О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана
Обчислено точні значення ряду n-поперечників класу Функцій, що належать просторам Гарді і Бергмана, усереднені модулі неперервності яких мажоруються заданою функцією, що задовольняє деякі обмеження....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165870 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана / М.Р. Лангаршоев // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1366–1379. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165870 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658702020-02-17T01:27:23Z О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Лангаршоев, М.Р. Статті Обчислено точні значення ряду n-поперечників класу Функцій, що належать просторам Гарді і Бергмана, усереднені модулі неперервності яких мажоруються заданою функцією, що задовольняє деякі обмеження. We find the exact values of the series of n-widths for the classes of functions from the Hardy and Bergman spaces whose averaged moduli of continuity are majorized by a given function obeying certain restrictions. 2015 Article О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана / М.Р. Лангаршоев // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1366–1379. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165870 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Лангаршоев, М.Р. О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Український математичний журнал |
| description |
Обчислено точні значення ряду n-поперечників класу Функцій, що належать просторам Гарді і Бергмана, усереднені модулі неперервності яких мажоруються заданою функцією, що задовольняє деякі обмеження. |
| format |
Article |
| author |
Лангаршоев, М.Р. |
| author_facet |
Лангаршоев, М.Р. |
| author_sort |
Лангаршоев, М.Р. |
| title |
О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана |
| title_short |
О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана |
| title_full |
О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана |
| title_fullStr |
О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана |
| title_full_unstemmed |
О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана |
| title_sort |
о наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве бергмана |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165870 |
| citation_txt |
О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана / М.Р. Лангаршоев // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1366–1379. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT langaršoevmr onailučšihlinejnyhmetodahpribliženiâitočnyhznačeniâhpoperečnikovnekotoryhklassovanalitičeskihfunkcijvvesovomprostranstvebergmana |
| first_indexed |
2025-07-14T20:11:26Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:11:26Z |
| _version_ |
1837654487985029120 |
| fulltext |
УДК 517.5
М. Р. Лангаршоев (Тадж. нац. ун-т, Душанбе)
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ
И ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
We find the exact values of the series of n-widths for the classes of functions from the Hardy and Bergman spaces whose
averaged moduli of continuity are majored by a given function satisfying certain restrictions.
Обчислено точнi значення ряду n-поперечникiв класу функцiй, що належать просторам Гардi i Бергмана, усередненi
модулi неперервностi яких мажоруються заданою функцiєю, що задовольняє деякi обмеження.
1. Вопросы вычисления точных значений n-поперечников классов аналитических в круге
функций и построения наилучших линейных методов приближения в пространствах Харди Hq
и Бергмана Bq,γ , q ≥ 1, с весом γ ≥ 0 рассматривались во многих работах (см., например, [1 –
23] и приведенную там библиографию).
В данной работе продолжаются эти исследования, и здесь для классов аналитических в
круге функций W (r)
a X(Φ), r ∈ N (X — пространство Харди Hq, q ≥ 1, либо весовое простран-
ство Бергмана Bq,γ , q ≥ 1), у которых усредненные модули непрерывности r-х производных
мажорируются заданной функцией Φ, удовлетворяющей некоторым ограничениям, построены
наилучшие линейные методы приближения. Вычислены точные значения бернштейновских,
колмогоровских, гельфандовских и линейных n-поперечников.
Предварительно введем некоторые необходимые для дальнейшего обозначения и понятия.
Пусть Uρ := {z ∈ C : |z| < ρ}, где 0 < ρ ≤ 1, U1 = U, A(Uρ) — множество функций,
аналитических в круге Uρ. Для произвольной функции f ∈ A(Uρ) при 0 < ρ ≤ 1 положим
Mq(f, ρ) =
1
2π
2π∫
0
|f(ρeit)|qdt
1/q
, 1 ≤ q ≤ ∞,
где интеграл понимается в смысле Лебега. При q = ∞ дополнительно будем предполагать
функцию f ∈ A(U) непрерывной в замкнутом круге U = {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Через Hq, 1 ≤ q ≤ ∞, обозначим банахово пространство Харди, состоящее из функций
f ∈ A(U), для которых
‖f‖Hq = lim
ρ→1−0
Mq(f, ρ) <∞, 1 ≤ q ≤ ∞.
Известно, что норма функции f ∈ Hq реализуется на угловых граничных значениях, которые
далее обозначим f(t) := f(eit). При этом
‖f‖Hq =
1
2π
2π∫
0
|f(eit)|qdt
1/q
, 1 ≤ q ≤ ∞.
