Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
Встановлено асимптотичні зображення розв'язків двочленних диференціальних рівнянь другого порядку зі швидко та правильно мінливими нелінійностями.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165853 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / О.Р. Шлепаков // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1285–1293. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165853 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658532020-02-17T01:27:15Z Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Шлепаков, О.Р. Статті Встановлено асимптотичні зображення розв'язків двочленних диференціальних рівнянь другого порядку зі швидко та правильно мінливими нелінійностями. We establish asymptotic representations for the solutions of one class of nonlinear differential equations of the second order with rapidly and regularly varying nonlinearities. 2015 Article Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / О.Р. Шлепаков // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1285–1293. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165853 517.925.44 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Шлепаков, О.Р. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Український математичний журнал |
| description |
Встановлено асимптотичні зображення розв'язків двочленних диференціальних рівнянь другого порядку зі швидко та правильно мінливими нелінійностями. |
| format |
Article |
| author |
Шлепаков, О.Р. |
| author_facet |
Шлепаков, О.Р. |
| author_sort |
Шлепаков, О.Р. |
| title |
Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short |
Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full |
Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr |
Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort |
асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165853 |
| citation_txt |
Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / О.Р. Шлепаков // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1285–1293. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT šlepakovor asimptotičeskiepredstavleniârešenijodnogoklassanelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-14T20:08:37Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:08:37Z |
| _version_ |
1837654313988521984 |
| fulltext |
УДК 517.925.44
О. Р. Шлепаков (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
We establish asymptotic representations for the solutions of one class of nonlinear differential equations of the second order
with rapidly and regularly varying nonlinearities.
Встановлено асимптотичнi зображення розв’язкiв двочленних диференцiальних рiвнянь другого порядку зi швидко
та правильно мiнливими нелiнiйностями.
1. Постановка задачи. Рассматривается уравнение
y′′ = α0p(t)ϕ1(y)ϕ2(y′), (1.1)
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[−→]0,+∞[ — непрерывная функция, ϕi : ∆(Y 0
i ) →]0; +∞[, i = 1, 2,
— дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям
ϕ′1(z) 6= 0 при z ∈ ∆(Y 0
1 ), lim
z→Y 0
1
z∈∆(Y 0
1 )
ϕ1(z) = Φ0
1, Φ0
1 ∈ {0,+∞},
lim
z→Y 0
1
z∈∆(Y 0
1 )
ϕ′′1(z)ϕ1(z)
[ϕ′1(z)]2
= 1,
(1.2)
lim
z→Y 0
2
z∈∆(Y 0
2 )
zϕ′2(z)
ϕ2(z)
= λ, λ ∈ R, (1.3)
где ∆(Y 0
i ) — некоторая односторонняя окрестность точки Y 0
i , Y
0
i равно либо 0, либо ±∞.
Из условий (1.2), (1.3) следует, что функция ϕ1(z) является быстро меняющейся при z →
→ Y 0
1 , а функция ϕ2(z) — правильно или медленно меняющейся при z → Y 0
2 (см. [15]).
Данное уравнение рассматривалось в работах [1 – 4, 11] для случаев, когда функции ϕi(z)
являются степенными либо правильно или медленно меняющимися при z → Y 0
i , i = 1, 2.
В работе [8] рассматривалось уравнение
y′′ = α0p(t)ϕ1(y), (1.4)
в котором функция ϕ1(z) являлась быстро либо правильно меняющейся при z → Y 0
1 . Уравне-
ние (1.4) является частным случаем уравнения (1.1), когда ϕ2(z) ≡ 1. В работе вводился класс
решений, для которого устанавливались необходимые и достаточные условия существования,
а также асимптотические представления этих решений.
В работах [5, 6, 11] рассматривался частный случай уравнения (1.1), а именно уравнение
y′′ = α0p(t)e
σy
∣∣y′∣∣λ . (1.5)
c© О. Р. ШЛЕПАКОВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9 1285
1286 О. Р. ШЛЕПАКОВ
Уравнение (1.1), когда функция ϕ1(z) является быстро меняющейся при z → Y 0
1 , а функ-
ция ϕ2(z) — медленно или правильно меняющейся при z → Y 0
2 , и, в частности, уравне-
ние (1.5) широко применяются при описании различных физических процессов. Например,
дифференциальные уравнения, возникающие в задаче Линана из теории горения, сводятся
к уравнению (1.1), и нелинейные дифференциальные уравнения Пуассона для цилиндриче-
ски симметричной плазмы продуктов сгорания сводятся с помощью замен к уравнению (1.1)
(см. [7, 12, 13]).
