Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца
Наводиться доведення інтегрального зображення операторнозначних ядер Тепліца. Це доведення грунтується на спектральній теорії відповідного диференціального оператора, що діє в гільбертовому просторі, побудованого за цим ядром....
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165895 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца / О.Б. Чернобай // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 12. — С. 1698–1710. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165895 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1658952020-02-18T01:28:33Z Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца Чернобай, О.Б. Статті Наводиться доведення інтегрального зображення операторнозначних ядер Тепліца. Це доведення грунтується на спектральній теорії відповідного диференціального оператора, що діє в гільбертовому просторі, побудованого за цим ядром. We prove an integral representation for operator-valued Toeplitz kernels. The proof is based on the spectral theory of the corresponding differential operator constructed from this kernel and acting in a Hilbert space. 2005 Article Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца / О.Б. Чернобай // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 12. — С. 1698–1710. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165895 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Чернобай, О.Б. Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца Український математичний журнал |
| description |
Наводиться доведення інтегрального зображення операторнозначних ядер Тепліца. Це доведення грунтується на спектральній теорії відповідного диференціального оператора, що діє в гільбертовому просторі, побудованого за цим ядром. |
| format |
Article |
| author |
Чернобай, О.Б. |
| author_facet |
Чернобай, О.Б. |
| author_sort |
Чернобай, О.Б. |
| title |
Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца |
| title_short |
Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца |
| title_full |
Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца |
| title_fullStr |
Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца |
| title_full_unstemmed |
Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца |
| title_sort |
спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер тепліца |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165895 |
| citation_txt |
Спектральне зображення для узагальнених операторнозначних ядер Тепліца / О.Б. Чернобай // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 12. — С. 1698–1710. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT černobajob spektralʹnezobražennâdlâuzagalʹnenihoperatornoznačnihâderteplíca |
| first_indexed |
2025-07-14T20:19:17Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:19:17Z |
| _version_ |
1837654991577284608 |
| fulltext |
UDK 517.9
O.�B.�Çernobaj (Nac. akad. DPS Ukra]ny, Irpin\)
SPEKTRAL|NE ZOBRAÛENNQ DLQ UZAHAL|NENYX
OPERATORNOZNAÇNYX QDER TEPLICA
A proof of integral representation of the operator-valued Toeplitz kernels is given. This proof is based
on the spectral theory of the corresponding differential operator constructed from this kernel and acting
in the Hilbert space.
Navodyt\sq dovedennq intehral\noho zobraΩennq operatornoznaçnyx qder Teplica. Ce dove-
dennq ©runtu[t\sq na spektral\nij teori] vidpovidnoho dyferencial\noho operatora, wo di[ v
hil\bertovomu prostori, pobudovanoho za cym qdrom.
U 19793r. M.3Kotlqr i K.3Sadoski [1] zaproponuvaly uzahal\nennq dodatno ozna-
çenyx funkcij, qki nazyvagt\sq uzahal\nenymy qdramy Teplica. Rozvynuv cg
konstrukcig na vypadok l < ∞ R.3Bruzual3[2] za dopomohog pivhrup operatoriv
stysku.
U 1988 – 19993rr. opublikovano rqd robit M.3Bekkera [3, 4], v qkyx rozhlq-
dagt\sq matryçni dodatno oznaçeni qdra Teplica. Intehral\ne zobraΩennq dlq
takyx qder otrymav M.3Bekker 3za dopomohog metodu naprqmnyx funkcionaliv.
Razom z tym G.3M.3Berezans\kyj [5, 6] u 19563r. rozrobyv metodyku vstanov-
lennq zobraΩen\ dodatno oznaçenyx qder, wo ©runtu[t\sq na teori] uzahal\ne-
nyx vlasnyx vektoriv dlq samosprqΩenyx operatoriv. U danij roboti my rozvy-
va[mo teorig uzahal\nenyx operatornoznaçnyx qder Teplica, znaçennqmy qkyx [
obmeΩeni operatory v fiksovanomu separabel\nomu hil\bertovomu prostori. }x
intehral\ne zobraΩennq dovedeno za dopomohog zhadanoho metodu i [ prodov-
Ωennqm roboty [7] (dyv. takoΩ [8]). Ci rezul\taty pov’qzani takoΩ iz robotog
M.3L.3Horbaçuka [9], v qkij vstanovlg[t\sq intehral\ne zobraΩennq dlq opera-
tornoznaçnyx dodatno oznaçenyx funkcij na intervali.
Nexaj H — povnyj separabel\nyj kompleksnyj hil\bertovyj prostir z invo-
lgci[g H � f � f ∈ H , skalqrnym dobutkom ( ⋅ , ⋅ ) i normog | | ⋅ || . L ( H ) —
sukupnist\ usix obmeΩenyx operatoriv u H . Poznaçymo I = ( – l , l ) , 0 < l < ∞ , Ĩ
— joho zamykannq. Rozhlqnemo obmeΩene qdro
I × I � ( x , y ) � K ( x , y ) ∈ L ( H ) .
Prypustymo, wo qdro K ( x , y ) [ neperervnym skriz\ na ( I × I ) \ ( ( I × { 0 } ) ∪
∪ ( { 0 } × I ) ) . MnoΩynu vsix neperervnyx vektornoznaçnyx funkcij I � x �
� f ( x ) ∈ H poznaçymo C ( H , I ) . VvaΩa[mo, wo qdro K ( x , y ) dodatno oznaçene,
tobto dlq bud\-qko] vektornoznaçno] f ( x ) ∈ C ( H , Ĩ ) vykonu[t\sq nerivnist\
K x y f y f x dx dyH
l
l
l
l
( , ) ( ), ( )( )
−−
∫∫ ≥ 0.
Dlq prostoty vvaΩa[mo, wo qdro nevyrodΩene, tobto dlq f ( x ) ∈ C ( H , Ĩ ) riv-
nist\
K x y f y f x dx dyH
l
l
l
l
( , ) ( ), ( )( )
−−
∫∫ = 0
vykonu[t\sq todi i til\ky todi, koly f ( x ) = 0.
Na mnoΩyni C ( H , Ĩ ) vvedemo skalqrnyj dobutok
( , )f g HK
= K x y f y g x dx dyH
l
l
l
l
( , ) ( ), ( )( )
−−
∫∫ . (1)
© O.3B.3ÇERNOBAJ, 2005
1698 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
SPEKTRAL|NE ZOBRAÛENNQ DLQ UZAHAL|NENYX OPERATORNOZNAÇNYX … 1699
Popovnyvßy C ( H , Ĩ ) po c\omu skalqrnomu dobutku, oderΩymo hil\bertovyj
prostir, qkyj poznaçymo HK .
Pobudu[mo kvaziqderne osnawennq prostoru HK :
HK , – ⊃ HK ⊃ HK , + (2)
take, wob H K , – 0→ HK bulo vkladennqm Hil\berta – Ímidta. Dlq c\oho spo-
çatku pobudu[mo pevne kvaziqderne osnawennq prostoru L2
( H , I ) = L 2
( I ) ⊗ H
( de L 2
( I ) — prostir L 2, pobudovanyj za mirog Lebeha dx n a I ) . Prostir
L2
( H , I ) (dyv. [10], hl.31, §33, ta [9]) sklada[t\sq z usix vektornoznaçnyx funk-
cij na I zi znaçennqmy v H takyx, wo
f x dxH
I
( ) 2∫ < ∞ .