Через Lq := Lq(U), 1 ≤ q ≤ ∞, обозначим банахово пространство комплекснозначных в
U функций f, имеющих конечную норму
c© М. Р. ЛАНГАРШОЕВ, 2015
1366 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫХ . . . 1367
‖f‖Lq =
1
2π
∫∫
(U)
|f(z)|qdxdy
1/q
=
1
2π
1∫
0
2π∫
0
ρ|f(ρeit)|qdρdt
1/q
,
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Пусть γ(|z|) — некоторая неотрицательная не эквивалентная нулю интегрируемая в круге U
функция, Lq,γ := Lq(U, γ), 1 ≤ q ≤ ∞, — множество комплекснозначных в U функций f, для
которых γ1/qf ∈ Lq(U), ‖f‖Lq,γ = ‖γ1/qf‖Lq . Под Bq,γ := Bq(U, γ), 1 ≤ q < ∞, понимаем
банахово пространство функций f ∈ A(U), для которых f ∈ Lq,γ . При этом
‖f‖Bq,γ =
1∫
0
ργ(ρ)M q
q (f, ρ)dρ
1/q
.
Если, в частности, γ(ρ) ≡ 1, то Bq = Bq,1 является обычным пространством Бергмана.
Для любого r ∈ N производную r-го порядка функции f(z) по аргументу переменной z =
= ρ exp(it) обозначим через f (r)a (z) :=
∂rf(ρeit)
∂tr
, причем f
(1)
a (z) =
df
dz
· ∂z
∂t
= f
′
(z) · zi
и f
(r)
a (z) =
{
f
(r−1)
a (z)
}′
a
, если r ≥ 2. Понимая под X(U) любое из приведенных функ-
циональных пространств Hq или Bq,γ , через Xρ := Xρ(U), 0 < ρ ≤ 1, обозначим про-
странство функций f ∈ A(Uρ), для которых ‖f(z)‖Xρ(U) := ‖f(ρz)‖X(U) < ∞. Очевидно,
что Xρ(U) — банахово пространство, X1(U) = X(U). Через Pn−1 обозначим подпростран-
ство алгебраических полиномов комплексной переменной z, степень которых не превышает
n − 1. Через X(r)
a (U)
(
r ∈ Z+, X
(0)
a (U) ≡ X(U)
)
обозначим множество функций f ∈ A(U),
у которых f (r)a ∈ X(U). В соответствии с принятыми обозначениями, например, B
(r)
q,γ,ρ озна-
чает множество функций f ∈ A(Uρ), у которых f
(r)
a ∈ Bq,γ,ρ. Для произвольной функции
f(z) ∈ X(U) запишем модуль непрерывности в виде
ω(f, t)X(U) = sup
{∥∥∥f (zeih/2)− f(ze−ih/2)∥∥∥
X(U)
: |h| ≤ t
}
.
Пусть Φ(u) — неотрицательная неубывающая функция, определенная для u ≥ 0 и удовлет-
воряющая условию
lim{Φ(u) : u→ 0} = Φ(0) = 0.
Принимая Φ в качестве заданной мажоранты, введем в рассмотрение класс функций
W (r)
a X(Φ) =
f ∈ X(r)
a (U) :
1
h
h∫
0
ω
(
f (r)a , 2t
)
X(U)
dt ≤ Φ(h) ∀h ∈ (0, 2π]
.
2. Пусть X — произвольное банахово пространство, Ln ⊂ X — подпространство раз-
мерности n, Λ(f, Ln) — линейный непрерывный оператор, переводящий X в Ln. Наилучшее
приближение функции f ∈ X элементами ϕ ∈ Ln определим равенством
E(f, Ln)X := inf
{
‖f − ϕ‖X : ϕ ∈ Ln
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1368 М. Р. ЛАНГАРШОЕВ
а уклонение функции f ∈ X от линейного непрерывного оператора Λ(f, Ln) в метрике про-
странства X обозначим
E
(
f,Λ(f, Ln)
)
X
=
∥∥f − Λ(f, Ln)
∥∥
X
.
Для центрально-симметричного множества M ⊂ X полагаем
E(M, Ln)X := sup
{
E(f, Ln)X : f ∈M
}
,
E(M,Λ, Ln)X := sup
{
E
(
f,Λ(f, Ln)
)
X
: f ∈M
}
.
Величины
dn(M, X) = inf
{
E(M, Ln)X : Ln ⊂ X
}
,
δn(M, X) = inf
{
inf
{
E(M,Λ, Ln)X : Λ : X → Ln
}
: Ln ⊂ X
}
,
bn(M, X) = sup
{
sup
{
ε > 0 : εS ∩ Ln+1 ⊂M
}
: Ln+1 ⊂ X
}
,
dn(M, X) = inf
{
sup
{
‖f‖X : f ∈M ∩ Ln
}
: Ln ⊂ X
}
,
где S — единичный шар в X, а Ln — линейное подпространство коразмерности n из X,
называют соответственно колмогоровским, линейным, бернштейновским, гельфандовским n-
поперечниками. Указанные выше n-поперечники монотонно убывают по n и удовлетворяют
соотношениям [4, 7]
bn(M, X) ≤ dn(M, X)
dn(M, X)
≤ δn(M, X). (1)
Если существует линейный оператор Λ∗ : X → L∗n, для которого
δn(M, X) = E(M,Λ∗, L∗n),
то его называют наилучшим линейным методом приближения множества M в пространстве X.
