Об областях с регулярными сечениями
Доведено узагальнену опуклість областей, які задовольняють умову ациклічності їх перерізів деякою неперервно параметризованою сім'єю двовимірних площин.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165847 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об областях с регулярными сечениями / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1420–1423. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165847 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658472020-02-17T01:27:49Z Об областях с регулярными сечениями Зелинский, Ю.Б. Статті Доведено узагальнену опуклість областей, які задовольняють умову ациклічності їх перерізів деякою неперервно параметризованою сім'єю двовимірних площин. We prove the generalized convexity of domains satisfying the condition of acyclicity of their sections by a certain continuously parametrized family of two-dimensional planes. 2005 Article Об областях с регулярными сечениями / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1420–1423. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165847 517.5:514.17:513.83 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Зелинский, Ю.Б. Об областях с регулярными сечениями Український математичний журнал |
| description |
Доведено узагальнену опуклість областей, які задовольняють умову ациклічності їх перерізів деякою неперервно параметризованою сім'єю двовимірних площин. |
| format |
Article |
| author |
Зелинский, Ю.Б. |
| author_facet |
Зелинский, Ю.Б. |
| author_sort |
Зелинский, Ю.Б. |
| title |
Об областях с регулярными сечениями |
| title_short |
Об областях с регулярными сечениями |
| title_full |
Об областях с регулярными сечениями |
| title_fullStr |
Об областях с регулярными сечениями |
| title_full_unstemmed |
Об областях с регулярными сечениями |
| title_sort |
об областях с регулярными сечениями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165847 |
| citation_txt |
Об областях с регулярными сечениями / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1420–1423. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zelinskijûb oboblastâhsregulârnymisečeniâmi |
| first_indexed |
2025-07-14T20:07:18Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:07:18Z |
| _version_ |
1837654233770360832 |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 517.5:514.17:513.83
G. B. Zelynskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
OB OBLASTQX S REHULQRNÁMY SEÇENYQMY
*
We prove the generalized convexity of domains whose sections by some continuously parametrized
family of two-dimensional planes are acyclic.
Dovedeno uzahal\nenu opuklist\ oblastej, qki zadovol\nqgt\ umovu acykliçnosti ]x pereriziv
deqkog neperervno parametryzovanog sim’[g dvovymirnyx plowyn.
Yzuçenye hlobal\n¥x svojstv mnoΩestv po yzvestn¥m xarakterystykam eho se-
çenyj ymeet rqd praktyçeskyx prymenenyj v voprosax medycynskoj tomohra-
fyy y stereolohyy [1, 2]. Vo mnohyx sluçaqx, ymeq nekotor¥e svedenyq o seçe-
nyqx mnoΩestva ploskostqmy fyksyrovannoj razmernosty, nuΩno sdelat\ v¥-
vod¥ o mnoΩestve v celom.
V rabotax [3, 4] yzuçalys\ obwye svojstva κ-v¥pukl¥x mnoΩestv, t. e. pod-
mnoΩestv evklydovoho prostranstva R
n
, çerez kaΩdug toçku dopolnenyq k
kotor¥m proxodyt κ-ploskost\, ne peresekagwaq samoho mnoΩestva. V sluçae,
kohda hranyca oblasty D qvlqetsq hladkym ohranyçenn¥m mnohoobrazyem, κ =
= n – 2 y mnoΩestvo κ-ploskostej nadeleno kompleksnoj strukturoj (t. e. n
çetno, a κ-ploskosty qvlqgtsq kompleksn¥my hyperploskostqmy), yzvestno,
çto oblast\ D topolohyçesky πkvyvalentna ßaru [5].
Cel\ nastoqwej rabot¥ — yzuçyt\ sluçay, kohda kompleksnoj struktur¥
apryory net, no soxranen¥ nekotor¥e svojstva mynymal\nosty y
neprer¥vnosty.
Pust\ v prostranstve R
n
zadano semejstvo Ω dvumern¥x ploskostej, yme-
gwee takye svojstva:
a) çerez proyzvol\nug paru razlyçn¥x toçek proxodyt edynstvennaq plos-
kost\, prynadleΩawaq semejstvu Ω;
b) esly dvumernaq ploskost\ qvlqetsq predelom posledovatel\nosty plos-
kostej semejstva Ω, to ona takΩe prynadleΩyt πtomu semejstvu.
Takoe semejstvo nazovem mynymal\n¥m.
