Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке
Запропоновано метод одержання монотонно спадної послідовності верхніх оцінок порогу перколяції бернуллієвського випадкового поля на Z² та на її основі — метод побудови апроксимацій із гарантованою оцінкою точності для ймовірності перколяції. Обчислено перший член c₂=0,74683 цієї послідовності....
Збережено в:
Дата: | 2005 |
---|---|
Автори: | , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
Назва видання: | Український математичний журнал |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165845 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке / Ю.П. Вирченко, Ю.А. Толмачева // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1315–1326. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-165845 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1658452020-02-17T01:27:38Z Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке Вирченко, Ю.П. Толмачева, Ю.А. Статті Запропоновано метод одержання монотонно спадної послідовності верхніх оцінок порогу перколяції бернуллієвського випадкового поля на Z² та на її основі — метод побудови апроксимацій із гарантованою оцінкою точності для ймовірності перколяції. Обчислено перший член c₂=0,74683 цієї послідовності. We suggest a method for obtaining a monotonically decreasing sequence of upper bounds of percolation threshold of the Bernoulli random field on Z². On the basis of this sequence, we obtain a method of constructing approximations with the guaranteed exactness estimate for a percolation probability. We compute the first term c₂=0,74683 of the considered sequence. 2005 Article Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке / Ю.П. Вирченко, Ю.А. Толмачева // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1315–1326. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165845 519.2 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Статті Статті |
spellingShingle |
Статті Статті Вирченко, Ю.П. Толмачева, Ю.А. Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке Український математичний журнал |
description |
Запропоновано метод одержання монотонно спадної послідовності верхніх оцінок порогу перколяції бернуллієвського випадкового поля на Z² та на її основі — метод побудови апроксимацій із гарантованою оцінкою точності для ймовірності перколяції. Обчислено перший член c₂=0,74683 цієї послідовності. |
format |
Article |
author |
Вирченко, Ю.П. Толмачева, Ю.А. |
author_facet |
Вирченко, Ю.П. Толмачева, Ю.А. |
author_sort |
Вирченко, Ю.П. |
title |
Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке |
title_short |
Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке |
title_full |
Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке |
title_fullStr |
Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке |
title_full_unstemmed |
Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке |
title_sort |
мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2005 |
topic_facet |
Статті |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165845 |
citation_txt |
Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке / Ю.П. Вирченко, Ю.А. Толмачева // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1315–1326. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT virčenkoûp mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke AT tolmačevaûa mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke |
first_indexed |
2025-07-14T20:06:58Z |
last_indexed |
2025-07-14T20:06:58Z |
_version_ |
1837654210090369024 |
fulltext |
UDK 519.2
G.�P.�Vyrçenko, G.�A.�Tolmaçeva (Yn-t monokrystallov NAN Ukrayn¥, Xar\kov)
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY
BERNULLYEVSKOHO POLQ NA KVADRATNOJ REÍETKE
We suggest a method for obtaining a monotonically decreasing sequence of upper bounds of percolation
threshold of the Bernoulli random field on Z
2. On the basis of this sequence, we obtain a method of
constructing approximations with the guaranteed exactness estimate for a percolation probability. We
compute the first term c2 = 0,74683 of the considered sequence.
Zaproponovano metod oderΩannq monotonno spadno] poslidovnosti verxnix ocinok porohu per-
kolqci] bernulli[vs\koho vypadkovoho polq na Z
2 ta na ]] osnovi — metod pobudovy aproksy-
macij iz harantovanog ocinkog toçnosti dlq jmovirnosti perkolqci]. Obçysleno perßyj çlen
c2 = 0,74683 ci[] poslidovnosti.
1. Vvedenye. V dyskretnoj teoryy perkolqcyy yzuçagtsq sluçajn¥e podmno-
Ωestva v hruppax Zd, d = 1, 2, 3, … , stoxastyçesky translqcyonno ynvary-
antn¥e po mod Λ ( Λ = { 〈 ni ; i = 1, … , d 〉 ; nj = 0, 1, … , Lj , Lj ∈ N , j = 1, … , d } )
[1]. Pry πtom kaΩdoe sçetnoe mnoΩestvo Zd predpolahaetsq osnawenn¥m by-
narn¥m otnoßenyem smeΩnosty, translqcyonno ynvaryantn¥m po mod Λ y ta-
kym, çto kaΩd¥j πlement x yz Zd ymeet tol\ko lyß\ koneçn¥j nabor smeΩ-
n¥x s nym πlementov y . Takye topolohyçeskye struktur¥ naz¥vagtsq peryo-
dyçeskymy hrafamy. Ony qvlqgtsq topolohyçeskymy modelqmy krystally-
çeskyx reßetok, pry yzuçenyy sluçajn¥x fyzyçeskyx narußenyj kotor¥x voz-
nykly, v svoe vremq [2], osnovn¥e ponqtyq teoryy perkolqcyy.
Na osnove otnoßenyq smeΩnosty estestvenn¥m obrazom vvodytsq ponqtye
svqznosty na peryodyçeskyx hrafax. Odnoj yz central\n¥x zadaç teoryy per-
kolqcyy, voobwe, y dyskretnoj teoryy perkolqcyy, v çastnosty, qvlqetsq
opredelenye uslovyj suwestvovanyq s nenulevoj veroqtnost\g beskoneçnoj
svqznoj komponent¥ sluçajnoho mnoΩestva, nalyçye kotoroj, sobstvenno, y
naz¥vaetsq qvlenyem perkolqcyy [1, 2]. Ymenno πta zadaça okaz¥vaetsq naybo-
lee vostrebovannoj v fyzyçeskyx pryloΩenyqx. Nesmotrq na matematyçeskug
razrabotannost\ osnov dyskretnoj teoryy perkolqcyy, prosummyrovannug v
monohrafyy [3], y ohromnoe kolyçestvo publykacyj, posvqwenn¥x razlyçnoho
roda nestrohym πvrystyçeskym podxodam k reßenyg ukazannoj zadaçy, a takΩe
svqzann¥m s neg komp\gtern¥m πksperymentam, k nastoqwemu vremeny ne:pro-
yzoßlo ser\eznoho, matematyçesky posledovatel\noho prodvyΩenyq v ee yssle-
dovanyy daΩe v tom prostejßem netryvyal\nom çastnom sluçae, kotor¥j
rassmatryvaetsq v nastoqwej rabote, kohda sluçajn¥e mnoΩestva poroΩdagtsq
bernullyevskym sluçajn¥m polem na Z2. Pry πtom pod reßenyem zadaçy m¥
ponymaem opredelenye tak naz¥vaemoho poroha perkolqcyy — krytyçeskoho
znaçenyq parametra bernullyevskoho polq — veroqtnosty „uspexa”, kotor¥j,
sleduq fyzyçeskoj termynolohyy, budem naz¥vat\ koncentracyej. Poroh
qvlqetsq hranyçnoj toçkoj oblasty suwestvovanyq perkolqcyy. S:opredele-
nyem poroha tesno svqzana zadaça v¥çyslenyq veroqtnosty perkolqcyy.