Если существует подпространство L0
n+1 ⊂ X, для которого
bn(M, X) = sup{ε > 0 : εS ∩ L0
n+1 ⊂M},
то оно является экстремальным для бернштейновского n-поперечника. Аналогично, если су-
ществуют подпространства Ln ⊂ X, на которых достигаются внешние нижние грани в опреде-
лении остальных n-поперечников, то указанные подпространства называются экстремальными.
3. В работах [22] (случай X = Hq) и [23] (случай X = Bq,γ) доказано, что если мажоранта
Φ при любом n ∈ N и h ∈ (0, 2π] удовлетворяет условию
Φ(h)
Φ(π/(2n))
≥ π
2nh
nh∫
0
(sin t)∗dt, (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫХ . . . 1369
где
(sin t)∗ :=
{
sin t, если 0 < t ≤ π/2; 1, если t ≥ π/2
}
,
то для произвольного n ∈ N имеют место равенства
bn
(
W (r)
a X(Φ), X(U)
)
= dn
(
W (r)
a X(Φ), X(U)
)
=
= E
(
W (r)
a X(Φ),Pn−1
)
X(U)
=
π
4nr
Φ
( π
2n
)
. (3)
Там же доказано, что условию (2) удовлетворяет, например, Φ∗(u) = uπ/2−1. Наша цель состоит
в распространении результата (3) на более общее пространство Xρ(U), 0 < ρ ≤ 1, а именно
справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть r ∈ Z+ и мажоранта Φ удовлетворяет ограничению (2). Тогда для
произвольной n ∈ N и 0 < ρ ≤ 1 имеют место равенства
bn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
= dn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
=
= E
(
W (r)
a X(Φ),Pn−1
)
Xρ(U)
=
πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (4)
Доказательство. Действительно, воспользуемся тем фактом, что для произвольной функ-
ции f ∈ Xρ(U) при любых n ∈ N и 0 < ρ ≤ 1 выполняется неравенство [12] (случай X = Hq),
[19] (случай X = Bq,γ)
E (f,Pn−1)Xρ(U) ≤ ρ
nE (f,Pn−1)X(U) . (5)
Если функция f принадлежитW (r)
a X(Φ), то, переходя в обеих частях неравенства (5) к верхним
граням по всем функциям класса, с учетом (3) получаем
E
(
W (r)
a X(Φ),Pn−1
)
Xρ(U)
≤ ρnE
(
W (r)
a X(Φ),Pn−1
)
X(U)
≤ πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
.
Учитывая полученное неравенство и соотношения (1) между n-поперечниками для бернштей-
новского и колмогоровского n-поперечников, записываем оценки сверху
bn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
≤ dn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
≤
≤ E
(
W (r)
a X(Φ),Pn−1
)
Xρ(U)
≤ πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (6)
С целью получения оценки снизу указанных n-поперечников в множестве Pn ∩Xρ(U) введем
в рассмотрение шар
Sn+1 :=
{
pn ∈Pn : ‖pn‖Xρ(U) ≤
πρn
4nr
Φ
( π
2n
)}
(7)
и докажем включение Sn+1 ⊂W (r)
a X(Φ). Воспользуемся неравенством
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1370 М. Р. ЛАНГАРШОЕВ
ω
(
(pn)(r)a ; 2t
)
X(U)
≤ 2nr(sinnt)∗‖pn‖X(U), (8)
справедливым для произвольного полинома pn ∈Pn, которое в случае X = Hq доказано в [5],
а в случае X = Bq,γ — в [19]. Для произвольных 0 < ρ ≤ 1 и полинома pn(z) ∈ Pn запишем
равенство [16]
pn(ρeit) =
1
2πρn
2π∫
0
pn
(
Rρei(t−τ)
)
einτ
(
1 + 2
∞∑
k=1
ρk cos kτ
)
dτ, (9)
которое легко получить непосредственной проверкой. Применив интегральное неравенство
Минковского с учетом определения норм в Xρ(U), из (9) получим неравенство [16, с. 1163]
‖pn‖X(U) ≤ ρ−n‖pn‖Xρ(U). (10)
Используя неравенство (10), записываем (8) в виде
ω
(
(pn)(r)a ; 2t
)
X(U)
≤ 2nr(sinnt)∗ρ
−n‖pn‖Xρ(U). (11)
Учитывая определение класса W (r)
a X(Φ) и ограничение (2), из неравенства (11) для произволь-
ного pn ∈ Sn+1 имеем
1
h
h∫
0
ω
(
(pn)(r)a ; 2t
)
X(U)
dt ≤ 2nrρ−n‖pn‖Xρ(U)
1
h
h∫
0
(sinnt)∗dt ≤
≤ Φ
( π
2n
) π
2nh
nh∫
0
(sin t)∗dt ≤ Φ(h),
откуда и следует включение Sn+1 ⊂W (r)
a X(Φ). Из этого включения и определения бернштей-
новского n-поперечника следуют оценки снизу
dn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
≥ bn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
≥
≥ bn (Sn+1, Xρ(U)) ≥ πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (12)
Сопоставляя оценки сверху (6) и оценки снизу (12), получаем требуемые равенства (4).
