O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем

Для слабко нелінійних майже періодичних звичайних диференціальних систем отримано умови існування та запропоновано алгоритми побудови частково нерегулярних майже періодичних розв'язків....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2005
Автор: Деменчук, А.К.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:Український математичний журнал
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165822
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем / А.К. Деменчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1123 – 1130. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-165822
record_format dspace
spelling irk-123456789-1658222020-02-17T01:27:26Z O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем Деменчук, А.К. Короткі повідомлення Для слабко нелінійних майже періодичних звичайних диференціальних систем отримано умови існування та запропоновано алгоритми побудови частково нерегулярних майже періодичних розв'язків. For weakly nonlinear almost periodic ordinary differential systems, we obtain conditions for the existence of partially irregular almost periodic solutions and propose algorithms for their construction. 2005 Article O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем / А.К. Деменчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1123 – 1130. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165822 517.925 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Короткі повідомлення
Короткі повідомлення
spellingShingle Короткі повідомлення
Короткі повідомлення
Деменчук, А.К.
O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем
Український математичний журнал
description Для слабко нелінійних майже періодичних звичайних диференціальних систем отримано умови існування та запропоновано алгоритми побудови частково нерегулярних майже періодичних розв'язків.
format Article
author Деменчук, А.К.
author_facet Деменчук, А.К.
author_sort Деменчук, А.К.
title O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем
title_short O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем
title_full O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем
title_fullStr O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем
title_full_unstemmed O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем
title_sort o частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2005
topic_facet Короткі повідомлення
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165822
citation_txt O частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем / А.К. Деменчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1123 – 1130. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT demenčukak očastičnoneregulârnyhpočtiperiodičeskihrešeniâhslabonelinejnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhsistem
first_indexed 2025-07-14T20:04:48Z
