O силовских подгруппах периодических групп Шункова
Вивчається будова силовських 2-підгруп у періодичних групах Шункова з майже шарово скінченними нормалізаторами скінченних нетривіальних підгруп.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165901 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | O силовских подгруппах периодических групп Шункова / В.И. Сенашов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1548–1556. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165901 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1659012020-02-18T01:28:43Z O силовских подгруппах периодических групп Шункова Сенашов, В.И. Статті Вивчається будова силовських 2-підгруп у періодичних групах Шункова з майже шарово скінченними нормалізаторами скінченних нетривіальних підгруп. We study the structure of Sylow 2-subgroups in Shunkov periodic groups with almost layer-finite normalizers of finite nontrivial subgroups. 2005 Article O силовских подгруппах периодических групп Шункова / В.И. Сенашов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1548–1556. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165901 512.54 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Сенашов, В.И. O силовских подгруппах периодических групп Шункова Український математичний журнал |
| description |
Вивчається будова силовських 2-підгруп у періодичних групах Шункова з майже шарово скінченними нормалізаторами скінченних нетривіальних підгруп. |
| format |
Article |
| author |
Сенашов, В.И. |
| author_facet |
Сенашов, В.И. |
| author_sort |
Сенашов, В.И. |
| title |
O силовских подгруппах периодических групп Шункова |
| title_short |
O силовских подгруппах периодических групп Шункова |
| title_full |
O силовских подгруппах периодических групп Шункова |
| title_fullStr |
O силовских подгруппах периодических групп Шункова |
| title_full_unstemmed |
O силовских подгруппах периодических групп Шункова |
| title_sort |
o силовских подгруппах периодических групп шункова |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165901 |
| citation_txt |
O силовских подгруппах периодических групп Шункова / В.И. Сенашов // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 11. — С. 1548–1556. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT senašovvi osilovskihpodgruppahperiodičeskihgruppšunkova |
| first_indexed |
2025-07-14T20:20:38Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:20:38Z |
| _version_ |
1837655070846484480 |
| fulltext |
UDK 512.54
V.�Y.�Senaßov (Yn-t v¥çyslyt. modelyrovanyq SO RAN, Krasnoqrsk)
O SYLOVSKYX PODHRUPPAX
PERYODYÇESKYX HRUPP ÍUNKOVA
*
We study the structure of the Sylow 2-groups in the Shunkov periodic groups with almost layer-finite
normalizers of finite nontrivial subgroups.
Vyvça[t\sq budova sylovs\kyx 2-pidhrup u periodyçnyx hrupax Íunkova z majΩe ßarovo skin-
çennymy normalizatoramy skinçennyx netryvial\nyx pidhrup.
Slojno koneçn¥e hrupp¥ vperv¥e poqvylys\ bez nazvanyq v stat\e S.2N.2Çerny-
kova [1], a zatem v eho posledugwyx publykacyqx za nymy zakrepylos\ nazvanye
slojno koneçn¥x hrupp. Hruppa naz¥vaetsq slojno koneçnoj, esly mnoΩestvo
ee πlementov lgboho dannoho porqdka koneçno. Poçty slojno koneçn¥e hrupp¥
— πto koneçn¥e rasßyrenyq slojno koneçn¥x hrupp.
V nastoqwej stat\e budem yzuçat\ peryodyçeskye hrupp¥ Íunkova (peryo-
dyçeskye soprqΩenno byprymytyvno koneçn¥e hrupp¥) s uslovyem: normaly-
zator lgboj koneçnoj netryvyal\noj podhrupp¥ poçty slojno koneçen. Klass
hrupp, udovletvorqgwyj πtomu uslovyg, dovol\no ßyrok. V nem soderΩatsq
svobodn¥e bernsajdovskye hrupp¥ neçetnoho peryoda ≥ 665 [2] y hrupp¥, po-
stroenn¥e A.2G.2Ol\ßanskym [3]. V takyx hruppax nas ynteresuet stroenye sy-
lovskyx 2-podhrupp.
Ranee avtorom b¥lo dokazano, çto esly v yzuçaem¥x hruppax sylovskaq 2-
podhruppa beskoneçna, to ona qvlqetsq kvazydyπdral\noj 2-hruppoj [4].
Napomnym, çto kvazydyπdral\noj 2-hruppoj m¥ naz¥vaem rasßyrenye kvazycy-
klyçeskoj 2-hrupp¥ s pomow\g obrawagweho avtomorfyzma (nazvanye obæqs-
nqetsq tem, çto πta hruppa qvlqetsq obæedynenyem 2-hrupp dyπdra).
Hruppoj Íunkova ( soprqΩenno byprymytyvno koneçnoj hruppoj) naz¥va-
etsq hruppa G , esly dlq lgboj ee koneçnoj podhrupp¥ H v faktor-hruppe
NG ( H ) / H lgbaq para soprqΩenn¥x πlementov prostoho porqdka poroΩdaet
koneçnug podhruppu.
Teorema. Pust\ G — peryodyçeskaq ne poçty slojno koneçnaq hruppa Íun-
kova s koneçnoj sylovskoj 2-podhruppoj S . Esly v G normalyzator lgboj
netryvyal\noj koneçnoj podhrupp¥ poçty slojno koneçen, to spravedlyvo, po
krajnej mere, odno yz utverΩdenyj:
1) pereseçenye S so slojno koneçn¥m radykalom centralyzatora cen-
tral\noj ynvolgcyy yz S qvlqetsq cyklyçeskym yly obobwennoj hruppoj kva-
ternyonov;
2) hruppa S moΩet b¥t\ odnoho yz sledugwyx typov:
hruppa dyπdra;
poludyπdral\naq hruppa;
2-hruppa Sudzuky porqdka 64;
abeleva hruppa typa ( 2m
, 2m
) , m > 1;
S = 〈 b 〉 h 〈 t 〉 , hde b
m2 = t
2 = 1, m ≥ 2.
