Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке

Запропоновано метод одержання монотонно спадної послідовності верхніх оцінок порогу перколяції бернуллієвського випадкового поля на Z² та на її основі — метод побудови апроксимацій із гарантованою оцінкою точності для ймовірності перколяції. Обчислено перший член c₂=0,74683 цієї послідовності....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2005
Автори: Вирченко, Ю.П., Толмачева, Ю.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:Український математичний журнал
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165845
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке / Ю.П. Вирченко, Ю.А. Толмачева // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1315–1326. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-165845
record_format dspace
spelling irk-123456789-1658452020-02-17T01:27:38Z Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке Вирченко, Ю.П. Толмачева, Ю.А. Статті Запропоновано метод одержання монотонно спадної послідовності верхніх оцінок порогу перколяції бернуллієвського випадкового поля на Z² та на її основі — метод побудови апроксимацій із гарантованою оцінкою точності для ймовірності перколяції. Обчислено перший член c₂=0,74683 цієї послідовності. We suggest a method for obtaining a monotonically decreasing sequence of upper bounds of percolation threshold of the Bernoulli random field on Z². On the basis of this sequence, we obtain a method of constructing approximations with the guaranteed exactness estimate for a percolation probability. We compute the first term c₂=0,74683 of the considered sequence. 2005 Article Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке / Ю.П. Вирченко, Ю.А. Толмачева // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1315–1326. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165845 519.2 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Вирченко, Ю.П.
Толмачева, Ю.А.
Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке
Український математичний журнал
description Запропоновано метод одержання монотонно спадної послідовності верхніх оцінок порогу перколяції бернуллієвського випадкового поля на Z² та на її основі — метод побудови апроксимацій із гарантованою оцінкою точності для ймовірності перколяції. Обчислено перший член c₂=0,74683 цієї послідовності.
format Article
author Вирченко, Ю.П.
Толмачева, Ю.А.
author_facet Вирченко, Ю.П.
Толмачева, Ю.А.
author_sort Вирченко, Ю.П.
title Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке
title_short Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке
title_full Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке
title_fullStr Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке
title_full_unstemmed Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке
title_sort мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2005
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165845
citation_txt Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке / Ю.П. Вирченко, Ю.А. Толмачева // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1315–1326. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT virčenkoûp mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke
AT tolmačevaûa mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke
first_indexed 2025-07-14T20:06:58Z
last_indexed 2025-07-14T20:06:58Z
_version_ 1837654210090369024
fulltext UDK 519.2 G.�P.�Vyrçenko, G.�A.�Tolmaçeva (Yn-t monokrystallov NAN Ukrayn¥, Xar\kov) MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ NA KVADRATNOJ REÍETKE We suggest a method for obtaining a monotonically decreasing sequence of upper bounds of percolation threshold of the Bernoulli random field on Z 2. On the basis of this sequence, we obtain a method of constructing approximations with the guaranteed exactness estimate for a percolation probability. We compute the first term c2 = 0,74683 of the considered sequence. Zaproponovano metod oderΩannq monotonno spadno] poslidovnosti verxnix ocinok porohu per- kolqci] bernulli[vs\koho vypadkovoho polq na Z 2 ta na ]] osnovi — metod pobudovy aproksy- macij iz harantovanog ocinkog toçnosti dlq jmovirnosti perkolqci]. Obçysleno perßyj çlen c2 = 0,74683 ci[] poslidovnosti. 