last_indexed 2025-07-14T20:04:48Z
_version_ 1837654069705965568
fulltext K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q UDK 517.925 A.�K.�Demençuk (Yn-t matematyky NAN Belarusy, Mynsk) O ÇASTYÇNO NEREHULQRNÁX POÇTY PERYODYÇESKYX REÍENYQX SLABO NELYNEJNÁX OBÁKNOVENNÁX DYFFERENCYAL|NÁX SYSTEM * For weakly nonlinear almost periodic ordinary differential systems, conditions for existence are obtained and algorithms of the construction of partially irregular almost periodic solutions are suggested. Dlq slabko nelinijnyx majΩe periodyçnyx zvyçajnyx dyferencial\nyx system otrymano umovy isnuvannq ta zaproponovano alhorytmy pobudovy çastkovo nerehulqrnyx majΩe periodyçnyx rozv’qzkiv. 1. Predvarytel\n¥e svedenyq y opredelenyq. Pust\ Rn × m — prostranstvo vewestvenn¥x ( n × m ) -matryc s normoj | ⋅ | , Rn × 1 = Rn, D — kompaktnoe pod- mnoΩestvo Rn. Oboznaçym çerez A P (Rn × m ) prostranstvo poçty peryodyçes- kyx (po Boru) matryçnoznaçn¥x funkcyj h : R → Rn × m, a çerez A P ( D, Rn × m ) prostranstvo funkcyj H : R × D → Rn × m takyx, çto kaΩdaq H ( t , x ) yz πtoho prostranstva qvlqetsq neprer¥vnoj po sovokupnosty peremenn¥x y poçty pe- ryodyçeskoj po t ∈ R ravnomerno otnosytel\no x ∈ D. Otmetym, çto A P (Rn ) , nadelennoe normoj || ||h = sup { | h ( t ) | , t ∈ R} , stanovytsq banaxov¥m prostran- stvom. Dlq h ∈ A P (Rn ) poloΩym lim ( ) T T T h t dt →∞ ∫1 0 = ĥ , h ( t ) – ĥ = h∗ ( t ) . Pod çastotn¥m modulem Mod ( h1, … , hk , H1, … , Hl ) funkcyj hi ∈ A P (Rn ) , i = = 1, k , y Hj ∈ A P ( D, Rn ) , j = 1, l ; k + l ≥ 1, budem ponymat\ naymen\ßug addy- tyvnug hruppu vewestvenn¥x çysel, soderΩawug vse pokazately Fur\e πtyx funkcyj. Budem hovoryt\, çto stolbc¥ P1, … , Pk matryc¥ P ∈ A P ( Rn × m ) ly- nejno nezavysym¥ nad R , esly lynejn¥e kombynacyy πtyx stolbcov s vewest- venn¥my koπffycyentamy toΩdestvenno ravn¥ nulg tohda y tol\ko tohda, kohda vse koπffycyent¥ nulev¥e. Çerez rankcol P oboznaçym stolbcov¥j ranh matryc¥ P ( t ) , t.:e. naybol\ßee çyslo lynejno nezavysym¥x stolbcov πtoj mat- ryc¥. Peryodyçeskye, kvazyperyodyçeskye y poçty peryodyçeskye reßenyq x ( t ) system¥ * V¥polnena v ramkax Hosudarstvennoj prohramm¥ fundamental\n¥x yssledovanyj „Matema- tyçeskye struktur¥” pry çastyçnoj podderΩke Belorusskoho respublykanskoho fonda funda- mental\n¥x yssledovanyj. © A.:K.:DEMENÇUK, 2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1123 1124 A.:K.:DEMENÇUK ẋ = f ( t , x ) , f ∈ A P ( D, Rn ) , (1) v rehulqrnom sluçae, t.:e. kohda Mod ( x ) ⊆ Mod ( f ) , yzuçalys\ vo mnohyx rabo- tax (sm., naprymer, [1 – 10]). Sleduet otmetyt\, çto πffektyvn¥e metod¥ reße- nyq zadaç teoryy kolebanyj b¥ly razrabotan¥ v trudax ukraynskoj ßkol¥, vozhlavlqemoj G. A. Mytropol\skym y A. M. Samojlenko (sm., naprymer, [4 – 7]). Nerehulqrn¥j Ωe sluçaj, kohda ukazannoe vklgçenye çastotn¥x modulej ne:v¥polnqetsq, dlytel\noe vremq ostavalsq neyssledovann¥m. Vperv¥e