Skalqrnyj dobutok u prostori L2
( H , I ) zada[t\sq rivnistg
( , )
( , )
f g
L H I2 = f x g x dxH
I
( ), ( )( )∫ , f , g ∈ L2
( H , I ) .
U prostori L2
( H , I ) mnoΩyna C ( H , Ĩ ) [ wil\nog.
Lema 1. Vkladennq L2
( H , I ) 0→ HK [ neperervnym.
Dovedennq. Dlq funkcij f ( x ) ∈ C ( H , Ĩ )
f HK
2 = K x y f y f x dx dyH
II
( , ) ( ), ( )( )∫∫ ≤ K x y f y f x dx dyH
II
( , ) ( ), ( )( )∫∫ ≤
≤ K x y f x f y dx dyL H H H
II
( , ) ( ) ( )( )∫∫ ≤ K x y dx dy fL H
II
L H I( , ) ( ) ( , )∫∫ 2 ,
vraxovugçy obmeΩenist\ qdra, ma[mo
f HK
≤ C f L H I2 ( , ) . (3)
Prostir L2( H , I ) [ popovnennqm C ( H , I ) vidnosno normy ⋅ L H I2 ( , ) , tomu z neriv-
nosti (3) vyplyva[, wo vkladennq L2
( H , I ) 0→ HK [ neperervnym, tobto
HK ⊃ L2
( H , I ) . (4)
Lemu dovedeno.
Viz\memo dovil\ne kvaziqderne osnawennq prostoru H prostoramy H + , H–
zi zbereΩennqm involgci] „ – ” (tobto ]] zvuΩennq na H+ bude involgci[g v H+ ,
tomu vona rozßyrg[t\sq za neperervnistg do involgci] na H– )
H– ⊃ H ⊃ H+ (5)
take, wob H+ 0→ H bulo kvaziqdernym. Vidomo, wo (dyv.3[11], hl. 14, § 3, ta [6])
hil\bertove osnawennq prostoru L2
( I ) sobolevs\kymy prostoramy
W I2
1− ( ) ⊃ L2
( I ) ⊃ W I2
1( ) (6)
bude kvaziqdernym. Beruçy tenzornyj dobutok lancgΩkiv (5) i ( 6 ) , moΩna
stverdΩuvaty, wo nastupne osnawennq bude takoΩ kvaziqdernym:
W I2
1− ( ) ⊗ H– ⊃ L2
( H , I ) = L2
( I ) ⊗ H ⊃ W I2
1( ) ⊗ H+ . (7)
Vraxovugçy lancgΩky (4), (6) ta (7), moΩna zapysaty osnawennq prosto-
ru HK :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1700 O.3B.3ÇERNOBAJ
W I H2
1( )⊗( )′+ ⊃ HK ⊃ L2
( H , I ) ⊃ W I2
1( ) ⊗ H+ . (8)
Vkladennq L2
( H , I ) 0→ H K [ neperervnym, a W I2
1( ) ⊗ H + 0→ L 2
( H , I ) —
kvaziqdernym, tomu vkladennq W I2
1( ) ⊗ H+ 0→ HK — kvaziqderne. Poznaçymo
W I2
1( ) ⊗ H + = HK , + , a sprqΩenyj do n\oho prostir W I H2
1( )⊗( )′+ = HK , – .
V3rezul\tati otryma[mo potribne kvaziqderne osnawennq (2) prostoru HK :
HK , – ⊃ HK ⊃ HK , + .
Lema 2. Nexaj
HK , – ⊃ HK ⊃ HK , + ,
(9)
W I2
1− ( ) ⊗ H– ⊃ L2
( H , I ) ⊃ W I2
1( ) ⊗ H+ = HK , +
— lancgΩky z rivnymy pozytyvnymy prostoramy i IHK
, I
L H I2 ( , )
— standartni
unitarni operatory, wo vidpovidagt\ lancgΩkam (9), tobto IH KK
H ,− = HK , + ;
I
L H I
W I H2 2
1
( , )
( )−
−⊗( ) = W I2
1( ) ⊗ H+ . Todi isnu[ unitarnyj operator U : HK , – �
� W I2
1− ( ) ⊗ H– , U HK , – = W I2
1− ( ) ⊗ H– , takyj, wo
( , )
( , )
U f
L H I
ξ 2 = ( , )ξ f HK
, ξ ∈ HK , – , f ∈ HK , + . (10)
Dovedennq. Dlq dovedennq rivnosti (10) poklademo U = I I
L H I HK2
1
( , )
− (dyv.
[12]). Cej operator [ unitarnym za pobudovog. Todi dlq bud\-qkoho ξ ∈ HK , – ,
f ∈ HK , + = W I2
1( ) ⊗ H+ ma[mo
( , )
( , )
U f
L H I
ξ 2 = I I
L H I H
L H IK
f2 2
1
( , ) ( , )
,−( )ξ =
= IH W I HK
fξ ,
( )( ) ⊗ +2
1 = IH HK K
fξ ,
,
( )
+
= ( , )ξ f HK
.
Lemu 2 dovedeno.
Teper perejdemo do vyznaçennq uzahal\nenoho operatornoznaçnoho qdra
Teplica.
Nexaj I = ( – l , l ) , 0 < l < ∞ , I1 = I ∩ [ 0 , ∞ ) , I2 = I ∩ ( – ∞ , 0 ) . Poznaçymo
Iαβ = { t = x – y | x ∈ Iα , y ∈ Iβ } ∀α , β = 1, 2,
tobto I11 = I22 = ( – l , l ) , I12 = ( 0 , 2l ) , I21 = ( –2l , 0 ) . Rozhlqnemo obmeΩene za
normog operatoriv operatorne dodatno oznaçene qdro
I × I � ( x , y ) � K ( x , y ) ∈ L ( H ) .
Take qdro nazyvagt\ uzahal\nenym qdrom Teplica, qkwo isnugt\ çotyry nepe-
rervni operatorni funkci] Iαβ � t � kαβ ( t ) ∈ L ( H ) taki, wo
K ( x , y ) = K
∗
( y , x ) , ( x , y ) ∈ I × I . (11)
Dijsno, zavdqky ermitovosti skalqrnoho dobutku (1) dlq dovil\nyx f , g ∈
∈ C ( H , Ĩ ) ma[mo
K x y f y g x dx dyH
l
l
l
l
( , ) ( ), ( )( )
−−
∫∫ = ( , )f g HK
= ( , )g f HK
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
SPEKTRAL|NE ZOBRAÛENNQ DLQ UZAHAL|NENYX OPERATORNOZNAÇNYX … 1701
= K x y g y f x dx dyH
l
l
l
l
( , ) ( ), ( )( )
−−
∫∫ = g y K x y f x dx dy
H
l
l
l
l
( ), ( , ) ( )∗
−−
( )∫∫ =
= K y x f y g x dx dy
H
l
l
l
l
∗
−−
( )∫∫ ( , ) ( ), ( ) .
