Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції
Установлены достаточные условия сходимости свертки функции с дельтаподобным ядром к этой функции, которые используются для построения подпространств решений дифференциальных уравнений и их систем, изометрических пространствам действительных функций....
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165908 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції / Д.М. Бушев, Ю.I. Харкевич // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1461–1476. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165908 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1659082020-02-18T01:27:45Z Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції Бушев, Д.М. Харкевич, Ю.I. Статті Установлены достаточные условия сходимости свертки функции с дельтаподобным ядром к этой функции, которые используются для построения подпространств решений дифференциальных уравнений и их систем, изометрических пространствам действительных функций. We establish sufficient conditions for the convergence of the convolution of a function with delta-shaped kernel to this function. These conditions are used for the construction of the subspaces of solutions of differential equations and systems of these equations isometric to the spaces of real functions. 2015 Article Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції / Д.М. Бушев, Ю.I. Харкевич // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1461–1476. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165908 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бушев, Д.М. Харкевич, Ю.I. Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції Український математичний журнал |
| description |
Установлены достаточные условия сходимости свертки функции с дельтаподобным ядром к этой функции, которые используются для построения подпространств решений дифференциальных уравнений и их систем, изометрических пространствам действительных функций. |
| format |
Article |
| author |
Бушев, Д.М. Харкевич, Ю.I. |
| author_facet |
Бушев, Д.М. Харкевич, Ю.I. |
| author_sort |
Бушев, Д.М. |
| title |
Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції |
| title_short |
Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції |
| title_full |
Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції |
| title_fullStr |
Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції |
| title_full_unstemmed |
Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції |
| title_sort |
умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165908 |
| citation_txt |
Умови збіжності майже скрізь згортки функції з дельтаподібним ядром до цієї функції / Д.М. Бушев, Ю.I. Харкевич // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1461–1476. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT buševdm umovizbížnostímajžeskrízʹzgortkifunkcíízdelʹtapodíbnimâdromdocíêífunkcíí AT harkevičûi umovizbížnostímajžeskrízʹzgortkifunkcíízdelʹtapodíbnimâdromdocíêífunkcíí |
| first_indexed |
2025-07-14T20:21:39Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:21:39Z |
| _version_ |
1837655130256703488 |
| fulltext |
УДК 517.5
Д. М. Бушев, Ю. I. Харкевич (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
УМОВИ ЗБIЖНОСТI МАЙЖЕ СКРIЗЬ ЗГОРТКИ ФУНКЦIЇ
З ДЕЛЬТАПОДIБНИМ ЯДРОМ ДО ЦIЄЇ ФУНКЦIЇ
We establish sufficient conditions for the convergence of the convolution of a function with delta-shaped kernel to this
function. These conditions are used for the construction of the subspaces of solutions of differential equations and systems
of these equations isometric to the spaces of real functions.
Установлены достаточные условия сходимости свертки функции с дельтаподобным ядром к этой функции, которые
используются для построения подпространств решений дифференциальных уравнений и их систем, изометрических
пространствам действительных функций.
У статтi [1] побудовано простори функцiй вiд n + k змiнних, iзометричнi просторам дiйсних
функцiй, заданих на n-вимiрному евклiдовому просторi. У цiй роботi ми будемо використову-
вати позначення iз статтi [1], а саме, спiввiдношення пiд номером n iз [1] будемо позначати I.n.
Позначимо через L̂p, Lp простори функцiй, визначених на множинi дiйсних чисел, модулi
p-го степеня яких локально iнтегровнi й iнтегровнi на всiй дiйснiй осi з нормами
‖f‖
L̂p
= ‖f‖p̂ = sup
a∈E
a+2π∫
a
|f(x)|p
1/p
, ‖f‖p =
∞∫
−∞
|f(x)|p
1/p
,
L̃p — простори 2π-перiодичних функцiй з нормами
‖f‖p̃ =
π∫
−π
|f(x)|p
1/p
.
Якщо p = 1, то L̂1 = L̂ i L̃1 = L̃.
Нехай нерiвнiсть y > 0 означає, що всi координати вектора y(y1, . . . , yk) є невiд’ємними i
хоча б одна з них додатна.
Позначимо через L1Mk = LMk i L̃1Mk = L̃Mk простори функцiй вiд k + 1 змiнної з
нормами
‖f‖LMk
= sup
y(y1,...,yk)>0
∞∫
−∞
|f(x, y1, . . . , yk)|dx,
‖f‖L̃Mk
= sup
y>0
π∫
−π
|f(x, y1, . . . , yk)|dx,
Iyk(x) = I(x, y1, . . . , yk) ∈ LMk i K̃yk(x) = K̃(x, y1, . . . , yk) ∈ L̃Mk — такi дельтаподiбнi ядра,
що при кожному y > 0, a > 0 i 0 < ∆ < π справджуються рiвностi
∞∫
−∞
Iyk(x)dx = 1 =
π∫
−π
K̃yk(x)dx,
c© Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11 1461
1462 Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
lim
y→0̄+0
∫
E\[−a,a]
Iyk(x)dx = lim
y→0+0
∫
∆<|x|≤π
K̃yk(x)dx = 0.
Для побудови пiдпросторiв розв’язкiв диференцiальних рiвнянь i їх систем, iзометричних
просторам дiйсних функцiй, будуть необхiднi достатнi умови збiжностi майже скрiзь при y →
→ 0 + 0 функцiй (f ∗ Iym)(x) (див. I.6, I.10, I.13, I.15) до їх граничних значень f(x). Вiдомо
(див., наприклад, [2, с. 236 – 238]), що майже кожна точка x ∈ [a, b] сумовної на сегментi [a, b]
функцiї f(x) є її точкою Лебега, тобто точкою, для якої має мiсце рiвнiсть
lim
h→0
1
h
x+h∫
x
|f(t)− f(x)|dt = lim
h→0
1
h
h∫
0
|f(x+ t)− f(x)|dt = 0, (1)
i кожна точка неперервностi функцiї f(x) є її точкою Лебега. Тобто майже кожна точка x
функцiї f(x) ∈ L̂p (див. I.3) є її точкою Лебега, i з рiвностi (1) випливає, що(∀ε > 0)(∃η(x, ε) > 0) : sup
|h|<η(x,ε)
1
h
h∫
0
|f(x+ t)− f(x)|dt
< ε
. (2)
Достатнi умови збiжностi майже скрiзь згортки перiодичної функцiї f(x) ∈ L̃p (див. I.2) з
дельтаподiбними ядрами окремого вигляду встановлено, наприклад, у [3, с. 21]. Умови збiжно-
стi майже скрiзь згортки 2π-перiодичної функцiї f̃(x) ∈ L̃p (див. I.5) з дельтаподiбними ядрами
при деяких додаткових обмеженнях на ядро розглянуто в [4, с. 21].
