О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом
Досліджується зв'язок між порядком i типом цілої функції та швидкістю її найкращої полiномiальної апроксимації для широкого кола банахових просторів функцій, аналітичних в одиничному крузі. Знайдено співвідношення, що визначають порядок та тип цілої функції через послідовність її найкращих набл...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165877 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом / М.З. Двейрін // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1333–1347. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165877 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658772020-02-17T01:27:07Z О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом Двейрін, М.З. Статті Досліджується зв'язок між порядком i типом цілої функції та швидкістю її найкращої полiномiальної апроксимації для широкого кола банахових просторів функцій, аналітичних в одиничному крузі. Знайдено співвідношення, що визначають порядок та тип цілої функції через послідовність її найкращих наближень. Отримані результати є узагальненням результатів А. Р. Редді, I. I. Шрагімова та Н. I. Шихалієва, С. Б. Вакарчука, Р. Мамадова. We study the relationship between the order and type of an entire function and the rate of its best polynomial approximation for various Banach spaces of functions analytic in the unit disk. The relations specifying the order and type of the entire function via the sequence of its best approximations are deduced. The results are obtained by generalizing the results obtained earlier by Reddy, Ibragimov, Shyhaliev, Vakarchyk, and Mamadov. 2015 Article О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом / М.З. Двейрін // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1333–1347. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165877 517.547 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Двейрін, М.З. О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом Український математичний журнал |
| description |
Досліджується зв'язок між порядком i типом цілої функції та швидкістю її найкращої полiномiальної апроксимації для широкого кола банахових просторів функцій, аналітичних в одиничному крузі. Знайдено співвідношення, що визначають порядок та тип цілої функції через послідовність її найкращих наближень. Отримані результати є узагальненням результатів А. Р. Редді, I. I. Шрагімова та Н. I. Шихалієва, С. Б. Вакарчука, Р. Мамадова. |
| format |
Article |
| author |
Двейрін, М.З. |
| author_facet |
Двейрін, М.З. |
| author_sort |
Двейрін, М.З. |
| title |
О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом |
| title_short |
О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом |
| title_full |
О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом |
| title_fullStr |
О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом |
| title_full_unstemmed |
О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом |
| title_sort |
о связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165877 |
| citation_txt |
О связи скорости полиномиальной аппроксимации целой функции с ее порядком и типом / М.З. Двейрін // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1333–1347. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT dvejrínmz osvâziskorostipolinomialʹnojapproksimaciicelojfunkciiseeporâdkomitipom |
| first_indexed |
2025-07-14T20:12:27Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:12:27Z |
| _version_ |
1837654553491668992 |
| fulltext |
УДК 517.547
М. З. Двейрин (Донец. нац. ун-т)
О СВЯЗИ СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЕЕ ПОРЯДКОМ И ТИПОМ
We study the relationship between the order and type of an entire function and the rate of its best polynomial approximation
for various Banach spaces of functions analytic in the unit disk. The relations specifying the order and type of the entire
function via the sequence of its best approximations are deduced. The results are obtained by generalizingt the results
obtained earlier by A. R. Reddy, I. I. Ibragimov and N. I. Shyhaliev, S. B. Vakarchyk, and R. Mamadov.
Дослiджується зв’язок мiж порядком i типом цiлої функцiї та швидкiстю її найкращої полiномiальної апроксимацiї
для широкого кола банахових просторiв функцiй, аналiтичних в одиничному крузi. Знайдено спiввiдношення, що
визначають порядок та тип цiлої функцiї через послiдовнiсть її найкращих наближень. Отриманi результати є
узагальненням результатiв А. Р. Реддi, I. I. Iбрагiмова та Н. I. Шихалiєва, С. Б. Вакарчука, Р. Мамадова.
1. Введение. Рассмотрим банахово пространство X, образованное аналитическими в единич-
ном круге D функциями, имеющими конечную норму ‖ · ‖. Будем считать, что ‖ · ‖ помимо
обычных свойств нормы удовлетворяет также условиям
‖f(·eit)‖ ≡ ‖f(·)‖ (1)
для всех t ∈ R и f ∈ X,
‖f(·)‖ <∞ (2)
для любой целой функции (т. е. пространство X содержит все целые функции),
∥∥∥∥∥∥ 1
2π
2π∫
0
f(zeit)g(t) dt
∥∥∥∥∥∥ ≤ 1
2π
2π∫
0
|g(t)| dt ‖f(·)‖ (3)
для любых функций f ∈ X и g ∈ L[0; 2π] (иначе говоря, ‖f ∗ g‖ ≤ ‖f‖ ‖g‖L[0;2π] для любых
f ∈ X и g ∈ L[0; 2π]).
Этим требованиям удовлетворяет норма в ряде функциональных пространств, являющихся
объектом многочисленных исследований (автору неизвестны примеры пространств, в которых
выполняются условия (1), (2) и при этом не выполняется условие (3); в частности, оно вы-
полняется для полиномов и потому верно в функциональных пространствах, где полиномы
плотны). Приведем некоторые из них.
1. Пространство B функций, аналитических в единичном круге D и непрерывных на его
замыкании D с нормой
‖f‖ = max
z∈D
|f(z)| <∞ .