Zvidsy vnaslidok dovil\nosti f i g vyplyva[ (11). Na pidstavi rivnostej (11) ta
(10) ma[mo
kαα ( t ) = k tαα
∗ −( ), t ∈ Iαα , α = 1, 2,
k12 ( t ) = k t21
∗ −( ) , t ∈ I12 .
Dlq koΩnoho α , β = 1, 2 zvuΩennq K Û ( Iα × Iβ ) [ neperervnog operator-
nog funkci[g kαβ ( x – y ) . Zvidsy vyplyva[, wo K [ neperervnog na ( I × I ) \ ( ( I ×
× { 0 } ) ∪ ( { 0 } × I ) ) . ObmeΩenist\ K vyplyva[ z obmeΩenosti koΩno] kαβ na
Iαβ . Dlq prostoty vvaΩa[mo, wo operatorne qdro K [ nevyrodΩenym. Takym
çynom, uzahal\nene qdro Teplica bude qdrom takoho typu, qkyj rozhlqdavsq na
poçatku punktu.
Nam bude potribnyj we odyn vyraz dlq K . Poznaçymo çerez καβ ( x , y ) xa-
rakterystyçnu funkcig mnoΩyny Iα × Iβ i pobudu[mo qdro
Kαβ ( x , y ) = καβ ( x , y ) K ( x , y ) , ( x , y ) ∈ I × I , α , β = 1, 2.
Todi
K( x , y) = K x y x y k x yαβ
α β
αβ αβ
α β
κ( , ) ( , ) ( )
, ,= =
∑ ∑= −
1
2
1
2
, ( x , y) ∈ I × I , α , β = 1, 2. (12)
Poznaçymo çerez C H Ifin
∞ ( , ) mnoΩynu vsix finitnyx v okolax – l , 0 ta l
neskinçenno dyferencijovnyx vektor-funkcij iz znaçennqmy v H. Vvedemo dy-
ferencial\nyj vyraz
C H Ifin
∞ ( , ) � f ( x ) � − i d
dx
f x( ) = : ( L f ) ( x ) , L+ = L . (13)
Cej vyraz u prostori H , pobudovanomu za qdrom K , porodΩu[ operator A0 z
wil\nog oblastg vyznaçennq D ( A0 ) = C H Ifin
∞ ( , ).
Lema 3. Operator A0 [ ermitovym u prostori H :
( , )A f g H0 = ( , )f A g HK0 , f , g ∈ C H Ifin
∞ ( , ). (14)
Dovedennq. Na pidstavi spivvidnoßen\ (1) i (12) ma[mo
( , )A f g HK0 = K x y A f y g x dx dyH
I I
( , )( )( ), ( )0( )
×
∫∫ =
= k y x if y g x dx dy
H
I I
αβ
α β α β
( )( )( ), ( )
,
− − ′( )
×=
∫∫∑
1
2
.
Vykorystovugçy zaminu zminno] 〈 x , y 〉 → 〈 t , y 〉 , de t = y – x , vraxovugçy riv-
nist\ nulg funkcij v okolax – l , 0, l ta intehrugçy çastynamy, lehko otrymu[-
mo (dyv. dovedennq lemy32.1 z [7])
k y x if y g x dx dy
H
I I
αβ
α β α β
( )( )( ), ( )
,
− − ′( )
×=
∫∫∑
1
2
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1702 O.3B.3ÇERNOBAJ
= i k y x f y g x dx dy
H
I I
αβ
α β α β
( )( )( ), ( )
,
− ′( )
×=
∫∫∑
1
2
=
= K x y f y A g x dx dyH
I I
( , ) ( ), ( )0( )
×
∫∫ = ( , )f A g HK0 .
Lemu 3 dovedeno.
Lema 4. VidobraΩennq
f ( x ) � f x( )− = f ∗ ( x )
porodΩu[ involgcig ∗ u prostori H i operator A0 [ dijsnym vidnosno ci[]
involgci], tobto
A0 f ∗ = ( A0 f )∗, f ∈ D ( A0 ) .
Dovedennq lemy povtorg[ dovedennq lemy 2.2 z [7], i my joho ne navodymo.
Oskil\ky u prostori H [ involgciq, vidnosno qko] operator A0 [ dijsnym,
to vin ma[ odnakovi defektni çysla, i tomu isnu[ joho samosprqΩene rozßyren-
nq u prostori H . Zafiksu[mo deqke samosprqΩene rozßyrennq A operatora A0 .
Pobudu[mo lancgΩok, z qkym operator A standartno pov’qzanyj, tobto pobu-
du[mo lancgΩok
HK , – ⊃ HK ⊃ HK , + ⊃ D , (15)
de D = C H Ifin
∞
+( , ) iz takog zbiΩnistg:
C H Ifin
∞
+( , ) � fn � f ∈ C H Ifin
∞
+( , ),
qkwo funkci] fn rivnomirno finitni i bud\-qka poxidna
d f
dx
k
n
k zbiha[t\sq do
d f
dx
k
k rivnomirno v I za normog prostoru H+ ( pid C H Ifin
∞
+( , ) rozumi[mo
prostir, pobudovanyj, qk i C H Ifin
∞ ( , ), ale z zaminog H na H+ ) .
Lehko baçyty, wo operator A0 i lancgΩok (15) standartno pov’qzani. Ce
oznaça[, wo: 1) D neperervno vkladeno v HK , + ; 2) operator A0 neperervno di[
z D v HK , + .
Lema 5. Dlq qdra ma[ misce zobraΩennq
K = Ω( ) ( )λ ρ λd
R1
∫ , (16)
de
Ω ( λ ) ∈ W I H2
1−
−⊗( )( ) ⊗ W I H2
1−
−⊗( )( ) (17)
— elementarne dodatno oznaçene qdro z obmeΩenog vidnosno λ normog
Ω( ) ( ( ) ) ( ( ) )λ W I H W I H2
1
2
1−
−
−
−⊗ ⊗ ⊗ ,
ρ — dodatna borelivs\ka mira na R1.
