Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема
Розглянуто лапласіан, що породжений гауссовою мірою на сепарабельному гільбертовому просторі. Для відповідної однопараметричної напівгрупи встановлено ергодичну теорему....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165857 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1172–1180. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165857 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658572020-02-17T01:27:40Z Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. Статті Розглянуто лапласіан, що породжений гауссовою мірою на сепарабельному гільбертовому просторі. Для відповідної однопараметричної напівгрупи встановлено ергодичну теорему. We consider the Laplacian generated by the Gaussian measure on a separable Hilbert space and prove the ergodic theorem for the corresponding one-parameter semigroup. 2015 Article Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1172–1180. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165857 517.98 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема Український математичний журнал |
| description |
Розглянуто лапласіан, що породжений гауссовою мірою на сепарабельному гільбертовому просторі. Для відповідної однопараметричної напівгрупи встановлено ергодичну теорему. |
| format |
Article |
| author |
Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. |
| author_facet |
Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. |
| author_sort |
Богданский, Ю.В. |
| title |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_short |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_full |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_fullStr |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_full_unstemmed |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_sort |
лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165857 |
| citation_txt |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1172–1180. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanskijûv laplasianpogaussovojmereiérgodičeskaâteorema AT sanžarevskijâû laplasianpogaussovojmereiérgodičeskaâteorema |
| first_indexed |
2025-07-14T20:09:14Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:09:14Z |
| _version_ |
1837654354930171904 |
| fulltext |
УДК 517.98
Ю. В. Богданский, Я. Ю. Санжаревский
(Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
We consider the Laplacian generated by the Gaussian measure on a separable Hilbert space and prove the ergodic theorem
for the corresponding one-parameter semigroup.
Розглянуто лапласiан, що породжений гауссовою мiрою на сепарабельному гiльбертовому просторi. Для вiдповiдної
однопараметричної напiвгрупи встановлено ергодичну теорему.
1. Предварительные сведения. Пусть H — сепарабельное вещественное гильбертово про-
странство (dimH ≤ ∞); µ — конечная неотрицательная борелевская мера на H с дополнитель-
ным условием: µ(U) > 0 для любого непустого открытого множества U в H.
Обозначим через C1
b (H) пространство всех непрерывно дифференцируемых функций наH,
ограниченных на H вместе со своей производной.
Наряду с функциональным пространством L2(H) = L2(H,µ) будем рассматривать про-
странство L2(H;H) квадратично интегрируемых векторных полей на H. Норму в L2(H;H)
задаем формулой |||Z |||2 =
∫
H
‖Z (x)‖2dµ, а интегрируемость векторного поля понимаем в
смысле конструкции Бохнера.
Функциональное пространство C1
b (H) плотно в L2(H) (доказательство этого факта анало-
гично доказательству предложения 1 из работы [1]).
Соответствие grad : f 7→ grad f задает оператор grad : L2(H) → L2(H; H) с облас-
тью определения C1
b (H). Корректность задания этого оператора является следствием условий
на меру µ :
((
u ∈ C1
b (H);u = 0 (mod µ)
)
⇒
(
u ≡ 0
))
. В частности, оператор grad коррект-
но определен в случае гауссовой меры µ, ядерный корреляционный оператор которой имеет
плотный в H образ.
Для h ∈ H меру µh определим равенством µh(A) = µ(A + h), которое предполагается
выполненным для каждого борелевского множества в H
(
A ∈ B(H)
)
. Мера µ называется
дифференцируемой (по Фомину) вдоль вектора h, если для каждого A ∈ B(H) существует
предел ϑh(A) = limt→0
1
t
(
µt h(A)− µ(A)
)
. В этом случае ϑh также является мерой (знакопе-
ременной), абсолютно непрерывной относительно меры µ. Если при этом ρhµ =
dϑh
dµ
∈ L2(H),
то мера µ называется L2-дифференцируемой вдоль вектора h.