Целью данной работы является установление асимптотических свойств решений уравне-
ния (1.1) в случае, когда функция ϕ1(z) является быстро меняющейся при z → Y 0
1 , а функция
ϕ2(z) — медленно или правильно меняющейся при z → Y 0
2 . При таких условиях на функции
ϕi(z), i = 1, 2, уравнение (1.1) будет обобщением как уравнения (1.4), так и уравнения (1.5).
Решение y уравнения (1.1) будем называть Pω(Λ0)-решением, где −∞ ≤ Λ0 ≤ +∞, если
оно определено на некотором промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[ и удовлетворяет следующим условиям:
lim
t↑ω
ϕ1(y(t)) = Φ0
1, lim
t↑ω
y′(t) = Y 0
2 ,
lim
t↑ω
ϕ1(y(t))
ϕ′1(y(t))
y′′(t)
[y′(t)]2
= Λ0.
(1.6)
Отметим, что класс Pω(Λ0)-решений соответствует введенному в работе [8] для уравне-
ния (1.4) классу P̃ω(Λ̃0)-решений при условии, что Λ0 = Λ̃0 − 1.
2. Вспомогательные результаты. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
u′i = αipi(t)ψi+1(ui+1), i = 1, n 1, (2.1)
в которой αi ∈ {−1, 1}, i = 1, n, pi : [a, ω[→]0,+∞[, i = 1, n, — непрерывные функции,
−∞ < a < ω ≤ +∞, ψi : ∆(U0
i ) → ]0; +∞[, i = 1, n
(
∆(U0
i ) — некоторая односторонняя
окрестность точки U0
i ∈ {0,±∞}
)
— дважды непрерывно дифференцируемые функции, удов-
летворяющие условиям
ψ′i(z) 6= 0 при z ∈ ∆(U0
i ), lim
z→U0
i
z∈∆(U0
i
)
ψi(z) = Ψ0
i , Ψ0
i ∈ {0,+∞},
lim
z→U0
i
z∈∆(U0
i
)
ψ′′i (z)ψi(z)
[ψ′i(z)]
2 = γi,
(2.2)
где
n∏
i=1
(1− γi) 6= 1. (2.3)
Решение (ui)
n
i=1 системы (2.1), заданное на промежутке [t0, ω[ ⊂ [a, ω[, будем называть
Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решением, если функции vi(t) = ψi(ui(t)) удовлетворяют условиям
1 Здесь и далее для всех функций и параметров с индексом n + 1 будем полагать их взаимно однозначное
соответствие с соответствующими величинами с индексом 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 1287
lim
t↑ω
vi(t) = Ψ0
i , lim
t↑ω
vi(t)v
′
i+1(t)
v′i(t)vi+1(t)
= Λi, i = 1, n− 1.
В работе [10] для системы (2.1) получены необходимые и достаточные условия существо-
вания Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений для Λi ∈ R \ {0}, i = 1, n− 1.
Для формулировки установленных в этой работе результатов введем следующие обозначе-
ния:
ρi = signψ′i(z) при z ∈ ∆(U0
i ), i = 1, n, Λn =
1
Λ1 . . .Λn−1
,
I = {i ∈ {1, . . . , n} : 1− Λi − γi 6= 0}, Ī = {1, . . . , n}\I, l = min I,
Ii(t) =
∫ t
Ai
pi(τ) dτ при i ∈ I,∫ t
Ai
Il(τ)pi(τ) dτ при i ∈ Ī,
βi =
1− Λi − γi, если i ∈ I,
βl
Λl . . .Λi−1
, если i ∈ {l + 1, . . . , n}\I,
βl
Λl . . .ΛnΛ1 . . .Λi−1
, если i ∈ {1, . . . , l − 1}\I,
где каждый из пределов интегрирования Ai принадлежит {ω, a} и выбран так, чтобы соответ-
ствующий ему интеграл Ii стремился либо к нулю, либо к∞ при t ↑ ω.
Кроме того, положим
A∗i =
1, если Ai = a,
−1, если Ai = ω,
i = 1, . . . , n.
