Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца

Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца

Доведено теореми інтерполяції в просторах Лоренца квазілінійних операторів слабкого типу (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁), аналогів операторів Кальдерона, Венетта для вгнутих та опуклих функцій φ₀(t), ψ₀(t), φ₁(t), ψ₁(t)....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2005
1. Verfasser: Пелешенко, Б.И.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2005
Schriftenreihe:Український математичний журнал
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165898
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца / Б.И. Пелешенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1490–1507. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-165898
record_format dspace
spelling irk-123456789-1658982020-02-19T01:26:24Z Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца Пелешенко, Б.И. Статті Доведено теореми інтерполяції в просторах Лоренца квазілінійних операторів слабкого типу (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁), аналогів операторів Кальдерона, Венетта для вгнутих та опуклих функцій φ₀(t), ψ₀(t), φ₁(t), ψ₁(t). We prove theorems of interpolation of quasilinear operators of weak type (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) in the Lorentz spaces. The operators considered are the analogs of the Calderon and Benett operators for concave and convex functionsφ₀(t), ψ₀(t), φ₁(t), ψ₁(t). 2005 Article Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца / Б.И. Пелешенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1490–1507. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165898 517.948.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Пелешенко, Б.И.
Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца
Український математичний журнал
description Доведено теореми інтерполяції в просторах Лоренца квазілінійних операторів слабкого типу (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁), аналогів операторів Кальдерона, Венетта для вгнутих та опуклих функцій φ₀(t), ψ₀(t), φ₁(t), ψ₁(t).
format Article
author Пелешенко, Б.И.
author_facet Пелешенко, Б.И.
author_sort Пелешенко, Б.И.
title Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца
title_short Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца
title_full Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца
title_fullStr Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца
title_full_unstemmed Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца
title_sort интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах лоренца
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2005
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165898
citation_txt Интерполяция операторов слабого типа (ϕ₀,ψ₀,ϕ₁,ψ₁) в пространствах Лоренца / Б.И. Пелешенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1490–1507. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT pelešenkobi interpolâciâoperatorovslabogotipaph0ps0ph1ps1vprostranstvahlorenca
first_indexed 2025-07-14T20:19:57Z
last_indexed 2025-07-14T20:19:57Z
_version_ 1837655031418978304
fulltext UDK 517.948.5 B. Y. Peleßenko (Dnepropetr. ahrar. un-t) YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA (((( ϕϕϕϕ0, ψψψψ0, ϕϕϕϕ1, ψψψψ1 )))) V PROSTRANSTVAX LORENCA We prove theorems of interpolation of quasilinear operators of weak type ( , , , )ϕ ψ ϕ ψ0 0 1 1 in the Lorentz spaces. The operators considered are the analogs of the Calderon and Benett operators for concave and convex functions ϕ0( )t , ψ0( )t , ϕ1( )t , ψ1( )t . Dovedeno teoremy interpolqci] v prostorax Lorenca kvazilinijnyx operatoriv slabkoho typu ( , , , )ϕ ψ ϕ ψ0 0 1 1 , analohiv operatoriv Kal\derona, Benetta dlq vhnutyx ta opuklyx funkcij ϕ0( )t , ψ0( )t , ϕ1( )t , ψ1( )t . 1. Vvedenye. V rabote Kal\derona [1] poluçena teorema ynterpolqcyy lynej- n¥x operatorov uslovno slab¥x typov v prostranstvax Lorenca. VaΩnug rol\ pry dokazatel\stve πtyx teorem yhraet operator Sf t∗( ) = f s d s ti p q i i ∗ = ∞      ∫ ( ) min , / /0 1 1 1 0 , (1) 1 ≤ p0, p1, q0, q1 ≤ ∞ , p0 ≠ p1, q0 ≠ q1, maΩorantn¥j dlq operatorov uslovno slab¥x typov ( p0, q0 ) y ( p1, q1 ) , oprede- lenn¥x na funkcyqx f ( s ) yz summ¥ prostranstv Lorenca L Rp n0 1, ( ) + L Rp n1 1, ( ). Razvyvaq metod A. Kal\derona, D. Bojd [2], R. Íarply [3], S. H. Krejn, E.8M.8Semenov [4], E. A. Pavlov [5] y druhye (byblyohrafyg sm. v [4]) poluçyly teorem¥ ynterpolqcyy kvazylynejn¥x operatorov v perestanovoçno-ynvaryant- n¥x prostranstvax vewestvenn¥x funkcyj n peremenn¥x, yspol\zovav ohrany- çennost\ v πtyx prostranstvax operatora A f t∗( ) = f s d s ti i i ∗ = ∞      ∫ ( ) min ( ) ( ),0 1 0 ϕ ψ , (2) opredelennoho dlq kvazyvohnut¥x poloΩytel\n¥x funkcyj ψi t( ), ϕi t( ) , i = = 0, 1. V rabote [6] yssledovan¥ kvazylynejn¥e operator¥ slaboho typa ( p0, q0, p1, q1 ) pry 1 ≤ p0, p1, q0, q1 ≤ ∞ , p0 < p1, q0 < q1, dlq kotor¥x maΩo- rantn¥my qvlqgtsq operator¥ W f t∗( ) = t f s s ds t f s s dsq p t q p t m m 1 1 1 0 1 1 10 0 1 1/ / / /( ) ( )∗ − ∗ − ∞ ∫ ∫+ , m = (( ) ) (( ) )/q q p p p p q q1 0 0 1 1 0 0 1− − , otlyçagwyesq ot operatorov (1) tol\ko v sluçae p1 = ∞ , y dokazan¥ teorem¥ ynterpolqcyy dlq prostranstv Lorenca – Zyhmunda L L Rp q n, log ( )α , 0 < p, q ≤ ∞ , – ∞ < α < ∞ . V nastoqwej stat\e dlq vohnut¥x yly v¥pukl¥x funkcyj ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) rassmatryvagtsq kvazylynejn¥e operator¥ slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , qvlqgwyesq analohamy operatorov, yzuçenn¥x v [1, 6], y sovpadagwye s operatoramy, yssledovann¥my v rabotax [2 – 5], v sluçae, kohda ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) — vohnut¥e y ϕ ( t ) ≠ ∞ . Dokazan¥ teorem¥ ynterpo- lqcyy rassmatryvaem¥x operatorov v ydeal\n¥x kvazynormyrovann¥x prost- ranstvax Lorenca. V kaçestve sledstvyj poluçen¥ teorem¥ ynterpolqcyy kva- zylynejn¥x operatorov, ohranyçenn¥x yz par¥ prostranstv Lorenca Λϕ0 ( )Rn , © B. Y. PELEÍENKO, 2005 1490 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1491 Λϕ1 ( )Rn v paru prostranstv Marcynkevyça M Rn ψ0 ( ), M Rn ψ1 ( ), hde ψi t( ) = = t ti/ ( )ψ , i = 1, 2. Oboznaçym çerez Φ obæedynenye mnoΩestva neprer¥vn¥x v¥pukl¥x yly vohnut¥x vozrastagwyx na neohranyçennom promeΩutke [ 0, ∞ ) funkcyj ϕ ( t ) takyx, çto ϕ ( 0 ) = 0, ϕ ( 2t ) = O ( ϕ ( t ) ) , ϕ ( t ) → ∞ pry t → ∞ y funkcyy sign t . Opredelym dlq poloΩytel\noj vsgdu koneçnoj funkcyy ϕ ( t ) na polu- osy ( 0, ∞ ) funkcyg rastqΩenyq M tϕ( ) = sup ( ) ( )0< <∞s st s ϕ ϕ , 0 < t < ∞ . Pust\ S Rn( ) — prostranstvo yzmerym¥x po Lebehu na n-mernom evklydovom prostranstve Rn vewestvenn¥x funkcyj y f t∗( ) — nevozrastagwaq peresta- novka modulq funkcyy f ∈ S Rn( ). Dlq zadannoj na ( 0, ∞ ) poçty vsgdu poloΩytel\noj lokal\no yntehryrue- moj funkcyy g ( t ) y 0 < p < ∞ vesovoe prostranstvo Lp g, ( , )0 ∞ opredelqetsq kak mnoΩestvo yzmerym¥x na ( 0, ∞ ) vewestvenn¥x funkcyj s koneçnoj kvazy- normoj ( 0 < p < 1 ) yly normoj ( 1 ≤ p < ∞ ) f p g, = f t g t dtp p ( ) ( ) / 0 1∞ ∫       . Prostranstvo Lorenca Λϕ, ( )a nR dlq zadannoj ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ y a8∈ ∈ ( 0, ∞ ] sostoyt yz funkcyj f ( x ) ∈ S Rn( ), dlq kotor¥x koneçna kvazynorma f aΛϕ, = ( )( ) ( ) / f t d ta a ∗∞ ∫{ }ϕ 0 1 , esly ϕ ( t ) ≠ sign t, 0 < a < ∞ , y kvazynorma sup ( ) ( )( ) t f t t > ∗ 0 ϕ pry a = ∞ . Esly a = 1, to prostranstvo Λϕ, ( )1 Rn budem obo- znaçat\ Λϕ( )Rn . V sluçae, kohda ϕ ( t ) = t p1/ , 0 < p < ∞ , Λϕ( )Rn = L Rp n, ( )1 y ϕ ( t ) = sign t , poloΩym Λϕ( )Rn = L Rn ∞( ). Analohyçno opredelqetsq prostranstvo Lorenca Λϕ, ( , )a 0 ∞ funkcyj, za- dann¥x na poluosy ( 0, ∞ ) . Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ϕ1 ( t ) ∈ Φ takov¥, çto ϕ ( t ) ≠ ∞ y ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t voz- rastaet na ( 0, ∞ ) . Prostranstvo Λ Λϕ ϕ0 1 ( ) ( )R Rn n+ sostoyt yz funkcyj f ( x ) ∈ S Rn( ), neub¥vagwye perestanovky modulej kotor¥x udovletvorqgt us- lovyg f t d t dt f t d t∗ ∗ ∞ ∫ ∫+( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ0 0 1 1 1 < ∞ . Pust\ ϕ1 ( t ) = sign t y v¥polnqetsq uslovye sup ( )( ln )( ) 0 1 0 1 < < − u M u uϕ ≤ 1. Obo- znaçym çerez Λϕ0 1( ) ( ),R L Rn n+ ∞ prostranstvo funkcyj f ( x ) yz S Rn( ), dlq kotor¥x koneçna summa yntehralov f t d t dt f t t dt∗ ∗ − ∞ ∫ ∫+( ) ( ) ( )ϕ0 0 1 1 1 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1492 B. Y. PELEÍENKO Opredelenye81 [4, c. 177]. Pust\ ϕ ( t ), ψ ( t ) ∈ Φ. Kvazylynejn¥j opera- tor T naz¥vaetsq operatorom slaboho typa ( ϕ, ψ ) , esly suwestvuet ta- koe çyslo C > 0, çto dlq lgboho t > > 0 y lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ( )Rn v¥polnqetsq neravenstvo ( ) ( ) ( )Tf t t∗ ψ ≤ C f u d u∗ ∞ ∫ ( ) ( )ϕ 0 , esly ϕ ( t ) ≠ sign t, y ( ) ( ) ( )Tf t t∗ ψ < C f L∞ , esly ϕ ( t ) = sign t . Dalee budem predpolahat\, çto funkcyy ϕ0( )t , ϕ1( )t , ψ 0 ( t ), ψ1( )t ∈ Φ, ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) vozrastaet na ( 0, ∞ ) , oblast\ znaçenyj ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) sovpadaet s oblast\g znaçenyj ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) y m ( t ) — yzmerymoe poloΩytel\noe reßenye uravnenyq ϕ ϕ0 1( )/ ( )( ) ( )m t m t = ψ ψ0 1( ) ( )/t t . (3) Opredelenye82. Kvazylynejn¥j operator T naz¥vaetsq operatorom sla- boho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , esly najdetsq takoe C > 0, çto dlq vsex f ( x ) ∈ ∈ Λ Λϕ ϕ0 1 ( ) ( )R Rn n+ y t > 0 v¥polnqetsq neravenstvo ( ) ( )Tf t∗ ≤ C t f u d u t f u d u m t m t ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψ ϕ ψ ϕ0 1 0 0 1 1 1 − ∗ − ∗ ∞ ∫ ∫+         v sluçae ϕ1 ( t ) ≠ sign t, y dlq vsex Λϕ( )Rn = L Rp n, ( )1 , t > 0, ( ) ( )Tf t∗ ≤ C t f u d u t f u u du m t m t ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψ ϕ ψ0 1 0 0 1 1 1− ∗ − ∗ − ∞ ∫ ∫+         , esly ϕ1 ( t ) = sign t y sup ( )( ln )( ) 0 1 0 1 < < − u M u uϕ ≤ 1. Opredelym operator¥ usrednenyq sledugwym obrazom. Pust\ ϕ ( t ) ∈ Φ, dlq lgboho t > 0 y lgboj neotrycatel\noj nevozrastagwej na ( 0, ∞ ) funk- cyy g ( t ) polahaem Aϕ g ( t ) = [ ( )] ( ) ( )ϕ ϕt g u d u t − ∫1 0 , ϕ ( t ) ≠ sign t , Bϕ g ( t ) = [ ( )] ( ) ( ), ( ) , ( ) , ( ) , ϕ ϕ ϕ ϕ t g u d u t t g u u du t t t t − ∞ − ∞ ∫ ∫ ≠ =        1 1 sign sign Cϕ g ( t ) = [ ( )] sup ( ) ( )( )ϕ ϕt u g u u t − < ≤ 1 0 , Dϕ g ( t ) = [ ( )] sup ( ) ( )( )ϕ ϕt u g u t u − ≤ <∞ 1 . 