Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником
Розглядається задача Коші для двічі нєлінійного виродженого параболiчного рівняння з нелокаль-ним джерелом. Припускається, що початкова функція є інтегровною. Встановлюється глобальне за часом існування та неіснування розв'язків задачі....
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165878 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником / Н.В. Афанасьева, А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1443–1464. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165878 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658782020-02-17T01:26:44Z Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником Афанасьева, Н.В. Тедеев, А.Ф. Статті Розглядається задача Коші для двічі нєлінійного виродженого параболiчного рівняння з нелокаль-ним джерелом. Припускається, що початкова функція є інтегровною. Встановлюється глобальне за часом існування та неіснування розв'язків задачі. We consider the Cauchy problem for a doubly nonlinear degenerate parabolic equation with nonlocal source under the assumption that the initial function is integrable. We establish the existence and nonexistence of time-global solutions of the problem. 2005 Article Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником / Н.В. Афанасьева, А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1443–1464. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165878 517.946 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Афанасьева, Н.В. Тедеев, А.Ф. Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником Український математичний журнал |
| description |
Розглядається задача Коші для двічі нєлінійного виродженого параболiчного рівняння з нелокаль-ним джерелом. Припускається, що початкова функція є інтегровною. Встановлюється глобальне за часом існування та неіснування розв'язків задачі. |
| format |
Article |
| author |
Афанасьева, Н.В. Тедеев, А.Ф. |
| author_facet |
Афанасьева, Н.В. Тедеев, А.Ф. |
| author_sort |
Афанасьева, Н.В. |
| title |
Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником |
| title_short |
Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником |
| title_full |
Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником |
| title_fullStr |
Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником |
| title_full_unstemmed |
Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником |
| title_sort |
теоремы существования и несуществования решений задачи коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165878 |
| citation_txt |
Теоремы существования и несуществования решений задачи Коши для вырожденных параболических уравнений с нелокальным источником / Н.В. Афанасьева, А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1443–1464. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT afanasʹevanv teoremysuŝestvovaniâinesuŝestvovaniârešenijzadačikošidlâvyroždennyhparaboličeskihuravnenijsnelokalʹnymistočnikom AT tedeevaf teoremysuŝestvovaniâinesuŝestvovaniârešenijzadačikošidlâvyroždennyhparaboličeskihuravnenijsnelokalʹnymistočnikom |
| first_indexed |
2025-07-14T20:12:34Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:12:34Z |
| _version_ |
1837654559921537024 |
| fulltext |
УДК 517.946
Н. В. Афанасьева, А. Ф. Тедеев
(Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С НЕЛОКАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ
We consider the Cauchy problem for doubly nonlinear degenerate parabolic equations with nonlocal
source under assumption that the initial function is integrable. We establish the global in time existence
and nonexistence of solutions of the problem.
Розглядається задача Кошi для двiчi нелiнiйного виродженого параболiчного рiвняння з нелокаль-
ним джерелом. Припускається, що початкова функцiя є iнтегровною. Встановлюється глобальне
за часом iснування та неiснування розв’язкiв задачi.
1. Введение. В данной работе будем рассматривать задачу Коши
ut = div
(
uα |Du|m−1
Du
)
+
+
∫
RN
K(y)uq(y, t)dy
p−1
q
ur, x ∈ RN , t > 0, (1.1)
u(x, 0) = u0(x) > 0, x ∈ RN , (1.2)
где m + α − 1 > 0, α ≥ 0, p > 0, r ≥ 1, p + r > 2, 1 ≤ q < ∞, m > 0,
u0(x) ∈ L1(RN ) и
K(y) = (1 + |y|)µ, −N < µ < N(q − 1).
Если в (1.1) положить m = 1, α = 0 и p = 1, то получим начальную задачу для
уравнения
ut = 4u + ur, x ∈ RN , t > 0. (1.3)
Фуджитой [1] впервые был изучен вопрос о глобальной разрешимости по времени
задачи (1.3), (1.2). Он показал, что если 1 < r < rc = 1 +
2
N
, то начальная задача
(1.3), (1.2) не имеет нетривиальных, неотрицательных решений, существующих
при любом t ∈ [0,+∞), т. е. существует такое конечное T > 0, что
‖u(·, t)‖∞,RN →∞ при t → T.
С другой стороны, было доказано, что если r > rc, то при некоторой малости
начальной функции существуют глобальные по времени положительные решения.
c© Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ, 2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11 1443
1444 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
Число rc принято называть показателем Фуджиты. Задача (1.1), (1.2) рас-
сматривалась многими авторами при p = 1 (см., например, обзорные работы
[2, 3]). Оказалось, что в этом случае для m + α − 1 > 0 показатель Фуджиты
rc = m + α + (m + 1)/N [4 – 6]. Позже было показано, что этот же результат
остается верным и при m + α− 1 < 0 [7, 8]. Случай p > 1, m = 1, α = 0 изучался
в работах [6, 9].
Целью данной работы является получение условий существования и несуще-
ствования глобального по времени решения задачи (1.1), (1.2). Поскольку уравне-
ние (1.1) вырождается, решение будем понимать в обобщенном смысле. Функция
u(x, t) является обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), если u(x, t) ≥ 0 почти
всюду в QT = RN × (0, T ), удовлетворяет условиям
u ∈ L∞(QT ) ∩ C((0,∞);L2(RN )) ∩ C([0,∞);L1(RN )),
uα|Du|m ∈ L1(QT ),
ur ∈ L1(QT )
и для любой ограниченной области Ω ⊂ QT выполнено интегральное тождество∫
Ω
(
−uηt + uα|Du|m−1DuDη
)
dxdτ =
=
∫
Ω
∫
RN
K(y)uq(y, t)dy
p−1
q
urηdxdτ ∀η ∈ C1
0 (Ω).
Кроме того, u(·, t) → u0 при t → 0 в L1(RN ).
Основные результаты сформулированы в следующих теоремах.
Теорема 1.1. Пусть в (1.1) p > 1, r ≥ 1, q ≥ 1, −N < µ ≤ 0 и начальная
функция удовлетворяет условию
‖u0‖1,RN + ‖u0‖λ,RN ≤ δ (1.4)
с достаточно малым δ > 0 и λ > N(r −m− α)/(m + 1), λ ≥ 1.
Тогда если
r > r∗ = m + α +
m + 1
N
− (−µ + N(q − 1))
p− 1
Nq
,
то задача (1.1), (1.2) имеет решение u(x, t), определенное при любом t > 0. Более
того, найдется постоянная γ, которая зависит лишь от N, m, α, p, r, q, µ, такая,
что u(x, t) при любом t > 0 удовлетворяет условию
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt−
N
K ‖u0‖
m+1
K
1,RN , (1.5)
где K = N(m + α− 1) + m + 1.
Теорема 1.2. Пусть теперь p < 1, p + r − 2 > 0, p > max{0, 1− (r − 1)(m +
+ 1)/K}, 0 ≤ µ < N(q − 1), r > r∗, q > N(r −m − α)/(m + 1). Предположим
также, что начальная функция удовлетворяет условию (1.4) при некотором до-
статочно малом δ и λ = q, а ее носитель содержится в шаре некоторого радиуса
ρ0 с центром в начале координат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1445
Тогда существует глобальное по времени решение u(x, t) задачи (1.1), (1.2),
для которого при некоторой постоянной γ, зависящей лишь от N, m, α, p, r, µ,
q, выполняется неравенство (1.5).
