Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения
Розглядається сингулярна задача Коші txprime(t) = f(t,x(t), x(g(t)), xprime(t), xprime(h(t))), x(0) = 0, де x: (0,τ) → ℝ,g:(0,τ) → (0,+∞), h:(0,τ) → (0,+∞), g(t) ≤ t, h(t) ≤ t, t ∈ (0,τ) для лінійного, збуреного лінійного і нелінійного рівнянь. У кожному випадку доведено, що існує непорожня множин...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165840 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения / А.Е. Зернов, О.Р. Чайчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1344–1358. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165840 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658402020-02-18T01:28:12Z Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения Зернов, А.Е. Чайчук, О.Р. Статті Розглядається сингулярна задача Коші txprime(t) = f(t,x(t), x(g(t)), xprime(t), xprime(h(t))), x(0) = 0, де x: (0,τ) → ℝ,g:(0,τ) → (0,+∞), h:(0,τ) → (0,+∞), g(t) ≤ t, h(t) ≤ t, t ∈ (0,τ) для лінійного, збуреного лінійного і нелінійного рівнянь. У кожному випадку доведено, що існує непорожня множина неперервно дифсрсіщійовних розв'язків x:(0,ρ] → ℝ (ρ достатньо мале) з потрібними асимптотичними властивостями. We consider the singular Cauchy problem txprime(t) = f(t,x(t), x(g(t)), xprime(t), xprime(h(t))), x(0) = 0, where x: (0,τ) → ℝ,g:(0,τ) → (0,+∞), h:(0,τ) → (0,+∞), g(t) ≤ t, and h(t) ≤ t, t ∈ (0,τ) for linear, perturbed linear, and nonlinear equations. In each case, we prove that there exists a nonempty set of continuously differentiable solutions (0,ρ] → ℝ (ρ is sufficiently small) with required asymptotic properties. 2005 Article Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения / А.Е. Зернов, О.Р. Чайчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1344–1358. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165840 517.911 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Зернов, А.Е. Чайчук, О.Р. Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения Український математичний журнал |
| description |
Розглядається сингулярна задача Коші
txprime(t) = f(t,x(t), x(g(t)), xprime(t), xprime(h(t))), x(0) = 0,
де x: (0,τ) → ℝ,g:(0,τ) → (0,+∞), h:(0,τ) → (0,+∞), g(t) ≤ t, h(t) ≤ t, t ∈ (0,τ) для лінійного, збуреного лінійного і нелінійного рівнянь. У кожному випадку доведено, що існує непорожня множина неперервно дифсрсіщійовних розв'язків x:(0,ρ] → ℝ (ρ достатньо мале) з потрібними асимптотичними властивостями. |
| format |
Article |
| author |
Зернов, А.Е. Чайчук, О.Р. |
| author_facet |
Зернов, А.Е. Чайчук, О.Р. |
| author_sort |
Зернов, А.Е. |
| title |
Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения |
| title_short |
Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения |
| title_full |
Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения |
| title_fullStr |
Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения |
| title_full_unstemmed |
Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения |
| title_sort |
качественное исследование сингулярной задачи коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165840 |
| citation_txt |
Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения / А.Е. Зернов, О.Р. Чайчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1344–1358. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zernovae kačestvennoeissledovaniesingulârnojzadačikošidlânekotorogofunkcionalʹnodifferencialʹnogouravneniâ AT čajčukor kačestvennoeissledovaniesingulârnojzadačikošidlânekotorogofunkcionalʹnodifferencialʹnogouravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-14T20:06:15Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:06:15Z |
| _version_ |
1837654160968777728 |
| fulltext |
UDK 517.911
A. E. Zernov, O. R. Çajçuk (GΩnoukr. ped. un-t, Odessa)
KAÇESTVENNOE YSSLEDOVANYE
SYNHULQRNOJ ZADAÇY KOÍY DLQ NEKOTOROHO
FUNKCYONAL|NO-DYFFERENCYAL|NOHO URAVNENYQ
We consider the Cauchy singular problem
t x t′( ) = f t x t x g t x t x h t( ), ( ), ( ( )), ( ), ( ( ))′ ′ , x( )0 0= ,
where x : ( 0, τ ) → R, g : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) , h : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) , g t t( ) ≤ , h t t( ) ≤ , t ∈ ( 0, τ ) ,
for a linear, a perturbed linear, and a nonlinear equations. In each case, we prove that there exists a
nonempty set of continuously differentiable solutions x : ( 0, ρ ] → R ( ρ is sufficiently small) with
required asymptotic properties.
Rozhlqda[t\sq synhulqrna zadaça Koßi
t x t′( ) = f t x t x g t x t x h t( ), ( ), ( ( )), ( ), ( ( ))′ ′ , x( )0 0= ,
de x : ( 0, τ ) → R, g : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) , h : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) , g t t( ) ≤ , h t t( ) ≤ , t ∈ ( 0, τ ) ,
dlq linijnoho, zburenoho linijnoho i nelinijnoho rivnqn\. U koΩnomu vypadku dovedeno, wo
isnu[ neporoΩnq mnoΩyna neperervno dyferencijovnyx rozv’qzkiv x : ( 0, ρ ] → R ( ρ
dostatn\o male ) z potribnymy asymptotyçnymy vlastyvostqmy.
Rehulqrn¥e naçal\n¥e zadaçy dlq funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x uravne-
nyj yzuçen¥ dostatoçno podrobno [1 – 6]. Stol\ Ωe podrobno yssledovan¥ syn-
hulqrn¥e naçal\n¥e zadaçy dlq ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj,
preΩde vseho, razreßenn¥x otnosytel\no starßyx proyzvodn¥x neyzvestn¥x [7
– 9]. Vmeste s tem synhulqrn¥e kraev¥e zadaçy dlq funkcyonal\no-dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj yzuçen¥ sravnytel\no malo; otmetym rabot¥ [2, 3, 10 –
16], v kotor¥x rassmotren¥ vopros¥ suwestvovanyq y çysla reßenyj v razlyç-
n¥x funkcyonal\n¥x prostranstvax. No asymptotyçeskoe povedenye reßenyj
takyx zadaç v okrestnosty osoboj toçky praktyçesky ne yssledovalos\ daΩe v
prost¥x sluçaqx [2, 3, 17]. V predlahaemoj rabote rassmatryvaetsq synhulqr-
naq zadaça Koßy vyda
t x t′( ) = F t x t x g t x t x h t( ), ( ), ( ( )), ( ), ( ( ))′ ′ , (1)
x ( 0 ) = 0, (2)
hde t ∈ ( 0, τ ) — dejstvytel\naq peremennaq, x : ( 0, τ ) → R — neyzvestnaq
funkcyq, F : D → R — neprer¥vnaq funkcyq, D ⊂ ( 0, τ ) × R × R × R × R,
g : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) , h : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vn¥e funkcyy, g ( t ) ≤ t,
h ( t ) ≤ t, t ∈ ( 0, τ ) . Pod reßenyem zadaçy (1), (2) ponymaetsq neprer¥vno dyf-
ferencyruemaq funkcyq x : ( 0, ρ ] → R ( ρ — postoqnnaq, ρ ∈ ( 0, τ ) ) so svoj-
stvamy:
1) ( ), ( ), ( ( )), ( ), ( ( ))t x t x g t x t x h t′ ′ ∈ D pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] ;
2) x toΩdestvenno udovletvorqet uravnenyg (1) pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] ;
3) lim ( )
t
x t
→ +0
= 0.
Yssledugtsq posledovatel\no çastn¥e sluçay: lynejnoe, vozmuwennoe ly-
nejnoe y nelynejnoe uravnenyq vyda (1). Predlahaetsq edynaq sxema yssledo-
vanyq vsex πtyx uravnenyj. Dokaz¥vaetsq suwestvovanye nepustoho mnoΩestva
neprer¥vno dyfferencyruem¥x reßenyj s trebuem¥my asymptotyçeskymy
svojstvamy v (maloj) pravoj poluokrestnosty osoboj toçky t = 0. Pry πtom
yspol\zugtsq metod¥ kaçestvennoj teoryy dyfferencyal\n¥x uravnenyj [7,
18], a takΩe [17, 19, 20].