2. Пространства Харди Hp, p ≥ 1, функций, аналитических в круге D с нормой
c© М. З. ДВЕЙРИН, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10 1333
1334 М. З. ДВЕЙРИН
‖f‖ = sup
0<r<1
Mp (f, r), Mp (f, r) :=
1
2π
2π∫
0
|f(reit)|p dt
1/p
, p ∈ [1;∞),
‖f‖ = sup
z∈D
|f(z)| , p =∞.
3. Пространства Бергмана H ′p функций, аналитических в круге D при p ∈ [1;∞) с нормой
‖f‖ =
1
π
∫
z∈D
∫
|f(x+ iy)|p dxdy
1/p
,
и обобщенные (весовые) пространства Бергмана H ′p, ρ функций, аналитических в круге D при
p ∈ [1;∞) с нормой
‖f‖ =
1
π
∫
z∈D
∫
|f(x+ iy)|p ρ(|z|)dxdy
1/p
и радиальным весом ρ(|z|).
4. Пространства Ap, p ∈ (0; 1), функций, аналитических в круге D с нормой
‖f‖ =
1∫
0
(1− r)1/p−2M1 (f, r) dr ,
впервые изучавшиеся Харди и Литтлвудом [1] и позднее Ромбергом, Дюреном и Шилдсом [2].
5. Пространства Bp, q, λ, 0 < p < q ≤ ∞, λ > 0, функций, аналитических в круге D с нормой
‖f‖ =
1∫
0
(1− r)λ(1/p−1/q)−1Mλ
q (f, r) dr
1/λ
, λ <∞,
‖f‖ = sup
0<r<1
{
(1− r)(1/p−1/q)Mq (f, r)
}
, λ =∞,
введенные Харди и Литтлвудом в работе [1] (см. также [3]). Известно [3], что в случае
min(q, λ) ≥ 1 пространства Bp, q, λ являются банаховыми.
6. Пространства со смешанной нормой Hp, q, α, p, q ≥ 1, α > 0, образованные функциями,
аналитическими в круге D с конечной нормой
‖f‖ =
1∫
0
(1− r)qα−1M q
p (f, r) dr
1/q
, q <∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О СВЯЗИ СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ . . . 1335
‖f‖ = sup
0<r<1
{(1− r)αMp (f, r)} , q =∞,
введенные Харди и Литтлвудом в работе [1]. Заметим, что пространства Hp, q, α и Bp, q, λ отли-
чаются лишь способом введения параметров.
7. Пространство BMOA [4, c. 14], состоящее из функций f ∈ H1 с нормой
‖f‖ = sup
I
∫
I
|f(ζ)− fI |dσ(ζ) ,
где f(ζ) — граничные значения функции f(z) на единичной окружности, а fI — среднее ариф-
метическое значение функции f(ζ) на дуге I .
8. Пространства типа Блоха Bα , α ∈ (0,∞), состоящие из функций, аналитических в D с
конечной нормой
‖f‖ = |f(0)|+ sup
z∈D
(1− |z|2)α|f ′(z)| .
Пространства Bα являются банаховыми [5, c. 1144], при α = 1 Bα совпадает с пространством
Блоха B.
9. Введенные Е. М. Дынькиным ([6, c. 56], см. также [4, c. 10]) пространства Asp,q(D) , явля-
ющиеся аналогами классов О. В. Бесова Bsp,q[−1; 1] . Эти пространства образованы функциями
f ∈ Hp, p ∈ [1;∞], с нормой
‖f‖ =
1∫
0
(
ωm(f, t)p
ts
)q dt
t
1/q
+ sup
0<r<1
Mp (f, r).
Здесь q ∈ [1;∞], s > 0, m > s — натуральное число, ωm(f, t)p — m-й модуль гладкости в
пространстве Lp функции f(ei·), представляющей собой радиальные предельные значения f.
Случай q =∞ трактуется традиционно.
10. Обобщенные пространства Дирихле Dp(α) функций, аналитических в D с нормой
‖f(z)‖ =
( ∞∑
k=0
|ck|p αk
)1/p
,
где ck = ck(f) — коэффициенты Тейлора функции f, p ≥ 1, α = {αk} — фиксированная
последовательность положительных чисел с условиями
lim sup
k→∞
(αk)
1/k <∞, lim inf
k→∞
(αk)
1/k ≥ 1.
Отметим, что приведенные выше примеры функциональных пространств со свойствами
(1) – (3) не исчерпывают их многообразия.
Пусть En(f) ≡ En(f, Ln) — наилучшее приближение функции f ∈ X элементами линей-
ного подпространства Ln:
En(f) := inf
p∈Ln
‖f − p ‖ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1336 М. З. ДВЕЙРИН
В качестве аппроксимирующего подпространства Ln будем рассматривать совокупность Pn
алгебраических полиномов комплексной переменной степени не выше n − 1, p∗n — полином
наилучшего приближения степени не выше n − 1 для функции f , т. е. такой, что En(f) =
= ‖f − p∗n‖. В статье [7] найдены соотношения, определяющие порядок и тип целой функции
через последовательность En(f) ее наилучших приближений в случае X = H ′2. В 1976 г.
И. И. Ибрагимов и Н. И. Шихалиев получили подобные соотношения для пространств X = H ′p
с произвольным p ≥ 1. Приведем формулировки теорем из их работы [8] (см. также [9]).