Теорема 2.1. Пусть Λi ∈ R \ {0}, i = 1, n− 1, и l = min I. Тогда для существования
Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений системы дифференциальных уравнений (2.1) необходимо, а если
алгебраическое уравнение
n∏
i=1
(1− γi)
i−1∏
j=1
Λj + ν
− n∏
i=1
i−1∏
j=1
Λj = 0 (2.4)
не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы для каждого
i ∈ {1, . . . , n}
lim
t↑ω
Ii(t)I
′
i+1(t)
I ′i(t)Ii+1(t)
= Λi
βi+1
βi
(2.5)
и выполнялись знаковые условия
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1288 О. Р. ШЛЕПАКОВ
A∗iβi > 0 при Ψ0
i = +∞, A∗iβi < 0 при Ψ0
i = 0, (2.6)
sign [αiA
∗
iβi] = ρi. (2.7)
Более того, каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представления
ψi(ui(t))
ψ′i(ui(t))ψi+1(ui+1(t))
= αiβiIi(t)[1 + o(1)], если i ∈ I, (2.8)
ψi(ui(t))
ψ′i(ui(t))ψi+1(ui+1(t))
= αiβi
Ii(t)
Il(t)
[1 + o(1)], если i ∈ Ī, (2.9)
причем существует k-параметрическое семейство таких решений в случае, когда среди корней
алгебраического уравнения (2.4) имеется k корней (с учетом кратных), знаки действительных
частей которых противоположны знаку числа A∗l βl.
Кроме того, в работе [9] получены более простые асимптотические формулы для Pω(Λ1, . . .
. . . ,Λn−1)-решений при некоторых дополнительных условиях.
Следствие (см. [4]). Будем говорить, что функция θ : ∆(U0) −→]0,+∞[, U0 ∈ {0,±∞},
удовлетворяет условию S, если для любой непрерывно дифференцируемой функции l : ∆(U0)→
→ ]0,+∞[ такой, что
lim
z→U0
z∈∆(U0)
z l′(z)
l(z)
= 0,
имеет место асимптотическое соотношение
θ(zl(z)) = θ(z)[1 + o(1)] при z → U0
(
z ∈ ∆(U0)
)
.
Теорема 2.2. Пусть Λi ∈ R\{0}, i = 1, n− 1, l = min I и все функции θi(z) =
ψ′i
(
ψ−1
i (z)
)
ψi(z)
,
i = 1, n, удовлетворяют условию S. Тогда каждое Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решение (в случае их су-
ществования) системы дифференциальных уравнений (2.1) допускает при t ↑ ω асимптоти-
ческие представления
ψi (ui(t)) =
n∏
k=1
∣∣∣∣Qk(t)θk (|Ik(t)| 1
βk
)∣∣∣∣δik [1 + o(1)], i = 1, n, (2.10)
где
Qk(t) =
αkβkIk(t), если k ∈ I,
αkβk
Ik(t)
Il(t)
, если k ∈ I,
δik =
∏i−1
j=k+1
(1− γj)∏n
j=1
(1− γj)− 1
при k = 1, i− 1,
∏n
j=k+1
(1− γj)
∏i−1
j=1
(1− γj)∏n
j=1
(1− γj)− 1
при k = i, n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 1289
Отметим, что функции ψi(z), i = 1, n, удовлетворяющие предельному соотношению (2.2),
являются либо быстро меняющимися при γi = 1, либо правильно меняющимися порядка
1
1− γi
при γi 6= 1. Более того, в [11, 14] показано, что предельное соотношение (2.2) эквивалентно
lim
z→Yi
z∈∆(Y 0
i
)
zψ′i(z)
ψi(z)
= σi =
1
1− γi
при γi 6= 1, (2.11)
lim
z→Yi
z∈∆(Y 0
i
)
zψ′i(z)
ψi(z)
=∞ при γi = 1, (2.12)
если в (2.2), (2.11), (2.12) пределы существуют.
3. Основной результат. Для формулировки результатов для уравнения (1.1) введем вспо-
могательные функции и обозначения.
Введем функцию
ψ(z) =
z∫
B
ds
ϕ2(s)
, где B =
Y 0
2 , если
∫ Y 0
2
b
ds
ϕ2(s)
сходится,
b, если
∫ Y 0
2
b
ds
ϕ2(s)
расходится,
(3.1)
и b — любое число из промежутка ∆(Y 0
2 ).