© A. E. ZERNOV, O. R. ÇAJÇUK, 2005
1344 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KAÇESTVENNOE YSSLEDOVANYE SYNHULQRNOJ ZADAÇY KOÍY … 1345
1. Lynejnoe uravnenye. Rassmotrym zadaçu Koßy
t x t′( ) = a t b t x t b t x g t b t tx h t( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))+ + + ′1 2 3 , (3)
x ( 0 ) = 0,
v predpoloΩenyy, çto v¥polnen¥ uslovyq A :
1) a : ( 0, τ ) → R, bi : ( 0, τ ) → R, i ∈ { 1, 2, 3 } , — neprer¥vn¥e funkcyy,
b ti( ) = b oi0 1+ ( ), t → + 0, bi0 — postoqnn¥e, i ∈ { 1, 2, 3 } , b30 < 1;
2) g : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vno dyfferencyruemaq funkcyq,
lim ( )( ( ))
t
t g t g t
→ +
−′
0
1 = g0
, 0 ≤ g0 < + ∞ ;
3) dlq lgb¥x toçek tj ∈ ( 0, τ ) , j ∈ { 1, 2 },
h t h t( ) ( )1 2− ≤ t t1 2− ; (4)
4) dlq lgb¥x toçek t1, t2, udovletvorqgwyx uslovyg 0 < t* ≤ tj < τ, j ∈
∈ { 1, 2 } , v¥polnen¥ neravenstva
a t a t( ) ( )1 2− ≤ l t t t0 1 2( )∗ − , b t b ti i( ) ( )1 2− ≤ l t t t0 1 2( )∗ − , i ∈ { 1, 2, 3 } ,
hde l0 : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vnaq nevozrastagwaq funkcyq;
5) pust\ suwestvuet neprer¥vno dyfferencyruemaq funkcyq ξ : ( 0, τ ) →
→ R , udovletvorqgwaq uslovyqm
t t a t b t t b t g t b t t h t′ − − − − ′ξ ξ ξ ξ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))1 2 3 = O t tN( )( )β , t → + 0, (5)
ξ ( t ) = o ( 1 ) , t → + 0, ξ′ ( t ) = c1 + o ( 1 ) , t → + 0, (6)
hde N — natural\noe, c1 — postoqnnaq, β : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vno
dyfferencyruemaq neub¥vagwaq funkcyq, lim ( )
t
t
→ +0
β = 0.
Sformulyruem πffektyvn¥e dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq funk-
cyy ξ : ( 0, τ ) → R ukazannoho vyda:
1) a ( t ) = a t a tk
k
k
N
=
∗∑ +
1
( ), bi ( t ) = b t b tik
k
k
N
i=
∗∑ +
0
( ), i ∈ { 1, 2, 3 } , g ( t ) =
= g t g tk
k
k
N
=
∗∑ +
1
( ) , h ( t ) = h t h tk
k
k
N
=
∗∑ +
1
( ), hde ak, bik , gk , hk — postoqnn¥e,
a t∗( ) = O t tN( ( ))β , b ti
∗( ) = o tN( ), g t∗( ) = o tN( ), h t∗( ) = o tN( ), t → + 0;
2) b b g kb hk k
10 20 1 30 1
1+ + − ≠ k, k ∈ { 1, … , N } ;
3) t = O t( ( ))β , t → + 0.
Dejstvytel\no, pry v¥polnenyy ukazann¥x uslovyj poloΩym
ξ ( t ) =
k
N
k
kc t
=
∑
1
, (7)
hde c cN1, ,… — postoqnn¥e koπffycyent¥. Budem yskat\ yx tak, çtob¥ v¥-
polnqlos\ uslovye (5). Esly podstavyt\ funkcyg (7) v levug çast\ ravenstva
(5) y potrebovat\, çtob¥ v poluçennoj summe vse koπffycyent¥ pry t
k, k ∈
∈ { 1, … , N } , b¥ly ravn¥ nulg, to budem ymet\ systemu ravenstv
c1 = a b c b g c b c1 10 1 20 1 1 30 1+ + + ,
(8)
k ck = a b c b g c kb h c c ck k
k
k
k
k k k+ + + + …−
−10 20 1 30 1
1
1 1ϕ ( , , ), k ∈ { 2, … , N } ,
hde ϕk
, k ∈ { 2, … , N } , — yzvestn¥e mnohoçlen¥. Otsgda posledovatel\no (y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1346 A. E. ZERNOV, O. R. ÇAJÇUK
edynstvenn¥m obrazom) opredelqgtsq vse koπffycyent¥ ck
, k ∈ { 1, … , N } .
Oçevydno, dlq najdennoj funkcyy (7) v¥polnen¥ y uslovyq (5), (6).
Oboznaçym çerez U1 ( ρ, M, q ) mnoΩestvo vsex neprer¥vno dyfferencyrue-
m¥x funkcyj u : ( 0, ρ ] → R , kaΩdaq yz kotor¥x udovletvorqet uslovyqm
u t t( ) ( )− ξ ≤ Mt tN β( ),
′ − ′u t t( ) ( )ξ ≤ qMt tN −1β( ), (9)
t ∈ ( 0, ρ ] ;
zdes\ ρ, M, q — poloΩytel\n¥e postoqnn¥e, ρ < τ .
Nazovem uslovyqmy�B sovokupnost\ sledugwyx uslovyj:
1) lim ( )( ( ))
t
t t t
→ +
−′
0
1β β = β0, 0 ≤ β0 < + ∞ ;
2) b10 ≠ N + β0 ;
3) b b b20 10 30+ < b N b10 0 301− − −( )β .
Teorema(1. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq A, B. Tohda suwestvugt ρ, M , q
takye, çto:
1) esly b10 > N + β0 , to zadaça (3) ymeet beskoneçnoe mnoΩestvo reße-
nyj x : ( 0, ρ ] → R, kaΩdoe yz kotor¥x prynadleΩyt mnoΩestvu U1 ( ρ, M, q ) .
Pry lgbom v¥bore postoqnnoj α , udovletvorqgwej neravenstvu α ξ ρ− ( ) <
< M Nρ β ρ( ), najdetsq reßenye xα ∈ U1 ( ρ, M, q ) takoe, çto xα ( ρ ) = α ;
2) esly b10 < N + β0 , to zadaça (3) ymeet nepustoe mnoΩestvo reßenyj
x : ( 0, ρ ] → R, kaΩdoe yz kotor¥x prynadleΩyt mnoΩestvu U1 ( ρ, M, q ) .
Dokazatel\stvo. V¥berem postoqnn¥e M , q tak, çtob¥ v¥polnqlys\ us-
lovyq
b b N10 10 0+ − − β < q < b N b b10 0 20 30
1− − −( ) −β , esly b30 ≠ 0,
b b N10 10 0+ − − β < q, esly b30 = 0,
M > K b N b b q10 0 20 30
1− − − −( )−β .
Zdes\ postoqnnaq K v¥brana tak, çtob¥
t t a t b t t b t g t b t t h t t tN′ − − − − ′ −ξ ξ ξ ξ β( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )( )1 2 3
1 ≤ K, t ∈ ( 0, τ ) .
Neravenstva, opredelqgwye v¥bor ρ, zdes\ ne pryveden¥ vvydu ohranyçenno-
sty obæema stat\y; otmetym lyß\, çto ρ dostatoçno malo.
Pust\ B — prostranstvo neprer¥vno dyfferencyruem¥x funkcyj x :
[ 0, ρ ] → R s normoj
x B = max ( ) ( )
[ , ]t
x t x t
∈
+ ′( )
0 ρ
. (10)
Oboznaçym çerez U podmnoΩestvo B, kaΩd¥j πlement u : [ 0, ρ ] → R ko-
toroho udovletvorqet uslovyqm (9), pryçem u ( 0 ) = 0, u ′ ( 0 ) = c1 y, krome to-
ho,
∀ ∈ ∀ > ∀ ∈u U tiε ρ0 0[ , ], i ∈ { 1, 2 } : t t1 2− ≤ δ ( ε ) ⇒ ′ − ′u t u t( ) ( )1 2 ≤ ε ,
(11)
hde δ ( ε ) = 1 830
1−( ) −b B tε ε( ( )) . Zdes\ B t( )ε = 2 0
1 2l t t t( )ε ε ε
− −+ , pryçem posto-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KAÇESTVENNOE YSSLEDOVANYE SYNHULQRNOJ ZADAÇY KOÍY … 1347
qnnaq tε ∈ ( 0, ρ ) v¥brana tak, çtob¥ pry t ∈ ( 0, tε ] odnovremenno v¥polnqlys\
neravenstva
t tN −1β( ) ≤ ( ) /qM b− −( )1
301 16ε , ′ −ξ ( )t c1 ≤ 1 1630−( )b ε / .
MnoΩestvo U zamknuto, v¥puklo, ohranyçeno y (v sootvetstvyy s kryteryem
Arcela) kompaktno.