© G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1315
1316 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
Poskol\ku dlq peryodyçeskyx hrafov skol\-nybud\ obweho typa malovero-
qtno, çtob¥ poroh perkolqcyy moh b¥t\ opredelen toçno v termynax kakyx-
lybo yzvestn¥x transcendentn¥x funkcyj, zadaça eho v¥çyslenyq dolΩna po-
nymat\sq kak naxoΩdenye procedur¥ posledovatel\n¥x pryblyΩenyj, utoçnq-
gwyx eho çyslennoe znaçenye. Takym obrazom, reßenye osnovnoj zadaçy dys-
kretnoj teoryy perkolqcyy m¥ ponymaem kak razrabotku metoda posledova-
tel\n¥x pryblyΩenyj dlq opredelenyq veroqtnosty perkolqcyy y, v:çastnos-
ty, poroha perkolqcyy.
V nastoqwej rabote m¥ predlahaem, v sluçae peryodyçeskoho hrafa na Z2,
naz¥vaemoho kvadratnoj reßetkoj, sxemu postroenyq ub¥vagwej posledova-
tel\nosty verxnyx ocenok poroha perkolqcyy y v¥çyslenyq na yx osnove ap-
proksymacyj s harantyrovannoj ocenkoj toçnosty dlq veroqtnosty perkolq-
cyy. Sxema osnov¥vaetsq na klasternom razloΩenyy veroqtnosty perkolqcyy
y verxnyx ocenkax çysla koneçn¥x klasterov, soderΩawyx fyksyrovannug
toçku. ∏ty ocenky poluçagtsq na osnove pereçyslenyq putej proyzvol\noj
napered zadannoj dlyn¥ na tak naz¥vaemoj soprqΩennoj reßetke [3]. Lgboj
otrezok fyksyrovannoj dlyn¥ m putej moΩet sluΩyt\ otrezkom tak na-
z¥vaemoj vneßnej hranyc¥ koneçnoho klastera na kvadratnoj reßetke. Natu-
ral\noe çyslo m opredelqet porqdok approksymacyy. V rabote dana qvnaq
realyzacyq πtoj sxem¥ dlq m = 2.
2. Zadaça teoryy perkolqcyy na Z 2. Rassmotrym beskoneçn¥j peryody-
çeskyj hraf s mnoΩestvom verßyn Z 2, kotor¥j, dlq prostot¥ dal\nejßyx
formulyrovok, budem sçytat\ pohruΩenn¥m v R2. Otnoßenye smeΩnosty ϕ
na hrafe opredelqetsq mnoΩestvom par { 〈 x , y 〉 ∈ Z
2 : x ϕ y }, hde x ϕ y v tex y
tol\ko tex sluçaqx, kohda y = x ± e1 , lybo y = x ± e2 , e1 = 〈 1 , 0 〉, e2 = 〈 0 , 1 〉.
Takoj hraf budem naz¥vat\ kvadratnoj reßetkoj y oboznaçat\ tem Ωe sym-
volom Z2.
Pust\ { ˜( )c x ; x ∈ Z
2
} — bernullyevskoe sluçajnoe pole s koncentracyej
c = Pr { ˜( )c x = 1 }.
Znak:„tyl\da”:zdes\ y dalee ukaz¥vaet na sluçajnost\ obæektov. Pole { ˜( )c x ;
x ∈ Z
2
} ynducyruet sluçajnoe mnoΩestvo s realyzacyqmy ˜ ; ˜M M ⊂{ }Z
2 , hde
M̃ = {x : ˜( )c x = 1 }. Qsno, çto raspredelenye veroqtnostej dlq vozmoΩn¥x rea-
lyzacyj M̃ polnost\g opredelqetsq naborom veroqtnostej
Pr ˜ : ˜M A M⊂{ } = c A| | , A ⊂ Z2.
Zdes\ y dalee | ⋅ | = Card { ⋅ } .
Otnoßenye smeΩnosty ϕ ynducyruet estestvennoe otnoßenye svqznosty
dlq verßyn, vxodqwyx v realyzacyg M̃ . Dve verßyn¥ x y y yz M̃ budem na-
z¥vat\ svqzann¥my, esly suwestvuet put\ 〈 xi ; i = 0, 1, 2, … , n 〉 , xi ∈ M̃ , x0 = x ,
xn = y y xi ϕ xi +1 , i = 0, 1, 2, … , n – 1. Svqznost\ qvlqetsq otnoßenyem πkvyva-
lentnosty na mnoΩestve M̃ . Poπtomu kaΩdaq realyzacyq M̃ odnoznaçno raz-
lahaetsq M̃ =
∪
j
jW
∈N
˜ na semejstvo
W M̃( ) = ˜ ;W jj ∈{ }N neperesekagwyxsq
klassov πkvyvalentnosty, poroΩdaem¥x πtym otnoßenyem. ∏ty klass¥ budem
naz¥vat\ klasteramy. Esly x ∈ W̃j s nekotor¥m j ∈ N v realyzacyy M̃ , to
πtot klaster W̃j budem oboznaçat\ ˜ ( )W x [3].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1317
Vvedem veroqtnost\
Q ( c ) =
Pr ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W x M W x∈ ( ) = ∞{ }W . (1)
Esly Q ( c ) > 0, to hovorqt, çto takoe pole { ˜( )c x ; x ∈ Z
2
} ymeet perkolqcyg.
Dlq funkcyy Q ( c ) opredelena xarakterystyka
c∗ = sup { c : Q ( c ) = 0 },
kotoraq naz¥vaetsq porohom perkolqcyy. Vvydu odnorodnosty bernullyevsko-
ho polq { ˜( )c x ; x ∈ Z2
} — ynvaryantnosty veroqtnostnoj mer¥ otnosytel\no
translqcyj na vektor¥ ( n1 e1 + n2 e2 ) , n1 , n2 ∈ Z , veroqtnost\ Q ( c ) ne:zavy-
syt ot x ∈ Z2.
3. Klasternoe razloΩenye na Z 2. Oçevydno, çto veroqtnost\ 1 – Q ( c )
moΩno v¥razyt\ v vyde rqda po veroqtnostqm poparno nesovmestym¥x sob¥tyj
— popadanyj v¥delennoj verßyn¥ 0 :v tot yly ynoj koneçn¥j klaster. ∏tot
rqd naz¥vaetsq klastern¥m razloΩenyem [4].
