Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках
Получены точные по порядку оценки приближения изотропных классов Никольского-Бесова функций многих переменных суммами типа Валле Пуссена в метриках пространств L∞(Rd) и L₁(Rd)....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165865 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках / С.Я. Янченко// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1423–1433. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165865 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658652020-02-17T01:27:36Z Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках Янченко, С.Я. Статті Получены точные по порядку оценки приближения изотропных классов Никольского-Бесова функций многих переменных суммами типа Валле Пуссена в метриках пространств L∞(Rd) и L₁(Rd). We obtain the exact-order estimations for the approximation of the isotropic Nikol’skii–Besov classes of functions of several variables by the de la Vallée-Poussin-type sums in metrics of the spaces L ∞(ℝd) and L₁(ℝd). 2015 Article Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках / С.Я. Янченко// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1423–1433. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165865 517.51 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Янченко, С.Я. Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках Український математичний журнал |
| description |
Получены точные по порядку оценки приближения изотропных классов Никольского-Бесова функций многих переменных суммами типа Валле Пуссена в метриках пространств L∞(Rd) и L₁(Rd). |
| format |
Article |
| author |
Янченко, С.Я. |
| author_facet |
Янченко, С.Я. |
| author_sort |
Янченко, С.Я. |
| title |
Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках |
| title_short |
Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках |
| title_full |
Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках |
| title_fullStr |
Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках |
| title_full_unstemmed |
Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках |
| title_sort |
наближення функцій з ізотропних класів нікольського – бєсова у рівномірній та інтегральній метриках |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165865 |
| citation_txt |
Наближення функцій з ізотропних класів Нікольського – Бєсова у рівномірній та інтегральній метриках / С.Я. Янченко// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1423–1433. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT ânčenkosâ nabližennâfunkcíjzízotropnihklasívníkolʹsʹkogobêsovaurívnomírníjtaíntegralʹníjmetrikah |
| first_indexed |
2025-07-14T20:10:40Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:10:40Z |
| _version_ |
1837654444017188864 |
| fulltext |
УДК 517.51
С. Я. Янченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З IЗОТРОПНИХ КЛАСIВ
НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА У РIВНОМIРНIЙ
ТА IНТЕГРАЛЬНIЙ МЕТРИКАХ*
We obtain the exact-order estimations for the approximation of the isotropic Nikol’skii–Besov classes functions of several
variables by the de-la-Vallée-Poussin-type sums in metrics of the spaces L∞(Rd) and L1(Rd).
Получены точные по порядку оценки приближения изотропных классов Никольского – Бесова функций многих
переменных суммами типа Валле Пуссена в метриках пространств L∞(Rd) и L1(Rd).
У статтi дослiджується питання найкращого наближення iзотропних класiв О. B. БєсоваBr
p,θ(Rd)
[1] i С. М. Нiкольського Hr
p(Rd) [2], а також їх аналогiв, функцiй багатьох змiнних у просторах
L∞(Rd) та L1(Rd). В якостi апарату наближення використовуються цiлi функцiї експоненцi-
ального типу (див., наприклад, [3], гл. 3).
1. Основнi позначення та означення класiв Нiкольського – Бєсова. Нехай Rd, d ≥ 1, —
d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd), (x,y) = x1y1 + . . .+ xdyd. Lp(Rd),
1 ≤ p ≤ ∞, — простiр вимiрних на Rd функцiй f(x) = f(x1, . . . , xd) зi скiнченною нормою
‖f‖Lp(Rd) = ‖f‖p :=
∫
Rd
|f(x)|pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ := ess sup
x∈Rd
|f(x)|.
Для k ∈ N, h ∈ Rd та f ∈ Lp(Rd) позначимо через ∆k
hf(x) кратну рiзницю
∆k
hf(x) = ∆h∆k−1
h f(x),
де ∆hf(x) = f(x+ h)− f(x) i ∆0
hf(x) = f(x).
Кратну рiзницю ∆k
hf(x) також можна записати у виглядi
∆k
hf(x) =
k∑
l=0
(−1)l+kC lkf(x+ lh).
