Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре
Вивчається HC-модель на дєрєві Кєлі. При деяких умовах на параметри показано, що існують слабко періодичні (не періодичні) міри Гіббса для нормального дільника індексу чотири....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165874 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре / Р.М. Хакимов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1409–1422. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165874 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658742020-02-17T01:27:22Z Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре Хакимов, Р.М. Статті Вивчається HC-модель на дєрєві Кєлі. При деяких умовах на параметри показано, що існують слабко періодичні (не періодичні) міри Гіббса для нормального дільника індексу чотири. We study an HC-model on a Cayley tree. Under certain restrictions imposed on the parameters of the HC-model, we prove the existence of weakly periodic (nonperiodic) Gibbs measures for a normal divisor of index four. 2015 Article Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре / Р.М. Хакимов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1409–1422. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165874 517.98 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Хакимов, Р.М. Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре Український математичний журнал |
| description |
Вивчається HC-модель на дєрєві Кєлі. При деяких умовах на параметри показано, що існують слабко періодичні (не періодичні) міри Гіббса для нормального дільника індексу чотири. |
| format |
Article |
| author |
Хакимов, Р.М. |
| author_facet |
Хакимов, Р.М. |
| author_sort |
Хакимов, Р.М. |
| title |
Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре |
| title_short |
Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре |
| title_full |
Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре |
| title_fullStr |
Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре |
| title_full_unstemmed |
Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре |
| title_sort |
слабо периодические меры гиббса для hc-модели для нормального делителя индекса четыре |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165874 |
| citation_txt |
Слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормального делителя индекса четыре / Р.М. Хакимов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1409–1422. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT hakimovrm slaboperiodičeskiemerygibbsadlâhcmodelidlânormalʹnogodelitelâindeksačetyre |
| first_indexed |
2025-07-14T20:12:12Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:12:12Z |
| _version_ |
1837654536634761216 |
| fulltext |
УДК 517.98
Р. М. Хакимов (Ин-т математики при Нац. ун-те Узбекистана, Ташкент)
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ НС-МОДЕЛИ
ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО ДЕЛИТЕЛЯ ИНДЕКСА ЧЕТЫРЕ
We study an HC-model on a Cayley tree. Under certain conditions imposed on the parameters of the HC-model, we prove
the existence of weakly periodic (nonperiodic) Gibbs measures for the normal divisor of index four.
Вивчається HC-модель на деревi Келi. При деяких умовах на параметри показано, що iснують слабко перiодичнi
(не перiодичнi) мiри Гiббса для нормального дiльника iндексу чотири.
1. Введение. Понятие меры Гиббса играет важную роль в статистической механике. Основной
проблемой данного гамильтониана является описание всех соответствующих ему мер Гиббса.
Определение меры Гиббса и других понятий, связанных с теорией мер Гиббса, можно найти,
например, в работах [1 – 3]. Для модели Изинга на дереве Кэли эта задача изучена достаточно
полно. Например, в работе [4] построено несчетное множество крайних гиббсовских мер, а
в работе [5] найдено необходимое и достаточное условие крайности неупорядоченной фазы
модели Изинга на дереве Кэли.
В многочисленных работах (см., например, [6 – 13]) на дереве Кэли изучены периодические
меры Гиббса для различных моделей статистической механики. Эти меры, в основном, были
трансляционно-инвариантными либо периодическими с периодом два. Более того, для многих
моделей на дереве Кэли доказано, что множество периодических мер Гиббса очень ограничено,
т. е. существуют только периодические гиббсовские меры с периодом два (см., например, [8 –
12]).
Чтобы получить более широкое множество гиббсовских мер, в работах [14, 15] введены
более общие понятия периодической меры Гиббса, т.е. слабо периодические гиббсовские меры,
и доказано существование таких мер для модели Изинга на дереве Кэли.
В работе [13] изучена HC (Hard Core)-модель на дереве Кэли и доказано, что трансляционно-
инвариантная мера Гиббса для этой модели единственна. Кроме того, при некоторых условиях
на параметры НС-модели доказана неединственность периодических мер Гиббса с периодом
два.