Теорема А. Для того чтобы f(z) ∈ H ′p (p ≥ 1 любое) была целой функцией, необходимо
и достаточно, чтобы
lim
n→∞
(En(f))1/n = 0. (4)
Теорема Б. Для того чтобы f(z) ∈ H ′p (p ≥ 1 любое) была целой функцией конечного
порядка ρ, необходимо и достаточно, чтобы
lim sup
n→∞
n lnn
− lnEn(f)
= ρ. (5)
Теорема В. Для того чтобы f(z) ∈ H ′p (p ≥ 1 любое) была целой функцией конечного
порядка ρ и нормального типа σ, необходимо и достаточно, чтобы
lim sup
n→∞
n(En(f))ρ/n = σeρ. (6)
Аналогичные результаты были получены С. Б. Вакарчуком [10, 11] для пространств Bp, q, λ.
Р. Мамадов [12] распространил эти результаты на весовые пространства Бергмана с радиальным
весом ρ(|z|). В настоящей статье эти результаты распространяются на широкую совокупность
нормированных пространств функций, аналитических в единичном круге, включающую среди
прочих приведенные выше пространства 1 – 10. Метод доказательства фрагментами повторяет
доказательства в указанных выше работах, но в целом не совпадает ни с одним из них.
2. Формулировки основных результатов. Основными результатами статьи являются
следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть f ∈ X. Условие
lim
n→∞
(En(f))1/n = 0 (7)
является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f была целой.
Теорема 2. Для того чтобы функция f ∈ X была целой конечного порядка ρ ∈ (0;∞),
необходимо и достаточно, чтобы
lim sup
n→∞
n lnn
ln
‖zn‖
En(f)
= ρ. (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О СВЯЗИ СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ . . . 1337
Теорема 3. Пусть существует конечный предел limn→∝(‖zn‖)1/n = µ. Для того чтобы
функция f ∈ X была целой функцией конечного порядка ρ ∈ (0;∞) и нормального типа
σ ∈ (0;∞), необходимо и достаточно, чтобы
lim sup
n→∞
n
eρ
(
En(f)
‖zn‖
)ρ/n
= σ. (9)
Теоремы 2 и 3 выражают порядок и тип целой функции через скорость ее аппроксимации
по норме пространства X , которое может быть выбрано достаточно произвольно. Это наводит
на мысль о справедливости следующего утверждения.
Теорема 4. Для целой функции f положим fr(z) := f(rz) (здесь и всюду далее). Тогда
порядок ρ и тип σ целой функции f удовлетворяют равенствам
ρ := lim sup
r→∞
ln ln ‖fr‖
ln r
, (10)
σ := lim sup
r→∞
ln ‖fr‖
rρ
(11)
для любого вышеописанного банахова пространства X со свойствами (1) – (3).
В случае, когда X = B, соотношения (10) и (11) совпадают с обычным определением
порядка и типа целой функции.
3. Применение к конкретным пространствам. Выполнение условий (1) и (2) во всех
вышеприведенных примерах пространств очевидно. Покажем, что в приведенных выше функ-
циональных пространствах выполняется также условие (3).
Лемма 1. Условие (3) выполнено в пространствах B; Hp, p ≥ 1; H ′p, ρ, p ≥ 1; Ap, p ∈
∈ (0; 1); Hp, q, α, p, q ≥ 1, α > 0; BMOA; Bα, α ∈ (0;∞); Asp,q(D), p, q ∈ [1;∞], s > 0;
Dp(α), p ≥ 1.
Доказательство. В пространствах B и Ap выполнение свойства (3) очевидно. В простран-
ствахHp, H
′
p, ρ при p ≥ 1 свойство (3) очевидным образом следует из обобщенного неравенства
Минковского для пространств Lp. В случае пространства BMOA
∥∥∥∥∥∥ 1
2π
2π∫
0
f(zeit)g(t) dt
∥∥∥∥∥∥ =
= sup
I
∫
I
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
2π∫
0
f(ei(t+ϕ))g(t)dt− 1
|I|
∫
I
1
2π
2π∫
0
f(ei(t+u))g(t)dt
du
∣∣∣∣∣∣ dϕ =
= sup
I
∫
I
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
2π∫
0
f(ei(t+ϕ))g(t) dt− 1
2π
2π∫
0
1
|I|
∫
I
f(ei(t+u))g(t)du
dt
∣∣∣∣∣∣ dϕ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1338 М. З. ДВЕЙРИН
= sup
I
∫
I
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
2π∫
0
g(t)
f(ei(t+ϕ))− 1
|I|
∫
I
f(ei(t+u))du
dt
∣∣∣∣∣∣ dϕ ≤ 1
2π
2π∫
0
|g(t)| dt ‖f(·)‖
в силу свойства (1) нормы в пространстве X.
Убедимся в выполнении условия (3) в пространстве Bα :
‖f ∗ g‖ =
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
2π∫
0
f(0)g(t) dt
∣∣∣∣∣∣+ sup
z∈D
(1− |z|2)α
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
2π∫
0
f ′(zeit)g(t)eit dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ |f(0)| ‖g(t)‖L + sup
z∈D
1
2π
2π∫
0
(1− |z|2)α |f ′(zeit)g(t)eit| dt ≤
≤ ‖g(t)‖L(|f(0)|+ sup
z∈D
(1− |z|2)α |f ′(zeit)|) = ‖f‖ ‖g(t)‖L.
Пусть теперь f ∈ Hp, q, α, g ∈ L[0; 2π], z = reiϕ. В пространстве Hp, q, α, используя обоб-
щенное неравенство Минковского, имеем
‖f ∗ g‖ =
1∫
0
(1− r)qα−1
1
2π
2π∫
0
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
2π∫
0
f(rei(ϕ+t))g(t) dt
∣∣∣∣∣∣
p
dϕ
q/p
1/q
≤
≤
1∫
0
(1− r)qα−1
1
2π
2π∫
0
dt
1
2π
2π∫
0
|f(rei(ϕ+t))g(t)|pdϕ
1/p
q
1/q
= ‖f‖ ‖g‖L.
