Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды

Методом оберненої задачі розсіяння досліджується початково-крайова задача з нульовою крайовою умовою для ланцюжка Тоди. Доведено існування та єдиність швидкоспадного розв'язку. Вказано клас початкових даних, який забезпечує існування швидкоспадного розв'язку....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Ханмамедов, А.Х.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165825
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды / А.Х. Ханмамедов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1144 – 1152. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165825
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1658252020-02-17T01:27:12Z Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды Ханмамедов, А.Х. Короткі повідомлення Методом оберненої задачі розсіяння досліджується початково-крайова задача з нульовою крайовою умовою для ланцюжка Тоди. Доведено існування та єдиність швидкоспадного розв'язку. Вказано клас початкових даних, який забезпечує існування швидкоспадного розв'язку. Using the inverse scattering transform, we investigate an initial boundary-value problem with zero boundary condition for the Toda lattice. We prove the existence and uniqueness of a rapidly decreasing solution and determine a class of initial data that guarantees the existence of a rapidly decreasing solution. 2005 Article Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды / А.Х. Ханмамедов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1144 – 1152. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165825 530.1 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Ханмамедов, А.Х. Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды Український математичний журнал
description	Методом оберненої задачі розсіяння досліджується початково-крайова задача з нульовою крайовою умовою для ланцюжка Тоди. Доведено існування та єдиність швидкоспадного розв'язку. Вказано клас початкових даних, який забезпечує існування швидкоспадного розв'язку.
format	Article
author	Ханмамедов, А.Х.
author_facet	Ханмамедов, А.Х.
author_sort	Ханмамедов, А.Х.
title	Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды
title_short	Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды
title_full	Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды
title_fullStr	Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды
title_full_unstemmed	Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды
title_sort	быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки тоды
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165825
citation_txt	Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды / А.Х. Ханмамедов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 8. — С. 1144 – 1152. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT hanmamedovah bystroubyvaûŝeerešenienačalʹnokraevojzadačidlâcepočkitody