Лемма 1. Пусть в пространстве H существует полная система L векторов, вдоль ко-
торых мера µ L2-дифференцируема. Тогда оператор grad замыкаем.
Доказательство. Пусть um ∈ C1
b (H), um → 0 в L2(H); gradum → Z ∈ L2(H; H).
Если ϕ ∈ C1
b (H), то ϕ · um → 0 в L2(H); grad (ϕ · um) = ϕ · gradum+ um · gradϕ→ ϕ · Z
в L2(H; H). Для каждого вектора h ∈ L имеет место равенство∫
H
(
grad (ϕ · um), h
)
dµ = −
∫
H
ϕum · ρhµ dµ
(см., например, [2]).
c© Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ, 2015
1172 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1173
Переходя к пределу m→∞, получаем∫
H
(
Z , ϕ h
)
dµ = 0 для каждого h ∈ L.
Линейные комбинации индикаторов открытых подмножеств вH (с векторными коэффициен-
тами) плотны в L2(H;H), а они, в свою очередь, аппроксимируются линейными комбинациями
функций вида ϕ · h (ϕ ∈ C1
b ;h ∈ L). Отсюда и следует равенство Z = 0 (mod µ), что и дока-
зывает лемму.
Следствие 1. Пусть µ — гауссова мера вH с ядерным корреляционным операторомA, об-
раз которого плотен в H. Тогда grad: L2(H) ⊃ C1
b (H)→ L2(H;H) — плотно определенный
замыкаемый оператор.
Доказательство следует из леммы 1, так как мера µ L2-дифференцируема вдоль векторов
h ∈ ImA.
Определим оператор div: L2(H;H)→ L2(H) равенством div = −(grad )∗. Иными слова-
ми, для Z ∈ D(div) и любой функции u ∈ C1
b (H) выполнено равенство∫
H
(
Z , gradu
)
dµ = −
∫
H
div Z · u dµ.
Предлагаемый оператор div является L2-версией классического понятия дивергенции век-
торного поля Z относительно меры µ (или, другими словами, логарифмической производной
меры µ вдоль векторного поля Z ).
В случае, когда оператор grad допускает замыкание, лапласиан по мере µ определим фор-
мулой4 = div ◦ grad : L2(H)→ L2(H).4 — самосопряженный отрицательно определенный
оператор; его область определения плотна в D(grad ), наделенном нормой графика операто-
ра grad [3]. Поэтому D(4) плотна в L2(H) и, согласно теореме Хилле – Иосиды (в форме
Люмера – Филлипса), оператор4 является генератором C0-полугруппы сжатий в пространстве
L2(H).
Настоящая работа посвящена исследованию некоторых особенностей поведения этой полу-
группы в случае гауссовой меры µ, ядерный корреляционный оператор которой имеет плотный
образ в H.
2. Полугруппа, порожденная лапласианом. Пусть A — ядерный неотрицательный опера-
тор в H, образ которого плотен в H; µA — гауссова мера в H с корреляционным оператором A;
h — собственный вектор оператора A с собственным числом λ > 0. Через h̃ обозначим функ-
цию на H вида h̃(x) = (x, h). Тогда grad h̃ = h (постоянное векторное поле). В силу формулы
интегрирования по частям [4] имеет место равенство∫
H
v · h̃ dµA =
∫
H
(
grad v, λ h
)
dµA,
справедливое для всех v ∈ C1
b (H).
Из последнего равенства следует, что λh ∈ D(div) и h̃ = −div (λh) = −λ div (grad h̃).