Докажем, что свойство (3) выполнено и в пространстве Asp,q(D) .
Из интегрального представления свертки
(f ∗ g) (eiϕ) =
1
2π
2π∫
0
f(ei(ϕ+t))g(t) dt,
вследствие линейности оператора m-й разности ∆h
m(·, ϕ)
∆h
m(f ∗ g, ϕ) =
1
2π
2π∫
0
∆h
m(f(ei(· +t)), ϕ) g(t) dt,
используя обобщенное неравенство Минковского, получаем
ωm(f ∗ g, h)p ≤ ωm(f, h)p ‖g‖L.
Из этого неравенства и отмеченной раньше справедливости свойства (3) в пространстве Hp
следует справедливость свойства (3) в пространстве Asp,q(D) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О СВЯЗИ СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ . . . 1339
Докажем выполнение свойства (3) в пространстве Dp(α) . Пусть ck — коэффициенты Тей-
лора функции f ∈ Dp(α), bk — коэффициенты Фурье суммируемой функции g, z ∈ D. Тогда
(f ∗ g)(z) =
1
2π
2π∫
0
f(zeit)g(t) dt =
∞∑
k=0
ckb−kz
k
и
‖f ∗ g‖ =
( ∞∑
k=0
|ckb−k|p αk
)1/p
≤ sup
k
|bk|
( ∞∑
k=0
|ck|p αk
)1/p
≤ ‖f‖ ‖g‖L.
Лемма 1 доказана.
Убедимся, что в приведенных выше пространствах выполнено условие теоремы 3 на поведе-
ние последовательности ‖zn‖.Для этого покажем, что в этих пространствах limn→∞(‖zn‖)1/n =
= 1. В пространствах B и Hp, p ≥ 1, ‖zn‖ = 1 при n ≥ 0, и, следовательно, условия теоремы 3
в этих пространствах выполнены. В пространствах H ′p , p ≥ 1, ‖zn‖ = (np+ 2)−1/p при n ≥ 0,
и условия теоремы 3 в этих пространствах также выполняются, теоремы 1 – 3 совпадают с
соответствующими теоремами из [8]. В пространствах Bp ‖zn‖ = (2πB(1/p − 1, np + 1))1/p
при p ∈ (0; 1), где B(·, ·) — бета-функция Эйлера. Из свойств бета-функции следует, что в
этом пространстве limn→∞(‖zn‖)1/n = 1 и к пространствам Bp теорема 3 применима. В про-
странствах Bp, q, λ ‖zn‖ = B(λn + 1, λpq/(q − p) + 1) при λ < ∞ и, как и в предыдущем
случае, limn→∞(‖zn‖)1/n = 1. При λ = ∞ ‖zn‖ = sup0<r<1 r
n(1 − r)pq/(q−p). Поскольку
(1− 1/n)n npq/(p−q) ≤ ‖zn‖ < 1, то limn→∞(‖zn‖)1/n = 1 и теорема 3 применима к простран-
ствам Bp, q, λ. В этом случае теоремы 1 – 3 совпадают с результатами С. Б. Вакарчука [10]. В
весовых пространствах Бергмана H ′p,ρ
‖zn‖ =
2
1∫
0
tpn+1 ρ(t)dt
1/p
≤
2
1∫
0
t ρ(t)dt
1/p
и lim supn→∞ (‖zn‖)1/n ≤ 1 в случае, когда функция tρ(t) суммируема на отрезке [0; 1]. С
другой стороны, при ε ∈ (0; 1)
‖zn‖ ≥
2
1∫
1−ε
tpn+1 ρ(t)dt
1/p
≥ (1− ε)n
2
1∫
1−ε
t ρ(t)dt
1/p
и lim infn→∞ (‖zn‖)1/n ≥ 1 − ε, если вес ρ(t) удовлетворяет естественному условию∫ 1
1−ε
t ρ(t)dt > 0 при каждом ε ∈ (0; 1). Вследствие произвольности ε ∈ (0; 1) с учетом
оценки lim supn→∞ (‖zn‖)1/n ≤ 1 имеем limn→∞(‖zn‖)1/n = 1. Таким образом, теорема 3
применима и к пространствам H ′p,ρ. В этом случае мы получаем соответствующие результаты
Р. Мамадова (см. [12]).
Проверим, что условия теоремы 3 выполнены также в пространстве Asp,q(D) . Поскольку
|∆h
m(ein·)| = |(1− einh)m| = (2 sinnh/2)m, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1340 М. З. ДВЕЙРИН
‖zn‖ =
π
n∫
0
(
(2 sinnt/2)m
ts
)q dt
t
+
1∫
π
n
2mqt−sq−1dt
1/q
+ 1 ≤
≤
π
n∫
0
nmqt(m−s)q−1dt+
1∫
π
n
2mqt−sq−1dt
1/q
+ 1 ≤ C nq,
где C — положительное число, зависящее только от m, s, q. Из этой оценки следует, что в
пространстве Asp,q(D) limn→∞(‖zn‖)1/n = 1.