Rassmotrym dyfferencyal\noe uravnenye
′x t( ) = t a t b t x t b t u g t b t tu h t− + + + ′( )1
1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) , (12)
hde u ∈ U — proyzvol\naq fyksyrovannaq funkcyq. Pust\ D 0 = ( , ) :t x{
t x∈ ∈ }( , ],0 ρ R . Esly ( t, x ) ∈ D0 , to dlq uravnenyq (12) v¥polnen¥ uslovyq
teorem¥ suwestvovanyq y edynstvennosty reßenyq y neprer¥vnoj zavysymosty
reßenyj ot naçal\n¥x dann¥x. Dalee provodym rassuΩdenyq po sxeme, predlo-
Ωennoj v [17, 20] odnym yz avtorov; dlq udobstva ss¥lok zdes\ soxranqetsq
termynolohyq y oboznaçenyq, vvedenn¥e v [17, 20]. Oboznaçym
Φ1 = ( , ) : ( , ], ( ) ( )t x t x t Mt tN∈ − ={ }0 ρ ξ β ,
D1 = ( , ) : ( , ], ( ) ( )t x t x t Mt tN∈ − <{ }0 ρ ξ β ,
H = ( , ) : , ( ) ( )t x t x M N= − <{ }ρ ξ ρ ρ β ρ .
Pust\ vspomohatel\naq funkcyq A1 : D0 → [ 0, + ∞ ) opredelqetsq ravenst-
vom
A1 ( t, x ) = ( ( )) ( )( )–x t t tN− ξ β2 2.
Netrudno ubedyt\sq v tom, çto pry ( t, x ) ∈ Φ1 proyzvodnaq πtoj funkcyy v
sylu uravnenyq (12) ymeet tot Ωe znak, çto y raznost\ b10 – ( N + β0 ) . Poπtomu
esly b10 > N + β0 , to kaΩdaq yz yntehral\n¥x kryv¥x uravnenyq (12),
peresekßyx H, opredelena pry t ∈ ( 0, ρ ] y leΩyt v D1 pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] .
V¥berem y zafyksyruem lgbug toçku G ( ρ, α ) ∈ H y oboznaçym çerez Ju :
( t, xu ( t )) yntehral\nug kryvug uravnenyq (12), proxodqwug çerez toçku G .
Lehko vydet\, çto esly poloΩyt\ po opredelenyg xu( )0 0= , ′ =x cu( )0 1, to
x Uu ∈ . Opredelym operator T : U → U ravenstvom Tu xu= . Esly Ωe b10 <
< N + β0 , to sredy yntehral\n¥x kryv¥x uravnenyq (12), peresekßyx H,
najdetsq xotq b¥ odna, kotoraq opredelena pry t ∈ ( 0, ρ ] y leΩyt v D1 pry
vsex t ∈ ( 0, ρ ] ; oboznaçym πtu yntehral\nug kryvug çerez Ju : ( t, xu ( t )) . Zatem
dokaz¥vaetsq, çto uravnenye (12) ymeet edynstvennug yntehral\nug kryvug
takoho vyda. Yn¥my slovamy, dokaz¥vaetsq, çto esly vzqt\ lgbug toçku
( , )t x0 0 ∈ D1 0 0\ {( , )} s uslovyem x x tu0 0≠ ( ), to ta yntehral\naq kryvaq urav-
nenyq (12), kotoraq proxodyt çerez toçku ( , )t x0 0 , nepremenno v¥jdet yz mno-
Ωestva D1 0 0\ {( , )} pry umen\ßenyy t ( )t t< 0 . S πtoj cel\g rassmatryvagtsq
odnoparametryçeskye semejstva mnoΩestv
Φ2 ( ν ) = ( , ) : ( , ], ( ) ( )( ln )t x t x x t t t tu
N∈ − = −{ }0 ρ ν β ,
D2 ( ν ) = ( , ) : ( , ], ( ) ( )( ln )t x t x x t t t tu
N∈ − < −{ }0 ρ ν β ,
hde ν — parametr, ν ∈ ( 0, 1 ] , vspomohatel\naq funkcyq A2 : D0 → [ 0, + ∞ ) ,
kotoraq opredelena ravenstvom
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1348 A. E. ZERNOV, O. R. ÇAJÇUK
A2 ( t, x ) = ( ( )) ( )( ln )( )–x x t t t tu
N− −2 2β ,
y dokaz¥vaetsq, çto proyzvodnaq πtoj funkcyy v sylu uravnenyq (12) otryca-
tel\na pry ( t, x ) ∈ Φ2 ( ν ) dlq lgboho ν ∈ ( 0, 1 ] . Pry πtom esly ( t, x ) — lgbaq
toçka mnoΩestva D1 0 0\ {( , )}, to dlq lgboho fyksyrovannoho ν ∈ ( 0, 1 ]
x x tu− ( ) ≤ x t x t tu− + −ξ ξ( ) ( ) ( ) ≤ 2Mt tN β( ) < ν βt t tN ( )( ln )− ,
esly tol\ko t ∈ ( 0, t ( ν ) ] , hde postoqnnaq t ( ν ) dostatoçno mala, t ( ν ) ∈ ( 0, ρ ).
Esly poloΩyt\ po opredelenyg xu( )0 0= , ′ =x cu( )0 1, to lehko vydet\, çto
x Uu ∈ . Opredelym operator T : U → U ravenstvom Tu = xu .
DokaΩem, çto operator T : U → U neprer¥ven. Pust\ u Ui ∈ , i ∈ { 1, 2 }, —
proyzvol\n¥e fyksyrovann¥e funkcyy, u u B1 2− = d , d > 0. Oboznaçym
Tu xi i= , i ∈ { 1, 2 }. Budem yssledovat\ povedenye yntehral\n¥x kryv¥x dyf-
ferencyal\noho uravnenyq
x ′ ( t ) = t a t b t x t b t u g t b t tu h t− + + + ′( )1
1 2 1 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) . (13)
Oboznaçym
Φ3 = ( , ) : ( , ], ( ) ( ( ))t x t x x t d t tN∈ − ={ }−0 2
1ρ γ βν ν ,
D3 = ( , ) : ( , ], ( ) ( ( ))t x t x x t d t tN∈ − <{ }−0 2
1ρ γ βν ν ,
hde γ, ν — postoqnn¥e, udovletvorqgwye uslovyqm
0 < ν < min ,
( )
1
3
10 0
0
b N
N
− −
+
β
β
, γ >
3 2 11
20
10 0
( )M b
b N
− +( )
− −
ν
β
.
Pust\ vspomohatel\naq funkcyq A3 : D0 → [ 0, + ∞ ) opredelqetsq ravenst-
vom
A3 ( t, x ) = ( ( )) ( )( )– ( )x x t t tN− −
2
2 2 1β ν .
Netrudno ubedyt\sq v tom, çto pry ( t, x ) ∈ Φ3 proyzvodnaq πtoj funkcyy v sy-
lu uravnenyq (13) ymeet tot Ωe znak, çto y raznost\ b10 – ( N + β0 ) . Esly b10 >
> N + β0 , to m¥ yspol\zuem ravenstva x1 ( ρ ) = x2 ( ρ ) = α, v sootvetstvyy s ko-
tor¥my yntehral\naq kryvaq J1 : ( t, x1 ( t )) uravnenyq (13) leΩyt v D3 pry t =
= ρ. Na osnovanyy yzloΩennoho v¥ße pry umen\ßenyy t ot t = ρ do t = 0
πta yntehral\naq kryvaq ne moΩet ymet\ obwyx toçek s Φ3 . Poπtomu ona le-
Ωyt v D3 pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] . Esly Ωe b10 < N + β0 , to, poskol\ku
x t x t1 2( ) ( )− ≤ x t t x t t1 2( ) ( ) ( ) ( )− + −ξ ξ ≤ 2Mt tN β( ) < γ βν νd t tN( ( ))1−
pry t ∈ ( 0, t ( d ) ] , hde postoqnnaq t ( d) dostatoçno mala, t ( d) ∈ ( 0, ρ ), ynteh-
ral\naq kryvaq J1 : ( t, x1 ( t )) uravnenyq (13) leΩyt v D3 pry t ∈ ( 0, t ( d ) ] . Es-
ly t vozrastaet ot t = t ( d ) do t = ρ , to na osnovanyy yzloΩennoho v¥ße πta
yntehral\naq kryvaq ne moΩet ymet\ obwyx toçek s Φ3 . Poπtomu ona leΩyt v
D3 pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] . Ytak, v oboyx sluçaqx
x t x t1 2( ) ( )− ≤ γ βν νd t tN( ( ))1− , t ∈ ( 0, ρ ] ,
otkuda sleduet, çto
x t x t x t x t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )− + ′ − ′ ≤ t d−1 ν, t ∈ ( 0, ρ ] . (14)
Perejdem neposredstvenno k dokazatel\stvu neprer¥vnosty operatora T : U →
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KAÇESTVENNOE YSSLEDOVANYE SYNHULQRNOJ ZADAÇY KOÍY … 1349
→ U. Pust\ ε > 0 zadano. Suwestvuet takoe tε ∈ ( 0, ρ ) , çto 2Mt tN β( ) +
+ 2 1qMt tN − β( ) ≤ ε / 2 pry t ∈ ( 0, tε ] . Esly t ∈ ( 0, tε ] , to
x t x t x t x t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )− + ′ − ′ ≤
≤ x t t x t t x t t x t t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − + ′ − ′ + ′ − ′ξ ξ ξ ξ ≤
≤ 2 2 1Mt t qMt tN Nβ β( ) ( )+ − ≤ ε / 2 .