Следовательно, h̃ ∈ D(4) и имеет место равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1174 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
4h̃ = − 1
λ
h̃. (1)
Если T (t) — однопараметрическая полугруппа с генератором 4, то, как следует из (1),
имеет место равенство
T (t)h̃ = e−
t
λ h̃. (1′)
Лемма 2. Пусть u1, . . . , um ∈ C1
b (H) ∩ D(4), F ∈ C2(Rm). Тогда сложная функция
v(x) = F
(
u1(x), . . . , um(x)
)
∈ D(4) и при этом
4v =
m∑
k=1
F′k
(
u1(x), . . . , um(x)
)
4 uk(x)+
+
m∑
i, k=1
(
F′′i k
(
u1(x), . . . , um(x)
)
gradui(x), graduk(x)
)
. (2)
Доказательство. Имеем grad v =
∑m
k=1
F′k
(
u1(x), . . . , um(x)
)
· graduk(x). Далее сле-
дует воспользоваться тождеством div(f · Z ) = f · div Z +
(
grad f, Z
)
, справедливым для
Z ∈ D(div); f ∈ C1
b (H) [5].
Следствие 2. Пусть h1, h2, . . . , hm — попарно ортогональные собственные векторы опе-
ратора A, соответствующие собственным числам λk > 0, k = 1, . . . ,m. Тогда функция
v = h̃1 · h̃2 · . . . · h̃m является собственной функцией оператора 4 и имеет место равенство
4v = −
( 1
λ1
+
1
λ2
+ . . .+
1
λm
)
h̃1 · . . . · h̃m.
Следствие 3. Пусть ‖h‖ = 1, Ah = λh. Для функции v = h̃
m
имеет место равенство
4v = −m
λ
v +m(m− 1)h̃
m−2
. (3)
Доказательство. Для функции F(s) = sm равенство (2) превращается в следующее:4v =
= m · h̃
m−1
4 h̃+m (m− 1)h̃
m−2
, что и приводит к формуле (3).
Лемма 3. Пусть h — нормированный собственный вектор оператора A с собственным
числом λ > 0, T (t) — однопараметрическая полугруппа в L2(H) с генератором4. Тогда имеет
место равенство
T (t)
(
h̃
m)
= e−
mt
λ
(
h̃
m
−
[
m/2
]∑
k=1
αkh̃
m−2k
)
+
[
m/2
]∑
k=1
αkT (t)
(
h̃
m−2k)
, (4)
где
αk = (−1)k−1 m!
(m− 2k)! k! 2k
λk. (5)
Доказательство. При t = 0 формула (4) превращается в равенство T (0)
(
h̃
m)
= h̃
m
, и
достаточно лишь доказать, что константа αk в (4) удовлетворяет равенству (5). Применяя (3) к
равенству
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1175
∂
∂t
(
e−
mt
λ
(
h̃
m
−
[m/2]∑
k=1
αk h̃
m−2k))
= e−
mt
λ 4
(
h̃
m
−
[m/2]∑
k=1
αk h̃
m−2k
)
,
приходим к системе уравнений
α1 ·
m
λ
= m (m− 1) +
α1
λ
(m− 2),
αk ·
m
λ
= −αk−1 (m− 2k + 2) (m− 2k + 1) + αk ·
m− 2k
λ
, k = 2, 3, . . . ,
[m
2
]
.
Решая систему, получаем равенства (5).
Следствие 4. Если m = 2k − 1, k ∈ N, то limt→+∞ T (t)
(
h̃
m)
= 0; если m = 2k − 2,
k ∈ N, то
lim
t→+∞
T (t)
(
h̃
2k)
=
(2k)!
2k k!
λk. (6)
Доказательство. В силу формулы (1′) limt→+∞ T (t)
(
h̃
)
= 0, поэтому из (4) для нечет-
ныхm получим равенство limt→+∞ T (t)
(
h̃
m)
= 0. Поскольку дляm = 0 h̃
0
= 1 и T (t)
(
h̃
0)
≡
≡ 1→ 1, t→ +∞, в силу формулы (4) limt→+∞ T (t)
(
h̃
m)
существует для всех m = 2k, k ∈ N.
Положим βk = limt→+∞ T (t)
(
h̃
2k)
. Тогда из (4) получаем равенство
βk =
k∑
j=1
α
(k)
j βk−j , (7)
где α(k)
j = (−1)j−1 (2k)!
(2k − 2j)!j!2j
λj , 1 ≤ j ≤ k (см. (5)).