first_indexed	2025-07-14T20:05:02Z
last_indexed	2025-07-14T20:05:02Z
_version_	1837654084005396480
fulltext	UDK 530.1 Ah. X. Xanmamedov (Bakyn. un-t, AzerbajdΩan) BÁSTROUBÁVAGWEE REÍENYE NAÇAL\|NO-KRAEVOJ ZADAÇY DLQ CEPOÇKY TODÁ By using the method of inverse scattering problem, we investigate an initial boundary-value problem with zero boundary condition for the Toda lattice. We prove the existence and uniqueness of a rapidly decreasing solution. We determine a class of initial data which guarantees the existence of rapidly decreasing solution. Metodom oberneno] zadaçi rozsiqnnq doslidΩu[t\sq poçatkovo-krajova zadaça z nul\ovog kra- jovog umovog dlq lancgΩka Tody. Dovedeno isnuvannq ta [dynist\ ßvydkospadnoho rozv’qzku. Vkazano klas poçatkovyx danyx, qkyj zabezpeçu[ isnuvannq ßvydkospadnoho rozv’qzku. Vvedenye. Dlq posledovatel\nostej an = an ( t ) > 0, bn = bn ( t ) , n ≥ 1, vewe- stvennoznaçn¥x funkcyj an , bn ∈ C( )[ , )1 0 ∞ rassmotrym naçal\no-kraevug za- daçu dlq cepoçky Tod¥ ˙ ( ), , ˙ , , , , a a b b d dt b a a n n n n n n n n = − ⋅ = = − = … + − 1 2 1 2 1 1 2 2 (1) an ( 0 ) = ân, bn ( 0 ) = b̂n , (2) a0 = 0. (3) V rabote [1] predloΩen sposob yntehryrovanyq zadaçy (1) – (3), osnov¥vag- wyjsq na obratnoj zadaçe po spektral\noj funkcyy. Tam Ωe ustanovleno su- westvovanye reßenyq v klasse ohranyçenn¥x lokal\no ravnomerno po t posle- dovatel\nostej an , bn . S druhoj storon¥, v rabotax [2, 3] metodom obratnoj za- daçy rasseqnyq (MOZR) poluçena sxema postroenyq b¥stroub¥vagweho reße- nyq zadaçy Koßy dlq cepoçky Tod¥, a v rabote [4] ustanovlen¥ formul¥ dlq naxoΩdenyq b¥stroub¥vagweho reßenyq nekotoroj naçal\no-kraevoj zadaçy dlq lenhmgrovskoj cepoçky. Odnako v πtyx rabotax predpolahaetsq, çto b¥- stroub¥vagwye reßenyq suwestvugt y naçal\n¥e dann¥e ub¥vagt dostatoçno b¥stro. Vmeste s tem vopros suwestvovanyq b¥stroub¥vagweho reßenyq os- talsq otkr¥t¥m. Reßenye an ( t ), b n ( t ) zadaçy (1) – (3) nazovem b¥stroub¥vagwym, esly an ( t ) – 1 y bn — b¥stroub¥vagwye funkcyy, t. e. udovletvorqgt uslovyg sup ( ) 0 1 ≤ ≤t T Q t < ∞ , hde Qr ( t ) = n r n nn a t b t = ∞ ∑ − +( ) 1 1( ) ( ) , r = 1 ( yly r = 3 ) . V nastoqwej rabote s pomow\g MOZR dokazano suwestvovanye b¥stroub¥- vagweho reßenyq zadaçy (1) – (3). Krome toho, ukazan bolee ßyrokyj klass na- çal\n¥x dann¥x, obespeçyvagwyx suwestvovanye takoho reßenyq. Rassmotre- nye naçal\no-kraevoj zadaçy svqzano s tem, çto s pomow\g MOZR v obwem slu- çae naçal\no-kraevug zadaçu dlq nelynejn¥x uravnenyj ne udaetsq reßyt\ stol\ Ωe πffektyvno, kak zadaçu Koßy (sm. [1, 5]). Osnovn¥m rezul\tatom dannoj rabot¥ qvlqetsq sledugwaq teorema. Teorema(1. B¥stroub¥vagwee reßenye zadaçy (1) – (3) suwestvuet y edyn- stvenno, esly naçal\n¥e dann¥e udovletvorqgt uslovyg Q3 ( 0 ) < ∞ . 