Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II
Розглянуто неперервні функції на двовимірних поверхнях, які відповідають наступним умовам: множина їх локальних єкстрємумів дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то існують її окіл i число nЄN такі, що функція в цьому околі топологічно спряжена до Re zn в околі нуля. Нехай для кожної f:M...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165872 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II / Е.А. Полулях // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1398–1408. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165872 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658722020-02-17T01:27:42Z Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II Полулях, Е.А. Статті Розглянуто неперервні функції на двовимірних поверхнях, які відповідають наступним умовам: множина їх локальних єкстрємумів дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то існують її окіл i число nЄN такі, що функція в цьому околі топологічно спряжена до Re zn в околі нуля. Нехай для кожної f:M²→R є фактор-простором M² по розбиттю, що утворене компонентами множин рівня функції f. Відомо, що для компактного M2 простір ΓK−R(f) є топологічним графом. У першій частині статті визначено поняття графа з черенками, яке є узагальненням топологічного графа. Для некомпактного M² наведено три умови, при виконанні яких простір ΓK−R(f) є графом з черенками. У другій частині доведено, що у випадку M²=R² ці умови є також необхідними. У загальному випадку одна з умов не є необхідною. Наведено відповідний приклад. We consider continuous functions on two-dimensional surfaces satisfying the following conditions: they have a discrete set of local extrema and if a point is not a local extremum, then there exist its neighborhood and a number n ∈ ℕ such that the function restricted to this neighborhood is topologically conjugate to Re z n in a certain neighborhood of zero. Given f : M² → ℝ, let Γ K−R (f) be a quotient space of M² with respect to its partition formed by the components of level sets of the function f. It is known that the space Γ K−R (f) is a topological graph if M 2 is compact. In the first part of the paper, we introduced the notion of graph with stalks that generalizes the notion of topological graph. For noncompact M² , we present three conditions sufficient for Γ K−R (f) to be a graph with stalks. In the second part, we prove that these conditions are also necessary in the case M² = ℝ² . In the general case, one of our conditions is not necessary. We provide an appropriate example. 2015 Article Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II / Е.А. Полулях // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1398–1408. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165872 515.162, 517.51, 517.27 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Полулях, Е.А. Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II Український математичний журнал |
| description |
Розглянуто неперервні функції на двовимірних поверхнях, які відповідають наступним умовам: множина їх локальних єкстрємумів дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то існують її окіл i число nЄN такі, що функція в цьому околі топологічно спряжена до Re zn в околі нуля. Нехай для кожної f:M²→R є фактор-простором M² по розбиттю, що утворене компонентами множин рівня функції f. Відомо, що для компактного M2 простір ΓK−R(f) є топологічним графом. У першій частині статті визначено поняття графа з черенками, яке є узагальненням топологічного графа. Для некомпактного M² наведено три умови, при виконанні яких простір ΓK−R(f) є графом з черенками. У другій частині доведено, що у випадку M²=R² ці умови є також необхідними. У загальному випадку одна з умов не є необхідною. Наведено відповідний приклад. |
| format |
Article |
| author |
Полулях, Е.А. |
| author_facet |
Полулях, Е.А. |
| author_sort |
Полулях, Е.А. |
| title |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II |
| title_short |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II |
| title_full |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II |
| title_fullStr |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II |
| title_full_unstemmed |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II |
| title_sort |
графы кронрода – риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. ii |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165872 |
| citation_txt |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II / Е.А. Полулях // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1398–1408. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT polulâhea grafykronrodaribafunkcijnanekompaktnyhdvumernyhpoverhnostâhii |
| first_indexed |
2025-07-14T20:11:52Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:11:52Z |
| _version_ |
1837654527716622336 |
| fulltext |
УДК 515.162, 517.51, 517.27
Е. А. Полулях (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ
НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. II
We consider continuous functions on two-dimensional surfaces satisfying the following conditions: they have а discrete set
of local extrema and if a point is not a local extremum, then there exist its neighborhood and a number n ∈ N such that the
function restricted to this neigbourhood is topologically conjugate to Re zn in a certain neigbourhood of zero. Given f :
M2 → R, let ΓK−R(f) be a quotient space of M2 with respect to its partition formed by the components of level sets of
the function f . It is known that the space ΓK−R(f) is a topological graph if M2 is compact. In the first part of the paper,
we define the notion of graph with stalks that generalizes the notion of topological graph. For noncompact M2, we present
three conditions sufficient for ΓK−R(f) to be a graph with stalks. In the second part, we prove that these conditions are
also necessary in the case M2 = R2. In general case, one of our conditions is not necessary. We provide an appropriate
example.
Розглянуто неперервнi функцiї на двовимiрних поверхнях, якi вiдповiдають наступним умовам: множина їх локаль-
них екстремумiв дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то iснують її окiл i число n ∈ N такi, що
функцiя в цьому околi топологiчно спряжена до Re zn в околi нуля. Нехай для кожної f : M2 → R ΓK−R(f) є
фактор-простором M2 по розбиттю, що утворене компонентами множин рiвня функцiї f . Вiдомо, що для компакт-
ного M2 простiр ΓK−R(f) є топологiчним графом. У першiй частинi статтi визначено поняття графа з черенками,
яке є узагальненням топологiчного графа. Для некомпактного M2 наведено три умови, при виконаннi яких простiр
ΓK−R(f) є графом з черенками. У другiй частинi доведено, що у випадку M2 = R2 цi умови є також необхiдними.