Теорема 1 доказана.
Далее мы докажем, что теорема 1 справедлива также для гельфандовского и линейного
n-поперечников. Для доказательства этого факта нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Пусть мажоранта Φ удовлетворяет условию (2). Тогда для произвольной функции
f(z) ∈W (r)
a X(Φ), r ∈ N, при любом n ∈ N и 0 < ρ ≤ 1 выполняется неравенство
‖f −Lρ,r−1(f,Pn−1)‖Xρ(U) ≤
πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
, (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫХ . . . 1371
в котором линейный полиномиальный оператор Lρ,r−1(f,Pn−1) определяется равенством
[16, с. 1158]
Lρ,r−1(f,Pn−1; z) =
= c0 +
n−1∑
k=1
{
1 +
(
k
2n− k
)r−1
ρ2(n−k)
[
γk,n
(
1−
(
k
2n− k
)2
)
− 1
]}
ckz
k,
(14)
γk,n = n
π/(2n)∫
0
cos kt cosntdt, k = 1, 2, . . . , n− 1,
и является наилучшим линейным методом приближения класса W
(r)
a X(Φ) в метрике про-
странства Xρ(U). При этом существует функция f0(z) ∈ W
(r)
a X(Φ), удовлетворяющая
условию (2), для которой неравенство (13) обращается в равенство.
Доказательство. В [16] (случай X = Hq), [23] (случай X = Bq,γ) доказано, что для
произвольной функции f ∈ X(r)
a (U) выполняется неравенство
∥∥f −Lρ,r−1(f,Pn−1)
∥∥
Xρ(U)
≤ ρn
2nr−1
π/(2n)∫
0
ω
(
f (r)a ; 2t
)
X(U)
dt, (15)
обращающееся в равенство для функции f0(z) = azn, a ∈ C, n ∈ N. Если предположить, что
f ∈W (r)
a X(Φ), то из правой части (15) непосредственно получаем
ρn
2nr−1
π/(2n)∫
0
ω
(
f (r)a ; 2t
)
X(U)
dt =
πρn
4nr
2n
π
π/(2n)∫
0
ω
(
f (r)a ; 2t
)
X(U)
dt
≤ πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (16)
Из соотношений (15) и (16) следует неравенство (13). Для завершения доказательства леммы
остается показать, что в классе W (r)
a X(Φ) существует функция, удовлетворяющая ограниче-
нию (2), для которой неравенство (13) обращается в равенство. Рассмотрим функцию
f0(z) =
πρn
4(in)r
Φ
( π
2n
) zn
‖zn‖Xρ(U)
, 0 < ρ ≤ 1.
Поскольку ‖f0‖Xρ(U) =
πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
, то функция f0 принадлежит Sn+1, где шар Sn+1 опре-
делен соотношением (7) и, следовательно, функция f0(z) удовлетворяет ограничению (2) и
принадлежит классу W (r)
a X(Φ), и, кроме того, в силу вида оператора (14) выполняется равен-
ство Lρ,r−1(f0,Pn−1) ≡ 0. Поэтому имеем∥∥f0 −Lρ,r−1(f0,Pn−1)
∥∥
Xρ(U)
= ‖f0‖Xρ(U) =
πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (17)
Лемма доказана.
Отметим, что равенство (17) означает, что линейный полиномиальный оператор (14) яв-
ляется наилучшим линейным методом приближения класса W (r)
a X(Φ) в метрике простран-
ства Xρ(U).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1372 М. Р. ЛАНГАРШОЕВ
Теорема 2. Если мажоранта Φ удовлетворяет условию (2), то при любых n, r ∈ N и
0 < ρ ≤ 1 справедливы равенства
dn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
= δn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
=
= E
(
W (r)
a X(Φ),Λρ,r−1,Pn−1
)
Xρ(U)
=
πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (18)
Доказательство. Заметим, что из неравенство (13) и равенства (17) получаем
E
(
W (r)
a X(Φ),Λρ,r−1,Pn−1
)
Xρ(U)
=
= sup
{∥∥f −Lρ,r−1(f,Pn−1)
∥∥
Xρ(U)
: f ∈W (r)
a X(Φ)
}
=
=
∥∥f0 −Lρ,r−1(f0,Pn−1)
∥∥
Xρ(U)
=
πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (19)
Из неравенства (13) и равенства (19) следует, что если мажоранта Φ удовлетворяет ограниче-
нию (2), то для линейного n-поперечника справедлива оценка сверху
δn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
≤
≤ E
(
W (r)
a X(Φ),Λρ,r−1,Pn−1
)
Xρ(U)
=
πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (20)
Аналогичную оценку получим для гельфандовского n-поперечника. Действительно, для произ-
вольной функции f ∈W (r)
a X(Φ)∩Ln∗ из соотношений ck(f) =
f (k)(0)
k!