Lehko vydet\, çto esly m¥ rassmatryvaem kompleksnoe prostranstvo C
n
, to
mynymal\n¥m semejstvom, v çastnosty, budet semejstvo kompleksn¥x prqm¥x,
yly semejstvo, poluçennoe yz semejstva kompleksn¥x prqm¥x dejstvytel\n¥m
affynn¥m preobrazovanyem, ne obqzatel\no soxranqgwym kompleksnug
strukturu.
Pust\ G ′ ( n, n – 2 ) — hrassmanovo mnohoobrazye ( n – 2 )-ploskostej v R
n
, a
M — eho hladkoe podmnohoobrazye, ymegwee svojstvo:
dlq proyzvol\noj par¥ ( T, x ), hde T — hyperploskost\ v R
n
, a x ∈ T —
*
V¥polnena pry çastyçnoj podderΩke Hosudarstvennoj prohramm¥ Ukrayn¥ # 0102 U 000917.
© G. B. ZELYNSKYJ, 2005
1420 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
OB OBLASTQX S REHULQRNÁMY SEÇENYQMY 1421
toçka, suwestvuet edynstvennaq ploskost\ L ∈ G ′ ( n , n – 2 ) so svojstvom
x ∈ L ⊂ T.
Pust\ Ml — hladkoe podmnohoobrazye mnohoobrazyq G ′ ( n, 2 ), takoe, çto
dlq proyzvol\noj par¥ razlyçn¥x toçek x1 , x2 ∈ R
n
suwestvuet edynstvennaq
ploskost\ L ∈ Ml , soderΩawaq yx. Oçevydno, çto takoe podmnohoobrazye qv-
lqetsq mynymal\n¥m semejstvom.
Budem hovoryt\, çto podmnohoobrazyq M y Ml sohlasovan¥, esly dlq pro-
yzvol\noj ploskosty L ∈ M y par¥ razlyçn¥x toçek x1 , x2 ∈ L 2-ploskost\ l
yz Ml , soderΩawaq πtu paru, leΩyt v L ( l ⊂ L ), a dlq proyzvol\noj ploskos-
ty l yz Ml y toçky x ∈ l suwestvuet ploskost\ L ∈ M takaq, çto l ∩ L = { x }.
Opredelenye 1. Budem hovoryt\, çto mnoΩestvo E ⊂ R
n M -v¥puklo, es-
ly dlq proyzvol\noj toçky x ∈ R
n
\ E suwestvuet ploskost\ L ∈ M takaq,
çto x ∈ L y l ∩ E = ∅.
Opredelenye 2. Budem hovoryt\, çto mnoΩestvo E ⊂ R
n lokal\no M-v¥-
puklo, esly dlq proyzvol\noj toçky x ∈ R
n
\ E suwestvugt ploskost\ L ∈ M
y okrestnost\ U ( x ) takye, çto x ∈ L y L ∩ E ∩ U ( x ) = ∅.
DokaΩem sledugwug teoremu.
Teorema. Pust\ D — lokal\no M-v¥puklaq ohranyçennaq oblast\ s hlad-
koj klassa C
l hranycej.
Esly suwestvuet sohlasovannoe s M mnohoobrazye Ml , to:
1) D — M-v¥puklaq oblast\;
2) vse seçenyq oblasty D dvumern¥my ploskostqmy, prynadleΩawymy Ml ,
svqzn¥e y odnosvqzn¥e;
3) oblast\ D — acyklyçna.
Dokazatel\stvo razob\em na neskol\ko vspomohatel\n¥x utverΩdenyj.
DokaΩem snaçala, çto kaΩdaq dvumernaq ploskost\ l, zadavaemaq mnohoob-
razyem Ml y peresekagwaq oblast\ D, peresekaet ∂ D tak, çto ny v odnoj
toçke x ∈ l D∩ \ l ∩ D ona ne qvlqetsq kasatel\noj k mnohoobrazyg ∂ D. Esly
Ωe πto ne tak, to v sootvetstvyy s sohlasovannost\g mnohoobrazyj M y Ml su-
westvuet ploskost\ L ⊃ l. Teper\ v sylu lokal\noj M-v¥puklosty D vsq ok-
restnost\ U ( x ) ∩ L ⊃ U ( x ) ∩ l toçky x ne prynadleΩyt l ∩ D , a sledovatel\-
no, y zam¥kanyg l D∩ .