Qdro Ω ( λ ) vyznaçene dlq ρ -majΩe koΩnoho λ ∈ R1. Intehral zbiha[t\sq
za normog u prostori W I H2
1−
−⊗( )( ) ⊗ W I H2
1−
−⊗( )( ) . Dodatna oznaçenist\
qdra Ω ( λ ) , λ ∈ R1, oznaça[, wo dlq bud\-qkoho u ∈ HK , +
Ω( ), ( , ) ( , )λ u u L H I L H I⊗( ) ⊗2 2 ≥ 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
SPEKTRAL|NE ZOBRAÛENNQ DLQ UZAHAL|NENYX OPERATORNOZNAÇNYX … 1703
Elementarnist\ qdra oznaça[ vykonannq takyx rivnostej:
Ω( ),
( , ) ( , )
λ v⊗( ) ⊗A u
L H I L H I0 2 2 =
Ω( ), ( ) ( , ) ( , )λ A u L H I L H I0 2 2v ⊗( ) ⊗ =
= λ λΩ( ), v⊗( )u , u , v ∈ C H Ifin
∞
+( , ). (18)
Dovedennq bazu[t\sq na proekcijnij spektral\nij teoremi [6], qka polqha[
v nastupnomu. Na osi R1 isnu[ dodatna skinçenna borelivs\ka mira ρ (spekt-
ral\na mira operatora A ) , dlq qko] vidpovidna rivnist\ Parsevalq zapyßet\sq
tak:
( , )u HK
v =
P u dHK
( ) ( )λ ρ λ, v( )∫
R1
, u , v ∈ HK , + = W I2
1( ) ⊗ H+ . (19)
Tut P ( λ ) — vyznaçenyj dlq ρ -majΩe koΩnoho λ ∈ R1 operator, wo di[ z
HK , + v HK , – , pryçomu joho norma Hil\berta – Ímidta P H S( ) . .λ ≤ 1. Cej
operator P( )λ — operator uzahal\nenoho proektuvannq na uzahal\nenyj
vlasnyj pidprostir operatora A v nastupnomu sensi: ∀u ∈ HK , + , v ∈ D =
= C H Ifin
∞ ( , )
P u A
HK
( )λ , 0v( ) =
λ λP u HK
( ) , v( ) . (20)
Operator P ( λ ) dodatno oznaçenyj, tobto
P u Au HK
( )λ ,( ) ≥ 0, u ∈ HK , + .
Perejdemo do dovedennq lemy. Dovedemo spoçatku zobraΩennq
P u HK
( )λ , v( ) =
Ω( ), ( , ) ( , )λ v⊗( ) ⊗u L H I L H I2 2 , (21)
de Ω ( λ ) ∈ W I H2
1−
−⊗( )( ) ⊗ W I H2
1−
−⊗( )( ) . Nexaj I1 — standartnyj operator I,
pobudovanyj za lancgΩkom (2), todi
P u HK
( )λ , v( ) =
I ( )1P u
HK
λ ,
,
v( )
+
, u , v ∈ HK , + .
Oskil\ky P ( λ ) — operator Hil\berta – Ímidta, wo di[ z HK , + v HK , – , to I1 P ( λ )
— operator Hil\berta – Ímidta u prostori HK , + . Vidpovidno do lemy 2.1 hl.31
[6] moΩna zapysaty
P u HK
( )λ , v( ) =
I ( )1P u
HK
λ ,
,
v( )
+
=
S u
H HK K
λ ,
, ,
v⊗( )
+ +⊗ , u , v ∈ HK , + ,
de qdro Sλ operatora I ( )1P λ vxodyt\ v HK , + ⊗ HK , + . Dlq n\oho u vidpovidnos-
ti z teoremog pro qdro (teorema 6.3 ta zauvaΩennq 6.2 [11] (hl.314, §6)) isnu[
neperervna bilinijna forma
HK , + ⊗ HK , + � ( u , v ) � aλ ( u , v ) =
S u
H HK K
λ ,
, ,
v⊗( )
+ +⊗ .
Pobudu[mo tenzornyj dobutok lancgΩka (7) samoho na sebe:
W I H2
1−
−⊗( )( ) ⊗ W I H2
1−
−⊗( )( ) ⊃ L2
( H , I ) ⊗ L2
( H , I ) ⊃
⊃ W I H2
1( )⊗( )+ ⊗ W I H2
1( )⊗( )+ = HK , + ⊗ HK , + .
Nexaj I2 — operator I, pov’qzanyj iz cym lancgΩkom. Poklavßy Ω ( λ ) =
= I2
1− Sλ , oderΩymo
P u HK
( )λ , v( ) =
S u
H HK K
λ ,
, ,
v⊗( )
+ +⊗ = aλ ( u , v ) =
= Ω( ), ( , ) ( , )λ v⊗( ) ⊗u L H I L H I2 2 . (22)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1704 O.3B.3ÇERNOBAJ
Rivnist\ (21) dovedeno.
PokaΩemo, wo qdro Ω ( λ ) [ elementarnym. Vykorystovugçy rivnosti (21) i
(20), dlq bud\-qkyx u , v ∈ C H Ifin
∞
+( , ) oderΩu[mo
Ω( ), ( ) ( , ) ( , )λ A u L H I L H I0 2 2v ⊗( ) ⊗ =
P u A
HK
( )λ , 0v( ) =
= λ λP u HK
( ) , v( ) =
λ λΩ( ), ( , ) ( , )v⊗( ) ⊗u L H I L H I2 2 .
Vykorystovugçy (22), ermitovist\ formy aλ ta dovedenu rivnist\, dlq bud\-
qkyx u , v ∈ C H Ifin
∞
+( , ) ma[mo
Ω( ),
( , ) ( , )
λ v⊗( ) ⊗A u
L H I L H I0 2 2 = aλ ( A0u , v ) = a A uλ v, 0( ) =
= Ω( ), ( , ) ( , )λ A u L H I L H I0 2 2( )⊗( ) ⊗v =
λ λΩ( ), ( , ) ( , )u L H I L H I⊗( ) ⊗v 2 2 =
=
λ λΩ( ), ( , ) ( , )v⊗( ) ⊗u L H I L H I2 2
(my vykorystaly ermitovist\ qdra Ω ( λ ) , wo vyplyva[ z joho dodatno] oznaçe-
nosti). OtΩe, rivnosti perßoho i druhoho vyraziv iz (18) tret\omu dovedeno,
tobto (18) dovedeno.
Ocinka normy Ω( ) ( ( ) ) ( ( ) )λ W I H W I H2
1
2
1−
−
−
−⊗ ⊗ ⊗ vyplyva[ z ocinky || P ( λ ) || ≤
≤ 1. Dijsno, oskil\ky Ω ( λ ) = I2
1− Sλ , to
Ω( ) ( ( ) ) ( ( ) )λ W I H W I H2
1
2
1−
−
−
−⊗ ⊗ ⊗ = S
W I H W I Hλ ( ( ) ) ( ( ) )2
1
2
1⊗ ⊗ ⊗+ +
=
= S
H HK K
λ
, ,+ +⊗ = I ( )1P
HK
λ
,+
= P H S( ) . .λ ≤ 1.
Z dodatno] oznaçenosti operatora P ( λ ) i rivnosti (22) vyplyva[ dodatna
oznaçenist\ qdra Ω ( λ ) .
Z rivnosti Parsevalq (19), zobraΩennq (21) i rivnosti (1) dlq bud\-qkyx u,v∈
∈ HK , + ma[mo
K u L H I L H I, ( , ) ( , )v⊗( ) ⊗2 2 =
u HK
, v( ) = Ω( ), ( )( , ) ( , )λ ρ λv⊗( ) ⊗
−∞
∞
∫ u dL H I L H I2 2 .
Takym çynom, zobraΩennq (16) dovedeno.