= 0, k = 0, 1, . . . , n−1, в
силу представления линейного полиномиального оператора (14) следует, что
Lρ,r−1(f,Pn−1; z) ≡ 0. Поэтому из неравенства (13) и определения гельфандовского n-
поперечника получаем
dn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
≤
≤ sup
{
‖f‖Xρ(U) : f ∈W (r)
a X(Φ) ∩ Ln∗
}
≤ πρn
4nr
Φ
( π
2n
)
. (21)
Сопоставляя неравенства (20) и (21) с неравенствами (12), в силу (1) получаем требуемые
равенства (18), что и завершает доказательство теоремы 2.
4. Следуя С. Б. Вакарчуку [9], символом P̃n−1 обозначим n-мерное подпространство, по-
рожденное базисом
ϕ̃k(z) =
{
1−
(
k/(2n− k)
)r−1[
1− γn,k(1− k2/(2n− k)2)
]
|z|2(n−k)
}
zk, k = 0, n− 1.
Для произвольной функции f(z) =
∑∞
k=0
ck(f)zk ∈ X(U), где ck(f) — ее коэффициенты
Тейлора, полагаем
Ṽr−1
(
f, P̃n; z
)
=
n−1∑
k=0
ck(f)ϕ̃k(z).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫХ . . . 1373
Теорема 3. Пусть мажоранта Φ удовлетворяет условию (2). Тогда для любых n, r ∈ N
выполнены соотношения
λn
(
W (r)
a Hq(Φ),Lq,γ
)
= λn
(
W (r)
a Hq(Φ), Bq,γ
)
=
= E
(
W (r)
a Hq(Φ), P̃n−1
)
Lq,γ
= E
(
W (r)
a Hq(Φ), Ṽr−1, P̃n−1
)
Lq,γ
=
=
π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
1/q
, (22)
где λn(·) — любой из n-поперечников bn(·), dn(·), dn(·) или δn(·), а λn(·) — один из поперечников
dn(·) либо bn(·).
Доказательство. Отметим, что для произвольной функции f(z) ∈ H(r)
q,a выполняется нера-
венство [16, с. 1164]
Mq
(
f − Ṽr−1(f, P̃n−1); ρ
)
≤ ρn
2nr−1
π/(2n)∫
0
ω
(
f (r)a , 2t
)
Hq
dt. (23)
В силу определения нормы пространства Lq,γ из (23) получаем
E
(
W (r)
a Hq(Φ), Ṽr−1, P̃n−1
)
Lq,γ
≤ π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
1/q
. (24)
Учитывая соотношения (1) между n-поперечниками, с учетом (24) записываем оценки сверху
λn
(
W (r)
a Hq(Φ),Lq,γ
)
≤ π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
1/q
. (25)
Заметим, что пространствоBq,γ изоморфно и изометрично вложено в пространство Lq,γ , поэто-
му на основании определения и свойств бернштейновского и гельфандовского n-поперечников
запишем равенства [7] (гл. II)
bn
(
W (r)
a Hq(Φ), Bq,γ
)
= bn
(
W (r)
a Hq(Φ),Lq,γ
)
, (26)
dn
(
W (r)
a Hq(Φ), Bq,γ
)
= dn
(
W (r)
a Hq(Φ),Lq,γ
)
. (27)
Из равенств (26), (27) и неравенства (25) следуют оценки сверху всех указанных выше n-
поперечников.
Для получения оценки снизу введем в рассмотрение (n+ 1)-мерный шар полиномов
S∗n+1 =
pn(z) ∈Pn : ‖pn‖Bq,γ ≤
π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
1/q
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1374 М. Р. ЛАНГАРШОЕВ
и докажем, что S∗n+1 ⊂W
(r)
a Hq(Φ).