Перейдем теперь к пространству BMOA. Положим f = zn, найдем fI и оценим ‖zn‖
в BMOA. Пусть I — дуга единичной окружности с концами в точках eit1 и eit2 , t2 > t1,
x =
t1 + t2
2
, h =
t2 − t1
2
. Тогда
fI =
1
t2 − t1
t2∫
t1
eintdt =
sinnh
nh
einx.
Положим
A =
1
t2 − t1
t2∫
t1
∣∣∣∣eint − sinnh
nh
einx
∣∣∣∣ dt =
1
2h
h∫
−h
∣∣∣∣eint − sinnh
nh
∣∣∣∣ dt.
Поскольку A ≤ 2, то ‖zn‖ = suph∈[0;π]A ≤ 2. Оценим теперь ‖zn‖ снизу:
‖zn‖ ≥ sup
h= π
2n
A = sup
n
n
π
π
2n∫
−π
2n
(
1− 2
π
cosnt+
4
π2
)1/2
dt ≥ sup
n
2n
π
π
2n∫
0
(
2
π
)1/2
dt =
(
2
π
)1/2
.
Из полученных оценок ‖zn‖ следует, что в пространстве BMOA limn→∞(‖zn‖)1/n = 1.
В пространствах Bα при n ≥ 1
‖zn‖ = sup
z∈D
|zn|(1− |z|2)α =
(
n
n+ α
)n/2 ( 2α
n+ 2α
)α
,
откуда следует, что limn→∞(‖zn‖)1/n = 1.
В пространстве Dp(α) ‖zn‖ = (αn)1/p и условиe теоремы В выполнено в случае, когда
limn→∞(αn)1/n = 1.
Таким образом, условия теорем 1 – 3 выполнены во всех приведенных выше пространствах.
Для пространств BMOA, Bα, Dp(α), Asp,q(D) теоремы 1 – 3 являются новыми.
4. Доказательства основных результатов. Нам понадобятся следующие две леммы. Пер-
вая из них является естественным обобщением неравенства Коши для коэффициентов ряда
Тейлора.
Лемма 2. Пусть f ∈ X и f(z) =
∑∞
k=0 ckz
k в D. Тогда
|cn| ‖zn‖ ≤ En(f) ≤ ‖f‖.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О СВЯЗИ СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ . . . 1341
Доказательство. Воспользовавшись формулой для коэффициентов ряда Тейлора, запишем
равенство
cnz
n =
1
2πi
∫
|ζ|=1
f(zζ)− Pn(zζ)
ζn+1
dζ,
где Pn — полином наилучшего приближения для f(z) степени не выше n−1. Отсюда |cn|‖zn‖ ≤
≤ En(f) ≤ ‖f(z)‖ в силу свойств (3) и (1) нормы в пространстве X.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть µ1 := lim infn→∞ (‖zn‖)1/n, µ2 := lim supn→∞ (‖zn‖)1/n. Тогда µ1 ≥ 1,
µ2 <∞.
Доказательство. Обозначим βn = (‖zn‖)1/n. Докажем, что µ2 < ∞. Предположим про-
тивное, тогда существует подпоследовательность βnk такая, что limk→∞ βnk =∞. Рассмотрим
функцию f0, определяемую степенным рядом
f0(z) =
∞∑
k=0
(βnk)−nk/2znk .
Она является целой и поэтому должна принадлежать X. Но тогда согласно лемме 2 при каждом
натуральном k (βnk)−nk/2‖znk‖ ≤ ‖f0‖ < ∞ , что невозможно. Для доказательства того, что
µ1 ≥ 1, допустим противное, т. е. что µ1 < 1. Зафиксируем % ∈ (µ1; 1) и рассмотрим функцию,
определяемую рядом Тейлора
f0(z) =
∞∑
k=0
%−nkznk , (12)
где nk — последовательность, для которой lim infn→∞ βn = limk→∞ βnk = µ1.
Функция f0 аналитична в круге |z| < ρ, но неаналитична в D. Нетрудно проверить, что
последовательность частных сумм Sn,f0(z) ряда (12) фундаментальна в банаховом пространстве
X и, следовательно, сходится в нем к некоторой функции f1 ∈ X. Покажем, что тейлоровские
коэффициенты функций f0 и f1 равны. Для произвольно фиксированного k ∈ N
⋃
{0}, n > k
ck(f1) = ck(Sn,f0) + ck(f1 − Sn,f0) = ck(f0) + ck(f1 − Sn,f0).
Устремляя в этом равенстве n к∞ и учитывая лемму 2, получаем ck(f1) = ck(f0). Таким обра-
зом, функция f1 принадлежит X, но не является аналитической в D, что противоречит харак-
теристике пространства X. Следовательно, предположение о том, что µ1 < 1, было неверным.
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Пусть f ∈ X, K — компакт, K ⊂ D. Тогда при z ∈ K
|f(z)| ≤ C ‖f‖,
где C — постоянная, не зависящая от f и z.
Доказательство. Положим d := sup{|z| : z ∈ K}, d < 1. Запишем разложение функции f
в ряд Тейлора и оценим ее модуль, использовав лемму 2 в предположении, что z ∈ K. Тогда
f(z) =
∞∑
k=0
ckz
k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1342 М. З. ДВЕЙРИН
|f(z)| ≤
∞∑
k=0
|ck| |zk| ≤ ‖f(z)‖
∞∑
k=0
dk
‖zk‖
≤ C ‖f‖
в силу сходимости ряда, легко проверяемой с помощью признака Коши с учетом леммы 3.
Лемма 4 доказана.
Замечание 1. Из леммы 4 следует, что при выполнении ее условий значение функции
в точке z ∈ K представляет собой ограниченный линейный функционал и из сходимости
в пространстве X следует равномерная сходимость на компактах K ⊂ D. Аналогичными
рассуждениями можно показать, что при любом натуральном n и z ∈ K значение f (n)(z)
является ограниченным линейным функционалом в X .
Доказательство теоремы 1. Достаточность. Пусть f(z) =
∑∝
k=0 ckz
k при z ∈ D.
Согласно лемме 2 |cn| ‖zn‖ ≤ En(f). Отсюда
|cn| ≤
En(f)
‖zn‖
и lim
n→∞
|cn|1/n ≤ lim
n→∞
(
En(f)
‖zn‖
)1/n
= 0,
т. е. функция f является целой.
Необходимость. Для функции f ∈ X положим fζ(z) := f(zζ). Поскольку f — целая, то
fR ∈ X при любом R > 1 и в силу следствия 2 теоремы 2 [13] (см. также [14], теорема 2.3)
En(f) ≤ R−nEn(fR) ≤ R−n‖fR‖.
Поэтому с учетом леммы 3
0 ≤ lim
n→∞
(
En(f)
‖zn‖
)1/n
≤ 1
R
lim sup
n→∞
(
1
‖zn‖
)1/n
≤ 1
R
.
В силу леммы 3 и произвольности R > 1 это означает, что
lim
n→∞
(En(f))1/n = 0.
Теорема 1 доказана.
Замечание 2. В работах [13, 14] в условиях полученных там теорем пропущено условие
(3), без которого они, вообще говоря, неверны. В данной статье условие (3) предполагается
выполненным, и в этом случае используемое нами следствие 2 теоремы 2 работы [13] справед-
ливо.
Доказательство теоремы 2. Достаточность. Из условия (8) следует, что выполнено
условие теоремы 1 и, следовательно, функция f является целой. Обозначим ее порядок α.
Тогда
α = lim sup
n→∞
n lnn
− ln |cn|
≤ lim sup
n→∞
n lnn
ln
‖zn‖
En(f)
= ρ (13)
в силу леммы 2. Покажем теперь, что в условиях теоремы α > 0. Предположим противное, т. е.
что
lim sup
n→∞
n lnn
− ln |cn|
= 0.
Тогда для произвольного положительного ε ∈ (0, 1) найдется Nε такое, что при n > Nε
выполняется неравенство n lnn < −ε ln |cn| и равносильное ему неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О СВЯЗИ СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ . . . 1343
|cn| < n−n/ε.
Использовав последнее неравенство, оценим En(f) при n > Nε. Будем считать Nε столь
большим, что ‖zn‖ ≤ (µ2 + ε)n и ‖zn‖ ≥ (1− ε)n при n ≥ Nε. Тогда
En(f) ≤
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
ckz
k
∥∥∥∥∥ ≤
∞∑
k=n
k−k/ε (µ2 + ε)k ≤
∞∑
k=n
n−k/ε (µ2 + ε)k =
= n−n/ε(µ2 + ε)n
(
1− µ2 + ε
n1/ε
)−1
(14)
при дополнительном условии n > (µ2 + ε)ε. Из (14) получаем
‖zn‖
En(f)
≥
(
1− ε
µ2 + ε
)n
nn/ε
(
1− µ2 + ε
n1/ε
)
,
ln
(
‖zn‖
En(f)
)1/n
≥ ln
1− ε
µ2 + ε
+
1
ε
lnn+
1
n
ln
(
1− µ2 + ε
n1/ε
)
.
Отсюда
lim inf
n→∞
ln
(
‖zn‖
En(f)
)1/n
lnn
≥ 1
ε
,
ρ = lim sup
n→∞
n lnn
ln
‖zn‖
En(f)
≤ ε,
что противоречит условию теоремы.
Выберем ε ∈ (0; 1/2) ∩ (0;α). Из того, что
α = lim sup
n→∞
n lnn
− ln |cn|
,
следует, что существует Nε ∈ N, зависящее только от ε и такое, что |cn| ≤ n
− n
α+ε при всех
n ≥ Nε. Будем считать Nε столь большим, что ‖zn‖ ≤ (µ2 + ε)n и ‖zn‖ ≥ (1− ε)n при n ≥ Nε.
Тогда при n > Nε
En(f) ≤
∥∥∥∥∥
∝∑
k=n
ckz
k
∥∥∥∥∥ ≤
∝∑
k=n
|ck| ‖zk‖ ≤
∝∑
k=n
k
−k
α+ε ‖zk‖ ≤
≤
∝∑
k=n
n
−k
α+ε (µ2 + ε)k =
(µ2 + ε)n
n
n
α+ε
(
1− µ2 + ε
n
1
α+ε
)−1
. (15)
Следовательно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1344 М. З. ДВЕЙРИН
‖zn‖
En(f)
≥ ‖zn‖
(µ2 + ε)n
n
n
α+ε
(
1− µ2 + ε
n
1
α+ε
)
,
α+ ε ≥ n lnn
ln
‖zn‖
En(f)
(
1 +
α+ ε
n lnn
ln
(
1− µ2 + ε
n
1
α+ε
)
+
α+ ε
n lnn
ln
‖zn‖
(µ2 + ε)n
)
. (16)
Устремляя в (16) n к ∞, получаем α + ε ≥ ρ, что вследствие произвольности выбора ε > 0
означает, что α ≥ ρ. Таким образом, с учетом (13) получаем α = ρ и достаточность доказана.