Nam budut\ potribni we deqki dodatkovi pobudovy, pov’qzani z rozßyrennqm
lancgΩka (7). Rozhlqnemo hil\bertove kvaziqderne osnawennq prostoru L 2
( I )
sobolevs\kymy prostoramy
W I2 0
1
, ( )−
⊃ L2
( I ) ⊃ W I2 0
1
, ( ),
de W I2 0
1
, ( ) — pidprostir sobolevs\koho prostoru W I2
1( ) , wo sklada[t\sq z
vektor-funkcij u ∈ W I2
1( ) , dlq qkyx u ( 0 ) = 0. Budugçy vidpovidni tenzorni
dobutky i porivnggçy z (7), otrymu[mo kvaziqderne osnawennq
W H I2 0
1
, ( , )−
− = W I2 0
1
, ( )− ⊗ H– ⊃ W I2
1− ( ) ⊗ H– ⊃ L2
( H , I ) =
= L2
( I ) ⊗ H ⊃ W I2
1( ) ⊗ H+ ⊃ W I2 0
1
, ( ) ⊗ H+ = W H I2 0
1
, ( , )+ . (23)
Na pidstavi (17) i (23) nam dali bude zruçno rozumity Ω ( λ ) qk element tenzor-
noho kvadrata najlivißoho z prostoriv (23).
Perejdemo do formulgvannq ta dovedennq osnovnoho rezul\tatu statti.
Teorema 1. Dlq koΩnoho uzahal\nenoho operatornoznaçnoho qdra Teplica
ma[ misce intehral\ne zobraΩennq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
SPEKTRAL|NE ZOBRAÛENNQ DLQ UZAHAL|NENYX OPERATORNOZNAÇNYX … 1705
K ( x , y ) = e x y di x yλ
α β
α β
αβκ κ σ λ( )
,
( ) ( )−
=
∑∫
1
2
1
( )
R
, ( x , y ) ∈ I ⊗ I . (24)
Tut κα — xarakterystyçna funkciq intervalu Iα , a ( ) ,σαβ α β( )∆ =1
2 , σαβ (∆) ∈
∈ L ( H ) — matryçna operatornoznaçna borelivs\ka mira na R1, dodatno
oznaçena.
Navpaky, koΩne qdro, dlq qkoho ma[ misce zobraΩennq (24), [ uzahal\nenym
operatornoznaçnym qdrom Teplica.
Zrobymo deqki poqsnennq stosovno matryçno] miry σ ( ∆ ) = ( ) ,σαβ α β( )∆ =1
2 , za-
dano] na borelivs\kyx mnoΩynax ∆ ⊂ R1. Dlq koΩnyx α , β ∆ � σαβ (∆) ∈ L ( H )
[ skinçennog operatornog mirog (dyv., napryklad, [6]), pry c\omu operator
σ ( ∆ ) u prostori H ⊕ H ma[ buty nevid’[mnym. Tobto nexaj ϕ = 〈 ϕ1 , ϕ2 〉 ∈
∈ H ⊕ H . Todi dlq bud\-qkyx ∆ i ϕ ∈ H ⊕ H
0 ≤ σ ϕ ϕ( ) ,∆( ) ⊕H H =
= σ ϕ σ ϕ σ ϕ σ ϕ ϕ ϕ11 1 12 2 21 1 22 2 1 2( ) ( ) , ( ) ( ) , ,∆ ∆ ∆ ∆+ +( ) ⊕H H =
= σ ϕ σ ϕ ϕ σ ϕ σ ϕ ϕ11 1 12 2 1 21 1 22 2 2( ) ( ) , ( ) ( ) ,∆ ∆ ∆ ∆+( ) + +( ) . (25)
Vyvedemo z (25) deqki korysni spivvidnoßennq. Poklademo v (25) ϕ =
= 〈 λ1 ϕ1 , λ2 ϕ2 〉 , de λ 1 , λ2 ∈ C1 — dovil\ni, a ϕ1 , ϕ2 ∈ H — fiksovani. V3re-
zul\tati otryma[mo
0 ≤ σ ϕ ϕ λ λ σ ϕ ϕ λ λ11 1 1 1 1 12 2 1 2 1( ) , ( ) ,∆ ∆( ) + ( ) +
+ σ ϕ ϕ λ λ σ ϕ ϕ λ λ21 1 2 1 2 22 2 2 2 2( ) , ( ) ,∆ ∆( ) + ( ) ,
tobto çyslova matrycq ( ) ,ajk j k=1
2 , de aαβ = σ ϕ ϕαβ β α( ) ,∆( )H , [ nevid’[mnog, a
ce oznaça[ ]] ermitovist\ a aαβ βα=( ) i vykonannq nerivnostej a11 ≥ 0, a11a22 –
– | a12 | 2 ≥ 0, a22 ≥ 0. V qkosti ϕ1 , ϕ2 moΩut\ buty dovil\ni vektory z H , tomu
zapysani spivvidnoßennq oznaçagt\, wo dlq bud\-qkoho ∆
σ11 ( ∆ ) ≥ 0, σ22 ( ∆ ) ≥ 0, σ12 ( ∆ ) = ( σ21 ( ∆ ) )∗,
(26)
σ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ ϕ ϕ12 2 1
2
11 1 1 22 2 2( ) , ( ) , ( ) ,∆ ∆ ∆( ) ≤ ( ) ( )H H H , ϕ1 , ϕ2 ∈ H .
Zokrema, z (26) vyplyva[, wo σ11( )∆ i σ22( )∆ — nevid’[mni operatorni miry.
Perejdemo do dovedennq teoremy. Spoçatku vstanovymo ]] netryvial\nu ças-
tynu — prodovΩennq (24).
Poznaçymo çerez Hα , + pidprostir prostoru W H I2 0
1
, ( , )+ , wo sklada[t\sq z
vektor-funkcij, qki dorivnggt\ nulg na I \ Iα , i nexaj
Hαβ , + = Hα , + ⊗ Hβ , + ⊂ W H I2 0
1
, ( , )+ ⊗ W H I2 0
1
, ( , )+ , α , β = 1, 2.