Означимо модуль гладкостi k-го порядку функцiї f ∈ Lp(Rd), який будемо позначати
ωk(f, t)p, такою формулою:
ωk(f, t)p = sup
|h|≤t
∥∥∥∆k
hf(·)
∥∥∥
p
,
де |h| =
√
h2
1 + . . .+ h2
d — евклiдова норма вектора h.
* Виконано за часткової пiдтримкi FP7-People-2011-IRSES, проект № 295164 (EUMLS: EU-Ukrainian Mathemati-
cians for Life Sciences).
c© С. Я. ЯНЧЕНКО, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10 1423
1424 С. Я. ЯНЧЕНКО
Будемо говорити, що функцiя f ∈ Lp(Rd) належить iзотропному простору Br
p,θ(Rd), 1 ≤ p,
θ ≤ ∞, r > 0, якщо ∞∫
0
(
t−rωk(f, t)p
)θ dt
t
1/θ
<∞ при 1 ≤ θ <∞
i
sup
t>0
ωk(f, t)pt
−r <∞ при θ =∞.
Зауважимо, що при цьому вимагається виконання умови k > r.
Якщо норму в просторi Br
p,θ(Rd) задати формулами
‖f‖Brp,θ(Rd) = ‖f‖p +
∞∫
0
(t−rωk(f, t)p)
θ dt
t
1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
i
‖f‖Brp,∞(Rd) = ‖f‖p + sup
t>0
ωk(f, t)pt
−r,
то даний простiр буде банаховим.
Простiр Br
p,θ(Rd) був уведений О. В. Бєсовим [1] i Br
p,∞(Rd) = Hr
p(Rd), де Hr
p(Rd) —
простiр, який увiв С. М. Нiкольський [2]. Далi, якщо не стверджується iнше, пiд термiном
«класи Br
p,θ(Rd)» будемо розумiти одиничнi кулi у просторi Br
p,θ(Rd), а саме
Br
p,θ(Rd) :=
{
f ∈ Lp : ‖f‖Brp,θ(Rd) ≤ 1
}
.
Для спрощення записiв замiсть Br
p,θ(Rd) та Hr
p(Rd) будемо використовувати позначення Br
p,θ
та Hr
p .
О. В. Бєсов [1] та С. М. Нiкольський [4] отримали низку результатiв щодо вкладення
вiдповiдно просторiв Br
p,θ i Hr
p за параметрами p, θ i r, а також про продовження функцiй iз
цих просторiв.
Зазначимо, що важливим для встановлення результатiв є той факт, що простори Br
p,θ зi
зростанням параметра θ розширюються (див., наприклад, [3, с. 277]), тобто
Br
p,1 ⊂ Br
p,θ ⊂ Br
p,θ′ ⊂ Br
p,∞ = Hr
p , 1 ≤ θ < θ′ ≤ ∞. (1)
Наведемо результат П. I. Лiзоркiна [5], який дає можливiсть означити норму функцiй iз
просторiв Br
p,θ(Rd) в iншiй формi, яка в подальшому зумовлює використання перетворення
Фур’є в теорiї даних просторiв.
Теорема А. Функцiя f належить простору Br
p,θ, r > 0, 1 ≤ p, θ ≤ ∞, тодi i тiльки тодi,
коли вона зображується збiжним у метрицi Lp рядом
f(x) =
∞∑
s=0
Pas(x), Pas(x) = Pas1,...,as1(x), (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З IЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА. . . 1425
де Pν1,...,νd(x) — цiлi функцiї степеня не вищого за ν1, . . . , νd по кожнiй змiннiй x1, . . . , xd
вiдповiдно, i виконується умова( ∞∑
s=0
bsθ‖Pas‖θp
)1/θ
<∞, де b = ar1 > 1. (3)
Окрiм цього має мiсце оцiнка
‖f‖Brp,θ ≤ C1
( ∞∑
s=0
bsθ‖Pas‖θp
)1/θ
. (4)
Якщо, крiм того, частиннi суми n-го порядку ряду (2) реалiзують найкраще наближення
або дають порядок найкращого наближення, то вираз у лiвiй частинi (3) i ‖f‖Brp,θ еквiвалентнi,
тобто разом iз (4) справджується оцiнка( ∞∑
s=0
bsθ‖Pas‖θp
)1/θ
≤ C2‖f‖Brp,θ .