Поскольку ψ′(z) > 0 при z ∈ ∆(Y 0
2 ), то ψ : ∆(Y 0
2 ) −→ ∆(Φ0
2) — возрастающая функция, где
Φ0
2 = limz→Y 0
2
ψ(z), и, следовательно, Φ0
2 равно либо нулю, либо ±∞, ∆(Φ0
2) — односторонняя
окрестность Φ0
2.
Введем обозначение для знака окрестности ∆(Y 0
2 ) :
µ =
1, если Y 0
2 = +∞ либо Y 0
2 = 0 и ∆(Y 0
2 )− правая окрестность 0,
−1, если Y 0
2 = −∞ либо Y 0
2 = 0 и ∆(Y 0
2 )− левая окрестность 0.
Из определения функции ϕ1(z) следует, что ϕ′1(z) сохраняет знак. Следовательно, можем
ввести обозначение
ρ = signϕ′1(z).
Также определим
πω(t) =
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞,
J(t) =
∫ t
A
p(τ) dτ, если (1− λ)Λ0 6= 1,∫ t
A
πω(τ)p(τ) dτ, если (1− λ)Λ0 = 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1290 О. Р. ШЛЕПАКОВ
β =
1− λ− Λ−1
0 , если (1− λ)Λ0 6= 1,
−1, если (1− λ)Λ0 = 1,
где предел интегрирования A принадлежит {ω, a} и выбран так, чтобы интеграл J стремился
либо к нулю, либо к∞ при t ↑ ω.
Кроме того, положим
A∗1 =
1, если ω =∞,
−1, если ω <∞,
A∗2 =
1, если A = a,
−1, если A = ω.
С помощью введенных обозначений сформулируем необходимые и достаточные условия
существования Pω(Λ0)-решений уравнения (1.1).
Теорема 3.1. Пусть Λ0 ∈ R \ {0}. Тогда для существования Pω(Λ0)-решений дифферен-
циального уравнения (1.1) необходимо, а если
λ 6= 1, либо λ = 1 и Λ0 > 0, (3.2)
то и достаточно, чтобы
lim
t↑ω
πω(t)J ′(t)
J(t)
= −β (3.3)
и выполнялись знаковые условия
−A∗1Λ0 > 0 при Φ0
1 = +∞, −A∗1Λ0 < 0 при Φ0
1 = 0,
(3.4)
A∗2β > 0 при Φ0
2 = +∞, A∗2β < 0 при Φ0
2 = 0,
sign [µA∗1Λ0] = −ρ и sign [α0A
∗
2β] = 1. (3.5)
Более того, каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представления
ϕ1(y(t))
ϕ′1(y(t))y′(t)
= −Λ0πω(t)[1 + o(1)], (3.6)
y′(t)
ϕ1(y(t))ϕ2(y′(t))
= −απω(t)p(t)[1 + o(1)], (3.7)
причем при Λ0 > 0 существует однопараметрическое семейство таких решений, а при Λ0 < 0
— двупараметрическое семейство таких решений, если ω = +∞ и λ > 1 либо если ω < +∞ и
λ < 1.
Доказательство. Покажем, что уравнение (1.1) сводится к системе (2.1). Вначале отметим,
что ψ — правильно меняющаяся при z → Y 0
2 функция порядка 1 − λ, если λ 6= 1, и медленно
меняющаяся, если λ = 1.
Действительно, с использованием свойств правильно меняющихся функций и правила Ло-
питаля имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 1291
lim
z→Y 0
2
zψ′(z)
ψ(z)
= lim
z→Y 0
2
z
ψ(z)ϕ2(z)
= lim
z→Y 0
2
(
z
ϕ2(z)
)′
ψ′(z)
= 1− lim
z→Y 0
2
zϕ′2(z)
ϕ2(z)
= 1− λ. (3.8)
Как было отмечено ранее, функция ψ(z) является возрастающей, а значит, и обратимой.
Более того, в силу свойств медленно, быстро и правильно меняющихся функций, ψ−1(z) :
∆(Φ0
2) −→ ∆(Y 0
2 ) — правильно меняющаяся при z → Φ0
2 функция порядка
1
1− λ
, если λ 6= 1,
и быстро меняющаяся, если λ = 1.