Esly Ωe t ∈ [ tε, ρ ] , to yz (14) sleduet, çto x t x t x t x t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )− + ′ − ′ ≤
≤ t dε
ν−1 . Esly d < δ ( ε ) , hde δ ( ε ) = ( )/ /ε ε
νt 2 1 , to x t x t x t x t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )− + ′ − ′ ≤
≤ ε / 2 pry vsex t ∈ [ 0, ρ ] . Takym obrazom, esly u u B1 2− = d < δ ( ε ) , to
max ( ) ( ) ( ) ( )
[ , ]t
x t x t x t x t
∈
− + ′ − ′( )
0 1 2 1 2ρ
≤ ε / 2 ,
yly
x x B1 2− = Tu Tu B1 2− ≤ ε / 2 < ε .
∏ty rassuΩdenyq ne zavysqt ny ot v¥bora funkcyj ui ∈ U, i ∈ { 1, 2 } , ny ot
v¥bora ε > 0. Neprer¥vnost\ operatora T: U → U dokazana.
Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥O1 ostaetsq prymenyt\ k operatoru
T : U → U teoremu Íaudera o nepodvyΩnoj toçke.
Prymer(1. Rassmotrym zadaçu Koßy
t x t′( ) =
35
8
1
4 4 4 2
t x t x
t t
x
t− +
− ′
( ) , x ( 0 ) = 0, (15)
hde x : ( 0, τ ) → R — neyzvestnaq funkcyq ( τ > 0 — lgboe fyksyrovan-
noe ) . Zdes\
a ( t ) = a1 t =
35
8
t , b1 ( t ) = b10 = – 1, b2 ( t ) = b20 =
1
4
, b3 ( t ) = b30 = –
1
4
,
g ( t ) = g1 t =
1
4
t , h ( t ) = h1 t =
1
2
t , β ( t ) = t ( y potomu β0 = 1 ) .
Poskol\ku v dannom sluçae v¥polnen¥ ukazann¥e v¥ße dostatoçn¥e uslo-
vyq suwestvovanyq funkcyy ξ : ( 0, τ ) → R vyda (7) (dlq lgboho fyksyrovan-
noho natural\noho N ) , yz system¥ ravenstv (8) posledovatel\no naxodym c1 =
= 2, c2 = c3 = … = cN = 0. Poπtomu ξ ( t ) = 2 t . Oçevydno, vse uslovyq A, B
v¥polnen¥, pryçem b10 < N + β0 . Poπtomu sohlasno teoremeO1 zadaça (15)
ymeet nepustoe mnoΩestvo reßenyj x : ( 0, ρ ] → R takyx, çto
x t t( ) − 2 ≤ MtN +1, ′ −x t( ) 2 ≤ qMtN , t ∈ ( 0, ρ ] , (16)
hde ρ ∈ ( 0, τ ) , ρ dostatoçno malo, M, q dostatoçno velyky.
S druhoj storon¥, polahaq ω ( t ) = x t x
t
( ) +
1
2 2
, poluçaem zadaçu Koßy
t t′ω ( ) =
35
8
1
2 2
t t
t− +
ω ω( ) , ω ( 0 ) = 0,
yly
t t t( ( ))ω ′ =
35
8 2 2
2t
t t+
ω , ω ( 0 ) = 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1350 A. E. ZERNOV, O. R. ÇAJÇUK
PoloΩyv t ω ( t ) = z ( t ) , poluçym zadaçu Koßy
tz t′( ) =
35
8 2
2t z
t+
, z ( 0 ) = 0.
Esly yskat\ ee reßenye v vyde stepennoho rqda z ( t ) = e t e t e t1 2
2
3
3+ + +…,
to posledovatel\no najdem e1 = 0, e2 =
5
2
, e3 = e4 = … = 0. Znaçyt, z ( t ) =
=
5
2
2t . Poπtomu ω ( t ) =
5
2
t , y dlq x ( t ) ymeem funkcyonal\noe uravnenye
x ( t ) +
1
2 2
x
t
=
5
2
t
s naçal\n¥m uslovyem x ( 0 ) = 0. Esly yskat\ reßenye πtoj zadaçy v vyde ste-
pennoho rqda x ( t ) = γ γ γ1 2
2
3
3t t t+ + +… , to posledovatel\no poluçym γ1 = 2,
γ2 = γ3 = … = 0. Takym obrazom, zadaça (15) ymeet reßenye x ( t ) = 2t.
Oçevydno, dlq lgboho fyksyrovannoho natural\noho N πto reßenye udovlet-
vorqet uslovyqm (16).
Prymer(2. Rassmotrym zadaçu Koßy
t x t′( ) = –
8
5
12
5
16
15 4 3 2
t x t x
t t
x
t+ −
− ′
( ) , x ( 0 ) = 0, (17)
hde x : ( 0, τ ) → R — neyzvestnaq funkcyq ( τ > 0 — lgboe fyksyrovannoe) .
Zdes\
a ( t ) = a1 t = –
8
5
t , b1 ( t ) = b10 =
12
5
, b2 ( t ) = b20 = –
16
15
, b3 ( t ) = b30 = –
1
3
,
g ( t ) = g1 t =
1
4
t , h ( t ) = h1 t =
1
2
t , β ( t ) = t ( y potomu β0 = 1 ) .
Xotq ukazann¥e v¥ße dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq funkcyy ξ :
( 0, τ ) → R zdes\ ne v¥polnen¥ (ony ne v¥polnen¥ dlq k = 2 ), netrudno ube-
dyt\sq v tom, çto funkcyq ξ ( t ) = 2 2t Ct+ ( C ∈ R — lgboe) udovletvorqet
uslovyqm (5) y (6) dlq lgboho fyksyrovannoho natural\noho N ≥ 5. Oçevydno,
uslovyq A, B v¥polnen¥, pryçem b10 < N + β0 . V sootvetstvyy s teoremojO1
dlq kaΩdoho fyksyrovannoho znaçenyq C ∈ R zadaça (17) ymeet nepustoe mno-
Ωestvo reßenyj x : ( 0, ρ ] → R takyx, çto
x t t Ct( ) − −2 2 ≤ MtN +1, ′ − −x t Ct( ) 2 2 ≤ qMtN , t ∈ ( 0, ρ ] , (18)
hde ρ ∈ ( 0, τ ) dostatoçno malo, M, q dostatoçno velyky.
S druhoj storon¥, polahaq ω ( t ) = x t x
t
( ) +
2
3 2
, poluçaem zadaçu Koßy
t t′ω ( ) = –
8
5
12
5
8
5 2
t
t
t+ −
ω ω( ) , ω ( 0 ) = 0.
Esly yskat\ ee reßenye v vyde stepennoho rqda ω ( t ) = e t e t e t1 2
2
3
3+ + +… ,
to posledovatel\no najdem
e1 =
8
3
, e2 ∈ R — proyzvol\noe, e3 = e4 = … = 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KAÇESTVENNOE YSSLEDOVANYE SYNHULQRNOJ ZADAÇY KOÍY … 1351
Takym obrazom, ω ( t ) =
8
3 2
2t e t+ , e2 ∈ R — lgboe. Dlq x ( t ) ymeem funkcyo-
nal\noe uravnenye
x t x
t
( ) +
2
3 2
=
8
3 2
2t e t+ ( e2 ∈ R — lgboe )
s naçal\n¥m uslovyem x ( 0 ) = 0. Budem yskat\ reßenye πtoj zadaçy v vyde ste-
pennoho rqda x ( t ) = γ γ γ1 2
2
3
3t t t+ + +… y posledovatel\no najdem
γ1 = 2, γ2 =
6
7 2e , e3 = e4 = … = 0.