1. Vvedenye. V dyskretnoj teoryy perkolqcyy yzuçagtsq sluçajn¥e podmno- Ωestva v hruppax Zd, d = 1, 2, 3, … , stoxastyçesky translqcyonno ynvary- antn¥e po mod Λ ( Λ = { 〈 ni ; i = 1, … , d 〉 ; nj = 0, 1, … , Lj , Lj ∈ N , j = 1, … , d } ) [1]. Pry πtom kaΩdoe sçetnoe mnoΩestvo Zd predpolahaetsq osnawenn¥m by- narn¥m otnoßenyem smeΩnosty, translqcyonno ynvaryantn¥m po mod Λ y ta- kym, çto kaΩd¥j πlement x yz Zd ymeet tol\ko lyß\ koneçn¥j nabor smeΩ- n¥x s nym πlementov y . Takye topolohyçeskye struktur¥ naz¥vagtsq peryo- dyçeskymy hrafamy. Ony qvlqgtsq topolohyçeskymy modelqmy krystally- çeskyx reßetok, pry yzuçenyy sluçajn¥x fyzyçeskyx narußenyj kotor¥x voz- nykly, v svoe vremq [2], osnovn¥e ponqtyq teoryy perkolqcyy. Na osnove otnoßenyq smeΩnosty estestvenn¥m obrazom vvodytsq ponqtye svqznosty na peryodyçeskyx hrafax. Odnoj yz central\n¥x zadaç teoryy per- kolqcyy, voobwe, y dyskretnoj teoryy perkolqcyy, v çastnosty, qvlqetsq opredelenye uslovyj suwestvovanyq s nenulevoj veroqtnost\g beskoneçnoj svqznoj komponent¥ sluçajnoho mnoΩestva, nalyçye kotoroj, sobstvenno, y naz¥vaetsq qvlenyem perkolqcyy [1, 2]. Ymenno πta zadaça okaz¥vaetsq naybo- lee vostrebovannoj v fyzyçeskyx pryloΩenyqx. Nesmotrq na matematyçeskug razrabotannost\ osnov dyskretnoj teoryy perkolqcyy, prosummyrovannug v monohrafyy [3], y ohromnoe kolyçestvo publykacyj, posvqwenn¥x razlyçnoho roda nestrohym πvrystyçeskym podxodam k reßenyg ukazannoj zadaçy, a takΩe svqzann¥m s neg komp\gtern¥m πksperymentam, k nastoqwemu vremeny ne:pro- yzoßlo ser\eznoho, matematyçesky posledovatel\noho prodvyΩenyq v ee yssle- dovanyy daΩe v tom prostejßem netryvyal\nom çastnom sluçae, kotor¥j rassmatryvaetsq v nastoqwej rabote, kohda sluçajn¥e mnoΩestva poroΩdagtsq bernullyevskym sluçajn¥m polem na Z2. Pry πtom pod reßenyem zadaçy m¥ ponymaem opredelenye tak naz¥vaemoho poroha perkolqcyy — krytyçeskoho znaçenyq parametra bernullyevskoho polq — veroqtnosty „uspexa”, kotor¥j, sleduq fyzyçeskoj termynolohyy, budem naz¥vat\ koncentracyej. Poroh qvlqetsq hranyçnoj toçkoj oblasty suwestvovanyq perkolqcyy. S:opredele- nyem poroha tesno svqzana zadaça v¥çyslenyq veroqtnosty perkolqcyy. © G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA, 2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1315 1316 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA Poskol\ku dlq peryodyçeskyx hrafov skol\-nybud\ obweho typa malovero- qtno, çtob¥ poroh perkolqcyy moh b¥t\ opredelen toçno v termynax kakyx- lybo yzvestn¥x transcendentn¥x funkcyj, zadaça eho v¥çyslenyq dolΩna po- nymat\sq kak naxoΩdenye procedur¥ posledovatel\n¥x pryblyΩenyj, utoçnq- gwyx eho çyslennoe znaçenye. Takym obrazom, reßenye osnovnoj zadaçy dys- kretnoj teoryy perkolqcyy m¥ ponymaem kak razrabotku metoda posledova- tel\n¥x pryblyΩenyj dlq opredelenyq veroqtnosty perkolqcyy y, v:çastnos- ty, poroha perkolqcyy. V nastoqwej rabote m¥ predlahaem, v sluçae peryodyçeskoho hrafa na Z2, naz¥vaemoho kvadratnoj reßetkoj, sxemu postroenyq ub¥vagwej posledova- tel\nosty verxnyx ocenok poroha perkolqcyy y v¥çyslenyq na yx osnove ap- proksymacyj s harantyrovannoj ocenkoj toçnosty dlq veroqtnosty perkolq- cyy. Sxema osnov¥vaetsq na klasternom razloΩenyy veroqtnosty perkolqcyy y verxnyx ocenkax çysla koneçn¥x klasterov, soderΩawyx fyksyrovannug toçku. ∏ty ocenky poluçagtsq na osnove pereçyslenyq putej proyzvol\noj napered zadannoj dlyn¥ na tak naz¥vaemoj soprqΩennoj reßetke [3]. Lgboj otrezok fyksyrovannoj dlyn¥ m putej moΩet sluΩyt\ otrezkom tak na- z¥vaemoj vneßnej hranyc¥ koneçnoho klastera na kvadratnoj reßetke. Natu- ral\noe çyslo m opredelqet porqdok approksymacyy. V rabote dana qvnaq realyzacyq πtoj sxem¥ dlq m = 2. 2. Zadaça teoryy perkolqcyy na Z 2. Rassmotrym beskoneçn¥j peryody- çeskyj hraf s mnoΩestvom verßyn Z 2, kotor¥j, dlq prostot¥ dal\nejßyx formulyrovok, budem sçytat\ pohruΩenn¥m v R2. Otnoßenye smeΩnosty ϕ na hrafe opredelqetsq mnoΩestvom par { 〈 x , y 〉 ∈ Z 2 : x ϕ y }, hde x ϕ y v tex y tol\ko tex sluçaqx, kohda y = x ± e1 , lybo y = x ± e2 , e1 = 〈 1 , 0 〉, e2 = 〈 0 , 1 〉. Takoj hraf budem naz¥vat\ kvadratnoj reßetkoj y oboznaçat\ tem Ωe sym- volom Z2. Pust\ { ˜( )c x ; x ∈ Z 2 } — bernullyevskoe sluçajnoe pole s koncentracyej c = Pr { ˜( )c x = 1 }. Znak:„tyl\da”:zdes\ y dalee ukaz¥vaet na sluçajnost\ obæektov. Pole { ˜( )c x ; x ∈ Z 2 } ynducyruet sluçajnoe mnoΩestvo s realyzacyqmy ˜ ; ˜M M ⊂{ }Z 2 , hde M̃ = {x : ˜( )c x = 1 }. Qsno, çto raspredelenye veroqtnostej dlq vozmoΩn¥x rea- lyzacyj M̃ polnost\g opredelqetsq naborom veroqtnostej Pr ˜ : ˜M A M⊂{ } = c A| | , A ⊂ Z2. Zdes\ y dalee | ⋅ | = Card { ⋅ } . Otnoßenye smeΩnosty ϕ ynducyruet estestvennoe otnoßenye svqznosty dlq verßyn, vxodqwyx v realyzacyg M̃ . Dve verßyn¥ x y y yz M̃ budem na- z¥vat\ svqzann¥my, esly suwestvuet put\ 〈 xi ; i = 0, 1, 2, … , n 〉 , xi ∈ M̃ , x0 = x , xn = y y xi ϕ xi +1 , i = 0, 1, 2, … , n – 1. Svqznost\ qvlqetsq otnoßenyem πkvyva- lentnosty na mnoΩestve M̃ . Poπtomu kaΩdaq realyzacyq M̃ odnoznaçno raz- lahaetsq M̃ = ∪ j jW ∈N ˜ na semejstvo W M̃( ) = ˜ ;W jj ∈{ }N neperesekagwyxsq klassov πkvyvalentnosty, poroΩdaem¥x πtym otnoßenyem. ∏ty klass¥ budem naz¥vat\ klasteramy. Esly x ∈ W̃j s nekotor¥m j ∈ N v realyzacyy M̃ , to πtot klaster W̃j budem oboznaçat\ ˜ ( )W x [3]. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1317 Vvedem veroqtnost\ Q ( c ) = Pr ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W x M W x∈ ( ) = ∞{ }W . (1) Esly Q ( c ) > 0, to hovorqt, çto takoe pole { ˜( )c x ; x ∈ Z 2 } ymeet perkolqcyg. Dlq funkcyy Q ( c ) opredelena xarakterystyka c∗ = sup { c : Q ( c ) = 0 }, kotoraq naz¥vaetsq porohom perkolqcyy. Vvydu odnorodnosty bernullyevsko- ho polq { ˜( )c x ; x ∈ Z2 } — ynvaryantnosty veroqtnostnoj mer¥ otnosytel\no translqcyj na vektor¥ ( n1 e1 + n2 e2 ) , n1 , n2 ∈ Z , veroqtnost\ Q ( c ) ne:zavy- syt ot x ∈ Z2. 3. Klasternoe razloΩenye na Z 2. Oçevydno, çto veroqtnost\ 1 – Q ( c ) moΩno v¥razyt\ v vyde rqda po veroqtnostqm poparno nesovmestym¥x sob¥tyj — popadanyj v¥delennoj verßyn¥ 0 :v tot yly ynoj koneçn¥j klaster. ∏tot rqd naz¥vaetsq klastern¥m razloΩenyem [4]. Vvedem ponqtye vneßnej hranyc¥ klastera. Sleduq [3], opredelym novoe ponqtye smeΩnosty ϕ , t.:e. narqdu s hrafom Z2 budem rassmatryvat\ hraf Z 2 s tem Ωe mnoΩestvom verßyn Z 2, no s otnoßenyem smeΩnosty ϕ . Ver- ßyn¥ x y y nazovem ϕ -smeΩn¥my, esly x ϕ y , lybo y = x + e1 ± e2 , yly y = x – – e1 ± e2 . Otnoßenye ϕ poroΩdaet novoe otnoßenye svqznosty verßyn na kaΩdoj konfyhuracyy M̃ , kotoroe takΩe qvlqetsq otnoßenyem πkvyvalentnosty y pryvodyt k razloΩenyg M̃ na svqzn¥e po otnoßenyg k ϕ mnoΩestva verßyn. Opredelenye 1. Oboznaçym çerez ∂ W mnoΩestvo, sostoqwee yz verßyn y , ϕ -smeΩn¥x s verßynamy x klastera W, no ne)prynadleΩawyx emu. Vneßnej hranycej klastera W naz¥vaetsq podmnoΩestvo ∂W ⊂ ∂ W, dlq kaΩdoj ver- ßyn¥ v kotoroho suwestvuet beskoneçn¥j ϕ -put\ α ( v ) po verßynam re- ßetky Z 2, naçynagwyjsq v v , pryçem v — edynstvennaq verßyna v α ( v ) , prynadleΩawaq obæedynenyg W ∪ ∂ W. Dlq lgboho ploskoho peryodyçeskoho hrafa spravedlyvo sledugwee utver- Ωdenye [3], kotoroe m¥ formulyruem prymenytel\no k Z2. Teorema 1. Pust\ W ( x ) — koneçn¥j klaster, soderΩawyj nekotorug fyksyrovannug verßynu x , | W ( x ) | < ∞ . Tohda W ( x ) ymeet nepustug koneç- nug vneßngg hranycu ∂W ( x ) so sledugwymy svojstvamy: 1) ∂W ( x ) — ϕ -svqznoe mnoΩestvo verßyn v Z 2, kotoroe predstavlqet soboj cykl, t.)e. ∂W ( x ) = 〈 x0 , x1 , … , xn , x0 〉 , hde xi ≠ xj , i ≠ j , n = | ∂W ( x ) | , xi ϕ xi +1 , i = 0, 1, … , n , xn +1 = x0 y kaΩdaq verßyna xi , i = 0, 1, … , n , ymeet tol\ko dve ϕ -smeΩn¥e verßyn¥ v ∂W ( x ) ; 2) verßyna x soderΩytsq v koneçnom vnutrennem mnoΩestve Int ( ∂W ( x ) ) ≡ u W x u u u W x∉ ∀ = ∞( ) ≠ ∅( ){ }| |∂ α α α ∂( ) : ( ): ( ) ( ) ( )∩ . Obratno, kaΩd¥j cykl γ na Z 2 moΩet sluΩyt\ vneßnej hranycej neko- toroho klastera W ⊂ Int ( γ ) . Pust\ A = { W : 0 ∈ W, | W | < ∞, W — ϕ -svqzno} —:semejstvo koneçn¥x klas- terov W , soderΩawyx verßynu 0. Opredelym dlq lgboho klastera W ∈ A sob¥tye ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1318 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA A ( W ) = ˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W W0 0 0∈ ∈ ( ) ={ }W . Takoe sob¥tye ymeet opredelennug veroqtnost\ Pr { A ( W ) } = c cW W| | | |−( )1 ∂ . (2) Rassmotrym veroqtnost\ 1 – Q ( c ) . Oçevydno, çto 1 – Q ( c ) = ˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M x M W x M W x∈ ∈ ( ) < ∞{ }W = Pr ( )A W W { } ∈ ∑ A . Sohlasno teoreme 1, kaΩdomu klasteru yz semejstva A sootvetstvuet ϕ - cykl γ takoj, çto 0 ∈ Int ( γ ) . V svqzy s πtym vvedem v rassmotrenye semejstvo B vsex takyx ϕ -cyklov. Dlq kaΩdoho ϕ -cykla γ ∈ B opredelym sob¥tye B ( γ ) = ˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W0 0 0∈ ∈ ( ) ={ }W ∂ γ , kotoroe predstavymo v vyde koneçnoho obæedynenyq poparno neperesekagwyxsq sob¥tyj B ( γ ) = W W A W ∈ =A : ( ) ∂ γ ∪ . (3) Sledovatel\no, πto sob¥tye ymeet opredelennug veroqtnost\ P ( γ ) = Pr { B ( γ ) }, (4) kotoraq sohlasno (2), (3) ravna P ( γ ) = W W A W ∈ = ∑ { } A : Pr ( ) ∂ γ = W W W Wc c ∈ = | | | |∑ − A : ( ) ∂ γ ∂1 . RazloΩym semejstvo A na