Кроме того, для нее имеем
lim
z→Φ0
2
ψ−1(z)
(
ψ−1(z)
)′′[
(ψ−1(y2))′
]2 = lim
z→Φ0
2
−ψ−1(z)ψ′′
(
ψ−1(z)
)
ψ′ (ψ−1(z))
=
= lim
z→Φ0
2
ψ−1(z)ϕ′2
(
ψ−1(z)
)
ϕ2
(
ψ−1(z)
) = lim
u→Y 0
2
uϕ′2 (u)
ϕ2 (u)
= λ. (3.9)
Сведем уравнение (1.1) с помощью преобразования
y = u1, ψ(y′) = u2 (3.10)
к системе дифференциальных уравнений
u′1 = µ
∣∣ψ−1(u2)
∣∣,
u′2 = α0p(t)ϕ1(u1).
(3.11)
Поскольку функция ϕ1 : ∆(Y1) → ]0,+∞[ удовлетворяет условию (1.4), а функция
∣∣ψ−1(z)
∣∣ :
∆(Φ0
2) → ]0,+∞[ — условию (3.9), получаем, что система (3.11) является системой типа (2.1)
(при n = 2).
Более того, несложно заметить, что y будет Pω(Λ0)-решением уравнения (1.1) тогда и толь-
ко тогда, когда соответствующее ему в силу замен (3.10) решение (u1, u2) системы (3.11) будет
Pω(Λ0)-решением. Кроме того, отметим, что так как функция ϕ1(z) является быстро меняю-
щейся, то для системы (3.11) заведомо выполнено условие (2.3), а значит, для системы (3.11)
справедлива теорема 2.1.
Следовательно, необходимые и достаточные условия существования Pω(Λ0)-решений для
системы (3.11), сформулированные в теореме 2.1, будут необходимыми и достаточными усло-
виями существования Pω(Λ0)-решений уравнения (1.1).
Конкретизируем обозначения в теореме 2.1 для системы (3.11):
α1 = µ, p1(t) ≡ 1, α2 = α0, p2(t) = p(t), ρ1 = ρ, ρ2 = sign
(
ψ−1(z)
)′
= 1,
I1(t) = πω(t), β1 = −Λ0, I2(t) = J(t), β2 = β.
Записав условия (2.4) – (2.7) для системы (3.11), получим условия (3.2) – (3.5).
Для получения асимптотических представлений (3.6), (3.7) достаточно записать асимпто-
тические представления (2.8), (2.9) для системы (3.11) и воспользоваться заменой (3.10).
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1292 О. Р. ШЛЕПАКОВ
В силу свойств правильно меняющихся функций справедливы представления
ϕ′1(ϕ−1
1 (z)) = |z|θ1(z),
ϕ2(z) = |z|λθ2(z),
(3.12)
в которых функции θi(z), i = 1, 2, являются медленно меняющимися.
Пусть функции θ1(z), θ2(z) удовлетворяют условию S. Тогда, воспользовавшись теоре-
мой 2.2, можем записать более простые асимптотические формулы для Pω(Λ0)-решений урав-
нения (1.1).
Теорема 3.2. Пусть Λ0 ∈ R \ {0} и функции θi(z), i ∈ {1, 2}, удовлетворяют условию S.
Тогда каждое Pω(Λ0)-решение (в случае их существования) дифференциального уравнения (1.1)
допускает при t ↑ ω асимптотические представления
ϕ1(y(t)) =
∣∣∣∣Λ0πω(t)θ1
(
|πω(t)|
−1
Λ0
)∣∣∣∣λ−1 ∣∣∣πω(t)p(t)θ2
(
|J(t)|
1
β
)∣∣∣−1
[1 + o(1)],
y′(t) = µ
∣∣∣∣Λ0πω(t)θ1
(
|πω(t)|
−1
Λ0
)∣∣∣∣−1
[1 + o(1)].
4. Приложение основных результатов. Рассмотрим уравнение
y′′ = α0p(t)e
σ|y|δ ∣∣y′∣∣λ lnγ
∣∣y′∣∣ , (4.1)
где α0 ∈ {1,−1}, δ, σ ∈ R \ {0}, λ, γ ∈ R, p : [a, ω[−→]0,+∞[ — непрерывная функция.
Уравнение (4.1) является уравнением вида (1.1), в котором ϕ1(z) = eσ|z|
δ
, ϕ2(z) = |z|λ lnγ |z|.