DokaΩem svqznost\ pereseçenyj l ∩ D. Pust\ l ∩ D — nesvqznoe mnoΩest-
vo, soderΩawee komponent¥ D1 y D2 . V¥berem paru toçek a ∈ D1 y b ∈ D2.
V sylu svqznosty D suwestvuet prostaq duha γ ( t ) : [ 0, 1 ] → D takaq, çto
γ ( 0 ) = a y γ ( 1 ) = b. Pust\ lt — dvumernaq ploskost\ yz Ml , soedynqgwaq
paru toçek a y γ ( t ) pry t ∈ ( 0, 1 ] (pry t = 0 l0 — predel\naq ploskost\, po-
luçennaq pry t → 0).
MnoΩestvo znaçenyj t, dlq kotor¥x γ ( 0 ) y γ ( 1 ) prynadleΩat odnoj kom-
ponente Vt ⊂ lt ∩ D, zamknuto y otkr¥to, a poskol\ku dlq dostatoçno mal¥x t
γ ( 0 ) y γ ( t ) prynadleΩat, oçevydno, odnoj komponente, to πto spravedlyvo y
pry t = 1. Poluçennoe protyvoreçyt v¥boru toçek a y b y, sledovatel\no, l ∩
∩ D — svqznoe mnoΩestvo, t. e. oblast\ v dvumernoj ploskosty l.
M-v¥puklost\ oblasty D dokaz¥vaetsq analohyçno pred¥duwemu. Esly
oblast\ D tol\ko lokal\no M-v¥pukla, to dlq nekotoroj toçky x ∈ ∂ D su-
westvugt ploskost\ L, prynadleΩawaq mnohoobrazyg M, y okrestnost\ U
takye, çto U ∩ L ∩ D = ∅, no L ∩ D ≠ ∅. Tohda, kak y pry dokazatel\stve
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1422 G. B. ZELYNSKYJ
svqznosty, v¥berem paru toçek a = x y b, prynadleΩawug L ∩ D , y soedynym
yx putem, leΩawym v D, za ysklgçenyem toçky a. Povtorqq pred¥duwye ras-
suΩdenyq, prydem k protyvoreçyg.
DokaΩem svqznost\ hranyc¥ ∂ D. Esly hranyca ne svqzna, to v sylu ohrany-
çennosty oblasty D ee dopolnenye R
n
\ D soderΩyt ohranyçennug kompo-
nentu V. Pust\ toçka x ∈ V, tohda proyzvol\naq ( n – 2 )-ploskost\, proxodq-
waq çerez x, peresekaet oblast\ D, çto protyvoreçyt M-v¥puklosty D.
DokaΩem odnosvqznost\ l ∩ D . PredpoloΩym, çto πto pereseçenye neodno-
svqzno, sledovatel\no, hranyca ∂ ( l ∩ D ) ne svqzna. Dlq toçek x1 , x2 , prynad-
leΩawyx razn¥m komponentam ∂ ( l ∩ D ), suwestvuet zamknutaq Ωordanova
kryvaq Γ ⊂ l ∩ D , kotoraq razdelqet v l toçky x1 , x2 . V sylu svqznosty y
hladkosty hranyc¥ ∂ D moΩno soedynyt\ toçky x1 , x2 neprer¥vn¥m putem
γ : [ 0, 1 ] → ∂ D, γ ( 0 ) = x1 , γ ( 1 ) = x2 . KaΩdoj toçke γ ( t ) v sylu M-v¥puklosty
D sootvetstvuet ( n – 2 )-ploskost\ L ( t ), zadavaemaq mnohoobrazyem M, takaq,
çto γ ( t ) ∈ L ( t ) y L ( t ) ∩ D = ∅. Poπtomu l ⊄ L ( t ) dlq vsex t ∈ [ 0, 1 ].
Ploskosty l y L ( t ) dopolnytel\n¥x razmernostej (sootvetstvenno 2 y n – 2 )
v sylu sohlasovannosty ymegt odnu obwug toçku τ ( t ) (koneçnug, esly ony ne
parallel\n¥, y beskoneçnug — v sluçae parallel\nosty).