Формула (7) дает возможность доказать (6), применив метод математической индукции.
При k = 0 равенство очевидно. Индукционный шаг. Равенство
(2k)!
2k k!
λk =
k∑
j=1
(−1)j−1 (2k)!
(2k − 2j)! j! 2j
λj · (2k − 2j)!
2k−j (k − j)!
λk−j
непосредственно следует из очевидного: 1 = C1
k − C2
k + . . .+ (−1)k−1Ckk .
С другой стороны, из равенства
∫
H
e(x, y)µA(dx) = e(Ay, y)/2 (см. [4]) следует равенство∫
H
exp
(
th̃
)
µA(dx) = eλt
2/2, а разлагая обе части по степеням t, получаем тождества
∫
H
h̃
m
dµA =
0, если m = 2k − 1, k ∈ N,
(2k)!
2kk!
λk, если m = 2k, k ∈ N ∪ {0} .
Тем самым приходим к формуле
lim
t→+∞
T (t)
(
h̃
m)
=
∫
H
h̃
m
dµA.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1176 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
Далее будет доказано, что последнее равенство имеет место и для любой функции u ∈
∈ L2(H).
3. Эргодическая теорема.
Лемма 4. Пусть H = H1 ⊕ H2 — разложение гильбертова пространства H в орто-
гональную сумму своих подпространств; µ1 и µ2 — конечные борелевские меры в H1 и H2
соответственно, удовлетворяющие условию µk(U) > 0 для любого непустого открытого
множества U ⊂ Hk, k = 1, 2; Pk — ортопроекторы в H, ImPk = Hk, k = 1, 2; 4k —
лапласиан по мере µk в Hk; 4 — лапласиан в H по мере µ = µ1 ⊗ µ2 (предполагается, что
операторы 4, 41, 42 корректно определены (см. п. 1)). Пусть f ∈ D(41) ⊂ L2(H1, µ1).
Тогда u = f ◦ P1 ∈ D(4) ⊂ L2(H, µ) и при этом 4u = (41f) ◦ P1.
Доказательство. Пусть f ∈ D(41). Тогда существуют последовательность fn ∈ C1
b (H1),
для которой fn → f в L2(H1), и предел последовательности
{
grad fn
}
в L2(H1;H1), ко-
торый обозначим grad 1f. Но тогда функции un = fn ◦ P1 ∈ C1
b (H),
∫
H
(un − u)2dµ =
=
∫
H1
(fn − f)2dµ1 → 0, n→∞. Далее,
(
gradun
)
(x) = i1
(
grad fn(P1(x))
)
, где i1: H1 ↪→ H
(вложение H1 в H), последовательность
{
gradun
}
сходится в L2(H; H) к векторному полю
i1
(
grad 1f(P1(x))
)
. Действительно,∫
H
∥∥∥i1(grad fn(P1(x))
)
− i1
(
grad 1f(P1(x))
)∥∥∥2 dµ =
=
∫
H1
∥∥grad fn − grad 1f
∥∥2 dµ1 → 0, n→∞.
Итак, u = f ◦ P1 ∈ D(grad ).