Теорема 1.3. Пусть в (1.1) −N < µ < N(q − 1) − (m + 1)(p − 1)/q. Если
p и r таковы, что p > 1, p < 1 + min{q, Nq2/(m + 1)}, p ≤ 1 + (m + 1)/N,
m+α < r < r∗, то любое неотрицательное решение задачи (1.1), (1.2) становится
неограниченным при некотором T > 0.
Замечание 1.1. Теоремы 1.1 и 1.3 при m = 1 и α = 0 совпадают с результатами
работ [6, 9]; метод, использованный в этих работах, основывается на теоремах
сравнения. Здесь же используются и развиваются энергетические подходы работ
[4, 5, 10].
Особо отметим, что при 0 < p < 1 не было результатов даже для модель-
ных уравнений, поскольку для таких уравнений отсутствуют теоремы сравнения
(комментарии по этому вопросу см. в [6]).
Основная трудность при доказательстве глобальной разрешимости в случае
0 < p < 1 (теорема 1.2) при нашем подходе заключается в том, что необходимо
оценивать нелокальное слагаемое снизу, поскольку оно находится в отрицательной
степени. В данной работе это достигается путем получения точной оценки носи-
теля решения. По этой причине в уcловии теоремы мы потребовали компактность
носителя начальной функции.
Структура работы следующая: в п. 2 доказывается теорема 1.1, в пунктах 3 и
4 приводятся соответственно вспомогательные результаты, необходимые для дока-
зательства теоремы 1.2, и доказательство теоремы 1.2, в п. 5 доказывается теорема
1.3.
2. Доказательство теоремы 1.1. Точно так же, как и в работах [4, 5, 10],
можно показать, что если
t
∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, t)dy
p−1
q
‖u(·, t)‖r−1
∞,RN <
1
2
, (2.1)
то имеется оценка
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ t
− N
Kλ
sup
0<τ<t
∫
RN
uλ(·, τ)dx
m+1
Kλ
∀t ∈ (0;T ) , (2.2)
где
Kλ = N (m + α− 1) + λ(m + 1) > 0, λ ≥ 1.
Таким образом, теорема 1.1 будет доказана, если мы покажем, что для всех t > 0
выполняется неравенство (2.1) и имеет место оценка
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤ γ‖u0‖1,RN . (2.3)
Здесь и далее через γ будем обозначать постоянные, зависящие лишь от N, m, α,
p, r, q, µ, λ. Кроме того, пусть Bρ(x0) = {|x−x0| < ρ} — шар радиуса ρ с центром
в x0 ∈ RN .
Рассмотрим последовательность un(x, t), n ≥ 1, решений следующих задач
Коши – Дирихле:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1446 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
unt − div
(
uα
n|Dun|m−1Dun
)
=
= min
n,
∫
RN
(1 + |y|)µuq
ndy
p−1
q
ur
n
в Bn × (0,+∞), (2.4)
un(x, t) = 0 на ∂Bn × (0,+∞), (2.5)
u(x, 0) = u0n x ∈ Bn, (2.6)
где Bn = Bρn(0) с некоторой последовательностью ρn → ∞ при n → ∞, а
u0n ∈ C∞
0 (Bn) такие, что u0n → u0 в L1(RN ) ∩ Lλ(RN ) и, кроме того,
‖u0n‖1,RN ≤ ‖u0‖1,RN , ‖u0n‖λ,RN ≤ ‖u0‖λ,RN .
Продолжив un(x, t) нулем вне Bn × (0,+∞), мы тем самым определим ее во
всем RN × (0,+∞). Из результатов работы [11] следует, что задача (2.4) – (2.6)
глобально разрешима при любом фиксированном n. Ниже мы установим оценки
(2.1), (2.3) для un с постоянной γ, не зависящей от n. Тогда может быть использован
стандартный предельный переход (см., например, [4, 10]), и теорема 1.1 будет
доказана.
В дальнейшем для простоты опустим индекс n, обозначив un через u.
Пусть T1 = sup{t > 0 : выполнено условие (2.1)}. Умножим обе части (2.4) на
uq−1 и проинтегрируем по множеству Qt = RN×(0; t), где t ∈ (0;T1). В результате
с учетом того, что µ < 0, получим
∫
RN
uq(x, t)dx ≤
∫
RN
uq
0dx + q
t∫
0
∫
RN
uq(y, τ)dy
p−1
q +1
‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN dτ.
Введем величину Φq(t) = sup0<τ<t
∫
RN
uq(x, τ)dx. Тогда из предыдущего нера-
венства имеем∫
RN
uq(x, t)dx ≤
∫
RN
uq
0dx + qΦ
p−1
q +1
q (t)
t∫
0
‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN dτ. (2.7)
Используя в последнем интеграле (2.7) оценку (2.2), находим∫
RN
uq(x, t)dx ≤
∫
RN
uq
0dx + γΦ
p−1
q +1
q (t)Ψλ(t), t ∈ (0;T1), (2.8)
где Ψλ(t) = t
1−N(r−1)
Kλ Φλ(t)
(r−1)(m+1)
Kλ . Понятно, что Ψλ(t) имеет смысл лишь при
λ > N(r −m− α)/(m + 1). Обозначим еще
Tq = sup{t > 0 : γΦ
p−1
q
q (t)Ψλ(t) < ε}.
Тогда при достаточно малом ε > 0 из (2.8) следует
Φq(t) ≤ γ‖u0‖q
q,RN , t ∈ (0;min{T1, Tq}). (2.9)
Умножая теперь уравнение (2.4) на uλ−1 и интегрируя по Qt, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1447∫
RN
uλ(x, t)dx ≤
∫
RN
uλ
0dx+
+λ
t∫
0
∫
RN
uq(x, τ)dx
p−1
q
‖u(x, τ)‖r−1
∞,RN
∫
RN
uλ(·, τ)dxdτ.
С учетом (2.9) из последнего неравенства следует∫
RN
uλ(x, t)dx ≤ ‖u0‖λ
λ,RN + γ‖u0‖p−1
q,RN Φλ(t)Ψλ(t). (2.10)
Определим Tλ = sup{t > 0 : γ‖u0‖p−1
q,RN Ψλ(t) < ε}. Тогда при достаточно малом ε
из (2.10) имеем
Φλ(t) ≤ γ ‖u0‖λ
λ,RN , t ∈ (0;min {T1, Tq, Tλ}) . (2.11)
Найдем T0 из условия
γ (T0)
1−N(r−1)
Kλ ‖u0‖p−1
q,RN ‖u0‖
(r−1)(m+1)
Kλ
λ
λ,RN = ε.
Ясно, что min{Tq, Tλ} > T0 > 1, если ‖u0‖λ,RN достаточно мала. Если же t ∈
∈ (0;min{T0, T1}), то в силу малости ‖u0‖λ,RN выполняется неравенство
t
∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, t)dy
p−1
q
‖u(·, t)‖r−1
∞,RN ≤
≤ γt
1−N(r−1)
Kλ ‖u0‖
(r−1)(m+1)
Kλ
λ
λ,RN ‖u0‖p−1
q,RN ≤ 1
4
.