V dal\nejßem yzuçaetsq peryodyçeskaq hruppa Íunkova G, ne2qvlqg-
waqsq poçty slojno koneçnoj, normalyzator lgboj netryvyal\noj koneçnoj
podhrupp¥ hrupp¥ G poçty slojno koneçen.
Nam ponadobqtsq sledugwye lemm¥, dokazatel\stva kotor¥x praktyçesky
doslovno perenosqtsq na yzuçaemug hruppu yz rabot¥ [5].
*
V¥polnena pry podderΩke Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj (hrant 02-01-
00078) y hranta #29 ßestoho konkursa-πkspertyz¥ 19992h. nauçn¥x proektov molod¥x uçen¥x.
© V.2Y.2SENAÍOV, 2005
1548 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
O SYLOVSKYX PODHRUPPAX PERYODYÇESKYX HRUPP ÍUNKOVA 1549
Lemma 1. Slojno koneçn¥e radykal¥ dvux razlyçn¥x beskoneçn¥x maksy-
mal\n¥x poçty slojno koneçn¥x podhrupp hrupp¥ G peresekagtsq po edynyç-
noj podhruppe.
Lemma 2. Lgbaq maksymal\naq poçty slojno koneçnaq podhruppa yz G qv-
lqetsq beskoneçno yzolyrovannoj podhruppoj.
Napomnym, çto podhruppa beskoneçno yzolyrovana, esly ona soderΩyt
centralyzator¥ vsex svoyx πlementov, ymegwyx v nej beskoneçn¥e centra-
lyzator¥.
Lemma 3. Vse ynvolgcyy v G ymegt beskoneçn¥e centralyzator¥.
Oboznaçym çerez V maksymal\nug poçty slojno koneçnug podhruppu hrup-
p¥ G, soderΩawug ynvolgcyy.
Lemma 4. V podhruppe V vse ynvolgcyy s beskoneçn¥my centralyzatoramy
v V poroΩdagt koneçnug podhruppu.
Lemma 5. V podhruppe V net πlementarnoj abelevoj podhrupp¥ 8-ho porqd-
ka s poçty rehulqrnoj ynvolgcyej v V.
Poçty rehulqrnoj v hruppe naz¥vaetsq ynvolgcyq s koneçn¥m centraly-
zatorom.
Lemma 6. MnoΩestvo nesoprqΩenn¥x πlementarn¥x abelev¥x podhrupp yz
podhrupp¥ V s koneçn¥my centralyzatoramy v V koneçno.
Lemma 7. 1. Vse ynvolgcyy s beskoneçn¥my centralyzatoramy v V soprq-
Ωen¥ v V.
2. Esly k — ynvolgcyq yz V y CV ( k ) koneçen, to k ynducyruet avto-
morfyzm v nekotoroj abelevoj normal\noj podhruppe koneçnoho yndeksa yz V,
perevodqwyj kaΩd¥j πlement πtoj podhrupp¥ v obratn¥j.
Çerez S oboznaçym nekotorug koneçnug sylovskug 2-podhruppu yz G, i —
central\naq ynvolgcyq yz S, H — maksymal\naq poçty slojno koneçnaq pod-
hruppa hrupp¥ G, soderΩawaq CG ( i ) (takaq maksymal\naq podhruppa najdet-
sq po lemme Corna y po teoreme 1 yz [6]).
Na osnovanyy teorem¥ 2 yz [6] moΩem sçytat\, çto H ne qvlqetsq syl\no
vloΩennoj podhruppoj v hruppu G. Syl\no vloΩennoj naz¥vaetsq sobstvennaq
podhruppa, soderΩawaq ynvolgcyy, kotoraq peresekaetsq s soprqΩenn¥my s
nej podhruppamy po podhruppam bez ynvolgcyj. Otsgda sohlasno lemme22
neposredstvenno sleduet, çto H ymeet poçty rehulqrnug ynvolgcyg. Obozna-
çym πtu ynvolgcyg çerez j . Ynvolgcyg j ∈ S moΩno v¥brat\ v sylu lemm¥ 7.
Pust\ K — podhruppa yz H , poroΩdennaq vsemy ynvolgcyqmy s beskoneç-
n¥my centralyzatoramy v H . Slojno koneçn¥j radykal hrupp¥ H budem obo-
znaçat\ çerez R ( H ) .
Dokazatel\stvu teorem¥ predpoßlem lemm¥ 8 – 11, v kotor¥x yspol\zugtsq
vvedenn¥e v¥ße oboznaçenyq.
Lemma 8. V H vse ynvolgcyy s beskoneçn¥my centralyzatoramy poroΩ-
dagt abelevu podhruppu porqdka ne bol\ßeho çet¥rex.
Dokazatel\stvo. Sohlasno lemme 4 vse ynvolgcyy s beskoneçn¥my cen-
tralyzatoramy v H poroΩdagt koneçnug podhruppu yz slojno koneçnoho
radykala R ( H ) hrupp¥ H y ynvolgcyq i ∈ R ( H ) . Esly i — edynstvennaq
ynvolgcyq v R ( H ) , to lemma oçevydna. Pust\ v R ( H ) ymegtsq druhye ynvo-
lgcyy i1 , i2 , … , in .
Rassmotrym πlement¥ vyda a1 = j i1 , a2 = j i2 , … , an = j in . Poskol\ku j ne2so-
prqΩena v H ny s odnoj yz ynvolgcyj i1 , i2 , … , in , po svojstvam hrupp dyπdra
πlement¥ a1 , a2 , … , an ymegt çetn¥e porqdky. Pust\ tm , m = 1, 2, … , n , —
ynvolgcyq yz am . Sohlasno teoreme 2 yz 2[7] y lemme 7 pereseçenye 〈 j 〉 × 〈 tm 〉 ∩
∩ R ( H ) ymeet ynvolgcyg km . Snova vsledstvye svojstv hrupp dyπdra km ∈
∈ CG ( j ) , tohda 〈 i , km 〉 ≤ R ( H ) ∩ CG ( j ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1550 V.2Y.2SENAÍOV
PredpoloΩym, çto i ≠ km dlq nekotoroho m . Esly b¥ v 〈 i , km 〉 porqdok
maksymal\noj πlementarnoj abelevoj podhrupp¥ b¥l raven çet¥rem, to v H
naßlas\ b¥ πlementarnaq abeleva podhruppa vos\moho porqdka, soderΩawaq j ,
a πto nevozmoΩno po lemme 5. Znaçyt, 〈 i , km 〉 = 〈 bm 〉 l 〈 i 〉 , bm — needynyçn¥j
πlement neçetnoho porqdka.