У данiй роботi ми встановимо достатнi умови збiжностi майже скрiзь згортки функцiї
f(x) ∈ L̂p з дельтаподiбним ядром до функцiї f(x).
Теорема 1. Нехай Iyk(x) — дельтаподiбне ядро (див. I.9, I.10) i f ∈ L̂p, p ≥ 1. Якщо для
кожного η > 0 i y > 0 знайдеться незростаюча невiд’ємна на iнтервалi (0,+∞) функцiя
Φyk(|x|) = Φ(|x|, y1, . . . , yk) з простору LMk (див. I.7) така, що для кожного дiйсного x 6= 0
виконується нерiвнiсть
|Iyk(x)| ≤ Φyk(|x|) (3)
i
lim
y→0+0
∫
|x|>η
Φyk(|x|)dx = 0, (4)
то в кожнiй точцi Лебега функцiї f(x), а отже майже скрiзь, справджується рiвнiсть
lim
y→0+0
(f ∗ Iyk)(x) = f(x). (5)
Доведення. Нехай x — точка Лебега функцiї f(x) ∈ L̂p. Використовуючи (I.9) i (3), отриму-
ємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВИ ЗБIЖНОСТI МАЙЖЕ СКРIЗЬ ЗГОРТКИ ФУНКЦIЇ З ДЕЛЬТАПОДIБНИМ ЯДРОМ . . . 1463
|(f ∗ Iyk)(x)− f(x)| ≤
∞∫
−∞
|Iyk(x)||f(x− t)− f(x)|dt ≤
≤
η∫
−η
Φyk(|t|)|f(x− t)− f(x)|dt+ |f(x)|
∫
|t|>η
Φyk(|t|)dt+
∫
|t|>η
Φyk(|t|)|f(x− t)|dt, (6)
де для скорочення запису позначено η = η(x, ε). Вiдомо (див., наприклад, [2, с. 262, 263]), що
якщо функцiя f(t) сумовна на сегментi [a, b] i
µ(f) = sup
0<h≤b−a
1
h
∣∣∣∣∣∣
a+h∫
a
f(t)dt
∣∣∣∣∣∣
<∞, (7)
то для кожної невiд’ємної незростаючої сумовної на промiжку (a, b] функцiї g(t) маємо∣∣∣∣∣∣
b∫
a
f(t)g(t)dt
∣∣∣∣∣∣ ≤ µ(f)
b∫
a
g(t)dt. (8)
Покладемо f1(t) = |f(x + t) − f(x)| i f2(t) = |f(x − t) − f(x)|. Оскiльки на iнтервалi (0, η)
функцiя Φyk(t) задовольняє умови сформульованого вище твердження, то, використовуючи
спiввiдношення (7) i (8), означення норми у просторi LMk i замiну змiнних, отримуємо
η∫
0
Φyk(t)|f(x+ t)− f(x)|dt ≤ µ(f1)
η∫
0
Φyk(t)dt ≤
≤
∥∥∥Φyk
∥∥∥
LMk
sup
0<h≤η
1
h
h∫
0
|f(x+ t)− f(x)|dt
, (9)
0∫
−η
Φyk(|t|)|f(x+ t)− f(x)|dt =
η∫
0
Φyk(t)|f(x− t)− f(x)|dt ≤
≤ µ(f2)
η∫
0
Φyk(t)dt ≤
∥∥∥Φyk
∥∥∥
LMk
sup
0<|h|≤η
1
h
h∫
0
|f(x− t)− f(x)|dt
. (10)
З (2), (9) i (10) випливає, що в кожнiй точцi Лебега функцiї f(x) ∈ L̂p виконується нерiвнiсть
η∫
−η
Φyk(|t|)|f(x+ t)− f(x)|dt ≤ 2ε
∥∥∥Φyk
∥∥∥
LMk
. (11)
Якщо f ∈ L̂p, то при довiльному p ≥ 1, використовуючи нерiвнiсть Гельдера, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1464 Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
‖f‖
L̂
= sup
a∈E
a+2π∫
a
|f(t)|dt ≤ sup
a∈E
a+2π∫
a
|f(t)|pdt
1/p 2π∫
0
dt
1/q
= (2π)1/q‖f‖p̂, (12)
де
1
p
+
1
q
= 1, L̂p ⊆ L̂ i згiдно з (12)
∞∫
η
Φyk(t)|f(x− t)|dt =
∞∑
k=0
η+2π(k+1)∫
η+2πk
Φyk(t)|f(x− t)|dt ≤
≤
∞∑
k=0
max
t∈[η+2πk,η+2π(k+1)]
Φyk(t)
η+2π(k+1)∫
η+2πk
|f(x− t)|dt ≤
≤ ‖f‖
L̂
∞∑
k=0
max
t∈[η+2πk,η+2π(k+1)]
Φyk(t) ≤ (2π)1/q‖f‖p̂
∞∑
k=0
max
t∈[η+k,η+k+1]
Φyk(t). (13)
Оскiльки Φyk(|t|) є абсолютно iнтегровною, невiд’ємною i незростаючою на (0,+∞), то
limt→∞Φyk(t) = 0 i
∞∑
k=0
max
t∈[η+k,η+k+1]
Φyk(t) =
∞∑
k=0
min
t∈[η+k,η+k+1]
Φyk(t)+
+
∞∑
k=0
(
max
t∈[η+k,η+k+1]
Φyk(t)− min
t∈[η+k,η+k+1]
Φyk(t)
)
≤
∞∫
η
Φyk(t)dt+ Φyk(η), (14)
при 0 < η1 < η
∞∫
η1
Φyk(t)dt >
∞∫
η
Φyk(t)dt,
∞∫
η1
Φyk(t)dt > (η − η1)Φyk(η). (15)
Зi спiввiдношень (13) – (15) випливає, що для кожної функцiї f ∈ L̂p
∞∫
η
Φyk(t)|f(x− t)|dt < (2π)1/q‖f‖p̂
(
1 +
1
η − η1
) ∞∫
η1
Φyk(t)dt, (16)
де η > η1 > 0 i
1
p
+
1
q
= 1.