В работе [17] изучены слабо периодические меры Гиббса для HC-модели для нормально-
го делителя индекса два и при некоторых условиях на параметры показана единственность
(трансляционно-инвариантность) слабо периодической меры Гиббса, а в работе [18] — един-
ственность (трансляционно-инвариантность) слабо периодической меры Гиббса для HC-модели
при любых значениях параметров.
Настоящая работа посвящена изучению слабо периодических мер Гиббса НС-модели для
нормального делителя индекса четыре на дереве Кэли. Доказано существование слабо перио-
дических (не периодических) мер Гиббса на некоторых инвариантах при некоторых условиях
на параметры.
2. Предварительные сведения. Дерево Кэли τk порядка k ≥ 1 — бесконечное дерево, т. е.
граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно k+1 ребро. Пусть τk = (V,L, i),
где V — множество вершин τk, L — его множество ребер и i — функция инцидентности,
c© Р. М. ХАКИМОВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10 1409
1410 Р. М. ХАКИМОВ
сопоставляющая каждому ребру l ∈ L его концевые точки x, y ∈ V. Если i(l) = {x, y}, то
x и y называют ближайшими соседями вершины и обозначают l = 〈x, y〉. Расстояние d(x, y),
x, y ∈ V, на дереве Кэли определяется формулой
d(x, y) = min{d|∃x = x0, x1, . . . , xd−1, xd = y ∈ V такие, что 〈x0, x1〉, . . . , 〈xd−1, xd〉}.
Для фиксированного x0 ∈ V обозначим
Wn = {x ∈ V | d(x, x0) = n}, Vn = {x ∈ V | d(x, x0) ≤ n}.
Для x ∈Wn обозначим
S(x) = {y ∈Wn+1 : d(x, y) = 1}.
Пусть Φ = {0, 1} и σ ∈ ΦV — конфигурация, т. е. σ = {σ(x) ∈ Φ : x ∈ V }, где σ(x) = 1
означает, что вершина x на дереве Кэли занята, а σ(x) = 0 — что она свободна.
Конфигурация σ называется допустимой, если σ(x)σ(y) = 0 для любых соседних 〈x, y〉 из
V (Vn или Wn соответственно). Обозначим множество таких конфигураций через Ω (ΩVn и
ΩWn). Ясно, что Ω ⊂ ΦV .
Гамильтониан HC-модели определяется по формуле
H(σ) =
J
∑
x∈V
σ(x), если σ ∈ Ω,
+∞, если σ /∈ Ω,
где J ∈ R.
Пусть B — σ-алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами Ω. Для любого n
обозначим через BVn = {σ ∈ Ω : σ|Vn = σn} подалгебру B, где σ|Vn — сужение σ на Vn, σn :
x ∈ Vn 7→ σn(x) — допустимая конфигурация в Vn.
Определение 1. Для λ > 0 НС-мера Гиббса есть вероятностная мера µ на (Ω,B) такая,
что для любого n и σn ∈ ΩVn
µ{σ ∈ Ω : σ|Vn = σn} =
∫
Ω
µ(dω)Pn(σn|ωWn+1),
где
Pn(σn|ωWn+1) =
e−H(σn)
Zn(λ;ω|Wn+1)
1(σn ∨ ω|Wn+1 ∈ ΩVn+1),
символ ∨ означает объединение конфигураций и Zn(λ;ω|Wn+1) — нормировочный множитель
с граничным условием ω|Wn :
Zn(λ;ω|Wn+1) =
∑
σ̃n∈ΩVn
e−H(σ̃n)1(σ̃n ∨ ω|Wn+1 ∈ ΩVn+1).
Известно [6, 7], что τk можно представить как Gk-свободное произведение k + 1 цикличе-
ской группы второго порядка с образующими a1, . . . , ak+1 соответственно.
Пусть Ĝk — подгруппа группы Gk. Если гиббсовская мера инвариантна относительно неко-
торой подгруппы конечного индекса Ĝk ⊂ Gk, то она называется Ĝk-периодической.