У загальному випадку одна з умов не є необхiдною. Наведено вiдповiдний приклад.
Данная статья является продолжением работы [1].
1. Определения и формулировки результатов. Пусть f — непрерывная функция на дву-
мерной поверхности M2, удовлетворяющая следующим свойствам:
(f1) множество локальных экстремумов f дискретно;
(f2) если точка x ∈ M2 не является локальным экстремумом f, то существует ее окрест-
ность Ux, в которой f топологически сопряжена с функцией Re zn в окрестности нуля для
некоторого n ∈ N.
Определение 1. Назовем точки, в окрестности которых f сопряжена с Re z, регуляр-
ными точками f. Точки, для которых f сопряжена с zn, n > 1, назовем точками ветвления
множества уровня. Точки плоскости, которые не являются регулярными, будем называть
сингулярными точками f.
Рассмотрим разбиение F поверхности на компоненты множеств уровня f. Элементы раз-
биения F будем называть регулярными, если они не содержат сингулярных точек f. Элементы
разбиения F, которые не являются регулярными, назовем сингулярными.
Фактор-пространство поверхности по разбиению F дальше будет обозначаться через ΓK−R(f).
Обозначим через πf : M2 → ΓK−R(f) отображение проекции.
Поскольку f отображает элементы разбиения F в точки пространства R, существует (см. [2])
непрерывное фактор-отображение f̂ : ΓK−R(f)→ R такое, что f = f̂ ◦ πf .
Наша цель — выделить условия, при которых для некомпактногоM2 пространство ΓK−R(f)
имеет простое строение.
Рассмотрим следующие условия:
(k1) Компоненты множества уровня f могут содержать не более конечного количества
сингулярных точек.
c© Е. А. ПОЛУЛЯХ, 2015
1398 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. II 1399
(k2) Пусть K — объединение всех компонент множеств уровня f, которые содержат сингу-
лярные точки. Для любого компакта C ⊂M2 множество f(C ∩K) конечно.
(k3) Пусть для a ∈ f(M2) точки x1, x2 ∈M2 принадлежат разным компонентам множества
уровня f−1(a). Тогда найдутся открытые окрестности U1 3 x1 и U2 3 x2 такие, что для
каждого b ∈ f(M2) и компоненты Fb множества уровня f−1(b) выполняется соотношение
(Fb ∩ U1 = ∅) ∨ (Fb ∩ U2 = ∅).
Определение 2. Скажем, что непрерывная функция f : M2 → R, удовлетворяющая усло-
виям (f1) и (f2), является K-R–простой, если она удовлетворяет также условиям (k1) – (k3).
Напомним некоторые определения и конструкции.
Скажем, что граф локально конечен, если каждая его вершина инцидентна конечному числу
ребер. Другие определения из теории графов можно найти, например, в [3].
Пусть G — локально конечный (не обязательно конечный) граф без петель. Рассмотрим G
как одномерный предсимплициальный комплекс, нульмерными симплексами которого являют-
ся вершины, а одномерными симплексами — ребра (см. [4]). Отметим, что если граф не со-
держит кратных ребер, то он является симплициальным комплексом. Рассмотрим абстрактный
полиэдр |G|, соответствующий этому комплексу. Топология на |G| порождается покрытием, со-
стоящим из замкнутых симплексов комплекса G (подмножество A ⊂ |G| является замкнутым,
если и только если его пересечение с любым ребром G замкнуто). Далее, говоря о топологии
на графе G, будем подразумевать топологическое пространство |G|.
Граф G, на котором задана описанная выше структура топологического пространства, на-
зывается топологическим графом.
Определение 3. Пусть V0 — подмножество множества листьев Vl графа G (случай V0 =
= ∅ не исключается).
Пусть e ⊂ G — (замкнутое) ребро G, инцидентное некоторому листу из V0. Множество
e \ V0 назовем черенком. Пространство G0 = G \ V0 называется топологическим графом с
черенками.
В первой части данной статьи была доказана такая основная теорема.
Пусть непрерывная функция f, удовлетворяющая условиям (f1) и (f2), является K-R-
простой. Тогда пространство ΓK−R(f) является графом с черенками.
В этой части статьи мы докажем следующие утверждения.
Предложение 1. Пусть f : M2 → R — непрерывная функция, удовлетворяющая услови-
ям (f1) и (f2).
Условия (k2) и (k3) функции f являются необходимыми для того, чтобы пространство
ΓK−R(f) было графом с черенками.
Условие (k1) не является необходимым для того, чтобы пространство ΓK−R(f) было графом
с черенками. В подпункте 2.2 построен соответствующий пример.
Если функция f задана на плоскости, то согласно теореме Жордана о кривой функция
будет K-R-простой тогда и только тогда, когда ΓK−R(f) является графом с черенками. Это
утверждение следует из основной теоремы в первой части статьи, предложения 1 и следующей
теоремы.