Аналогiчно доведемо, що
−η∫
−∞
Φyk(|t|)|f(x− t)|dt < (2π)1/q‖f‖p̂
(
1 +
1
η − η1
) ∞∫
η1
Φyk(t)dt. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВИ ЗБIЖНОСТI МАЙЖЕ СКРIЗЬ ЗГОРТКИ ФУНКЦIЇ З ДЕЛЬТАПОДIБНИМ ЯДРОМ . . . 1465
З (6), а також спiввiдношень (4), (11), (16), (17) випливає, що рiвнiсть (5) справджується в
кожнiй точцi Лебега функцiї f(x).
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що узагальненi дельтаподiбнi ядра Абеля – Пуассона (I.48), Гаусса – Вейєрштрас-
са (I.49) задовольняють умови теореми 1, оскiльки мажоруюча функцiя Φyk(|x|) збiгається з
цими ядрами.
Наслiдок 1. Нехай функцiї I(x) i ϕ(y) задовольняють умови леми 2 з [1], iснує невiд’ємна
незростаюча на iнтервалi (0,∞) функцiя Φ(|x|), iнтегровна на всiй дiйснiй осi i така, що для
кожного x 6= 0 виконується нерiвнiсть
|I(x)| ≤ Φ(|x|) (18)
i f(x) ∈ L̂p. Тодi функцiя Iϕ(y)(x) =
I
(
x
ϕ(y)
)
ϕ(y)
— дельтаподiбне ядро, i в кожнiй точцi Лебега
функцiї f(x), а отже майже скрiзь, має мiсце рiвнiсть (5).
Доведення. З (18) i iнтегровностi функцiї Φ(|x|) випливає, що функцiя I(|x|) є абсолютно
iнтегровною. Тому, згiдно з лемою 2 з [1], функцiя Iϕ(y)(x) — дельтаподiбне ядро. Доведемо,
що це ядро задовольняє умови теореми 1. З (18), враховуючи, що функцiя ϕ(y) додатна, маємо
|Iϕ(y)(x)| ≤
Φ
(
x
ϕ(y)
)
ϕ(y)
= Φϕ
y (|x|). (19)
Оскiльки функцiя ϕ(y) при кожному y > 0 додатна, а Φ(|x|) невiд’ємна i незростаюча на
iнтервалi (0,∞), то такою ж є i функцiя Φϕ
y (|x|). Використовуючи замiну змiнних, отримуємо
∞∫
η
Φϕ
y (|x|)dx =
∞∫
η
ϕ(y)
Φ(t)dt. (20)
Оскiльки limy→0+0 ϕ(y) = 0, то з (20), внаслiдок iнтегровностi функцiї Φ(t), випливає, що
limy→0+0
∫ ∞
η
Φϕ
y (|x|)dt = 0. Отже, ядро Iϕ(y)(x) задовольняє умови теореми 1, i в кожнiй
точцi Лебега функцiї f(x) ∈ L̂p, а значить майже скрiзь, має мiсце рiвнiсть (5).
Наслiдок 1 доведено.
Зауважимо, що теорема 1 для функцiї ϕ(y) = y i для функцiї f(x) ∈ Lp випливає з теореми
1.25 iз [3, с. 21]. Оскiльки для функцiй F (x) =
1
2π
sin
x
2
x
2
2
iснує невiд’ємна мажоруюча
функцiя Φ(|x|), яка задовольняє умови наслiдку 1, то для узагальнених дельтаподiбних ядер
Фейєра (I.50) в кожнiй точцi Лебега функцiї f(x) ∈ L̂p, згiдно з наслiдком 1, справджується
рiвнiсть (5).
Щоб використати теорему 1 або наслiдок 1, необхiдно для узагальненого ядра вмiти буду-
вати мажоранту, яка задовольняє умови теореми 1 або наслiдку 1. Встановимо достатнi умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1466 Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
збiжностi, коли ядро є косинус-перетворенням Фур’є деякої функцiї. Справедливим є таке
твердження.
Теорема 2. Нехай при кожному y > 0 функцiя ψyk(|u|) = ψ(|u|, y) = ψ(|u|, y1, . . . , yk)
опукла донизу на промiжку [0,∞), ψyk(0) = 1, limu→∞ ψyk(|u|) = 0, для кожного фiксованого
дiйсного числа u має мiсце рiвнiсть limy→0+0 ψ(|u|, y) = 1 i f(x) ∈ L̂p, p ≥ 1. Тодi для ядра
Ψyk(x) =
1
π
∫ ∞
0
ψ(u, y) cosuxdu в кожнiй точцi Лебега функцiї f(x), а отже майже скрiзь,
справджується рiвнiсть (5).
Доведення. Згiдно з теоремою 1, враховуючи парнiсть функцiї Ψyk(x), достатньо встано-
вити, що знайдеться невiд’ємна i незростаюча на промiжку (0,∞) функцiя Φyk(|x|) з простору
LMk така, що для довiльних y > 0 i x > 0 виконується нерiвнiсть Ψyk(x) ≤ Φyk(x), i при
довiльному η > 0
lim
y→0+0
∞∫
η
Φyk(x)dx = 0. (21)
Оскiльки при кожному y > 0 функцiя ψyk(u) опукла донизу на промiжку [0,+∞), то (див.,
наприклад, [2, с. 447]) при довiльному y > 0 i u > 0 справджується рiвнiсть
ψyk(u) = ψyk(0) +
u∫
0
ψ′t(t, y)dt (22)
i limu→∞ ψyk(u) = 0, а отже, функцiя ψyk(u) є незростаючою i обмеженою на цьому промiжку.