1. Predvarytel\n¥e svedenyq. V πtom punkte m¥ sformulyruem nekoto- r¥e vspomohatel\n¥e fakt¥, mnohye yz kotor¥x soderΩatsq v [6]. Rassmotrym hranyçnug zadaçu © Ah. X. XANMAMEDOV, 2005 1144 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 BÁSTROUBÁVAGWEE REÍENYE NAÇAL\|NO-KRAEVOJ ZADAÇY … 1145 ˆ ˆ ˆa y b y a yn n n n n n− − ++ +1 1 1 = λ yn , â0 = 1, n = 1, 2, … , (4) y0 = 0, (5) hde predpolahaetsq, çto Q1 ( 0 ) < ∞ . V uravnenyy (4) poloΩym λ = 2 cos z, z = = ξ + i τ . Pry Im z ≥ 0 opredelym reßenyq fn ( z ) typa Josta uravnenyq (4), po- loΩyv lim ( ) n n inzf z e →∞ − = 1. Takoe reßenye suwestvuet y opredelqetsq odno- znaçno. Spravedlyvo [6] predstavlenye çerez operator preobrazovanyq fn ( z ) = αn inz m nm imze A e1 1 +    = ∞ ∑ , (6) pryçem αn = 1 + o ( 1 ) , n → ∞ , An m = O a b k n m k k = + ∞ ∑ − +( )   [ / ] ˆ ˆ 2 1 , n + m → ∞ , hde [ x ] — celaq çast\ x. Velyçyn¥ αn , An m y koπffycyent¥ ân, b̂n uravnenyq (4) svqzan¥ sootno- ßenyqmy b̂n = A An n1 1 1− − , , ân = α α n n +1 , ân 2 = 1 2 1 2 1+ − −−A A b An n n n, ˆ , (7) ˆ ˆ , , , ,a A A b A A An n m nm n n m n m n m 2 1 1 1 2 2+ + − + +− + + − = 0. (8) Çerez ϕn = ϕn ( z ) oboznaçym reßenye uravnenyq (4), udovletvorqgwee us- lovyqm ϕ0 = 0, ϕ1 = 1. Tohda [6] verno sootnoßenye – 2i nsin ( )ξϕ ξ = f f f fn n0 0( ) ( ) ( ) ( )ξ ξ ξ ξ− − − , ξ π≠ k , k = 0, ± 1, ± 2, . (9) Funkcyq f0 ( z ) rehulqrna v poluploskosty Im z ≥ 0 y tam v polupolose Π = { / / }: ,z i= + − ≤ ≤ >ξ τ π ξ π τ2 3 2 0 moΩet ymet\ tol\ko koneçnoe çyslo prost¥x nulej v toçkax z ik k= τ , k = = 1, … , N1 , z ik k= +π τ , k = N1 + 1, … , N (sm. [6]). Hranyçnaq zadaça (4), (5) poroΩdaet v prostranstve l2 1( , )∞ ohranyçenn¥j samosoprqΩenn¥j operator L̂ . Pry πtom sobstvenn¥e znaçenyq operatora L̂ qvlqgtsq prost¥my y sovpa- dagt s toçkamy λ j jz= 2cos , j = 1, … , N. Vvedem oboznaçenyq S ( ξ ) = f f 0 0 ( ) ( ) − ξ ξ , M j −2 = n n jf z = ∞ ∑ 1 2( ), j = 1, … , N. Kak pokazano v [6], vektor¥ { }( )un ξ 1 ∞ , { }( )u zn j 1 ∞ , opredelenn¥e po formulam un( )ξ = f S fn n( ) ( ) ( )− −ξ ξ ξ , 0 ≤ ξ ≤ π , u zn j( ) = M f zj n j( ), j = 1, … , N, obrazugt poln¥j nabor normyrovann¥x sobstvenn¥x vektorov operatora L̂ , t. e. ymeet mesto formula ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1146 Ah. X. XANMAMEDOV j N n j m j n mu z u z u u d = ∑ ∫+ 1 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) π ξ ξ ξ π = δnm , (10) hde δnm — symvol Kronekera. Nabor velyçyn { ( ) }; ; , , ,S z M j Nj jξ > = …0 1 nazovem dann¥my rasseqnyq dlq zadaçy (4), (5). V [6] ustanovlen¥ xarakterystyçeskye svojstva dann¥x ras- seqnyq, pozvolqgwye po nym vosstanovyt\ koπffycyent¥ ân, b̂n uravnenyq (4). PoloΩym Fn = j N j inz inM e S e dj = − ∑ ∫− 1 2 1 2π ξ ξ π π ξ( ) . (11) Spravedlyvo sledugwee utverΩdenye (sm. [6]). UtverΩdenye(1. Dlq toho çtob¥ nabor velyçyn b¥l dann¥my rasseqnyq dlq nekotoroj zadaçy vyda (4), (5) s koneçn¥m perv¥m momentom Q1 ( 0 ) < ∞ , ne- obxodymo y dostatoçno, çtob¥ v¥polnqlys\ sledugwye