Теорема 1. Пусть f : R2 → R — непрерывная функция, удовлетворяющая условиям (f1)
и (f2).
Если ΓK−R является графом с черенками, то f удовлетворяет условию (k1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1400 Е. А. ПОЛУЛЯХ
2. Условия, необходимые для того, чтобы пространство ΓK−R(f) было графом с че-
ренками. 2.1. Доказательство предложения 1. Как известно, полиэдр предсимплициального
комплекса является хаусдорфовым пространством (см. [2]). Вследствие этого топологические
графы и графы с черенками являются хаусдорфовыми пространствами.
Пусть ΓK−R(f) — граф с черенками.
Предположим, что для некоторого компакта C ⊂ M2 множество f(K ∩ C) бесконечно.
Тогда множество πf (K ∩ C) также бесконечно. Действительно, по определению пространства
ΓK−R(f) для любых x1, x2 ∈M2 из неравенства f(x1) 6= f(x2) следует πf (x1) 6= πf (x2).
Снова по определению выполнено равенство V = πf (K), где V — множество вершин графа
с черенками ΓK−R(f). Поэтому πf (K ∩ C) ⊂ V.
С другой стороны, так как пространство ΓK−R(f) хаусдорфово, образ πf (C) компакта
C сам является компактом. Следовательно, подмножество πf (K ∩ C) множества вершин V
имеет предельную точку, но это невозможно, так как V — замкнутое дискретное подмножество
ΓK−R(f).
Полученное противоречие доказывает, что функция f удовлетворяет свойству (k2).
Пусть x1, x2 ∈ M2 и πf (x1) 6= πf (x2). Предположим, что для любой пары окрестностей
U1 3 x1, U2 3 x2 существует F ∈ F такое, что F ∩ U1 6= ∅ и F ∩ U2 6= ∅. Тогда любые
окрестности V1 3 πf (x1), V2 3 πf (x2) имеют непустое пересечение.
Действительно, множества π−1
f (V1) и π−1
f (V2) являются окрестностями точек x1 и x2 соот-
ветственно. Следовательно, существует F ∈ F, для которого F ∩π−1
f (V1) 6= ∅ и F ∩π−1
f (V2) 6=
6= ∅. Пусть u = πf (F ). Тогда u ∈ V1 ∩ V2.
Вследствие произвола в выборе окрестностей V1 и V2 пространство ΓK−R(f) не является
хаусдорфовым и не может быть графом с черенками.
Полученное противоречие доказывает, что функция f удовлетворяет свойству (k3).
2.2. Условие (k1) не является необходимым для того, чтобы пространство ΓK−R(f)
было графом с черенками. Приведем пример функции f : M2 → R, которая не является
K-R-простой, но такая, что пространство ΓK−R(f) — граф с черенками.
Для того чтобы определить поверхность M2 и функцию f на ней, нам понадобится ряд
вспомогательных конструкций.
Рассмотрим непрерывные функции xn : R→ R, n ∈ Z, y+, y− : R→ R,
xn(t) =
n+ [t/2] + 2{t/2}, если {t/2} ≤ 1/2,
n+ [t/2] + 1, если {t/2} > 1/2,
y+(t) =
[t/2], при {t/2} ≤ 1/2,
[t/2] + 2{t/2} − 1, при {t/2} > 1/2,
y−(t) = −y+(t).
Здесь [·] и {·} обозначают целую и дробную части числа соответственно.
Рассмотрим следующие подмножества плоскости R2:
Z = (R× Z) ∪ (Z× R),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. II 1401
Z+
n =
⋃
k∈Z
(
[k + n, k + n+ 1]× {k}
)
∪
(
{k + n+ 1} × [k, k + 1]
)
,
Z−n =
⋃
k∈Z
(
[k + n, k + n+ 1]× {−k}
)
∪
(
{k + n+ 1} × [−k − 1,−k]
)
, n ∈ Z.
Здесь использованы обозначения A× {s} = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ A, y = s}, {s} × A = {(x, y) ∈
∈ R2 | x = s, y ∈ A}.
Z — сетка, узлы которой имеют целочисленные координаты, Z+
n — „восходящая лестница”,
Z−n — „нисходящая лестница”. Легко видеть, что Z =
⋃
k∈Z Z
+
n =
⋃
k∈Z Z
−
n .
Рассмотрим непрерывные кривые α+
n : R→ Z+
n , α
−
n : R→ Z−n , n ∈ Z,
α+
n (t) = (xn(t), y+(t)), α−n (t) = (xn(t), y−(t)), t ∈ R.
Простая непосредственная проверка показывает, что отображения α+
n и α−n являются вло-
жениями.
Построим сначала вспомогательную поверхность M̂2 и функцию f̂ : M̂2 → R.
Для этого рассмотрим множество Z ⊂ R2, а также два набора замкнутых полуплоскостей
B+
n = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0}, B−n = {(x, y) ∈ R2 | y ≤ 0}, n ∈ Z,
и функции f+
n : B+
n → R, f−n : B−n → R, n ∈ Z,
f+
n (x, y) = y, f−n (x, y) = y.
Обозначим
∂B+
n ={(x, y) ∈ B+
n | y = 0},
∂B−n ={(x, y) ∈ B−n | y = 0}, n ∈ Z.