Оскiльки функцiя ψyk(u) опукла донизу на промiжку [0,+∞), то з рiвностi (22) випливає,
що функцiя ψyk(u) абсолютно неперервна на промiжку [0,+∞). Тому (див., наприклад, [2,
с. 229]) майже при всiх u ≥ 0
ψ′u(u, y) = ψ′u(u− 0, y) = ψ′u(u+ 0, y) ≤ 0. (23)
Iнтегруючи частинами, що можливо внаслiдок абсолютної неперервностi функцiї ψyk(u), i
використовуючи рiвностi limu→∞ ψyk(|u|) = 0, ψyk(0) = 1, маємо
Ψyk(x) =
1
π
∞∫
0
ψ(u, y) cosuxdu = − 1
πx
∞∫
0
ψ′u(u, y) sinuxdu. (24)
Оскiльки при кожному y > 0 функцiя ψyk(u) опукла донизу на промiжку [0,+∞), то з леми
6.1.2, встановленої в [5, с. 255], i спiввiдношення (23) випливає, що функцiя −ψ′u(u, y) при
кожному y > 0 є невiд’ємною i незростаючою на iнтервалi (0,+∞). Тому з (24) випливає, що
при x > 0
0 ≤ Ψyk(x) ≤ 1
πx
π/x∫
0
−ψ′u(u, y) sinuxdu =
1
πx2
π∫
0
−ψ′t
(
t
x
, y
)
sin tdt = Φyk(x). (25)
З нерiвностi (23) випливає, що при довiльному x > 0, y > 0 i 0 ≤ t ≤ π виконується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВИ ЗБIЖНОСТI МАЙЖЕ СКРIЗЬ ЗГОРТКИ ФУНКЦIЇ З ДЕЛЬТАПОДIБНИМ ЯДРОМ . . . 1467
−
(
ψ′t
(
t
x
, y
)
sin t
)
/x2 ≥ 0. (26)
З рiвностi (25), використовуючи змiну порядку iнтегрування, що можливо на пiдставi нерiв-
ностi (26) (див., наприклад, [2, с. 335]), замiну змiнних i рiвностi limx→∞ ψ
(
t
x
, y
)
= 1,
limx→0 ψ
(
t
x
, y
)
= 0, при довiльному y > 0 i η > 0 отримуємо
∞∫
0
Φyk(x)dx = − 1
π
π∫
0
∞∫
0
1
x2
ψ′t
(
t
x
, y
)
dx
sin tdt =
=
1
π
π∫
0
∞∫
0
1
t
ψ′x
(
t
x
, y
) d
(
t
x
)
sin tdt =
=
1
π
π∫
0
sin t
t
(
lim
x→∞
ψ
(
t
x
, y
)
− lim
x→0
ψ
(
t
x
, y
))
dt =
1
π
π∫
0
sin t
t
dt < 1, (27)
∞∫
η
Φyk(x)dx =
1
π
π∫
0
sin t
t
(
1− ψ
(
t
η
, y
))
dt. (28)
Iз (27) випливає, що функцiя Φyk(|x|) належить простору LMk. Оскiльки при довiльному y > 0
и 0 ≤ t ≤ π виконуються нерiвностi
0 ≤ sin t
t
(
1− ψ
(
t
η
, y
))
<
sin t
t
< 1, (29)
то з рiвностi (28), враховуючи спiввiдношення (29), рiвнiсть limy→0+0 ψ(|u|, y) = 1 i використо-
вуючи теорему Лебега про граничний перехiд пiд знаком iнтеграла (див., наприклад, [6, с. 284,
288]), одержуємо рiвнiсть (21).
Функцiї f(u, x, y) = ψ(u, y) cosux i f ′x(u, x, y) = −uψ(u, y) sinux при кожному y > 0
неперервнi на множинi [0,+∞)× [0,+∞), а функцiя a(x) =
π
x
є диференцiйовною на iнтервалi
(0,+∞) i a′(x) = − π
x2
. Тому згiдно з теоремою про диференцiювання по параметру iз змiнними
межами iнтегрування (див., наприклад, [7, с. 272]), функцiя Φyk(x) =
1
π
∫ π/x
0
ψ(u, y) cosuxdu
диференцiйовна за змiнною x на iнтервалi (0,+∞) i
(Φyk(x))′x =
1
π
− π/x∫
0
uψ(u, y) sinuxdu+
π
x2
ψ
(π
x
, y
) . (30)
Використовуючи замiну змiнних, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1468 Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
π/x∫
0
uψ(u, y) sinuxdu =
1
x2
π∫
0
tψ
(
t
x
, y
)
sin tdt. (31)
Оскiльки при кожному y > 0 функцiя ψyk(u) не зростає на [0,+∞), то при x > 0 i 0 ≤ t ≤ π
виконується нерiвнiсть
ψ
(
t
x
, y
)
≥ ψ
(π
x
, y
)
. (32)
Зi спiввiдношень (31) i (32) випливає, що при довiльному y > 0 i x > 0
π/x∫
0
uψ(u, y) sinuxdu ≥ ψ(π/x, y)
x2
π∫
0
t sin tdt =
πψ(π/x, y)
x2
, (33)
а з (30) i (33) — що (Φyk(x))′x ≤ 0. Тому при кожному y > 0 функцiя Φyk(u) не зростає
на iнтервалi (0,+∞). Отже, функцiя Φyk(|x|) належить простору LMk, є незростаючою i
невiд’ємною на iнтервалi (0,+∞), при довiльному y > 0 i x > 0 має мiсце нерiвнiсть Ψyk(x) ≤
≤ Φyk(x) i при довiльному η > 0 справедливою є рiвнiсть (21).