Отсюда T1 > T0.
Проинтегрируем (2.4) по Qt, где теперь t ∈ (0, T0):∫
RN
u(x, t)dx ≤
∫
RN
u0(x)dx+
+
t∫
0
∫
RN
(1 + |y|)µuqdy
p−1
q
‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN
∫
RN
u(x, τ)dxdτ.
Отсюда при t ∈ (0;T0) получаем
‖u(·, t)‖1,RN ≤ ‖u0‖1,RN +
+ sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
t∫
0
∫
RN
(1 + |y|)µuqdy
p−1
q
‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN dτ. (2.12)
Поскольку t < T0, последний интеграл в правой части (2.12) можно оценить сле-
дующим образом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1448 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
t∫
0
∫
RN
K(y)uq(y, τ)dy
p−1
q
‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN dτ ≤
≤ γT
1−N(r−1)
Kλ
0 ‖u0‖
λ(r−1)(m+1)
Kλ
λ,RN ‖u0‖p−1
q,RN ≤ ε.
Отсюда следует неравенство
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤ γ‖u0‖1,RN , t ∈ (0, T0), (2.13)
когда ε — достаточно малая величина.
Итак, при любом t ∈ (0;T0), где T0 > 1, имеем (2.13).
Интегрируя теперь (2.4) по множеству RN × (1; t), где t ∈ (1;T1), получаем
∫
RN
u(x, t)dx ≤ γ‖u0‖1,RN +
t∫
1
∫
RN
(1 + |y|)µuqdy
p−1
q ∫
RN
urdxdτ.
Очевидно, что (1 + |y|)µ ≤ |y|µ, поэтому∫
RN
(1 + |y|)µuqdy =
∫
|y|<ρ(t)
|y|µuq(y, t)dy +
∫
|y|>ρ(t)
|y|µuq(y, t)dy, (2.14)
ρ = ρ(t) определим позже. Оценим отдельно каждый интеграл в правой час-
ти (2.14): ∫
|y|<ρ(t)
|y|µuq(y, t)dy ≤ γρN+µ‖u(·, t)‖q
∞,RN ≤
≤ γρN+µt−(Nq)/K
(
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
)q(m+1)/K
и ∫
|y|>ρ(t)
|y|µuq(y, t)dy ≤ ρµ
∫
RN
uqdy ≤
≤ ρµ‖u(·, t)‖q−1
∞,RN
(
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
)
≤
≤ γρµt−N(q−1)/K
(
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
)1+
(q−1)(m+1)
K
.
Выберем теперь ρ из условия
ρN+µt−(Nq)/K
(
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
)q(m+1)
K
=
= ρµt−N(q−1)/K
(
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
)1+ (q−1)(m+1)
K
,
т. е. ρ(t) = t1/K
(
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
)(m+α−1)/K
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1449
При таком выборе ρ получим∫
RN
(1 + |y|)µuqdy ≤ γt−
−µ+N(q−1)
K
(
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
)(N+µ)(m+α−1)+q(m+1)
K
.
(2.15)
Из (2.13) и (2.15) имеем∫
RN
u(x, t)dx ≤ γ‖u0‖1,RN +
+ γ
t∫
1
(
τ−
−µ+N(q−1)
K sup
0<s<τ
‖u(·, s)‖
(N+µ)(m+α−1)+q(m+1)
K
1,RN
) p−1
q
‖u‖r−1
∞,RN
∫
RN
udxdτ ≤
≤ γ‖u0‖1,RN + γ sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖
(N+µ)(m+α−1)(p−1)+q(p+r−2)(m+1)
Kq +1
1,RN ×
×
t∫
1
τ−
(−µ+N(q−1))(p−1)+Nq(r−1)
Kq dτ (2.16)
при t ∈ (1;T1).
Обозначим D0 =
∫ ∞
1
τ−
(−µ+N(q−1))(p−1)+Nq(r−1)
Kq dτ. Поскольку r > r∗, то D0 <
< +∞. Теперь из (2.16) следует
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤ γ‖u0‖1,RN + γ sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖l+1
1,RN D0 (2.17)
при t ∈ (1;T1), где l =
(N + µ)(m + α− 1)(p− 1) + q(p + r − 2)(m + 1)
Kq
> 0.
Пусть еще
t1 = sup{t > 1 : sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤ 4γ1‖u0‖1,RN },
тогда при достаточно малом ‖u0‖1,RN из (2.17) следует, что при любых t ∈
∈ (1;min{T1, t1}) имеет место неравенство
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤ 2γ1‖u0‖1,RN . (2.18)
Отсюда получаем t1 > T1. Значит, (2.18) верно при t ∈ (1;T1). Итак, мы пришли к
оценке
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤ γ‖u0‖1,RN ∀t ∈ (0;T1).
Покажем теперь, что T1 = +∞. Из (2.14), (2.15) при t ∈ (1;T1) имеем
t
∫
RN
(1 + |y|)µ
uqdy
p−1
q
‖u(·, t)‖r−1
∞,RN ≤
≤ (t− 1)‖u(·, t)‖r−1
∞,RN
∫
RN
|y|µuqdy
p−1
q
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1450 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
+‖u(·, t)‖r−1
∞,RN
∫
RN
|y|µuqdy
p−1
q
≤
≤ (t− 1)t−
(−µ+N(q−1))(p−1)+Nq(r−1)
Kq ‖u0‖l
1,RN + ‖u0‖l
1,RN ≤
≤ γ‖u0‖l
1,RN
t∫
1
τ−
(−µ+N(q−1))(p−1)+Nq(r−1)
Kq dτ + 1
=
= γ‖u0‖l
1,RN (D0 + 1) <
1
4
,
если ‖u0‖1,RN достаточно мала. Отсюда следует, что T1 = +∞. Итак, из (2.2) и
(2.18) заключаем, что при t ∈ (0;+∞)
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt−
N
K ‖u0‖
m+1
K
1,RN .
Теорема 1.1 доказана.
3. Вспомогательные результаты. Введем обозначение
I(t) =
∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, t)dy.
Для доказательства теоремы 1.2 нам потребуются следующие леммы.
Лемма 3.1. Пусть u(x, t) — неотрицательное решение уравнения (1.1), λ ≥ 1
— произвольное число. Предположим, что найдутся постоянные 0 < κ < 1 и
T > 0 такие, что при любом t ∈ (0;T ) выполнено условие
t(I(t))
p−1
q ‖u(·, t)‖r−1
∞,RN ≤ κ. (3.1)
Тогда имеет место неравенство
t∫
0
∫
|x|>2ρ
uα|Du|mdxdτ ≤ γ
(
1 + ρ−mtm/K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖m(m+α−1)/K
1,RN
)
×
×t
λ
Kλ sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖λ(m+α−1)/Kλ
λ,RN , (3.2)
где Kλ то же, что и в (2.2).