ZauvaΩymo, wo dlq vektorno] funkci] u ∈ W H I2 0
1
, ( , )+ funkciq u ( x ) κα ( x ) ∈
∈ Hα , + . Nexaj
Hα , – ⊃ L2
( H , Iα ) ⊃ Hα , + , α = 1, 2, (27)
— vidpovidne osnawennq prostoru L 2
( H , Iα ) ta Hα , + . Zafiksu[mo λ ∈ R1 i
poznaçymo çerez Ωαβ ( λ ) zvuΩennq Ω ( λ ) (qk elementa z tenzornoho kvadrata
livoho prostoru v (23) na Hαβ , + ) . Inßymy slovamy, Ωαβ ( λ ) zada[t\sq rivnistg
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1706 O.3B.3ÇERNOBAJ
Ωαβ α βλ
α β
( ),
( , ) ( , )
v ⊗( ) ⊗
u
L H I L H I2 2 =
= Ω( ),
( , ) ( , )
λ α βv ⊗( ) ⊗
u
L H I L H I2 2 , vα ∈ Hα , + , uβ ∈ Hβ , + , α , β = 1, 2. (28)
Takym çynom,
Ωαβ ( λ ) ∈ Hα , – ⊗ Hβ , – = W I H W I H2 0
1
2 0
1
, ,( ) ( )−
−
−
−⊗( ) ⊗ ⊗( )α β , α , β = 1, 2. (29)
Oçevydno, spravdΩu[t\sq rivnist\
Ω( ), ( , ) ( , )λ v⊗( ) ⊗u L H I L H I2 2 =
=
Ωαβ α α
α β
λ κ κ
α β
( ), ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( , )
,
x x y u y
L H I L H I
v ⊗( ) ⊗=
∑ 2 2
1
2
, u , v ∈ W H I2 0
1
, ( , )+ . (30)
Vyrazymo Ωαβ ( λ ) (α , β = 1, 2, λ ∈ R1 — fiksovani) çerez ei xλ . Dlq c\oho
zvedemo pytannq do vidpovidnyx rezul\tativ z roboty [7] (teorema31). Nasampe-
red zaznaçymo, wo dlq l ∈ H+ i uα ( x ) ∈ W I2 0
1
, ( )α dobutok uα ( x ) l = uα ( x ) ⊗ l
naleΩyt\ do W H I2 0
1
, ( , )+ α , pryçomu, zminggçy dovil\no l i uα ( x ) , otrymu[mo
vektory, wil\ni u prostori W H I2 0
1
, ( , )+ α .
Zafiksu[mo l , m ∈ H+ i vvedemo qdro
Ω Ωαβ αβ α βλ λ
α β
lm
L H I L H I
l m W I W I( ) ( ), ( ) ( )
( , ) ( , ) , ,= ⋅⊗( ) ⊗ ⋅⊗( )( ) ∈ ⊗
⊗
− −
2 2 2 0
1
2 0
1 (31)
formulog
∀uβ ( y ) ∈ W I2 0
1
, ( )β ∀vα ( x ) ∈ W I2 0
1
, ( )α :
Ωαβ α βλ
α β
lm
L I L I
u( ),
( ) ( )
v ⊗( ) ⊗2 2 =
Ωαβ α βλ
α β
( ), ( ) ( )
( , ) ( , )
v x l u y m
L H I L H I
( )⊗ ( )( ) ⊗2 2
. (32)
Korektnist\ takoho vvedennq vyplyva[ z deqkyx zahal\nyx faktiv (dyv., napry-
klad, [13, s. 1611]) i vklgçennq (29).
Z elementarnosti qdra Ω ( λ ) , tobto rivnostej (18), vyplyvagt\ taki rivnosti
dlq Ωαβ λ
lm ( ):
Ωαβ α βλ
α β
lm
L I I
x iu y( ), ( ) ( )
( ) ( )
v ⊗ ′( ) ⊗2 2 = Ωαβ α βλ
α β
lm
L I L I
i x u y( ), ( ) ( )
( ) ( )
− ′ ⊗ ′( ) ⊗
v 2 2 =
=
λ λαβ α β
α β
Ωlm
L I L I
x u y( ), ( ) ( )
( ) ( )
v ⊗( ) ⊗2 2 , (33)
de vα , uβ — neskinçenno dyferencijovni finitni funkci] na Iα i Iβ vidpovidno,
prodovΩeni nulem, qkwo potribno, na I .
Spravdi, zhidno z (33), (28), (13) i (18) ma[mo
Ωαβ α βλ
α β
lm
L I L I
x iu y( ), ( ) ( )
( ) ( )
v ⊗ ′( ) ⊗2 2 =
=
Ωαβ α βλ
α β
lm
L H I L H I
x l iu y( ), ( ) ( )
( , ) ( , )
v( )⊗ − ′( ) ⊗2 2 =
= Ω( ), ( ) ( )
( , ) ( , )
λ α βv x l A u y m
L H I L H I
( )⊗ ( )( ) ⊗0 2 2
=
=
λ λ α βΩ( ), ( ) ( )
( , ) ( , )
v x l u y m
L H I L H I
( )⊗( ) ⊗2 2 =
=
λ λαβ α β
α β
Ωlm
L I L I
x u y( ), ( ) ( )
( ) ( )
v ⊗( ) ⊗2 2 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
SPEKTRAL|NE ZOBRAÛENNQ DLQ UZAHAL|NENYX OPERATORNOZNAÇNYX … 1707
Takym çynom, dovedeno rivnist\ perßoho i tret\oho vyraziv z (33). Analohiçno
dovodyt\sq i druha rivnist\ z (33).
Spivvidnoßennq (33) analohiçni rivnostqm (3.5) z [7] i vidpovidnym rivnostqm
ci[] roboty dlq Ωαβ ( λ ) (dyv. [7, s. 1466 – 1468]). Ale teper rol\ Ωαβ ( λ ) vidi-
hra[ Ωαβ λ
lm ( ). Na pidstavi teoremy pro uzahal\neni rozv’qzky rivnqnnq − i du
dx
=
= λ u [11], qk i v [7], robymo vysnovok, wo ma[ misce zobraΩennq (3.23) vkazano]
roboty, lyße matrycq τ ( λ ) zaleΩyt\ vid l , m :
Ωαβ λ
lm ( ) ≡ Ωαβ λ
lm x y( ; , ) = τ λαβ
λlm i x ye( ) ( )− , x ∈ Ĩα , y ∈ Ĩβ , α , β = 1, 2. (34)
Z (31), (32) vyplyva[, wo Ωαβ λ
lm ( ) zaleΩyt\ vid l ∈ H+ ( m ∈ H+ ) linijno
(antylinijno). ZaleΩnist\ [ neperervnog: pry fiksovanyx vα ∈ W I2 0
1
, ( )α , uβ ∈
∈ W I2 0
1
, ( )β livyj vyraz v (34) ocing[t\sq zverxu çerez l H+
, m H+
zavdqky
obmeΩenosti Ω( ) ( ( ) ) ( ( ) )λ W I H W I H2
1
2
1−
−
−
−⊗ ⊗ ⊗ .
ZobraΩennq (34) pokazu[, wo taka zaleΩnist\ vid l , m bude i dlq τ λαβ
lm ( ),
tobto isnu[ ταβ ( λ ) ∈ H– ⊗ H– take, wo
τ λ τ λαβ αβ( ), ( )l m
H H
lm⊗( ) =
⊗
, l , m ∈ H+ , α , β = 1, 2, λ ∈ R1. (35)
Rivnosti (34) i (35) oznaçagt\, wo
Ωαβ ( λ ) = ταβ ( λ ) ei
λ
(
x – y
), ταβ ( λ ) ∈ H– ⊗ H– , τ λαβ( )
H H− −⊗
≤ C (36)
(potribno vzqty do uvahy, wo vektory typu uα ( x ) l , l ∈ H+ , uα ( x ) ∈ W I2 0
1
, ( )α [
wil\nymy v W H I2 0
1
, ( , )+ α , a t a k o Ω s k o r y s t a t y s q ocinkog
Ω( ) ( ( ) ) ( ( ) )λ W I H W I H2
1
2
1−
−
−
−⊗ ⊗ ⊗ z lemy 5).