Поскольку f ∈ D(41), для любой функции ϕ ∈ C1
b (H1) имеет место равенство∫
H1
41f · ϕdµ1 = −
∫
H1
(
grad 1f, gradϕ
)
dµ1. (8)
Пусть v ∈ C1
b (H). Для доказательства леммы достаточно выполнения равенства∫
H
(
(41f) ◦ P1
)
· v dµ = −
∫
H
(
gradu, grad v
)
dµ,
из которого вследствие произвольности v ∈ C1
b (H) и будет следовать результат:∫
H
(
gradu, grad v
)
dµ = [далее xk = Pkx] =
=
∫
H
(
i1 grad 1f(P1x), P1 grad v(x1 + x2)
)
dµ = [полагаем vx2(x1) = v(x1 + x2)] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1177
=
∫
H2
µ2(dx2)
∫
H1
(
grad 1f, grad vx2
)
dµ1 = [применим (8)] =
= −
∫
H2
µ2(dx2)
∫
H1
41f · vx2 dµ1 = −
∫
H
(
41f
)
(P1x) · v(x1 + x2) dµ.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть T1(t) и T2(t) — C0-полугруппы в банаховых пространствах X1 и X2 со-
ответственно и Ak = T ′k(0) — их генераторы. Пусть Q : X2→ X1 — ограниченный линейный
оператор, для которого Q
(
D(A2)
)
⊂ D(A1), и для каждого y ∈ D(A2) выполнено равенство
QA2y = A1Qy. Тогда для любых t ≥ 0 и y ∈ X2 имеет место равенство
QT2(t)y = T1(t)Qy. (9)
Доказательство. Равенство (9) достаточно доказать для векторов y из плотного подмно-
жества в X2. Полагаем y ∈ D(A2). Тогда Qy ∈ D(A1), поэтому при t ≥ 0 обе части равенст-
ва (9) дифференцируемы по t :
d
dt
(
QT2(t)y
)
= QA2T2(t)y = A1QT2(t)y,
d
dt
T1(t)Qy = A1T1(t)Qy.
ПосколькуQT2(0)y = Qy = T1(0)Qy, то равенство (9) для y ∈ D(A2) следует из единствен-
ности решения в X1 дифференциального уравнения
d
dt
z(t) = A1z(t) с начальным условием
z(0) = Qy.
Лемма доказана.
Следствие 5. Пусть в условиях леммы 4 T (t) — C0-полугруппа в L2(H) = L2(H, µ) с
генератором4, T1(t) — C0-полугруппа в L2(H1) с генератором41. Тогда для каждой функции
f ∈ L2(H1) при всех t ≥ 0 имеет место равенство
T (t)
(
f ◦ P1
)
=
(
T1(t)f
)
◦ P1.
Доказательство. Применим лемму 5 к пространствам X1 = L2(H), X2 = L2(H1). Поло-
жим A1 = 4, A2 = 41 и
(
Qf
)
(x) = f(P1x) для f ∈ L2(H1). Тогда ‖Qf‖2 =
∫
H
f2(P1x)dµ =
= µ2(H2)
∫
H1
f2dµ1 = µ2(H2)‖f‖2. Теперь из леммы 4 следует выполнение всех условий
леммы 5.
Следствие доказано.
Лемма 6. Пусть µ — конечная неотрицательная мера в H, для которой существует
такое линейное многообразие L в H, что для каждого h ∈ L мера µh эквивалентна ме-
ре µ (квазиинвариантность меры µ вдоль вектора h), причем γh =
dµh
dµ
∈ L2(H, µ) и
sup
{
‖γth‖L2(H)
∣∣ 0 ≤ t ≤ 1
}
< ∞. Пусть u ∈ D(grad ), gradu = 0 (mod µ). Тогда для
каждого h ∈ L равество u(x+ h) = u(x) выполнено для µ-почти всех x ∈ H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1178 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
Доказательство. Пусть um ∈ C1
b (H), um → u в L2(H), gradum → 0 в L2(H; H). Тогда
для каждого борелевского множества A ∈ B(H) и h ∈ H имеют место равенства
∫
A
um(x+ h) dµ−
∫
A
um(x) dµ =
1∫
0
dt
∫
A
(
gradum(x+ th), h
)
dµ. (10)
При этом limm→∞
∫
A
umdµ =
∫
A
udµ, а для h ∈ L получим также∫
A
um(x+ h) dµ =
∫
A+h
um dµ−h =
∫
A+h
um · γ−h dµ −→
m→∞
−→
m→∞
∫
A+h
u · γ−h dµ =
∫
A
u(x+ h) dµ.
Для каждого фиксированного t ∈ [0; 1] и фиксированного h ∈ L при m → ∞ имеет место
сходимость ∫
A
(
gradum(x+ t h), h
)
dµ =
∫
A+t h
(
gradum(x), h
)
· γ−t h dµ −→
−→
∫
A+t h
(
gradu, h
)
· γ−t h dµ =
∫
A
(
gradu(x+ t h), h
)
dµ.