Доказательство. Пусть ζ = ζ(x) — гладкая срезающая функция шара радиуса
ρ, ρ > 0, с центром в нуле со следующими свойствами: 0 ≤ ζ(x) ≤ 1; ζ(x) ≡ 0
при |x| < ρ; ζ(x) ≡ 1 при |x| > 2ρ; |Dζ| ≤ γ/ρ. Из неравенства Гельдера имеем
t∫
0
∫
|x|>ρ
uα|Du|mζmdxdτ =
=
t∫
0
∫
|x|>ρ
uα|Du|mζmu−
1
m+1 u
1
m+1 τβ−βdxdτ ≤
≤
t∫
0
∫
|x|>ρ
u
α(m+1)−1
m |Du|m+1ζm+1τ
β(m+1)
m dxdτ
m
m+1
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1451
×
t∫
0
∫
|x|>ρ
uτ−β(m+1)dxdτ
1
m+1
≡ I
m
m+1
1 I
1
m+1
2 . (3.3)
Введем функцию φ(x, τ) = τ
β(m+1)
m u
m+α−1
m (x, τ)ζm+1(x). Умножая уравнение (1.1)
на φ(x, τ) и интегрируя по Qt = RN × (0; t), получаем∫∫
Qt
uτu
m+α−1
m ζm+1τ
β(m+1)
m dxdτ ≤
≤ −m + α− 1
m
∫∫
Qt
|Du|m+1u
α(m+1)−1
m ζm+1τ
β(m+1)
m dxdτ+
+(m + 1)
t∫
0
∫
ρ<|x|<2ρ
|Du|mu
(m+1)α−1
m +1ζm|Dζ|τ
β(m+1)
m dxdτ+
+
t∫
0
(I(τ))
p−1
q ‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN ττ
β(m+1)
m −1
∫
|x|>ρ
u
m+α−1
m +1ζm+1dxdτ ≡
≡ −m + α− 1
m
I3 + (m + 1)I4 + I5. (3.4)
Рассмотрим интеграл в левой части (3.4). Интегрируя по частям, имеем
t∫
0
∫
RN
uτu
m+α−1
m ζm+1τ
β(m+1)
m dxdτ =
=
m
2m + α− 1
∫
|x|>ρ
u
2m+α−1
m (x, t)ζm+1t
β(m+1)
m dx−
− β(m + 1)
2m + α− 1
t∫
0
∫
|x|>ρ
u
2m+α−1
m ζm+1τ
β(m+1)
m −1dxdτ ≥
≥ − β(m + 1)
2m + α− 1
t∫
0
∫
|x|>ρ
u
2m+α−1
m τ
β(m+1)
m −1dxdτ ≡ − β(m + 1)
2m + α− 1
I6. (3.5)
Для оценки I4 воспользуемся неравенством Юнга с некоторым малым h > 0:
I4 ≤ m
h
m+1
m
m + 1
I3 +
+
(h−1γ)m+1
m + 1
t∫
0
τ‖u(·, τ)‖m+α−1
∞,RN
ρm+1
∫
|x|>ρ
u
m+α−1
m +1τ
β(m+1)
m −1dxdτ.
Заметим, что в условиях леммы справедлива оценка (2.2). С учетом (2.2) из по-
следнего неравенства находим
I4 ≤ m
h
m+1
m
m + 1
I3 + κ1
h−(m+1)
m + 1
(
ρ−1t1/K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖(m+α−1)/K
1,RN
)m+1
I6. (3.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1452 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
Выберем h из условия mh(m+1)/m − (m + α− 1)/m < 0. Из условия (3.1) следует
I5 ≤ κI6. (3.7)
Теперь из неравенств (3.4) – (3.7) имеем
t∫
0
∫
|x|>ρ
|Du|m+1u
α(m+1)−1
m ζm+1τ
β(m+1)
m dxdτ ≤
≤ γ
(
1 + ρ−1t1/K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖(m+α−1)/K
1,RN
)m+1
t∫
0
∫
|x|>ρ
u
2m+α−1
m τ
β(m+1)
m −1dxdτ,
(3.8)
и из (3.3) с учетом (3.8) получаем
t∫
0
∫
|x|>2ρ
uα|Du|mdxdτ ≤
t∫
0
∫
|x|>ρ
uα|Du|mζmdxdτ ≤
≤ γ
(
1 +
t1/K
ρ
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖(m+α−1)/K
1,RN
)m
sup
0<τ<t
∫
|x|>ρ
u(·, τ)dx
×
×
t∫
0
‖u(·, τ)‖
m+α−1
m
∞,RN τ
β(m+1)
m −1dτ
m
m+1 · t∫
0
τ−β(m+1)dτ
1
m+1
. (3.9)
Применяя (2.2) во втором интеграле в правой части и выбирая β таким образом,
чтобы N(m + α− 1)/(Kλ(m + 1)) < β < 1/(m + 1), из неравенства (3.9) сразу же
получаем оценку (3.2).
Лемма доказана.
Лемма 3.2. Пусть функция u(x, t) является решением задачи (1.1), (1.2), функ-
ция u0 имеет финитный носитель, содержащийся в шаре радиуса ρ0 > 0, найдет-
ся T > 0 такое, что для всех t ∈ (0, T ) имеет место неравенство (3.1) и, кроме
того, выполнено условие
t∫
0
I
p−1
q (τ)‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN dτ ≤ 1
2
. (3.10)
Тогда при любом t ∈ (0, T ) носитель функции u(x, t) содержится в шаре радиуса
ρ1, удовлетворяющего условию
ρ1 ≤ 2ρ0 + γ
(
t sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖m+α−1
1,RN
)1
K
. (3.11)
Доказательство. Следуя [5], введем последовательность срезающих функ-
ций ζn(x), 0 ≤ ζn ≤ 1, n ≥ 0, со следующими свойствами: ζn(x) = 1, x ∈
∈ Bρn+1 \ Bρn+1
, ζn(x) = 0, x /∈ Bρn \ Bρn
, и |Dζn| ≤ γ2n/(σρ), где 0 < σ <
1
2
— произвольное число, а ρn = ρ(1 + σ2−n), ρn = ρ(1 − σ2−n)/2 при n ≥ 0 и
некотором ρ > 4ρ0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1453
Пусть 0 < θ < 1 — некоторое число. Умножим уравнение (1.1) на функцию
ζm+1
n (x)uθ(x, t) и проинтегрируем полученное равенство по RN × (0; t). После
стандартных вычислений получим неравенcтво
1
1 + θ
∫
Bρn\Bρn
ζm+1
n u1+θ(x, t)dx− 1
1 + θ
∫
Bρn\Bρn
u1+θ
0 dx+
+
θ
2
t∫
0
∫
Bρn\Bρn
uα+θ−1|Du|m+1ζm+1
n dxdτ ≤
≤ γ2n(m+1)θ−m
(σρ)m+1
t∫
0
∫
Bρn\Bρn
um+α+θdxdτ+
+
t∫
0
∫
Bρn\Bρn
(I(τ))(p−1)/qur+θζm+1
n dxdτ. (3.12)
Поскольку ρ > 4ρ0, то ∫
Bρn\Bρn
u1+θ
0 dx = 0.