2. Vesov¥e neravenstva Xardy. DokaΩem utverΩdenyq ob ohranyçennosty operatorov Aϕ , Bϕ na konusax neotrycatel\n¥x nevozrastagwyx funkcyj ve- sov¥x prostranstv Lp g, ( , )0 ∞ . Blyzkye k teme yssledovanyq provodylys\ v ra- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1493 botax J. Berha, E. A. Mqsnykova, L. Persona, V. D. Stepanova, Í. Laq, V.8Y. Bu- renkova, M. L. Hol\dmana (sm. byblyohrafyg v [7]). Vnaçale ustanovym vspomohatel\noe neravenstvo dlq dvustoronnyx çyslo- v¥x posledovatel\nostej. Lemma. Pust\ a bi i, ≥ 0, i Z∈ , a ai i≥ +1 y b bi i≤ +1 ∀ ∈i Z , lim i ia → +∞ = 0, lim i ib → −∞ = 0. Esly pry q ∈ ( 0, ∞ ) r q d ( )b b ai q i q i q i − −= −∞ ∞∑ 1 sxo- dytsq, to dlq lgboho r ∈ ( q, ∞ ) rqd ( )b b ai r i r i r i − −= −∞ ∞∑ 1 takΩe sxodytsq y v¥polnqetsq neravenstvo b b ai r i r i r i r −( )      − = −∞ ∞ ∑ 1 1/ ≤ b b ai q i q i q i q −( )      − = −∞ ∞ ∑ 1 1/ . Dokazatel\stvo. Pust\ vnaçale r = 1. Oboznaçym ∆ ak = ak – ak + 1 dlq vsex k ∈ Z. Pust\ ∆ ∆a ak i k ( ) = , esly k ≥ i, y ∆ak i( ) = 0 , esly k < i . Pry- menqq neravenstvo Mynkovskoho s pokazatelem 1 1/q > y uçyt¥vaq, çto ai = = ∆akk i= ∞∑ = ∆ak i k ( ) = −∞ ∞∑ , poluçaem k k i q i q i q i q a b b = −∞ ∞ − = −∞ ∞ ∑ ∑ ( ) −( )      ∆ ( ) / 1 1 = = k k i q i q i q i q q q a b b = −∞ ∞ − = −∞ ∞ ∑ ∑ ( ) −( )                      ∆ ( ) / / 1 1 1 ≤ ≤ i k i k q i q i q q a b b = −∞ ∞ = −∞ ∞ −∑ ∑     −( )         ∆ ( ) / 1 1 = a b bi q i q i q i q −( )      − = −∞ ∞ ∑ 1 1/ . Otmetym, çto sohlasno uslovyg lim i ib → −∞ = 0, sledovatel\no, bk = = b bi ii k −( )−= −∞∑ 1 , bk q = b bi q i q i k −( )−= −∞∑ 1 y dlq kaΩdoho k ∈ Z spravedlyvo ravenstvo ∆a b bk i i i k −( )− = −∞ ∑ 1 = ∆a b bk q i q i q i k q ( ) −( )      − = −∞ ∑ 1 1/ . Summyruq po k y uçyt¥vaq opredelenyq çysel ∆ak i( ) , ymeem k k i i i i a b b = −∞ ∞ − = −∞ ∞ ∑ ∑ −[ ]∆ ( ) 1 = k k i q i q i q i q a b b = −∞ ∞ − = −∞ ∞ ∑ ∑ ( ) −( )      ∆ ( ) / 1 1 . Tohda, uçyt¥vaq ranee dokazannoe neravenstvo, poluçaem i i i ia b b = −∞ ∞ −∑ −[ ]1 = i k i k i ia b b = −∞ ∞ = ∞ −∑ ∑     −[ ]∆ 1 = = i k k i i ia b b = −∞ ∞ = −∞ ∞ −∑ ∑     −[ ]∆ ( ) 1 = k i k i i ia b b = −∞ ∞ = −∞ ∞ −∑ ∑ −[ ]∆ ( ) 1 = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1494 B. Y. PELEÍENKO = k k i q i q i q i q a b b = −∞ ∞ − = −∞ ∞ ∑ ∑ ( ) −[ ]      ∆ ( ) / 1 1 ≤ a b bi q i q i q i q −[ ]      − = −∞ ∞ ∑ 1 1/ . Esly r ≠ 1, to oboznaçym ã ai i r= , b̃ bi i r= y prymenym dokazannoe ne- ravenstvo k posledovatel\nostqm { }ãi i Z∈ y { }b̃i i Z∈ s pokazatelem q / r < 1. Tohda a b bi r i r i r i −( )− = −∞ ∞ ∑ 1 = ˜ ˜ ˜a b bi i i i −( )− = −∞ ∞ ∑ 1 ≤ i i q r i q r i q r r q a b b = −∞ ∞ −∑ −( )      ˜ ˜ ˜/ / / / 1 = = a b bi q i q i q i r q −[ ]      − = −∞ ∞ ∑ 1 / . Lemma dokazana. Zameçanye. Poluçennoe çyslovoe neravenstvo obobwaet neravenstvo i n i r i r i r r b b a = −∑ −( )     1 1 1/ ≤ i n i q i q i q q b b a = −∑ −( )     1 1 1/ , dokazannoe v [8, c. 218] pry uslovyy, çto a1 > a2 > … > an > 0, 0 = b1 < < b2 < … < bn . Teorema%1. Pust\ 0 < b ≤ a ≤ 1, ϕ ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, funkcyy g1 ( t ) y g2 ( t ) — neotrycatel\n¥e lokal\no yntehryruem¥e na ( 0, ∞ ) y v¥polnq- etsq uslovye [ ( )] ( )ϕ t g t dta−∞ ∫ 11 < ∞ . Esly velyçyna γ ϕ( , , , , )g g a b1 2 = sup ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) / / 0 10 1 1 20 1< <∞ −∞ ∫ ∫ ∫ +{ } { }t t a a t a t b g z dz t z g z dz g z dz ϕ ϕ qvlqetsq koneçnoj, to dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz prostranstva Lb g, ( , ) 2 0 ∞ s vesom g t2( ) v¥polnqetsq neravenstvo 0 1 1∞ ∫ [ ]      ( )( ) ( ) / A f t g t dt a a ϕ ≤ γ ϕ( , , , , ) ( ) ( ) / g g a b f t g t dt t b b 1 2 0 2 1 ∫       . Konstantu γ ϕ( , , , , )g g a b1 2 v neravenstve umen\ßyt\ nel\zq. Dokazatel\stvo. Pust\ 0 < tk < tk + 1 < ∞ , k ∈ Z y lim k kt→ −∞ = 0 , lim k kt→∞ = = ∞ . Dlq nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) rassmotrym stupen- çatug maΩorantu ˜( )f t = f t tk t tk k k ( ) ( )[ , )χ += −∞ ∞∑ 1 . Dlq lgboho t > 0 ymeem 0 ≤ ( )( )A f tϕ ≤ ( )˜ ( )A f tϕ ≤ k k t tf t A t k k = −∞ ∞ ∑ + ( ) ( )[ , )ϕ χ 1 = = k k t tf t A t A t k k = −∞ ∞ ∑ + −[ ]( ) ( ) ( )( )[ , ) [ , )ϕ ϕχ χ0 01 . Prymenqq lemmu, ocenyvaem poslednyj rqd: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1495 k k t tf t A t A t k k = −∞ ∞ ∑ + −[ ]( ) ( ) ( )( )[ , ) [ , )ϕ ϕχ χ0 01 ≤ ≤ k a k t a t a a f t A t A t k k = −∞ ∞ ∑ + −[ ]      ( ) ( ) ( )( ) ( )[ , ) [ , ) / ϕ ϕχ χ0 0 1 1 . Tohda A f La g ϕ , 1 ≤ k a k t L a t L a a f t A A k a g k a g= −∞ ∞ ∑ + −          ( ) [ , ) [ , ) / , , ϕ ϕχ χ0 0 1 1 1 1 y sohlasno lemme pravaq çast\ poluçennoho neravenstva ne prev¥ßaet k b k t L b t L b b f t A A k a g k a g= −∞ ∞ ∑ + −          ( ) [ , ) [ , ) / , , ϕ ϕχ χ0 0 1 1 1 1 . Dalee, prymenqq preobrazovanye Abelq, poluçaem A f La g ϕ , 1 ≤ k b k t L b t L b b f t A A k a g k a g= −∞ ∞ ∑ + −          ( ) [ , ) [ , ) / , , ϕ ϕχ χ0 0 1 1 1 1 ≤ ≤ k b k b k t L b b f t f t A k a g= −∞ ∞ +∑ −[ ]      + ( ) ( ) [ , ) / , 1 0 1 1 1 ϕ χ ≤ ≤ sup ( ) ( ) ( ) [ , ) [ , ) / , , 0 0 0 1 0 2 1 1 2 1 < <∞ = −∞ ∞ +∑ ∫−[ ]              + t t L t L k b k b k t bA f t f t g t dta g b g kϕ χ χ = = γ ϕ χ( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) / g g a b f t f t t g t dt k b k b k t b k1 2 0 1 0 2 1 1 = −∞ ∞ ∞ +∑ ∫ −[ ]      + = = γ ϕ χ( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) / g g a b f t f t t g t dt k b k b k t b k1 2 0 1 0 2 1 1 ∞ = −∞ ∞ +∫ ∑ −[ ]          + . Snova prymenqq preobrazovanye Abelq, ymeem k b k b k tf t f t t g t dt k = −∞ ∞ +∑ −[ ]   + ( ) ( ) ( ) ( )( , )1 0 21 χ = = k b k t tf t t g t dt k k = −∞ ∞ ∑ +     ( ) ( ) ( )[ , )χ 1 2 , sledovatel\no, A f La g ϕ , 1 ≤ γ ϕ( , , , , ) ˜ , g g a b f Lb g 1 2 2 . (4) Teper\ postroym pry kaΩdom n ∈ N takye posledovatel\nosty { }( )ti n i Z∈ , çtob¥ funkcyy ˜ ( )f tn = k k n t t f t t k n k n = −∞ ∞ ∑ + ( )( ) [ , )( ) ( ) ( )χ 1 = k k n k n t f t f t t k n = −∞ ∞ −∑ −[ ]( ) ( )( ) ( ) ( , )( ) ( )1 0 χ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1496 B. Y. PELEÍENKO obrazov¥valy nevozrastagwug posledovatel\nost\ y sxodylys\ vsgdu k f ( x ) . Tohda sohlasno teoreme Levy lim ˜ ,n n L f b g→∞ 2 = f Lb g, 2 , y yz neravenstva (4) po- luçaem A f La g ϕ , 1 ≤ γ ϕ( , , , , ) , g g a b f Lb g1 2 2 . Pust\ G — mnoΩestvo neotrycatel\n¥x