Зауважимо, що П. I. Лiзоркiн дану теорему довiв у бiльш загальному випадку, а саме коли
параметр r в означеннi просторiв Нiкольського – Бєсова є вектором з рiзними координатами,
тобто коли розглядаються так званi анiзотропнi простори Нiкольського – Бєсова.
На основi теореми А ми дамо еквiвалентне означення iзотропних просторiв Br
p,θ, яким
будемо користуватися у подальших мiркуваннях. Для цього нагадаємо означення перетворення
Фур’є (див., наприклад, [6]) i сум Валле Пуссена [3] (гл. 8).
Нехай S = S(Rd) — простiр Л. Шварца основних нескiнченно диференцiйовних на Rd
комплекснозначних функцiй ϕ, що спадають на нескiнченностi разом зi своїми похiдними
швидше за будь-який степiнь функцiї |x|−1 (див., наприклад, [6], [7], гл. 2). Через S′ позначимо
простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв на S. Зазначимо, що елементами простору S′ є
узагальненi функцiї. Якщо f ∈ S′ i ϕ ∈ S, то 〈f, ϕ〉 позначає значення f на ϕ.
Перетворення Фур’є Fϕ : S → S визначається згiдно з формулою
(Fϕ)(λ) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(t)e−i(λ,t)dt ≡ ϕ̃(λ),
де λ = (λ1, . . . , λd), t = (t1, . . . , td).
Обернене перетворення Фур’є F−1ϕ : S → S задається таким чином:
(F−1ϕ)(t) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(λ)ei(λ,t)dλ ≡ ϕ̂(t).
Перетворення Фур’є узагальнених функцiй f ∈ S′ (для нього ми зберiгаємо те ж позначен-
ня) визначається згiдно з формулою
〈Ff, ϕ〉 = 〈f,Fϕ〉 (〈f̃ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̃〉),
де ϕ ∈ S.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1426 С. Я. ЯНЧЕНКО
Обернене перетворення Фур’є узагальненої функцiї f ∈ S′ також позначимо F−1f, i визна-
чається воно аналогiчно до прямого перетворення Фур’є згiдно з формулою
〈F−1f, ϕ〉 = 〈f,F−1ϕ〉 (〈f̂ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̂〉).
Зазначимо, що кожна функцiя f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞, визначає лiнiйний неперервний
функцiонал на S згiдно з формулою
〈f, ϕ〉 =
∫
Rd
f(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ S,
i, як наслiдок, у цьому сенсi вона є елементом S′. Тому перетворення Фур’є функцiї f ∈ Lp(Rd),
1 ≤ p ≤ ∞, можна розглядати як перетворення Фур’є узагальненої функцiї 〈f, ϕ〉.
Носiєм узагальненої функцiї f будемо називати замикання N такої множини точок N ⊂ Rd,
що для довiльної ϕ ∈ S, яка дорiвнює нулю в N, виконується рiвнiсть 〈f, ϕ〉 = 0. Носiй
узагальненої функцiї f будемо позначати через supp f. Також будемо говорити, що функцiя f
зосереджена на множинi G, якщо supp f ⊆ G.
Далi розглянемо неперiодичний аналог ядра Валле Пуссена
V2s(x) =
1
2sd
d∏
j=1
cos 2sxj − cos 2s+1xj
x2
j
, j = 1, d, s ∈ N ∪ {0}.
Дане ядро має такi властивостi (див. [3, c. 358]):
1) V2s(z) = V2s(z1, . . . , zd) — цiла функцiя експоненцiального типу степеня 2s+1 за кожною
змiнною zj , j = 1, d, обмежена i сумовна на Rd;
2)
(
2
π
)d/2
Ṽ2s =
1
πd
∫
22s
V2s(t)e
−i(t,x)dt, де 22s =
{
|xj | ≤ 2s, j = 1, d
}
;
3)
1
πd
∫
Rd
V2s(t)dt = 1;
4)
1
πd
∫
Rd
|V2s(t)|dt ≤ C3 <∞.