Vvedem ponqtye vneßnej hranyc¥ klastera. Sleduq [3], opredelym novoe
ponqtye smeΩnosty ϕ , t.:e. narqdu s hrafom Z2 budem rassmatryvat\ hraf
Z
2 s tem Ωe mnoΩestvom verßyn Z 2, no s otnoßenyem smeΩnosty ϕ . Ver-
ßyn¥ x y y nazovem ϕ -smeΩn¥my, esly x ϕ y , lybo y = x + e1 ± e2 , yly y = x –
– e1 ± e2 .
Otnoßenye ϕ poroΩdaet novoe otnoßenye svqznosty verßyn na kaΩdoj
konfyhuracyy M̃ , kotoroe takΩe qvlqetsq otnoßenyem πkvyvalentnosty y
pryvodyt k razloΩenyg M̃ na svqzn¥e po otnoßenyg k ϕ mnoΩestva verßyn.
Opredelenye 1. Oboznaçym çerez ∂ W mnoΩestvo, sostoqwee yz verßyn y ,
ϕ -smeΩn¥x s verßynamy x klastera W, no ne)prynadleΩawyx emu. Vneßnej
hranycej klastera W naz¥vaetsq podmnoΩestvo ∂W ⊂ ∂ W, dlq kaΩdoj ver-
ßyn¥ v kotoroho suwestvuet beskoneçn¥j ϕ -put\ α ( v ) po verßynam re-
ßetky Z 2, naçynagwyjsq v v , pryçem v — edynstvennaq verßyna v α ( v ) ,
prynadleΩawaq obæedynenyg W ∪ ∂ W.
Dlq lgboho ploskoho peryodyçeskoho hrafa spravedlyvo sledugwee utver-
Ωdenye [3], kotoroe m¥ formulyruem prymenytel\no k Z2.
Teorema 1. Pust\ W ( x ) — koneçn¥j klaster, soderΩawyj nekotorug
fyksyrovannug verßynu x , | W ( x ) | < ∞ . Tohda W ( x ) ymeet nepustug koneç-
nug vneßngg hranycu ∂W ( x ) so sledugwymy svojstvamy:
1) ∂W ( x ) — ϕ -svqznoe mnoΩestvo verßyn v Z
2, kotoroe predstavlqet
soboj cykl, t.)e. ∂W ( x ) = 〈 x0 , x1 , … , xn , x0 〉 , hde xi ≠ xj , i ≠ j , n = | ∂W ( x ) | ,
xi ϕ xi +1 , i = 0, 1, … , n , xn +1 = x0 y kaΩdaq verßyna xi , i = 0, 1, … , n , ymeet
tol\ko dve ϕ -smeΩn¥e verßyn¥ v ∂W ( x ) ;
2) verßyna x soderΩytsq v koneçnom vnutrennem mnoΩestve
Int ( ∂W ( x ) ) ≡ u W x u u u W x∉ ∀ = ∞( ) ≠ ∅( ){ }| |∂ α α α ∂( ) : ( ): ( ) ( ) ( )∩ .
Obratno, kaΩd¥j cykl γ na Z
2 moΩet sluΩyt\ vneßnej hranycej neko-
toroho klastera W ⊂ Int ( γ ) .
Pust\ A = { W : 0 ∈ W, | W | < ∞, W — ϕ -svqzno} —:semejstvo koneçn¥x klas-
terov W , soderΩawyx verßynu 0. Opredelym dlq lgboho klastera W ∈ A
sob¥tye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1318 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
A ( W ) =
˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W W0 0 0∈ ∈ ( ) ={ }W .
Takoe sob¥tye ymeet opredelennug veroqtnost\
Pr { A ( W ) } = c cW W| | | |−( )1 ∂ . (2)
Rassmotrym veroqtnost\ 1 – Q ( c ) . Oçevydno, çto
1 – Q ( c ) =
˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M x M W x M W x∈ ∈ ( ) < ∞{ }W =
Pr ( )A W
W
{ }
∈
∑
A
.
Sohlasno teoreme 1, kaΩdomu klasteru yz semejstva A sootvetstvuet ϕ -
cykl γ takoj, çto 0 ∈ Int ( γ ) . V svqzy s πtym vvedem v rassmotrenye semejstvo
B vsex takyx ϕ -cyklov.
Dlq kaΩdoho ϕ -cykla γ ∈ B opredelym sob¥tye
B ( γ ) =
˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W0 0 0∈ ∈ ( ) ={ }W ∂ γ ,
kotoroe predstavymo v vyde koneçnoho obæedynenyq poparno neperesekagwyxsq
sob¥tyj
B ( γ ) =
W W
A W
∈ =A :
( )
∂ γ
∪ . (3)
Sledovatel\no, πto sob¥tye ymeet opredelennug veroqtnost\
P ( γ ) = Pr { B ( γ ) }, (4)
kotoraq sohlasno (2), (3) ravna
P ( γ ) =
W W
A W
∈ =
∑ { }
A :
Pr ( )
∂ γ
=
W W
W Wc c
∈ =
| | | |∑ −
A :
( )
∂ γ
∂1 .
RazloΩym semejstvo A na neperesekagwyesq klass¥. K odnomu klassu ot-
nesem klaster¥ W ∈ A , kotor¥e ymegt odnu y tu Ωe vneßngg hranycu, t.:e.
mnoΩestvo verßyn, vxodqwyx v sostav ϕ -cykla γ , dlq kotoroho v¥polnqetsq
∂W = γ . Poπtomu spravedlyvo preobrazovanye
W ∈A
∪ … =
γ ∂ γ∈ ∈ =B A
∪ ∪ …
W W:
. (5)
Dalee, na osnovanyy (3) poluçaem
˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W0 0 0∈ ∈ ( ) < ∞{ }| |W = B( )γ
γ ∈B
∪
y poπtomu, uçyt¥vaq (4) y (5), pryxodym k sledugwemu utverΩdenyg.
Teorema 2. Veroqtnost\ 1 – Q ( c ) predstavlqetsq razloΩenyem
1 – Q ( c ) = P( )γ
γ ∈
∑
B
. (6)
RazloΩenye (6) budem naz¥vat\ klastern¥m.
4. Dostatoçn¥j pryznak perkolqcyy. RazloΩenye (6), po postroenyg,
vsehda sxodytsq y summa ne prev¥ßaet 1. Odnako ymeetsq oblast\ znaçenyj
koncentracyy c , hde πta summa toçno ravna 1, y v πtom sluçae perkolqcyq v
sluçajnom pole { ˜( )c x ; x ∈ Z
2
} otsutstvuet. Esly Ωe ymeet mesto toçnoe
neravenstvo, to perkolqcyq suwestvuet. Ustanovyt\ neposredstvenno nalyçye
toçnoho neravenstva krajne sloΩno. Tem ne menee s razloΩenyem (6) tesno
svqzan druhoj rqd, kotor¥j ne obqzatel\no sxodytsq y kak raz eho sxodymost\
qvlqetsq dostatoçn¥m uslovyem nalyçyq perkolqcyy.