nevozrastagwyx na poluosy ( 0, ∞ ) funkcyj. Yz neravenstva sleduet ocenka A G L Lb g a g ϕ ∩ , ,2 1 → = sup , , , ,f G L f L Lb g a g a g A f f∈ ≠∩ 2 1 2 0 ϕ ≤ ≤ sup ( )( , ] / ,0 0 0 2 1 1< <∞ − ∫            t t L t b A g z dz a g ϕ χ . Obratnoe neravenstvo v¥tekaet yz prynadleΩnosty funkcyj χ( , ]( )0 t z pry lgbom t > 0 mnoΩestvu G La g∩ , 2 . Teorema dokazana. Sledstvye%1. Pry v¥polnenyy uslovyj teorem¥81 v sluçae ϕ ( t ) = t d l q lgboj funkcyy f ( t ) ∈ G La g∩ , ( , ) 2 0 ∞ ymeet mesto neravenstvo s toçnoj kon- stantoj 0 1 0 1 1 ∞ −∫ ∫               t f z dz g t dt t a a ( ) ( ) / ≤ 1 1 2 0 2 1 +[ ]       ∞ ∫γ ( , , , ) ( ) ( ) / g g a b f t g t dtb b , hde γ ( , , , )g g a b1 2 = sup ( ) ( ) ( ) / / 0 10 1 1 20 1< <∞ −∞ ∫ ∫ ∫ +        t t a a t a t b g z dz t z g z dz g z dz . Teorema%2. Pust\ 0 < b ≤ a ≤ 1, ϕ ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, g1 ( t ), g2 ( t ) — neotrycatel\n¥e lokal\no yntehryruem¥e funkcyy na ( 0, ∞ ) y v¥polnqetsq uslovye ϕ( ) ( )t g t dta−∫ 10 1 < ∞ . Esly velyçyna δ ϕ( , , , , )g g a b1 2 = sup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / 0 10 1 20 1< <∞ −−[ ] [ ]        ∫ ∫t a at a t b t z z g z dz g z dz ϕ ϕ ϕ qvlqetsq koneçnoj, to dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz prostranstva Lb g, ( , ) 2 0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo 0 1 1∞ ∫ [ ]      ( )( ) ( ) / B f t g t dt a a ϕ ≤ δ ϕ( , , , , ) ( ) ( ) / g g a b f t g t dtb b 1 2 0 2 1∞ ∫       . Konstanta δ ϕ( , , , , )g g a b1 2 v neravenstve ne moΩet b¥t\ umen\ßena. Dokazatel\stvo. Povtorqq rassuΩdenyq, analohyçn¥e yspol\zovann¥m pry dokazatel\stve teorem¥81, pryxodym k zadaçe opredelenyq velyçyn¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1497 B G L Lb g a g ϕ ∩ , ,2 1 → = sup , , , ,f G L f L La g a g a g B f f∈ ≠∩ 2 1 2 0 ϕ = = sup ( )[ , ] / ,0 0 0 2 1 1< <∞ − ∫            t t L t b B g z dz a g ϕ χ . Dlq z, t ∈ ( 0, ∞ ) poluçaem ( )[ , ] ( )B ztϕ χ 0 = ϕ ϕ( ) ( )/t z − 1, esly z < t , y ( )[ , ] ( )B ztϕ χ 0 = 0 — v protyvnom sluçae. Tohda B t La g ϕ χ[ , ] , 0 1 = 0 1 1 1 t a a t z g z dz∫ −            ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) / y, sledovatel\no, ymeem B G L Lb g a g ϕ ∩ , ,2 1 → = sup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / 0 0 1 1 0 2 1 < <∞ − − ∫ ∫−[ ] [ ]                  t t a a a t b t z z g z dz g z dzϕ ϕ ϕ . Sohlasno uslovyg teorem¥ πta velyçyna koneçna, y teorema dokazana. Sledstvye%2. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq teorem¥82 v sluçae ϕ ( t ) = t . Tohda dlq lgboj funkcyy f ( t ) ∈ G La g∩ , ( , ) 2 0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo s toçnoj konstantoj 0 1 1 1 ∞ − ∞ ∫ ∫               t f z dz g t dt t a a ( ) ( ) / ≤ β( , , , ) [ ( )] ( ) / g g a b f z g z dz t b b 1 2 0 2 1 ∫       , hde δ ( , , , )g g a b1 2 = sup ( ) ( ) / / 0 0 1 1 0 2 1 < <∞ − − ∫ ∫−[ ]                  t t a a a t b t z z g z dz g z dz . Teorema%3. Pust\ 0 < b ≤ a ≤ 1, ϕ ( t ) = sign t, funkcyy g1 ( t ), g2 ( t ) — neotrycatel\n¥e lokal\no yntehryruem¥e funkcyy na poluosy ( 0, ∞ ) y ln ( )a t z g z dz10 1 ∫ < ∞ . Esly velyçyna η( , , , )g g a b1 2 = sup ln ( ) ( ) / / 0 0 1 1 0 2 1 < <∞ − ∫ ∫                     t t a a t b t z g z dz g z dz qvlqetsq koneçnoj, to dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz prostranstva Lb g, ( , ) 2 0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo s toçnoj kon- stantoj 0 1 1∞ ∫ [ ]      ( )( ) ( ) / B f t g t dt a a ϕ ≤ η( , , , ) ( ) ( ) / g g a b f t g t dtb b 1 2 0 2 1∞ ∫       . Dokazatel\stvo. Povtorqq rassuΩdenyq po sxeme dokazatel\stva teore- m¥81, pryxodym k opredelenyg velyçyn¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1498 B. Y. PELEÍENKO B G L Lb g a g sign ∩ , ,2 1 → = sup ( )[ , ] / ,0 0 0 2 1 1< <∞ − ∫            t t L t b B g z dz a g sign χ . Funkcyq ( )[ , ] ( )B ztsign χ 0 = ln t / z, esly 0 < z < t , y ( )[ , ] ( )B ztsign χ 0 = 0 v sluçae 0 < t < z . Tohda B t La g sign χ[ , ] , 0 1 = 0 1 1t a a t z g z dz∫           ln ( ) / y, sledovatel\no, B G L Lb g a g sign ∩ , ,2 1 → = sup ln ( ) ( ) / / 0 0 1 1 0 2 1 < <∞ − ∫ ∫                   t t a a t b t z g z dz g z dz . Sohlasno uslovyg poluçennaq velyçyna koneçna, y teorema dokazana. PredloΩenye%1. Pust\ 1 ≤ a < ∞ , ϕ ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, g ( t ) — poçty vsgdu poloΩytel\naq na poluosy ( 0, ∞ ) funkcyq, yntehryruemaq na lgbom koneçnom otrezke [ 0, t ], t > 0, y G ( t ) = g z dz( ) 0 1 ∫ . Esly funkcyy rastq- Ωenyq Mϕ , MG udovletvorqgt uslovyg θ ( ϕ, g, a ) = M z dM zG a1 1 0 1 / ( ) ( )−∫ ϕ < ∞ , to dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz prostran- stva La g, ( , )0 ∞ ymeet mesto neravenstvo 0 1∞ ∫ [ ]      ( )( ) ( ) / A f t g t dt a a ϕ ≤ θ ϕ( , , ) ( ) ( ) / g a f t g t dta a 0 1∞ ∫       . Dokazatel\stvo. Pust\ a ∈ [ 1, ∞ ) . Uçyt¥vaq neravenstvo g sz z ds t ( )− −∫ 1 1 0 = g u du tz ( ) 0 1− ∫ = G tz G t g u du t( ) ( ) ( ) − ∫ 1 0 ≤ M z g u duG t ( ) ( )− ∫1 0 , s pomow\g lemm¥818 yz [4] dlq lgboj funkcyy f ( t ) ∈ G La g∩ , ( , )0 ∞ poluçaem ocenku 0 1 1∞ ∫ [ ]      g t f zt dta a a / / ( ) ( ) = 0 1 1 1∞ − −∫ [ ]       f s g sz z dsa a ( ) ( ) / ≤ ≤ M z f s g s dsG a a ( ) ( ) ( ) / − ∞ [ ]       ∫1 0 1 . (5) Dalee, prymenqq neravenstvo Mynkovskoho [9, c. 572] v sluçae a > 1 yly teo- remu Fubyny [9, c. 208] v sluçae a = 1 y ocenku (5), ymeem 0 1 0 1 1 ∞ ∫ ∫               g t f zt dM z dta a a / / ( ) ( ) ( )ϕ ≤ 0 1 0 1 1 ∫ ∫ ∞ [ ]      g t f zt dt dM za a a / / ( ) ( ) ( )ϕ ≤ ≤ 0 1 1 1∫ −M z dM z fG a La g / ( ) ( ) ,ϕ . (6) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1499 Tohda yz ocenky (6) sleduet neravenstvo 0 1 0 1 ∞ −∫ ∫               g t f z d z t dta t a a a / / ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ≤ ≤ 0 1 0 1 1 ∞ ∫ ∫               g t f st d st t dta a a / / ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ≤ 0 1 0 1 1 ∞ ∫ ∫               g t f st dM s dta a a / / ( ) ( ) ( )ϕ ≤ ≤ 0 1 1 1∫ −M z dM z fG a La g / ( ) ( ) ,ϕ . PredloΩenye dokazano. PredloΩenye%2. Pust\ 1 ≤ a < ∞ , ϕ ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, g ( t ) — takaq poçty vsgdu poloΩytel\naq funkcyq na poluosy ( 0, ∞ ) , ç t o G ( t ) = = g z dz t ( ) 0∫ < ∞ dlq lgboho t > 0 y v¥polneno uslovye λ ( ϕ, g, a ) = 1 1 1 ∞ −∫ M z dM zG a/ ( ) ( )ϕ < ∞ . Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro- stranstva La g, ( , )0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo 0 1 ∞ − ∞ ∫ ∫               ϕ ϕa t a a t f z d z g t dt( ) ( ) ( ) ( ) / ≤ λ ϕ( , , ) ( ) ( ) / g a f t g t dta a [ ]       ∞ ∫ 0 1 . (7) Dokazatel\stvo. Dlq nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) ∈ ∈ La g, ( , )0 ∞ poluçaem 0 1 ∞ ∞ −∫ ∫               f z d z t g t dt t a a a ( ) ( ) ( ) ( ) / ϕ ϕ = 0 1 1 ∞ ∞ ∫ ∫               f zt d zt z g t dt a a ( ) ( ) ( ) ( ) / ϕ ϕ ≤ ≤ 0 1 1 1 ∞ ∞ ∫ ∫               g t f zt dM z dta a a / / ( ) ( ) ( )ϕ . Prymenqq neravenstvo Mynkovskoho pry a > 1 yly teoremu Fubyny v sluçae a = 1, ymeem 0 1 1 1 ∞ ∞ ∫ ∫               g t f zt dM z dta a a / / ( ) ( ) ( )ϕ ≤ 1 0 1 1∞ ∞ ∫ ∫ [ ]      g t f zt dt dM za a a / / ( ) ( ) ( )ϕ . Dalee, ocenyvaq yntehral v pravoj çasty πtoho neravenstva s pomow\g (6) y uçyt¥vaq (7), poluçaem predloΩenye82. PredloΩenye%3. Pust\ 1 ≤ a < ∞ , g ( t ) — takaq poçty vsgdu poloΩy- tel\naq funkcyq na poluosy ( 0, ∞ ) , çto G ( t ) = g z dz t ( ) 0∫ < ∞ suwestvuet dlq lgboho t > 0 y v¥polneno uslovye µ ( g, a ) = 1 1 1 1 ∞ − −∫ M z z dzG a/ ( ) < ∞ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1500 B. Y. PELEÍENKO Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro- stranstva La g, ( , )0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo 0 1 1 ∞ − ∞ ∫ ∫               f z z dz g t dt t a a ( ) ( ) / ≤ µ ( , ) ( ) ( ) / g a f t g t dta a [ ]       ∞ ∫ 0 1 . (8) Dokazatel\stvo. Dlq funkcyy f ( t ) ∈ G La g∩ , ( , )0 ∞ ymeem 0 1 1 ∞ − ∞ ∫ ∫               f z z dz g t dt t a a ( ) ( ) / = 0 1 1 1 ∞ ∞ ∫ ∫               g t f zt dz z dta a a / / ( ) ( ) . Yz teorem¥ Mynkovskoho pry a > 1 yly teorem¥ Fubyny v sluçae a = 1 sle- duet 0 1 1 1 1 ∞ − ∞ ∫ ∫               g t f zt z dz dta a a / / ( ) ( ) ≤ 1 0 1 1 1 ∞ ∞ −∫ ∫ [ ]         g t f zt dt z dza a a / / ( ) ( ) . Dalee, ocenyvaq yntehral v pravoj çasty πtoho neravenstva s pomow\g (6), po- luçaem trebuemoe neravenstvo (8). PredloΩenye%4. Pust\ ϕ ( t ) , g ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, y funkcyy rastqΩe- nyq Mg , Mϕ udovletvorqgt uslovyg ν ( ϕ, g ) = 0 1 1∫ −M s dM zg( ) ( )ϕ < ∞ . Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro- stranstva Λg, ( , )∞ ∞0 v¥polnqetsq neravenstvo sup ( ) ( ) 0< <∞ ( ) t A f t g tϕ ≤ ν ϕ( , ) sup ( ) ( )g f t g t t0< <∞ ( ) . Dokazatel\stvo predloΩenyq84 poluçaem yz sledugwej ocenky: sup ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0< <∞ −[ ]    ∫ t t g t t f z d zϕ ϕ = sup ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 < <∞ −[ ]    ∫ t g t t f st d stϕ ϕ ≤ ≤ sup ( ) ( ) ( ) 0 0 1 < <∞ ∫    t g t f st dM sϕ ≤ 0 1 1 0 ∫ − < <∞ ( )M s dM s g st f stg st ( ) ( ) sup ( ) ( )ϕ . PredloΩenye%5. Pust\ funkcyy ϕ ( t ) , g ( t ) yz mnoΩestva Φ takye, çto ϕ ( t ) ≠ sign t y ξ ( ϕ, g ) = 0 1 1∫ −M s dM sg( ) ( )ϕ < ∞ . Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro- stranstva Λg, ( , )∞ ∞0 v¥polnqetsq neravenstvo sup ( ) ( ) 0< <∞ ( ) t B f t g tϕ ≤ ξ ϕ( , ) sup ( ) ( )g f t g t t0< <∞ ( ) . Dokazatel\stvo sleduet yz ocenky ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1501 sup ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 < <∞ − ∞ [ ]    ∫ t t g t t f z d zϕ ϕ = sup ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1< <∞ − ∞ [ ]    ∫ t g t t f st d stϕ ϕ ≤ ≤ 1 1 0 ∞ − < <∞ ∫ ( )M s dM s g st f stg st ( ) ( ) sup ( ) ( )ϕ . PredloΩenye%6. Pust\ funkcyq g ( t ) yz mnoΩestva Φ udovletvorqet uslovyg σ ( g ) = 1 1 1 ∞ − −∫ M s s dsg( ) < ∞ . Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro- stranstva Λg, ( , )∞ ∞0 ymeet mesto neravenstvo sup ( ) ( ) 0< <∞ ( ) t B f t g tsign ≤ σ ( ) sup ( ) ( )g f t g t t0< <∞ ( ) . Dokazatel\stvo sleduet yz ocenky sup ( ) ( ) 0 1 < <∞ ∞ −∫    t t g t f s s ds = sup ( ) ( ) 0 1 1 < <∞ ∞ −∫    t g t f st s ds ≤ ≤ 1 1 0 ∞ − < <∞ ∫ ( )M s dM s g st f stg st ( ) ( ) sup ( ) ( )ϕ . Dalee yspol\zuetsq sledugwaq teorema ob operatorax slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , dokazannaq v [10]. Teorema%A. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ udovletvorqgt uslovyqm: ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t vozrastaet na ( 0, ∞ ) , oblasty znaçe- nyj ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t y ψ ψ0 1( ) ( )/t t sovvpadagt y esly ϕ1 ( t ) = sign t, to v¥polnq- etsq neravenstvo sup ( )( ln )( ) 0 1 0 1 < < − u M u uϕ ≤ 1; funkcyq m ( t ) opredelqetsq yz sootnoßenyq (3). Dlq toho çtob¥ operator T b¥l slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ 1 ) , neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ ∈ Λ Λϕ ϕ0 1 ( ) ( )R Rn n+ , esly ϕ 1 ( t ) ≠ sign t, yly dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ ∈ Λϕ0 1( ) ( ),R L Rn n+ ∞ , esly ϕ1 ( t ) = sign t, y lgboho t > 0 v¥polnqlys\ nera- venstva ψ ψ ψ0 0 1 ( ) ( ) ( )t C D Tf t+[ ]( )∗ ≤ C m t A B f m tϕ ϕ ϕ0 0 1 ( ) ( )( ) ( )+[ ]( )∗ (9) v sluçae, kohda funkcyq ψ ψ0 1( ) ( )/t t vozrastaet, y ψ ψ ψ0 1 0 ( ) ( ) ( )t C D Tf t+[ ]( )∗ ≤ C m t A B f m tϕ ϕ ϕ0 0 1 ( ) ( )( ) ( )+[ ]( )∗ (10) v sluçae, kohda funkcyq ψ ψ0 1( ) ( )/t t ub¥vaet. 3. Teorem¥ ynterpolqcyy. Sformulyruem y dokaΩem osnovn¥e utverΩ- denyq rabot¥. Napomnym, çto m ( t ) — reßenye uravnenyq (3). V sluçae, kohda funkcyq ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t vozrastaet, a funkcyq ψ ψ0 1( ) ( )/t t vozrastaet yly ub¥va- et, m ( t ) sootvetstvenno vozrastaet yly ub¥vaet na yntervale ( 0, ∞ ) . Krome toho, poskol\ku funkcyy yz mnoΩestva Φ poloΩytel\n¥ y neprer¥vn¥ na ( 0, ∞ ) , to y m ( t ) — poloΩytel\naq y neprer¥vnaq funkcyq. Sledovatel\no, su- westvuet obratnaq k nej poloΩytel\naq neprer¥vnaq vozrastagwaq yly ub¥- vagwaq funkcyq m t−1( ). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1502 B. Y. PELEÍENKO Teorema%4. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ takov¥, çto ϕ1 ( t ) ≠ sign t, ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t vozrastaet, ψ ψ0 1( ) ( )/t t vozrastaet yly ub¥vaet, oblasty znaçenyj funkcyj ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t y ψ ψ0 1( ) ( )/t t sovpada- gt. Esly dlq funkcyj ψ ( t ) , ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ pry nekotor¥x a , b 8∈ ∈ ( 0, 1 ] , a < b, v¥polnqgtsq uslovyq M z dM z M z dM z a a ϕ ψ ϕ ψ1 0 1 0 1 1 1 1( ) ( )( ) ( )− − ∞ −[ ] +∫ ∫ < ∞ , (11) sup ( ) ( )/ / 0 1 1 < <∞ −( ) t a bt tψ ϕ < ∞ y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b nR v¥polnqet- sq neravenstvo ψ ϕ ψ0 1 0 1 1 0 1 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / m t t Tf m t d t a a − − ∗ − ∞ ( )      ∫ ≤ C f t d t b b ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . Dokazatel\stvo. Vnaçale otmetym, çto yz uslovyj (11) sleduet koneç- nost\ velyçyn¥ sup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] / / 0 1 1 10 0 0 1 1< <∞ − −∞ − +{ } [ ] ∫ ∫ t a at a a t a b t z z d z t z d z t ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ , t. e. v¥polnen¥ uslovye teorem¥81 dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ′ψ ( )t , ′ϕ ( )t y uslovye teorem¥82 dlq funkcyj ϕ1 ( t ), ′ψ ( )t , ′ϕ ( )t . Tohda dlq proyzvol\noj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b nR yz teorem81 y 2 sleduet neravenstvo A B f t t dt a a ϕ ϕ ψ 0 1 0 1 +[ ]( ) ′       ∗ ∞ ∫ ( ) ( ) / ≤ M f t t dt b b ∗ ∞ ( ) ′       ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . (12) Yz suwestvovanyq yntehrala, soderΩawehosq v pravoj çasty neravenstva, sle- duet suwestvovanye yntehrala v levoj çasty neravenstva. Tohda pod¥ntehral\- noe v¥raΩenye y funkcyy ( ) ( ) ( )A f t tϕ ψ 0 ∗ ′ , ( ) ( ) ( )B f t tϕ ψ 1 ∗ ′ koneçn¥ poçty dlq vsex t ∈ ( 0, ∞ ) . Uçyt¥vaq, çto ′ψ ( )t > 0 poçty dlq vsex t, poluçaem, çto yntehral¥ f z d z∗∫ ( ) ( )ϕ00 1 y f z d z∗∞ ∫ ( ) ( )ϕ11 suwestvugt y f ( z ) ∈ Λϕ0 ( )Rn + + Λϕ1 ( )Rn . Pust\ T — operator slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) . Sohlasno teoreme8A dlq lgboj funkcyy f ( z ) ∈ Λ Λϕ ϕ0 1 ( ) ( )R Rn n+ v¥polnqetsq lybo neravenstvo (9), lybo neravenstvo (10). Poskol\ku ( ) ( )Tf t∗ ≤ C Tf t iψ ( ) ( )∗ y ( ) ( )Tf t∗ ≤ D Tf t iψ ( ) ( )∗ , i = 1, 2, dlq vsex t ∈ ( 0, ∞ ) , poluçaem ψ ϕ0 0 1( ) ( ) ( ) ( )[ ( )]t m t Tf t− ∗ ≤ C A B f m tϕ ϕ0 1 +[ ] ∗( )( ) (13) dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b nR . Tak kak ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t , ψ ψ0 1( ) ( )/t t — ne- prer¥vn¥e stroho monotonn¥e funkcyy na poluosy ( 0, ∞ ) , funkcyq m ( t ) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1503 takΩe neprer¥vnaq stroho monotonnaq. Sledovatel\no, suwestvuet obratnaq k nej neprer¥vnaq stroho monotonnaq funkcyq m t−1( ). Perepyßem neravenstvo (13) v vyde ψ ϕ0 1 0 1 1( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t− − ∗ − ≤ C A B f tϕ ϕ0 1 +[ ] ∗( ). Otsgda ψ ϕ ψ0 1 0 1 1 0 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t d t a− − ∗ − ∞ [ ]∫ ≤ C A B f t d ta a ϕ ϕ ψ 0 1 0 +( )[ ]∗ ∞ ∫ ( ) ( ). Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥ vospol\zuemsq neravenstvom (12). Tohda dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b nR ymeem ψ ϕ ψ0 1 0 1 1 0 1 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / m t t Tf m t d t a a − − ∗ − ∞ [ ]      ∫ ≤ C f t d t b b ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . Teorema dokazana. Sledstvye%3. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ0 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ takov¥, çto ϕ1 ( t ) ≠ sign t, ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) vozrastaet, ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozrasta- et yly ub¥vaet, oblasty znaçenyj funkcyj ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) y ψ 0 ( t ) / ψ1 ( t ) sov- padagt. Esly funkcyq ϕ ( t ) yz Φ pry a ∈ ( 0, 1 ] udovletvorqet uslovyg M t dM t M t dM t a a ϕ ϕ ϕ ϕ1 0 1 0 1 1 1 1( ) ( )( ) ( )− − ∞ −[ ] +∫ ∫ < ∞ y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a nR v¥polnqet- sq neravenstvo ψ ϕ ϕ0 1 0 1 1 0 1 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / m t t Tf m t d t a a − − ∗ − ∞ ( )      ∫ ≤ C f t d t a a ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . Teorema%5. Pust\ ϕ1 ( t ) = sign t y funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ takov¥, çto v¥polneno neravenstvo sup ( )( ln )( ) 0 1 1 < < − u M u uϕ ≤ 1, funkcyq ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozrastaet yly ub¥vaet y ee mnoΩestvu znaçenyj pry- nadleΩyt ynterval ( 0, ∞ ) . Esly funkcyy ϕ ( t ), ψ ( t ) yz mnoΩestva Φ pry nekotor¥x a, b ∈ ( 0, 1 ] , a < b, udovletvorqgt uslovyqm ln ( ) ( )( )a a t dM M dM 0 1 1 1 1 0∫ ∫+ − ∞ ψ ϕ ψτ τ τ < ∞ , (14) sup ( ) ( )/ / 0 1 1 < <∞ −( ) t a bt tψ ϕ < ∞ y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ∈ Λϕ, ( )b nR v¥polnqetsq neravenstvo ψ ϕ ψ0 1 0 1 1 0 1 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / m t t Tf m t d t a a − − ∗ − ∞ ( )      ∫ ≤ C f t d t b b ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1504 B. Y. PELEÍENKO Dokazatel\stvo. Yz uslovyj (14) poluçaem koneçnost\ velyçyn¥ sup ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] / / 0 0 0 0 1 1< <∞ −∞    +       [ ] ∫ ∫ t at a a t a b t z d z t z d z t ψ ϕ ϕ ψ ϕ , otkuda sleduet v¥polnenye uslovyq teorem¥81 dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ϕ′ ( t ), ψ′ ( t ) y uslovyq teorem¥83 dlq funkcyj ϕ′ ( t ), ψ′ ( t ) . Tohda yz teorem81 y 3 sleduet neravenstvo (12) dlq proyzvol\noj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b nR . Yz suwestvovanyq yntehrala, soderΩawehosq v pravoj çasty (12), v¥tekaet suwestvovanye yntehrala v levoj çasty y koneçnost\ poçty dlq vsex t ∈ ( 0, ∞ ) funkcyj ( ) ( )A f tϕ0 ∗ y ( ) ( )B f tϕ1 ∗ . Sledovatel\no, f ( x ) ∈ Λϕ0 1( ) ( ),R L Rn n+ ∞ . Pust\ T — operator slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) . Prymenqq teoremu8A dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ0 1( ) ( ),R L Rn n+ ∞ y uçyt¥vaq neravenstva ( ) ( )Tf t∗ ≤ C Tf t iψ ( ) ( )∗ y ( ) ( )Tf t∗ ≤ D Tf t iψ ( ) ( )∗ , i = 1, 2, poluçaem dlq vsex t ∈ ( 0, ∞ ) y dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b nR ocenku ψ ϕ0 0 1( ) ( ( )) ( ) ( )[ ]t m t Tf t− ∗ ≤ C A B f m tϕ ϕ0 1 +[ ] ∗( )( ) . (15) Kak otmeçalos\ pry dokazatel\stve teorem¥84, yz uslovyq teorem¥85 v¥tekaet, çto funkcyq m ( t ) neprer¥vnaq stroho monotonnaq y, sledovatel\no, suwestvuet obratnaq k nej neprer¥vnaq stroho monotonnaq funkcyq m t−1( ). Perepyßem (15) v vyde ψ ϕ0 1 0 1 1( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t− − ∗ − ≤ C A B f tϕ ϕ0 1 +[ ] ∗( ). Otsgda poluçaem ψ ϕ ψ0 1 0 1 1 0 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t d t a− − ∗ − ∞ ( )[ ]∫ ≤ C A B f t d ta a ϕ ϕ ψ 0 1 0 +( )[ ]∗ ∞ ∫ ( ) ( ). Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥ vospol\zuemsq neravenstvom (12). Toh- da dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b nR ymeem ψ ϕ ψ0 1 0 1 1 0 1 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / m t t Tf m t d t a a − − ∗ − ∞ [ ]      ∫ ≤ C f t d t b b ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . Teorema dokazana. Sledstvye%4. Pust\ ϕ1 ( t ) = sign t y funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ψ1 ( t ) y z mnoΩestva Φ takov¥, çto v¥polneno neravenstvo sup ( )( ln ) 0 1 0 1 < < − u M u uϕ ≤ 1, funkcyq ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozrastaet yly ub¥vaet y ee mnoΩestvu znaçenyj pry- nadleΩyt ynterval ( 0, ∞ ) . Esly funkcyq ϕ ( t ) ∈ Φ y pry a ∈ ( 0, 1 ] udov- letvorqet uslovyg ln ( ) ( )( )1 0 1 1 1 0u dM u M u dM u a a    +∫ ∫ − ∞ ϕ ϕ ϕ < ∞ y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a nR v¥polnqet- sq neravenstvo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1505 ψ ϕ ϕ0 1 0 1 1 0 1 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / m t t Tf m t d t a a − − ∗ − ∞ ( )      ∫ ≤ C f t d t a a ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . Teorema%6. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ0 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ takov¥, çto ϕ1 ( t ) ≠ sign t, ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) vozrastaet y ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozras- taet yly ub¥vaet, oblasty znaçenyj funkcyj ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) y ψ 0 ( t ) / ψ1 ( t ) sovpadagt. Esly funkcyq ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ takova, çto dlq nekotoro- ho a ∈ [ 1, ∞ ) udovletvorqet uslovyg M u d M u M u d M u a a ϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( ) / / ( ) ( )− − ∞ [ ] + [ ]∫ ∫1 1 0 1 1 1 1 0 1 < ∞ , (16) y T — kvazylynejn¥j operator slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvu- et takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a nR v¥pol- nqetsq neravenstvo ψ ϕ ϕ0 1 0 1 1 0 1 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / m t t Tf m t d t a a − − ∗ − ∞ ( )[ ]      ∫ ≤ C f t d t a a ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . Dokazatel\stvo provodytsq po sxeme, analohyçnoj dokazatel\stvu teore- m¥84. Vnaçale dokaz¥vaem, çto yz uslovyq (16) y absolgtnoj neprer¥vnosty funkcyy ϕ ( t ) ( ≠ sign t ) na kaΩdom koneçnom otrezke [ 0, t ] ∈ [ 0, ∞ ) sledugt uslovyq predloΩenyq81 dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ϕ′ ( t ) y uslovyq predloΩenyq82 dlq funkcyj ϕ1 ( t ), ϕ ′ ( t ). Zatem, prymenqq πty predloΩenyq, poluçaem neravenstvo A B f t d t a a ϕ ϕ ϕ 0 1 0 1 +[ ]( )      ∗ ∞ ∫ ( ) ( ) / ≤ M f t d t a a ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 , (17) yz kotoroho sleduet koneçnost\ yntehralov f z d z∗∫ ( ) ( )ϕ00 1 , f z d z∗∫ ( ) ( )ϕ10 1 dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a nR . Tohda funkcyq f ( x ) ∈ Λ Λϕ ϕ0 1 ( ) ( )R Rn n+ . Dalee, yz uslovyq teorem¥ ob operatore T y teorem¥8A poluçaem neravenstvo ψ ϕ ϕ0 1 0 1 1 0 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t d t a− − ∗ − ∞ ( )[ ]∫ ≤ C A B f t d ta a ϕ ϕ ϕ 0 1 0 +[ ]( )∗ ∞ ∫ ( ) ( ). Prymenqq