voz- moΩnost\ eho realyzacyy b¥la ustanovlena dlq peryodyçeskoho sluçaq v [11] y dlq poçty peryodyçeskoho v [12]. Opredelenye 1. Poçty peryodyçeskoe reßenye x t( ) system¥ (1) budem naz¥vat\ nerehulqrn¥m, esly Mod ( x ) ∩ Mod ( f ) = {0}. V rabote [13] poluçen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq nerehulqrn¥x poçty peryodyçeskyx reßenyj system¥ (1). Analohyçn¥e vopro- s¥ dlq peryodyçeskyx system rassmatryvalys\ v [14, 15]. V πtom sluçae uslo- vye nerehulqrnosty oznaçaet nesoyzmerymost\ peryodov reßenyq y samoj sys- tem¥. Kvazyperyodyçeskyj sluçaj yzuçalsq v [16]. Sleduet otmetyt\, çto ta- koho roda kolebanyq pry opredelenn¥x naçal\n¥x dann¥x voznykagt, na- prymer, v systeme dvux upruho svqzann¥x maqtnykov s peryodyçesky menqg- wejsq Ωestkost\g. V rabote [17] pokazano, çto nekotor¥e klass¥ kvazyperyodyçeskyx system dopuskagt kvazyperyodyçeskye reßenyq, çastotn¥j bazys kotor¥x soderΩyt lyß\ nekotor¥e çastot¥ pravoj çasty. Vpolne estestvenno predpoloΩyt\, çto podobnoe qvlenye ymeet mesto v poçty peryodyçeskom sluçae. Pust\ çastotn¥j modul\ pravoj çasty system¥ (1) raspadaetsq na dva podmodulq, t.:e. Mod ( f ) = = L1 ⊕ L2. Opredelenye 2. Poçty peryodyçeskoe reßenye x t( ) system¥ (1) budem na- z¥vat\ nerehulqrn¥m po otnoßenyg k L1 ( yly çastyçno nerehulqrn¥m), esly ( Mod ( x ) + L2) ∩ L1 = {0}. V rabote [18] yzuçalys\ vopros¥ suwestvovanyq çastyçno nerehulqrn¥x poçty peryodyçeskyx reßenyj system¥ (1). Opredelenye 3. Poçty peryodyçeskoe reßenye x t( ) system¥ (1) budem naz¥vat\ slabo L1 -nerehulqrn¥m (yly slabo nerehulqrn¥m), esly Mod ( x ) ⊆ ⊆ L2. V rabote [19] pryveden¥ uslovyq suwestvovanyq takyx reßenyj system¥ (1). 2. Postanovka zadaçy. Budem rassmatryvat\ slabo nelynejnug systemu ẋ = A ( t ) x + f ( t ) + µ F ( t , x ) , (2) hde A ( t ) ∈ A P ( Rn × n ) , f ( t ) ∈ A P ( Rn ) , F ( t , x ) ∈ A P ( D, Rn ) , µ — dostatoçno mal¥j vewestvenn¥j parametr. System¥ vyda (2) s postoqnnoj lybo peryody- çeskoj matrycej A yssledovalys\ v [1, 7 – 10]. V rabote [3] yzuçalas\ systema (2), u kotoroj sootvetstvugwee lynejnoe pryblyΩenye udovletvorqet uslovyg πksponencyal\noj dyxotomyy. Sleduet otmetyt\, çto rassmatryvaem¥e v πtyx rabotax reßenyq ne:qvlqgt- sq çastyçno nerehulqrn¥my v sm¥sle opredelenyq 2. V svqzy s πtym voznykaet zadaça: poluçyt\ uslovyq suwestvovanyq y ukazat\ alhorytm¥ postroenyq ças- tyçno nerehulqrn¥x poçty peryodyçeskyx reßenyj system¥ (2). 3. Nerehulqrnost\ po otnoßenyg k çastotnomu modulg matryc¥ koπf- fycyentov system¥ lynejnoho pryblyΩenyq. Dopustym, çto Mod ( f , F ) ∩ Mod ( A ) = {0}. (3) V¥qsnym uslovyq suwestvovanyq poçty peryodyçeskyx reßenyj x ( t ) system¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 O ÇASTYÇNO NEREHULQRNÁX POÇTY PERYODYÇESKYX REÍENYQX … 1125 (2), nerehulqrn¥x po otnoßenyg k Mod ( A ) , t.:e. takyx, çto ( Mod ( x ) + + Mod ( f , F ) ) ∩ Mod ( A ) = {0}. V