Воспользуемся тем, что для произвольного полинома pn(z) ∈ Pn при всех 1 ≤ q ≤ ∞ и
любых n, r ∈ N имеет место неравенство [20]
∥∥∥(pn)(r)a
∥∥∥
Hq
≤ nr
1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
−1/q ‖pn‖Bq,γ , (28)
которое обращается в равенство для полинома qn(z) = azn, a ∈ C. Л. В. Тайковым [5] доказано,
что для произвольной pn(z) ∈Pn выполняется неравенство∥∥∥(pn)(r)a (x+ t)− (pn)(r)a (x− t)
∥∥∥
Hq
≤ 2(sinnt)∗
∥∥∥(pn)(r)a
∥∥∥
Hq
,
из которого следует, что
ω
(
(pn)(r)a , 2t
)
Hq
≤ 2(sinnt)∗
∥∥∥(pn)(r)a
∥∥∥
Hq
. (29)
Учитывая неравенство (28), записываем (29) в виде
ω
(
(pn)(r)a , 2t
)
Hq
≤ 2nr(sinnt)∗‖pn‖Bq,γ
1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
−1/q . (30)
Используя неравенство (30) и определение класса W (r)
a Hq(Φ), для произвольного полинома
pn(z) ∈ S∗n+1 с учетом условия (2) получаем
1
h
h∫
0
ω
(
(pn)(r)a , 2t
)
Hq
dt ≤ 2nr
1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
−1/q ‖pn‖Bq,γ 1
h
h∫
0
(sinnt)∗dt ≤
≤ Φ
( π
2n
) π
2nh
nh∫
0
(sin t)∗dt ≤ Φ(h).
Последнее неравенство означает, что S∗n+1 ⊂W
(r)
a Hq(Φ).Отсюда и из определения n-поперечника
Бернштейна в силу (1) имеем
λn
(
W (r)
a Hq(Φ), Bq,γ
)
≥ bn
(
W (r)
a Hq(Φ), Bq,γ
)
≥
≥ bn
(
S∗n+1, Bq,γ
)
≥ π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
1/q
. (31)
Требуемое равенство (22) получаем путем сопоставления оценок сверху (24), (25) и снизу (31),
используя при этом формулы (26), (27).
Теорема 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫХ . . . 1375
5. В экстремальных задачах теории приближения часто возникает необходимость найти точ-
ное значение верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах периодиче-
ских функций (см., например, [12]). Аналогичным образом определенный интерес представляет
нахождение точных верхних граней модулей коэффициентов Тейлора на классах аналитических
в круге функций, принадлежащих пространствам Hq и Bq,γ , 1 ≤ q ≤ ∞.
Если M — некоторый класс функций, принадлежащий пространствам Hq или Bq,γ , то
положим
Ln(M) := sup {|cn(f)| : f ∈M} . (32)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Для любых n, r ∈ N, 1 ≤ q ≤ ∞ при выполнении условия (2) справедливы
равенства
Ln
(
W (r)
a Hq(Φ)
)
=
π
4nr
Φ
( π
2n
)
, (33)
Ln
(
W (r)
a Bq,γ(Φ)
)
=
π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
−1/q . (34)
Доказательство. Чтобы доказать равенство (33), коэффициенты Тейлора cn(f) произволь-
ной функции f ∈ A(U) представим в виде
cn(f) =
1
2πi
∫
|ς|=ρ
f(ς)ς−n−1dς =
=
1
2πρn
2π∫
0
[
f(ρeit)−Lρ,r−1(f,Pn−1; ρe
it)
]
e−intdt, (35)
где Lρ,r−1(f,Pn−1; ρe
it) — линейный оператор, определенный равенством (14). Из соотноше-
ния (35) с помощью неравенства Гельдера и равенства (19) для произвольной функции f(z) ∈
∈W (r)
a Hq(Φ) получаем
|cn(f)| ≤ ρ−nE
(
W (r)
a Hq(Φ),Lρ,r−1;Pn−1
)
Hq,ρ
≤ π
4nr
Φ
( π
2n
)
,
откуда, учитывая (32), записываем оценку сверху
Ln
(
W (r)
a Hq(Φ)
)
≤ π
4nr
Φ
( π
2n
)
. (36)
Для получения оценки снизу величины Ln
(
W
(r)
a Hq(Φ)
)
рассмотрим функцию
f1(z) =
π
4(in)r
Φ
( π
2n
)
zn.
Поскольку ‖f1‖Hq =
π
4nr
Φ
( π
2n
)
, то с учетом доказательства теоремы 1 f1(z) ∈ Sn ⊂
⊂W (r)
a Hq(Φ). Используя соотношение (32), отсюда получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1376 М. Р. ЛАНГАРШОЕВ
Ln
(
W (r)
a Hq(Φ)
)
≥ |cn(f1)| =
π
4nr
Φ
( π
2n
)
. (37)
Из сравнения неравенств (36) и (37) следует (33). Для доказательства равенства (34) восполь-
зуемся равенством [16]
cn(f) =
1
2π(ρR)n
2π∫
0
[
f(ρReiτ )−Lρ,r−1(f,Pn−1; ρRe
iτ )
]
e−inτdτ, (38)
где 0 < ρ < R ≤ 1. Из равенства (38), как и выше, используя неравенство Гельдера, имеем
(ρR)n|cn(f)| ≤Mq (f −Lρ,r−1(f,Pn−1); ρR) . (39)
В силу определения нормы в Bq,γ , из неравенств (39) и (13) для произвольной функции f(z) ∈
∈W (r)
a Bq,γ(Φ) находим
Rn
1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
1/q
|cn(f)| ≤
≤
1∫
0
ργ(ρ)M q
q
(
f −Lρ,r−1(f,Pn−1); ρR
)
dρ
1/q
≤
≤ E
(
f,Lρ,r−1(f,Pn−1)
)
Bq,γ,R
≤ πRn
4nr
Φ
( π
2n
)
.
