Об одной экстремальной задаче для числовых рядов

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Радзиевская, Е.И., Радзиевский, Г.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165850
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об одной экстремальной задаче для числовых рядов / Е.И. Радзиевская, Г.В. Радзиевский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1430–1434. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165850
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1658502020-02-17T01:27:52Z Об одной экстремальной задаче для числовых рядов Радзиевская, Е.И. Радзиевский, Г.В. Короткі повідомлення 2005 Article Об одной экстремальной задаче для числовых рядов / Е.И. Радзиевская, Г.В. Радзиевский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1430–1434. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165850 519.658 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Радзиевская, Е.И. Радзиевский, Г.В. Об одной экстремальной задаче для числовых рядов Український математичний журнал
format	Article
author	Радзиевская, Е.И. Радзиевский, Г.В.
author_facet	Радзиевская, Е.И. Радзиевский, Г.В.
author_sort	Радзиевская, Е.И.
title	Об одной экстремальной задаче для числовых рядов
title_short	Об одной экстремальной задаче для числовых рядов
title_full	Об одной экстремальной задаче для числовых рядов
title_fullStr	Об одной экстремальной задаче для числовых рядов
title_full_unstemmed	Об одной экстремальной задаче для числовых рядов
title_sort	об одной экстремальной задаче для числовых рядов
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165850
citation_txt	Об одной экстремальной задаче для числовых рядов / Е.И. Радзиевская, Г.В. Радзиевский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1430–1434. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT radzievskaâei obodnojékstremalʹnojzadačedlâčislovyhrâdov AT radzievskijgv obodnojékstremalʹnojzadačedlâčislovyhrâdov
first_indexed	2025-07-14T20:07:59Z
last_indexed	2025-07-14T20:07:59Z
_version_	1837654269799432192
fulltext	UDK 519.658 E. Y. Radzyevskaq (Nac. un-t pyw. texnolohyj Ukrayn¥, Kyev), H. V. Radzyevskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) OB ODNOJ ∏KSTREMAL\|NOJ ZADAÇE DLQ ÇYSLOVÁX RQDOV * Let Γ be a set of all permutations of positive integers, let α α= ∈{ }j j N , ν ν= ∈{ }j j N , and η η= ∈{ }j j N be nonnegative numerical sequences for which ν αη ν α ηγ γ γ( ) : ( ) ( )1 1 = = ∞∑ j j jj is defined for all γ γ: { ( )}= ∈∈j j N Γ and η ∈ l p . We establish sup inf: ( )η η γ γν αη p = ∈1 1Γ in the case where 1 < < ∞p . Nexaj Γ — mnoΩyna vsix perestanovok natural\noho rqdu, α α= ∈{ }j j N , ν ν= ∈{ }j j N i η η= ∈{ }j j N — nevid’[mni çyslovi poslidovnosti, dlq qkyx ν αη ν α ηγ γ γ( ) : ( ) ( )1 1 = = ∞∑ j j jj vyznaçeno dlq usix γ γ: { ( )}= ∈∈j j N Γ i η ∈ l p . Znajdeno sup inf: ( )η η γ γν αη p = ∈1 1Γ u vy- padku 1 < < ∞p . Dannoe soobwenye ynspyryrovano rezul\tatamy rabot [1] (hl. XI, lemma 6.1) y [2] (lemma). Dokazatel\stva sootvetstvugwyx utverΩdenyj yz [1, 2] ves\ma hro- mozdky. Tak, lemma 6.1 yz hl. XI v [1] dokaz¥vaetsq na 30 stranycax y soderΩyt 164 zanumerovann¥e formul¥. Lemma yz [2] obobwaet sootvetstvugwyj re- zul\tat yz [1], odnako y ee dokazatel\stvo zanymaet 13 stranyc. Zdes\ pryvede- no nebol\ßoe po obæemu dokazatel\stvo teorem¥, soderΩawej lemmu yz [2], a znaçyt, y lemmu 6.1 yz hl. XI v [1]. (Neobxodym¥e poqsnenyq dan¥ v konce soob- wenyq.) Otmetym, çto nekotoraq hromozdkost\ pryvedenn¥x pered formuly- rovkoj teorem¥ postroenyj svqzana ysklgçytel\no s hromozdkost\g ponqtyj y oboznaçenyj, yspol\zuem¥x v nej. Kak ob¥çno, N — mnoΩestvo cel¥x poloΩytel\n¥x (natural\n¥x) çysel. V dal\nejßem rassmatryvagtsq lyß\ posledovatel\nosty ξ ξ: { }= ∈j j N vewe- stvenn¥x çysel, a K ∞ — mnoΩestvo neotrycatel\n¥x posledovatel\nostej ξ , u kotor¥x ξ ξj j≥ +1, j ∈ N. Pust\ c0 sostoyt yz posledovatel\nostej ξ so svojstvom lim j j→∞ ξ = 0. KaΩdoj ξ ξ= ∈{ }j j N yz c0 sopostavym posledova- tel\nost\ ξ ξ∗ ∗ ∈= { }j j N, poloΩyv ξ ξ ϕj j ∗ = ( ) , hde ϕ( )⋅ — takaq perestanov- ka natural\noho rqda, çto ξ ϕ( )j j { } ∈N qvlqetsq nevozrastagwej posledova- tel\nost\g. Dlq dvux posledovatel\nostej α = { }α j j ∈N y ξ = { }ξ j j ∈N op- redelym yx proyzvedenye αξ α ξ: { }= ∈j j j N , a esly vse πlement¥ αj ≠ 0, to α α− − ∈=1 1: { }j j N y ξ α ξα/ := −1 . Vvedem banaxovo prostranstvo lr , 1 ≤ r < ∞ , sostoqwee yz posledovatel\- nostej ξ = { }ξ j j ∈N, udovletvorqgwyx uslovyg ξ r : = ξ j r j r = ∞ ∑    1 1/ < ∞ , ξ ∈ lr . * PodderΩana Hosudarstvenn¥m fondom fundamental\n¥x yssledovanyj Ukrayn¥ (proekt F7/329-2001). © E. Y. RADZYEVSKAQ, H. V. RADZYEVSKYJ , 2005 1430 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 OB ODNOJ ∏KSTREMAL\|NOJ ZADAÇE DLQ ÇYSLOVÁX RQDOV 1431 Dalee v rabote 1 < p < ∞ , q p p: ( )= − −1 1, otnosytel\no posledovatel\no- sty α = { }α j j ∈N predpolahaem, çto vse ee πlement¥ poloΩytel\n¥, a otnosy- tel\no nenulevoj posledovatel\nosty ν = { }ν j j ∈N — çto 0 ≤ νj ≤ ν j+1 dlq vsex j ∈ N. Pust\ takΩe αν ∈ lq . Tem sam¥m α ∈ lq y, sledovatel\no, oprede- lena posledovatel\nost\ α* y α* ∈ lq . Vvedem podposledovatel\nost\ natural\n¥x çysel { }ks s∈N, poloΩyv k1 : = : = 1, a ks+1 — naybol\ßym yz çysel, dlq kotor¥x µs : = ν α j j k k j p j k k s s s s = − ∗ − = − + + ∑ ∑ 1 1 1 1 ( ) = max ( ) :k k k j j k k j p j k k s s s ≥ = ∗ − = ∑ ∑ ν α . (1) PokaΩem suwestvovanye ukazann¥x ks . Poskol\ku ν — neub¥vagwaq posledovatel\nost\, sohlasno teoreme 368 yz [3], α ν∗ q ≤ αν q < ∞ , poπto- mu dlq nekotoroj postoqnnoj c > 0 v¥polnqetsq neravenstvo α νj j c∗ ≤ pry vsex j ∈ N. Tem sam¥m ν α j j k k j p j k k s s = ∗ − = ∑ ∑ ( ) ≤ c j j k k j p j j k k s s ν α ν = ∗ − + = ∑ ∑ ( ) 1 . (2) No ( )α j p∗ − + → ∞1 pry j → ∞, a ν j c≥ >1 0 dlq vsex dostatoçno bol\ßyx j . Znaçyt, pravaq çast\ v (2) stremytsq k nulg pry k , stremqwemsq k beskoneçnosty, y poπtomu v (1) maksymum suwestvuet. Otmetym, çto { }µs s∈N — ub¥vagwaq posledovatel\nost\. Dejstvytel\no, esly b¥ πto b¥lo ne tak, to µ µs s≤ +1 dlq nekotoroho s ∈ N y tohda µs ≤ ( )α νj p j k k j j k k s s s s ∗ − = − − = −+ + ∑ ∑         2 21 1 1 , a πto protyvoreçyt v¥boru çysla ks+1. Dalee potrebuetsq posledovatel\nost\ κ κ= ∈{ }s s N s πlementamy κs : = ( ) / α νj p j k k p j j k k s s s s ∗ − = − − = −+ + ∑ ∑         1 11 1 1 . (3) PokaΩem, çto κ ∈ lq . Dejstvytel\no, sohlasno neravenstvu Hel\dera, ν j j k k s s = −+ ∑ 1 1 ≤ ( ) ( ) / / α α νj p j k k p j j q j k k q s s s s ∗ − = − ∗ = −+ + ∑ ∑         1 11 1 1 1 , a, kak uΩe otmeçalos\, α* ν ∈ lq . Tem sam¥m κ q q ≤ α ν∗ q q < ∞ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1432 E. Y. RADZYEVSKAQ, H. V. RADZYEVSKYJ Y, nakonec, çerez Γ oboznaçym mnoΩestvo vsex perestanovok natural\noho rqda, a dlq γ γ: { ( )}= ∈j j N yz Γ y posledovatel\nosty ξ ξ= ∈{ }j j N poloΩym ( ) { }: ( )ξ ξγ γ= ∈j j N . Vo vvedenn¥x oboznaçenyqx y predpoloΩenyqx dokaΩem sledugwee ut- verΩdenye. Teorema. Ymeet mesto nestrohoe neravenstvo inf ( ) γ γν αη ∈Γ 1 ≤ κ ηq p , η ∈ lp , (4) pryçem suwestvuet nenulevoj πlement η yz lp , dlq kotoroho (4) prevrawa- etsq v ravenstvo. Dokazatel\stvo. Poskol\ku ν — neub¥vagwaq posledovatel\nost\ neot- rycatel\n¥x çysel, yspol\zuq teoremu 368 yz [3] y polahaq ξ αη:= , ymeem inf ( ) γ γν αη ∈Γ 1 = ν αη( )∗ 1 = νξ∗ 1 . Analohyçno zaklgçaem, çto η p = ξ α/ p ≥ ξ α∗ ∗/ p . (5) Tem sam¥m dlq dokazatel\stva teorem¥ dostatoçno ustanovyt\ sootnoßenye νξ 1 ≤ κ ξ αq p / ∗ , ξ ∈ K ∞, ξ / α* ∈ lp , (6) y pokazat\, çto ravenstvo v nem dostyhaetsq na nekotorom nenulevom πlemente ξ yz K ∞, dlq kotoroho ξ / α* ∈ lp . Dejstvytel\no, pust\ ξ — ukazann¥j πlement yz K ∞, a λ — takaq perestanovka natural\noho rqda, çto α = ( )α λ ∗ . Tohda ( ) /ξ αλ p = ξ α/ ∗ p y neravenstvo (5) prevrawaetsq v ravenstvo na po- sledovatel\nosty ξ , ravnoj ( )ξ λ . Sledovatel\no, v (4) levaq çast\ ravna pra- voj pry η = ( ) /ξ αλ ∈ lp . V sluçae p( )ξ : = ν ξj jj k k s s = −+∑ 1 1 lemma yz soobwenyq [4] prymet vyd ν ξj j j k k s s = −+ ∑ 1 1 ≤ max ( ) ( ) ( ), ,k k k k k k p k p j j p j k k s s s s s s = … − ∗ − ∗ − ∗ = − + ++ …+ + …+           ∑ 1 1 1 1ν ν α α ξ α (7) dlq vsex ξks ≥ ξks +1 ≥ … ≥ ξks+ −1 1 ≥ 0. No funkcyq x � x p1/ , x ≥ 0, stro- ho v¥pukla kverxu, poπtomu vvydu neravenstva Yensena ( ) ( ) α ξ αj p j k k j j p j k k s s s s ∗ − = − − ∗ = −+ + ∑ ∑     1 11 1 1 ≤ ( ) / / α ξ αj p j k k p j j p j k k p s s s s ∗ − = − − ∗ = −+ + ∑ ∑               1 11 1 1 1 , pryçem ravenstvo budet lyß\ v sluçae ξks = … = ξks+ −1 1. Otsgda y yz neravenstva (7), s uçetom opredelenyj (1) y (3) çysel ks+1 y κs , ymeem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 OB ODNOJ ∏KSTREMAL\|NOJ ZADAÇE DLQ ÇYSLOVÁX RQDOV 1433 ν ξj j j k k s s = −+ ∑ 1 1 ≤ κ ξ αs j j p j k k p s s ∗ = −           + ∑ 1 1 1/ y, kak vydno yz yzloΩennoho v¥ße, ravenstvo dostyhaetsq lyß\ v sluçae ξks = … = ξks+ −1 1. Teper\, prynymaq vo