Из (3.10) и (3.12) следует
sup
0<τ<t
∫
Bρn\Bρn
u1+θ(x, τ)ζm+1
n dx +
t∫
0
∫
Bρn\Bρn
uα+θ−1|Du|m+1ζm+1
n dxdτ ≤
≤ 2γ
(
2nθ−1
σρ
)m+1 t∫
0
∫
Bρn\Bρn
um+α+θζ
s(m+1)
n−1 dxdτ ≤
≤ 2γ
(
2nθ−1
σρ
)m+1 t∫
0
∫
Bρn−1\Bρn−1
um+α+θζ
s(m+1)
n−1 dxdτ, (3.13)
где s > m + 1.
Положим vn = u
m+α+θ
m+1 ζs
n, где s > m + 1 и n ≥ 1. С учетом такого обозначения
из (3.13) следует
Yn ≡ sup
0<τ<t
∫
RN
vε
ndx +
t∫
0
∫
RN
|Dvn|m+1dxdτ ≤
≤ γ
2n(m+1)
(σρ)m+1
t∫
0
∫
RN
vm+1
n−1 dxdτ, (3.14)
где ε = (m + 1)(1 + θ)/(m + α + θ).
Воспользуемся теперь мультипликативной теоремой вложения:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1454 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ∫
RN
vm+1
n−1 dx ≤
≤ γ
∫
RN
vε
n−1dx
(m+1)2
N(m+1−ε)+ε(m+1)
∫
RN
|Dvn−1|m+1dx
N(m+1−ε)
N(m+1−ε)+ε(m+1)
. (3.15)
Заметим, что при ε ≥ 1 (3.15) — это обычное неравенство Ниренберга – Гальярдо.
Если же 0 < ε < 1, то оценку (3.15) можно получить, если сначала применить
теорему вложения с некоторым показателем ε∗, 1 < ε∗ < m + 1, а затем восполь-
зоваться неравенством Гельдера следующим образом:
∫
RN
vε∗
n−1dx ≤
∫
RN
vε
n−1dx
m+1−ε∗
m+1−ε
∫
RN
vm+1
n−1 dx
ε∗−ε
m+1−ε
.
Интегрируя (3.15) по τ ∈ (0, t) и применяя неравенство Гельдера, получаем
∫∫
Qt
vm+1
n−1 dxdτ ≤ γ
sup
0<τ<t
∫
RN
vε
n−1dx
(m+1)2
N(m+1−ε)+ε(m+1)
×
×
∫∫
Qt
|Dvn−1|m+1dxdτ
N(m+1−ε)
N(m+1−ε)+ε(m+1)
t
ε(m+1)
N(m+1−ε)+ε(m+1) . (3.16)
Из (3.14) и (3.16) следует
Yn ≤ γ
2n(m+1)
(σρ)m+1
t
ε(m+1)
N(m+1−ε)+ε(m+1) Y
(m+1)2+N(m+1−ε)
N(m+1−ε)+ε(m+1)
n−1 . (3.17)
Подставляя значение ε, из последнего неравенства получаем
Yn ≤ γ
2n(m+1)
(σρ)m+1
t
(1+θ)(m+1)
K1+θ Y
1+
(m+1)(m+α−1)
K1+θ
n−1 .
Согласно итерационной лемме [12] (глава II, лемма 5.6), Yn → 0 при n →∞, если
выполнено условие
Y1 ≤ γ
(
ρ−(m+1)t
(1+θ)(m+1)
K1+θ
)− K1+θ
(m+1)(m+α−1)
,
т. е. если
ρ ≥ γY
m+α−1
K1+θ
1 t
1+θ
K1+θ . (3.18)
Положим
I0 ≡ ρ−(m+1)
t∫
0
∫
B2ρ
um+α+θdxdτ.
Очевидно, что Y1 ≤ γI0. Для оценки I0 используем условие (3.1):
I0 ≤ γρ−(m+1)t
m+1−Nθ
K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1+
(m+α+θ−1)(m+1)
K
1,RN ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1455
следовательно, ρ будет удовлетворять условию (3.18), если положим
ρ ≥ γ
(
ρ−(m+1)t
m+1−Nθ
K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1+
(m+α+θ−1)(m+1)
K
1,RN
)m+α−1
K1+θ
t
1+θ
K1+θ ,
откуда
ρ ≥ γ
(
t sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖m+α−1
1,RN
)1
K
. (3.19)
Для того чтобы удовлетворить условию ρ > 4ρ0, выберем
ρ ≥ ρ = 4ρ0 + γ
(
t sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖m+α−1
1,RN
)1
K
.
В этом случае Yn → 0 при n → ∞, а это означает, что носитель функции u(x, t)
содержится в шаре радиуса ρ/2.
Лемма 3.2 доказана.
Пусть 0 ≤ θ < 1, ρ > 0 — некоторые фиксированные числа. Введем величину
(„момент")
Mθ,ρ(t) =
∫
|x|>ρ
|x|θ u(x, t)dx.
Лемма 3.3. Пусть 0 < t1 < T и при любом t ∈ (t1;T ) и некотором 0 < θ <
< (m + 1)/K выполнено условие леммы 3.1 при κ < θ/K.
Тогда имеет место неравенство
Mθ,2ρ(t) ≤ 2Mθ,ρ(t1)
(
t
t1
)κ
+ γtθ/K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1+
θ(m+α−1)
K
1,RN , (3.20)
если только ρ удовлетворяет следующему условию:
ρ ≥ ρ(t) = γ
sup
0<τ<t
∫
RN
u(·, τ)dx
(m+α−1)/K
t1/K ∀t ∈ (t1, T ). (3.21)
Доказательство. Пусть ζ = ζ(x) — функция с теми же свойствами, что и в
лемме 3.1. Умножая уравнение (1.1) на ζm+1|x|θ и интегрируя по RN , получаем
d
dt
∫
RN
u(x, t)|x|θζm+1(x)dx ≤
≤ γ
ρ1−θ
∫
RN
uα|Du|mdxdτ +
κ
t
∫
RN
u(x, t)|x|θζm+1(x)dx.
Проинтегрируем последнее неравенство по (t1; t) :
M̃θ,ρ(t) ≤ M̃θ,ρ(t1) +
t∫
t1
γ
ρ1−θ
∫
|x|>ρ
uα|Du|mdxdτ + κ
t∫
t1
M̃θ,ρ(τ)
τ
dτ, (3.22)
где
M̃θ,ρ(t) =
∫
|x|>ρ
|x|θζm+1(x)u(x, t)dx.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1456 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
Из леммы 3.1 при λ = 1 и условия (3.21) следует
t∫
t1
∫
|x|>2ρ
uα |Du|m dxdτ ≤ γ
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx
1+ m+α−1
K
t
1
K .
Отсюда
t∫
t1
γ
ρ1−θ
∫
|x|>ρ
uα |Du|m dxdτ ≤ γt
1
K
ρ1−θ
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx
1+ m+α−1
K
.
Обозначим величину в правой части последнего неравенства через B(t). Также
введем величину
Z(t) =
t∫
t1
M̃θ,ρ(τ)
τ
dτ.