neperesekagwyesq klass¥. K odnomu klassu ot- nesem klaster¥ W ∈ A , kotor¥e ymegt odnu y tu Ωe vneßngg hranycu, t.:e. mnoΩestvo verßyn, vxodqwyx v sostav ϕ -cykla γ , dlq kotoroho v¥polnqetsq ∂W = γ . Poπtomu spravedlyvo preobrazovanye W ∈A ∪ … = γ ∂ γ∈ ∈ =B A ∪ ∪ … W W: . (5) Dalee, na osnovanyy (3) poluçaem ˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W0 0 0∈ ∈ ( ) < ∞{ }| |W = B( )γ γ ∈B ∪ y poπtomu, uçyt¥vaq (4) y (5), pryxodym k sledugwemu utverΩdenyg. Teorema 2. Veroqtnost\ 1 – Q ( c ) predstavlqetsq razloΩenyem 1 – Q ( c ) = P( )γ γ ∈ ∑ B . (6) RazloΩenye (6) budem naz¥vat\ klastern¥m. 4. Dostatoçn¥j pryznak perkolqcyy. RazloΩenye (6), po postroenyg, vsehda sxodytsq y summa ne prev¥ßaet 1. Odnako ymeetsq oblast\ znaçenyj koncentracyy c , hde πta summa toçno ravna 1, y v πtom sluçae perkolqcyq v sluçajnom pole { ˜( )c x ; x ∈ Z 2 } otsutstvuet. Esly Ωe ymeet mesto toçnoe neravenstvo, to perkolqcyq suwestvuet. Ustanovyt\ neposredstvenno nalyçye toçnoho neravenstva krajne sloΩno. Tem ne menee s razloΩenyem (6) tesno svqzan druhoj rqd, kotor¥j ne obqzatel\no sxodytsq y kak raz eho sxodymost\ qvlqetsq dostatoçn¥m uslovyem nalyçyq perkolqcyy. Dlq kaΩdoho cykla γ yz B opredelym sob¥tye ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1319 ˆ ( )B γ = ˜ : ˜ ˜ ( ), ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) ∈ =( ){ }W 0 Int γ γ ∂ y eho veroqtnost\ ˆ ( )P γ = Pr ˆ ( )B γ{ }. Spravedlyv sledugwyj dostatoçn¥j pryznak nalyçyq perkolqcyy. Teorema 3. Esly ymeet mesto ˆ( )P γ γ ∈ ∑ B < ∞ , (7) to Q ( c ) > 0. Dokazatel\stvo. Prymenym k beskoneçnoj sovokupnosty sob¥tyj semej- stva ˆ( );B γ γ ∈{ }B lemmu Borelq – Kantelly (sm., naprymer, [5] ). Yz summyrue- mosty rqda v (7), sohlasno ukazannoj lemme, sleduet, çto veroqtnost\ sob¥tyq, sostoqweho v odnovremennoj realyzacyy beskoneçnoj sovokupnosty sob¥tyj yz semejstva ˆ( );B γ γ ∈{ }B , ravna nulg. Tohda s veroqtnost\g:1 suwestvuet neko- tor¥j maksymal\n¥j cykl γ∗ ∈ B takoj, çto za eho predelamy najdutsq ver- ßyna z y vmeste s nej beskoneçn¥j put\ α ( z ) bez samopereseçenyj, naçynag- wyjsq v πtoj verßyne y takoj, çto α ( z ) ∩ M̃ = ∅. ∏to oznaçaet, çto dlq ber- nullyevskoho polq { ˜( )c x ; x ∈ Z2 } sob¥tye ˜ : ˜ ˜ ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) = ∞( ){ }| |W yme- et veroqtnost\ 1. S druhoj storon¥, ymeet mesto sçetnoe razloΩenye ˜ : ˜ ˜ ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) = ∞( ){ }| |W = ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W M Wv v v ∈ ( ) = ∞{ }| | ∈ W Z 2 ∪ . (8) Vvydu nezavysymosty veroqtnosty Q ( c ) , opredelqemoj (1), ot verßyn¥ v ona ne:moΩet b¥t\ ravna nulg yz-za neravenstva 1 ≤ Pr ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W M Wv v v ∈ ( ) = ∞{ }| | ∈ ∑ W Z 2 , kotoroe na osnovanyy (8) dolΩno ymet\ mesto. 5. Pereçyslenye koneçn¥x klasterov na Z 2. Osnovoj postroenyq maΩo- rantn¥x ocenok poroha perkolqcyy v dannoj rabote qvlqetsq poluçenye ub¥- vagwej posledovatel\nosty verxnyx ocenok çysla rk = Card { γ ∈ B : | γ | = k } vsex vozmoΩn¥x ϕ -cyklov yz B dlyn¥ k , k ≥ 4. Zametym, çto opysanye lgboho puty y, v çastnosty, cykla na Z 2 moΩno πkvyvalentno, narqdu s ukazanyem posledovatel\nosty 〈 x0 , x1 , … , xn 〉 verßyn, zadavat\ ukazanyem naçal\noj verßyn¥ x0 y posledovatel\nosty reber 〈 u1 , … … , un 〉 , ui = xi – xi –1 , i = 1, 2, … , n . Pry πtom ui ∈ �1 ∪ �–1 , i = 1, … , n , hde vveden¥ oboznaçenyq �1 = { ε ei ; ε = ±1 , i = 1, 2 }, �–1 = { ε ′ei ; ε = ±1 , i = 1, 2 }, y ′e1 = e1 + e2 , ′e2 = e1 – e2 . Opredelenye 2. Put\ γ na Z 2 budem naz¥vat\ pravyl\n¥m, esly kaΩd¥e dva posledovatel\n¥x rebra u , v (v porqdke proxoΩdenyq) ymegt sledugwye svojstva: a) esly u ∈ �1 , to lybo v = u , lybo v ∈ �–1 , y ( u , v ) > 0; b) esly u ∈ �–1 , to lybo v ∈ �–1 , v ≠ – u , lybo v ∈ �1 , ( u , v ) > 0. Opredelenye 3. Dlq fyksyrovannoho m ∈ N koneçn¥j nezamknut¥j pra- vyl\n¥j put\ γ = 〈x0, x1, … , xn 〉, n ≥ m , u kotoroho dlq lgb¥x i = 0, 1, … , n – 1 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1320 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA y j = 1, … , m , i + j ≤ n , kaΩd¥j pravyl\n¥j put\ 〈 xi , xi +1 , … , xi + j , y 〉 , y ∈ Z2, ne)qvlqetsq zamknut¥m, nazovem m -prost¥m. Pry n < m put\ γ qvlqetsq m -prost¥m po opredelenyg. Oçevydno, çto pry m = 1, 2 mnoΩestvo m -prost¥x putej sovpadaet so mno- Ωestvom vsex pravyl\n¥x putej. Sformulyruem v vyde otdel\noj teorem¥ utverΩdenye, spravedlyvost\ kotoroho neposredstvenno sleduet yz teorem¥ 1. Ono