dlq ocenky yntehrala v pravoj çasty poluçennoe neravenstvo (17), zaverßaem dokazatel\stvo teorem¥. Teorema%7. Pust\ ϕ1 ( t ) = sign t, y funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ takov¥, çto ϕ 0 ( t ) ≠ sign t, v¥polneno neravenstvo sup ( )( ln ) 0 1 0 1 < < − u M u uϕ ≤ 1, funkcyq ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozrastaet yly ub¥vaet y ee mnoΩestvo znaçenyj est\ ( 0, ∞ ) . Esly funkcyq ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ pry a ∈ [ 1, ∞ ) udovletvorqet uslovyg M u d M u M u u du a a ϕ ϕ ϕ( ) ( ) / /( )− − ∞ −[ ] +∫ ∫1 1 0 1 1 1 1 1 0 < ∞ (18) y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a nR v¥polnqet- sq neravenstvo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1506 B. Y. PELEÍENKO ψ ϕ ϕ0 1 0 1 1 0 1 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / m t t Tf m t d t a a − − ∗ − ∞ ( )      ∫ ≤ C f t d t a a ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 . Dokazatel\stvo provodytsq analohyçno dokazatel\stvu teorem¥85. Vna- çale dokaz¥vaem, çto yz uslovyq (18) y absolgtnoj neprer¥vnosty funkcyy ϕ ( t ) ( ≠ sign t ) na kaΩdom koneçnom otrezke [ 0, t ] ∈ [ 0, ∞ ) sledugt uslovyq predloΩenyq81 dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ϕ′ ( t ) y uslovye predloΩenyq83 dlq funk- cyy ϕ′ ( t ) . Zatem s pomow\g predloΩenyj 1,83 poluçaem neravenstvo A B f t d t a a ϕ ϕ ϕ 0 1 0 1 +[ ]( )      ∗ ∞ ∫ ( ) ( ) / ≤ M f t d t a a ∗ ∞ ( )      ∫ ( ) ( ) / ϕ 0 1 , (19) yz kotoroho sleduet koneçnost\ yntehralov f z d z∗∫ ( ) ( )ϕ00 1 , f z z dz∗ −∫ ( ) 1 0 1 dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a nR . ∏to oznaçaet, çto f ( x ) ∈ Λϕ0 1( ) ( ),R L Rn n+ ∞ . Dalee yz uslovyq teorem¥, naklad¥vaemoho na operator T, y teorem¥8A polu- çaem neravenstvo ψ ϕ ϕ0 1 0 1 1 0 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t d t a− − ∗ − ∞ ( )[ ]∫ ≤ C A B f t d ta a ϕ ϕ ϕ 0 1 0 +[ ]( )∗ ∞ ∫ ( ) ( ). Prymenqq dlq ocenky yntehrala v pravoj çasty neravenstvo (19), dokaz¥va- em teoremu. Teorema%8. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) y operator T udov- letvorqgt uslovyqm teorem¥86. Esly funkcyq ϕ ( t ) ∈ Φ y udovletvorqet uslovyg M u dM u M u dM uϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( )( ) ( )− − ∞ ∫ ∫+1 0 1 1 1 0 1 < ∞ , (20) to suwestvuet takaq postoqnnaq C > 0 , çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ ∈ Λϕ, ( )∞ Rn v¥polnqetsq neravenstvo sup ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) 0 0 1 0 1 1 < <∞ − − ∗ −( ) t m t t t Tf m tψ ϕ ϕ ≤ C t f t t sup ( ) ( ) 0< <∞ ∗( )ϕ . Dokazatel\stvo povtorqet dokazatel\stvo teorem¥86. Yz uslovyq (20) y predloΩenyj84, 5 dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )∞ Rn poluçaem neravenstvo sup ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 1< <∞ ∗ ∗+( )( ) t A f t B f t tϕ ϕ ϕ ≤ C f t t t sup ( ) ( ) 0< <∞ ∗( )ϕ . Dalee yz teorem¥8A sleduet sup ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) 0 0 1 0 1 1 < <∞ − − ∗ −( ) t m t t t Tf m tψ ϕ ϕ ≤ C A B f t t t sup ( ) ( ) 0 0 1< <∞ ∗+[ ]( )ϕ ϕ ϕ . Yz dokazann¥x neravenstv poluçaem utverΩdenye teorem¥. Teorema%9. Pust\ dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) y operatora T v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥87. Esly funkcyq ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ udo- vletvorqet uslovyg M s dM s M s s dsϕ ϕ ϕ( ) ( )( )− − − ∞ ∫ ∫+1 0 1 1 1 1 0 < ∞ , (21) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1507 to suwestvuet takaq postoqnnaq C > 0 , çto dlq vsex funkcyj f x( ) ∈ ∈ Λϕ, ( )∞ Rn v¥polnqetsq neravenstvo sup ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) 0 1 0 1 1 < <∞ − − ∗ −( ) t m t t t Tf m tϕ ϕ ϕ ≤ C t f t t sup ( ) ( ) 0< <∞ ∗( )ϕ . Dokazatel\stvo povtorqet dokazatel\stvo teorem¥87. Yz uslovyq (21) y predloΩenyj84, 6 sleduet neravenstvo sup ( ) ( ) ( ) 0 0 1< <∞ ∗ ∗+( )( ) t A f t B f t tϕ ϕ ϕ ≤ C f t t t sup ( ) ( ) 0< <∞ ∗( )ϕ dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )∞ Rn . Dalee, yz teorem¥8A ymeem sup ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) 0 0 1 0 1 1 < <∞ − − ∗ −( ) t m t t t Tf m tψ ϕ ϕ ≤ ≤ C A B f t t t sup ( ) ( ) 0 0 1< <∞ ∗+[ ]( )ϕ ϕ ϕ . Yz dokazann¥x neravenstv poluçaem utverΩdenye teorem¥89. 1. Calderon A. P. Spaces between L1 and L∞ and theorem of Marcinkiewich // Stud. math. – 1966. – 26. – P. 273 – 299. 2. Boyd D. W. Indices of function spaces and their relationship to interpolation // Can. Math. J. – 1969. – 21. – P. 1245 – 1254. 3. Sharpley R. C. Spaces Λα( )X and interpolation // J. Funct. Anal. – 1972. – # 11. – P. 479 – 513. 4. Krejn S. H., Petunyn G. Y., Semenov E. M. Ynterpolqcyq lynejn¥x operatorov. – M.: Na- uka, 1978.8– 4008s. 5. Pavlov E. A. K operatoru Kal\derona // Ukr. mat. Ωurn. – 1981. – 33, # 1. – S. 52 – 58. 6. Benett C., Rudnick K. On Lorentz – Zygmund spaces. – Warszawa: ′Panstw. wydawn. nauk., 1980. – 73 p. 7. Burenkov V. Y., Hol\dman M. L. V¥çyslenye norm¥ poloΩytel\noho operatora na konuse monotonn¥x funkcyj // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1995. – 210. – S. 65 – 89. 8. Stejn E., Vejs H. Vvedenye v harmonyçeskyj analyz na evklydov¥x prostranstvax. – M.: Myr, 1974.8– 3338s. 9. Danford N., Ívarc DΩ. T. Lynejn¥e operator¥. Obwaq teoryq. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1962.8– 8958s. 10. Peleßenko B. Y. Ob operatorax slaboho typa // Praci Ukr. mat. konhresu-2001. Funkcion. analiz. – Ky]v, 2002. – S. 234 – 244. Poluçeno 03.02.2004, posle dorabotky — 08.02.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11

Ähnliche Einträge