Dlq kaΩdoho cykla γ yz B opredelym sob¥tye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1319
ˆ ( )B γ =
˜ : ˜ ˜ ( ), ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) ∈ =( ){ }W 0 Int γ γ ∂
y eho veroqtnost\
ˆ ( )P γ = Pr ˆ ( )B γ{ }.
Spravedlyv sledugwyj dostatoçn¥j pryznak nalyçyq perkolqcyy.
Teorema 3. Esly ymeet mesto
ˆ( )P γ
γ ∈
∑
B
< ∞ , (7)
to Q ( c ) > 0.
Dokazatel\stvo. Prymenym k beskoneçnoj sovokupnosty sob¥tyj semej-
stva
ˆ( );B γ γ ∈{ }B lemmu Borelq – Kantelly (sm., naprymer, [5] ). Yz summyrue-
mosty rqda v (7), sohlasno ukazannoj lemme, sleduet, çto veroqtnost\ sob¥tyq,
sostoqweho v odnovremennoj realyzacyy beskoneçnoj sovokupnosty sob¥tyj yz
semejstva
ˆ( );B γ γ ∈{ }B , ravna nulg. Tohda s veroqtnost\g:1 suwestvuet neko-
tor¥j maksymal\n¥j cykl γ∗ ∈ B takoj, çto za eho predelamy najdutsq ver-
ßyna z y vmeste s nej beskoneçn¥j put\ α ( z ) bez samopereseçenyj, naçynag-
wyjsq v πtoj verßyne y takoj, çto α ( z ) ∩ M̃ = ∅. ∏to oznaçaet, çto dlq ber-
nullyevskoho polq { ˜( )c x ; x ∈ Z2
} sob¥tye ˜ : ˜ ˜ ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) = ∞( ){ }| |W yme-
et veroqtnost\ 1.
S druhoj storon¥, ymeet mesto sçetnoe razloΩenye
˜ : ˜ ˜ ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) = ∞( ){ }| |W = ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W M Wv v
v
∈ ( ) = ∞{ }| |
∈
W
Z
2
∪ . (8)
Vvydu nezavysymosty veroqtnosty Q ( c ) , opredelqemoj (1), ot verßyn¥ v ona
ne:moΩet b¥t\ ravna nulg yz-za neravenstva
1 ≤
Pr ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W M Wv v
v
∈ ( ) = ∞{ }| |
∈
∑ W
Z
2
,
kotoroe na osnovanyy (8) dolΩno ymet\ mesto.
5. Pereçyslenye koneçn¥x klasterov na Z 2. Osnovoj postroenyq maΩo-
rantn¥x ocenok poroha perkolqcyy v dannoj rabote qvlqetsq poluçenye ub¥-
vagwej posledovatel\nosty verxnyx ocenok çysla rk = Card { γ ∈ B : | γ | = k }
vsex vozmoΩn¥x ϕ -cyklov yz B dlyn¥ k , k ≥ 4.
Zametym, çto opysanye lgboho puty y, v çastnosty, cykla na Z 2 moΩno
πkvyvalentno, narqdu s ukazanyem posledovatel\nosty 〈 x0 , x1 , … , xn 〉 verßyn,
zadavat\ ukazanyem naçal\noj verßyn¥ x0 y posledovatel\nosty reber 〈 u1 , …
… , un 〉 , ui = xi – xi –1 , i = 1, 2, … , n . Pry πtom ui ∈ �1 ∪ �–1 , i = 1, … , n , hde
vveden¥ oboznaçenyq
�1 = { ε ei ; ε = ±1 , i = 1, 2 }, �–1 = { ε ′ei ; ε = ±1 , i = 1, 2 },
y ′e1 = e1 + e2 , ′e2 = e1 – e2 .
Opredelenye 2. Put\ γ na Z
2 budem naz¥vat\ pravyl\n¥m, esly kaΩd¥e
dva posledovatel\n¥x rebra u , v (v porqdke proxoΩdenyq) ymegt sledugwye
svojstva:
a) esly u ∈ �1 , to lybo v = u , lybo v ∈ �–1 , y ( u , v ) > 0;
b) esly u ∈ �–1 , to lybo v ∈ �–1 , v ≠ – u , lybo v ∈ �1 , ( u , v ) > 0.
Opredelenye 3. Dlq fyksyrovannoho m ∈ N koneçn¥j nezamknut¥j pra-
vyl\n¥j put\ γ = 〈x0, x1, … , xn 〉, n ≥ m , u kotoroho dlq lgb¥x i = 0, 1, … , n – 1
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1320 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
y j = 1, … , m , i + j ≤ n , kaΩd¥j pravyl\n¥j put\ 〈 xi , xi +1 , … , xi + j , y 〉 , y ∈ Z2,
ne)qvlqetsq zamknut¥m, nazovem m -prost¥m.
Pry n < m put\ γ qvlqetsq m -prost¥m po opredelenyg.
Oçevydno, çto pry m = 1, 2 mnoΩestvo m -prost¥x putej sovpadaet so mno-
Ωestvom vsex pravyl\n¥x putej.
Sformulyruem v vyde otdel\noj teorem¥ utverΩdenye, spravedlyvost\
kotoroho neposredstvenno sleduet yz teorem¥ 1. Ono predstavlqet soboj
kryteryj toho, çto zamknut¥j put\ na Z 2 prynadleΩyt B .
Teorema 4. Dlq toho çtob¥ zamknut¥j put\ γ = 〈 x0 , x1 , … , xn , x0 〉 na Z
2
moh b¥t\ vneßnej hranycej nekotoroho klastera yz A , neobxodymo y dosta-
toçno, çtob¥ on b¥l pravyl\n¥m y pry πtom kaΩd¥j put\ 〈 xi , xi +1 , … , xi + n –1 〉 ,
i = 0, 1, … , n , dolΩen b¥t\ ( n – 1) -prost¥m. ( Numeracyq verßyn ponyma-
etsq po mod ( n + 1) . )
Dokazatel\stvo. DokaΩem neobxodymost\ pravyl\nosty puty. Neobxody-
most\ vtoroho svojstva, utverΩdaemoho v teoreme, neposredstvenno sleduet yz
toho, çto γ — cykl. Dopustym protyvnoe. Pust\ x , y , z — posledovatel\n¥e
verßyn¥ cykla γ , qvlqgwehosq vneßnej hranycej klastera W , dlq kotor¥x
svojstva a), b) ne:v¥polnqgtsq. PoloΩym, dlq opredelennosty, çto x ϕ y , y =
= x + e1 y z = y – e1 + e2 . Tohda verßyn¥ y ± e2 , y + e1 ne:mohut vse odnovre-
menno naxodyt\sq vne W , tak kak v πtom sluçae y ne:prynadleΩyt ∂ W y ,
sledovatel\no, ne qvlqetsq verßynoj yz vneßnej hranyc¥ W . Bolee toho, pro-
stoj analyz pokaz¥vaet, çto ukazann¥e verßyn¥ obqzan¥ prynadleΩat\ Int ( γ ) .