Ясно, что ∂B+
n = (f+
n )−1(0), ∂B−n = (f−n )−1(0), n ∈ Z.
Приклеим каждую B+
n к Z по отображению γ+
n : ∂B+
n → Z+
n ⊂ Z,
γ+
n (x, 0) = α+
n (x), x ∈ R, n ∈ Z.
Аналогично, приклеим каждую B−n к Z по отображению γ−n : ∂B−n → Z−n ⊂ Z,
γ−n (x, 0) = α−n (x), x ∈ R, n ∈ Z.
Получим пространство M̂2. Обозначим через i0 : Z → M̂2, i+n : B+
n → M̂2, i−n : B−n → M̂2,
n ∈ Z, естественные вложения.
Определим функцию f̂ : M̂2 → R следующим образом:
f̂(u) =
f+
n ((i+n )−1(u)), если u ∈ i+n (B+
n ),
f−n ((i−n )−1(u)), если u ∈ i−n (B−n ),
0, если u ∈ i0(Z).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1402 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Непосредственная проверка показывает, что пространство M̂2 является ориентируемой дву-
мерной поверхностью. В частности, справедливо следующее.
Если u = i0(r + τ, s) ∈ i0(Z), где r, s ∈ Z, τ ∈ (0, 1), то
(r, r + 1)× {s} = α−r+s
(
(−2s,−2s+ 1)
)
= α+
r−s
(
(2s, 2s+ 1)
)
и окрестность точки u
Uu = i−r+s
(
(−2s,−2s+ 1)× (−1, 0]
)
∪ i+r−s
(
(2s, 2s+ 1)× [0, 1)
)
гомеоморфна диску.
Аналогично, если u = i0(r, s+ τ), где r, s ∈ Z, τ ∈ (0, 1), то
{r} × (s, s+ 1) = α−r+s
(
(−2s− 1,−2s)
)
= α+
r−s−1
(
(2s+ 1, 2s+ 2)
)
и окрестность точки u
Uu = i−r+s
(
(−2s− 1,−2s)× (−1, 0]
)
∪ i+r−s−1
(
(2s+ 1, 2s+ 2)× [0, 1)
)
гомеоморфна диску.
Наконец, если u = i0(r, s), где r, s ∈ Z, то
{r} × (s, s+ 1) ∪ (r, r + 1)× {s} = α−r+s
(
(−2s− 1,−2s+ 1)
)
,
(r − 1, r)× {s} ∪ {r} × (s, s+ 1) = α+
r−s−1
(
(2s, 2s+ 2)
)
,
(r − 1, r)× {s} ∪ {r} × (s− 1, s) = α−r+s−1
(
(−2s,−2s+ 2)
)
,
{r} × (s− 1, s) ∪ (r, r + 1)× {s} = α+
r−s
(
(2s− 1, 2s+ 1)
)
и окрестность
Uu = i−r+s
(
(−2s− 1,−2s+ 1)× (−1, 0]
)
∪ i+r−s−1
(
(2s, 2s+ 2)× [0, 1)
)
∪
∪i−r+s−1
(
(−2s,−2s+ 2)× (−1, 0]
)
∪ i+r−s
(
(2s− 1, 2s+ 1)× [0, 1)
)
гомеоморфна диску.
Функция f̂ корректно определена, непрерывна и удовлетворяет условиям (f1) и (f2). Ее
единственным сингулярным множеством уровня является f̂−1(0) = i0(Z). Это множество
связно.
Если u ∈ i0(Z \ (Z × Z)), то в окрестности Uu функция f̂ топологически сопряжена с
функцией Re z в окрестности нуля и u является регулярной точкой f̂ .
Если u ∈ i0(Z× Z), то в окрестности Uu функция f̂ топологически сопряжена с функцией
Re z2 в окрестности нуля и u является точкой ветвления своей компоненты уровня f̂ .
Поскольку
f̂−1(a) =
⋃
n∈Z i
−
n (R× {a}) при a < 0,
i0(Z) при a = 0,⋃
n∈Z i
+
n (R× {a}) при a > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. II 1403
то пространство ΓK−R(f̂) является объединением счетного числа полуинтервалов, которые
имеют общий конец πf̂ ◦ i0(Z).
Зафиксируем m ∈ N. Зададим на пространстве M̂2 следующее отношение ∼:
i−n (x, y) ∼ i−n+km(x, y) для всех x ∈ R, y ≤ 0, n, k ∈ Z;
i+n (x, y) ∼ i+n+km(x, y) для всех x ∈ R, y ≥ 0, n, k ∈ Z;
i0(v, w) ∼ i0(v + km,w) для всех (v, w) ∈ Z, k ∈ Z.
Поскольку для всех τ ∈ R, k ∈ Z по определению справедливы равенства
i−n (τ, 0) = γ−n (τ, 0) = i0 ◦ α−n (τ) = i0(xn(τ), y−(τ)),
i−n+km(τ, 0) = i0(xn+km(τ), y−(τ)) = i0(xn(τ) + km, y−(τ)),
i+n (τ, 0) = γ+
n (τ, 0) = i0 ◦ α+
n (τ) = i0(xn(τ), y+(τ)),
i+n+km(τ, 0) = i0(xn+km(τ), y+(τ)) = i0(xn(τ) + km, y+(τ)),
отношение ∼ определено корректно.