uslovyq: a) funkcyq S ( ξ ) neprer¥vna na vewestvennoj osy y S ( ξ + 2 π ) = S ( ξ ) , S( )ξ = S ( – ξ ) = S−1( )ξ ; b) m m mm F F = ∞ +∑ − 1 2 < ∞ ; v) yzmenenye arhumenta funkcyy S ( ξ ) svqzano s çyslom N formuloj N = ln ( ) ln ( ) ( ) ( )S S i S S+ − − − − −0 0 2 2 0 4 π π π . Pry v¥polnenyy uslovyj πtoho utverΩdenyq obratnaq zadaça rasseqnyq re- ßaetsq sledugwym obrazom. Snaçala po dann¥m rasseqnyq postroym velyçynu Fn po formule (11). Tohda koπffycyent¥ ân, b̂n vosstanavlyvagtsq po lg- b¥m yz formul (7), hde velyçyn¥ Anm y αn naxodqtsq yz sootnoßenyj F A A Fn m nm k nk n m k2 1 2+ = ∞ + ++ + ∑ = 0, n ≥ 0, m ≥ 1, (12) αn −2 = 1 2 1 2+ + = ∞ +∑F A Fn k nk n k , (13) pervoe yz kotor¥x ymeet edynstvennoe reßenye v lp( , )1 ∞ , p = 1, 2, otnosy- tel\no Anm . Uravnenye (12) naz¥vaetsq osnovn¥m uravnenyem typa Marçenko. Ono yhra- et central\nug rol\ pry yssledovanyy obratnoj zadaçy y daet vozmoΩnost\ po- luçyt\ nekotor¥e ocenky otnosytel\no Anm . Dejstvytel\no, yz uslovyq b) ut- verΩdenyqT1 sleduet, çto uravnenye (12) poroΩdaetsq vpolne neprer¥vn¥m ope- ratorom v l1 1( , )∞ , t. e. operator F( )n , dejstvugwyj po formule ( )( )F n my = = k n m k kF y= ∞ + +∑ 1 2 , vpolne neprer¥ven v l1 1( , )∞ . Poskol\ku uravnenye (12) pry kaΩdom n ymeet edynstvennoe reßenye v l1 1( , )∞ , operator I n+ F( ) dlq kaΩ- doho n ymeet ohranyçenn¥j obratn¥j. Lehko vydet\, çto πtot obratn¥j opera- tor ohranyçen v l1 1( , )∞ po norme ravnomerno otnosytel\no n. Tohda, perepy- sav osnovnoe uravnenye (12) y uravnenye ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 BÁSTROUBÁVAGWEE REÍENYE NAÇAL\|NO-KRAEVOJ ZADAÇY … 1147 ( ) ( ), , ( )A A A A Fnm n m k nk n k n m k− + −− = ∞ − − + +∑1 1 1 2 1 = = ( ) ( )( ) ( )F F A F Fn m n m k nk n m k n m k2 1 2 1 2 1 2− + + = ∞ − + + + +− + −∑ v vyde operatorn¥x uravnenyj y vospol\zovavßys\ ravnomernoj ohranyçenno- st\g semejstva operatorov ( )( )I n+ −F 1, a takΩe uslovyem b), poluçym ocenky Anm ≤ C n mσ ( )2 + , (14) ( ) ( ), ( )A A F Fnm n m n m n m− + −− + − +1 2 2 1 ≤ C n m nσ σ( ) ( )2 1 2 1− + − , hde σ ( n ) = k n k kF F = ∞ +∑ −2 . 2. Preobrazovanyq dann¥x rasseqnyq. PredpoloΩym, çto v uravnenyy (4) stoqt koπffycyent¥ an ( t ) , bn ( t ) , n ≥ 1, qvlqgwyesq b¥stroub¥vagwym re- ßenyem zadaçy (1) – (3). Tohda spravedlyvo sootnoßenye (9), hde funkcyy ϕ ξn( ), fn( )ξ uΩe zavysqt ot t tn n: ( , )ϕ ϕ ξ= , f f tn n= ( , )ξ . Lemma(1. Esly v uravnenyy (4) s koπffycyentamy an = an ( t ) , bn = bn ( t ) , n ≥ 1, poslednye qvlqgtsq b¥stroub¥vagwym reßenyem zadaçy (1) – (3), to πvolgcyq dann¥x rasseqnyq opys¥vaetsq formulamy S ( ξ, t ) = S e it( , ) sinξ ξ0 2− , zk ( t ) = zk ( 0 ) , M tk 2( ) = M ek it zk2 20( ) sin− , (15) k = 1, … , N. Dokazatel\stvo. Vvedem, kak ob¥çno, [1], operator¥ L y A, poloΩyv ( Ly )1 = b t y a t y1 1 1 2( ) ( )+ , ( Ly )n = a t y b t y a t yn n n n n n− − ++ +1 1 1( ) ( ) ( ) , ( Ay )1 = – 