Отсюда получаем оценку сверху
Ln
(
W (r)
a Bq,γ(Φ)
)
≤ π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
−1/q . (40)
Для получения оценки снизу введем в рассмотрение функцию
f2(z) =
π
4(in)r
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
−1/q zn.
Простым подсчетом легко проверить, что функция f2(z) ∈W (r)
a Bq,γ(Φ). Кроме того,
Ln
(
W (r)
a Bq,γ(Φ)
)
≥ |cn(f2)| =
π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
−1/q . (41)
Требуемое равенство (34) получаем, сравнивая неравенства (40) и (41).
6. Полученные в предыдущих пунктах результаты можно интерпретировать как задачи
оптимального восстановления и кодирования в постановке Н. П. Корнейчука [25, с. 375 – 384].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫХ . . . 1377
Пусть в нормированном функциональном пространстве X задан набор Mn := {µ1, µ2, . . .
. . . , µn} определенных на X функционалов µk, k = 1, n. Множество Mn можно рассматривать
как метод кодирования, сопоставивший функции f ∈ X вектор T (f,Mn) = {µ1(f), . . . , µn(f)}.
Задачу восстановления функции f по информации T решают, сопоставляя вектору T (f,Mn)
функцию
A(f,Mn;Gn,Γn : z) =
n∑
k=1
γkµk(f)gk(z), (42)
где Gn = {gk(z)}nk=1 и Γn = {γk}nk=1 ∈ Cn — соответственно произвольные система линей-
но независимых функций из X и набор числовых коэффициентов, позволяющий наилучшим
образом воспроизводить элементы класса M ⊂ X. Погрешность восстановления на классе M
считают равной
Rn(M;Mn, Gn) =
= inf
{
sup
{∥∥f −A(f ;Mn, Gn,Γn)
∥∥
Bq,γ
: f ∈M
}
: Γn ⊂ Cn
}
(43)
и полагают
Rn(M, X) = inf
{
R(M;Mn, Gn) : Mn, Gn
}
.
Пусть M
′
n — набор заданных на X линейных ограниченных функционалов. Тогда рассматри-
вают следующую характеристику:
R
′
n(M, X) = inf{R(M;M
′
n, Gn) : M
′
n, Gn}.
Метод восстановления (
o
Mn,
o
Gn,
o
Γn) {
o
M
′
n,
o
Gn,
o
Γn}, для которого
Rn(M, X) = sup
{
‖f −A(f,
o
Mn,
o
Gn,
o
Γn)‖X : f ∈M
}
,{
R
′
n(M, X) = sup
{
‖f −A(f,
o
M
′
n,
o
Gn,
o
Γn)‖X : f ∈M
}}
,
называют оптимальным (оптимальным линейным) методом восстановления функций из класса
M. Справедливы соотношения [25, с. 377]
R
′
n(M, X) = λn(M, X), Rn(M, X) ≥ dn(M, X), (44)
причем если M = M̃⊗ L, где M̃ — компакт, а L — конечномерное подпространство, то в (44)
везде имеет место знак равенства.
Наряду с (43) рассматривают также величину
K(M,Mn) = sup
{
‖f1 − f2‖X : f1, f2 ∈M, T (f1,Mn) = T (f2,Mn)
}
,
которую можно интерпретировать как погрешность метода кодирования на классе M с помо-
щью фиксированного набора функционалов Mn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1378 М. Р. ЛАНГАРШОЕВ
Полагая
νn(M, X) = inf{K(M,Mn) : Mn},
где нижняя грань берется по всем наборам Mn линейных функционалов, определенных на
сопряженном пространстве X∗, получаем
νn(M, X) ≤ 2R
′
n(M, X),
а если M — центрально-симметричное и выпуклое множество, то
νn(M, X) = 2dn(M, X).
Теорема 5. При выполнении условия (2) наилучший метод кодирования функций из класса
W
(r)
a X(Φ) в банаховом пространстве Xρ(U) доставляет набор
o
Mn функционалов
o
µk(f) = ck(f), k = 0, n− 1. (45)
Оптимальным линейным методом восстановления
o
M
′
n,
o
Gn,
o
Γn функций f(z) из классаW (r)
a X(Φ)
в пространствеXρ(U) является определенный в пункте 4 линейный метод Lρ,r−1(f,Pn−1; z).