Znaçyt, zadaça (17) ymeet mnoΩestvo reßenyj vyda x ( t ) = 2 2t Ct+ , hde C =
=
6
7 2e , tak kak e2 ∈ R proyzvol\no, to y C ∈ R proyzvol\no. Oçevydno, pry
lgb¥x fyksyrovann¥x C ∈ R y N ( N natural\noe, N ≥ 5 ) πto reßenye
udovletvorqet uslovyqm (18).
2. Vozmuwennoe lynejnoe uravnenye. Rassmotrym zadaçu Koßy
t x t′( ) = at b x t b x g t t x t x g t x t x h t+ + + ′ ′1 2( ) ( ( )) ( , ( ), ( ( )), ( ), ( ( )))ϕ ,
(19)
x ( 0 ) = 0,
v predpoloΩenyy, çto v¥polnen¥ sledugwye uslovyq C :
1) a, b1, b2 — postoqnn¥e, g : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vno dyfferen-
cyruemaq funkcyq, g t g t g t( ) ( )= + ∗1 , t ∈ ( 0, τ ) , g1 — postoqnnaq, b b g1 2 1+ ≠
≠ O1, lim ( )
t
g t
→ + ∗ =
0
0 , lim ( )( ( ))
t
tg t g t g
→ +
−′ =
0
1
0 , 0 ≤ g0 < + ∞ ;
2) dlq lgb¥x toçek ti ∈ ( 0, τ ) , i ∈ { 1, 2 } , v¥polneno uslovye (4);
3) ϕ: D → R — neprer¥vnaq funkcyq, D = ( , , , , ) : ( , ),t y y y y t1 2 3 4 0∈{ τ
y r t1 1< , y r g t y r y r2 2 3 3 4 4< < < }( ), , ;
4) ϕ ϕ( , , , , ) ( , , , , )t y y y y s y y y y1 2 3 4 1 2 3 4− ≤ l t t s0( )∗ − dlq lgb¥x toçek ( t,
y1, y2, y3, y4 ) ∈ D, ( s, y1, y2, y3, y4 ) ∈ D, udovletvorqgwyx uslovyg 0 < t* ≤ t ,
0 < t* ≤ s , hde l0 : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vnaq nevozrastagwaq funkcyq;
5) ϕ ϕ( , , , , ) ( , , , , )t y y y y t z z z z1 2 3 4 1 2 3 4− ≤ l t y z l t y z1 1 1 2 2 2( ) ( )− + − +
+ l t y z l t y z3 3 3 4 4 4− + − dlq lgb¥x toçek ( t, y1, y2, y3, y4 ) ∈ D, ( t, z1, z2, z3,
z4 ) ∈ D, hde li : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vn¥e funkcyy, lim ( )
t il t
→ +0
= 0,
i ∈ { 1, 2 } , l3, l4 — postoqnn¥e, l3 + l4 < 1;
6) ϕ ( , , ( ), , )t ct cg t c c ≤ t α ( t ) , t ∈ ( 0, τ ) , hde c — postoqnnaq, udovletvorq-
gwaq uslovyqm a b c b g c c+ + =1 2 1 1, c r r r r< min{ , , , }1 2 3 4 , α : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ )
— neprer¥vnaq funkcyq, lim ( )
t
t
→ +
=
0
0α .
Oboznaçym çerez U2 ( ρ, M, q ) mnoΩestvo vsex neprer¥vno dyfferencyrue-
m¥x funkcyj u : ( 0, ρ ] → R, kaΩdaq yz kotor¥x udovletvorqet uslovyqm
u t ct( ) − ≤ Mt tβ( ),
(20)
′ −u t c( ) ≤ qM tβ( ) ,
t ∈ ( 0, ρ ] .
Zdes\ ρ, M, q — poloΩytel\n¥e postoqnn¥e, ρ < τ .
Nazovem uslovyqmy�D sovokupnost\ sledugwyx uslovyj :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1352 A. E. ZERNOV, O. R. ÇAJÇUK
1) suwestvuet neprer¥vno dyfferencyruemaq neub¥vagwaq funkcyq β :
( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) , udovletvorqgwaq uslovyqm
lim ( )
t
t
→ +
=
0
0β , lim ( )( ( ))
t
t t t
→ +
−′ =
0
1
0β β β ,
lim ( )( ( ))
t
g t t L
→ + ∗
− =
0
1
1β , lim ( )( ( ))
t
t t L
→ +
− =
0
1
2α β ,
0 ≤ β0 < + ∞ , 0 ≤ Li < ∞ , i ∈ { 1, 2 } ;
2) b1 01≠ + β ;
3) ( )l l b b3 4 1 2+ + < b l l1 0 3 41 1− − − −β ( ).
Teorema(2. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq C, D. Tohda suwestvugt ρ, M , q
takye, çto:
1) esly b1 01> + β , to zadaça (19) ymeet beskoneçnoe mnoΩestvo reßenyj
x : ( 0, ρ ] → R, kaΩdoe yz kotor¥x prynadleΩyt mnoΩestvu U2 ( ρ, M, q ) . Pry
lgbom v¥bore postoqnnoj α, udovletvorqgwej neravenstvu α ρ− c <
< Mρβ ρ( ), najdetsq reßenye xα ∈ U2 ( ρ, M, q ) takoe, çto xα ρ α( ) = ;
2) esly b1 01< + β , to zadaça (19) ymeet nepustoe mnoΩestvo reßenyj
x : ( 0, ρ ] → R, kaΩdoe yz kotor¥x prynadleΩyt mnoΩestvu U2 ( ρ, M, q ) .
Dokazatel\stvo. V¥berem postoqnn¥e M , q tak, çtob¥ v¥polnqlys\ us-
lovyq
b b1 1 01+ − − β < q < b b l l1 0 2 3 4
11− − −( ) + −β ( ) , esly l l3 4+ > 0,
q > b b1 1 01+ − − β , esly l l3 4+ = 0,
M > b L L b b q l l2 1 2 1 0 2 3 4
11+( ) − − − − +( )−β ( ) .
Neravenstva, opredelqgwye v¥bor ρ, zdes\ ne pryvodqtsq vvydu ohranyçenno-
sty obæema stat\y; otmetym lyß\, çto ρ dostatoçno malo. Pust\ B — pro-
stranstvo neprer¥vno dyfferencyruem¥x funkcyj x : [ 0, ρ ] → R s normoj
(10). Oboznaçym çerez U podmnoΩestvo B, kaΩd¥j πlement u : [ 0, ρ ] → R
kotoroho udovletvorqet uslovyqm (20), pryçem u ( 0 ) = 0, u ′ ( 0 ) = c, y, krome
toho, v¥polneno uslovye (11), hde δ ( ε ) = ( ) ( ( ))1 23 4
1− − −l l B tε ε . Zdes\ B t( )ε =
= l t t t0
1 2( )ε ε ε
− −+ , pryçem postoqnnaq tε ∈ ( 0, ρ ) v¥brana tak, çtob¥ β ( t ) <
< ( )( )1 83 4
1− − −l l qM ε pry t ∈ ( 0, tε ] . MnoΩestvo U zamknuto, v¥puklo, ohra-
nyçeno y (v sootvetstvyy s kryteryem Arcela) kompaktno.
Rassmotrym dyfferencyal\noe uravnenye
x ′ ( t ) = a b t x t b t u g t t t u t u g t u t u h t+ + + ′ ′− − −
1
1
2
1 1( ) ( ( )) ( , ( ), ( ( )), ( ), ( ( )))ϕ , (21)
hde u ∈ U — proyzvol\naq fyksyrovannaq funkcyq. Dal\nejßye rassuΩde-
nyq analohyçn¥ tem, kotor¥e proveden¥ pry dokazatel\stve teorem¥O1. Zdes\
sleduet poloΩyt\
Φ1 = ( , ) : ( , ], ( )t x t x ct Mt t∈ − ={ }0 ρ β ,
D1 = ( , ) : ( , ], ( )t x t x ct Mt t∈ − <{ }0 ρ β ,
H = ( , ) : , ( )t x t x c M= − <{ }ρ ρ ρβ ρ ,
A1 ( t, x ) = ( ) ( )( )–x ct t t− 2 2β ,
zatem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KAÇESTVENNOE YSSLEDOVANYE SYNHULQRNOJ ZADAÇY KOÍY … 1353
Φ2 ( ν ) = ( , ) : ( , ], ( ) ( )( ln )t x t x x t t t tu∈ − = −{ }0 ρ ν β ,
D2 ( ν ) = ( , ) : ( , ], ( ) ( )( ln )t x t x x t t t tu∈ − < −{ }0 ρ ν β ,
hde ν — parametr, ν ∈ ( 0, 1 ] , A2 ( t, x ) = ( ( )) ( ( )( ln ))–x x t t t tu− −2 2β y, nakonec,
Φ3 = ( , ) : ( , ], ( ) ( ( ))t x t x x t d t t∈ − ={ }−0 2
1ρ γ βν ν ,
D3 = ( , ) : ( , ], ( ) ( ( ))t x t x x t d t t∈ − <{ }−0 2
1ρ γ βν ν ,
hde d = u u B1 2− , d > 0, x2 = Tu2 , γ, ν — postoqnn¥e, udovletvorqgwye
uslovyqm
0 < ν < min ,
( )
1
1
3 1
1 0
0
b − −
+
β
β
, γ >
3 2 1 1
1
2
1
0
1 0
( )( ) ( )b M
b
− + +
− −
ν β
β
,
A3 ( t, x ) = ( ( )) ( )( )– ( )x x t t t− −
2
2 2 1β ν .