dal\nejßem nam ponadobytsq v¥tekagwaq yz [18] lemma. Lemma. Pust\ P ∈ A P ( Rn × m ) . Dlq toho çtob¥ systema P ( t ) z = 0 ymela netryvyal\noe nerehulqrnoe poçty peryodyçeskoe reßenye z ( t ) , t.'e. takoe, çto Mod ( x ) ∩ Mod ( P ) = {0}, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ v¥polnqlos\ uslovye rankcol ( P ) < n . Yz [18] sleduet, çto systema (2) ymeet trebuemoe poçty peryodyçeskoe reße- nye tohda y tol\ko tohda, kohda πto reßenye udovletvorqet systeme ẋ = Âx + f ( t ) + µ F ( t , x ) , A∗ ( t ) x = 0. (4) Poskol\ku Mod ( A∗ ) = Mod ( A ) , to v sylu (3) funkcyq x ( t ) qvlqetsq nere- hulqrn¥m reßenyem vtoroj system¥ yz (4). Tohda yz lemm¥ sleduet, çto esly vse stolbc¥ matryc¥ A∗ ( t ) lynejno nezavysym¥, to x ( t ) ≡ 0. Poπtomu pred- poloΩym, çto rankcol ( A∗ ) = n1 < n . (5) V sylu rezul\tatov rabot¥ [20] najdetsq vewestvennaq neosobennaq ( n × n ) - matryca S takaq, çto preobrazovanye x = S y (6) pryvodyt (4) k systeme ẏ = B y + h ( t ) + µ H ( t , y ) , B∗ ( t ) y = 0, (7) hde B = S AS−1 ˆ , h ( t ) = S –1 f ( t ) , H ( t , y ) = S –1F ( t , S y ) , B∗ ( t ) = A∗ ( t ) S, pryçem perv¥e k = n – n1 stolbcov matryc¥ B∗ ( t ) nulev¥e, a ostal\n¥e n1 stolbcov lynejno nezavysym¥. Poslednee obstoqtel\stvo sohlasno lemme oznaçaet, çto çastyçno nerehulqrnoe poçty peryodyçeskoe reßenye y ( t ) = S –1 x ( t ) system¥ (7) ymeet sledugwug strukturu: y ( t ) = ( )…˜( ), , ,y t 0 0 , ˜( )y t = ( y1, … , yk ) . Sle- dovatel\no, systema (7) prymet vyd ˜̇y = B yk k, ˜ + h (1) ( t ) + µH t y( ) , ˜1 ( ), 0 = B yn k k− , ˜ + h (2) ( t ) + µH t y( ) , ˜2 ( ) , (8) hde Bk , k , Bn – k , k — sootvetstvenno lev¥j verxnyj y lev¥j nyΩnyj bloky mat- ryc¥ B (nyΩnye yndeks¥ ukaz¥vagt razmernost\); col [ h (1), h (2) ] = h ( t ), col [ H (1), H (2) ] = H t y( )…, ˜ , , ,0 0 . PredpoloΩym, çto sobstvenn¥e çysla λ1, … , λk matryc¥ Bk , k udovletvo- rqgt uslovyg Re λj ≠ 0, j = 1, k . (9) Sohlasno [1, s. 157] uslovye (9) obespeçyvaet suwestvovanye edynstvennoho poç- ty peryodyçeskoho reßenyq ˜ ( )( )y t0 = G t h d( ) ( )( )− − ∞ + ∞ ∫ τ τ τ1 (10) lynejnoj system¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1126 A.:K.:DEMENÇUK ˜̇y = B yk k, ˜ + h (1) ( t ) , (11) hde G( t ) — funkcyq Hryna sootvetstvugwej odnorodnoj system¥, pryçem | |˜ ( )( )y t0 ≤ M0 < ∞ . (12) Yz [3, s. 91] sleduet, çto Mod( )ỹ = Mod ( h (1) ) . Dopustym, çto vektor-funkcyq H t y( ) , ˜1 ( ) udovletvorqet uslovyg Lypßyca po ỹ v oblasty D̃ , soderΩawej zam¥kanye sootvetstvugwej (10) traektoryy H t y H t y L y y( ) ( ), ˜ , ˜ ˜ ˜1 1( ) ( )′′ − ′ ≤ ′′ − ′ , ˜ , ˜ ˜ ˜ , ˜ ,′ ′′ ∈ = ∈ ≤ >{ }y y D y y MkR ρ ρ 2 0 , (13) hde M0 opredelqetsq (12) y L = L (ρ) . Tohda yz [8] sleduet suwestvovanye poloΩytel\noho µ0 = µ0(ρ) takoho, çto dlq | µ | < µ0 systema ˜̇y = B t yk k, ( ) ˜ + h (1) ( t ) + µH t y( ) , ˜1 ( ) (14) ymeet v oblasty D̃ edynstvennoe poçty peryodyçeskoe reßenye ˜( , )y t µ . Poka- Ωem, çto Mod( )ỹ ⊆ Mod ( h (1), H (1) ) . (15) Dlq πtoho otmetym, çto lgboj obwyj ε -poçty peryod τ funkcyj h (1) ( t ) y H t y( ) , ˜1 ( ) pry | µ | < µ0 qvlqetsq ε1 -poçty peryodom dlq reßenyq ˜ ( , )y t µ . ∏to oznaçaet, çto dlq lgboho ε > 0 suwestvuet ε1 > 0 takoe, çto yz | h (1) ( t + τ ) – – h (1) ( t ) | < ε y H t y H t y( ) ( ), ˜ , ˜1 1( ) ( )+ −τ < ε sleduet | |+ −˜( , ) ˜( , )y t y tτ µ µ < ε1, t.:e. mnoΩestvo poçty peryodov funkcyj h (1) ( t ) y H (1) ( t , µ ) soderΩytsq vo mnoΩestve poçty peryodov reßenyq ˜( , )y t µ system¥ (14). Tohda yz sootnoße- nyq meΩdu poçty peryodamy y pokazatelqmy Fur\e dlq poçty peryodyçeskyx funkcyj [3, s. 61] v¥tekaet (15). Sleduq [8], poçty peryodyçeskoe reßenye ˜( , )y t µ system¥ (14) moΩno najty metodom posledovatel\n¥x pryblyΩenyj ˜( , )y t µ = lim ˜ ( , )( ) m my t →∞ µ , (16) hde v kaçestve nulevoho pryblyΩenyq ˜ ( )( )y t0 yspol\zuetsq reßenye (10) system¥ (11), a ˜ ( , )( )y tm+1 µ = G t h H y dm( ) ( ) , ˜ ( , )( ) ( ) ( )− +( )( ) − ∞ + ∞ ∫ τ τ µ τ τ µ τ1 1 , m = 0, 1, 2, … . (17) Zametym, çto (16) budet udovletvorqt\ vsej systeme (8), esly v¥polnqetsq toΩdestvo B y tn k k− , ˜( , )µ + h (2) ( t ) + µ µH t y t( ) , ˜( , )2 ( ) ≡ 0. (18) Pust\ toΩdestvo (18) ymeet mesto. Tohda s uçetom struktur¥ y ( t ) y zamen¥ (6) naxodym poçty peryodyçeskoe reßenye system¥ (4) x ( t ) = S y tcol[ ]…˜( , ), , ,µ 0 0 , Mod ( x ) = Mod( )ỹ , (19) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 O ÇASTYÇNO NEREHULQRNÁX POÇTY PERYODYÇESKYX REÍENYQX … 1127 hde ˜( )y t opredelqetsq posredstvom (16), (17). Yz (4) sleduet, çto (19) udovle- tvorqet y systeme (2). Poskol\ku Mod ( h (1), H (1) ) ⊆ Mod ( h , H ) = Mod ( f , F ) y Mod ( x ) = Mod( )ỹ , na osnovanyy (15) ymeem Mod ( x ) ⊆ Mod ( f , F ) . V sylu (3) πto oznaçaet, çto poçty peryodyçeskoe reßenye (19) system¥ (2) qvlqetsq slabo nerehulqrn¥m. Pry v¥polnenyy uslovyj (3), (5), (9), (13) y (18) v oblasty D ′ = { x ∈ Rn, | x | ≤ ≤ ρ′, ρ′ = | S | ρ } funkcyq (19) budet edynstvenn¥m slabo Mod ( A ) -nerehulqr- n¥m reßenyem system¥ (2). Dejstvytel\no, esly b¥ systema (2) v D ′ ymela ewe odno takoho roda poçty peryodyçeskoe reßenye, to sohlasno [18] systema (14) v oblasty D̃ ymela b¥ dva poçty peryodyçeskyx reßenyq, çto protyvo- reçyt [1, s. 158]. Ytak, spravedlyva sledugwaq teorema. Teorema 1. Pust\ dlq system¥ (2) v¥polnen¥ uslovyq (3), (9), (13). Tohda: 1) esly v oblasty D ′ systema (2) ymeet nerehulqrnoe po otnoßenyg k Mod ( A ) poçty peryodyçeskoe reßenye, to ono edynstvennoe, slabo nerehulqr- noe y ymeet vyd (19); 2) systema (2) ymeet reßenye:(19) tohda y tol\ko tohda, kohda dlq stolb- covoho ranha matryc¥ A∗ ( t ) spravedlyva ocenka (5) y verno toΩdestvo (18). Sledstvye. ToΩdestvo (18) zavedomo v¥polnqetsq, naprymer, v sluçae nu- lev¥x blokov Bn – k , k , h ( 2), H (2). 