Известно [13], что каждой мере Гиббса для HC-модели на дереве Кэли можно сопоставлять
совокупность величин z = {zx, x ∈ Gk}, удовлетворяющих равенству
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ НС-МОДЕЛИ . . . 1411
zx =
∏
y∈S(x)
(1 + λzy)
−1, (1)
где λ = eJ > 0 — параметр.
Определение 2. Совокупность величин z = {zx, x ∈ Gk} называется Ĝk-периодической,
если zyx = zx для любых x ∈ Gk, y ∈ Ĝk.
Gk-периодические совокупности называются трансляционно-инвариантными.
Для любого x ∈ Gk множество {y ∈ Gk : 〈x, y〉} \ S(x) имеет единственный элемент,
который обозначим через x↓ (см. [14, 16]).
Пусть Gk/Ĝk = {H1, . . . ,Hr} — фактор-группа, где Ĝk — нормальный делитель индекса
r ≥ 1.
Определение 3. Совокупность величин z = {zx, x ∈ Gk} называется Ĝk-слабо периоди-
ческой, если zx = zij при x ∈ Hi, x↓ ∈ Hj для любого x ∈ Gk.
Заметим, что слабо периодическая совокупность z совпадает с обычной периодической (см.
определение 2), если значение zx не зависит от x↓.
Определение 4. Мера µ называется Ĝk-(слабо) периодической, если она соответствует
Ĝk-(слабо) периодической совокупности величин z.
3. Слабо периодические меры Гиббса. Пусть A ⊂ {1, 2, . . . , k + 1} и HA =
{
x ∈ Gk :∑
i∈A
wx(ai) — четное число
}
, где wx(ai) — число буквы ai в слове x ∈ Gk, G
(2)
k = {x ∈ Gk :
|x| — четное число}, где |x| — длина слова x ∈ Gk, и G(4)
k = HA ∩G(2)
k — нормальный делитель
индекса 4.
Рассмотрим фактор-группу Gk/G
(4)
k = {H0, H1, H2, H3}, где
H0 =
{
x ∈ Gk :
∑
i∈A
wx(ai)− четно, |x| − четно
}
,
H1 =
{
x ∈ Gk :
∑
i∈A
wx(ai)− нечетно, |x| − четно
}
,
H2 =
{
x ∈ Gk :
∑
i∈A
wx(ai)− четно, |x| − нечетно
}
,
H3 =
{
x ∈ Gk :
∑
i∈A
wx(ai)− нечетно, |x| − нечетно
}
.
Тогда в силу (1) G(4)
k -слабо периодическая совокупность величин zx имеет вид
zx =
z1, x ∈ H3, x↓ ∈ H1,
z2, x ∈ H1, x↓ ∈ H3,
z3, x ∈ H3, x↓ ∈ H0,
z4, x ∈ H0, x↓ ∈ H3,
z5, x ∈ H1, x↓ ∈ H2,
z6, x ∈ H2, x↓ ∈ H1,
z7, x ∈ H2, x↓ ∈ H0,
z8, x ∈ H0, x↓ ∈ H2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1412 Р. М. ХАКИМОВ
где zx удовлетворяет системе уравнений
z1 =
1
(1 + λz4)i
1
(1 + λz2)k−i
,
z2 =
1
(1 + λz6)i
1
(1 + λz1)k−i
,
z3 =
1
(1 + λz4)i−1
1
(1 + λz2)k−i+1
,
z4 =
1
(1 + λz3)i−1
1
(1 + λz7)k−i+1
,
(2)
z5 =
1
(1 + λz6)i−1
1
(1 + λz1)k−i+1
,
z6 =
1
(1 + λz5)i−1
1
(1 + λz8)k−i+1
,
z7 =
1
(1 + λz5)i
1
(1 + λz8)k−i
,
z8 =
1
(1 + λz3)i
1
(1 + λz7)k−i
.
Здесь i = |A| — мощность множества A.