Зазначимо, що для Ṽ2s має мiсце рiвнiсть
Ṽ2s = µ2s(x) =
d∏
j=1
µ2s(xj),
де
µ2s(xj) =
√
π
2
1, |xj | < 2s,
1
2s
(2s+1 − xj), 2s < |xj | < 2s+1,
0, 2s+1 < |xj |.
Для функцiй g1 ∈ L1(Rd) та g2 ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞, означимо їх згортку згiдно з
формулою (див., наприклад, [3, c. 52])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З IЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА. . . 1427
(g1 ∗ g2) (x) =
1
(2π)d/2
∫
g1(x− u)g2(u)du.
При цьому виконується нерiвнiсть
‖g1 ∗ g2‖p ≤
1
(2π)d/2
‖g1‖1 ‖g2‖p. (5)
Нехай f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞. В такому випадку покладемо
σ2s(f,x) =
(
2
π
)d/2
(V2s ∗ f) (x) =
1
πd
∫
V2s(x− u)f(u)du. (6)
Дана функцiя є аналогом перiодичної суми Валле Пуссена порядку 2s, крiм цього σ2s(f,x) ∈
∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, є цiлою функцiєю експоненцiального типу 2s+1 по кожнiй змiннiй xj ,
j = 1, d. У термiнах перетворення Фур’є функцiю σ2s(f,x) можна подати у виглядi [3, c. 359]
σ2s(f,x) = σ2s(f) = F−1(µ2s · Ff).
Далi, кожнiй функцiї f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, поставимо у вiдповiднiсть ряд
f = σ20(f) +
∞∑
s=1
(σ2s(f)− σ2s−1(f)) , (7)
який збiгається до f у метрицi простору Lp [8]. Даний ряд будемо називати розкладом функцiї
f за сумами типу Валле Пуссена.
Введемо позначення
q0(f) = σ20(f), qs(f) = σ2s(f)− σ2s−1(f), s ∈ N. (8)
Тодi згiдно з спiввiдношенням (8) рiвнiсть (7) для f можемо записати у виглядi
f =
∞∑
s=0
qs(f).
При цьому зауважимо, що носiй перетворення Фур’є функцiї qs(f) зосереджено на множинi{
λ : 2s−1 ≤ max
j=1,d
|λj | ≤ 2s+1
}
.
Зауважимо, що наближення функцiї f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, за допомогою σ2s(f) має такий
же порядок, як i найкраще наближення цiєї функцiї за допомогою функцiй експоненцiального
типу 2s.
Таким чином, на основi теореми А можна дати наступне означення просторiв Br
p,θ(Rd).
Функцiя f належить простору Br
p,θ(Rd), якщо для неї скiнченними є величини( ∞∑
s=0
2srθ‖qs‖θp
)1/θ
при 1 ≤ θ <∞
та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1428 С. Я. ЯНЧЕНКО
sup
s≥0
2sr‖qs‖p при θ =∞.
При цьому норма ‖f‖Brp,θ , 1 ≤ θ ≤ ∞, функцiй f, згiдно з теоремою А, задовольняє спiввiдно-
шення
‖f‖Brp,θ �
( ∞∑
s=0
2srθ‖qs‖θp
)1/θ
, (9)
якщо 1 ≤ θ <∞, i
‖f‖Brp,∞ � sup
s≥0
2sr‖qs‖p. (10)
Тут i далi по тексту для додатних величин A i B запис A � B означає, що iснують такi додатнi
сталi C4 та C5, якi не залежать вiд одного iстотного параметра у величинах A i B (наприклад,
у спiввiдношеннях (9) i (10) — вiд функцiї f ), що C4A ≤ B ≤ C5A. Як тiльки B ≤ C5A
(B ≥ C5A) , то пишемо B � A (B � A). Всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi зустрiчаються у
роботi, залежать, можливо, лише вiд параметрiв, що входять в означення класу, метрики, в якiй
оцiнюється похибка наближення, та розмiрностi простору Rd.