4. Nerehulqrnost\ po otnoßenyg k çastotnomu modulg system¥ ly- nejnoho pryblyΩenyq. Perejdem k yssledovanyg voprosov suwestvovanyq nerehulqrn¥x po otnoßenyg k Mod ( A , f ) poçty peryodyçeskyx reßenyj sys- tem¥ (2). Dlq πtoho predpoloΩym, çto Mod ( A , f ) ∩ Mod ( F ) = {0}, (20) y narqdu s ysxodnoj budem rassmatryvat\ systemu ẋ = Âx + f̂ + µ F ( t , x ) . (21) Dopustym, çto sobstvenn¥e çysla λ1, … , λn matryc¥  ymegt nenulev¥e vewestvenn¥e çasty Re λj ≠ 0, j = 1, n . (22) V πtom sluçae matryca  nev¥roΩdennaq. Tohda pry µ = 0 systema (21) ymeet edynstvennoe peryodyçeskoe reßenye, kotoroe qvlqetsq postoqnn¥m x (0)( t ) = − −ˆ ˆA f1 , | x ( 0) | ≤ M ∗. (23) PredpoloΩym, çto vektor-funkcyq F ( t , x ) udovletvorqet uslovyg Lyp- ßyca po x F t x F t x( ) ( )′′ − ′, , ≤ N x x′′ − ′ , ′ ′′ ∈ ′′x x D, = x x Mn∈ ≤ ′′ ′′ >{ }| | ∗R , ,ρ ρ 2 , (24) hde N = N (ρ′′ ) . Sohlasno [8] pry v¥polnenyy uslovyj (22), (24) najdetsq µ∗ = = µ (ρ′′ ) > 0 takoe, çto pry | µ | < µ∗ systema (21) v oblasty D ′′ ymeet edyn- stvennoe poçty peryodyçeskoe reßenye x ( t , µ ) . ∏to reßenye naxodytsq meto- dom posledovatel\n¥x pryblyΩenyj, hde za nulevoe pryblyΩenye x (0)( t ) be- retsq reßenye (23) sootvetstvugwej (21) lynejnoj system¥, a ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1128 A.:K.:DEMENÇUK x tm( )( , )+1 µ = x (0) + µ τ τ τ µ τG t F x dm( ) , ( , )( )− ( ) − ∞ + ∞ ∫ , m = 0, 1, 2, … . (25) Kak y v pred¥duwem punkte, moΩno pokazat\, çto Mod ( x ) ⊆ Mod ( F ) . Spravedlyva sledugwaq teorema. Teorema 2. Pust\ dlq system¥ ( 2 ) v¥polnen¥ uslovyq (20), (22), (24). Tohda: 1) esly v oblasty D ′′ systema (2) ymeet nerehulqrnoe po otnoßenyg k Mod ( A , f ) poçty peryodyçeskoe reßenye x ( t , µ ) , to ono edynstvennoe, slabo nerehulqrnoe y moΩet b¥t\ postroeno metodom posledovatel\n¥x prybly- Ωenyj (25); 2) systema (2) ymeet reßenye x ( t , µ ) tohda y tol\ko tohda, kohda spra- vedlyvo toΩdestvo A∗ ( t ) x ( t , µ ) + f∗ ( t ) ≡ 0, t ∈ R. (26) Dokazatel\stvo. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq (20), (22), (24) y systema (2) ymeet v oblasty D ′′ nerehulqrnoe po otnoßenyg k Mod ( A , f ) poçty peryo- dyçeskoe reßenye. V sylu [18] πto reßenye udovletvorqet systeme (21). Kak otmeçeno ranee, uslovye (22), (24) obespeçyvaet pry | µ | < µ∗ sxodymost\ v ob- lasty D ′′ posledovatel\n¥x pryblyΩenyj (25) k edynstvennomu poçty peryo- dyçeskomu reßenyg x ( t , µ ) system¥ (21), pry πtom çastotn¥j modul\ x ( t , µ ) soderΩytsq v Mod ( F ) . Poπtomu nerehulqrnoe po otnoßenyg k Mod ( A , f ) poçty peryodyçeskoe reßenye system¥ (2) sovpadaet s x ( t , µ ) y qvlqetsq slabo nerehulqrn¥m. Sohlasno [18] funkcyq x ( t , µ ) udovletvorqet takΩe systeme A∗ ( t ) x + f∗ ( t ) = 0, otkuda v¥tekaet spravedlyvost\ toΩdestva (26). PokaΩem, çto verno obratnoe. Dejstvytel\no, pry v¥polnenyy uslovyj (22), (24) systema (21) ymeet dlq | µ | < µ∗ edynstvennoe v oblasty D ′′ poçty peryodyçeskoe reßenye x ( t , µ ) , pryçem Mod ( x ) ⊆ Mod ( F ) . Poπtomu ˙( , )x t µ ≡ ≡ ˆ ( , ) ˆAx t fµ + + µ F ( t , x ( t , µ ) ) . S druhoj storon¥, yz (26) sleduet ˆ ( , ) ˆAx t fµ + ≡ ≡ A ( t ) x ( t , µ ) + f ( t ) . Yz poslednyx dvux toΩdestv ymeem ˙( , )x t µ ≡ A ( t ) x ( t , µ ) + + f ( t ) + µ F ( t , x ( t , µ ) ) , t.:e. x ( t , µ ) — poçty peryodyçeskoe reßenye system¥ (2). Tot fakt, çto Mod ( x ) ⊆ Mod ( F ) , oznaçaet, çto reßenye x ( t , µ ) qvlqetsq slabo nerehulqrn¥m. Prymer 1. Rassmotrym systemu ẋ = x + a1( t ) y + f1 ( t ) + µ ( F1( t , x , y ) + α x 2) , ẏ = a2( t ) y + µ F2( t , x , y ) , hde aj ∈ A P ( R ) , Fj ∈ A P ( D, R ) , Fj ( t , x , 0 ) ≡ 0, j = 1, 2, pryçem Mod ( a1, a2 ) ∩ Mod ( f , F1, F2 ) = {0}. Pust\ α = 0. Dlq naxoΩdenyq nerehulqrn¥x po otnoßenyg k çastotnomu modulg matryc¥ koπffycyentov system¥ lynejnoho pryblyΩenyq poçty peryodyçeskyx reßenyj postroym systemu ẋ = x + â y1 + f1 ( t ) + µ F1( t , x , y ) , ẏ = â y2 + µ F2( t , x , y ) , ( )−a t a yj j( ) ˆ = 0, j = 1, 2. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 O ÇASTYÇNO NEREHULQRNÁX POÇTY PERYODYÇESKYX REÍENYQX … 1129 Yz posledneho sootnoßenyq v sylu nerehulqrnosty yskomoho reßenyq po otno- ßenyg k Mod ( a1, a2 ) sleduet y ≡ 0. Poπtomu poluçym ẋ = x + f1 ( t ) , y = 0. ∏ta systema ymeet poçty peryodyçeskoe reßenye x ( t ) = exp( ) ( )t f d t − + ∞ ∫ τ τ τ1 , y = 0, Mod ( x ) = Mod ( f1 ) , kotoroe na osnovanyy teorem¥ 1 budet nerehulqrn¥m po otnoßenyg k Mod ( a1, a2 ) reßenyem ysxodnoj system¥. Esly v dannom prymere vzqt\ α = 1 y f ( t ) = cos t – sin t , to yskomoe reßenye qvlqetsq 2π -peryodyçeskym y naxodytsq sledugwym obrazom: x ( t , µ ) = lim ( , )( ) m mx t →∞ µ , y ( t ) = 0, x t x t t x dm m t ( ) ( ) ( )( , ) ( ) exp( ) ( , )+ ∞ = + − ( )∫1 0 2 µ µ τ τ µ τ ( )= < = …x t m( ) sin , , , , , ,0 0 25 0 1 2µ . V çastnosty, x (1) ( t , µ ) = sin t + ( 0,5 + 0,2 sin 2t – 0,1 cos 2t ) µ . Prymer 2. Pust\ aj ∈ A P ( R ) , Fj ∈ A P ( D, R ) , j = 1, 2, takye, çto Mod ( a1, a2 ) ∩ Mod ( F1, F2 ) = {0}. Rassmotrym systemu ẋ = x + a1( t ) y – a1( t ) + µ F1( t , x , y ) , ẏ = a2( t ) y – a2( t ) + µ (y – 1) k F2( t , x , y ) , hde â2 ≠ 0, k ∈ N, funkcyy F1, F2 lypßycev¥ po x , y v nekotoroj oblasty D ′′. Dannaq systema ymeet nerehulqrnoe po otnoßenyg k çastotnomu modulg ee lynejnoho pryblyΩenyq poçty peryodyçeskoe reßenye, kotoroe moΩno po- stroyt\ metodom posledovatel\n¥x pryblyΩenyj x ( t , µ ) = lim ( , )( ) m mx t →∞ µ , Mod ( x ) = Mod ( F1 ) , y ( t ) = 1, x t t F x dm m t ( ) ( )( , ) exp( ) , ( , ),+ ∞ = − ( )∫1 1 1µ µ τ τ τ µ τ , x (0) = 0, m = 0, 1, 2, … . 1. Xejl'DΩ. Kolebanyq v nelynejn¥x systemax. – M.: Myr, 1966. – 230:s. 2. Krasnosel\skyj'M.'A., Burd'V.'