Запишем систему уравнений (2) в виде
z1 =
(
1 + λz2
1 + λz4
)i 1
(1 + λz2)k
,
z2 =
(
1 + λz1
1 + λz6
)i 1
(1 + λz1)k
,
z3 =
(
1 + λz2
1 + λz4
)i−1 1
(1 + λz2)k
,
z4 =
(
1 + λz7
1 + λz3
)i−1 1
(1 + λz7)k
,
(3)
z5 =
(
1 + λz1
1 + λz6
)i−1 1
(1 + λz1)k
,
z6 =
(
1 + λz8
1 + λz5
)i−1 1
(1 + λz8)k
,
z7 =
(
1 + λz8
1 + λz5
)i 1
(1 + λz8)k
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ НС-МОДЕЛИ . . . 1413
z8 =
(
1 + λz7
1 + λz3
)i 1
(1 + λz7)k
.
Разделив в этой системе уравнений первое уравнение на третье, второе на пятое, шестое на
седьмое, четвертое на восьмое, получим следующую систему уравнений:
z1
z3
=
1 + λz2
1 + λz4
,
z2
z5
=
1 + λz1
1 + λz6
,
z6
z7
=
1 + λz5
1 + λz8
,
z4
z8
=
1 + λz3
1 + λz7
.
Используя эту систему уравнений, систему (3) можно записать так:
z1 =
(
z1
z3
)i 1
(1 + λz2)k
,
z2 =
(
z2
z5
)i 1
(1 + λz1)k
,
z3 =
(
z1
z3
)i−1 1
(1 + λz2)k
,
z4 =
(
z8
z4
)i−1 1
(1 + λz7)k
,
(4)
z5 =
(
z2
z5
)i−1 1
(1 + λz1)k
,
z6 =
(
z7
z6
)i−1 1
(1 + λz8)k
,
z7 =
(
z7
z6
)i 1
(1 + λz8)k
,
z8 =
(
z8
z4
)i 1
(1 + λz7)k
.
Из первого уравнения системы (4) найдем z3, из второго — z5, из седьмого — z6, из восьмого
— z4 и, подставив их в восьмое, седьмое, второе и первое уравнения системы уравнений (2)
соответственно, получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1414 Р. М. ХАКИМОВ
z1 =
(1 + λz7)k
((1 + λz7)k/i + λz
1−1/i
8 )i
1
(1 + λz2)k−i
,
z2 =
(1 + λz8)k
((1 + λz8)k/i + λz
1−1/i
7 )i
1
(1 + λz1)k−i
,
(5)
z7 =
(1 + λz1)k
((1 + λz1)k/i + λz
1−1/i
2 )i
1
(1 + λz8)k−i
,
z8 =
(1 + λz2)k
((1 + λz2)k/i + λz
1−1/i
1 )i
1
(1 + λz7)k−i
.
Рассмотрим отображение W : R4 → R4, определенное следующим образом:
z′1 =
(1 + λz7)k
((1 + λz7)k/i + λz
1−1/i
8 )i
1
(1 + λz2)k−i
,
z′2 =
(1 + λz8)k
((1 + λz8)k/i + λz
1−1/i
7 )i
1
(1 + λz1)k−i
,
(6)
z′7 =
(1 + λz1)k
((1 + λz1)k/i + λz
1−1/i
2 )i
1
(1 + λz8)k−i
,
z′8 =
(1 + λz2)k
((1 + λz2)k/i + λz
1−1/i
1 )i
1
(1 + λz7)k−i
.
Заметим, что (5) есть уравнение z = W (z). Чтобы решить систему уравнений (5), необхо-
димо найти неподвижные точки отображения z′ = W (z).
Лемма 1. Отображение W имеет инвариантные множества следующих видов:
I1 = {(z1, z2, z7, z8) ∈ R4 : z1 = z2 = z7 = z8},
I2 = {(z1, z2, z7, z8) ∈ R4 : z1 = z7, z2 = z8},
I3 = {(z1, z2, z7, z8) ∈ R4 : z1 = z2, z7 = z8},
I4 = {(z1, z2, z7, z8) ∈ R4 : z1 = z8, z2 = z7}.