predstavlqet soboj kryteryj toho, çto zamknut¥j put\ na Z 2 prynadleΩyt B . Teorema 4. Dlq toho çtob¥ zamknut¥j put\ γ = 〈 x0 , x1 , … , xn , x0 〉 na Z 2 moh b¥t\ vneßnej hranycej nekotoroho klastera yz A , neobxodymo y dosta- toçno, çtob¥ on b¥l pravyl\n¥m y pry πtom kaΩd¥j put\ 〈 xi , xi +1 , … , xi + n –1 〉 , i = 0, 1, … , n , dolΩen b¥t\ ( n – 1) -prost¥m. ( Numeracyq verßyn ponyma- etsq po mod ( n + 1) . ) Dokazatel\stvo. DokaΩem neobxodymost\ pravyl\nosty puty. Neobxody- most\ vtoroho svojstva, utverΩdaemoho v teoreme, neposredstvenno sleduet yz toho, çto γ — cykl. Dopustym protyvnoe. Pust\ x , y , z — posledovatel\n¥e verßyn¥ cykla γ , qvlqgwehosq vneßnej hranycej klastera W , dlq kotor¥x svojstva a), b) ne:v¥polnqgtsq. PoloΩym, dlq opredelennosty, çto x ϕ y , y = = x + e1 y z = y – e1 + e2 . Tohda verßyn¥ y ± e2 , y + e1 ne:mohut vse odnovre- menno naxodyt\sq vne W , tak kak v πtom sluçae y ne:prynadleΩyt ∂ W y , sledovatel\no, ne qvlqetsq verßynoj yz vneßnej hranyc¥ W . Bolee toho, pro- stoj analyz pokaz¥vaet, çto ukazann¥e verßyn¥ obqzan¥ prynadleΩat\ Int ( γ ) . No:tohda dlq verßyn¥ y ne:suwestvuet beskoneçnoho puty, naçynagwehosq v nej y ymegweho pustoe pereseçenye s W ∪ ∂ W, t.:e. y ∉ ∂W . Dlq dokazatel\stva obratnoho utverΩdenyq dostatoçno ubedyt\sq, çto γ predstavlqet soboj cykl. Dopustym protyvnoe, t.:e. suwestvuet nomer i takoj, çto xi –1 ϕ xi , xi ϕ xi +1 y suwestvuet l ( dlq opredelennosty l > i + 1 ) takoe, çto xi ϕ xl . Tohda pry j = l – i – 1 put\ 〈 xi , … , xi + j , xi + j +1 〉 — zamknut¥j. Teorema 4 dokazana. Dlq postroenyq ocenok velyçyn¥ rk provedem sledugwee raspredelenye cyklov yz semejstva B po klassam. Rassmotrym put\ α ( 0 ) = 〈 j e1 ; j = 0, 1, 2, … 〉 . Sohlasno teoreme 1 kaΩd¥j cykl γ ∈ B ymeet nepustoe pereseçenye s α ( 0 ) . V¥berem v mnoΩestve γ ∩ α ( 0 ) verßynu, blyΩajßug k verßyne 0, y oboznaçym ee zγ . Ymeet mesto dyzægnktyvnoe razloΩenye B = C l l= ∞ 1 ∪ , hde v odyn klass Cl vxodqt cykl¥ yz B s sovpadagwej verßynoj zγ ≡ l e1 . ∏to razloΩenye ynducyruet razloΩenye mnoΩestva { γ ∈ B : | γ | = k } na nepere- sekagwyesq klass¥ C l k( ) = {γ ∈ B : | γ | = k } ∩ Cl . Poskol\ku pry πtom obqzatel\no l < k , to {γ ∈ B : | γ | = k } = C l k l k ( ) = − 1 1 ∪ , rk = C l k l k ( ) = − ∑ 1 1 . (9) Dlq kaΩd¥x n ∈ N y m = 1, 2, … , n oboznaçym çerez Q ( m , n ) mnoΩestvo m -prost¥x putej dlyn¥ n , kotor¥e naçynagtsq v verßyne 0. Ymeet mesto oçevydnoe vklgçenye Q ( m , n ) ⊃ Q ( m + 1, n ) . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1321 Pust\ teper\ Q l ( m , n ) = Q ( m , n ) + l e1 , m = 1, … , n – 1, l = 0, 1, 2, … . Tohda | Q l ( m , n ) | = | Q ( m , n ) | . Rassmotrym mnoΩestvo Q l ( n – 1 , n ) . Sohlasno teoreme 4, v¥rezanyem u kaΩdoho cykla γ ∈ C l n( )+1 rebra xn ϕ x0 y l y x 0 ϕ x1 m¥ poluçym yz neho dva razlyçn¥x puty yz Q l ( n – 1 , n ) , pryçem razlyçn¥m γ yz C l n( )+1 budut sootvetstvovat\ neperesekagwyesq par¥ putej yz Q l ( n – 1 , n ) (vvydu dohovorennosty v¥bora verßyn¥ x0 = zγ , blyΩajßej k 0). Po πtoj pryçyne | |C l k( ) < | Q ( k – 2 , k – 1 ) | / 2. Tohda na osnovanyy (9) naxodym ocenku rk < 1 2 2 1 1 1 Q l l k k k( , )− − = − ∑ = = 1 2 1 2 1( ) ( , )k k k− − −Q ≤ 1 2 1 1( ) ( , )k m k− −Q (10) pry lgbom m ≤ k – 2. Naßej dal\nejßej zadaçej qvlqetsq poluçenye formul¥ dlq velyçyn¥ | Q ( m , n ) | = sn m( ) , na osnove kotoroj budut v¥çyslqt\sq verxnye ocenky dlq poroha perkolqcyy. V sootvetstvyy s yzloΩenn¥m v¥ße, kaΩd¥j put\ yz Q ( m , n ) opys¥vaetsq posledovatel\nost\g 〈 u1 , … , un 〉 , ui ∈ �1 ∪ �–1 , i = 1, … , n . Rassmotrym ko- neçnomernoe prostranstvo �m funkcyj s : Q ( m , m ) � R , t.:e. opredelenn¥x na putqx β = 〈 u1 , … , um 〉 ∈ Q ( m , m ) . Vvedem v πtom prostranstve lynejn¥j operator Tm , opredelqem¥j qdrom Tm ( α , β ) , α = 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( m , m ) , β = = 〈 v1 , … , vn 〉 ∈ Q ( m , m ) , sledugweho vyda: Tm ( α , β ) = 1 1 1 1 1 0 1 1 , , , , , , , , ( , ); u i m u m m i i m m = = … − 〈 … 〉 ∈ + +     +v v v Q — v protyvnom sluçae. Po opredelenyg ( Tm s ) ( α ) = β α β β ∈ ∑ Q ( , ) ( , ) ( ) m m mT s . Pust\ dlq kaΩdoho n ∈ N , n ≥ m , funkcyq sn : Q ( m , m ) � R opredelena dlq kaΩdoho β = 〈 v1 , … , vm 〉 ∈ Q ( m , m ) formuloj sn ( β ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( m + 1, n ) : 〈 un – m +1 , … , un 〉 = β } | , (11) t.:e. sn ( β ) — çyslo putej yz Q ( m + 1, n ) , ymegwyx v kaçestve koneçnoho ot- rezka dlyn¥ m put\, kotor¥j perenosom naçal\noj verßyn¥ v: 0 :prevrawaetsq v put\ β . Oçevydno, çto sn m( ) = α α ∈ ∑ Q ( , ) ( ) m m ns ≡ ( sn , e )m , (12) hde e ( α ) ≡ 1, α ∈ Q ( m , m ) y ( ⋅ , ⋅ )m — skalqrnoe proyzvedenye v prostranstve �m . Zametym dalee, çto sn ( α ) = ( Tm sn –1 ) ( α ) , y tak kak yz (11) sleduet sm ( α ) = e ( α ) , v soçetanyy s (12) poluçaem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1322 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA sn m( ) = ( ),T e em n m m − . (13) Summyruem poluçenn¥j rezul\tat v vyde sledugweho utverΩdenyq. Teorema 5. Dlq çysla rk spravedlyva ocenka rk < 1 2 1 1( ) ,( )k m k m m− − −T e e (14) pry lgbom m ≤ k – 2, pryçem pravaq çast\ neravenstva ub¥vaet pry uvely- çenyy m . Ocenka (14) sleduet yz (10) y (13) pry n = k – 1. 6. Ocenka poroha perkolqcyy. PokaΩem, kakym obrazom ocenky, zadava- em¥e (14), dagt monotonno ub¥vagwug posledovatel\nost\ ocenok poroha per- kolqcyy. Teorema 6. Pry kaΩdom m = 1, 2, … dlq bernullyevskoho sluçajnoho polq na kvadratnoj reßetke ymegt mesto neravenstva c∗ < cm ≡ 1 – ρm −1, hde ρm — maksymal\noe ( po modulg) sobstvennoe çyslo operatora Tm , pry- çem posledovatel\nost\ { cm ; m = 1, 2, … } — monotonno ub¥vagwaq. Dokazatel\stvo. Sohlasno teoreme 3, neobxodymo dokazat\ sxodymost\ rqda (7) pry c > cm . Poskol\ku ˆ( )B γ ⊂ ˜ : ˜M M ∩ γ = ∅{ } , to ˆ( )P γ ≤ ( )1 − | |c γ . (15) Na osnovanyy πtoho neravenstva spravedlyva sledugwaq ocenka sverxu dlq summ¥: ˆ( )P γ γ ∈ ∑ B ≤ ( )1 − | | ∈ ∑ c γ γ B = ( )1 4 − = ∞ ∑ c rk k k . (16) Zafyksyrovav çyslo m , dostatoçno dokazat\, çto sxodytsq ostatok πtoho rqda, naçynagwyjsq s k = m + 1. V:πtom sluçae, vospol\zovavßys\ neravenstvom (14), poluçym ( )1 1 − = + ∞ ∑ c rk k k m < 1 2 1 1 1 1 ( )( ) ,( )k c k m k m m k m − − − − = + ∞ ∑ T e e . (17) Vvydu toho, çto matryca Tm ( α , β ) ymeet neotrycatel\n¥e πlement¥, ona ymeet sobstvennoe çyslo ρm ≥ 0, sootvetstvugwyj sobstvenn¥j vektor em kotoroho ymeet neotrycatel\n¥e komponent¥, takoe, çto vse ostal\n¥e sobstvenn¥e çys- la πtoj matryc¥ po modulg ne prev¥ßagt ρm (sm. [6], hl.:XIII, § 3, teorema 3). Dlq matryc¥ Tm spravedlyvo sledugwee razloΩenye Danforda, ymegwee mesto dlq lgboj kvadratnoj matryc¥ (sm., naprymer, [8]): Tm = S + N , hde S — nekotoraq matryca prostoj struktur¥ [6], t.:e. ymegwaq v prostranstve Q ( m , n ) poln¥j nabor sobstvenn¥x vektorov, a matryca N — nyl\potentnaq, t.:e. dlq nee suwestvuet çyslo l ∈ N , l ≤ dim Q ( m , n ) , takoe, çto N l = 0. Pry πtom spektr matryc¥ S sovpadaet so spektrom matryc¥ Tm . Dopustym teper\, çto ρm = 0. Tohda, tak kak ρm — maksymal\noe po modulg sobstvennoe çyslo, v πtom sluçae vse sobstvenn¥e çysla matryc¥ Tm ravn¥ nulg. Sledovatel\no, S = 0 y poπtomu Tm = N . Tohda yz formul¥ (14) sleduet pry k – 1 – m ≥ ≥ dim Q ( m , n ) nevozmoΩnoe neravenstvo rk < 0. Takym obrazom, predpoloΩenye ρm = 0 pryvodyt k protyvoreçyg y, sledovatel\no, ρm > 0. V sylu opredelenyq vektora e ( e , em ) m ≠ 0. Po πtoj pryçyne dlq sxody- mosty rqda v pravoj çasty (17) neobxodymo, çtob¥ ( 1 – c ) ρm < 1, t.:e. c > 1 – ρm −1 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1323 Otsgda sleduet, çto c∗ < cm . Pry πtom summa rqda ravna ( ) ( )( ) ( ) ,1 1 1 1 11 2− − − −[ ] − −[ ]( )+ −c m m c cm m m m T T e e . S:druhoj storon¥, uslovye ( 1 – c ) ρm < 1 qvlqetsq dostatoçn¥m dlq sxody- mosty rqda v (17), tak kak ρm ravno maksymumu modulq sobstvenn¥x çysel mat- ryc¥ Tm [7]. Takym obrazom, neravenstvo c < cm πkvyvalentno sxodymosty ukazannoho rqda. Poskol\ku, po postroenyg, ( ),T e em k m m − −1 > ( ),T e em k m m+ − +1 1, sxodymost\ rqda ( )( ) ,( )k c k m k m m k m − − − = + ∞ ∑ 1 1 2 T e e vleçet sxodymost\ rqda ( )( ) ,( )k c k m k m m k m − − + − − + = + ∞ ∑ 1 1 1 1 1 2 T e e , a v sylu dokazannoj πkvyvalentnosty πtoj sxodymosty sootvetstvenno v¥pol- nenyg neravenstv ρm ( 1 – c ) < 1 y ρm +1 ( 1 – c ) < 1 poluçaem, çto pervoe yz nyx vleçet za soboj vtoroe. ∏to vozmoΩno tol\ko lyß\ v sluçae, esly ρ m +1 < ρm , t.:e. cm +1 < cm . 