При этом последовательность функций gm(t) =
∫
A
(
gradum(x+ t h), h
)
µ(dx) в силу условий
леммы по модулю равномерно ограничена на [0; 1] интегрируемой на [0; 1] функцией:∣∣∣∣∣∣
∫
A
(
gradum(x+ t h), h
)
dµ
∣∣∣∣∣∣ ≤
∫
H
∥∥gradum(x+ t h)
∥∥ dµ · ‖h‖ =
= ‖h‖ ·
∫
H
∥∥gradum∥∥ · γ−t h dµ ≤ ‖h‖ · ∣∣∣∣∣∣gradum∣∣∣∣∣∣ · ‖γ−t h‖L2(H).
Поэтому предельным переходом из (10) для h ∈ L получим∫
A
u(x+ h) dµ−
∫
A
u(x) dµ =
1∫
0
dt
∫
A
(
gradu(x+ t h), h
)
dµ. (11)
Поскольку gradu = 0 (mod µ), из условия квазиинвариантности меры µ вдоль вектора
h ∈ L следует, что для h ∈ L и t ∈ R имеет место равенство
(
gradu(·+ t h), h
)
= 0 (mod µ),
поэтому из (11) следует равенство
ϕh(A) =
∫
A
u(x+ h) dµ =
∫
A
u dµ = ϕ0(A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1179
Последнее равенство справедливо для всех A ∈ B(H), поэтому для каждого h ∈ L равен-
ство u(x) = u(x+ h) выполнено для почти всех x ∈ H.
Лемма доказана.
Замечание 1. В случае, когда L плотно в H, исходное условие, наложенное на меру µ
в сепарабельном гильбертовом пространстве H : „µ(U) > 0 для любого непустого открытого
множества U в H”, является следствием квазиинвариантности меры µ, заложенной в условии
леммы 6. В частности, эти условия выполнены для гауссовой меры в H, ядерный корреляцион-
ный оператор которой имеет плотный образ в H.
Следствие 6. Если в условиях леммы 6 пространство H конечномерно и L = H, то
u(x) = const (mod µ).
Доказательство. Из теорем Фубини и Тонелли следует равенство∫
H
µ(dx)
∫
H
∣∣u(x+ h)− u(x)
∣∣µ(dh) = ∫
H
µ(dh)
∫
H
∣∣u(x+ h)− u(x)
∣∣µ(dx) = 0,
поэтому для почти всех x равенство u(x+ h) = u(x) выполнено для почти всех h.
Зафиксируем x0 ∈ H, для которого u(x0 + h) = u(x0) для почти всех h. В силу квазиинва-
риантности меры µ множеством полной меры будет также множество
{
h
∣∣u(h) = u(x0)
}
, что
и доказывает следствие.
Теорема. Пусть µ — гауссова мера на сепарабельном гильбертовом пространстве H,
корреляционный оператор которой — положительный ядерный оператор A с плотным в H
образом. Пусть 4 — построенный выше оператор Лапласа по мере µ, T (t) — однопара-
метрическая полугруппа в L2(H) = L2(H, µ) с генератором 4. Тогда для каждой функции
u ∈ L2(H) имеет место равенство
lim
t→+∞
T (t)u =
∫
H
u dµ (modµ). (12)
Доказательство. В силу замечания 1 соответствующий оператор grad корректно опре-
делен. Из формулы (12) [6, с. 115] следует выполнение условий леммы 1, поэтому оператор
grad и лапласиан 4 также определены.
Отрицательно определенный самосопряженный оператор 4 порождает в L2(H) аналити-
ческую полугруппу сжатий T (t) [7, с. 105], поэтому для каждой функции u ∈ L2(H) при t > 0
имеет место включение T (t)u ∈ D(4) и при этом C := supt>0
∥∥t 4 T (t)
∥∥ <∞ [7, с. 101].