Непосредственно из определения Z(t) следует Zt(t) = M̃θ,ρ(t)/t. С учетом этих
обозначений из (3.22) имеем
tZt(t) ≤ M̃θ,ρ(t1) + B(t) + κZ(t). (3.23)
Заметим, что tZt(t) − κZ(t) = tκ+1(t−κZ(t))t. Значит, разделив (3.23) на
tκ+1 > 0, получим
(t−κZ(t))t ≤ t−(κ+1)M̃θ,ρ(t1) + t−(κ+1)B(t). (3.24)
Проинтегрируем теперь (3.24) по (t1; t) :
t−κZ(t) ≤ t−κ
1 Z(t1) +
t∫
t1
τ−(κ+1)M̃θ,ρ(t1)dτ +
t∫
t1
τ−(κ+1)B(τ)dτ.
По определению, Z(t1) = 0, и, следовательно,
t−κZ(t) ≤ M̃θ,ρ(t1)
t−κ
1 − t−κ
κ
+
t∫
t1
τ−(κ+1)B(τ)dτ. (3.25)
Поскольку по условию ρ ≥ γ
(
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx
)(m+α−1)/K
t1/K , то
B(τ) ≤ γ
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx
1+θ(m+α−1)/K
τθ/K ,
и последний интеграл в (3.25) можно оценить следующим образом:
t∫
t1
τ−(κ+1)τ
θ
K
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx
1+θ(m+α−1)/K
dτ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1457
≤ γ
sup
0<τ<t
∫
RN
u(·, τ)dx
1+θ(m+α−1)/K (
t−κ+ θ
K − t
−κ+ θ
K
1
)
≤
≤ γ
(
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
)1+
θ(m+α−1)
K
t−κ+ θ
K .
Далее, так как κ < θ/K, из последнего неравенства и (3.25) имеем
Z(t) ≤ 1
κ
M̃θ,ρ(t1)(t/t1)κ + γt
θ
K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1+θ(m+α−1)/K
1,RN . (3.26)
Теперь из (3.22) и (3.26) следует
M̃θ,ρ(t) ≤ 2M̃θ,ρ(t1)(t/t1)κ + γt
θ
K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1+
θ(m+α−1)
K
1,RN ,
отсюда в свою очередь следует неравенство (3.20).
Лемма доказана.
4. Доказательство теоремы 1.2. Следуя той же схеме, что и в п. 2, будем
рассматривать решения un аппроксимационной задачи (2.4) – (2.6) с u0n, удовле-
творяющими тем же условиям. Мы вновь получим оценки, не зависящие от n, что
позволит нам применить предельный переход. Как и ранее, опустим для удобства
индекс n.
Пусть T1 = sup{t > 0 : выполнено условие (3.1)}. Умножая обе части (2.4) на
uq−1 и интегрируя по Qt = RN × (0; t), t ∈ (0;T1), получаем
1
q
∫
RN
uq(x, t)dx ≤
≤ 1
q
∫
RN
uq
0dx +
t∫
0
∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, τ)dy
p−1
q ∫
RN
ur+q−1dx
dτ. (4.1)
Поскольку p− 1 < 0 и µ ≥ 0, очевидно, что ∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, τ)dy
p−1
q
≤
∫
RN
uq(y, τ)dy
p−1
q
.
Используя в последнем интеграле оценку (2.2) при λ = q, находим
1
q
∫
RN
uq(x, t)dx ≤
≤ 1
q
∫
RN
uq
0dx + γ sup
0<τ<t
∫
RN
uq(y, τ)dy
1+ p−1
q +
(r−1)(m+1)
Kq
t
1−N(r−1)
Kq ; (4.2)
такая оценка имеет место в силу условий на q.
Положим еще
Tq = sup
t > 0 : γ sup
0<τ<t
∫
RN
uq(y, τ)dy
p−1
q +
(r−1)(m+1)
Kq
t
1−N(r−1)
Kq ≤ ε
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1458 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
где ε > 0 — настолько малая постоянная, что из (4.2) будет следовать неравенство
sup
0<τ<t
∫
RN
uq(x, τ)dx ≤ γ
∫
RN
uq
0dx (4.3)
для t ∈ (0,min(T1, Tq)). Число T0 найдем из условия
γT
1−N(r−1)
Kq
0 ‖u0‖
p−1+
q(r−1)(m+1)
Kq
q,RN = ε. (4.4)
Если ‖u0‖q,RN достаточно мала, то можно считать, что T0 > 1. Понятно также из
(4.3) и (4.4), что Tq ≥ T0. Если же t ∈ (0;min(T0, T1)), то
t
∫
RN
(1 + |y|)µuqdy
p−1
q
‖u(·, t)‖r−1
∞,RN ≤ γt
1−N(r−1)
Kq ‖u0‖
p−1+
q(r−1)(m+1)
Kq
q,RN <
κ
2
,
откуда следует, что T1 > T0 > 1.
Аналогично получаем
t∫
0
I
p−1
q (τ)‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN dτ ≤ ε, t ∈ (0, T0),
и если ε < 1/2, то последняя оценка эквивалентна (3.10).
Пусть теперь t ∈ (0, T0). Интегрируя (2.4) по Qt, получаем
∫
RN
u(x, t)dx ≤
∫
RN
u0dx +
t∫
0
∫
RN
uqdx
(p−1)/q
‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN
∫
RN
u(x, τ)dxdτ.
Из последнего неравенства при t ∈ (0, T0) имеем∫
RN
u(x, t)dx ≤
∫
RN
u0dx + γε sup
0<τ<t
∫
RN
u(·, τ)dx,
и если ε достаточно мало, то находим
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx ≤ γ1
∫
RN
u0dx, t ∈ (0, T0), (4.5)
где γ1 — постоянная, зависящая лишь от параметров задачи.
Проинтегрируем теперь (2.4) по множеству RN × (1, t), t ∈ (1, T1) :
∫
RN
u(x, t)dx ≤ γ1
∫
RN
u0dx +
t∫
1
∫
RN
(1 + |y|)µuqdy
(p−1)/q ∫
RN
urdxdτ ; (4.6)
здесь мы воспользовались оценкой (4.5) при t = 1.
Для оценки второго слагаемого рассмотрим очевидное неравенство∫
RN
u0dx ≤
∫
RN
u(x, t)dx. (4.7)
Разобьем интеграл в правой части (4.7) на два слагаемых
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1459∫
RN
u(x, t)dx =
∫
|x|<ρ
u(x, t)dx +
∫
|x|>ρ
u(x, t)dx = A1 + A2,
где ρ определим позже.
Оценим отдельно A1 и A2. Для первого слагаемого, воспользовавшись нера-
венством Гельдера, получим
A1 ≤
∫
|x|<ρ
|x|−
µ
q−1 dx
q−1
q
∫
|x|<ρ
(1 + |x|)µuqdx
1
q
≤ γρ
−µ+N(q−1)
q (I(t))
1
q .
(4.8)
Для оценки A2 воспользуемся леммой 3.3 при t1 = 1:
A2 ≤ ρ−θ
∫
|x|>ρ
|x|θu(x, t)dx ≤
≤ ρ−θ
(
2Mθ,ρ/2(1)tκ + γt
θ
K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1+
θ(m+α−1)
K
1,RN
)
.