Z uraxuvannqm rivnostej (36), (34) dovedeno, wo Ωαβ ( λ ) naspravdi [ vektor-
noznaçne zi znaçennqmy v H– ⊗ H– qdro Ωαβ ( λ ; x , y ) vyhlqdu
Ωαβ ( λ ) = Ωαβ ( λ ; x , y ) =
= τ λαβ
λ( ) ( )ei x y− ∈ H– ⊗ H– , x ∈ Ĩα , y ∈ Ĩβ , α , β = 1, 2. (37)
ZobraΩennq (37) da[ moΩlyvist\ dlq bud\-qkyx vα ∈ Hα , + i uβ ∈ Hβ , + zapysaty
Ωαβ α βλ
α β
( ),
( , ) ( , )
v ⊗( ) ⊗
u
L H I L H I2 2 =
=
e x u y dx dyi x y
H H
I I
λ
αβ α βτ λ
α β
( ) ( ), ( ) ( )−
⊗
×
⊗( )∫∫ v . (38)
Nexaj u , v ∈ W H I2 0
1
, ( , )+ , todi z (30) ta (38) otrymu[mo
Ω( ), ( , ) ( , )λ v⊗( ) ⊗u L H I L H I2 2 =
= e x u y dx dyi x y
H H
I I
λ
αβ
α β
τ λ
α β
( )
,
( ), ( ) ( )−
⊗
×=
⊗( )∫∫∑ v
1
2
=
= e x y x u y dx dyi x y
H HI I
λ
α β αβ
α β
κ κ τ λ( )
,
( ) ( ) ( ), ( ) ( )−
= ⊗×
⊗( )
∑∫∫ v
1
2
. (39)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1708 O.3B.3ÇERNOBAJ
Dovil\nist\ funkcij u , v ∈ W H I2 0
1
, ( , )+ ta (39) pokazu[, wo i Ω ( λ ) [ vek-
tornoznaçnym qdrom Ω ( λ ; x , y ) zi znaçennqmy v H– ⊗ H– , pry c\omu
Ω ( λ ; x , y ) = e x yi x yλ
α β αβ
α β
κ κ τ λ( )
,
( ) ( ) ( )−
=
∑
1
2
, x , y ∈ I . (40)
Pidstavlqgçy cej vyraz v (16), ma[mo
K ( x , y ) = Ω( ) ( )λ ρ λ: ,x y d
R1
∫ = e x y di x yλ
α β αβ
α β
κ κ τ λ ρ λ( )
,
( ) ( ) ( )−
=
∑∫
1
2
1
( )
R
. (41)
Rivnist\ (41) potribno rozumity v nastupnomu sensi. Dlq koΩnyx x , y ∈ I zhidno
z teoremog pro qdro [11] operator K ( x , y ) moΩna rozumity qk vektor K ( x , y ) ∈
∈ H– ⊗ H– (lancgΩok (5) [ kvaziqdernym). Vyraz pid znakom intehrala u pravij
çastyni (41) takoΩ zhidno z (37) naleΩyt\ do H – ⊗ H– , takym bude j intehral.
Takym çynom, (41) — ce rivnist\ dlq bud\-qkyx x , y ∈ I dvox vektoriv z H– ⊗
⊗ H– .
Perejdemo do vstanovlennq rivnosti (24) z (41). Dlq c\oho nasampered
potribno identyfikuvaty ταβ ( λ ) dρ ( λ ) qk operatornu miru. Dlq bud\-qkyx
α , β = 1, 2 i λ ∈ R1 budemo rozhlqdaty ταβ ( λ ) qk qdro neperervnoho operato-
ra cαβ ( λ ) : H+ → H– . Spravdi, ce moΩlyvo, oskil\ky dlq bud\-qkyx l , m ∈ H+
za oznaçennqm ma[mo
c m l
Hαβ λ( ) ,( ) = τ λαβ( ), l m
H H
⊗( ) ⊗
,
(42)
τ λαβ( ), l m
H H
⊗( ) ⊗
≤ τ λαβ( )
H H H H H Hl m c l m
− − + + + +⊗
≤
(my skorystalysq nerivnistg z (36) ) . Nahada[mo, wo operator c : H+ → H –
nazyva[t\sq nevid’[mnym, qkwo ( c l , l ) ≥ 0, l ∈ H+ .
Bil\ß toho, operatorna matrycq c ( λ ) = ( )( ) ,cαβ α βλ =1
2 takoΩ porodΩu[
nevid’[mnyj obmeΩenyj operator c ( λ ) : H+ ⊕ H+ → H – ⊕ H – (nevid’[mnist\
potribno rozumity u vkazanomu vywe sensi z zaminog H na H ⊕ H ) . Spravdi,
teper na osnovi (42), (39) i dodatno] oznaçenosti qdra Ω ( λ ) dlq bud\-qkoho
u ∈ W H I2 0
1
, ( , )+ otrymu[mo
0 ≤ Ω( ), ( , ) ( , )λ u u L H I L H I⊗( ) ⊗2 2 =
= e x y u x u y dx dyi x y
H H
I I
λ
α β αβ
α β
κ κ τ λ( )
,
( ) ( ) ( ), ( ) ( )−
⊗=×
⊗( )
∑∫∫
1
2
=
= e x y c u y u x dx dyi x y
H
I I
λ
α β αβ
α β
κ κ λ( )
,
( ) ( ) ( ) ( ), ( )−
=×
( )
∑∫∫
1
2
=
= c e u y dy e u x dxi y
I
i x
I
H
αβ
λ λ
α β
λ
β α
( ) ( ) , ( )
,
− −
=
∫ ∫∑
1
2
.
Cq nerivnist\ oznaça[ nevid’[mnist\ matryci c ( λ ) , oskil\ky vektor
e u x dx e u x dxi x i x
II
− −∫∫ λ λ( ) , ( )
21
∈ H+ ⊕ H+
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
SPEKTRAL|NE ZOBRAÛENNQ DLQ UZAHAL|NENYX OPERATORNOZNAÇNYX … 1709
( λ ∈ R1 fiksovane ) nabuva[ dovil\noho znaçennq z prostoru H+ ⊕ H+ zavdqky
dovil\nosti funkci] u .
Takym çynom, dlq c ( λ ) moΩna zapysaty spivvidnoßennq typu (26) ( vony
lehko vyvodqt\sq, podibno do (26)):
c11 ( λ ) ≥ 0, c22 ( λ ) ≥ 0, c12 ( λ ) = ( c21 ( λ ) )∗,
(43)
c H12 2 1
2
( ) ,λ ϕ ϕ( ) ≤ c cH H11 1 1 22 2 2( ) , ( ) ,λ ϕ ϕ λ ϕ ϕ( ) ( ) , ϕ1 , ϕ2 ∈ H+ , ∀λ ∈ R1.