Esly b1 01> + β , to dokaz¥vaem, çto kaΩdaq yz yntehral\n¥x kryv¥x uravne-
nyq (21), peresekagwyx H, leΩyt v D1 pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] . Zatem v¥byraem y
fyksyruem toçku G ( ρ, α ) ∈ H y oboznaçaem çerez Ju : ( t, xu ( t )) yntehral\nug
kryvug uravnenyq (21), proxodqwug çerez toçku G. Esly b1 01< + β , to doka-
z¥vaem, çto sredy yntehral\n¥x kryv¥x uravnenyq (21), peresekagwyx H,
lyß\ odna leΩyt v D1 pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] . Ee m¥ y oboznaçaem çerez Ju :
( t, xu ( t )) . Polahaem po opredelenyg xu ( 0 ) = 0, ′ =x cu( )0 y dokaz¥vaem, çto
xu ∈ U. Opredelqem operator T : U → U ravenstvom Tu = xu . Pry dokaza-
tel\stve neprer¥vnosty operatora T : U → U snova pryxodym k neravenstvu
(14). Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥O2 prymenqem k operatoru T :
U → U teoremu Íaudera o nepodvyΩnoj toçke.
Prymer(3. Rassmotrym zadaçu Koßy
t x t′( ) = – t x t t x t x t t x t t x t x t+ + ′ ′ + ′ − ′2 22 2 2 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), x ( 0 ) = 0, (22)
hde x : ( 0, τ ) → R — neyzvestnaq funkcyq ( τ > 0 — postoqnnaq ) . Zdes\ a =
= – 1, b1 = 2, b2 = 0, funkcyq ϕ : D → R opredelena ravenstvom
ϕ ( t, y1, y3, y4 ) = t y y t y t y y2
3 4
2
4 1 42+ − ,
pryçem
D = ( , , , ) : ( , ), , ,t y y y t y t y y1 3 4 1 3 40 2 2 2∈ < < <{ }τ .
MoΩem vzqt\ l3 = 2 τ
2, l4 = 4 τ + 3 τ
2. Postoqnnaq c opredelqetsq yz
uravnenyq – 1 + 2c = c, t. e. c = 1, poπtomu ϕ ( t, ct, c, c ) = ϕ ( t, t, 1, 1 ) = 0, t ∈
∈ ( 0, τ ) , y moΩno sçytat\, çto α( )t tr= , hde r > 0 — lgboe. Pust\ β( )t tr= ,
hde r > 0, r ≠ 1. Tohda β0 = r . Esly pry postanovke zadaçy v¥brat\ τ > 0
dostatoçno mal¥m, to moΩno dobyt\sq v¥polnenyq uslovyq
0 23 4+ + ⋅( )l l < 2 1 1 3 4− − − −r l l( ).
Poskol\ku v¥polnen¥ uslovyq C, D, sohlasno teoremeO2 ymeem sledugwee.
1. Esly 0 < r < 1, to b1 01> + β . Poπtomu zadaça (22) ymeet beskoneçnoe
mnoΩestvo reßenyj x : ( 0, ρ ] → R, kaΩdoe yz kotor¥x udovletvorqet uslo-
vyqm
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1354 A. E. ZERNOV, O. R. ÇAJÇUK
x t t( ) − ≤ Mt r1+ , ′ −x t( ) 1 ≤ qMtr , t ∈ ( 0, ρ ] . (23)
Zdes\ ρ ∈ ( 0, τ ) , ρ dostatoçno malo, M, q dostatoçno velyky.
2. Esly r > 1, to b1 01< + β . Poπtomu zadaça (22) ymeet nepustoe mnoΩe-
stvo reßenyj x : ( 0, ρ ] → R, kaΩdoe yz kotor¥x udovletvorqet uslovyqm (23).
S druhoj storon¥, perepysav zadaçu (22) v vyde
( ( ) ( ))( ( ))t x t t x t t x t′ + − − ′2 1 2 = 0, x ( 0 ) = 0,
najdem mnoΩestvo ee reßenyj:
x ( t ) = t + Ct
2, hde C ∈ R — lgboe, x ( t ) = 2 t .
Lehko vydet\, çto pry r < 1 kaΩdoe yz reßenyj semejstva x t t Ct( ) = + 2
udov-
letvorqet neravenstvam (23) (dlq C M≤ ), a esly r > 1, to sredy reßenyj
ukazannoho semejstva najdetsq tol\ko odno, ymegwee svojstva (23), a ymenno
x ( t ) = t. Nalyçye „dopolnytel\noho” reßenyq x ( t ) = 2 t ne protyvoreçyt
utverΩdenyg teorem¥O2.
3. Nelynejnoe uravnenye. Rassmotrym zadaçu Koßy
t x t′( ) = f t x t x g t x t x h t( , ( ), ( ( )), ( ), ( ( )))′ ′ ,
(24)
x ( 0 ) = 0,
v predpoloΩenyy, çto v¥polnen¥ uslovyq�E :
1) g : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) , h : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vno dyfferencyrue-
m¥e neub¥vagwye funkcyy, lim ( )( ( ))
t
tg t g t
→ +
−′
0
1 = g0
, lim ( )( ( ))
t
th t h t
→ +
−′
0
1 = h0
,
0 ≤ g0 < + ∞ , 0 ≤ h0 < + ∞ y dlq lgb¥x toçek ti ∈ ( 0, τ ) , i ∈ { 1, 2 } , v¥pol-
neno uslovye (4);
2) f : D → R — neprer¥vnaq funkcyq,
D = ( , , , , ) : ( , ), ( ), ( ( )),t y y y y t y t y g t1 2 3 4 1 20∈ < <{ τ µ µ
y t t y h t h t3
1
4
1< < }− −µ µ( ) , ( ( ))( ( )) ;
zdes\ µ : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vnaq funkcyq, lim ( )
t
t
→ +0
µ = 0;
3) f t t( , , , , ) ( )0 0 0 0 ≤ α , t ∈ ( 0, τ ) , hde α : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vno
dyfferencyruemaq neub¥vagwaq funkcyq, lim ( )( ( ))
t
t t
→ +
−
0
1α µ = 0;
4) f t y y y y f s y y y y l t t s( , , , , ) ( , , , , ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4 0− ≤ −∗ dlq lgb¥x toçek ( , ,t y1
y y y D2 3 4, , ) ∈ , ( , , , , )s y y y y D1 2 3 4 ∈ , udovletvorqgwyx uslovyg 0 < t* ≤ t,
0 < t* ≤ s, hde l0 : ( 0, τ ) → ( 0, + ∞ ) — neprer¥vnaq nevozrastagwaq funkcyq;
5) f t y y y y f t z z z z( , , , , ) ( , , , , )1 2 3 4 1 2 3 4− ≤ l y z l t g t y z1 1 1 2
1
2 2− + −−α α( )( ( ( ))) +
+ l t y z l h t y z3 3 3 4 4 4− + −( ) dlq lgb¥x toçek ( , , , , )t y y y y D1 2 3 4 ∈ , ( , , ,t z z1 2
z z D3 4, ) ∈ , hde lj — postoqnn¥e, j ∈ { 1, 2, 3, 4 } , l l3 4+ < 1.
Oboznaçym çerez U3 ( ρ, M, q ) mnoΩestvo vsex neprer¥vno dyfferencyrue-
m¥x funkcyj u : ( 0, ρ ] → R, kaΩdaq yz kotor¥x udovletvorqet uslovyqm
u t( ) ≤ M tα( ) , ′u t( ) ≤ ( ) ( )/q M t t+ 1 α , t ∈ ( 0, ρ ] .