Теорему 2 доведено.
Наслiдок 2. Нехай f(x) ∈ L̂p, p ≥ 1,
ψyk(|u|) = ψ(|u|, y) = ayk(|u|)− byk(|u|) = a(|u|, y)− b(|u|, y), (34)
де при кожному y > 0 функцiї a(|u|, y) i b(|u|, y) опуклi донизу на промiжку [0,+∞),
lim
u→∞
a(|u|, y) = lim
u→∞
b(|u|, y) = 0, (35)
ψyk(0) = ayk(0)− byk(0) = 1, ayk(0) < K1 (36)
i для кожного дiйсного фiксованого числа u справджуються рiвностi
lim
y→0+0
a(|u|, y) = a(0, 0) lim
y→0+0
b(|u|, y) = b(0, 0). (37)
Тодi функцiя
Ψyk(u) = F−1(ψyk(|u|))(x) =
1
2π
∞∫
−∞
ψyk(|u|)e−iuxdu =
1
π
∞∫
0
ψyk(u) cosuxdu (38)
— дельтаподiбне ядро, i в кожнiй точцi Лебега функцiї f(x), а отже майже скрiзь, має мiсце
рiвнiсть (5).
Доведення. З рiвностей (34) i (38) випливає
Ψyk(x) =
1
2π
∞∫
−∞
a(|u|, y)e−iuxdu−
∞∫
−∞
b(|u|, y)e−iuxdu
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВИ ЗБIЖНОСТI МАЙЖЕ СКРIЗЬ ЗГОРТКИ ФУНКЦIЇ З ДЕЛЬТАПОДIБНИМ ЯДРОМ . . . 1469
=
1
π
∞∫
0
a(|u|, y) cosuxdu−
∞∫
0
b(|u|, y) cosuxdu
= Ayk(x)−Byk(x), (39)
|Ψyk(x)| ≤ |Ayk(x)|+ |Byk(x)|. (40)
Мiркуючи, як i при доведеннi теореми 1, встановимо, що функцiї Ayk(x) i Byk(x) невiд’ємнi,
iнтегровнi на всiй дiйснiй осi i неперервнi, за винятком, можливо, точки x = 0. Тодi з (40),
згiдно з формулами обернення (I.70), використовуючи (36), маємо
∞∫
−∞
|Ψyk(x)|dx ≤
∞∫
−∞
Ayk(x)dx+
∞∫
−∞
Byk(x)dx = a(0, y) + b(0, y) < 2K1 − 1, (41)
∞∫
−∞
Ψyk(x)dx = a(0, y)− b(0, y) = 1. (42)
При доведеннi рiвностi limy→0+0
∫
|x|>η
|Ψyk(x)|dx = 0 в наслiдку 6 з [1] використовувалась рiв-
нiсть limy→0+0 ψ(|u|, y) = ψ(|u|, 0) = 1. Мiркуючи аналогiчно i використовуючи рiвностi (37),
переконуємося, що для кожного η > 0 справджується рiвнiсть
lim
y→0+0
∫
|x|>η
|Ayk(x)|dx = lim
y→0+0
∫
|x|>η
|Byk(x)|dx = 0. (43)
Зi спiввiдношень (40) i (43) випливає, що для довiльного η > 0 має мiсце рiвнiсть
lim
y→0+0
∫
|x|>η
|Ψyk(x)|dx = 0, (44)
а з (41), (42) i (44) — що функцiя Ψyk(x) є дельтаподiбним ядром.
Для доведення рiвностi (5), згiдно з теоремою 1, враховуючи парнiсть функцiї Ψyk(x),
достатньо встановити, що знайдеться незростаюча невiд’ємна на (0,+∞) функцiя Φyk(x) з
простору LMk така, що для довiльних y > 0 i x > 0 має мiсце нерiвнiсть Ψyk(x) ≤ Φyk(x) i
при довiльному η > 0
lim
y→0+0
∞∫
η
Φyk(x)dx = 0. (45)
З (39) i (40), мiркуючи, як i при доведеннi леми 2, i використовуючи рiвнiсть (35), отримуємо,
що при y > 0, x > 0 i η > 0 мають мiсце спiввiдношення
|Ψyk(x)| ≤ − 1
πx
π/x∫
0
a′(u, y) sinuxdu+
π/x∫
0
b′(u, y) sinuxdu
= Φa
yk
(x) + Φb
yk
(x), (46)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1470 Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
де при кожному y > 0 функцiї Φa
yk
(x) i Φb
yk
(x) невiд’ємнi i незростаючi на (0,+∞), такi, що
∞∫
0
Φa
yk
(x)dx =
1
π
a(0, y)
π∫
0
sin t
t
dt < a(0, y),
∞∫
0
Φb
yk
(x)dx =
1
π
b(0, y)
π∫
0
sin t
t
dt < b(0, y),
(47)
∞∫
η
Φa
yk
(x)dx =
1
π
π∫
0
sin t
t
(
a(0, y)− a
(
t
η
, y
))
dt,
∞∫
η
Φb
yk
(x)dx =
1
π
π∫
0
sin t
t
(b
(
0, y)− b
(
t
η
, y
))
dt.
(48)
Зi спiввiдношень (36) i (47) випливає, що функцiї Φa
yk
(|x|) i Φb
yk
(|x|) належать простору LMk,
а з (37) i (48) — що
lim
y→0+0
∞∫
η
Φa
yk
(x)dx = lim
y→0+0
∞∫
η
Φb
yk
(x)dx = 0. (49)
Покладемо Φyk(x) = Φa
yk
(x) + Φb
yk
(x). Тодi з (46) i (49) випливає (45).
Наслiдок 2 доведено.
Можна довести, що невiд’ємне ядро Бесселя By(x) = F−1((1 + u2)−y/2)(x) =
1
π
∫ ∞
0
((1 +
+ u2)−y/2) cosuxdx (див., наприклад, [8, с. 395, 396]) задовольняє умови наслiдку 2.