Выберем ρ из условия
ρ > 4ρ0 + γ‖u0‖
m+α−1
K
1,RN .
При таком выборе ρ из леммы 3.2 и оценки (4.5) следует, что Mθ,ρ/2(1) = 0.
С учетом этого из последнего неравенства получаем
A2 ≤ γρ−θt
θ
K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1+
θ(m+α−1)
K
1,RN . (4.9)
Теперь из (4.7) – (4.9) следует оценка
(I(t))
1
q ≥ γρ−
−µ+N(q−1)
q ×
×
(
‖u0‖1,RN − γρ−θt
θ
K sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1+
θ(m+α−1)
K
1,RN
)
, t ∈ (1, T1). (4.10)
Если еще ρ выберем так, чтобы выполнялось условие
ρ ≥ γ21/θt1/K
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
‖u0‖1,RN
1/θ
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖(m+α−1)/K
1,RN , t ∈ (1, T1),
(4.11)
то из (4.10) получим оценку
(I(t))(p−1)/q ≤ γρ−d(p−1)‖u0‖p−1
1,RN , t ∈ (1, T1), (4.12)
где d = (−µ + N(q − 1))/q.
Положим теперь
ρ(t) = γ
ρ0 + ‖u0‖
m+α−1
K
1,RN + t
1
K
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN
‖u0‖1,RN
1/θ
sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖
m+α−1
K
1,RN
.
(4.13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1460 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
Пусть t1 = sup
{
t > 1 : sup
0<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤ 4γ1‖u0‖1,RN
}
. Из (4.6), (4.12) с
учетом (4.13) при t ∈ (1,min{t1, T1}) получаем
‖u(·, t)‖1,RN ≤ γ1‖u0‖1,RN +
+ γ‖u0‖p−1
1,RN
t∫
1
(
ρ0 + ‖u0‖
m+α−1
K
1,RN + (4γ1)
1
θ + m+α−1
K ‖u0‖
m+α−1
K
1,RN τ
1
K
)d(1−p)
×
× ‖u(·, τ)‖r−1
∞,RN
∫
RN
u(x, τ)dxdτ. (4.14)
Обозначим R0 = max
{
ρ0, ‖u0‖(m+α−1)/K
1,RN
}
.
Из оценок (4.14), (2.2) при λ = 1, замечая еще, что τ−N(r−1)/K <
< τ (d(1−p)−N(r−1))/K , τ > 1, имеем
‖u(·, t)‖1,RN ≤ γ1‖u0‖1,RN +
+γ sup
1<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ‖u0‖
p−1+
(r−1)(m+1)
K
1,RN R
d(1−p)
0
t∫
1
τ
d(1−p)−N(r−1)
K dτ.
Отсюда следует неравенство
sup
1<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤
≤ γ1‖u0‖1,RN + γ sup
1<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ‖u0‖
p−1+
(r−1)(m+1)
K
1,RN R
d(1−p)
0 D1,
где D1 =
∫ ∞
1
τ
d(1−p)−N(r−1)
K dτ. Поскольку r > r∗, то D1 < ∞ и, значит, при
достаточно малом δ приходим к оценке
sup
1<τ<t
‖u(·, τ)‖1,RN ≤ 2γ1‖u0‖1,RN , t ∈ (1,min{t1, T1}). (4.15)
Отсюда делаем вывод, что t1 > T1. Осталось показать, что T1 = ∞. Воспользо-
вавшись оценкой (4.12), где ρ определяется из (4.13), и оценками (2.2) при λ = 1 и
(4.15), для всех t ∈ (1, T1) получаем
t (I(t))(p−1)/q ‖u(·, t)‖r−1
∞,RN ≤ γt1+
d(1−p)−N(r−1)
K R
d(1−p)
0 ‖u0‖
p−1+
(r−1)(m+1)
K
1,RN ≤
≤ γ(t− 1)t
d(1−p)−N(r−1)
K R
d(1−p)
0 ‖u0‖
p−1+
(r−1)(m+1)
K
1,RN +
+γt
d(1−p)−N(r−1)
K R
d(1−p)
0 ‖u0‖
p−1+
(r−1)(m+1)
K
1,RN ≤
≤ γR
d(1−p)
0 ‖u0‖
p−1+
(r−1)(m+1)
K
1,RN (D1 + 1) ≤ κ
2
при достаточно малом δ. Следовательно, T1 = ∞. Утверждение теоремы следует
из неравенства (2.2) при λ = 1 и оценки (4.15).
Теорема доказана.
5. Доказательство теоремы 1.3. Пусть 0 < θ < 1 — некоторое как угодно
малое число, которое определим позже. Введем стандартную срезающую функцию
ζ(|x|) шара Bρ : ζ(|x|) = 1 при |x| ≤ ρ, 0 < ζ(|x|) < 1 при ρ < |x| < 2ρ и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1461
ζ(|x|) = 0 вне шара B2ρ; кроме того, |Dxζ(|x|)| ≤ γ/ρ. Умножим уравнение (1.1)
на u−θ(x, t)ζs(|x|) и проинтегрируем полученное уравнение по RN (здесь s > 0 —
некоторое число, которое определим позже):
1
1− θ
d
dt
∫
RN
u1−θ(x, t)ζsdx ≥ θ
∫
RN
uα−θ−1(x, t)|Du|m+1ζsdx−
−s
∫
RN
uα−θ(x, t)|Du|mζs−1|Dζ|dx+
+
∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, t)dy
(p−1)/q ∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx.
Ко второму интегралу в правой части последнего неравенства применим неравен-
ство Юнга с некоторым ε > 0:
s
∫
RN
uα−θ(x, t)|Du|mζs−1|Dζ|dx ≤
≤ ε(m+1)/mm/(m + 1)
∫
RN
uα−θ−1|Du|m+1ζsdx +
+ ε−(m+1)sm+1(m + 1)−1
∫
RN
uα−θ+m|Dζ|m+1ζs−m−1dx.
Подбирая ε так, чтобы ε(m+1)/mm/(m + 1) = θ/2, получаем
d
dt
∫
RN
u1−θ(x, t)ζsdx ≥ (1− θ)θ
2
∫
RN
uα−θ−1(x, t)|Du|m+1ζsdx −
− γρ−(m+1)
∫
RN
uα−θ+mζs−m−1dx +
+
∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, t)dy
p−1
q ∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx.
В этом неравенстве мы воспользовались свойствами функции ζ(|x|). Продолжая
оценку далее, находим
d
dt
∫
RN
u1−θ(x, t)ζsdx ≥
≥ −γρ−(m+1)
∫
RN
uα−θ+mζs−m−1dx + +(I(t))(p−1)/q
∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx, (5.1)
где, как и ранее, I(t) =
∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, t)dy.
Проведем оценку этого интеграла. Из неравенства Гельдера следует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1462 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
∫
RN
u1−θ(x, t)ζsdx ≤ γ
∫
RN
(1 + |y|)µuq(y, t)dy
1−θ
q
×
×
∫
RN
(1 + |y|)−
µ(1−θ)
q−1+θ ζ
sq
q−1+θ dy
q−1+θ
q
≤ γ(I(t))
1−θ
q ρ
N(q−1+θ)−µ(1−θ)
q ,
откуда
(I(t))(p−1)/q ≥ γρ−
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))
(1−θ)q
∫
RN
u1−θ(x, t)ζsdx
(p−1)/(1−θ)
. (5.2)
Обозначим
E(t) =
∫
RN
u1−θ(x, t)ζsdx.