Доказательство. Покажем инвариантность I2 (инвариантность Ii, i = 1, 3, 4, доказывается
аналогично). Ясно, что для любого z∗ = (z∗1 , z
∗
2 , z
∗
7 , z
∗
8) ∈ I2 имеет место z∗1 = z∗7 , z
∗
2 = z∗8 .
Отсюда и из (6) имеем
z′1 =
(1 + λz∗1)k
[(1 + λz∗1)k/i + λ(z∗2)1−1/i]i
1
(1 + λz∗2)k−i
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ НС-МОДЕЛИ . . . 1415
z′2 =
(1 + λz∗2)k
[(1 + λz∗2)k/i + λ(z∗1)1−1/i]i
1
(1 + λz∗1)k−i
,
z′7 =
(1 + λz∗1)k
[(1 + λz∗1)k/i + λ(z∗2)1−1/i]i
1
(1 + λz∗2)k−i
,
z′8 =
(1 + λz∗2)k
[(1 + λz∗2)k/i + λ(z∗1)1−1/i]i
1
(1 + λz∗1)k−i
,
т. е. z′1 = z′7; z′2 = z′8, а это значит, что z′ = W (z∗) ∈ I2.
Замечание 1. Из определений 2 и 3 следует, что в случае I2 (или I3, или I4) слабо пери-
одическая мера Гиббса не совпадает периодической, если из условий z1 = z7, z2 = z8 (или
z1 = z2, z7 = z8, или z1 = z8, z2 = z7) вытекает, что хотя бы одно из равенств z1 = z3, z2 = z5,
z4 = z8, z6 = z7 не выполняется, т. е. значение zi зависит от x↓.
Лемма 2. Если на инвариантных множествах I2, I3, I4 существуют слабо периодические
меры Гиббса, то они являются либо трансляционно-инвариантными, либо слабо периодиче-
скими (не периодическими).
Доказательство проведем для I2 (остальные случаи доказываются аналогично.) Пусть
z1 = z7, z2 = z8. Тогда из системы уравнений (2) при z2 6= z4 получим
z1 =
1
(1 + λz4)i
1
(1 + λz2)k−i
6= z3 =
1
(1 + λz4)i−1
1
(1 + λz2)k−i+1
,
а то, что z2 6= z4, можно увидеть из второго и четвертого уравнений этой же системы.
Случай I2. Запишем систему уравнений (5) на I2 при k = 2, i = 1:
z1 =
(1 + λz1)2
(1 + λz1)2 + λ
1
1 + λz2
,
z2 =
(1 + λz2)2
(1 + λz2)2 + λ
1
1 + λz1
.
(7)
После обозначений x = 1 + λz1 и y = 1 + λz2 из системы уравнений (7) получаем
x = f(y),
y = f(x),
где f(x) =
λx2
(x2 + λ)(x− 1)
. Рассмотрим производную
f ′(x) = −xλ(x3 − λx+ 2λ)
(x2 + λ)2(x− 1)2
и по формуле Кардано найдем корни многочлена x3 − λx + 2λ. Этот многочлен имеет один
вещественный отрицательный корень
x =
1
3
3
√
−27λ+ 3λ
√
81− 3λ+
λ
3
√
−27λ+ 3λ
√
81− 3λ
< 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1416 Р. М. ХАКИМОВ
при λ ≤ 27. Значит, при этом условии f ′(x) < 0 при x > 1, т. е. функция f(x) убывает на
этом интервале и уравнение f(x) = x имеет единственное решение. Вообще говоря, уравнение
f(x) = x имеет единственное решение при любых λ > 0, так как уравнение
x =
λx2
(x2 + λ)(x− 1)
= f(x)
эквивалентно уравнению x3− x2− λ = 0, которое по известной теореме о количестве положи-
тельных корней многочлена имеет не более одного положительного решения, потому что знаки
при коэффициентах меняются только один раз (рис. 1).
Рис. 1. Графики функций y = x и y = f(x) при λ = 35.
Очевидно, что это решение больше единицы. Кроме того, оно находится среди решений
уравнения f(f(x)) = x. Поэтому рассмотрим уравнение
x− f(f(x))
x− f(x)
= 0,
которое эквивалентно уравнению
h(x) = x6 − (λ+ 2)x5 + (5λ+ 1)x4 − λ(2λ+ 5)x3 + 2λ(2λ+ 1)x2 − 3λ2x+ λ2 = 0.