Í., Kolesov'G.'S. Nelynejn¥e poçty peryodyçeskye kole- banyq. – M.: Nauka, 1970. – 352:s. 3. Fink A. M. Almost periodic differential equations // Lect. Notes Math. – 1974. – 377. – 336 p. 4. Boholgbov'N.'N., Mytropol\skyj'G.'A., Samojlenko'A.'M. Metod uskorennoj sxodymosty v nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka, 1969. – 248:s. 5. Samojlenko'A.'M., Ronto'N.'Y. Çyslenno-analytyçeskye metod¥ yssledovanyq reßenyj kraev¥x zadaç. – Kyev: Nauk. dumka, 1985. – 224:s. 6. Samojlenko'A.'M. ∏lement¥ matematyçeskoj teoryy mnohoçastotn¥x kolebanyj. – M.: Nauka, 1987. – 304:s. 7. Bojçuk'A.'A. Konstruktyvn¥e metod¥ analyza kraev¥x zadaç. – Kyev: Nauk. dumka, 1990. – 96:s. 8. Byrgk'H.'Y. Ob odnoj teoreme suwestvovanyq poçty peryodyçeskyx reßenyj nekotor¥x system nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj s mal¥m parametrom // Dokl. AN SSSR. – 1954. – 97, #:4. – S.:577 – 579. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1130 A.:K.:DEMENÇUK 9. Bybykov'G.'N. O suwestvovanyy kvazyperyodyçeskyx reßenyj kvazylynejn¥x system // Prykl. matematyka y mexanyka. – 1995. – 59, v¥p.:1. – S.:21 – 29. 10. Çujko'S.'M. Poçty-peryodyçeskye reßenyq slabonelynejn¥x system v krytyçeskyx slu- çaqx //Dokl. RAN. – 1998. – 359, #:3. – S.:316 – 318. 11. Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales // Bol. Fac. Ing. – 1950. – 4, # 1. – P. 37 – 45. 12. Kurcvejl\'Q., Vejvoda'O. O peryodyçeskyx y poçty peryodyçeskyx reßenyqx system ob¥k- novenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Çexosl. mat. Ωurn. – 1955. – 5, #:3. – S.:362 – 370. 13. Demençuk'A.'K. O poçty peryodyçeskyx reßenyqx ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x system // Yzv. AN BSSR. Ser. fyz.-mat. nauk. – 1987. – #:4. – S.:16 – 22. 14. Eruhyn'N.'P. O peryodyçeskyx reßenyqx lynejnoj odnorodnoj system¥ dyfferencyal\- n¥x uravnenyj // Dokl. AN BSSR. – 1962. – 6, #:7. – S.:407 – 410. 15. Hrudo'∏. Y., Demençuk'A.'K. O peryodyçeskyx reßenyqx s nesoyzmerym¥my peryodamy ly- nejn¥x neodnorodn¥x peryodyçeskyx dyfferencyal\n¥x system // Dyfferenc. uravnenyq. – 1987. – 23, #:3. – S.:409 – 416. 16. Demençuk'A.'K. O kvazyperyodyçeskyx reßenyqx dyfferencyal\n¥x system s lynejnoj nezavysymost\g nad Q çastotn¥x bazysov reßenyq y pravoj çasty // Tam Ωe. – 1991. – 27, #:10. – S.:1673 – 1679. 17. Demençuk'A.'K. Ob odnom klasse kvazyperyodyçeskyx reßenyj dyfferencyal\n¥x system // Dokl. AN Belarusy. – 1992. – 36, #:1. – S.:14 – 17. 18. Demenchuk A. K. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems // Math. Bohemica. – 2001. – 126, #:1. – P. 221 – 228. 19. Demençuk'A.'K. O poçty peryodyçeskyx slabo nerehulqrn¥x reßenyqx ob¥knovenn¥x nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x system // Dyfferenc. uravnenyq. – 2002. – 38 , #:8. – S.:1125 – 1127. 20. Demençuk'A.'K. O suwestvovanyy çastyçno nerehulqrn¥x poçty peryodyçeskyx reßenyj lynejn¥x dyfferencyal\n¥x system v krytyçeskom sluçae // Yzv. NAN Belarusy. Ser. fyz.-mat. nauk. – 2003. – #:2. – S.:11 – 16. Poluçeno 15.03.2004 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8