Умови теореми 2 виконуються для функцiй ψyk(|x|), графiки яких при кожному фiксованому
y > 0 на промiжку [0,+∞) мають одну точку перегину. Справедливим є таке твердження.
Наслiдок 3. Нехай f(x) ∈ L̂p, p ≥ 1, функцiя ψ(|u|) опукла догори i незростаюча на
сегментi [0, c] i донизу на промiжку (c,+∞), точка P (c, ψ(c)) є точкою перегину графiка
функцiї ψ(|u|),
ψ(0) = 1, (50)
lim
u→∞
ψ(|u|) = 0, (51)
min{ψ′(c− 0), ψ′(c+ 0)} = K, (52)
а функцiя ϕ(y) додатна на множинi Π+
0,k = {y ∈ Ek : (y > 0)} (I.6) i
lim
y→0+0
ϕ(y) = 0. (53)
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВИ ЗБIЖНОСТI МАЙЖЕ СКРIЗЬ ЗГОРТКИ ФУНКЦIЇ З ДЕЛЬТАПОДIБНИМ ЯДРОМ . . . 1471
ψ(|u|) = a(|u|)− b(|u|), (54)
де
a(|u|) =
ψ(c) +K(|u| − c), 0 ≤ |u| ≤ c,
ψ(|u|), |u| ≥ c,
b(|u|) =
a(|u|)− ψ(|u|), 0 ≤ |u| ≤ c,
0, |u| ≥ c,
(55)
Ψ(x) =
1
2π
∞∫
−∞
ψ(|u|)e−iuxdu =
1
π
∞∫
0
ψ(u) cosuxdu =
=
1
π
∞∫
0
a(u) cosuxdu−
∞∫
0
b(u) cosuxdu
= A(x)−B(x), (56)
функцiї A(x) i B(x) невiд’ємнi i iнтегровнi на всiй числовiй осi,
∞∫
−∞
Ψ(x)dx = ψ(0) = 1, (57)
функцiя
Ψϕ(y)(x) =
1
ϕ(y)
Ψ
(
x
ϕ(y)
)
=
1
2π
∞∫
−∞
ψ(ϕ(y)|u|)e−iuxdu =
1
π
∞∫
0
ψ(ϕ(y)|u|) cosuxdu (58)
— дельтаподiбне ядро i в кожнiй точцi Лебега функцiї f(x), а отже майже скрiзь, має мiсце
рiвнiсть
lim
y→0+0
(f ∗Ψϕ(y))(x) = f(x). (59)
Доведення. Вiдомо (див., наприклад, [5, с. 255]), що кожна функцiя опукла догори (донизу)
на сегментi [a, b], має в кожнiй точцi iнтервалу (a, b) скiнченнi одностороннi похiднi, якi вiд-
повiдно не зростають (не спадають) на iнтервалi (a, b). Тому рiвнiсть (52) означає, що похiднi
ψ′(c−0) i ψ′(c+0) скiнченнi в точцi u = c. З рiвностей (52), (55) випливає, що на сегментi [0, c]
графiк функцiї a(u) збiгається з лiво- або правосторонньою дотичною, проведеною до графiка
ψ(u) в точцi P (c, ψ(c)), а на iнтервалi (c,+∞) — з графiком функцiї ψ(u). Оскiльки функцiя
ψ(u) опукла догори на сегментi [0, c] i донизу на промiжку (c,∞), то з рiвностей (54), (55)
випливає, що функцiї a(u) i b(u) опуклi донизу на промiжку [0,+∞) i згiдно з рiвностями (55)
lim
u→∞
a(u) = lim
u→∞
ψ(u) = lim
u→∞
b(u) = 0. (60)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1472 Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Отже (див., наприклад, [9, с. 167]), функцiї A(x) =
1
π
∫ ∞
0
a(u) cosuxdu i B(x) =
=
1
π
∫ ∞
0
b(u) cosuxdu iнтегровнi, невiд’ємнi на всiй дiйснiй осi, неперервнi, за винятком,
можливо, точки x = 0 i
∞∫
−∞
A(x)dx = a(0),
∞∫
−∞
B(x)dx = b(0). (61)
З рiвностей (50), (55), (56) i (61) випливає рiвнiсть (57) i внаслiдок невiд’ємностi функцiй
A(x) i B(x)
∞∫
−∞
|Ψ(x)|dx ≤
∞∫
−∞
|A(x)|dx+
∞∫
−∞
|B(x)|dx = a(0) + b(0) = 2(ψ(c)−Kc)− 1. (62)
З (57), (62), згiдно з лемою 2 з [1], випливає, що функцiя Ψϕ(y)(x) (I.60) — дельтаподiбне ядро.
З (50), (51), (54) i (55), враховуючи додатнiсть функцiї ϕ(y), при кожному y > 0 отримуємо
ψ(u, y) = ψ(ϕ(y)u) = a(ϕ(y)u)− b(ϕ(y)u), ψ(0, y) = a(ϕ(y)0)− b(ϕ(y)0) = ψ(0) = 1,
a(ϕ(y)0) = ψ(c)−Kc < K1, lim
u→∞
a(ϕ(y)u) = lim
u→∞
ψ(ϕ(y)u) = 0 = lim
u→∞
b(ϕ(y)u).
(63)
Використовуючи (53), (55) i неперервнiсть функцiй a(|u|) i b(|u|) на всiй дiйснiй осi, маємо
lim
y→0+0
a(ϕ(y)|u|) = a(0) = ψ(c)−Kc,
lim
y→0+0
b(ϕ(y)|u|) = b(0) = a(0)− ψ(0) = ψ(c)−Kc− 1.
(64)
Оскiльки функцiя ϕ(y) є додатною, а a(u) i b(u) опуклi донизу на промiжку [0,+∞),
то при кожному y > 0 функцiї a(ϕ(y)u) i b(ϕ(y)u) опуклi донизу на промiжку [0,+∞). Зi
спiввiдношень (63), (64) випливає, що функцiя ψ(|u|, y) задовольняє умови наслiдку 2.
Наслiдок 3 доведено.