Sohlasno lemme 3 y uslovyqm teorem¥ CG ( j ) — beskoneçnaq poçty slojno
koneçnaq hruppa, pryçem ynvolgcyq i poçty rehulqrna v nej, tak kak ynvolg-
cyq j poçty rehulqrna v H . Zametym, çto vsledstvye lemm¥27 CG ( j ) ymeet
abelevu normal\nug podhruppu L koneçnoho yndeksa, v kotoroj i ynducyruet
avtomorfyzm, perevodqwyj kaΩd¥j πlement v obratn¥j. Esly h ∈ L , to
b hbm m
−1 ∈ L dlq proyzvol\noho 1 ≤ m ≤ n , no sohlasno lemme27 i
–1h i = h–1,
i b hb im m
− −1 1( ) = b h bm m
− −1 1 , krome toho, i
–1bm i = bm
−1. Otsgda b h bm m
− −1 1 = b h bm m
− −1 1
yly b h bm m
− −2 1 2 = h–1 dlq lgboho h ∈ L .
A poskol\ku bm — πlement neçetnoho porqdka, to L < CG ( bm ) . S druhoj
storon¥, bm ∈ R ( H ) y sohlasno lemme22 L < CG ( bm ) ≤ H . No tohda CH ( j ) b¥l
b¥ beskoneçn¥m, çto protyvoreçylo b¥ poçty rehulqrnosty j v H . Sledova-
tel\no, km = i y, znaçyt, i ∈ 〈 j 〉 × 〈 tm 〉 , çto vleçet tm ∈ 〈 i 〉 × 〈 j 〉 , m = 1, 2, … , n .
Esly tm = j yly tm = i j , to CH ( tm ) < ∞ y i , im ∈ CG ( tm ) , pryçem i ≠ im p o
opredelenyg posledovatel\nosty i1 , i2 , … , in . Analohyçno sluçag km ∈ CG ( j )
poluçaem protyvoreçye s tem, çto i ≠ im . Takym obrazom, tm = i y im ∈ CG ( i )
dlq lgboho m .
Rassmotrym hruppu X = 〈 i1 , i2 , … , in , i 〉 . M¥ pokazaly, çto i ∈ Z ( X ) . V to
Ωe vremq X y Z ( X ) normal\n¥ v H . Sohlasno lemme 7 vse ynvolgcyy yz X
soprqΩen¥ v H , znaçyt, X — πlementarnaq abeleva hruppa.
DokaΩem, çto | X | ≤ 4. Esly X = 〈 i 〉 , to utverΩdenye oçevydno. Pust\ k1 ,
k2 — dve ynvolgcyy yz X y k1 , k2 ∉ CG ( j ) . Vydym, çto k1 j k1 j , k2 j k2 j ∈ X ,
znaçyt, πto ynvolgcyy y ravenstvo ( k1 j k1 j ) ( k1 j k1 j ) = e vleçet ( k1 j k1 j )–1 ×
× j ( k1 j k1 j ) = j . Okonçatel\no poluçaem k1 j k1 j , k2 j k2 j ∈ X ∩ CG ( j ) . V sylu
lemm¥ 5 centrom hrupp¥ X l 〈 j 〉 qvlqetsq podhruppa 〈 i 〉 , znaçyt, j k1 j = k1 i y
j k2 j = k2 i . Otsgda ymeem j k1 k2 j = k1i k2i = k1 k2 . Sledovatel\no, k 2 = k1i y
| X | ≤ 4.
Lemma dokazana.
Lemma 9. Vse sylovskye 2-podhrupp¥ v G koneçn¥ y soprqΩen¥.
Dokazatel\stvo lemm¥ analohyçno dokazatel\stvu lemm¥ 3.1 yz [8].
Lemma 10. Esly H \ R ( H ) ne ymeet ynvolgcyj, soprqΩenn¥x s i v G, t o
dlq kaΩdoho πlementa g ∈ G \ H v hruppe G najdetsq ynvolgcyq tg , soprq-
Ωennaq s i v G , takaq, çto H
g = H tg
. Krome toho, pereseçenye Dg = H ∩
∩ H
g qvlqetsq tg -ynvaryantn¥m.
Dokazatel\stvo. Pust\ r — ynvolgcyq yz K . Rassmotrym podhruppu F =
= 〈 i , g–1
r g 〉 . Vsledstvye svojstv hrupp dyπdra F = 〈 a 〉 l 〈 i 〉 = 〈 a 〉 l 〈 g–1
r g 〉 ,
pryçem sohlasno stroenyg G πlement a ymeet koneçn¥j porqdok. Predpolo-
Ωym, çto a — πlement çetnoho porqdka y x — ynvolgcyq yz 〈 a 〉 . Oçevydno,
x ∈ CG ( i ) y esly sylovskaq 2-podhruppa yz F nekommutatyvna, to ynvolgcyy i ,
x i soprqΩen¥ v F, a znaçyt, y v G, pryçem i , x i ∈ H . Po uslovyg lemm¥ x i ∈
∈ R ( H ) , sledovatel\no, x ∈ R ( H ) y na osnovanyy beskoneçnoj yzolyrovannos-
ty H sohlasno lemme22 g–1
r g ∈ CG ( x ) ≤ H .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
O SYLOVSKYX PODHRUPPAX PERYODYÇESKYX HRUPP ÍUNKOVA 1551
Dalee, po opredelenyg podhrupp¥ K y lemme242 r ∈ R ( H ) , znaçyt, g–1
r g
sohlasno uslovyg lemm¥ takΩe leΩyt v R ( H ) y g – 1
r g ∈ K . No v sylu
lemm¥27 ynvolgcyy r , g–1
r g soprqΩen¥ v H , t.2e. najdetsq πlement h ∈ H
takoj, çto h g–1
r g h–1 = r y g h–1 = f , f ∈ CG ( r ) . Yz beskoneçnoj yzolyrovan-
nosty H sleduet f ∈ CG ( r ) ≤ H y g = f h ∈ H vopreky uslovyg. Protyvoreçye
oznaçaet, çto 〈 i 〉 × 〈 x 〉 — sylovskaq 2-podhruppa v F. Odnovremenno poluçyly,
çto x i , x ∈ H \ R ( H ) y g–1
r g ∉ H .