Легко видеть, что ∼ является отношением эквивалентности. Следовательно, оно порождает
разбиение пространства M̂2 на классы эквивалентности и определяет фактор-пространство
M2
m = M̂2/ ∼ . Пусть πm : M̂2 → M2
m — отображение проекции. По определению функции
f̂ , если u1 ∼ u2, то f̂(u1) = f̂(u2) для всех u1, u2 ∈ M̂2. Поэтому определена и непрерывна
функция fm : M2
m → R, такая что f̂ = fm ◦ πm.
Можно показать, что M̂2 является накрытием пространства M2
m, а отображение πm —
локальным гомеоморфизмом. Вследствие этого M2
m является двумерной поверхностью.
Можно показать, что M2
m ориентируемо при четном m и неориентируемо при нечетном m.
Поскольку свойства (f1) и (f2) функции f̂ являются локальными, функция fm : M2
m → R
также им удовлетворяет. При этом регулярными точками функции fm являются в точности
проекции регулярных точек функции f̂ . Все точки πm ◦ i0(r, s), (r, s) ∈ Z × Z, являются
сингулярными.
Заметим, что πm◦i−n (B−n ) = πm◦i−s (B−s ) при n ≡ s (mod m) и πm◦i−n (B−n )∩πm◦i−s (B−s ) =
= ∅ при n 6≡ s (mod m).
Аналогично, πm◦i+n (B+
n ) = πm◦i+s (B+
s ) при n ≡ s (mod m) и πm◦i+n (B+
n )∩πm◦i+s (B+
s ) =
= ∅ при n 6≡ s (mod m).
Поэтому
f−1
m (a) =
⋃m−1
n=0 πm ◦ i−n (R× {a}) при a < 0,
πm ◦ i0(Z) при a = 0,⋃m−1
n=0 πm ◦ i+n (R× {a}) при a > 0
и пространство ΓK−R(fm) является объединением 2m полуинтервалов с общим концом πfm ◦
◦ πm ◦ i0(Z), т. е. является графом с черенками.
С другой стороны, так как πm ◦ i0(r, s) 6= πm ◦ i0(r, s+j), j ∈ Z, то сингулярная компонента
πm ◦ i0(Z) множества уровня f−1
m (0) имеет бесконечное число сингулярных точек и функция
fm не является K-R-простой.
2.3. Случай функции на плоскости R2. Для доказательства теоремы 1 нам понадобится
техническое утверждение, которое мы сейчас рассмотрим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1404 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Предположим, что непрерывная функция f : R2 → R удовлетворяет свойствам (f1) и (f2).
Пусть x0 — точка ветвления множества уровня f. Обозначим c = f(x0).
Пусть U — открытая окрестность x0, D = {z ∈ C | |z| ≤ 1}, g = Re(zn) : C → R,
n > 1. Пусть h : U → D и h′ : R → R — такие гомеоморфизмы, что h(x0) = 0, h(U) = D и
g ◦ h = h′ ◦ f.
Из свойства (f2) функции f и определения 1 следует, что для точки x0 такие U, n > 1, h и
h′ всегда существуют.
Множество
g−1(0) =
{
z ∈ C | arg z = π(2k + 1)/2n, k = 0, . . . , 2n− 1
}
разбивает D на 2n секторов
Wk =
{
z ∈ D \ {0} | arg z ∈
(
π(2k − 1)/2n, π(2k + 1)/2n
)}
, k = 0, . . . , 2n− 1.
На каждом из них функция g знакопостоянна: g > 0 на Wk при четном k и g < 0 на Wk при
нечетном k.
Поскольку любой гомеоморфизм h′ : R → R является строго монотонной функцией, то
существует ε ∈ {−1, 1} такое, что
Sign(g ◦ h(x1)− g ◦ h(x2)) = εSign(f(x1)− f(x2)), x1, x2 ∈ U.
В частности, Sign g◦h(x) = Sign(g◦h(x)−g◦h(x0)) = εSign(f(x)−f(x0)) = εSign(f(x)−c).
Таким образом, множество f−1(c) разбивает U на 2n компонент связности Ek = h−1(Wk),
k = 0, . . . , 2n − 1, на каждой из которых разность f(x) − c, x ∈ Ek, знакопостоянна и имеет
один знак при четных k и противоположный знак — при нечетных k.
Обозначим S = FrU = U \ U, ∂D = {z ∈ C | |z| = 1}. Поскольку множество ∂D
гомеоморфно окружности, из теоремы Жордана о кривой (см. [5]) следует, что ∂D = h(S).
Предложение 2. Пусть γ : I → R2 — простая замкнутая кривая, удовлетворяющая сле-
дующим условиям:
γ(0) = γ(1) = x0;
либо f ◦ γ(t) ≥ c = f(x0) для всех t ∈ I, либо f ◦ γ(t) ≤ c для всех t ∈ I;
γ(I) ∩ S = {x1, x2}, x1 6= x2;
x1 ∈ Ek1 , x2 ∈ Ek2 , k1 6= k2.