No:tohda dlq verßyn¥ y ne:suwestvuet beskoneçnoho puty, naçynagwehosq v
nej y ymegweho pustoe pereseçenye s W ∪ ∂ W, t.:e. y ∉ ∂W .
Dlq dokazatel\stva obratnoho utverΩdenyq dostatoçno ubedyt\sq, çto γ
predstavlqet soboj cykl. Dopustym protyvnoe, t.:e. suwestvuet nomer i takoj,
çto xi –1 ϕ xi , xi ϕ xi +1 y suwestvuet l ( dlq opredelennosty l > i + 1 ) takoe, çto
xi ϕ xl . Tohda pry j = l – i – 1 put\ 〈 xi , … , xi + j , xi + j +1 〉 — zamknut¥j.
Teorema 4 dokazana.
Dlq postroenyq ocenok velyçyn¥ rk provedem sledugwee raspredelenye
cyklov yz semejstva B po klassam. Rassmotrym put\ α ( 0 ) = 〈 j e1 ; j = 0, 1,
2, … 〉 . Sohlasno teoreme 1 kaΩd¥j cykl γ ∈ B ymeet nepustoe pereseçenye s
α ( 0 ) . V¥berem v mnoΩestve γ ∩ α ( 0 ) verßynu, blyΩajßug k verßyne 0, y
oboznaçym ee zγ . Ymeet mesto dyzægnktyvnoe razloΩenye
B =
C l
l=
∞
1
∪ ,
hde v odyn klass Cl vxodqt cykl¥ yz B s sovpadagwej verßynoj zγ ≡ l e1 . ∏to
razloΩenye ynducyruet razloΩenye mnoΩestva { γ ∈ B : | γ | = k } na nepere-
sekagwyesq klass¥
C l
k( ) = {γ ∈ B : | γ | = k } ∩ Cl .
Poskol\ku pry πtom obqzatel\no l < k , to
{γ ∈ B : | γ | = k } =
C l
k
l
k
( )
=
−
1
1
∪ , rk =
C l
k
l
k
( )
=
−
∑
1
1
. (9)
Dlq kaΩd¥x n ∈ N y m = 1, 2, … , n oboznaçym çerez Q ( m , n ) mnoΩestvo
m -prost¥x putej dlyn¥ n , kotor¥e naçynagtsq v verßyne 0. Ymeet mesto
oçevydnoe vklgçenye Q ( m , n ) ⊃ Q ( m + 1, n ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1321
Pust\ teper\ Q l ( m , n ) = Q ( m , n ) + l e1 , m = 1, … , n – 1, l = 0, 1, 2, … . Tohda
| Q l ( m , n ) | = | Q ( m , n ) | . Rassmotrym mnoΩestvo Q l ( n – 1 , n ) . Sohlasno
teoreme 4, v¥rezanyem u kaΩdoho cykla γ ∈ C l
n( )+1 rebra xn ϕ x0 y l y x 0 ϕ x1
m¥ poluçym yz neho dva razlyçn¥x puty yz Q l ( n – 1 , n ) , pryçem razlyçn¥m γ
yz C l
n( )+1 budut sootvetstvovat\ neperesekagwyesq par¥ putej yz Q l ( n – 1 , n )
(vvydu dohovorennosty v¥bora verßyn¥ x0 = zγ , blyΩajßej k 0). Po πtoj
pryçyne | |C l
k( ) < | Q ( k – 2 , k – 1 ) | / 2. Tohda na osnovanyy (9) naxodym ocenku
rk < 1
2
2 1
1
1
Q l
l
k
k k( , )− −
=
−
∑ =
= 1
2
1 2 1( ) ( , )k k k− − −Q ≤ 1
2
1 1( ) ( , )k m k− −Q (10)
pry lgbom m ≤ k – 2.
Naßej dal\nejßej zadaçej qvlqetsq poluçenye formul¥ dlq velyçyn¥
| Q ( m , n ) | = sn
m( ) , na osnove kotoroj budut v¥çyslqt\sq verxnye ocenky dlq
poroha perkolqcyy.
V sootvetstvyy s yzloΩenn¥m v¥ße, kaΩd¥j put\ yz Q ( m , n ) opys¥vaetsq
posledovatel\nost\g 〈 u1 , … , un 〉 , ui ∈ �1 ∪ �–1 , i = 1, … , n . Rassmotrym ko-
neçnomernoe prostranstvo �m funkcyj s : Q ( m , m ) � R , t.:e. opredelenn¥x
na putqx β = 〈 u1 , … , um 〉 ∈ Q ( m , m ) . Vvedem v πtom prostranstve lynejn¥j
operator Tm , opredelqem¥j qdrom Tm ( α , β ) , α = 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( m , m ) , β =
= 〈 v1 , … , vn 〉 ∈ Q ( m , m ) , sledugweho vyda:
Tm ( α , β ) =
1 1 1
1 1
0
1
1
, , , , ,
, , , ( , );
u i m
u m m
i i
m m
= = … −
〈 … 〉 ∈ + +
+v
v v Q
— v protyvnom sluçae.
Po opredelenyg
( Tm s ) ( α ) =
β
α β β
∈
∑
Q ( , )
( , ) ( )
m m
mT s .
Pust\ dlq kaΩdoho n ∈ N , n ≥ m , funkcyq sn : Q ( m , m ) � R opredelena
dlq kaΩdoho β = 〈 v1 , … , vm 〉 ∈ Q ( m , m ) formuloj
sn ( β ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( m + 1, n ) : 〈 un – m +1 , … , un 〉 = β } | , (11)
t.:e. sn ( β ) — çyslo putej yz Q ( m + 1, n ) , ymegwyx v kaçestve koneçnoho ot-
rezka dlyn¥ m put\, kotor¥j perenosom naçal\noj verßyn¥ v: 0 :prevrawaetsq
v put\ β .
Oçevydno, çto
sn
m( ) =
α
α
∈
∑
Q ( , )
( )
m m
ns ≡ ( sn , e )m , (12)
hde e ( α ) ≡ 1, α ∈ Q ( m , m ) y ( ⋅ , ⋅ )m — skalqrnoe proyzvedenye v prostranstve
�m .
Zametym dalee, çto
sn ( α ) = ( Tm sn –1 ) ( α ) ,
y tak kak yz (11) sleduet sm ( α ) = e ( α ) , v soçetanyy s (12) poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1322 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
sn
m( ) = ( ),T e em
n m
m
− . (13)
Summyruem poluçenn¥j rezul\tat v vyde sledugweho utverΩdenyq.