Zdes\ ρ, M, q — poloΩytel\n¥e postoqnn¥e, ρ < t. Zametym, çto yz sdelan-
n¥x predpoloΩenyj ne sleduet, çto v¥raΩenye α( )/t t ohranyçeno pry t ∈
∈ ( 0, ρ ] .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KAÇESTVENNOE YSSLEDOVANYE SYNHULQRNOJ ZADAÇY KOÍY … 1355
Nazovem uslovyqmyOF sovokupnost\ sledugwyx uslovyj:
1) lim ( )( ( ))
t
t t t
→ +
−′ =
0
1
0α α α , 0 < α0 < + ∞ ;
2) l l l l1 2 0 3 42+ + + +( )( )α < α0
.
Teorema(3. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq E, F. Tohda suwestvugt ρ, M , q
takye, çto zadaça (24) ymeet nepustoe mnoΩestvo reßenyj x : ( 0, ρ ] → R,
kaΩdoe yz kotor¥x prynadleΩyt mnoΩestvu U3 ( ρ, M, q ) .
Dokazatel\stvo. V¥berem postoqnn¥e M , q tak, çtob¥ v¥polnqlys\ us-
lovyq
1 0+ α < q < ( )( )α0 1 2 3 4
1 1− − + −−l l l l , esly l l3 4+ > 0,
q > 2 0+ α , esly l l3 4+ = 0,
M > ( ( )( ))α0 1 2 3 4
11− − − + + −l l l l q .
Neravenstva, opredelqgwye v¥bor ρ, zdes\ ne pryveden¥ vvydu ohranyçenno-
sty obæema stat\y; otmetym lyß\, çto ρ dostatoçno malo. Pust\ B — pro-
stranstvo neprer¥vno dyfferencyruem¥x funkcyj x : [ 0, ρ ] → R s normoj
(10). Oboznaçym çerez U podmnoΩestvo B, kaΩd¥j πlement u : [ 0, ρ ] → R
kotoroho udovletvorqet neravenstvam
u t( ) ≤ Mt tα( ) , ′u t( ) ≤ qM tα( ), t ∈ ( 0, ρ ] ,
pryçem u ( 0 ) = 0, u ′ ( 0 ) = 0 y, krome toho, v¥polneno uslovye (11), hde δ ( ε ) =
= ( ) ( ( ))1 23 4
1− − −l l B tε ε . Zdes\
B t( )ε = l t g t g t h t0
1 1( ) ( ) ( ) ( )( )ε ε ε εα+ ( ) + ( )− − ,
pryçem postoqnnaq tε ∈ ( 0, ρ ) v¥brana tak, çtob¥ α ( t ) < ( )( )1 83 4
1− − −l l qM ε
pry t ∈ ( 0, tε ] . MnoΩestvo U zamknuto, v¥puklo, ohranyçeno y (v sootvetstvyy
s kryteryem Arcela) kompaktno.
Polahaq x = y / t, hde y : ( 0, τ ) → R — novaq neyzvestnaq funkcyq, poluça-
em zadaçu Koßy
t y t′( ) = y t tf t
y t
t
y g t
g t
y t
t
y t
t
y h t
h t
y h t
h t
( ) ,
( )
,
( ( ))
( )
,
( ) ( )
,
( ( ))
( )
( ( ))
( ( ))
+ ′ − ′ −
2 2 ,
y ( 0 ) = 0.
Rassmotrym dyfferencyal\noe uravnenye
′y t( ) =
y t
t
f t
u t
t
u g t
g t
u t
t
u t
t
u h t
h t
u h t
h t
( )
,
( )
,
( ( ))
( )
,
( ) ( )
,
( ( ))
( )
( ( ))
( ( ))
+ ′ − ′ −
2 2 , (25)
hde u ∈ U — proyzvol\naq fyksyrovannaq funkcyq. Pust\ D 0 = ( , ) :t y{
t y∈ ∈ }( , ],0 ρ R . Esly ( , )t y D∈ 0, to dlq uravnenyq (25) v¥polnen¥ uslovyq
teorem¥ suwestvovanyq y edynstvennosty reßenyq y neprer¥vnoj zavysymosty
reßenyj ot naçal\n¥x dann¥x. Dalee provodym rassuΩdenyq, analohyçn¥e ta-
kov¥m pry dokazatel\stve teorem¥O1. Oboznaçym
Φ1 = ( , ) : ( , ], ( )t y t y Mt t∈ ={ }0 ρ α ,
D1 = ( , ) : ( , ], ( )t y t y Mt t∈ <{ }0 ρ α ,
H = ( , ) : , ( )t y t y M= <{ }ρ ρα ρ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1356 A. E. ZERNOV, O. R. ÇAJÇUK
Opredelym vspomohatel\nug funkcyg A1 : D0 → [ 0, + ∞ ) ravenstvom A1 ( t, y ) =
= y t t2 2( ( ))α −
y dokaΩem, çto ee proyzvodnaq v sylu uravnenyq (25) otrycatel\-
na pry ( t, y ) ∈ Φ1
. Poπtomu sredy yntehral\n¥x kryv¥x uravnenyq (25), perese-
kagwyx H, najdetsq xotq b¥ odna, kotoraq opredelena pry t ∈ ( 0, ρ ] y leΩyt
v D1 pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] ; oboznaçym πtu yntehral\nug kryvug çerez Ju : ( t,
yu ( t )) . Zatem dokaΩem, çto sredy yntehral\n¥x kryv¥x uravnenyq (25), perese-
kagwyx H, tol\ko Ju : ( t, yu ( t )) leΩyt v D1 pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] . S πtoj cel\g
rassmotrym odnoparametryçeskye semejstva mnoΩestv
Φ2 ( ν ) = ( , ) : ( , ], ( ) ( )( ln )t y t y y t t t tu∈ − = −{ }0 ρ ν α ,
D2 ( ν ) = ( , ) : ( , ], ( ) ( )( ln )t y t y y t t t tu∈ − < −{ }0 ρ ν α ,
hde ν — parametr, ν ∈ ( 0, 1 ] ; vspomohatel\naq funkcyq A2 : D0 → [ 0, + ∞ )
opredelena ravenstvom A2 ( t, y ) = ( )( ) ( ( )( ln ))y y t t t tu− −− −2 2α . Zatem polahaem
po opredelenyg yu( )0 0= , ′ =yu( )0 0 y dokaz¥vaem, çto y Uu ∈ . Opredelqem
operator T : U → U ravenstvom Tu = yu y dokaz¥vaem, çto operator T : U →
→ U neprer¥ven. Dlq πtoho provodym te Ωe rassuΩdenyq, çto y v sootvetst-
vugwej çasty dokazatel\stva teorem¥O1 ( sluçaj b10 < N + β0 ) . Zdes\
Φ3 = ( , ) : ( , ], ( ) ( )( ( ) ( ) ( ( )))t y t y y t d t t g t h t g t∈ − ={ }−0 2ρ γ α αν ν ,
D3 = ( , ) : ( , ], ( ) ( )( ( ) ( ) ( ( )))t y t y y t d t t g t h t g t∈ − <{ }−0 2ρ γ α αν ν ,
hde d = u u B1 2− , d > 0, y2 = Tu2 , ν, γ — postoqnn¥e, udovletvorqgwye us-
lovyqm
0 < ν < min , ( )1
3
0
0 0 0 0
1α αg h g+ +
− , esly g h g0 0 0 0+ + α > 0,
0 < ν < 1, esly g0 = h0 = 0,
γ >
3
2 2
0
1
1 2α
ν( ) ( )M l l− + + ,
vspomohatel\naq funkcyq A3 : D0 → [ 0, + ∞ ) opredelqetsq ravenstvom
A3 ( t, y ) = ( ) ( )( ) ( )( ( ) ( ) ( ( )))y y t t t g t h t g t− − −
2
2 2α α ν .
Dokaz¥vaem, çto yntehral\naq kryvaq J1 : ( t, y1 ( t )) dyfferencyal\noho urav-
nenyq
′y t( ) =
y t
t
f t
u t
t
u g t
g t
u t
t
u t
t
u h t
h t
u h t
h t
( )
,
( )
,
( ( ))
( )
,
( ) ( )
,
( ( ))
( )
( ( ))
( ( ))
+ ′ − ′ −
1 1 1 1
2
1 1
2
leΩyt v D3 pry vsex t ∈ ( 0, ρ ] , posle çeho poluçaem
y t y t y t y t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )− + ′ − ′ ≤ d g t h t g tν να( ) ( ) ( )( )( )− , t ∈ ( 0, ρ ] . (26)
Poskol\ku y ti( ) → 0 , ′ →y ti( ) 0 , t → + 0, i ∈{ , }1 2 , yz (26) sleduet neprer¥v-
nost\ operatora T : U → U (analohyçn¥my rassuΩdenyqmy s pomow\g (14)
b¥la dokazana neprer¥vnost\ operatora T : U → U pry dokazatel\stve teore-
m¥O1).