Необходимость. Пусть f ∈ X — целая функция конечного порядка ρ, т. е.
lim sup
n→∞
n lnn
− ln |cn|
= ρ. (17)
Положим
α = lim sup
n→∞
n lnn
ln
‖zn‖
En(f)
(α и ρ в обозначениях по сравнению с доказательством достаточности поменялись местами)
и покажем, что α = ρ. Из леммы 2 аналогично (13) следует, что α ≥ ρ. Рассуждая, как
при доказательстве достаточности, можем утверждать, что для произвольного ε, 0 < ε < 1,
найдется Nε такое, что |cn| ≤ n
− n
ρ+ε и (1 − ε)n ≤ ‖zn‖ ≤ (µ2 + ε)n при n > Nε. Аналогично
(15) и (16) (с заменой α на ρ) получим
ρ+ ε ≥ n lnn
ln
‖zn‖
En(f)
(
1 +
ρ+ ε
n lnn
ln
(
1− µ2 + ε
n
1
ρ+ε
)
+
ρ+ ε
n lnn
ln
‖zn‖
(µ2 + ε)n
)
,
откуда предельным переходом находим ρ+ ε ≥ α и, следовательно, ρ ≥ α.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Достаточность. Пусть f принадлежит X и удовлетворяет
условию теоремы 3 с некоторыми положительными ρ и σ. Тогда из (9) следует справедливость
условия (8), поэтому f является целой и имеет порядок ρ. Пусть тип f равен α. Докажем, что
α = σ. Из формулы для определения типа целой функции
α = lim sup
n→∞
n
eρ
|cn|ρ/n (18)
с учетом леммы 2 имеем α ≤ σ. Докажем обратное неравенство. Из (18) следует, что для
произвольного ε > 0 существует Nε ∈ N такое, что при n > Nε
|cn| <
(
ρe(α+ ε)
n
)n/ρ
. (19)
С учетом (19) аналогично (15), (16) находим
En(f) ≤
∞∑
k=n
(
ρe(α+ ε)
k
)k/ρ
‖zk‖ ≤
(
ρe(α+ ε)
n
)n/ρ
(µ+ ε)n
(
1− C
n1/ρ
)−1
, (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О СВЯЗИ СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ . . . 1345
где C = (µ+ ε)(ρe(α+ ε))1/ρ. Из (20) получаем
α+ ε ≥ n
eρ
(
En(f)
‖zn‖
)ρ/n ‖zn‖ρ/n
(µ+ ε)ρ
(
1− c
n1/ρ
)ρ/n
. (21)
Вычисляя верхний предел в (21), имеем
α+ ε ≥ σ
(
µ
µ+ ε
)ρ
, (22)
откуда, устремляя ε к нулю, находим α ≥ σ , что завершает доказательство достаточности.
Необходимость. Пусть функция f ∈ X является целой, конечного порядка и нормального
типа. Обозначим ее порядок через ρ (он удовлетворяет в силу теоремы 2 равенству (8)), а ее
тип — α. Покажем, что α = σ. Согласно (18) и лемме 2 α ≤ σ. Далее для доказательства нера-
венства α ≥ σ нужно полностью повторить соответствующие рассуждения из доказательства
достаточности.
Теорема 3 доказана.
Доказательству теоремы 4 предпошлем две леммы.
Лемма 5. Пусть f ∈ X и ‖fr‖ < ear
k
для некоторых положительных a и k и всех
достаточно больших r. Тогда начиная с некоторого номера тейлоровские коэффициенты
функции f удовлетворяют неравенству
|cn| <
(
eak
n
)n/k
.
Лемма 6. Пусть начиная с некоторого номера тейлоровские коэффициенты функции f ∈
∈ X удовлетворяют неравенству
|cn| <
(
eak
n
)n/k
.
Тогда для любого ε > 0 при всех достаточно больших r ‖fr‖ < e(a+ε)r
k
.
Доказательство. Справедливость теоремы 4 непосредственно следует из лемм 5 и 6. До-
казательство самих лемм 5 и 6 может быть получено дословным повторением рассуждений из
[16, c. 5] (леммы 1 и 2) с использованием леммы 2 вместо неравенства Коши для коэффициентов
ряда Тейлора.
В теоремах 1 – 3 предполагается, что функция f ∈ X является аналитической в единичном
круге. Если это требование снять, то ситуация изменится. Полиномы наилучшего приближения
в пространстве X при соответствующем выборе нормы со свойствами (1) – (3) могут сходить-
ся и к функции, которая не является аналитической и, тем более, целой. Тем не менее, как
показывает следующая теорема, для последовательности полиномов наилучшего приближения
аналитичность предельной функции и даже теорема 1 в некотором роде сохраняются.
Теорема 5. ПустьX — банахово пространство комплекснозначных функций, определенных
в круге D, норма в котором удовлетворяет условиям (1) – (3), функция f ∈ X и
lim infn→∞ (‖zn‖)1/n = µ1 > 0. Если функция f является целой, то
lim
n→∞
{
En(f)
‖zn‖
}1/n
= 0. (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1346 М. З. ДВЕЙРИН
Обратно, если выполнено условие (23), то последовательность {p∗n} полиномов наилучшего
приближения функции f по норме пространства X равномерно сходится в каждом круге
|z| < ρ, ρ ∈ (0;∞), к некоторой целой функции.