Тепер дамо означення апроксимативної характеристики, яка буде дослiджуватися.
Для f ∈ Lq(Rd), 1 ≤ q ≤ ∞, розглянемо частинну суму типу Валле Пуссена
Vn(f) =
n∑
s=0
qs(f)
i покладемо
En(f)q = ‖f − Vn−1(f)‖q .
Величина En(f)q називається наближенням функцiї f частинними сумами типу Валле Пуссена.
Якщо F ⊂ Lq(Rd), то покладемо
En(F )q = sup
f∈F
En(f)q.
2. Наближення частинними сумами типу Валле Пуссена у рiвномiрнiй та iнтегральнiй
метриках. Попередньо сформулюємо твердження, яке буде iстотно використовуватися при
встановленнi результатiв.
Теорема Б [3, c. 150]. Якщо 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞, то для цiлої функцiї експоненцiального
типу g = gν ∈ Lp1(Rd) має мiсце „нерiвнiсть рiзних метрик”
‖gν‖Lp2 (Rd) ≤ 2d
d∏
j=1
νk
1
p1
− 1
p2
‖gν‖Lp1 (Rd). (11)
Справджується наступне твердження.
Теорема 1. Нехай 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞. Тодi якщо r >
d
p
, то має мiсце порядкове
спiввiдношення
En(Br
p,θ)∞ � 2
−n
(
r− d
p
)
. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З IЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА. . . 1429
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. Оскiльки для 1 ≤ p <∞ має мiсце вкладен-
ня Br
p,θ ⊂ Hr
p , то шукану оцiнку достатньо отримати для En
(
Hr
p
)
∞ . Далi для f ∈ Hr
p , згiдно
з (10), можемо записати ‖qs‖p � 2−sr. Тому, використавши нерiвнiсть Мiнковського та (11),
отримаємо ∥∥∥∥∥f −
n−1∑
s=0
qs
∥∥∥∥∥
∞
=
∥∥∥∥∥
∞∑
s=n
qs
∥∥∥∥∥
∞
�
∞∑
s=n
2
sd
p ‖qs‖p �
∞∑
s=n
2
sd
p 2−sr ≤ 2
−n
(
r− d
p
)
.
Оцiнку зверху встановлено.
Перейдемо до встановлення в (12) оцiнки знизу. Оскiльки Br
p,1 ⊂ Br
p,θ, то шукану оцiнку
достатньо отримати для En
(
Br
p,1
)
∞ .
Нехай
fn+1(x) =
d∏
j=1
(V2n+1(xj)− V2n(xj)) , n ∈ N, xj ∈ R, j = 1, d.