Poskol\ku sylovskye 2-podhrupp¥ yz F soprqΩen¥ v F, c g rgc i xr r
− − ∈〈 〉× 〈 〉1 1
dlq nekotoroho cr neçetnoho porqdka yz 〈 a 〉 . Esly b¥ c g rgcr r
− −1 1 = x yly x i ,
to on prynadleΩal b¥ H \ R ( H ) y odnovremenno b¥l b¥ soprqΩenn¥m s r y,
znaçyt, po lemme27 s i vopreky uslovyqm lemm¥. Sledovatel\no, c g rgcr r
− −1 1 =
= i y c ig rgr
− −=2 1 = a , t.2e. a — πlement neçetnoho porqdka, çto nevozmoΩno
po predpoloΩenyg.
Ytak, a — πlement neçetnoho porqdka y sohlasno svojstvam hrupp dyπdra
i = c g rgcr r
− −1 1 , hde cr ∈ 〈 a 〉 y r , i ∈ K < R ( H ) . Otsgda C i
H gcr
( ) beskoneçen y
H = Hgcr v sylu lemm 1 y 2. Teper\ moΩno zapysat\ H
g = Hicr
−1
. Oboznaçyv
çerez tg ynvolgcyg i cr
−1, poluçym pervoe utverΩdenye lemm¥.
Dalee, yz toho, çto g cr ∈ NG ( H ) = H, sleduet g ∈ H cr
−1 = Hg . V kaçestve
predstavytelq Hg v¥berem ynvolgcyg tg = i cr
−1, t.2e. Hg = Htg . Vsledstvye
v¥bora πlement cr ymeet koneçn¥j neçetn¥j porqdok y i c r i = cr
−1, znaçyt,
ynvolgcyy i , tg sohlasno svojstvam hrupp dyπdra soprqΩen¥ v G. Dalee, Dg =
= H ∩ H
tg y Dg = D
tg
1 , hde D1 — nekotoraq podhruppa yz H . Poskol\ku tg —
ynvolgcyq, to D1 = Dg
tg ≤ H
tg ∩ H = Dg y, sledovatel\no, D g = Dg
tg y tg ∈
∈ NG ( Dg ) .
Lemma dokazana.
Lemma 11. PredpoloΩym, çto H \ R ( H ) ne ymeet ynvolgcyj, soprqΩenn¥x
s i v G . Pust\ V — podhruppa, soprqΩennaq s H v G , h — netryvyal\-
n¥j p -πlement yz D = H ∩ V . Esly C V ( h ) beskoneçen, to CH ( h ) takΩe
beskoneçen, y naoborot.
Dokazatel\stvo. Pust\ CH ( h ) koneçen y πlement¥ g1 , g2 , … , gn , … yz
CV ( h ) takye, çto
H1 , H2 , … , Hn , …
— razlyçn¥e podhrupp¥ vyda Hn = g Hgm n
−1 , otlyçn¥e ot H . Sohlasno lem-
me210 πlement gn ymeet predstavlenye gn = hn ⋅ tn , hde hn ∈ H , tn — ynvolg-
cyq, soprqΩennaq s i v G. Otsgda Hn = tn H tn . Oboznaçym çerez D n pere-
seçenye podhrupp H y Hn . Pust\ Pn — sylovskaq p -podhruppa yz D n , soder-
Ωawaq πlement h . V sootvetstvyy s lemmoj210 hruppa 〈 Dn , tn 〉 ymeet pred-
stavlenye Dn l 〈 tn 〉 , pryçem ynvolgcyg tn podberem takym obrazom, çtob¥ ona
normalyzovala Pn . Tohda tn ∈ NG ( Z ( Pn ) ) .
Sredy podhrupp Z ( P1 ) , Z ( P2 ) , … , Z ( Pn ) , … lyß\ koneçnoe çyslo razlyç-
n¥x vsledstvye koneçnosty centralyzatora CH ( h ) . MnoΩestvo razlyçn¥x
podhrupp P1 , P2 , … , Pn , … takΩe ne moΩet b¥t\ beskoneçn¥m, ynaçe naßlas\
b¥ podhruppa Pm , u kotoroj beskoneçen CH ( Z ( Pm ) ) , a πto vleklo b¥ vklgçe-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1552 V.2Y.2SENAÍOV
nye tm ∈ NG ( Z ( Pm ) ) ≤ H , no tohda y gm ∈ H vopreky v¥boru πlementa g m .
Poπtomu budem sçytat\, ne narußaq obwnosty rassuΩdenyj, çto
P = P1 = P2 = … = Pn = …
y, znaçyt, v normalyzatore N G ( P ) soderΩytsq beskoneçno mnoho ynvolgcyj
t1 , t2 , … , tn , … . Beskoneçnost\ centralyzatora CV ( h ) y koneçnost\ hrupp¥ P
vleçet beskoneçnost\ pereseçenyq NG ( P ) ∩ V. Po uslovyqm teorem¥ NG ( P )
poçty slojno koneçen, znaçyt, na osnovanyy lemm¥ 1 y maksymal\nosty pod-
hrupp¥ V poluçaem NG ( P ) ≤ V. Otsgda t1 , t2 , … , tn , … ∈ V.