Teorema 5. Dlq çysla rk spravedlyva ocenka
rk < 1
2
1 1( ) ,( )k m
k m
m− − −T e e (14)
pry lgbom m ≤ k – 2, pryçem pravaq çast\ neravenstva ub¥vaet pry uvely-
çenyy m .
Ocenka (14) sleduet yz (10) y (13) pry n = k – 1.
6. Ocenka poroha perkolqcyy. PokaΩem, kakym obrazom ocenky, zadava-
em¥e (14), dagt monotonno ub¥vagwug posledovatel\nost\ ocenok poroha per-
kolqcyy.
Teorema 6. Pry kaΩdom m = 1, 2, … dlq bernullyevskoho sluçajnoho polq
na kvadratnoj reßetke ymegt mesto neravenstva
c∗ < cm ≡ 1 – ρm
−1,
hde ρm — maksymal\noe ( po modulg) sobstvennoe çyslo operatora Tm , pry-
çem posledovatel\nost\ { cm ; m = 1, 2, … } — monotonno ub¥vagwaq.
Dokazatel\stvo. Sohlasno teoreme 3, neobxodymo dokazat\ sxodymost\
rqda (7) pry c > cm . Poskol\ku ˆ( )B γ ⊂
˜ : ˜M M ∩ γ = ∅{ } , to
ˆ( )P γ ≤ ( )1 − | |c γ . (15)
Na osnovanyy πtoho neravenstva spravedlyva sledugwaq ocenka sverxu dlq
summ¥:
ˆ( )P γ
γ ∈
∑
B
≤ ( )1 − | |
∈
∑ c γ
γ B
= ( )1
4
−
=
∞
∑ c rk
k
k
. (16)
Zafyksyrovav çyslo m , dostatoçno dokazat\, çto sxodytsq ostatok πtoho rqda,
naçynagwyjsq s k = m + 1. V:πtom sluçae, vospol\zovavßys\ neravenstvom (14),
poluçym
( )1
1
−
= +
∞
∑ c rk
k
k m
< 1
2
1 1 1
1
( )( ) ,( )k c k
m
k m
m
k m
− − − −
= +
∞
∑ T e e . (17)
Vvydu toho, çto matryca Tm ( α , β ) ymeet neotrycatel\n¥e πlement¥, ona ymeet
sobstvennoe çyslo ρm ≥ 0, sootvetstvugwyj sobstvenn¥j vektor em kotoroho
ymeet neotrycatel\n¥e komponent¥, takoe, çto vse ostal\n¥e sobstvenn¥e çys-
la πtoj matryc¥ po modulg ne prev¥ßagt ρm (sm. [6], hl.:XIII, § 3, teorema 3).
Dlq matryc¥ Tm spravedlyvo sledugwee razloΩenye Danforda, ymegwee
mesto dlq lgboj kvadratnoj matryc¥ (sm., naprymer, [8]): Tm = S + N , hde S
— nekotoraq matryca prostoj struktur¥ [6], t.:e. ymegwaq v prostranstve
Q ( m , n ) poln¥j nabor sobstvenn¥x vektorov, a matryca N — nyl\potentnaq,
t.:e. dlq nee suwestvuet çyslo l ∈ N , l ≤ dim Q ( m , n ) , takoe, çto N
l = 0. Pry
πtom spektr matryc¥ S sovpadaet so spektrom matryc¥ Tm . Dopustym teper\,
çto ρm = 0. Tohda, tak kak ρm — maksymal\noe po modulg sobstvennoe çyslo, v
πtom sluçae vse sobstvenn¥e çysla matryc¥ Tm ravn¥ nulg. Sledovatel\no,
S = 0 y poπtomu Tm = N . Tohda yz formul¥ (14) sleduet pry k – 1 – m ≥
≥ dim Q ( m , n ) nevozmoΩnoe neravenstvo rk < 0. Takym obrazom, predpoloΩenye
ρm = 0 pryvodyt k protyvoreçyg y, sledovatel\no, ρm > 0.
V sylu opredelenyq vektora e ( e , em ) m ≠ 0. Po πtoj pryçyne dlq sxody-
mosty rqda v pravoj çasty (17) neobxodymo, çtob¥ ( 1 – c ) ρm < 1, t.:e. c > 1 – ρm
−1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1323
Otsgda sleduet, çto c∗ < cm . Pry πtom summa rqda ravna
( ) ( )( ) ( ) ,1 1 1 1 11 2− − − −[ ] − −[ ]( )+ −c m m c cm
m m m
T T e e .
S:druhoj storon¥, uslovye ( 1 – c ) ρm < 1 qvlqetsq dostatoçn¥m dlq sxody-
mosty rqda v (17), tak kak ρm ravno maksymumu modulq sobstvenn¥x çysel mat-
ryc¥ Tm [7]. Takym obrazom, neravenstvo c < cm πkvyvalentno sxodymosty
ukazannoho rqda.
Poskol\ku, po postroenyg, ( ),T e em
k m
m
− −1 > ( ),T e em
k m
m+
−
+1 1, sxodymost\ rqda
( )( ) ,( )k c k
m
k m
m
k m
− − −
= +
∞
∑ 1 1
2
T e e vleçet sxodymost\ rqda
( )( ) ,( )k c k
m
k m
m
k m
− − +
− −
+
= +
∞
∑ 1 1 1
1
1
2
T e e ,
a v sylu dokazannoj πkvyvalentnosty πtoj sxodymosty sootvetstvenno v¥pol-
nenyg neravenstv ρm ( 1 – c ) < 1 y ρm +1 ( 1 – c ) < 1 poluçaem, çto pervoe yz nyx
vleçet za soboj vtoroe. ∏to vozmoΩno tol\ko lyß\ v sluçae, esly ρ m +1 < ρm ,
t.:e. cm +1 < cm .
7. Veroqtnost\ perkolqcyy. PokaΩem, kakym obrazom poluçagtsq pry-
blyΩenyq s harantyrovannoj ocenkoj toçnosty dlq veroqtnosty perkolqcyy.
Teorema 7. Pry kaΩdom m = 1, 2, … dlq c < cm veroqtnost\ perkolqcyy
Q ( c ) bernullyevskoho sluçajnoho polq na kvadratnoj reßetke opredelqetsq
formuloj
Q ( c ) = 1 –
γ γ
γ
∈ ≤| |
∑
B :
( )
l
P + Sl ,
hde
Sl <
1
2
1 1( ) max ( )
( , )
− ( )
+
∈
−c l
m m m
l m
α
α
Q
T e ×
× 1 1 1 1 11 1− −[ ] − + − −[ ]( )( )− −( ) ( ) ( ) ,c l cm m m
T T e e (18)
pry l ≥ m .