Из этого уравнения получаем h(1) = λ > 0 и h(x) → +∞ при x → +∞. Кроме того, график
функции h(x) касается оси Ox при x = 2, λ = 4, так как h(2) = −(λ − 4)(5λ + 4). Отсюда
следует, что уравнение h(x) = 0 не имеет решений при λ < 4, имеет одно решение при λ = 4
и по крайней мере два решения при λ > 4 (рис. 2).
Итак, справедливо следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ НС-МОДЕЛИ . . . 1417
Рис. 2. График функции h(x) при k = 2, λ = 3,88 (верхняя кривая), при критической λ = 4 (средняя) и при
λ = 4,15 (нижняя).
Утверждение 1. Система уравнений (7) имеет только одно решение при λ < 4, два ре-
шения при λ = 4 и не менее трех решений при λ > 4.
Замечание 2. С помощью компьютерного анализа можно увидеть, что система уравнений
(7) имеет только три решения при λ > 4 (рис. 2).
Обозначив x = 1 + λz1, y = 1 + λz2, рассмотрим систему уравнений (5) на I2 при k = 3,
i = 1:
y2 =
λx3
(x3 + λ)(x− 1)
,
(8)
x2 =
λy3
(y3 + λ)(y − 1)
.
В этой системе уравнений найдем из первого уравнения y и подставим его во второе уравнение.
Тогда получим уравнение
f(x, λ) = x16 − (λ+ 4)x15 + 3(λ+ 2)x14 − 4x13 + (1− 14λ)x12 + 3λ(λ+ 8)x11−
−16λx10 − 4λ(5λ− 1)x9 + 36λ2x8 + λ2(λ− 24)x7 + λ2(6− 13λ)x6+
+24λ3x5 − 16λ3x4 + λ3(4− 3λ)x3 + 6λ4x2 − 4λ4x+ λ4 = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1418 Р. М. ХАКИМОВ
для которого f(1, λ) = λ2 > 0, f(1, 5; 1, 8) = −0, 5255524 < 0, f(1, 8; 1, 8) = 9, 30017 > 0,
f(2; 1, 8) = −90, 1232 < 0 и f(x, λ) → +∞ при x → +∞, λ > 0. Следовательно, последнее
уравнение имеет не менее четырех решений при x > 1 (рис. 3).
,,
Рис. 3. График функции f(x, λ) при λ = 1, 8.
Утверждение 2. Существует такое λ0, что система уравнений (8) имеет не менее че-
тырех решений при λ > λ0.
Замечание 3. С помощью компьютерного анализа можно увидеть, что существует λcr та-
кое, что система уравнений (8) имеет два решения при λ < λcr и четыре решения при λ > λcr.
При этом в каждом случае одно из решений соответствует трансляционно-инвариантной мере
Гиббса.
Случай I3. Запишем систему уравнений (5) на I3 при k ≥ 1, i = 1:
z1 =
(1 + λz7)k
(1 + λz7)k + λ
1
(1 + λz1)k−1
,
z7 =
(1 + λz1)k
(1 + λz1)k + λ
1
(1 + λz7)k−1
.
(9)
После обозначений x = 1 + λz1 и y = 1 + λz7 из системы (9) находим
xk − xk−1 =
λyk
yk + λ
,
yk − yk−1 =
λxk
xk + λ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ НС-МОДЕЛИ . . . 1419
Вычитая из первого уравнения этой системы второе, получаем уравнение
(x− y)[(xk−1 + . . .+ yk−1 − (xk−2 + . . .+ yk−2))(xk + λ)(yk + λ)+
+λ2(xk−1 + . . .+ yk−1)] = 0,
которое имеет только решение вида x = y при x > 1, y > 1. Заметим, что если x = y, то
z1 = z2 = z3 = z4 = z5 = z6 = z7 = z8 при i = 1. Действительно, пусть z1 = z2 = z7 = z8.