1 2 1 2a t y( ) , ( Ay )n = 1 2 1 21 1 1a t y a t yn n n n− − +−( ) ( ) , n ≥ 2. Operator¥ L y A obrazugt [1] paru Laksa, y systema uravnenyj (1) s uçe- tom hranyçnoho uslovyq (3) πkvyvalentna operatornomu uravnenyg L̇ = AL – LA, (16) hde toçka oznaçaet dyfferencyrovanye po t. Zametym, çto operator¥ L y A qvlqgtsq sootvetstvenno symmetryçeskym y kososymmetryçeskym v l2 1( , )∞ : L* = L, A* = – A. Yz (16) y ravenstva ˙ ˙L Lψ ψ+ = λψ̇ sleduet, çto operator M = d dt – A pe- revodyt reßenyq uravnenyq Lψ = λψ v reßenyq πtoho Ωe uravnenyq. Rassmot- rym ravenstvo (9). Oçevydno, çto ϕ = { }( , )ϕ ξn nt = ∞ 1 qvlqetsq reßenyem uravne- nyq Lϕ = λϕ, hde λ = 2 cos ξ . S druhoj storon¥, ( )Mϕ 1 = a1 2 2ϕ / = = ( )/λ − b1 2, otkuda sleduet M ϕ = ( ) /λ ϕ− b1 2 . Krome toho, yspol\zuq (9), pry n → ∞ naxodym M i tn[ sin ( , )]− 2 ξϕ ξ = ˙ ( , ) sin ( , )f t i f t e in 0 0ξ ξ ξ ξ−( ) − – – ˙ ( , ) sin ( , ) ( )f t i f t e oin 0 0 1− + −( ) +ξ ξ ξ ξ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1148 Ah. X. XANMAMEDOV Odnako uravnenye Lψ = λψ ymeet edynstvennoe reßenye s takoj asymptoty- koj. Sledovatel\no, M i tn[ sin ( , )]− 2 ξϕ ξ = ˙ ( , ) sin ( , ) ( , )f t i f t f tn0 0ξ ξ ξ ξ−[ ] − – – ˙ ( , ) sin ( , ) ( , )f t i f t f tn0 0− + −[ ]ξ ξ ξ ξ . Sopostavlqq πto toΩdestvo s (9) y ravenstvom M tn[ ]( , )ϕ ξ = λ ϕ ξ− b tn 1 2 ( , ), λ = 2 cos ξ , poluçaem uravnenyq ˙ ( , ) sin ( , )f t i f t0 0ξ ξ ξ− = λ ξ− b f t1 02 ( , ), ˙ ( , ) sin ( , )f t i f t0 0− + −ξ ξ ξ = λ ξ− −b f t1 02 ( , ) , yz kotor¥x sleduet pervoe yz sootnoßenyj (15). Krome toho, v sylu predpo- sledneho uravnenyq ymeem f z t0( , ) = f z i z z t b d t 0 0 10 1 2 ( , ) exp ( sin cos ) ( )+ −       ∫ τ τ , Im z ≥ 0. Sohlasno poslednemu toΩdestvu nuly z tk ( ) funkcyy f z t0( , ) ot t ne zavysqt: z tk ( ) = zk ( )0 . Rassmotrym teper\ normyrovannug sobstvennug funkcyg u tk( )( ) = = { }( , )u z tn k n= ∞ 1 operatora L. Poskol\ku sobstvenn¥e znaçenyq πtoho operatora qvlqgtsq prost¥my, to ˙ ( ) ( )( ) ( )u t Au tk k− = Cu tk( )( ) . UmnoΩyv obe çasty posledneho ravenstva skalqrno v l2 1( , )∞ na u tk( )( ) y vos- pol\zovavßys\ tem, çto u tk( )( ) — normyrovannaq sobstvennaq funkcyq, a A — kososymmetryçeskyj operator, poluçym C = 0. Sledovatel\no, Mu tk( )( ) = 0. S druhoj storon¥, pry n → ∞ Mu tk n ( )( )( ) = ˙ ( ) sin ( ) ( )M t i z M t e o ek k k inz inzk k+[ ] + . Poπtomu ˙ ( ) sin ( )M t i z M tk k k+ = 0, otkuda y sleduet spravedlyvost\ tret\eho toΩdestva yz (15). Lemma dokazana. Formul¥ (15) pozvolqgt najty b¥stroub¥vagwee reßenye zadaçy (1) – (3). Dlq πtoho nuΩno najty dann¥e rasseqnyq pry t = 0, zatem postroyt\ funk- cyg F tn( ) po formule (11), v kotoroj vmesto S ( ξ, 0 ) , Mk 2 0( ) sleduet yspol\- zovat\ (15). Dalee sleduet reßyt\ uravnenye (11) s parametrom t otnosytel\no A tnm( ) y najty an ( t ), bn ( t ) po formulam (7). V opysannoj sxeme postroenyq b¥stroub¥vagweho reßenyq zadaçy (1) – (3) predpolahaetsq, çto takoe reßenye suwestvuet. Ot posledneho predpoloΩenyq moΩno yzbavyt\sq, ubedyvßys\, çto postroenn¥e ukazann¥m v¥ße sposobom funkcyy an ( t ), bn ( t ) dejstvytel\no udovletvorqgt sootnoßenyqm (1), (3). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 BÁSTROUBÁVAGWEE REÍENYE NAÇAL\|NO-KRAEVOJ ZADAÇY … 1149 Kak otmeçalos\ v¥ße, esly an ( t ), bn ( t ) — b¥stroub¥vagwee reßenye zada- çy (1) – (3), to operator M perevodyt reßenyq uravnenyq Lψ = λψ v reßenyq πtoho Ωe uravnennyq. Naoborot, esly an ( t ), bn ( t ) y yx perv¥e proyzvodn¥e po t b¥stro ub¥vagt y operator M perevodyt lgboe reßenye ψ uravnenyq Lψ = = λψ v kakoe-to reßenye πtoho Ωe uravnenyq, to ( )L̇ AL L A− + ψ = 0. Tohda v sylu (10) poluçym (16). Sohlasno (10) b¥stroub¥vagwye funkcyy an ( t ), bn ( t ) s b¥stroub¥vagwymy proyzvodn¥my ȧn, ḃn qvlqgtsq reßenyem zadaçy (1), (3) v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda M u tn[ ( , )]ξ , M u z tn j[ ( , )], j = 1, … , N, qvlqgtsq reßenyqmy uravnenyq Lψ = λψ . Poskol\ku u0 ( ξ, t ) ≡ 0, u0 ( zj, t ) ≡ ≡ 0, to M u tn[ ]( , )ξ = ˆ ( , )[ ]M u tn ξ , M u z tn j[ ]( , ) = ˆ ( , )[ ]M u z tn j , hde operator M̂ dejstvuet po formule ( )M̂y n = ẏ a y a yn n n n n+ −+ − − 1 2 1 21 1 1, n ≥ 1. S druhoj storon¥, v¥raΩenyq ˆ [ ( , )]M u tn ξ , ˆ [ ( , )]M u z tn j , j = 1, … , N , za- vedomo qvlqgtsq reßenyqmy uravnenyq Lψ = λψ , esly ˆ [ ( , )]M f z tn pry Im z ≥ ≥ 0 sluΩyt reßenyem uravnenyq (4), koπffycyentamy kotoroho qvlqgtsq an ( t ), bn ( t ) , n ≥ 1. Zameçaq, çto ˆ ( , )[ ]M f z tn pry n → ∞ ymeet asymptotyku ˆ ( , )[ ]M f z tn = 2i z e o einz inzsin ( )+ , Im z ≥ 0, poluçaem ˆ ( , )[ ]M f z tn = 2i z f z tnsin ( , ), (17) tak kak reßenye uravnenyq (4) s takoj asymptotykoj edynstvenno. Takym obrazom, esly funkcyy an ( t ), bn ( t ) y yx perv¥e proyzvodn¥e po t b¥stro ub¥vagt y verno ravenstvo (17), to an ( t ), bn ( t ) — b¥stroub¥vagwee re- ßenye zadaçy (1), (3). Rassmotrym teper\ sootnoßenyq (11), (15). Yz πtyx sootnoßenyj sleduet, çto funkcyq F tn( ) neperer¥vno dyfferencyruema po t y ˙ ( )F tn = F t F tn n− +−1 1( ) ( ) . (18) V prostranstve l1 1( , )∞ opredelqem operator F( )( )n t , polahaq F( )( )n m t y( ) = k n m k kF t y = ∞ + +∑ 1 2 ( ) . Norma operatora F( )( )n t v prostranstve l1 1( , )∞ ocenyvaetsq neravenstvamy F( )( )n t ≤ sup ( ) m k n m kF t ≥ = ∞ + +∑ 1 1 2 ≤ s n sF t = + ∞ ∑ 2 2 ( ) . (19) Esly Q3 ( 0 ) < 0, to funkcyq S ( ξ, 0 ) na otrezke [ – π, π ] ymeet neprer¥vnug proyzvodnug vtoroho porqdka. Tohda, podstavlqq (15) v formulu (11), ynteh- ryruq po çastqm y yspol\zuq (19), naxodym, çto operator F( )( )n t neprer¥ven po norme na kaΩdom koneçnom otrezke [ 0, T ] . V toj Ωe formule yntehryruq dvaΩd¥ po çastqm, ymeem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1150 Ah. X. XANMAMEDOV sup ( ) ( ) 0 1 2 ≤ ≤ = ∞ +∑ − t T n n nF t F t < ∞ . (20) Odnako pry uslovyy (20) dlq lgboho n operator I tn+ F( )( ) ymeet pry vsex t ∈ [ 0, T ] ohranyçenn¥j obratn¥j ( ( ))( )I tn+ −F 1. Poskol\ku operator I tn+ F( )( ) neprer¥ven po norme na [ 0, T ] , πtot obratn¥j takΩe neprer¥ven [7, c. 12, 13] po norme na [ 0, T ] y, v çastnosty, ravnomerno ohranyçen na [ 0, T ] . Krome toho, v sylu (18), (20) operator I tn+ F( )( ) syl\no neprer¥vno dyfferencyruem. Tohda [7, c. 12, 13] operator ( )( )( )I tn+ −F 1 takΩe syl\no neprer¥vno dyffe- rencyruem y spravedlyva formula [ ]( ( ))( )I tn t+ ′−F 1 = – ( ( )) ( ) ( ( ))( ) ( ) ( )[ ]I t t I tn n t n+ ′ +− −F F F1 1. (21) Zametym, çto obratn¥j operator ( ( ))( )I tn+ −F 1 ohranyçen v l1 1( , )∞ po nor- me ravnomerno otnosytel\no n, n ≥ 0, y t, t ∈ [ 0, T ] . Dejstvytel\no, v sylu (19), (20) pry n > n0 ymeem sup ( )( ) 0≤ ≤t T n tF ≤ sup ( ) 0 2 2≤ ≤ = + ∞ ∑ t T s n s tF < 1 2 . Tohda ( )( )( )I tn+ −F 1 ≤ 1 1−( )−F( )( )n t < 2 pry n > n0 . Ostaetsq koneçnoe çyslo operatorov ( )( )( )I tn+ −F 1, 0 ≤ n ≤ n0 , kaΩd¥j yz ko- tor¥x ravnomerno ohranyçen na [ 0, T ] . S druhoj storon¥, pry v¥polnenyy neravenstva (20) uravnenye (12) pry kaΩdom n odnoznaçno razreßymo v l1 1( , )+ ∞ . Pry πtom reßenye A tnm( ) y, so- hlasno (21), eho proyzvodnaq po t udovletvorqgt neravenstvam, analohyçn¥m (14), a samy ravenstva (12), (13) moΩno dyfferencyrovat\ po t. 3. Dokazatel\stvo teorem¥. Pust\ Q3 ( 0 ) < ∞ . Opredelym funkcyy an = = an ( t ) , bn = bn ( t ) po formulam bn = A An n1 1 1− − , , an 2 = 1 2 1 2 1+ − −−A A b An n n n, , hde Anm — reßenye uravnenyq (12). Yz rezul\tatov pred¥duweho punkta sle- duet, çto funkcyy an , bn , ȧn, ḃn qvlqgtsq b¥stroub¥vagwymy. Dlq dokaza- tel\stva teorem¥ pokaΩem, çto esly Q3 ( 0 ) < ∞ , to reßenye A tnm( ) uravne- nyq (12) udovletvorqet ravenstvu ˙ ( ), ,A A A b Anm n m n m n nm+ − −+ − +1 1 1 = 0, m = 1, 2, … , (22) a velyçyna αn , opredelqemaq po formule (13), — sootnoßenyg α̇n = – 1 2 bn nα . (23) Sohlasno rezul\tatam p.T2, k obeym çastqm ravenstva (12) moΩno prymenyt\ operator M̂1, dejstvugwyj po formule ( )M̂ h nm1 = ˙ ( ), ,h h h b hnm n m n m n nm+ − −+ − +1 1 1 . Tohda poluçym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 BÁSTROUBÁVAGWEE REÍENYE NAÇAL\|NO-KRAEVOJ ZADAÇY … 1151 ˙ ( )( ) ( )F F F b F M An m n m n m n n m nm2 2 1 2 1 1 2 2+ + + − + + ++ − − + + + k nk n m k k nk n m k k nk n m kA F A F A F = ∞ + + = ∞ + + = ∞ + + +∑ ∑ ∑+ + 1 2 1 2 1 2 1 ˙ ˙ – – k n k n m k n k nk n m kA F b A F = ∞ − − + + + = ∞ + +∑ ∑− 1 1 2 1 1 1 2, ( ) = 0. Yz (18) sleduet ˙ ( )( )F F Fn m n m n m2 2 1 2 1 1+ + + − + ++ − = 0, k nk n m k k nk n m k k n k n m kA F A F A F = ∞ + + = ∞ + + + = ∞ − − + + +∑ ∑ ∑+ − 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ˙ , ( ) = = k nk n k n m kA A F = ∞ − + + −∑ − 1 1 2 1( ), = ( ),A A Fn n n m1 1 1 2− − + + + k n k n k n m kA A F = ∞ + − + + +∑ − 1 1 1 1 2( ), , = = b