Poskol\ku kaΩdaq yz ynvolgcyj t1 , t2 , … , tn , … soprqΩena s i v G y pod-
hrupp¥ V y H soprqΩen¥, po uslovyqm lemm¥ ny odna yz ynvolgcyj tn , n =
= 1, 2, … , ne2popadaet v V \ R ( V ) , hde R ( V ) — slojno koneçn¥j radykal hrup-
p¥ V. Tohda vse ynvolgcyy t1 , t2 , … , tn , … ymegt beskoneçn¥e centraly-
zator¥ v V, y poluçaem protyvoreçye s lemmoj 4. Protyvoreçye oznaçaet, çto
CH ( h ) beskoneçen.
Lemma dokazana.
Nam ponadobytsq opredelenye: πlement naz¥vaetsq stroho vewestvenn¥m
otnosytel\no nekotoroj ynvolgcyy v hruppe, esly on soprqΩenyem s pomow\g
πtoj ynvolgcyy perevodytsq v obratn¥j.
Perejdem neposredstvenno k dokazatel\stvu teorem¥. Esly K = 〈 i 〉 , to H =
= CG ( i ) y sohlasno opredelenyg hrupp¥ K v R ( H ) suwestvuet tol\ko odna
ynvolgcyq. No tak kak koneçnaq p -hruppa s edynstvennoj podhruppoj porqdka
p qvlqetsq cyklyçeskoj yly obobwennoj hruppoj kvaternyonov [9], sylovskye
2-podhrupp¥ v R ( H ) — cyklyçeskye yly obobwenn¥e hrupp¥ kvaternyonov.
Pust\ K ≠ 〈 i 〉 . PredpoloΩym snaçala, çto H \ R ( H ) ne2soderΩyt ynvolg-
cyj, soprqΩenn¥x s i v G. Sohlasno lemme28 K — πlementarnaq abeleva pod-
hruppa çetvertoho porqdka. Tohda H ymeet πlement h neçetnoho prostoho
porqdka p , stroho vewestvenn¥j otnosytel\no ynvolgcyy t yz G \ H , soprq-
Ωennoj s i v G.
Hruppa CG ( h ) l 〈 t 〉 poçty slojno koneçna po uslovyg teorem¥. V CG ( h ) v¥-
berem sylovskug 2-podhruppu Q . Podhruppa Q koneçna vsledstvye lemm¥29.
Po2lemme Frattyny [10] moΩno sçytat\ Q t -ynvaryantnoj, t.2e. P = Q l 〈 t 〉 —
2-hruppa. PredpoloΩym, çto Q ymeet podhruppu R çetvertoho porqdka.
Sohlasno lemme29 P
c ≤ S, hde c — nekotor¥j πlement yz G.
Esly R
c — çetvernaq hruppa Klejna, to po teoreme 2 yz [7] v nej est\
ynvolgcyq r s beskoneçn¥m centralyzatorom v H . Tohda hc ∈ CG ( r ) ≤ H ,
krome toho, t
c ∈ H . Poskol\ku ynvolgcyy t
c, i soprqΩen¥ v G , v sylu pred-
poloΩenyq t
c ∈ K . Porqdok K raven çet¥rem y t
c ∈ K � H . V to Ωe vremq yz
strohoj vewestvennosty h otnosytel\no t ymeem t
c
hc
t
c = ( hc
)–1, çto nevoz-
moΩno, tak kak hc ∈ H .
Sledovatel\no, R
c
— cyklyçeskaq hruppa y hc ∈ G \ H . PokaΩem, çto y πto
nevozmoΩno. Dejstvytel\no, esly R
c ∩ K ≠ 1, to, yspol\zuq beskoneçnug yzo-
lyrovannost\ H , poluçaem protyvoreçye s tem, çto hc ∈ G \ H . Pust\ R
c ∩ K =
= 1 y v — ynvolgcyq yz R
c. Poskol\ku K — çetvernaq hruppa Klejna, nor-
mal\naq v H , to K < CG ( v ) y | CH ( v ) | < ∞ , y tohda poluçym protyvoreçye s
lemmoj 5.
Takym obrazom, v Q net podhrupp çetvertoho porqdka, sledovatel\no, Q —
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
O SYLOVSKYX PODHRUPPAX PERYODYÇESKYX HRUPP ÍUNKOVA 1553
podhruppa vtoroho porqdka. Esly b¥ p > 3, to K < CG ( h ) . Odnako, kak m¥
tol\ko çto zametyly, πto nevozmoΩno. Sledovatel\no, p = 3. Zametym, çto
h ∉ R ( H ) , tak kak v πtom sluçae NG ( h ) ∩ H b¥lo b¥ beskoneçn¥m y po
lemme21 t ∈ NG ( h ) ≤ H vopreky v¥boru t ∈ G \ H . Sohlasno lemme 7 vse ynvo-
lgcyy yz K soprqΩen¥ meΩdu soboj v H , y tak kak K — çetvernaq hruppa
Klejna, normal\naq v H , to
H / CH ( K ) =
b( ) ( )l v ,
hde | |b = 3, | |v = 2 y v vb b= −1. Na osnovanyy svojstv poçty slojno koneç-
n¥x hrupp y predstavlenyq faktor-hrupp¥ H / CH ( K ) ubeΩdaemsq, çto H
ymeet paru πlementov b , v takug, çto b — 3-πlement, v — 2-πlement, v–1
b v =
= b–1 y b CG ( K ) = b , v CG ( K ) = v .
DokaΩem, çto v — ynvolgcyq. Esly πto ne tak, to 〈 v 〉 ∩ CG ( K ) ymeet
ynvolgcyg x . Esly x ∉ K , to C H ( x ) koneçen, y poluçaem protyvoreçye s
lemmoj 5. Znaçyt, x ∈ K y x ∈ CG ( b ) , hde b — 3-πlement. Poskol\ku K —
hruppa Klejna, to K < CH ( b ) . Odnako obraz b πlementa b needynyçen v
H / CG ( K ) , sledovatel\no, | |v = 2.