Тогда существует m ∈ {0, . . . , 2n − 1} такое, что Em содержится в диске Oγ , который
ограничивает кривая γ, и (f(x)− c)(f(x1)− c) < 0 для всех x ∈ Em.
Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что f ◦ γ(t) ≥ 0
для всех t ∈ I. Тогда f ◦ γ(xi) > 0, i = 1, 2.
Согласно теореме Жордана о кривой простая замкнутая кривая γ ограничивает множество
Oγ , гомеоморфное открытому диску.
Заметим, что если f(x) < 0 для каждого x ∈ Es при некотором s ∈ {0, . . . , 2n − 1}, то
γ(I) ∩ Es = ∅. А так как множество Es связное, то либо Es ⊂ Oγ , либо Es ∩Oγ .
Обозначим Ak = Ek ∩ FrU = Ek ∩ S, k = 0, . . . , 2n− 1. По построению разность f(x)− c
знакопостоянна на каждом Ak, притом имеет один знак при четных k и противоположный —
при нечетных k.
Легко видеть, что в зависимости от выбора направления при обходе окружности S мно-
жества Ak проходятся последовательно по возрастанию или убыванию индексов. Числа f(x1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. II 1405
и f(x2) по условию имеют один знак, поэтому индексы k1 и k2 имеют одинаковую четность.
Следовательно, каждая из двух дуг L1 и L2, на которые окружность S разбивается множеством
{x1, x2}, содержит по крайней мере одно Ai такое, что f(x) − c < 0 для всех x ∈ Ai. Пусть
Ar ⊂ L1, As ⊂ L2 и f(x)− c < 0 для всех x ∈ Ar ∪As. Отметим, что тогда также f(x)− c < 0
и (f(x)− c)(f(x1)− c) < 0 для всех x ∈ Er ∪ Es.
Простая непосредственная проверка показывает, что множество Er ∪ Es ∪ {x0} разбивает
U на две компоненты связности и точки x1 и x2 находятся в разных компонентах. Точки x1
и x2 разбивают кривую γ на две дуги Γ1 и Γ2. Пусть x0 ∈ Γ1. Поскольку по построению
Γ2 ∩ (Er ∪ Es ∪ {x0}) = ∅, то Γ2 \ U 6= ∅. Следовательно, Oγ \ U 6= ∅.
Заметим, что хотя бы одна из дуг L1 и L2 содержится в Oγ . Действительно, в противном
случае S ∩ Oγ = FrU ∩ Oγ = ∅. Тогда из Oγ \ U 6= ∅ следует, что U ∩ Oγ = ∅. Но это
невозможно, так как U является окрестностью точки x0 ∈ γ(I) = FrOγ .
Пусть L1 ⊂ Oγ . Тогда Ar ⊂ Oγ и Er ⊂ Oγ , так как множество Er связно, Er ∩ Oγ 6= ∅ и
Er ∩ FrOγ = ∅.
Случай L2 ⊂ Oγ рассматривается аналогично.
Предложение 2 доказано.
Доказательство теоремы 1. Пусть существует F ∈ F, F ⊂ K, такое, что F содержит
бесконечно много сингулярных точек f. Пусть u = πf (F ) ∈ V ⊂ ΓK−R(f).
Согласно условию (f1) локальные экстремумы f являются изолированными точками мно-
жеств уровня. Следовательно, все сингулярные точки, лежащие в F, являются точками ветвле-
ния. Обозначим
QF = {Q ∈ Q | Q ∩ F 6= ∅}.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что QF содержит бесконечное число эле-
ментов. Действительно, все множества Q ∈ QF связные и попарно не пересекаются. Поэтому
все πf (Q), Q ∈ QF , также связные и попарно не пересекаются. Кроме того, πf (Q) ∩ V = ∅,
Q ∈ QF , так как V = πf (K). Следовательно, каждое πf (Q) является связным подмножеством
некоторого открытого ребра. Поскольку u ∈ πf (Q)∩V, Q ∈ QF , то для любыхQ1, Q2 ∈ QF при
Q1 6= Q2 множества πf (Q1) и πf (Q2) должны лежать на разных ребрах ΓK−R(f). Вследствие
этого вершина u будет инцидентна бесконечному числу ребер и ΓK−R(f) не будет локально
конечным графом.
Пусть ΣF — множество всех сингулярных точек f, лежащих в F.
Легко видеть, что так как f удовлетворяет условиям (f1), (f2) и F — сингулярная компонента
множества уровня, то Q ∩ ΣF 6= ∅ для каждого Q ∈ QF .
Обозначим через Qfin
F множество всех Q ∈ QF , для которых множество Q ∩ ΣF конечно.
Пусть Qinf
F — все Q ∈ QF , для которых Q ∩ ΣF — бесконечное множество.
Введем еще обозначения
Σfin
F = {x ∈ ΣF | ∃Q ∈ Qfin
F : x ∈ Q},
Σinf
F = ΣF \ Σfin
F = {x ∈ ΣF | (x ∈ Q⇒ Q ∈ Qinf
F ) ∀Q ∈ QF }.
