenyq poçty
peryodyçeskyx reßenyj postroym systemu
ẋ = x + â y1 + f1 ( t ) + µ F1( t , x , y ) ,
ẏ = â y2 + µ F2( t , x , y ) ,
( )−a t a yj j( ) ˆ = 0, j = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
O ÇASTYÇNO NEREHULQRNÁX POÇTY PERYODYÇESKYX REÍENYQX … 1129
Yz posledneho sootnoßenyq v sylu nerehulqrnosty yskomoho reßenyq po otno-
ßenyg k Mod ( a1, a2 ) sleduet y ≡ 0. Poπtomu poluçym
ẋ = x + f1 ( t ) , y = 0.
∏ta systema ymeet poçty peryodyçeskoe reßenye
x ( t ) = exp( ) ( )t f d
t
−
+ ∞
∫ τ τ τ1 , y = 0, Mod ( x ) = Mod ( f1 ) ,
kotoroe na osnovanyy teorem¥ 1 budet nerehulqrn¥m po otnoßenyg k
Mod ( a1, a2 ) reßenyem ysxodnoj system¥.
Esly v dannom prymere vzqt\ α = 1 y f ( t ) = cos t – sin t , to yskomoe reßenye
qvlqetsq 2π -peryodyçeskym y naxodytsq sledugwym obrazom:
x ( t , µ ) = lim ( , )( )
m
mx t
→∞
µ , y ( t ) = 0,
x t x t t x dm m
t
( ) ( ) ( )( , ) ( ) exp( ) ( , )+
∞
= + − ( )∫1 0 2
µ µ τ τ µ τ ( )= < = …x t m( ) sin , , , , , ,0 0 25 0 1 2µ .
V çastnosty, x
(1)
( t , µ ) = sin t + ( 0,5 + 0,2 sin 2t – 0,1 cos 2t ) µ .
Prymer 2. Pust\ aj ∈ A P ( R ) , Fj ∈ A P ( D, R ) , j = 1, 2, takye, çto
Mod ( a1, a2 ) ∩ Mod ( F1, F2 ) = {0}.
Rassmotrym systemu
ẋ = x + a1( t ) y – a1( t ) + µ F1( t , x , y ) ,
ẏ = a2( t ) y – a2( t ) + µ (y – 1)
k
F2( t , x , y ) ,
hde â2 ≠ 0, k ∈ N, funkcyy F1, F2 lypßycev¥ po x , y v nekotoroj oblasty
D ′′. Dannaq systema ymeet nerehulqrnoe po otnoßenyg k çastotnomu modulg
ee lynejnoho pryblyΩenyq poçty peryodyçeskoe reßenye, kotoroe moΩno po-
stroyt\ metodom posledovatel\n¥x pryblyΩenyj
x ( t , µ ) = lim ( , )( )
m
mx t
→∞
µ , Mod ( x ) = Mod ( F1 ) , y ( t ) = 1,
x t t F x dm m
t
( ) ( )( , ) exp( ) , ( , ),+
∞
= − ( )∫1
1 1µ µ τ τ τ µ τ , x
(0) = 0, m = 0, 1, 2, … .
1. Xejl'DΩ. Kolebanyq v nelynejn¥x systemax. – M.: Myr, 1966. – 230:s.
2. Krasnosel\skyj'M.'A., Burd'V.'Í., Kolesov'G.'S. Nelynejn¥e poçty peryodyçeskye kole-
banyq. – M.: Nauka, 1970. – 352:s.
3. Fink A. M. Almost periodic differential equations // Lect. Notes Math. – 1974. – 377. – 336 p.
4. Boholgbov'N.'N., Mytropol\skyj'G.'A., Samojlenko'A.'M. Metod uskorennoj sxodymosty v
nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka, 1969. – 248:s.
5. Samojlenko'A.'M., Ronto'N.'Y. Çyslenno-analytyçeskye metod¥ yssledovanyq reßenyj
kraev¥x zadaç. – Kyev: Nauk. dumka, 1985. – 224:s.
6. Samojlenko'A.'M. ∏lement¥ matematyçeskoj teoryy mnohoçastotn¥x kolebanyj. – M.:
Nauka, 1987. – 304:s.
7. Bojçuk'A.'A. Konstruktyvn¥e metod¥ analyza kraev¥x zadaç. – Kyev: Nauk. dumka, 1990. –
96:s.
8. Byrgk'H.'Y. Ob odnoj teoreme suwestvovanyq poçty peryodyçeskyx reßenyj nekotor¥x
system nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj s mal¥m parametrom // Dokl. AN SSSR.
– 1954. – 97, #:4. – S.:577 – 579.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1130 A.:K.:DEMENÇUK
9. Bybykov'G.'N. O suwestvovanyy kvazyperyodyçeskyx reßenyj kvazylynejn¥x system //
Prykl. matematyka y mexanyka. – 1995. – 59, v¥p.:1. – S.:21 – 29.
10. Çujko'S.'M. Poçty-peryodyçeskye reßenyq slabonelynejn¥x system v krytyçeskyx slu-
çaqx //Dokl. RAN. – 1998. – 359, #:3. – S.:316 – 318.
11. Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales // Bol.
Fac. Ing. – 1950. – 4, # 1. – P. 37 – 45.
12. Kurcvejl\'Q., Vejvoda'O. O peryodyçeskyx y poçty peryodyçeskyx reßenyqx system ob¥k-
novenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Çexosl. mat. Ωurn. – 1955. – 5, #:3. –
S.:362 – 370.
13. Demençuk'A.'K. O poçty peryodyçeskyx reßenyqx ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x
system // Yzv. AN BSSR. Ser. fyz.-mat. nauk. – 1987. – #:4. – S.:16 – 22.
14. Eruhyn'N.'P. O peryodyçeskyx reßenyqx lynejnoj odnorodnoj system¥ dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj // Dokl. AN BSSR. – 1962. – 6, #:7. – S.:407 – 410.
15. Hrudo'∏. Y., Demençuk'A.'K. O peryodyçeskyx reßenyqx s nesoyzmerym¥my peryodamy ly-
nejn¥x neodnorodn¥x peryodyçeskyx dyfferencyal\n¥x system // Dyfferenc. uravnenyq.
– 1987. – 23, #:3. – S.:409 – 416.
16. Demençuk'A.'K. O kvazyperyodyçeskyx reßenyqx dyfferencyal\n¥x system s lynejnoj
nezavysymost\g nad Q çastotn¥x bazysov reßenyq y pravoj çasty // Tam Ωe. – 1991. – 27,
#:10. – S.:1673 – 1679.
17. Demençuk'A.'K. Ob odnom klasse kvazyperyodyçeskyx reßenyj dyfferencyal\n¥x system
// Dokl. AN Belarusy. – 1992. – 36, #:1. – S.:14 – 17.
18. Demenchuk A. K. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems //
Math. Bohemica. – 2001. – 126, #:1. – P. 221 – 228.
19. Demençuk'A.'K. O poçty peryodyçeskyx slabo nerehulqrn¥x reßenyqx ob¥knovenn¥x
nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x system // Dyfferenc. uravnenyq. – 2002. – 38 , #:8. –
S.:1125 – 1127.
20. Demençuk'A.'K. O suwestvovanyy çastyçno nerehulqrn¥x poçty peryodyçeskyx reßenyj
lynejn¥x dyfferencyal\n¥x system v krytyçeskom sluçae // Yzv. NAN Belarusy. Ser.
fyz.-mat. nauk. – 2003. – #:2. – S.:11 – 16.
Poluçeno 15.03.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
|