Teper\ dokaΩem, to b ∈ R ( H ) . Sohlasno lemme27 najdetsq normal\naq
abeleva podhruppa L koneçnoho yndeksa v H , na kotoroj v dejstvuet stroho
vewestvenno, t. e.
v–1
d v = d
–1, d ∈ L , v–1
b v = b–1.
Dalee, b–1
d b ∈ L y b – 1
d
–1
b–1 = v–1
( b–1
d b ) v = b d
–1
b–1 yly d
– 1 =
= b–2
d
–1
b2, a tak kak b — πlement neçetnoho porqdka, to b ∈ 〈 b2
〉 < CG ( L ) ,
t.2e. πlement b ymeet centralyzator koneçnoho yndeksa v H , znaçyt, sam
πlement b prynadleΩyt R ( H ) .
Pust\ A — sylovskaq 3-podhruppa yz H , soderΩawaq πlement h . Poskol\-
ku H poçty slojno koneçna, to v sylu teorem S.2N.2Çernykova [1] y V.2P.2Íun-
kova [11] sylovskye 3-podhrupp¥ yz H soprqΩen¥ v H y, kak m¥ tol\ko çto
pokazaly, R ( H ) ymeet 3-πlement. Sledovatel\no, L = A ∩ R ( H ) ≠ 1 y L � A .
V Z ( A ) suwestvuet πlement s tret\eho porqdka, y tak kak h ∈ A , t o s ∈
∈ CG ( h ) . V¥berem v CG ( h ) nekotorug sylovskug 3-podhruppu Q , soderΩa-
wug πlement¥ h , s . Kak pokazano v¥ße, sylovskaq 2-podhruppa yz CG ( h )
moΩet b¥t\ tol\ko hruppoj porqdka dva. Otsgda y po teoreme Brauπra –
Sudzuky [12, 13] CG ( h ) = V l 〈 y 〉 , hde | y | ≤ 2. Oçevydno, V � M = CG ( h ) l 〈 t 〉 .
V NM ( Q ) najdetsq ynvolgcyq t1 , soprqΩennaq s t v M po lemme Frattyny
[10]. Esly b¥ t1 ∈ H , to, buduçy soprqΩennoj s i v G , ynvolgcyq t1 ∈ K po
predpoloΩenyg, a πto protyvoreçylo b¥ ravenstvam t h t1
1
1
− = h–1, | h | = 3 y
poçty rehulqrnosty h v H . Znaçyt, t1 ∉ H .
Rassmotrym pereseçenye D = Q ∩ H . Esly Q ne soderΩytsq v H , to na
osnovanyy svojstv nyl\potentn¥x hrupp NG ( D ) ≠ Q . Voz\mem πlement l yz
raznosty NG ( D ) \ D y rassmotrym pereseçenye H ∩ H
l. V neho popal πlement
prostoho porqdka s s beskoneçn¥m centralyzatorom v H . Sohlasno lemme211
on budet ymet\ beskoneçn¥j centralyzator y v H
l, no tohda H = H
l, l ∈ H, v
sylu lemm21 y 2. Znaçyt, naße predpoloΩenye neverno y Q soderΩytsq v H .
Povtorqq πto rassuΩdenye dlq ynvolgcyy t1 vmesto πlementa l y podhrupp¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1554 V.2Y.2SENAÍOV
Q vmesto D , poluçaem vklgçenye t1 ∈ H , çto protyvoreçyt dokazannomu
v¥ße. ∏to oznaçaet, çto K ne qvlqetsq çetvernoj hruppoj Klejna y H = CG ( i ) .
Takym obrazom, esly H \ R ( H ) ne soderΩyt ynvolgcyj, soprqΩenn¥x s i v
G, to H = CG ( i ) y sylovskye 2-podhrupp¥ v R ( H ) — cyklyçeskye yly obob-
wenn¥e hrupp¥ kvaternyonov. V¥ße pokazano, çto πto Ωe spravedlyvo, esly
predpoloΩyt\, çto | K | = 2.
Teper\ v¥qsnym kakoe stroenye moΩet ymet\ podhruppa S, esly predpola-
hat\, çto | K | = 2. Koneçnaq 2-hruppa, v kotoroj centralyzator nekotoroj
ynvolgcyy qvlqetsq çetvernoj hruppoj Klejna, — πto lybo hruppa dyπdra,
lybo poludyπdral\naq hruppa [14]. Esly CS ( j ) = 〈 i 〉 × 〈 j 〉 = R , to S — hruppa
dyπdra yly poludyπdral\naq hruppa.
Pust\ CS ( j ) ≠ R y j = g–1
i g , g ∈ G . Poskol\ku | CH ( j ) | < ∞ , to g ∈ G \ H y
H ≠ g–1
H g . Rassmotrym D = H ∩ g–1
H g ; V — sylovskaq 2-podhruppa yz D y
R < V < S ; P — sylovskaq 2-podhruppa yz H
g, soderΩawaq V. Po lemme25 vse
ynvolgcyy yz V soderΩatsq v R y R ≤ Z ( V ) . Sledovatel\no, R � NG ( V ) = L .
Esly V = S = P , to vsledstvye soprqΩennosty sylovskyx 2-podhrupp v H
poluçaem
g–1
h–1
S h g = S = P ,
hde h ∈ H , t.2e. c = h g ∈ NG ( S ) . ∏lement c ne2centralyzuet R , ynaçe c ∈
∈ CG ( i ) ≤ H , çto nevozmoΩno. Znaçyt, c ynducyruet v R netoΩdestvenn¥j av-
tomorfyzm tret\eho porqdka (v sylu toho, çto S — sylovskaq 2-podhruppa v G
y c ∉ S , πlement c ne2moΩet ynducyrovat\ v R avtomorfyzm porqdka dva).
Tohda S — lybo abeleva hruppa, lybo 2-hruppa Sudzuky 64-ho porqdka [7].