V sylu hladkosty hranyc¥ ∂ D semejstvo L ( t ) neprer¥vno zavysyt ot t, y
poπtomu poluçaem neprer¥vn¥j put\ γ1 = x x t t= ≤ ≤{ }τ( ), 0 1 , soedynqgwyj
toçky x1 = τ ( 0 ) y x2 = τ ( 1 ) v dvumernoj sfere S
2 = l ∪ ( ∞ ), poluçennoj yz
dvumernoj ploskosty odnotoçeçnoj kompaktyfykacyej. Poskol\ku zamknutaq
Ωordanova kryvaq Γ razdelqet toçky x1 , x2 , to Γ ∩ γ1 ≠ ∅. Sledovatel\no,
dlq nekotoroho t = t
0
L ( t
0
) ∩ Γ ⊂ L ( t
0
) ∩ D ≠ ∅, çto pryvodyt k proty-
voreçyg.
Dokazatel\stvo tret\eho utverΩdenyq teorem¥ bazyruetsq na sledugwyx
lemmax.
Lemma 1. Pust\ K ⊂ R
n — kompakt y a ∈ K — takaq toçka, çto seçenye
K proyzvol\noj ploskost\g yz mynymal\noho semejstva M l , proxodqwej çe-
rez toçku a, acyklyçno. Tohda K — acyklyçn¥j kompakt.
Dokazatel\stvo analohyçno dokazatel\stvu teorem¥ 4.2 [4]. Otlyçye sosto-
yt v tom, çto mnohoobrazye ploskostej semejstva Ml , proxodqwyx çerez fyk-
syrovannug toçku a, uΩe ne budet v obwem sluçae proektyvn¥m prostranstvom
C P
n
–
1
, no na xod dal\nejßyx rassuΩdenyj πto ne vlyqet.
Lemma 2. Pust\ D ⊂ R
n — otkr¥taq oblast\, a ∈ D — takaq toçka,
çto seçenye D proyzvol\noj ploskost\g mynymal\noho semejstva Ml , pro-
xodqwej çerez toçku a, svqzno y odnosvqzno. Tohda oblast\ D — acyklyçna.
Pust\ a ∈ D — fyksyrovannaq toçka. MnoΩestvo dvumern¥x ploskostej
yz semejstva M1, proxodqwyx çerez πtu toçku, obrazuet nekotoroe podmno-
Ωestvo M0 ⊂ M1 .
Esly vospol\zovat\sq ynversyej I : Rn
�
→ Rn
�
R R
n n
�
∪= ∞
,
I ( x ) =
x a
x a
x a
x a
x
−
−
≠ ∞
∞ =
= ∞
2
0
, , ,
, ,
, ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
OB OBLASTQX S REHULQRNÁMY SEÇENYQMY 1423
to analohyçno teoremam 4.2 y 4.3 [4 ] poluçym acyklyçnost\ oblasty D1 =
= I ( D ).
Teper\ tret\e utverΩdenye teorem¥ oçevydn¥m obrazom sleduet yz vtoroho
utverΩdenyq teorem¥ y lemm¥ 2, hde v kaçestve toçky a moΩno vzqt\ proyz-
vol\nug toçku oblasty D.
V zaverßenye zametym, çto pry v¥polnenyy uslovyj teorem¥ oblast\ D mo-
Ωet ne b¥t\ v¥pukloj [6].
1. Znamenskyj S. V. Tomohrafyq v prostranstvax analytyçeskyx funkcyonalov // Dokl. AN
SSSR. – 1990. – 312, # 5. – S. 1037 – 1040.
2. Ambarcumqn R. V., Mekke J., Ítojqn D. Vvedenye v stoxastyçeskug heometryg. – M.: Nau-
ka, 1989. – 400 s.
3. Zelynskyj G. B. O stroenyy k-v¥pukl¥x kompaktov // Nekotor¥e vopros¥ analyza y dyf-
ferencyal\noj topolohyy. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1988. – S. 29 – 38.
4. Zelynskyj G. B. Mnohoznaçn¥e otobraΩenyq v analyze. – Kyev: Nauk. dumka, 1993. – 264 s.
5. Gzakov A. P., Kryvokolesko V. P. Nekotor¥e svojstva lynejno v¥pukl¥x oblastej s hlad-
kymy hranycamy v C
n
// Syb. mat. Ωurn. – 1971. – 12, # 2. – S. 452 – 458.
6. Andersson M., Passare M., Sigurdsson R. Complex convexity and analytic functionals. I. –
Reykjavik: Sci. Inst. Univ. Iceland, 1995. – 71 p.
Poluçeno 02.03.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|