Заметим, что в силу свойств (f2) и (k2) функции f каждая сингулярная точка F граничит с
конечным числом множеств изQ. Следовательно, множество Σfin
F конечно. В противном случае
множество Qfin
F ⊂ QF было бы бесконечным и пространство ΓK−R(f) не являлось бы графом
с черенками.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1406 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Таким образом, согласно предположению о бесконечности множества ΣF , множество Σinf
F
также бесконечно.
Выберем Q0 ∈ Qinf
F . Пусть Σ0 = Q0 ∩ Σinf
F . Тогда множество Σ0 бесконечно.
Как известно, определено непрерывное фактор-отображение f̂ : ΓK−R(f) → R такое, что
f = f̂ ◦πf . Из свойства (f2) функции f легко следует, что на ребрах и черенках графа ΓK−R(f)
отображение f̂ строго монотонно.
Связное множество πf (Q0) содержится в некотором ребре или черенке графа ΓK−R(f).
Поскольку u ∈ πf (Q0) \ πf (Q0), то Q0 содержится в одном из множеств H+ = {x ∈ R2 |
f(x) > f̂(u)} или H− = {x ∈ R2 | f(x) < f̂(u)}.
Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что Q0 ⊂ H+ (в противном случае
функцию f можно заменить на −f ).
Проверим, что для каждого x0 ∈ Σ0 существует Q(x0) ∈ Qinf
F такое, что x0 ∈ Q(x0),
Q(x0) 6= Q0 и Q(x0) ⊂ H+.
Используя свойство (f2) функции f, найдем такие окрестность U точки x0, n > 1, и
гомеоморфизмы h : U → D, h′ : R → R, что h(x0) = 0, h(U) = D и g ◦ h = h′ ◦ f. Здесь
g = Re zn : C→ R. Обозначим S = FrU.
Из предложения 1 следует, что f удовлетворяет свойству (k2). Поэтому окрестность U
можно выбрать настолько малой, что U ∩K ⊂ F.
Как известно, множество F разбивает диск U на 2n попарно непересекающихся связных
множеств Ek, k = 0, . . . , 2n−1, таких, что x0 ∈ Ek для каждого k. На каждом из этих множеств
разность f(x)−f(x0) = f(x)−f̂(u) знакопостоянна и имеет один знак на множествах с четными
номерами и противоположный — на множествах с нечетными номерами.
По выбору окрестности U выполняются соотношения
⋃2n−1
k=0 Ek ⊂ R2 \K. Следовательно,
для каждого k ∈ {0, . . . , 2n − 1} существует Q(k) ∈ QF такое, что Ek ⊂ Q(k). Более того,
Q(k) ∈ Qinf
F , так как x0 ∈ Σinf
F .
Поскольку x0 ∈ Q0, найдется s ∈ {0, . . . , 2n − 1} такое, что Es ⊂ Q0 ⊂ H+. Существует
еще по крайней мере один индекс r 6= s, r ∈ {0, . . . , 2n − 1}, который имеет с s одинаковую
четность. Тогда Er ⊂ H+. Выполняется ровно одна из двух возможностей: либо Er ⊂ Q0,
либо Er ∩Q0 = ∅.
Предположим, что Er ⊂ Q0.
Очевидно, что точка x0 достижима с помощью простой непрерывной кривой как из Es,
так и из Er (см. [6]). Кроме того, Q0 — открытое связное подмножество R2, следовательно,
оно линейно связно и любую пару точек x′ ∈ Er, x
′′ ∈ Es можно соединить в Q0 простой
непрерывной кривой. Вследствие этого найдется простая замкнутая кривая α : I → Q0 ∪ {x0}
такая, что α(0) = α(1) = x0 и для некоторых 0 < τ1 < τ2 < 1 выполняются соотношения
α(t) ∈ Es ∀t ∈ (0, τ1] и α(t) ∈ Er ∀t ∈ [τ2, 1).
Пусть t1 = max{t ≤ τ2 | α(t) ∈ Es}. Так как Er ∩ Es = {x0}, то 0 < t1 < τ2. Пусть
t2 = min{t ≥ t1 | α(t) ∈ Er}. По аналогичным соображениям t1 < t2 < 1. Из соотношений
FrEs ⊂ F ∪ FrU = F ∪ S ⊂ (R2 \Q0) ∪ S заключаем, что α(t1) ∈ S. Аналогично, α(t2) ∈ S.
Рассмотрим простые непрерывные кривые βi : I → D,
βi(t) = t · h ◦ α(ti), i = 1, 2.
Кривые αi = h−1 ◦ βi : I → U, i = 1, 2, соединяют x0 с точками α(t1) и α(t2) соответственно.
При этом α1(t) ∈ Es ∩ U и α2(t) ∈ Er ∩ U для каждого t ∈ (0, 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. II 1407
По построению α(t) /∈ Er ∪ Es при всех t ∈ (t1, t2), поэтому непрерывная кривая γ :
I → Q0 ∪ {x0},
γ(t) =
α1(3t), если t ≤ 1/3,
α((2− 3t)t1 + (3t− 1)t2), если t ∈ (1/3, 2/3),
α2(3− 3t), если t ≥ 2/3,
является простой.