Для генератора полугруппы сжатий T (t) на рефлексивном пространстве L2(H) имеет мес-
то разложение в прямую (ортогональную в силу самосопряженности оператора 4) сумму:
L2(H) = Im4 ⊕ Ker4. Пусть Q — ортопроектор в L2(H) на Ker4. Тогда для u ∈ L2(H)
имеем разложение u = (I − Q)u + Qu, T (t)
(
Qu
)
= Qu для всех t ≥ 0. Пусть u ∈ Im4.
Тогда u = 4v, v ∈ D(4), T (t)u = 4T (t)v,
∥∥4T (t)v∥∥ ≤ C
t
‖v‖ → 0, t → +∞. Предельным
переходом равенство limt→+∞ T (t)u = 0 доказывается для всех u ∈ Im4. Тем самым доказано,
что для всех u ∈ L2(H) существует limt→+∞ T (t)u = Qu.
Функции из ImQ — это в точности 4-гармонические функции на H. Если 4u = 0, то
u ∈ D(grad ) и существует последовательность функций un ∈ C1
b (H), для которых un → u в
L2(H) и gradun → gradu в L2(H; H). С другой стороны, имеет место равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1180 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
0 =
∫
H
4u · un dµ = −
∫
H
(
gradu, gradun
)
dµ,
поэтому предельным переходом n → ∞ приходим к выводу:
(
4u = 0 почти всюду
)
⇔
⇔
(
gradu = 0 почти всюду
)
.
Пусть {e1, e2, . . .} — ортонормированный базис в H из собственных векторов корреляци-
онного оператора A и Pn — ортопроектор в H на линейную оболочку векторов {e1, . . . , en}.
Разложение H = PnH ⊕ (I − Pn)H индуцирует на PnH и (I − Pn)H меры по принципу:
µ1(A) = µ(A+ (I − Pn)H), µ2(B) = µ(PnH + B)
(
здесь A ∈ B(PnH); B ∈ B
(
(I − Pn)H
))
.
При этом µ = µ1 ⊗ µ2.
Если за L принять линейную оболочку векторов {ek}∞k=1, то выполнены условия леммы 6.
Рассмотрим конечномерное подпространство PnH, L ∩ PnH = PnH. Если 41g = 0 (здесь
41 — лапласиан в PnH по мере µ1), то, как было доказано выше, grad 1g = 0 и, в силу
следствия 6, g = const (почти всюду) в PnH. Следовательно, limt→+∞ T1(t)f — постоянная
функция (mod µ1) для любой f ∈ L2(PnH)
(
здесь T1(t) — полугруппа в PnH с генератором
41
)
. f 7→ limt→+∞ T1(t)f — ортопроектор на подпространство констант, поэтому
lim
t→+∞
T1(t)f =
∫
PnH
f dµ1 (mod µ1).
В силу следствия 5 для функции u ∈ L2(H) вида u(x) = f(Pnx) имеет место равенство(
T (t)u
)
(x) =
(
T1(t)f
)
(Pnx), поэтому для таких функций u получим
lim
t→+∞
T (t)u =
∫
PnH
f dµ1 =
∫
H
u dµ (modµ).
Осталось заметить, что функции вида f(Pnx), где n ∈ N, а f ∈ Cb(PnH), образуют плотное
множество в пространстве L2(H).
Теорема доказана.
Следствие 7. Для гауссовой меры, ядерный корреляционный оператор которой имеет
плотный в H образ,4-гармоническими функциями в H являются только константы (modµ).
1. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2-версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1169 – 1178.
2. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – М.; Ижевск: РХД, 2008. – 544 с.
3. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом простран-
стве. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. – 264 с.
4. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. –
М.: Наука, 1983. – 384 с.
5. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом простран-
стве // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
6. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1975. – 232 с.
7. Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations // Grad. Texts Math. – 2000. – 194. –
586 p.
Получено 06.03.14,
после доработки — 04.06.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
|