7. Veroqtnost\ perkolqcyy. PokaΩem, kakym obrazom poluçagtsq pry- blyΩenyq s harantyrovannoj ocenkoj toçnosty dlq veroqtnosty perkolqcyy. Teorema 7. Pry kaΩdom m = 1, 2, … dlq c < cm veroqtnost\ perkolqcyy Q ( c ) bernullyevskoho sluçajnoho polq na kvadratnoj reßetke opredelqetsq formuloj Q ( c ) = 1 – γ γ γ ∈ ≤| | ∑ B : ( ) l P + Sl , hde Sl < 1 2 1 1( ) max ( ) ( , ) − ( )    + ∈ −c l m m m l m α α Q T e × × 1 1 1 1 11 1− −[ ] − + − −[ ]( )( )− −( ) ( ) ( ) ,c l cm m m T T e e (18) pry l ≥ m . Dokazatel\stvo. Na osnovanyy (6) neobxodymo dokazat\ ukazannug v utverΩdenyy verxngg ocenku dlq summ¥ Sl = γ γ γ ∈ >| | ∑ B : ( ) l P . Yz opredelenyq:1 y vklgçenyq B ( γ ) ⊂ ˜ : ˜M M ∩ γ = ∅{ } sleduet neravenstvo P ( γ ) ≤ ( )1 − | |c γ . Poπtomu, yspol\zuq klasternoe razloΩenye (6), poluçaem sledugwug verxngg ocenku: Sl < γ γ γ∈ > | | | | ∑ − B : ( ) l c1 = ( )1 1 − = + ∞ ∑ c rk k k l . Pry l ≥ m , ocenyvaq velyçynu rk , sohlasno (14) ymeem Sl < 1 2 1 1 1 1 ( )( ) ,( )k c k m k m m k l − − − − = + ∞ ∑ T e e . (19) Poskol\ku ( ),T e em n j m + ≤ ( ), max ( ) ( , ) T e e T em n m m m m j α α ∈ ( )Q , yz (19) naxodym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1324 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA Sl < 1 2 1 11 0 ( ) max ( ) ( )( ) , ( , ) ( )− ( )    + −+ ∈ − = ∞ ∑c k l cl m m m l m k m k m kα α Q T e T e e . Summyruq poslednyj rqd pry c > cm , poluçaem (18). 8. Sluçaj m = 2. V πtom punkte, yspol\zuq ydeg poluçenyq maΩorantn¥x ocenok, yzloΩennug v pp.:5 – 7, realyzuem ee v sluçae m = 2. V πtom sluçae moΩno, yspol\zuq symmetryg kvadratnoj reßetky, reducyrovat\ operator T2 k nekotoromu operatoru T, dejstvugwemu v R5, çto suwestvenno oblehçaet analyz. Rassmotrym paru posledovatel\n¥x reber 〈 u , v 〉 cykla γ ; u , v ∈ �–1 ∪ �1 . Takye par¥ moΩno raspredelyt\ po sledugwym pqty klassam. Vo-perv¥x, klass K 0 , k kotoromu otnesem par¥, dlq kotor¥x v¥polnqetsq u , v ∈ �–1 , u ⊥ v , y, vo-vtor¥x, 4 klassa K a , a = 〈 i , j 〉 , i , j ∈ { ±1 } , dlq kotor¥x sootvet- stvenno v¥polnqetsq u ∈ �i , v ∈ �j , ( u , v ) > 0. Oboznaçym I = { 0 } ∪ { 〈 i , j 〉 ; i , j ∈ { ±1 } }. Pust\, sohlasno (11), pry kaΩdom N sn ( 〈 u , v 〉 ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( 3, n ) : un –1 = n , un = v } | . V sootvetstvyy s ukazann¥m v¥ße razbyenyem par posledovatel\n¥x reber na klass¥ vvedem pqtymern¥e vektor¥ sn ( a ) = 〈 〉 ∈ ∑ 〈 〉 u n a u , ( ), v v K s , a ∈ I , hde sn ( a ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( 3, n ) : 〈 un –1 , un 〉 ∈ K a } | . (20) Pust\ γ ∈ Q ( 3, n ) , n > 4 y 〈 u , v , w 〉 — posledovatel\n¥e rebra γ . Yz heo- metryçeskyx soobraΩenyj v 3-prost¥x putqx γ s dlynoj, bol\ßej 4, vozmoΩn¥ tol\ko sledugwye posledovatel\nosty, u kotor¥x par¥ 〈 u , v 〉 , 〈 v, w 〉 ∈ Q ( 2, 2) , a posledovatel\nost\ 〈 u , v , w 〉 udovletvorqet teoreme 4. I. Esly u , v ∈ �1 , u = v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej: 1) w ∈ �1 , w = v ; 2) w ∈ �–1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2. II. Esly u ∈ �–1 , v ∈ �1 , ( u , v ) > 0, to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej: 1) w ∈ �1 , w = v ; 2) w ∈ �–1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2. III. Esly u ∈ �1 , v ∈ �–1 , ( u , v ) > 0, to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej: 1) w ∈ �–1 , w = v ; 2) w ∈ �1 , w = sgn ,( )v ′ ′e ei i , i = 1, 2; 3) w ∈ �–1 , w ⊥ v (dva varyanta). IV. Esly u , v ∈ �–1 , u = v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej: 1) w ∈ �–1 , w = v ; 2) w ∈ �1 , w = sgn ,( )v ′ ′e ei i , i = 1, 2; 3) w ∈ �–1 , w ⊥ v (dva varyanta). V. Esly u , v ∈ �–1 , u ⊥ v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej: 1) w ∈ �–1 , w = v ; 2) w ∈ �1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2; 3) w ∈ �1 , w ⊥ v , w = u (odyn varyant). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1325 V poslednem sluçae realyzuetsq tol\ko odyn varyant prodolΩenyq cykla w = u , tak kak pry prodolΩenyy w = – u put\ perestaet b¥t\ 3-prost¥m. Dopolnenyem odnoho rebra on prevrawaetsq v cykl 〈 u , v , – u , – v 〉 . Zametym, çto uslovyq v pp.:I – V opys¥vagt operator T2 v � 2 . Na yx osnovanyy moΩno postroyt\ reducyrovann¥j operator T na prostranstve R5, sostoqwem yz vektorov s = 〈 s ( a ) ; a ∈ I 〉 . ∏tot operator stroytsq yz tex soobraΩenyj, çtob¥ dlq kaΩdoho n ∈ N v¥polnqlos\ sn +1 ( a ) = ( T sn ) ( a ) , a ∈ I . (21) Yz pp.:I1 y II1, sootvetstvenno porqdku slahaem¥x v pravoj çasty, sleduet ravenstvo sn +1 ( 〈 1 , 1 〉 ) = sn ( 〈 1 , 1 〉 ) + sn ( 〈 –1 , 1 〉 ) . (22) Analohyçn¥m obrazom poluçagtsq sledugwye ravenstva, kotor¥e v¥tekagt sootvetstvenno yz pp. I2 y II2, III1, IV1 y V1, III2, IV2 y V2, III3, IV3 y V3 : sn +1 ( 〈 1 , –1 〉 ) = 2sn ( 〈 1 , 1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , 1 〉 ) , sn +1 ( 〈 –1 , –1 〉 ) = sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + sn ( 0 ) , (23) sn +1 ( 〈 –1 , 1 〉 ) = 2sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + 2sn ( 0 ) , sn +1 ( 0 ) = 2sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + sn ( 0 ) . Vvedem matrycu Ta , b operatora T, hde a , b — komponent¥ uporqdoçennoho mnoΩestva 〈 0 , 〈 1 , 1 〉, 〈 1 , –1 〉, 〈 –1 , 1 〉, 〈 –1 , –1 〉 〉, T = 1 0 2 0 2 0 1 0 1 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 0 1 0 1               . (24) ∏ta matryca opredelqet yskom¥j operator T, tak kak pryvedenn¥e v¥ße ra- venstva predstavlqgtsq v vyde (21). Tohda, yspol\zuq operator T, ymeem sn = T n –2 s2 . (25) Pry πtom na osnovanyy (20) vektor s2 = 4 〈 2 , 1 , 2 , 2 , 1 〉. Najdem sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ Ta , b . Matryca Ta , b ymeet neotry- catel\n¥e πlement¥. Poπtomu ona ymeet sobstvennoe znaçenye ρ takoe, çto moduly vsex druhyx sobstvenn¥x çysel ne:prev¥ßagt ρ (sm. teoremu:3, a takΩe [6], hl.:XIII, §:3). Xarakterystyçeskoe uravnenye matryc¥ Ta , b ymeet vyd T ( λ ) ≡ det [ T – λ ] = λ2 ( λ3 – 3λ2 – 3λ – 3 ) = 0. PoloΩytel\n¥j koren\ ρ xarakterystyçeskoho uravnenyq, suwestvovanye kotoroho harantyruetsq ukazann¥m utverΩdenyem, qvlqetsq edynstvenn¥m vewestvenn¥m kornem kubyçeskoho uravnenyq, poluçaemoho pryravnyvanyem nulg v¥raΩenyq v skobkax. ∏tot koren\ raven ρ = 2 2 2 2 23 3 3+ + −( ) + 1 ≈ 3, 951. Ostal\n¥e korny polynoma T ( λ ) ne:prev¥ßagt po modulg ρ . Poskol\ku razloΩenye ∪ a I a∈ K = Q ( 3, n ) dyzægnktyvno, to ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1326 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA sn ( )3 = | Q ( 3, n ) | ≡ sn = s an a I ( ) ∈ ∑ yly pry vvedenyy vektora e = 〈 1 , 1 , 1 , 1 , 1 〉 s n = ( e , sn ) , hde ( ⋅ , ⋅ ) — ska- lqrnoe proyzvedenye v R5. Esly, krome toho, vospol\zovat\sq (25) y uçest\ qvn¥j vyd vektora s 2 , to pokomponentno ymeet mesto neravenstvo sn ( a ) < < 8 ( T n –2 e ) ( a ) y poπtomu sn < 8 ( e , T n –2 e ) . Na osnovanyy πtoho neravenstva, yspol\zuq (10), naxodym ocenku dlq rk : rk < 1 2 1 1( )k sk− − < 4 ( k – 1) ( e , T k –3 e ) . Poluçennaq ocenka y (16) dagt vozmoΩnost\ poluçyt\ maΩorantn¥j rqd dlq summ¥ (7): ˆ( )P γ γ ∈ ∑ B ≤ ( )1 4 − = ∞ ∑ c rk k k < 4 1 1 3 4 ( )( ) ,( )k c k k k − − − = ∞ ∑ e T e . ∏tot rqd summyruetsq pry c > 1 – ρ–1 > 0, 74683, y m¥ ubeΩdaemsq v spravedly- vosty sledugweho utverΩdenyq. Teorema 8. Dlq bernullyevskoho sluçajnoho polq na kvadratnoj reßetke Z 2 v¥polnqetsq c∗ ≤ c2 = 0, 74683. ∏ta ocenka luçße poluçennoj v [7]. Zaklgçenye. Postroennaq v rabote posledovatel\nost\ { cm ; m = 2, 3, … } maΩorantn¥x ocenok poroha perkolqcyy c∗ qvlqetsq monotonno ub¥vagwej. Poπtomu ona ymeet predel c∞ ≥ c∗. Ee postroenye osnovano na suwestvennom yspol\zovanyy dvux neravenstv — (10), (15). Est\ osnovanyq polahat\, tem ne:menee, çto πty neravenstva asymptotyçesky toçn¥ pry n → ∞ , t.:e., napry- mer, dlq velyçyn¥ rn ymeet mesto asymptotyçeskoe sootnoßenye ln rn � � ln | Q ( n – 2 , n – 1 ) | pry n → ∞ . Esly πta hypoteza spravedlyva, to v¥polnq- etsq toçnoe ravenstvo c∞ = c∗ y predloΩenn¥j namy metod postroenyq maΩo- rantn¥x ocenok predstavlqet soboj pryblyΩenn¥j metod v¥çyslenyq poroha perkolqcyy. Odnako dlq ocenky toçnosty poluçaem¥x takym obrazom prybly- Ωenyj neobxodymo postroyt\ osnovannug na analohyçnoj ydee proceduru polu- çenyq nyΩnyx ocenok dlq c∗. 1. Vyrçenko)G.)P. Perkolqcyq // Matematyçeskaq fyzyka: Bol\ßaq ros. πncykl. – 1998. – S.:346 – 347. 2. Hammersley J. M. Percolation processes. Lower bounds for the critical probability // Ann. Math. Statist. – 1957. – 28. – P. 790 – 795. 3. Kesten H. Percolation theory for mathematicians. – Boston: Birkhäuser, 1982. – 420 p. (Rus. per.: Kesten)X. Teoryq prosaçyvanyq dlq matematykov. – M.: Myr, 1986. – 390:s.) 4. Men\ßykov)M.)V., Molçanov)S.)A., Sydorenko)A.)F. Teoryq perkolqcyy y nekotor¥e prylo- Ωenyq // Ytohy nauky y texnyky. Ser. Teoryq veroqtnostej, mat. statystyka y teor. kybernetyka. – M.: VYNYTY, 1986. – 24. – S.:53 – 110. 5. Lamperti J. Probability. – New York; Amsterdam, 1966. – 190 p. (Rus. per.: Lamperty)DΩ. Veroqtnost\. – M.: Nauka, 1973. – 184:s.) 6. Hantmaxer)F.)R. Teoryq matryc. – 3-e yzd. – M.: Nauka, 1967. – 576:s. (Anhl. per.: Gantmakher F. R. Applications of the theory of matrices. – New York: Wiley, 1959.) 7. Virchenko Yu. P., Tolmacheva Yu. A. Revision of the upper estimate of percolation threshold in square lattice // Mat. Fizika, Analiz, Geometria. – 2003. – 10, # 1. – S. 29 – 39. 8. Xorn)R., DΩonson)Ç. Matryçn¥j analyz. – M.: Myr, 1989. – 426 s. Poluçeno 22.01.2003, posle dorabotky — 17.01.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10