Очевидно, γ(0) = γ(1) = x0. Поскольку γ(t) ∈ Q0 при t ∈ (0, 1), то f ◦ γ(t) > f(x0) при
t ∈ (0, 1). Также по построению γ(I)∩S = {γ(1/3), γ(2/3)}, причем γ(1/3) ∈ Es, γ(2/3) ∈ Er
и r 6= s.
Итак, выполнены условия предложения 2 и существует индекс m ∈ {0, . . . , 2n− 1} такой,
что Em содержится в диске Oγ , который ограничивает кривая γ, и выполняется соотношение
Em ⊂ H−.
Существует Q ∈ Qinf
F такое, что Em ⊂ Q. Тогда Q ∈ H−. Так как по построению γ(I) ∩
∩ H− = ∅, то Q ⊂ Oγ и множество Q компактно. Функция f удовлетворяет свойству (f2),
поэтому из компактности Q следует, что Q ∈ Qfin
F . Однако x0 ∈ Σ0 ⊂ Σinf
F и по определению
Qinf
F ∩Qfin
F = ∅.
Полученное противоречие доказывает, что Er ∩Q0 = ∅.
Существует Q(x0) ∈ Qinf
F такое, что Er ⊂ Q(x0). Тогда x0 ∈ Q(x0), Q(x0) 6= Q0 и
Q(x0) ⊂ H+.
Проверим, что Q(x0) 6= Q(x1) при x0 6= x1, x0, x1 ∈ Σ0.
Предположим, что это не так, и для некоторых x0, x1 ∈ Σ0, x0 6= x1, имеем Q(x0) = Q(x1).
Как и выше, использовав свойство (f2) функции f, найдем открытую окрестность U точки
x0, n > 1, и гомеоморфизмы h : U → D, h′ : R → R такие, что h(x0) = 0, h(U) = D и
g ◦ h = h′ ◦ f. Пусть S = FrU.
Выберем U настолько малой, что U ∩K ⊂ F и x1 /∈ U.
Как и выше, множество F разбивает диск U на 2n попарно непересекающихся связных
множеств Ek, k = 0, . . . , 2n − 1, таких, что x0 ∈ Ek для каждого k. На каждом из этих
множеств разность f(x)− f(x0) знакопостоянна и имеет один знак на множествах с четными
номерами и противоположный — на множествах с нечетными номерами.
Также согласно выбору окрестности U выполняются соотношения
⋃2n−1
k=0 Ek ⊂ R2 \ K.
Поэтому найдутся индексы r, s ∈ {0, 2n − 1}, r 6= s, имеющие одинаковую четность и такие,
что Er ⊂ Q(x0), Es ⊂ Q0. Очевидно, что Er ∪ Es ⊂ H+.
Множества Q0 и Q(x0) линейно связны, а точки x0 и x1 достижимы из каждого из этих
множеств. Поэтому существуют простые непрерывные кривые µ0 : I → R2 \ H− и µ1 : I →
→ R2 \H−, удовлетворяющие таким условиям:
µ0(0) = µ1(0) = x0, µ0(1) = µ1(1) = x1;
µ0(t) ∈ Q0, µ1(t) ∈ Q(x0) при всех t ∈ (0, 1);
существуют τ1, τ2 ∈ (0, 1) такие, что µ0(t) ∈ Es при t ∈ (0, τ1] и µ1(t) ∈ Er при t ∈ (0, τ2].
Поскольку Q0 ∩Q(x0) = ∅, отображение α : I → R2 \H−,
α(t) =
µ0(2t), если t ≤ 1/2,
µ1(2− 2t), если t > 1/2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1408 Е. А. ПОЛУЛЯХ
является простой замкнутой кривой, причем α(t) ∈ Es при t ∈ (0, τ1/2] и α(t) ∈ Er при
t ∈ [1− τ2/2, 1).
Применив рассуждения, аналогичные (с очевидными изменениями) приведенным выше,
найдем простую замкнутую кривую γ : I → R2 \H−, удовлетворяющую предложению 2.
Из предложения 2, как и выше, следует, что найдетсяQ ∈ QF такое, что x0 ∈ Q и замыкание
Q компактно. Вследствие этого Q ∈ Qfin
F , что противоречит выбору точки x0, так как x0 ∈ Σinf
F .
Итак, для каждого x0 ∈ Σ0 существует Q(x0) ∈ Qinf
F , причем Q(x0) 6= Q(x1) при x0 6= x1,
x0, x1 ∈ Σ0.
Из этого следует, что множество Qinf
F ⊂ QF содержит бесконечное число элементов и
ΓK−R(f) не является графом с черенками.
Теорема доказана.
1. Полулях Е. А. Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I // Укр. мат. журн. –
2015. – 67, № 3. – С. 375 – 396.
2. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. – М.: Наука, 1977. – 488 с.
3. Берж К. Теория графов и ее приложения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 320 c.
4. Hilton P. J.,Wylie S. Homology theory. An introduction to algebraic topology. – Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1960. – xv+484 p.
5. Kuratowski K. Topology. Vol. II. – New York; London: Acad. Press, 1968. – xiv+608 p.
6. Newman M. H. A. Elements of the topology of plane sets of points. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1964. –
214 p.
Получено 21.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
|