Тогда из первого и второго уравнений системы (2) получим z4 = z6, а из седьмого и восьмого
уравнений той же системы — z3 = z5. Далее, из третьего и четвертого уравнений находим
z3 =
1
(1 + λz4)i−1
1
(1 + λz1)k−i+1
, z4 =
1
(1 + λz3)i−1
1
(1 + λz1)k−i+1
,
откуда следует, что z3 = z4 при i = 1. Значит, z3 = z4 = z5 = z6. Следовательно, систему
уравнений (2) можно записать в виде
z1 =
1
(1 + λz3)i
1
(1 + λz1)k−i
,
z3 =
1
(1 + λz3)i−1
1
(1 + λz1)k−i+1
.
Разделив первое уравнение этой системы на второе, получим z1 = z3.
Утверждение 3. Пусть k ≥ 1, i = 1. Тогда система уравнений (9) имеет единственное
решение при λ > 0.
Случай I4. Запишем систему уравнений (5) на I4 при k ≥ 1, i = 1:
z1 =
1 + λz2
(1 + λz2)k + λ
,
z2 =
1 + λz1
(1 + λz1)k + λ
.
(10)
После обозначений x = 1 + λz1 и y = 1 + λz2 из системы уравнений (10) получим
x = f(y),
y = f(x),
где f(x) =
λx
xk + λ
+ 1. Заметим, что f(0) = 1, f(1) =
λ
1 + λ
+ 1 > 1. Вычислим производную
f ′(x) = −λ(k − 1)xk − λ
(xk + λ)2
.
Отсюда функция f(x) возрастает при 0 < x < k
√
λ
k − 1
и убывает при x > k
√
λ
k − 1
, т. е.
xmax = k
√
λ
k − 1
.Из изложенного следует, что уравнение f(x) = x имеет единственное решение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1420 Р. М. ХАКИМОВ
Рис. 4. Графики функций y = x и y = f(x) при k = 3, λ = 1, 5.
при x > 1, λ > 0. Это еще можно увидеть, аналогично случаю I2, использовав теорему о
количестве положительных корней многочлена (рис. 4).
Аналогично случаю I2 при k = 2, i = 1 и k = 3, i = 1 получаем
h1(x) = (λ+ 1)x2 + λx+ 2λ2 + λ,
h2(x) = (λ+ 1)x6 − λx5 + 2λx4 + 2λ(λ+ 1)x3 + 2λ2x+ 2λ3 + λ2
соответственно. Очевидно, что h1(x) > 0, h2(x) > 0 при x > 1, λ > 0. Значит, система
уравнений (10) не имеет решений, кроме z1 = z2, т. е. справедливо следующее утверждение.
Утверждение 4. Система уравнений (10) имеет единственное решение при k = 2 и k = 3.
В силу всех утверждений и леммы 2 справедлива следующая теорема.
Теорема. Для HC-модели в случае нормального делителя индекса четыре справедливы
следующие утверждения:
1. При k ≥ 1, i ≤ k на I1 слабо периодическая мера Гиббса единственна. Более того, эта
мера совпадает с единственной трансляционно-инвариантной мерой Гиббса.
2. Пусть k = 2, i = 1, λcr = 4. Тогда на I2 при λ < λcr существует одна слабо пери-
одическая мера Гиббса, которая является трансляционно-инвариантной, при λ = λcr суще-
ствуют две слабо периодические меры Гибсса, одна из которых является трансляционно-
инвариантной, другая — слабо периодической (не периодической) и при λ > λcr существуют
не менее двух слабо периодических (не периодических) мер Гибсса.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ НС-МОДЕЛИ . . . 1421
3. Пусть k = 3, i = 1. Тогда существует λ0 такая, что на I2 при λ > λ0 существуют
не менее четырех мер Гиббса, одна из которых является трансляционно-инвариантной, а
остальные являются слабо периодическими (не периодическими) мерами Гиббса.
4. При k ≥ 1, i = 1 на I3 слабо периодическая мера Гиббса единственна.
5. При k = 2, 3, i = 1 на I4 слабо периодическая мера Гиббса единственна.