Dokazatel\stvo. Na osnovanyy (6) neobxodymo dokazat\ ukazannug v
utverΩdenyy verxngg ocenku dlq summ¥ Sl =
γ γ
γ
∈ >| |
∑
B :
( )
l
P . Yz opredelenyq:1
y vklgçenyq B ( γ ) ⊂ ˜ : ˜M M ∩ γ = ∅{ } sleduet neravenstvo
P ( γ ) ≤ ( )1 − | |c γ .
Poπtomu, yspol\zuq klasternoe razloΩenye (6), poluçaem sledugwug verxngg
ocenku:
Sl <
γ
γ
γ∈ >
| |
| |
∑ −
B :
( )
l
c1 = ( )1
1
−
= +
∞
∑ c rk
k
k l
.
Pry l ≥ m , ocenyvaq velyçynu rk , sohlasno (14) ymeem
Sl < 1
2
1 1 1
1
( )( ) ,( )k c k
m
k m
m
k l
− − − −
= +
∞
∑ T e e . (19)
Poskol\ku
( ),T e em
n j
m
+ ≤
( ), max ( )
( , )
T e e T em
n
m m m m
j
α
α
∈
( )Q
,
yz (19) naxodym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1324 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
Sl <
1
2
1 11
0
( ) max ( ) ( )( ) ,
( , )
( )− ( )
+ −+
∈
−
=
∞
∑c k l cl
m m m
l m k
m
k
m
kα
α
Q
T e T e e .
Summyruq poslednyj rqd pry c > cm , poluçaem (18).
8. Sluçaj m = 2. V πtom punkte, yspol\zuq ydeg poluçenyq maΩorantn¥x
ocenok, yzloΩennug v pp.:5 – 7, realyzuem ee v sluçae m = 2. V πtom sluçae
moΩno, yspol\zuq symmetryg kvadratnoj reßetky, reducyrovat\ operator T2
k nekotoromu operatoru T, dejstvugwemu v R5, çto suwestvenno oblehçaet
analyz.
Rassmotrym paru posledovatel\n¥x reber 〈 u , v 〉 cykla γ ; u , v ∈ �–1 ∪ �1 .
Takye par¥ moΩno raspredelyt\ po sledugwym pqty klassam. Vo-perv¥x,
klass K 0 , k kotoromu otnesem par¥, dlq kotor¥x v¥polnqetsq u , v ∈ �–1 ,
u ⊥ v , y, vo-vtor¥x, 4 klassa K a , a = 〈 i , j 〉 , i , j ∈ { ±1 } , dlq kotor¥x sootvet-
stvenno v¥polnqetsq u ∈ �i , v ∈ �j , ( u , v ) > 0. Oboznaçym I = { 0 } ∪ { 〈 i , j 〉 ;
i , j ∈ { ±1 } }.
Pust\, sohlasno (11), pry kaΩdom N
sn ( 〈 u , v 〉 ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( 3, n ) : un –1 = n , un = v } | .
V sootvetstvyy s ukazann¥m v¥ße razbyenyem par posledovatel\n¥x reber na
klass¥ vvedem pqtymern¥e vektor¥
sn ( a ) =
〈 〉 ∈
∑ 〈 〉
u
n
a
u
,
( ),
v
v
K
s , a ∈ I ,
hde
sn ( a ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( 3, n ) : 〈 un –1 , un 〉 ∈ K a } | . (20)
Pust\ γ ∈ Q ( 3, n ) , n > 4 y 〈 u , v , w 〉 — posledovatel\n¥e rebra γ . Yz heo-
metryçeskyx soobraΩenyj v 3-prost¥x putqx γ s dlynoj, bol\ßej 4, vozmoΩn¥
tol\ko sledugwye posledovatel\nosty, u kotor¥x par¥ 〈 u , v 〉 , 〈 v, w 〉 ∈ Q ( 2, 2) ,
a posledovatel\nost\ 〈 u , v , w 〉 udovletvorqet teoreme 4.
I. Esly u , v ∈ �1 , u = v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �1 , w = v ;
2) w ∈ �–1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2.
II. Esly u ∈ �–1 , v ∈ �1 , ( u , v ) > 0, to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �1 , w = v ;
2) w ∈ �–1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2.
III. Esly u ∈ �1 , v ∈ �–1 , ( u , v ) > 0, to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �–1 , w = v ;
2) w ∈ �1 , w = sgn ,( )v ′ ′e ei i , i = 1, 2;
3) w ∈ �–1 , w ⊥ v (dva varyanta).
IV. Esly u , v ∈ �–1 , u = v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �–1 , w = v ;
2) w ∈ �1 , w = sgn ,( )v ′ ′e ei i , i = 1, 2;
3) w ∈ �–1 , w ⊥ v (dva varyanta).
V. Esly u , v ∈ �–1 , u ⊥ v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �–1 , w = v ;
2) w ∈ �1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2;
3) w ∈ �1 , w ⊥ v , w = u (odyn varyant).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1325
V poslednem sluçae realyzuetsq tol\ko odyn varyant prodolΩenyq cykla
w = u , tak kak pry prodolΩenyy w = – u put\ perestaet b¥t\ 3-prost¥m.
Dopolnenyem odnoho rebra on prevrawaetsq v cykl 〈 u , v , – u , – v 〉 .
Zametym, çto uslovyq v pp.:I – V opys¥vagt operator T2 v � 2 . Na yx
osnovanyy moΩno postroyt\ reducyrovann¥j operator T na prostranstve R5,
sostoqwem yz vektorov s = 〈 s ( a ) ; a ∈ I 〉 . ∏tot operator stroytsq yz tex
soobraΩenyj, çtob¥ dlq kaΩdoho n ∈ N v¥polnqlos\
sn +1 ( a ) = ( T sn ) ( a ) , a ∈ I . (21)
Yz pp.:I1 y II1, sootvetstvenno porqdku slahaem¥x v pravoj çasty, sleduet
ravenstvo
sn +1 ( 〈 1 , 1 〉 ) = sn ( 〈 1 , 1 〉 ) + sn ( 〈 –1 , 1 〉 ) . (22)
Analohyçn¥m obrazom poluçagtsq sledugwye ravenstva, kotor¥e v¥tekagt
sootvetstvenno yz pp. I2 y II2, III1, IV1 y V1, III2, IV2 y V2, III3, IV3 y V3 :
sn +1 ( 〈 1 , –1 〉 ) = 2sn ( 〈 1 , 1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , 1 〉 ) ,
sn +1 ( 〈 –1 , –1 〉 ) = sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + sn ( 0 ) ,
(23)
sn +1 ( 〈 –1 , 1 〉 ) = 2sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + 2sn ( 0 ) ,
sn +1 ( 0 ) = 2sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + sn ( 0 ) .