Оцiнимо попередньо ‖fn+1‖∞. Маємо
‖fn+1‖∞ =
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
(V2n+1(xj)− V2n(xj))
∥∥∥∥∥∥
∞
=
d∏
j=1
‖V2n+1(xj)− V2n(xj)‖∞ =
=
d∏
j=1
∥∥∥∥∥cos 2n+1xj − cos 2n+2xj
2n+1x2
j
− cos 2nxj − cos 2n+1xj
2nx2
j
∥∥∥∥∥
∞
=
=
d∏
j=1
∥∥∥∥∥sin 3 · 2nxj sin 2nxj
2nx2
j
− sin 3 · 2n−1xj sin 2n−1xj
2n−1x2
j
∥∥∥∥∥
∞
=
=
d∏
j=1
∥∥∥∥∥sin 3 · 2n−1xj sin 2n−1xj
2n−1x2
j
(
2 cos 3 · 2n−1xj cos 2n−1xj − 1
)∥∥∥∥∥
∞
=
=
d∏
j=1
sup
xj
∣∣∣∣∣2n−1 sin 3xj sinxj
x2
j
(2 cos 3xj cosxj − 1)
∣∣∣∣∣ =
= 2(n−1)d
d∏
j=1
sup
xj
∣∣∣∣∣sin 3xj sinxj
x2
j
(2 cos 3xj cosxj − 1)
∣∣∣∣∣ . (13)
Спочатку оцiнимо sup
xj
у (13) зверху. Маємо
sup
xj
∣∣∣∣∣sin 3xj sinxj
x2
j
(2 cos 3xj cosxj − 1)
∣∣∣∣∣ ≤ sup
xj
∣∣∣∣∣3sin 3xj sinxj
x2
j
∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1430 С. Я. ЯНЧЕНКО
≤ 3 sup
xj
∣∣∣∣∣sin 3xj sinxj
x2
j
∣∣∣∣∣ ≤ 9. (14)
Тепер оцiнимо supxj в (13) знизу:
sup
xj
∣∣∣∣∣sin 3xj sinxj
x2
j
(2 cos 3xj cosxj − 1)
∣∣∣∣∣ ≥
≥
∣∣∣∣∣∣∣
sin 3
π
2
sin
π
2(π
2
)2
(
2 cos 3
π
2
cos
π
2
− 1
)∣∣∣∣∣∣∣ =
4
π2
. (15)
На пiдставi оцiнок (13), (14) та (15) робимо висновок, що
‖fn+1(·)‖∞ � 2nd. (16)
Об’єднуючи дану оцiнку з оцiнкою для ‖fn+1‖p при 1 ≤ p <∞, яку встановлено в [9], можемо
записати
‖fn+1‖p � 2
nd
(
1− 1
p
)
, 1 ≤ p ≤ ∞. (17)
Розглянемо функцiю
F1(x) = C62
−nd
(
r
d
+1− 1
p
)
fn+1(x)
i переконаємося, що при певному виборi сталої C6 вона належить класу Br
p,1.
Оскiльки носiй перетворення Фур’є функцiї fn+1 мiститься на множинi{
λ : 2n ≤ max
j=1,d
|λj | ≤ 2n+2
}
,
то, згiдно з зазначеним вище, щодо носiя перетворення Фур’є функцiй qs(f), s = 0, 1, . . . , отри-
маємо, що всi функцiї qs(fn+1) окрiм, можливо, qn(fn+1), qn+1(fn+1) та qn+2(fn+1), тотожно
дорiвнюють нулю.
Отже, згiдно з (9) будемо мати
‖F1‖Brp,1 �
∑
s∈Z+
2sr‖qs(F1)‖p = C62
−nd
(
r
d
+1− 1
p
) ∑
s∈Z+
2sr‖qs(fn+1)‖p =
= C62
−nd
(
r
d
+1− 1
p
) (
2nr‖qn(fn+1)‖p + 2(n+1)r‖qn+1(fn+1)‖p + 2(n+2)r‖qn+2(fn+1)‖p
)
. (18)
Оцiнимо кожний iз доданкiв у правiй частинi (18).
Виходячи з означення qs(f) та формули (6), враховуючи спiввiдношення (17), (5) i власти-
вiсть 4 для V2s , одержуємо
‖qn(fn+1)‖p = ‖σ2n(fn+1)− σ2n−1(fn+1)‖p =
(
2
π
)d/2
‖(V2n − V2n−1) ∗ fn+1‖p ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З IЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА. . . 1431
≤
(
2
π
)d/2 1
(2π)d/2
‖V2n − V2n−1‖1‖fn+1‖p ≤ C72
nd
(
1− 1
p
)
.
Аналогiчнi оцiнки отримаємо i для ‖qn+1(fn+1)‖p та ‖qn+2(fn+1)‖p.
Тодi (18) можна продовжити таким чином:
‖F1‖Brp,1 ≤ C62
−nd
(
r
d
+1− 1
p
)(
C72nr2
nd
(
1− 1
p
)
+ C82(n+1)r2
nd
(
1− 1
p
)
+
+ C92(n+2)r2
nd
(
1− 1
p
))
≤ C10.
Отже, при вiдповiдному виборi сталої C6 функцiя F1 належить класу Br
p,1.