Замечание 4. Компьютерный анализ показывает, что система уравнений (10) имеет только
одно решение при k = 4, 5, 6 и λ > 0. При k ≥ 7 при некоторых значениях λ можно уви-
деть, что решение системы (10) не единственно, т. е. существуют слабо периодические (не
периодические) меры Гиббса для HC-модели (рис. 5).
, , ,
Рис. 5. График функции h(x) при k = 7, λ = 1, 765 (верхняя кривая), при λ ≈ 1, 768674523476329362 (средняя) и
при λ = 1, 775 (нижняя).
1. Георги Х.-О. Гиббсовские меры и фазовые переходы. – М.: Мир, 1992.
2. Preston C. J. Gibbs States on countable sets // Cambridge Tracts Math. – 1974. – 68.
3. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. – М.: Наука, 1980.
4. Bleher P. M., Ganikhodjaev N. N. On pure phases of the Ising model on the Bethe lattice // Theor. Probab. Appl. –
1990. – 35, № 2. – P. 216 – 227.
5. Bleher P. M., Ruiz J., Zagrebnov V. A. On the purity of the limiting Gibbs state for the Ising model on the Bethe
lattice // J. Stat. Phys. – 1995. – 79, № 1-2. – P. 473 – 482.
6. Ганиходжаев Н. Н., Розиков У. А. Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных
моделей на дереве Кэли // Теор. и мат. физика. – 1997. – 111, № 1. – P. 109 – 117.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1422 Р. М. ХАКИМОВ
7. Розиков У. А. Структуры разбиений на классы смежности группового представления дерева Кэли по нормаль-
ным делителям конечного индекса и их применения для описания периодических распределений Гиббса //
Теор. и мат. физика. – 1997. – 112, № 1. – P. 170 – 176.
8. Rozikov U. A., Suhov Yu. M. Gibbs measures for SOS model on a Cayley tree // Inf. Dim. Anal. Quant. Prob. RT. –
2006. – 9, № 3. – P. 471 – 488.
9. Martin J. B., Rozikov U. A., Suhov Yu. M. A three state hard-core model on a Cayley tree // J. Nonlinear Math. Phys. –
2005. – 12, № 3. – P. 432 – 448.
10. Ganikhodjaev N. N., Rozikov U. A. On Ising model with four competing interactions on Cayley tree // Math. Phys.
Anal. Geom. – 2009. – 12, № 2. – P. 141 – 156.
11. Mukhamedov F. M., Rozikov U. A. On Gibbs measures of models with competing ternary and binary interactions and
corresponding von Neumann algebras // J. Stat. Phys. – 2005. – 119, № 1-2. – P. 427 – 446.
12. Розиков У. А., Шоюсупов Ш. А. Плодородные HC-модели с тремя состояниями на дереве Кэли // Теор. и мат.
физика. – 2008. – 156, № 3. – P. 412 – 424.
13. Suhov Yu. M., Rozikov U. A. A hard-core model on a Cayley tree: an example of a loss network // Queueing Systems. –
2004. – 46. – P. 197 – 212.
14. Розиков У. А., Рахматуллаев М. М. Описание слабо периодических мер Гиббса модели Изинга на дереве Кэли
// Теор. и мат. физика. – 2008. – 156, № 2. – P. 292 – 302.
15. Розиков У. А., Рахматуллаев М. М. Слабо периодические основные состояния и меры Гиббса для модели
Изинга с конкурирующими взаимодействиями на дереве Кэли // Теор. и мат. физика. – 2009. – 160, № 3. –
P. 507 – 516.
16. Zachary S. Countable state space Markov random fields and Markov chains on trees // Ann. Probab. – 1983. – 11. –
P. 894 – 903.
17. Розиков У. А., Хакимов Р. М. Условие единственности слабопериодической гиббсовской меры для модели
жесткой сердцевины // Теор. и мат. физика. – 2012. – 173, № 1. – P. 60 – 70.
18. Хакимов Р. М. Единственность слабо периодической гиббсовской меры для HC-модели // Мат. заметки. –
2013. – 94, № 5. – С. 796 – 800.
Получено 19.08.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
|