Vvedem matrycu Ta , b operatora T, hde a , b — komponent¥ uporqdoçennoho
mnoΩestva 〈 0 , 〈 1 , 1 〉, 〈 1 , –1 〉, 〈 –1 , 1 〉, 〈 –1 , –1 〉 〉,
T =
1 0 2 0 2
0 1 0 1 0
0 2 0 2 0
2 0 2 0 2
1 0 1 0 1
. (24)
∏ta matryca opredelqet yskom¥j operator T, tak kak pryvedenn¥e v¥ße ra-
venstva predstavlqgtsq v vyde (21). Tohda, yspol\zuq operator T, ymeem
sn = T
n
–2
s2 . (25)
Pry πtom na osnovanyy (20) vektor s2 = 4 〈 2 , 1 , 2 , 2 , 1 〉.
Najdem sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ Ta , b . Matryca Ta , b ymeet neotry-
catel\n¥e πlement¥. Poπtomu ona ymeet sobstvennoe znaçenye ρ takoe, çto
moduly vsex druhyx sobstvenn¥x çysel ne:prev¥ßagt ρ (sm. teoremu:3, a
takΩe [6], hl.:XIII, §:3). Xarakterystyçeskoe uravnenye matryc¥ Ta , b ymeet vyd
T ( λ ) ≡ det [ T – λ ] = λ2
( λ3 – 3λ2 – 3λ – 3 ) = 0.
PoloΩytel\n¥j koren\ ρ xarakterystyçeskoho uravnenyq, suwestvovanye
kotoroho harantyruetsq ukazann¥m utverΩdenyem, qvlqetsq edynstvenn¥m
vewestvenn¥m kornem kubyçeskoho uravnenyq, poluçaemoho pryravnyvanyem
nulg v¥raΩenyq v skobkax. ∏tot koren\ raven
ρ = 2 2 2 2 23 3 3+ + −( ) + 1 ≈ 3, 951.
Ostal\n¥e korny polynoma T ( λ ) ne:prev¥ßagt po modulg ρ .
Poskol\ku razloΩenye
∪
a I
a∈
K = Q ( 3, n ) dyzægnktyvno, to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1326 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
sn
( )3 = | Q ( 3, n ) | ≡ sn = s an
a I
( )
∈
∑
yly pry vvedenyy vektora e = 〈 1 , 1 , 1 , 1 , 1 〉 s n = ( e , sn ) , hde ( ⋅ , ⋅ ) — ska-
lqrnoe proyzvedenye v R5. Esly, krome toho, vospol\zovat\sq (25) y uçest\
qvn¥j vyd vektora s 2 , to pokomponentno ymeet mesto neravenstvo sn ( a ) <
< 8 ( T
n
–2
e ) ( a ) y poπtomu sn < 8 ( e , T
n
–2
e ) . Na osnovanyy πtoho neravenstva,
yspol\zuq (10), naxodym ocenku dlq rk :
rk < 1
2
1 1( )k sk− − < 4 ( k – 1) ( e , T
k
–3
e ) .
Poluçennaq ocenka y (16) dagt vozmoΩnost\ poluçyt\ maΩorantn¥j rqd dlq
summ¥ (7):
ˆ( )P γ
γ ∈
∑
B
≤ ( )1
4
−
=
∞
∑ c rk
k
k
< 4 1 1 3
4
( )( ) ,( )k c k k
k
− − −
=
∞
∑ e T e .
∏tot rqd summyruetsq pry c > 1 – ρ–1 > 0, 74683, y m¥ ubeΩdaemsq v spravedly-
vosty sledugweho utverΩdenyq.
Teorema 8. Dlq bernullyevskoho sluçajnoho polq na kvadratnoj reßetke
Z
2 v¥polnqetsq c∗ ≤ c2 = 0, 74683.
∏ta ocenka luçße poluçennoj v [7].
Zaklgçenye. Postroennaq v rabote posledovatel\nost\ { cm ; m = 2, 3, … }
maΩorantn¥x ocenok poroha perkolqcyy c∗ qvlqetsq monotonno ub¥vagwej.
Poπtomu ona ymeet predel c∞ ≥ c∗. Ee postroenye osnovano na suwestvennom
yspol\zovanyy dvux neravenstv — (10), (15). Est\ osnovanyq polahat\, tem
ne:menee, çto πty neravenstva asymptotyçesky toçn¥ pry n → ∞ , t.:e., napry-
mer, dlq velyçyn¥ rn ymeet mesto asymptotyçeskoe sootnoßenye ln rn �
� ln | Q ( n – 2 , n – 1 ) | pry n → ∞ . Esly πta hypoteza spravedlyva, to v¥polnq-
etsq toçnoe ravenstvo c∞ = c∗ y predloΩenn¥j namy metod postroenyq maΩo-
rantn¥x ocenok predstavlqet soboj pryblyΩenn¥j metod v¥çyslenyq poroha
perkolqcyy. Odnako dlq ocenky toçnosty poluçaem¥x takym obrazom prybly-
Ωenyj neobxodymo postroyt\ osnovannug na analohyçnoj ydee proceduru polu-
çenyq nyΩnyx ocenok dlq c∗.
1. Vyrçenko)G.)P. Perkolqcyq // Matematyçeskaq fyzyka: Bol\ßaq ros. πncykl. – 1998. –
S.:346 – 347.
2. Hammersley J. M. Percolation processes. Lower bounds for the critical probability // Ann. Math.
Statist. – 1957. – 28. – P. 790 – 795.
3. Kesten H. Percolation theory for mathematicians. – Boston: Birkhäuser, 1982. – 420 p. (Rus. per.:
Kesten)X. Teoryq prosaçyvanyq dlq matematykov. – M.: Myr, 1986. – 390:s.)
4. Men\ßykov)M.)V., Molçanov)S.)A., Sydorenko)A.)F. Teoryq perkolqcyy y nekotor¥e prylo-
Ωenyq // Ytohy nauky y texnyky. Ser. Teoryq veroqtnostej, mat. statystyka y teor.
kybernetyka. – M.: VYNYTY, 1986. – 24. – S.:53 – 110.
5. Lamperti J. Probability. – New York; Amsterdam, 1966. – 190 p. (Rus. per.: Lamperty)DΩ.
Veroqtnost\. – M.: Nauka, 1973. – 184:s.)
6. Hantmaxer)F.)R. Teoryq matryc. – 3-e yzd. – M.: Nauka, 1967. – 576:s. (Anhl. per.:
Gantmakher F. R. Applications of the theory of matrices. – New York: Wiley, 1959.)
7. Virchenko Yu. P., Tolmacheva Yu. A. Revision of the upper estimate of percolation threshold in
square lattice // Mat. Fizika, Analiz, Geometria. – 2003. – 10, # 1. – S. 29 – 39.
8. Xorn)R., DΩonson)Ç. Matryçn¥j analyz. – M.: Myr, 1989. – 426 s.
Poluçeno 22.01.2003,
posle dorabotky — 17.01.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|