Далi, згiдно з вибором функцiї F1 i властивостями функцiї fn+1 маємо Vn−1(F1, ·) = 0.
Тому, враховуючи (16), отримуємо
En
(
Br
p,1
)
∞ ≥ En(F1)∞ = ‖F1 − Vn−1(f1)‖∞ =
= ‖F1‖∞ � 2
−nd
(
r
d
+1− 1
p
)
‖fn+1‖∞ � 2
−n
(
r− d
p
)
.
Оцiнки знизу встановлено.
Теорему 1 доведено.
Розглянемо випадок, коли параметри p i q в задачi про оцiнку величин En
(
Br
p,θ
)
q
набувають
крайнiх значень, тобто 1 або∞.
Теорема 2. Нехай r > 0, 1 ≤ θ ≤ ∞. Тодi для (p, q) = {(1, 1), (∞,∞)} має мiсце порядкове
спiввiдношення
En(Br
p,θ)q � 2−nr. (19)
Доведення. Оскiльки має мiсце вкладення (1), то оцiнку зверху достатньо встановити для
класiв Br
p,∞ ≡ Hr
p . Як зазначалося, для f ∈ Hr
p з (10) випливає спiввiдношення ‖qs‖p � 2−sr.
Тодi, використавши нерiвнiсть Мiнковського, можемо записати
En(f)p ≤
∥∥∥∥∥f −
n−1∑
s=0
qs
∥∥∥∥∥
p
=
∥∥∥∥∥
∞∑
s=n
qs
∥∥∥∥∥
p
�
∞∑
s=n
‖qs‖p ≤
∞∑
s=n
2−sr ≤ 2−nr.
Оцiнку зверху в (19) встановлено.
Оцiнку знизу в (19) достатньо встановити для класу Br
p,1. Розглянемо функцiї
F2(x) = C112−nd(
r
d
+1)fn+1(x) при p =∞
i
F3(x) = C122−nrfn+1(x) при p = 1.
Як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що данi функцiї належать класу Br
p,1 при
певному виборi сталих C11 та C12. Окрiм того, Vn−1(F2, ·) = 0 i Vn−1(F3, ·) = 0. Тому,
враховуючи (17), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1432 С. Я. ЯНЧЕНКО
En
(
Br
∞,1
)
∞ ≥ En(F2)∞ = ‖F2 − Vn−1(F2)‖∞ =
= ‖F2‖∞ � 2−nd(
r
d
+1)‖fn+1‖∞ � 2−nr.
Аналогiчно
En
(
Br
1,1
)
1
≥ En(F3)1 = ‖F3‖1 � 2−nr.
Оцiнки знизу встановлено.
Теорему 2 доведено.
Наведемо кiлька коментарiв щодо одержаних результатiв.
Зауваження 1. Класи Br
p,θ(Rd), з точки зору знаходження точних за порядком оцiнок де-
яких апроксимативних характеристик, розглядалися в [10] i, таким чином, теореми 1 та 2 є
продовженням дослiджень у цьому напрямку. Крiм того, у випадку d = 1, 1 < p < ∞, оцiнку
(12) було встановлено в [11].
Зауваження 2. Iзотропнi класи Нiкольського – Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiн-
них з точки зору знаходження точних за порядком оцiнок деяких апроксимативних характерис-
тик дослiджувалися, зокрема, у роботах [12 – 14].
Зауваження 3. Розв’язку ряду екстремальних проблем теорiї апроксимацiї функцiй на пря-
мiй R присвячено роботи С. Б. Вакарчука [15, 16], де також проведено достатньо повний порiв-
няльний аналiз завершених результатiв, якi пов’язанi з розв’язком екстремальних задач теорiї
наближення в перiодичному випадку i випадку всiєї дiйсної осi.