Pust\ teper\ V ≠ S, znaçyt, y V ≠ P. Yz normalyzatornoho uslovyq v S y P
sleduet, çto L = NG ( V ) /≤ H . Esly b¥ nekotor¥j πlement yz L ne ynducyroval
v R avtomorfyzm 3-ho porqdka, to ymelo b¥ mesto, kak y v¥ße, L < H , a πto
nevozmoΩno, tak kak N P ( V ) ≠ V y P ∩ H = V. Sledovatel\no, nekotor¥j
πlement yz L ynducyruet avtomorfyzm porqdka try v R y V — lybo abeleva
hruppa typa ( 2m
, 2m
) , lybo 2-hruppa Sudzuky porqdka 64 [7]. No CS ( j ) /< V y
CS ( j ) ≠ R , znaçyt, m > 1 y v V najdetsq πlement b takoj, çto b2 = j .
Oboznaçym çerez Q sylovskug 2-podhruppu yz R ( H ) y Q < S . V¥ße
pokazano, çto ona qvlqetsq lybo cyklyçeskoj, lybo obobwennoj hruppoj
kvaternyonov.
Pust\ snaçala Q — cyklyçeskaq. Sohlasno lemme27 ynvolgcyq j ynducy-
ruet v nekotoroj abelevoj normal\noj podhruppe L yz H avtomorfyzm,
perevodqwyj lgboj πlement v obratn¥j. Znaçyt, j CG ( L ) ∈ Z ( H / CG ( L ) ) y po
lemme28 X = Q l 〈 j 〉 � S y soderΩyt vse ynvolgcyy yz S. Rassmotrym W =
= Q l 〈 b 〉 . Poskol\ku | b | > 2 y Q — cyklyçeskaq, vsledstvye toho, çto v p -
hruppe vyda 〈 c 〉 l 〈 z 〉 , hde | z | > 2, vse πlement¥ porqdka p poroΩdagt
πlementarnug abelevu podhruppu porqdka p
2 [15], vse ynvolgcyy yz W soder-
Ωatsq v R . No X < W, sledovatel\no, vse ynvolgcyy yz S soderΩatsq v K .
Sohlasno predpoloΩenyg CS ( R ) = V ≠ S y po dokazannomu v¥ße NG ( R ) / CG ( R ) =
= 〈 〉 〈 〉d cl , hde | |d = 3, | |c = 2 y c d c−1 = d −1 y c — 2-πlement yz S, qv-
lqgwyjsq proobrazom c , d — 3-πlement yz NG ( R ) , qvlqgwyjsq proobrazom
πlementa d , pryçem c–1
d c = d
–1. No | R | = 4 y poslednee ravenstvo nevoz-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
O SYLOVSKYX PODHRUPPAX PERYODYÇESKYX HRUPP ÍUNKOVA 1555
moΩno, tak kak po dokazannomu v¥ße vse ynvolgcyy yz S soderΩatsq v R , a
πlement d ynducyruet v R avtomorfyzm 3-ho porqdka. Protyvoreçye oznaça-
et, çto esly Q — cyklyçeskaq hruppa, to CS ( R ) = V = S y S — lybo abeleva
hruppa typa ( 2m
, 2m
) , lybo 2-hruppa Sudzuky porqdka 64.
Pust\ teper\ Q — obobwennaq hruppa kvaternyonov. DokaΩem, çto V abe-
leva y | S : V | = 2. V¥berem v Q cyklyçeskug hruppu 〈 a 〉 naybol\ßeho
porqdka, normal\nug v S. Poskol\ku hruppa avtomorfyzmov cyklyçeskoj
hrupp¥ abeleva [10], faktor-hruppa S / CS ( a ) takΩe abeleva y, znaçyt, j 1 =
= c–1
j c = j h dlq lgboho c ∈ S, hde h ∈ CS ( a ) . Sohlasno lemme27 j , j1
ynducyrugt v nekotoroj abelevoj podhruppe L , normal\noj y koneçnoho
yndeksa v H , avtomorfyzm, perevodqwyj lgboj πlement v obratn¥j. ∏to
oznaçaet, çto h = j j1 ∈ R ( H ) y h ∈ CS ( a ) ∩ Q . A tak kak 〈 a 〉 = CS ( a ) ∩ Q , to
h ∈ 〈 a 〉 y T = 〈 a 〉 l 〈 j 〉 � S.
Dalee, T < M = 〈 a 〉 l 〈 b 〉 . Poskol\ku | b | > 2, snova vsledstvye toho, çto v
p -hruppe vyda 〈 c 〉 l 〈 z 〉 , hde | z | > 2, vse πlement¥ porqdka p poroΩdagt
πlementarnug abelevu podhruppu porqdka p
2 [15], vse ynvolgcyy yz M y yz
T, v çastnosty, soderΩatsq v R . No T � S, sledovatel\no, R � S. Tohda
CS ( R ) = V � S y | S : V | = 2. Kak dokazano, NG ( V ) soderΩyt 3-πlement d ,
ynducyrugwyj v R avtomorfyzm tret\eho porqdka, pryçem dlq nekotoroho t
yz S t
–1
d t = d
–1.
Esly | t | ≠ 2, to v 〈 t 〉 ∩ V soderΩytsq ynvolgcyq, centralyzugwaq d . No
tohda d ∈ CG ( R ) , a πto nevozmoΩno. Sledovatel\no, t — ynvolgcyq yz S y
t ∉ V . Takym obrazom, podhruppa V — lybo abeleva hruppa typa ( 2m
, 2m
) , lybo
2-hruppa Sudzuky porqdka 64. Podhruppa V ∩ Q � V qvlqetsq lybo cykly-
çeskoj porqdka ne men\ßeho çet¥rex, lybo obobwennoj hruppoj kvaternyonov.
No22-hruppa Sudzuky ne ymeet takyx podhrupp, znaçyt, V — abeleva hruppa
typa ( 2m
, 2m
) y S = 〈 b 〉 h 〈 t 〉 .