Можна перевiрити, що функцiя ψα(u) = e−|u|
α
, α > 1, задовольняє умови наслiдку 3. Тому
дельтаподiбнi узагальненi ядра Гаусса – Вейєрштрасса (I.39) i
Ψα
ϕ(y)(x) =
1
(ϕ(y))1/α
Ψα
(
x
(ϕ(y))1/α
)
=
1
π
∞∫
0
e−ϕ(y)uα cosuxdu (65)
задовольняють умови цього наслiдку, а при 0 < α ≤ 1 ядро (65) задовольняє умови теореми 2.
Далi встановимо достатнi умови збiжностi для ядра, яке є згорткою дельтаподiбних ядер.
Якщо рiвнiсть (5) має мiсце для кожного дельтаподiбного ядра (Iiyi)(x) = (Ii)yi(x), i = 1, n),
то ця рiвнiсть справджується i для згортки цих ядер.
Теорема 3. Нехай дельтаподiбнi ядра (Ii)yi(x), i = 1, n, задовольняють умови теореми 1 i
f ∈ L̂p, p ≥ 1. Тодi в кожнiй точцi Лебега функцiї f(x), а отже майже скрiзь, справджується
рiвнiсть
lim
y→0+0
(((I1)y1 ∗ . . . ∗ (In)yn) ∗ f)(x) = f(x). (66)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВИ ЗБIЖНОСТI МАЙЖЕ СКРIЗЬ ЗГОРТКИ ФУНКЦIЇ З ДЕЛЬТАПОДIБНИМ ЯДРОМ . . . 1473
Доведення. Згiдно з наслiдком 3 з [1], функцiя Iyn(x) = ((I1)y1 ∗ . . . ∗ (In)yn(x) — дельта-
подiбне ядро. Покажемо, що для кожного η > 0 i y > 0 знайдеться незростаюча невiд’ємна
на iнтервалi (0,+∞) функцiя Φyn(|x|) з простору LMn така, що для кожного дiйсного x 6= 0
виконується нерiвнiсть
|Iyn(x)| ≤ Φyn(|x|), (67)
lim
y→0+0
∫
|x|>η
Φyn(|x|)dx = 0. (68)
Тодi, згiдно з теоремою 1, має мiсце рiвнiсть (66).
Для спрощення запису доведення будемо проводити при n = 2. Оскiльки ядра (Ii)yi(x),
i = 1, 2, задовольняють умови теореми 1, то iснують незростаючi невiд’ємнi на iнтервалi
(0,+∞) функцiї (Φi)yi(|x|), i = 1, 2, з простору LM1 такi, що для кожного дiйсного x 6= 0
мають мiсце спiввiдношення
|(Ii)yi(x)| ≤ (Φi)yi(|x|), (69)
lim
y→0+0
∫
|x|>η
(Φi)yi(|x|)dx = 0, (70)
де η — довiльне додатне число.
Доведемо, що функцiя Φy2(|x|) = ((Φ1)y1 ∗ (Φ2)y2)(|x|) =
∫ ∞
−∞
(Φ1)y1(|t|)(Φ2)y2(|x − t|)dt
задовольняє спiвiдношення (67) i (68). Оскiльки згортка невiд’ємних i iнтегровних функцiй є
невiд’ємною й iнтегровною функцiєю, то функцiя Φy2(|x|) iнтегровна i невiд’ємна на iнтервалi
(0,+∞). Використовуючи нерiвностi (69), маємо
|Iy2(x)| ≤ (|(I1)y1 |) ∗ (|(I2)y2 |)(x) ≤ ((Φ1)y1 ∗ (Φ2)y2)(|x|) = Φy2(|x|),
тобто виконується нерiвнiсть (67). Нехай x2 ≥ x1 > 0. Використовуючи замiну змiнних i
враховуючи, що функцiя
f(x1, y1, x2, y2, u) = (Φ2)y2(|(x2 − x1)/2− u|)− (Φ2)y2(|(x2 − x1)/2 + u|)
непарна по змiннiй u, отримуємо
Φy2(x2)− Φy2(x1) =
∞∫
−∞
(Φ1)y1(|t|)
(
(Φ2)y2(|x2 − t|)− (Φ2)y2(|x1 − t|)
)
dt =
=
∞∫
−∞
(Φ1)y1(|(x1 + x2)/2 + u|)
(
(Φ2)y2(|(x2 − x1)/2− u|)− (Φ2)y2(|(x2 − x1)/2 + u|)
)
du =
=
∞∫
0
(
(Φ1)y1(|(x1 + x2)/2 + u|)− (Φ1)y1(|(x1 + x2)/2− u|)
)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1474 Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
×
(
(Φ2)y2(|(x2 − x1)/2− u|)− (Φ2)y2(|(x2 − x1)/2 + u|)
)
du. (71)
Оскiльки функцiї (Φi)yi(|x|) не зростають на (0,+∞), то з (71) випливає, що при y1 > 0, y2 > 0
и x2 ≥ x1 > 0 виконується нерiвнiсть Φy2(x2)−Φy2(x1) ≤ 0, тобто функцiя Φy2(|x|) не зростає
на (0,+∞). Доведення рiвностi (68) аналогiчне доведенню (54) в лемi 3 з [1].
Теорему 3 доведено.