F A A Fn n m k n k n k n m k2 1 1 1 1 2+ = ∞ + − + + ++ −∑ ( ), , . Sledovatel\no, ( ) ( )ˆ ˆM A M A Fnm k nk n m k1 1 1 2+ = ∞ + +∑ = 0. Poskol\ku πto uravnenye dlq ( )M̂ A nm1 ymeet lyß\ tryvyal\noe reßenye, to ( )M̂ A nm1 ≡ 0, çto dokaz¥vaet spravedlyvost\ ravenstva (22). DokaΩem teper\ ravenstvo (23). Yzvestno, çto pravaq çast\ ravenstva (13) poloΩytel\na (sm. [5]). Tohda, dyfferencyruq ravenstvo (13) po t, poluçaem α̇n = – 1 2 3( )αn np , hde pn = ˙ ˙ ˙F A F A Fn k nk n k k nk n k2 1 2 1 2+ + = ∞ + = ∞ +∑ ∑ . Yspol\zuq (12), (18) y (22), ymeem pn = F A F F A Fn k n k n k n k n k n k2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1( ) , ( ) ,− + = ∞ − − + + + = ∞ + ++       − +      ∑ ∑ + + k nk n k n k k nk n kA A F A F = ∞ − + − = ∞ +∑ ∑− + 1 1 2 1 1 2( ) ˙ , = = – A A A A Fn n n n n− −+ + −1 1 1 1 1 1 2, ,( ) + + k n k n k n k k nk nkA A F A F = ∞ + − + + = ∞ ∑ ∑− + 1 1 1 1 2 1 2( ) ˙ , , = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1152 Ah. X. XANMAMEDOV = b b F b A Fn n n n k nk n k+ + = ∞ +∑2 1 2 = bn n( )α −2 , çto y trebovalos\ dokazat\. Zaverßym dokazatel\stvo teorem¥. V sylu (8), (22) ymeem ˙ ( ),A A A b An n n n n1 2 1 2 1 1 2 1 2 + − −− = 1 2 1 2( )− an , ˙ , ,A b A a A Anm n nm n n m n m− + −+ − − + 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 = 1 2 1 21 1A An m n m, ,− +− . Zapys¥vaq teper\ v uravnenyy (17) vmesto f zn( ) eho predstavlenye (6), vydym, çto poslednye ravenstva vmeste s (23) πkvyvalentn¥ uravnenyg (17). Tem sam¥m suwestvovanye b¥stroub¥vagweho reßenyq dokazano. Edynstvennost\ reße- nyq sleduet yz odnoznaçnoj razreßymosty obratnoj zadaçy * . Teorema dokazana. 1. Berezanskyj G. M. Yntehryrovanye nelynejn¥x raznostn¥x uravnenyj metodom obratnoj spektral\noj zadaçy // Dokl. AN SSSR. – 1985. – 281, #T1. – S.T16 – 19. 2. Flashka H. On the Toda lattice. Inverse scattering solutions // Progr. Theor. Phys. – 1974. – 51, # 3. – P. 703 – 716. 3. Manakov S. V. O polnoj yntehryruemosty y stoxastyzacyy v dyskretn¥x dynamyçeskyx systemax // Ûurn. πksperym. y teor. fyzyky. – 1974. – 67, #T2. – S.T543 – 555. 4. Kac M.,van Moerbeke P. On the explicitly soluble system of nonlinear differential equation related to certain Toda lattices // Adv. Math. – 1975. – 16, # 2. – P. 160 – 169. 5. Xabybulyn Y. T. Uravnenye KDF na poluosy s nulev¥m kraev¥m uslovyem // Teor. y mat. fyzyka. – 1999. – 119, #T3. – S.T397 – 404. 6. Husejnov H. Í. Opredelenye beskoneçnoj matryc¥ Qkoby po dann¥m rasseqnyq // Dokl. AN SSSR. – 1976. – 227, #T6. – S.T1289 – 1292. 7. Krejn S. H. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e uravnenyq v banaxovom prostranstve. – M.: Nauka, 1967. Poluçeno 10.06.2004 * Edynstvennost\ b¥stroub¥vagweho reßenyq sleduet takΩe yz [1]. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8

Быстроубывающее решение начально-краевой задачи для цепочки Тоды

Репозитарії

Схожі ресурси