Более того, уравнение (4.1) при δ = 1, γ = 0 является уравнением (1.3). Функция ϕ1(z) в слу-
чае, когда δ > 0, является быстро меняющейся при z → ±∞, в случае, когда δ < 0, — быстро
меняющейся при z → 0, а функция ϕ2(z) — правильно меняющейся порядка λ при z → Y 0
2 .
Для данных функций ϕi(z), i = 1, 2, функции θi(z), определенные в (3.11), принимают вид
θ1(z) = δσ
1
δ [ln z]
δ−1
δ , θ2(z) = lnγ |z|
и удовлетворяют условию S.
Для уравнения (4.1) условие (1.6) в определении Pω(Λ0)-решения примет вид
lim
t↑ω
1
σδ|y|δ
yy′′(t)
[y′(t)]2
= Λ0.
Для уравнения (4.1) на основании теорем 3.1 и 3.2 можно сформулировать следующее
утверждение.
Следствие 4.1. Пусть Λ0 ∈ R \ {0}. Тогда для существования Pω(Λ0)-решения диффе-
ренциального уравнения (4.1) необходимо, а если выполнено условие (3.2), то и достаточно,
чтобы выполнялись условия (3.3) – (3.5), причем каждое такое решение допускает при t ↑ ω
асимптотические представления
∣∣y(t)
∣∣δ =
1
σ
(λ− 1) ln
∣∣∣∣∣∣Λ0δσ
1
δ πω(t)
[
− 1
Λ0
ln |πω(t)|
] δ−1
δ
∣∣∣∣∣∣ −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 1293
− ln
∣∣∣∣πω(t)p(t)
[
1
δ
ln |J(t)|
]γ∣∣∣∣
+ o(1),
y′(t) = µ
∣∣∣∣∣∣Λ0δσ
1
δ πω(t)
[
− 1
Λ0
ln |πω(t)|
] δ−1
δ
∣∣∣∣∣∣
−1 [
1 + o(1)
]
.
При этом при Λ0 > 0 существует однопараметрическое семейство таких решений, а при
Λ0 < 0 — двупараметрическое семейство таких решений, если ω = +∞ и λ > 1 либо если
ω < +∞ и λ < 1.
Для уравнения (1.3), как частный случай уравнения (4.1) при δ = 1 и γ = 0, также можно
записать явные асимптотические формулы для Pω(Λ0)-решений.
1. Белозерова М. А. Асимптотические свойства одного класса решений существенно нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Мат. студ. – 2008. – 29, № 1. – С. 52 – 62.
2. Бiлозерова М. О. Асимптотичнi зображення розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку з нелiнiйнос-
тями у деякому сенсi близькими до степеневих // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. – 2008. – Вип. 374. – С. 34 – 43.
3. Белозерова М. А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений
второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 1. –
С. 3 – 15.
4. Евтухов В. М., Белозерова М. А. Асимптотические представления решений существенно нелинейных неавто-
номных дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 3. – С. 310 – 331.
5. Евтухов В. М., Дрик Н. Г. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. – 1989. – 133, № 1. – С. 29 – 32.
6. Evtukhov V. M., Drik N. G. Asymptotic behavior of solutions of a second order nonlinear differential equation //
Georg. Math. J. – 1996. – 3, № 2. – P. 101 – 120.
7. Evtukhov V. M., Vishnyakov V. I., Dragan G. S. Nonlinear Poisson – Boltzmann equation in spherical symmetry //
Phys. Rev. – 2007. – 76, № 3. – P. 1 – 5.
8. Евтухов В. М., Харьков В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 9. – С. 1311 – 1323.
9. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2011. –
47, № 5. – С. 628 – 650.
10. Евтухов В. М., Шлепаков О. Р. Асимптотические представления решений существенно нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений с правильно и быстро меняющимися нелинейностями // Укр.
мат. журн. – 2012. – 64, № 9. – С. 1165 – 1185.
11. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений: Дис . . . д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1998. – 295 c.
12. Hastings S. P., Poor A. B. A nonlinear problem from combustion theory: Linan’s problem // SIAM J. Math. Anal. –
1983. – 14, № 3. – P. 425 – 430.
13. Hastings S. P., Poor A. B. Linan’s problem from combustion theory. Pt II // SIAM J. Math. Anal. – 1985. – 16, № 2. –
P. 331 – 340.
14. Maric V. Regular variation and differential equations. – Springer, 2000. – 127 p.
15. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
Получено 11.09.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
|