Доказательство. Первое утверждение доказано в теореме 1. Докажем второе. Пусть для
f ∈ X выполнено условие (23). Из него следует, что En(f)→ 0 при n→∞. Кроме того, для
любых натуральныхm и n, m ≥ n, и последовательности {P ∗n(z)} полиномов наилучшего при-
ближения ‖P ∗n(z)−P ∗m(z)‖ ≤ 2En(f). Из леммы 4 следует, что последовательность полиномов
наилучшего приближения фундаментальна по sup-норме в каждом круге |z| ≤ r при r ∈ (0;µ1)
и справедлива оценка |P ∗n(z) − P ∗m(z)| ≤ 2CEn(f) с постоянной C, зависящей только от r и
µ1. Поэтому последовательность {P ∗n(z)} сходится равномерно на компактах в круге |z| < µ1
к некоторой функции g(z), аналитической в круге |z| < µ1, причем |P ∗n(z)− g(z)| ≤ 2CEn(f)
при |z| ≤ r. Из неравенств Коши для коэффициентов γn ряда Тейлора функции g(z) следует
оценка |γn| ≤ 2Cr−nEn(f). Для доказательства аналитичности функции g(z) во всей плоско-
сти достаточно воспользоваться формулой Коши – Адамара для радиуса сходимости степенного
ряда.
Докажем теперь равномерную сходимость последовательности {P ∗n(z)} в круге |z| < ρ с
произвольно выбранным ρ ∈ (0;∞) к функции g(z). Зафиксируем некоторое значение r ∈
∈ (0; µ1). Из неравенства С. Н. Бернштейна для роста полиномов следует, что в круге |z| < ρ
имеет место оценка
|P ∗n+1(z)− P ∗n(z)| ≤ 2C
(ρ
r
)n+1
En(f),
поэтому в силу признака Вейерштрасса ряд
P ∗1 (z) +
∞∑
k=1
(
P ∗n+1(z)− P ∗n(z)
)
сходится равномерно в этом круге. А в силу теоремы единственности сходится он именно
к g(z).
Теорема 5 доказана.
Замечание 3. Полученные в статье утверждения остаются справедливыми и в случае, если
условие (3) заменить более слабым условием∥∥∥∥∥∥ 1
2π
2π∫
0
f(zeit)g(t) dt
∥∥∥∥∥∥ ≤ C
1
2π
2π∫
0
|g(t)| dt ‖f(·)‖,
где постоянная C не зависит от f ∈ X и g ∈ L[0; 2π].
1. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of fractional integrals. II // Math. Z. – 1931. – 34, № 3. – S. 403 – 439.
2. Duren P. L., Romberg B. W., Shields A. L. Linear functionals in Hp spaces with 0 < p < 1 // J. reine und angew.
Math. – 1969. – 238. – S. 4 – 60.
3. Гварадзе М. И. Об одном классе пространств аналитических функций // Мат. заметки. – 1977. – 21, № 2. –
C. 141 – 150.
4. Шведенко С. В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге
и шаре // Итоги науки и техники. Сер. мат. анализ / ВИНИТИ. – 1985. – 23. – C. 3 – 124.
5. Zhu К. Bloch type spaces of analytic functions // Rocky Mountain J. Math. – 1993. – 23, № 3. – P. 1143 – 1177.
6. Дынькин Е. М. Конструктивная характеристика классов С.Л. Соболева и О.В. Бесова // Труды Мат. ин-та АН
СССР. – 1981. – 155. – C. 41–76.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
О СВЯЗИ СКОРОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ . . . 1347
7. Reddy A. R. A Constribution to best approximation in the L2 norm // J. Approxim. Theory. – 1974. – 11, № 11. –
P. 110 – 117.
8. Ибрагимов И. И., Шихалиев Н. И. О наилучшем полиномиальном приближении в одном пространстве
аналитических функций // Докл. АН СССР. – 1976. – 227, № 2. – C. 280 – 283.
9. Ибрагимов И. И., Шихалиев Н. И. О наилучшем приближении в среднем аналитических функций в простран-
стве Ap(|z| < 1) // Спец. вопросы теории функций. – 1977. – № 1. – C. 84 – 96.
10. Вакарчук С. Б. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических функций в пространстве Bp, q, λ
// Докл. АН УССР. Сер. физ.-мат. и техн. науки. – 1989. – № 8. – C. 6 – 9.
11. Вакарчук С. Б. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций //
Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 6. – C. 838 – 843.
12. Мамадов Р. Некоторые вопросы приближения целыми функциями: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. –
Душанбе, 2009. – 14 с.
13. Двейрин М. З., Чебаненко И. В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических
функций // Теория отображений и приближение функций. – Киев: Наук. думка, 1983. – С. 63 – 73.
14. Двейрин М. З. Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций, аналитических в единичном круге
// Укр. мат. вестн. – 2006. – 3, № 3. – C. 315 – 330.
15. Вакарчук С. Б., Жир С. И. Найкращi полiномiальнi наближення цiлих трансцендентних функцiй узагальненого
порядку зростання в банахових просторах E ′p(G) та Ep(G), p ≥ 1 // Укр. мат. вестн. -– 2011. – 8, № 2. – C. 255 –
291.
16. Levin B. Ya. Lectures on entire functions // Transl. Math. Monogr. – Providence: Amer. Math. Soc., 1996. – Vol. 150. –
248 p.
Получено 06.08.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
|