Dlq borelivs\kyx ∆ ⊂ R1 vvedemo nevid’[mnu operatornu miru σ ( ∆ ) :
H+ ⊕ H+ → H– ⊕ H– , poklavßy
σ ( ∆ ) = c d( ) ( )λ ρ λ
∆
∫ = ( )( ) ,σαβ α β∆ =1
2 , σαβ ( ∆ ) = c dαβ λ ρ λ( ) ( )
∆
∫ . (44)
U terminax ci[] miry zobraΩennq (41) perepyßet\sq tak:
K ( x , y ) = e x y di x yλ
α β αβ
α β
κ κ σ λ( )
,
( ) ( ) ( )−
=
∑∫
1
2
1R
, ( x , y ) ∈ I × I , (45)
pryçomu K ( x , y ) tut rozumi[t\sq qk operator z L ( H ) .
Takym çynom, zobraΩennq (24) majΩe dovedeno, zalyßylos\ lyße pereko-
natys\, wo miru σ ( ∆ ) z (44) moΩna rozumity qk operatornu zi znaçennqmy v
L ( H ⊕ H ) .
Dlq c\oho dosyt\ peresvidçytys\, wo koΩnyj operator σαβ ( ∆ ) moΩna za
neperervnistg rozßyryty do operatora, wo di[ z H v H (a ne3z H+ v H – ) . Ce
bude maty misce, qkwo dlq bud\-qkyx ϕ1 , ϕ2 ∈ H+ i deqkoho c > 0 my dovedemo
nerivnist\
σ ϕ ϕαβ( ) ,∆ 1 2( )H ≤ c H Hϕ ϕ1 2 . (46)
Spoçatku dovedemo (46) u vypadku α = β = 1; pry c\omu vnaslidok nevid’[m-
nosti operatora σ11 ( ∆ ) dosyt\ rozhlqnuty vypadok ϕ2 = ϕ1 . Viz\memo v (45)
fiksovane x = y ∈ I1 , todi
σ ϕ ϕ11 1 1( ) ,∆( )H = d dH Hσ λ ϕ ϕ σ λ ϕ ϕ11 1 1 11 1 1
1
( ) , ( ) ,( ) ≤ ( )∫ ∫
∆ R
=
= K x x H( , ) ,ϕ ϕ1 1( ) ≤ K x x L H H( , ) ( ) ϕ1
2 , ϕ1 ∈ H+ . (47)
Analohiçno do (47) dovodyt\sq nerivnist\ σ ϕ ϕ22 2 2( ) ,∆( )H ≤ K x x L H( , ) ( ) ×
× ϕ2
2
H , ϕ2 ∈ H+ . Ci dvi nerivnosti j ostannq ocinka z (43) pryvodqt\ do (46)
pry α , β = 1, 2 abo 2, 1.
Takym çynom, oskil\ky dlq bud\-qkyx x , y ∈ I operator K ( x , y ) [ nepererv-
nym v H , to dovedeno, wo znaçennq miry σ ( ∆ ) leΩyt\ v L ( H ⊕ H ) . Zobra-
Ωennq (24) povnistg dovedeno.
Dlq zaverßennq dovedennq teoremy zalyßylos\ peresvidçytys\, wo koΩne
qdro K vyhlqdu (24) [ uzahal\nenym operatornoznaçnym qdrom Teplica. Inte-
hral (24) [ operatorom z L ( H ) , oskil\ky takymy budut\ miry σαβ ( ∆ ) . Oçevyd-
no, K x y L H( , ) ( ) , ( x , y ) ∈ I × I , i funkciq ( I × I ) \ ( ( I × 0 ) ∪ ( 0 × I )) � ( x , y ) �
� K ( x , y ) ∈ L ( H ) [ neperervnog.
Nam zalyßylos\ peresvidçytys\ u dodatnij oznaçenosti c\oho qdra. Nexaj
f ( x ) ∈ C ( H , Ĩ ). Zhidno z (24) ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1710 O.3B.3ÇERNOBAJ
K x y f y f x dx dyH
I I
( , ) ( ), ( )( )
×
∫∫ =
= e x y d f y f x dx dyi x y
HI I
λ
α β αβ
α β
κ κ σ λ( )
,
( ) ( ) ( ) ( ), ( )−
=×
∑∫∫∫
1
2
1R
=
= d e f y dy e f x dx dx dyi y
I
i x
I
H
σ λαβ
λ λ
α β β α
( ) ( ) , ( )
,
− −
=
∫ ∫∑∫
1
2
1R
≥ 0. (48)
My skorystalysq tym, wo mira σ ( ∆ ) = ( )( ) ,σαβ α β∆ =1
2 ∈ L( H ⊕ H ) [ nevid’[mnog i
tomu dlq koΩnoho λ vyraz pid znakom ostann\oho intehrala v (48) nevid’[mnyj.
1. Cotlar M., Sadosky C. On the Helson – Szego theorem and related class of modified Toeplitz
kernels // Proc. Symp. Pure Math. – 1979. – 35, Pt 1. – P. 383 – 407.
2. Bruzual R. Local semigroups of contractions and some applications to Fourier representation theo-
rems // Integr. Equat. and Operator Theory. – 1987. – 10. – P. 780 – 801.
3. Bekker9M.9B. Ob odnom yntehral\nom predstavlenyy πrmytovopoloΩytel\n¥x matryçn¥x
qder specyal\noj struktur¥ // Ukr. mat. Ωurn. – 1988. – 40, #35. – S.3626 – 628.
4. Bekker M. On the extension problem for continuous positive definite generalized Toeplitz kernels
definite on a finite interval // Integr. Equat. and Operator Theory. – 1999. – 35, #34. – P. 379 – 397.
5. Berezanskyj9G.9M. Obobwenye teorem¥ Boxnera na razloΩenyq po sobstvenn¥m funkcyqm
uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x // Dokl. AN SSSR. – 1956. – 110, #36. – S.3893 – 896.
6. Berezanskyj9G.9M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov.
– Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 8003s.
7. Berezansky Yu. M., Chernobai O. B. On the theory of generalized Toeplitz kernels // Ukr. mat.
Ωurn. – 2000. – 52, #311. – S.31458 – 1472.
8. Çernobaj9O.9B. Pro spektral\nu teorig uzahal\nenyx qder Teplica // Tam Ωe. – 2003. – 55,
#36. – S.3850 – 857.
9. Horbaçuk9M.9L. O predstavlenyy poloΩytel\no opredelenn¥x operatorn¥x funkcyj //
Tam Ωe. – 1965. – 17, #32. – S.329 – 46.
10. Horbaçuk9M.9L., Horbaçuk9V.9Y. Hranyçn¥e zadaçy dlq dyfferencyal\n¥x operatorn¥x
uravnenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1964. – 284 s.
11. Berezanskyj9G.9M., Us9H.9F., Íeftel\9Z.9H. Funkcyonal\n¥j analyz. – Kyev: V¥wa ßk.,
1999. – 6003s.
12. Berezansky Yu. M. Some generalizations of the classical moment problem // Integr. Equat. and
Operator Theory. – 2002. – P. 255 – 289.
13. Berezans\kyj9G.9M., Tesko9V.9A. Prostory osnovnyx i uzahal\nenyx funkcij, pov’qzani z
uzahal\nenym zsuvom // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, #312. – S.31587 – 1657.
OderΩano 21.10.2004,
pislq doopracgvannq — 25.03.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
|