Насамкiнець наведемо кiлька результатiв щодо наближення класiв типу Нiкольського –
Бєсова BΩ
p,θ(Rd), якi визначаються за допомогою функцiї Ω ∈ Φα,l [9, 17], де Ω — функцiя
типу модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови Барi – Стєчкiна (S) та (Sl). Якщо
Ω(t) = tr, 0 < r < l, то класи BΩ
p,θ(Rd) та Br
p,θ(Rd) збiгаються. Зазначимо, що у згаданих
роботах встановлено точнi за порядком оцiнки наближення даних класiв за допомогою цiлих
функцiй експоненцiального типу для ряду спiввiдношень мiж параметрами p i q. Використову-
ючи методи, якi були застосованi при доведеннi теорем 1 та 2, з вiдповiдною модифiкацiєю до
специфiки класiв BΩ
p,θ(Rd), а також результати робiт [9, 17], отримуємо такi твердження.
Теорема 1′. Нехай 1 ≤ p < ∞, Ω ∈ Φα,l, де α >
d
p
, l ∈ N. Тодi для 1 ≤ θ ≤ ∞ має мiсце
порядкове спiввiдношення
En(BΩ
p,θ)∞ � Ω(2−n)2
nd
p . (20)
Теорема 2′. Нехай Ω ∈ Φα,l, де α > 0, 1 ≤ θ ≤ ∞. Тодi, для (p, q) = {(1, 1), (∞,∞)} має
мiсце порядкове спiввiдношення
En(BΩ
p,θ)q � Ω(2−n). (21)
Зауваження 4. У зв’язку з оцiнками (20) та (21) зазначимо, що iзотропнi класи типу
Нiкольського – Бєсова BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних, з точки зору знаходжен-
ня точних за порядком оцiнок деяких апроксимативних характеристик, розглядалися у робо-
тах [18, 19].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ З IЗОТРОПНИХ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА. . . 1433
1. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1961. — 60. — C. 42 – 81.
2. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1951. — 38. — C. 244 – 278.
3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 c.
4. Никольский С. М. Об одном семействе функциональных пространств // Успехи мат. наук. — 1956. — 11,
вип. 6 (72). — C. 203 – 212.
5. Лизоркин П. И. Обобщенные гельдеровы пространства B
(r)
p,θ и их соотношения с пространствами Соболева
L
(r)
p // Сиб. мат. журн. — 1968. — 9, № 5. — C. 1127 – 1152.
6. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений
классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1969. — 105. — C. 89 – 167.
7. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1967. — 436 c.
8. Никольский С. М. Теоремы вложения для классов обобщенных функций // Сиб. мат. журн. — 1968. — 9, № 5. —
C. 1107 – 1126.
9. Миронюк В. В. Наближення функцiй з iзотропних класiв BΩ
1,θ(Rd) цiлими функцiями експоненцiального типу //
Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. — 10, № 1. —
С. 169 – 183.
10. Янченко С. Я. Наближення функцiй з класiв Бєсова цiлими функцiями у просторi Lq(Rd) // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2010. — 7, № 1. — С. 380 – 391.
11. Янченко С. Я. Наближення функцiй iз класiв Srp,θB у рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. — 2013. — 65,
№ 5. — С. 698 – 705.
12. Романюк А. С. Приближение изотропных классов Br
p,θ периодических функций многих переменных в про-
странстве Lq // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2008. — 5, № 1. — С. 263 – 278.
13. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики изотропных классов периодических функций многих пе-
ременных // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 4. — С. 513 – 523.
14. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 10. — С. 1348 – 1366.
15. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси. I //
Укр. мат. вiсн. — 2012. — 9, № 3. — С. 401 – 429.
16. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси.
II // Укр. мат. вiсн. — 2012. — 9, № 4. — С. 578 – 602.
17. Миронюк В. В. Наближення функцiй багатьох змiнних iз класiв BΩ
p,θ(Rd) цiлими функцiями експоненцiального
типу // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 2. — С. 244 – 258.
18. Стасюк С. А. Наближення класiв Bω
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних полiномами зi спектром в
кубiчних областях // Мат. студ. — 2011. — 35, № 1. — С. 66 – 73.
19. Дерев’янко Н. В. Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi
Lq // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 7. — С. 909 – 921.
Одержано 03.10.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
|