При этом для любого n ∈ N имеем
νn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
= Rn
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
=
= R
′
n
(
W (r)
a X(Φ), Xρ(U)
)
=
πρn
2nr
Φ
( π
2n
)
.
Теорема 6. При выполнении условия (2) оптимальным линейным методом восстановления
элементов f(z) ∈ W (r)
a Hq(Φ) в банаховом пространстве Lq,γ является определенный в пунк-
те 4 линейный метод Ṽr−1(f, P̃n, z), а наилучшим методом кодирования — набор функциона-
лов (45). При этом для любого n ∈ N справедливы равенства
1
2
λn
(
W (r)
a Hq(Φ),Lq,γ
)
= Rn
(
W (r)
a Hq(Φ),Lq,γ
)
=
= R
′
n
(
W (r)
a Hq(Φ),Lq,γ
)
=
π
4nr
Φ
( π
2n
) 1∫
0
ρnq+1γ(ρ)dρ
1/q
.
1. Бабенко К. И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1958. – 22. – С. 631 – 640.
2. Тайков Л. В. О наилучших линейных методах приближения функций классов Br и Hr // Успехи мат. наук. –
1963. – 18, № 4. – С. 183 – 189.
3. Двейрин М. З. Поперечники и ε-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория
функций, функцион. анализ и их прил. – 1975. – Вып. 23. – С. 32 – 46.
4. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. – 324 с.
5. Тайков Л. В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. – 1977. – 22, № 2. –
С. 285 – 294.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫХ . . . 1379
6. Двейрин М. З., Чебаненко И. В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических
функций // Теория отображений и приближение функций. – Киев: Наук. думка, 1983. – С. 62 – 73.
7. Pinkus A. n-Widths in approximation theory – Berlin: Springer-Verlag, 1985. – 252 p.
8. Айнуллоев Н., Тайков Л. В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единич-
ном круге функций // Мат. заметки. – 1986. – 40, № 3. – С. 341 – 351.
9. Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространствах Харди H2 // Укр.
мат. журн. – 1989. – 41, № 6. – С. 799 – 803.
10. Фарков Ю. А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Cn // Успехи мат. наук. – 1990. – 45, № 5. –
С. 197 – 198.
11. Fisher S. D., Stessin M. I. The n-width of the unit ball ofHq // J. Approxim. Theory. – 1991. – 67, № 3. – P. 347 – 356.
12. Вакарчук С. Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге
функций // Мат. заметки. – 1995. – 57, № 1. – С. 21 – 27.
13. Вакарчук С. Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге
функций // Мат. заметки. – 1999. – 65, № 2. – С. 186 – 193.
14. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве
Харди H2 // Мат. заметки. – 2000. – 68, № 5. – С. 796 – 800.
15. Вакарчук С. Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные
методы приближения // Мат. заметки. – 2002. – 72, № 5. – С. 665 – 669.
16. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости // Укр.
мат. журн. – 2004. – 56, № 9. – С. 1155 – 1171.
17. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в
весовых пространствах Бергмана B2,γ // Докл. РАН. – 2007. – 412, № 4. – С. 466 – 469.
18. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. О наилучших линейных методах приближения функций классов Л. В. Тайкова
в пространствах Харди Hq,ρ, q ≥ 1, 0 < ρ ≤ 1 // Мат. заметки. – 2009. – 85, № 3. – С. 323 – 329.
19. Шабозов М. Ш., Лангаршоев М. Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом простран-
стве Бергмана // Изв. АН Респ. Таджикистан. Отд-ние физ.-мат., хим., геол. и техн. наук. – 2009. – 3(136). –
С. 7 – 23.
20. Вакарчук С. Б., Шабозов М. Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Мат. сб. – 2010. –
201, № 8. – С. 3 – 22.
21. Шабозов М. Ш., Лангаршоев М. Р. О наилучших линейных методах и значениях поперечников некоторых
классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Докл. РАН. – 2013. – 450, № 5. – С. 518 –
521.
22. Юсупов Г. А., Миркалонова М. М. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге
функций // Докл. АН Респ. Таджикистан. – 2013. – 56, № 11. – С. 869 – 876.
23. Шабозов М. Ш., Лангаршоев М. Р. Наилучшие линейные методы и значения поперечников некоторых классов
аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Изв. АН Респ. Таджикистан. Отд-ние физ.-мат.,
хим., геол. и техн. наук. – 2011. – 2(143). – С. 53 – 62.
24. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. – Киев: Наук. думка, 1981. –
339 с.
25. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
Получено 31.10.14,
после доработки — 05.05.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
|