Тогда из (5.1) и (5.2) имеем
dE
dt
≥ −γρ−(m+1)
∫
RN
uα−θ+mζs−m−1dx +
+ γ(E(t))
p−1
1−θ ρ−
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))
(1−θ)q
∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx. (5.3)
В первом слагаемом правой части применим неравенство Гельдера:
ρ−(m+1)
∫
|x|<2ρ
uα−θ+mζs−m−1dx ≤
≤ γρ−(m+1)+N(1−m+α−θ
r−θ )
∫
RN
ur−θ(x, t)ζ
(s−m−1)(r−θ)
m+α−θ dx
(m+α−θ)/(r−θ)
.
Выберем s из условия
s =
(s−m− 1)(r − θ)
m + α− θ
,
т. е. s = (m + 1)(r − θ)/(r −m− α) > m + 1.
Теперь в последнем неравенстве применим неравенство Юнга с ε > 0, которое
определим позже:
ρ−(m+1)
∫
RN
uα−θ+mζs−m−1dx ≤
≤ ε(r−θ)/(m+α−θ)(m + α− θ)
r − θ
∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx +
+ γ
ε−(r−θ)/(r−m−α)(r −m− α)
r − θ
ρN− (m+1)(r−θ)
r−m−α . (5.4)
Из условия
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ . . . 1463
γ
ε(r−θ)/(m+α−θ)(m + α− θ)
r − θ
=
1
2
γ(E(t))
p−1
1−θ ρ−
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))
q(1−θ)
находим ε :
ε = γρ−
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))(m+α−θ)
q(1−θ)(r−θ) (E(t))
(p−1)(m+α−θ)
(1−θ)(r−θ) .
При этом из (5.3), (5.4) следует
dE
dt
≥ −γρN− (m+1)(r−θ)
r−m−α +
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))(m+α−θ)
q(1−θ)(r−m−α) (E(t))−
(p−1)(m+α−θ)
(1−θ)(r−m−α) +
+ γρ−
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))
q(1−θ) (E(t))
p−1
1−θ
∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx. (5.5)
Допустим, что
γρ−
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))
q(1−θ) (E(t))
p−1
1−θ
∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx ≤
≤ γρN− (m+1)(r−θ)
r−m−α +
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))(m+α−θ)
q(1−θ)(r−m−α) (E(t))−
(p−1)(m+α−θ)
(1−θ)(r−m−α) ,
т. е.∫
RN
ur−θ(·, t)ζsdx ≤ γρN− (m+1)(r−θ)
r−m−α +
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))(r−θ)
q(1−θ)(r−m−α) (E(t))−
(p−1)(r−θ)
(1−θ)(r−m−α) .
(5.6)
Из неравенства Гельдера следует
∫
RN
u1−θ(x, t)ζsdx ≤ γρ
N(r−1)
r−θ
∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx
1−θ
r−θ
. (5.7)
Продолжая это неравенство, получаем
E(t) ≤ γρN+
−(m+1)(1−θ)+(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))/q
r−m−α (E(t))−
p−1
r−m−α ,
откуда
(E(t))1+
p−1
r−m−α ≤ γρ
N(r−m−α)−(m+1)+(p−1)(N(q−1)−µ)/q
r−m−α +θ
(p−1)(N+µ)+q(m+1)
q(r−m−α) . (5.8)
Поскольку r < r∗, то, подбирая θ достаточно малым, можно сделать показатель
степени при ρ отрицательным. Поскольку еще 1 + (p − 1)/(r − m − α) > 0, из
(5.8), устремляя ρ к бесконечности, получаем
0 ≤
∫
RN
u1−θ(x, t)dx ≤ 0.
Это означает, что ∫
RN
u1−θ(x, t)dx = 0.
Мы пришли к противоречию, следовательно, предположение (5.6) неверно, и,
значит, из (5.5) находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
1464 Н. В. АФАНАСЬЕВА, А. Ф. ТЕДЕЕВ
dE
dt
≥ γρ−
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))
q(1−θ) (E(t))
p−1
1−θ
∫
RN
ur−θ(x, t)ζsdx. (5.9)
Из (5.7) и (5.9) получаем
dE
dt
≥ γρ−
(p−1)(N(q−1+θ)−µ(1−θ))+N(r−1)q
q(1−θ) (E(t))
p+r−1−θ
1−θ . (5.10)
Интегрируя (5.10), имеем
− 1− θ
p + r − 2
(E(t))−
p+r−2
1−θ ≥ γtρ−l − 1− θ
p + r − 2
(E(0))−
p+r−2
1−θ ,
где l = ((p− 1)(N(q − 1 + θ)− µ(1− θ)) + N(r − 1)q)/(q(1− θ)).
Отсюда
E(t) ≥ E(0)(1− γtρ−l
(
E(0))
p+r−2
1−θ
)− 1−θ
p+r−2
.
Из последнего неравенства следует утверждение теоремы при T = γρl(E(0))−
p+r−2
1−θ .
1. Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = 4u + u1+α // J. Fac.
Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA. Math. – 1966. – 13. – P. 109 – 124.
2. Levine H. A. The role of critical exponents in blow up theorems // Review. – 1990. – 32. –
P. 262 – 288.
3. Deng K., Levine H. A. The role of critical exponents in blow-up theorems. The sequal // J. Math.
Anal. and Appl. – 2000. – 243. – P. 85 – 126.
4. Andreucci D., Tedeev A. F. Optimal bounds and blow-up phenomena for parabolic problems in
narrowing domains// Proc. Roy. Soc. Edinburgh. – 1998. – 128. – P. 1163 – 1180.
5. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with
noncompact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543 – 567.
6. Galaktionov V. A., Levine H. A. A general approach to critical Fujita exponents and systems //
Nonlinear Anal. TMA. – 1998. – 34. – P. 1005 – 1027.
7. Liu X., Wang M. The critical exponent of doubly singular parabolic equations // J. Math. Anal. and
Appl. – 2001. – 257. – P. 170 – 188.
8. Cirmi G. R., Leonardi S., Tedeev A. F. The asymptotic behavior of the solution of a quasilinear
parabolic equation with blow-up term. – Catania, 1998. – 18 p. – (Preprint / Univ. Catania).
9. Deng K., Kwong M. K., Levine H. A. The influence of nonlocal nonlinearities on the long-time
behavior of solutions of Burgers’ equation // Quart. Appl. Math. – 1992. – 50. – P. 173 – 200.
10. Andreucci D., Di Benedetto E. On the Cauchy problem and initial traces for a class of evolution
equations with strongly nonlinear sources // Ann. Scuola norm. super Pisa. – 1991. – 18. – P. 363 –
441.
11. Tsutsumi M. On solution of some doubly nonlinear parabolic equations with absorbtion // J. Math.
Anal. Appl. – 1988. – 132. – P. 187 – 212.
12. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
Получено 13.04.2004,
после доработки — 08.06.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 11
|