V¥qsnym teper\, kakoj moΩet b¥t\ podhruppa S v sluçae, kohda hruppa K
ymeet stroenye K = 〈 i 〉 × 〈 t 〉 y H \ R ( H ) soderΩyt ynvolgcyy, soprqΩenn¥e s
i v G. Sohlasno lemme25 R = 〈 i 〉 × 〈 j 〉 — maksymal\naq πlementarnaq abeleva
podhruppa v S y ynvolgcyq i qvlqetsq edynstvennoj yz R s beskoneçn¥m
centralyzatorom v H. Poskol\ku m¥ predpolahaem sejças, çto H \ R ( H ) so-
derΩyt ynvolgcyy, soprqΩenn¥e s i v G, y vse ynvolgcyy s beskoneçn¥my
centralyzatoramy v H soprqΩen¥ v H v sylu lemm¥27, budem sçytat\, ne2na-
rußaq obwnosty rassuΩdenyj, çto j = g–1
i g . Oboznaçym D = H ∩ H
g.
Zametym, çto j ∈ H ∩ H
g, pryçem CG ( j ) ≤ H
g. Otsgda sleduet, çto y ynvo-
lgcyq i ∈ CG ( j ) takΩe prynadleΩyt H
g, y tohda i ∈ H ∩ H
g. Pust\ V —
sylovskaq 2-podhruppa yz D , soderΩawaq R , pryçem i ∈ Z ( V ) . Oboznaçym
çerez P y Q sylovskye 2-podhrupp¥ yz H y H
g sootvetstvenno, pereseçenye
kotor¥x sovpadaet s V. Oçevydno, R ≤ Z ( V ) ( tak kak i ∈ Z ( V ) y j ∈ Z ( V
g
) , V,
V
g soprqΩen¥ v D, sledovatel\no, V
g = V
h dlq nekotoroho h ∈ H , i
h ≠ j y R
maksymal\na v V ) .
Poskol\ku K < P y t ∉ CG ( j ) , to V ≠ P, analohyçno V ≠ Q. Sledova-
tel\no, yz normalyzatornoho uslovyq v nyl\potentn¥x hruppax NG ( V ) ne2le-
Ωyt v H . Oçevydno, R � L = NG ( V ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1556 V.2Y.2SENAÍOV
Esly b¥ v L ne b¥lo πlementa, ynducyrugweho v R avtomorfyzm 3-ho
porqdka, to L = CL ( R ) ( d ) , hde d ∈ P < H y C L ( R ) < CG ( i ) ≤ H . Sledo-
vatel\no, L < H vopreky dokazannomu v¥ße. Znaçyt, v NG ( V ) est\ πlement,
ynducyrugwyj v R avtomorfyzm 3-ho porqdka. Esly b¥ V ymela πlement 4-ho
porqdka, to eho moΩno b¥lo b¥ v¥brat\ v V tak, çto b2 = j , a tak kak | K | = 4,
K � H , b ∈ H , to yz b2 = j sleduet t ∈ K < CG ( j ) vopreky dokazannomu v¥ße.
∏to protyvoreçye oznaçaet, çto R = V = CP ( j ) .
Esly v koneçnoj 2-hruppe centralyzator nekotoroj ynvolgcyy qvlqetsq
çetvernoj hruppoj Klejna, to πto lybo hruppa dyπdra, lybo poludyπdral\naq
hruppa [14], znaçyt P — hruppa dyπdra yly poludyπdral\naq hruppa y K � P .
Sledovatel\no, P — hruppa dyπdra 8-ho porqdka. Tohda vvydu soprqΩennosty
sylovskyx podhrupp v H takoj Ωe budet y S.
Teorema dokazana.
1. Çernykov4S.4N. K teoryy beskoneçn¥x p -hrupp // Dokl. AN SSSR. – 1945. – S.271 – 74.
2. Adqn4S.4Y. Problema Bernsajda y toΩdestva v hruppax. – M.: Nauka, 1975. – 3362s.
3. Ol\ßanskyj4A.4G. Heometryq opredelqgwyx sootnoßenyj v hruppe. – M.: Nauka, 1989. –
3002s.
4. Senaßov4V.4Y. Poçty slojnaq koneçnost\ peryodyçeskoj çasty hrupp¥ bez ynvolgcyj //
Dyskret. matematyka. – 2002. – 14, #24. – S.2133 – 152.
5. Senaßov4V.4Y. Dostatoçn¥e uslovyq poçty slojnoj koneçnosty hrupp¥ // Ukr. mat. Ωurn.
– 1999. – 51, #24. – S.2472 – 485.
6. Senaßov4V.4Y., Íunkov4V.4P. Poçty slojnaq koneçnost\ peryodyçeskoj çasty hrupp¥ bez
ynvolgcyj // Dyskret. matematyka. – 2003. – 15, #23. – S.291 – 104.
7. Íunkov4V.4P. O probleme mynymal\nosty dlq lokal\no koneçn¥x hrupp // Alhebra y
lohyka. – 1970. – 9, #22. – S.2220 – 248.
8. Íunkov4V.4P. O vloΩenyy prymarn¥x πlementov v hruppe. – Novosybyrsk: Nauka, 1992.
9. Xoll4M. Teoryq hrupp. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1962. – 4682s.
10. Kuroß4A.4H. Teoryq hrupp. – 3-e yzd. – M.: Nauka, 1967. – 6482s.
11. Íunkov4V.4P. O peryodyçeskyx hruppax s nekotor¥my uslovyqmy koneçnosty // Dokl.
AN2SSSR. – 1970. – 195, #26. – S.21290 – 1293.
12. Kegel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – Amsterdam; London: North-Holland Publ.
Co., 1973.
13. Hartley B. Finite groups of automorphisms of locally soluble groups // J. Algebra. – 1979. – 57,
# 1. – P. 242 – 257.
14. Gorenstein D. Finite groups. – New York: Harper and Row, 1968. – 527 p.
15. Malan\yna4H.4A. Poluprqm¥e proyzvedenyq cyklyçeskyx hrupp // Dokl. AN SSSR. – 1960.
– 132. – S.2762 – 765.
Poluçeno 31.03.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
|