Dokazatel\stvo teorem¥O3 zaverßaetsq prymenenyem k operatoru T : U →
→ U teorem¥ Íaudera o nepodvyΩnoj toçke.
Prymer(4. Rassmotrym zadaçu Koßy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KAÇESTVENNOE YSSLEDOVANYE SYNHULQRNOJ ZADAÇY KOÍY … 1357
t x t′( ) =
t
x
t
x
t
x t x
t
x
t
20 2 9
1
20 9 2
2 2′
+
′ −
′
( ) , x ( 0 ) = 0, (27)
hde x : ( 0, τ ) → R — neyzvestnaq funkcyq ( τ > 0 — postoqnnaq). Pust\ dalee
D = ( , , , ) : ( , ), , ,t y y y t y
t
y y2 3 4 2 3 40
9
1 1∈ < < <{ }τ
( t. e. polahaem µ ( t ) = t ) , a funkcyq f : D → R opredelena ravenstvom
f t y y y( , , , )2 3 4 =
ty
y y
y y4
2
2
3
2
2
4
20 20
+ − .
Tohda zadaçu (27) moΩno zapysat\ v vyde
t x t′( ) = f t x
t
x t x
t
, , ( ),
9 2
′ ′
, x ( 0 ) = 0. (28)
Zdes\ f ( t, 0, 0, 0 ) = 0, t ∈ ( 0, τ ) , y poπtomu polahaem α ( t ) = t
r, hde r > 1 —
lgboe fyksyrovannoe; tohda α0 = r. Lehko vydet\, çto moΩno v¥brat\
l1 = 0, l2 =
7
30
τ
, l3 =
τ
81
, l4 =
1
10 810
+ τ
.
Pry postanovke zadaçy moΩno vzqt\ stol\ maloe τ, çtob¥ v¥polnqlos\ us-
lovye
l l l l1 2 0 3 42+ + + +( )( )α < α0 ,
tak kak
α0 > 1 ⇒ α0 >
2
9
⇒ ( )α0 2
1
10
+ < α0 .
Poskol\ku v¥polnen¥ uslovyq E, F, na osnovanyy teorem¥O3 zadaça (28)
ymeet nepustoe mnoΩestvo reßenyj x : ( 0, ρ ] → R takyx, çto
x t( ) ≤ Mtr , ′x t( ) ≤ ( )q Mtr+ −1 1, t ∈ ( 0, ρ ] , (29)
hde ρ ∈ ( 0, τ ) , ρ dostatoçno malo, M, q dostatoçno velyky.
S druhoj storon¥, rassmatryvaemug zadaçu (27) moΩno zapysat\ v vyde
′ − ′
−
x t x
t
t x
t
( )
1
20 2 9
2 = 0, x ( 0 ) = 0,
otkuda sleduet, çto lybo x = ± 3 t , lybo x ( t ) udovletvorqet funkcyonal\-
nomu uravnenyg
x ( t ) =
1
10 2
x
t
s naçal\n¥m uslovyem x ( 0 ) = 0. Esly yskat\ reßenyq poslednej zadaçy v vyde
stepennoho rqda x ( t ) = c t c t c t1 2
2
3
3+ + + …, to posledovatel\no poluçym c1 =
= c2 = c3 = … = 0 y, sledovatel\no, x ( t ) = 0.
Oçevydno, reßenye x ( t ) = 0 zadaçy (27) udovletvorqet uslovyqm (29) pry
lgbom fyksyrovannom r > 1 y pry lgb¥x poloΩytel\n¥x q, M. Suwestvo-
vanye „dopolnytel\n¥x” dvux reßenyj zadaçy (27)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1358 A. E. ZERNOV, O. R. ÇAJÇUK
x ( t ) = 3 t , x ( t ) = – 3 t
ne protyvoreçyt utverΩdenyg teorem¥O3.
1. Azbelev N. V., Maksymov V. P., Raxmatullyna L. F. Vvedenye v teoryg funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1991. – 280 s.
2. Azbelev N. V. Sovremennoe sostoqnye y tendencyy razvytyq teoryy funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1999. – # 6. – S. 8 – 19.
3. Azbelev N. V., Maksymov V. P., Raxmatullyna L. F. ∏lement¥ sovremennoj teoryy funk-
cyonal\no-dyfferencyal\n¥x uravnenyj. Metod¥ y pryloΩenyq. – M.: Yn-t komp\gter.
yssled., 2002. – 384 s.
4. Axmerov R. R., Kamenskyj M. Y., Potapov A. S. y dr. Teoryq uravnenyj nejtral\noho typa //
Ytohy nauky y texnyky. Mat. analyz. – 1981. – 19. – S.O55 – 126.
5. Pelgx H. P., Íarkovskyj A. N. Vvedenye v teoryg funkcyonal\n¥x uravnenyj. – Kyev:
Nauk. dumka, 1974. – 120Os.
6. Xejl DΩ. Teoryq funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Myr, 1984. – 421Os.
7. Eruhyn N. P. Knyha dlq çtenyq po obwemu kursu dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – Mynsk:
Nauka y texnyka, 1972. – 664Os.
8. Kyhuradze Y. T. Nekotor¥e synhulqrn¥e kraev¥e zadaçy dlq ob¥knovenn¥x dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj. – Tbylysy: Yzd-vo Tbylys. un-ta, 1975. – 352Os.
9. Çeçyk V. A. Yssledovanye system ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj s
synhulqrnost\g // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1959. – # 8. – S.O155 – 198.
10. Azbelev N. V., Alveß M. Û., Brav¥j E. Y. O synhulqrn¥x kraev¥x zadaçax dlq lynejnoho
funkcyonal\no-dyfferencyal\noho uravnenyq vtoroho porqdka // Yzv. vuzov. Matematyka.
– 1999. – # 2. – S. 3 – 11.
11. Alveß M. Û. O razreßymosty dvuxtoçeçnoj kraevoj zadaçy dlq synhulqrnoho
nelynejnoho funkcyonal\no-dyfferencyal\noho uravnenyq // Tam Ωe. – S. 12 – 19.
12. Brav¥j E. Y. O razreßymosty odnoj kraevoj zadaçy dlq nelynejnoho synhulqrnoho
funkcyonal\no-dyfferencyal\noho uravnenyq // Tam Ωe. – 1993. – # 5. – S. 17 – 23.
13. Brav¥j E. Y. Lynejn¥e funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥e uravnenyq s vnutrennymy
synhulqrnostqmy: Avtoref. dys. … kand. fyz.-mat. nauk. – Perm\, 1996. – 18 s.
14. Íyndqpyn A. Y. O kraevoj zadaçe dlq odnoho synhulqrnoho uravnenyq // Dyfferenc.
uravnenyq. – 1984. – 20, # 3. – S. 450 – 455.
15. Grimm L. J. Analytic solutions of a neutral differential equation near a singular point // Proc.
Amer. Math. Soc. – 1972. – 36, # 1. – P. 187 – 190.
16. Grimm L. J., Hall L. M. Holomorphic solutions of singular functional differential equations // J.
Math. Anal. and Appl. – 1975. – 50, # 3. – P. 627 – 638.
17. Zernov A. E. O razreßymosty y asymptotyke reßenyj nekotoroho funkcyonal\no-dyf-
ferencyal\noho uravnenyq s synhulqrnost\g // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 4. –
S.O455 – 465.
18. Demydovyç B. P. Lekcyy po matematyçeskoj teoryy ustojçyvosty. – M.: Nauka, 1967. –
472Os.
19. Zernov A. E. O razreßymosty y asymptotyçeskyx svojstvax reßenyj odnoj synhulqrnoj
zadaçy Koßy // Dyfferenc. uravnenyq. – 1992. – 28, # 5. – S. 756 – 760.
20. Zernov A. E. Kaçestvenn¥j analyz neqvnoj synhulqrnoj zadaçy Koßy // Ukr. mat. Ωurn. –
2001. – 53, # 3. – S. 302 – 310.
Poluçeno 23.03.2004,
posle dorabotky — 05.10.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|