vnymanye neravenstvo Hel\dera, poluçaem νξ 1 ≤ ≤ κ ξ αq p / ∗ , a vvydu pred¥duwyx rassuΩdenyj ravenstvo budet lyß\ v slu- çae, esly u posledovatel\nosty ξ ξ= ∈{ }j j N πlement¥ ξks = … = ξks+ −1 1 y ( )α ξj p j k k k p s s s ∗ − = −+ ∑     1 1 = c s qκ , hde c — nekotoraq neotrycatel\naq postoqnnaq. Poπtomu posledovatel\nost\ ξ / α* ∈ lp . No na osnovanyy opredelenyj (1) y (3) çysel µs y κs ξk p s = c j p j k k s q s s ( )α κ∗ − = − − + ∑     1 1 1 = c s qµ , a { }µs s∈N — ub¥vagwaq posledovatel\nost\, znaçyt, ξ ∈ K ∞. Tem sam¥m, ustanovleno neravenstvo (6), a sledovatel\no, y (4) y, krome to- ho, opysan¥ vse posledovatel\nosty ξ ∈ K ∞, dlq kotor¥x (6) prevrawaetsq v ravenstvo. Zametym, çto sohlasno neravenstvu Hel\dera y teoreme Banaxa – Ítejnhauza trebovanye αν ∈ lq qvlqetsq ne tol\ko dostatoçn¥m, no y neobxodym¥m uslo- vyem dlq koneçnosty ν αη γ( ) 1 dlq lgboj posledovatel\nosty η ∈ lp . (∏to utverΩdenye prynadleΩyt ∏. Landau, sm. teoremuS161 v [3].) V sluçae ohranyçennoj posledovatel\nosty ν utverΩdenye teorem¥ sovpa- daet s lemmoj yz rabot¥ [2], a v sluçae posledovatel\nosty ν, ravnoj posle- dovatel\nosty ν̂ : = { }ν̂ j j ∈N , ν̂ j = 0 pry j ≤ n y ν̂ j = 1 pry j > n, hde n ∈ N, y v predpoloΩenyy o nevozrastanyy posledovatel\nosty α (t. e. α = α* ) — s lemmoj 6.1 yz hl. XI monohrafyy [1]. Otmetym, çto v πtom sluçae podavlqgwee çyslo postroenyj, v¥polnenn¥x pered formulyrovkoj teorem¥, sleduet opustyt\. Naprymer, çysla ks moΩno poloΩyt\ takymy: k1 : = 1, k2 ravno naybol\ßemu yz çysel, dlq kotoroho v¥raΩenye ( )k n j p j k − −     − = − − ∑1 1 1 1 α dostyhaet svoeho maksymuma po k > n, a vse ostavßyesq ks+2 : = k s2 + , s ∈ N. Pry takom v¥bore çysel ks spravedlyv¥ sootnoßenyq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1434 E. Y. RADZYEVSKAQ, H. V. RADZYEVSKYJ ( )k n j p j k 2 1 1 1 1 2 − −     − = − − ∑ α > αk p 2 ≥ αk p 2 1+ ≥ … , dostatoçn¥e, çtob¥ na zaklgçytel\nom πtape dokazatel\stva teorem¥ dlq ne- strohoho neravenstva νξ 1 ≤ κ ξ αq p/ suwestvovala otlyçnaq ot nulevoj posledovatel\nost\ ξ yz konusa K ∞ y ξ / α ∈ lp , dlq kotoroj πto neravenstvo prevrawalos\ b¥ v ravenstvo. 1. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj: VS2St. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukray- n¥, 2002. – T. 2. – 468 s. 2. Íydliç A. L. Najkrawi n-çlenni nablyΩennq Λ -metodamy v prostorax S p ϕ // Ekstre- mal\ni zadaçi teori] funkcij ta sumiΩni pytannq: Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2003. – 46. – S.S283 – 306. 3. Xardy H. H., Lyttl\vud DΩ. E., Polya H. Neravenstva. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948. – 456Ss. 4. Radzyevskaq E. Y., Radzyevskyj H. V. Ob odnoj πkstremal\noj zadaçe dlq polunorm¥ na prostranstve l1 s vesom // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 7. – S. 1002 – 1006. Poluçeno 01.11.2004 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10

Об одной экстремальной задаче для числовых рядов

Репозитарії

Схожі ресурси