Якщо Ψym(x) — дельтаподiбне ядро (24), то Ψ̃ym(x) =
∑
k∈Z
Ψym(x)(x − 2πk) — його
2π-перiодичний аналог (I.91), який, згiдно з лемою 9 з [1], є парним дельтаподiбним ядром i,
згiдно з (I.55, I.69, I.72, I.87, I.91), має ряд Фур’є
1
2π
∞∑
k=−∞
Ψym(|k|)eikx =
1
π
(
1
2
+
∞∑
k=1
Ψym(k) cos kx
)
∼ Ψ̃ym(x). (72)
Тодi, згiдно з рiвностями (I.48, I.49, (65)),
P̃ϕ(y)(x) ∼ 1
2π
∞∑
k=−∞
e−ϕ(y)|k|e−ikx =
1
π
(
1
2
+
∞∑
k=1
e−ϕ(y)k cos kx
)
, (73)
W̃ϕ(y)(x) ∼ 1
2π
∞∑
k=−∞
e−ϕ(y)k2e−ikx =
1
π
(
1
2
+
∞∑
k=1
e−ϕ(y)k2 cos kx
)
, (74)
Ψ̃α
ϕ(y)(x) ∼ 1
2π
∞∑
k=−∞
e−ϕ(y)|k|αe−ikx =
1
π
(
1
2
+
∞∑
k=1
e−ϕ(y)kα cos kx
)
(75)
— ряди Фур’є дельтаподiбних аналогiв ядер Абеля – Пуассона, Гаусса – Вейєрштрасса i Ψα
ϕ(y)(x)
(65). Оскiльки при кожному y > 0 ряди
∑∞
k=1
e−yk,
∑∞
k=1
e−yk
2
,
∑∞
k=1
e−yk
α
збiгаються абсо-
лютно, то за теоремою Вейєрштрасса ряди Фур’є (73) – (75) збiгаються абсолютно i рiвномiрно
i справджуються рiвностi
P̃y(x) =
1
2π
∞∑
k=−∞
e−y|k|e−ikx =
1
π
(
1
2
+
∞∑
k=1
e−yk cos kx
)
, (76)
W̃y(x) =
1
2π
∞∑
k=−∞
e−yk
2
e−ikx =
1
π
(
1
2
+
∞∑
k=1
e−yk
2
cos kx
)
, (77)
Ψ̃α
y (x) =
1
2π
∞∑
k=−∞
e−y|k|
α
e−ikx =
1
π
(
1
2
+
∞∑
k=1
e−yk
α
cos kx
)
. (78)
Згортка перiодичної функцiї з неперiодичним ядром майже скрiзь збiгається зi згорткою цiєї
функцiї з перiодичним аналогом ядра. Справедливим є таке твердження.
Теорема 4. Нехай f̃ ∈ L̃p, I(x) ∈ L и Ĩ(x) — 2π-перiодичний аналог функцiї I(x). Тодi в
кожнiй точцi Лебега функцiї f(x), а отже майже скрiзь, справджується рiвнiсть
(f̃ ∗ I)(x) = (f̃ ∗ Ĩ)(x). (79)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
УМОВИ ЗБIЖНОСТI МАЙЖЕ СКРIЗЬ ЗГОРТКИ ФУНКЦIЇ З ДЕЛЬТАПОДIБНИМ ЯДРОМ . . . 1475
Доведення. Якщо f(x) сумовна на сегментi [a, b], то (див., наприклад, [2, с. 234, 237])
похiдна вiд її невизначеного iнтеграла Лебега Φ(x) =
∫ x
a
f(t)dt майже скрiзь рiвна f(x), тобто
майже скрiзь x∫
a
f(t)dt
′
x
= f(x), (80)
i множина точок Лебега функцiї f(x) мiститься у множинi точок, для яких має мiсце рiв-
нiсть (80).
Нехай функцiї f̃ i g̃ належать простору L̃p ⊆ L̃ i всi їх коефiцiєнти Фур’є рiвнi, тобто
для кожного k ∈ Z : ck(f̃) =
1
2π
∫ π
−π
f̃(x)e−ikxdx = ck(g̃). Тодi (див., наприклад, [10, с. 64,
66]) у кожнiй точцi x, в якiй має мiсце (80), а отже i в кожнiй точцi Лебега функцiї f̃(x),
справджується рiвнiсть
f̃(x) = g̃(x). (81)
Згортка (f̃ ∗ I)(x) =
∫ ∞
−∞
f̃(x− t)I(t)dt є 2π-перiодичною функцiєю. Знайдемо її коефiцiєнти
Фур’є
ck(f̃ ∗ I) =
1
2π
π∫
−π
(f̃ ∗ I)(x)e−ikxdx =
1
2π
π∫
−π
∞∫
−∞
f̃(x− t)I(t)e−ikxdt
dx. (82)
Оскiльки функцiя f̃(x) ∈ L̃p ⊆ L̃, а функцiя I(t) є абсолютно iнтегровною на всiй дiйснiй
осi, то функцiя |f̃(x− t)I(t)e−ikx| абсолютно iнтегровна на множинi [0, 2π]× (−∞,∞). Тому,
використовуючи теорему Фубiнi про змiну порядку iнтегрування, з рiвностi (82) отримуємо
ck(f̃ ∗ I) =
π∫
−π
I(t)
1
2π
∞∫
−∞
f̃(x− t)e−ikxdt
dx = ck(f̃)
∞∫
−∞
I(t)e−iktdt = 2πck(f̃)F−1(I)(k).
(83)
З рiвностi (83) випливає, що
2π
∞∑
−∞
ck(f̃)F−1(I)(k)eikx ∼ (f̃ ∗ I)(x) (84)
— ряд Фур’є функцiї (f̃ ∗ I)(x). На пiдставi рiвностi (I.87)
∑∞
−∞
F−1(I)(k)eikx ∼ Ĩ(x) — ряд
Фур’є функцiї Ĩ(x). Тому (див., наприклад, [11, с. 66])
2π
∞∑
−∞
ck(f̃)F−1(I)(k)eikx ∼ (f̃ ∗ Ĩ)(x) (85)
— ряд Фур’є функцiї (f̃ ∗ Ĩ)(x). Зi спiввiдношень (85), (84) випливає, що ряди Фур’є функцiй
(f̃ ∗I)(x) i (f̃ ∗ Ĩ)(x) збiгаються. Отже, на пiдставi рiвностей (81) у кожнiй точцi Лебега функцiї
f̃(x), а отже майже скрiзь, справджується рiвнiсть (79).
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1476 Д. М. БУШЕВ, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Зауважимо, що теорема 4 при деяких додаткових обмеженнях на функцiю I(x) розглядалась
в [4, с.21].
Наслiдок 4. Якщо дельтаподiбне ядро Iyk(x) задовольняє умови теореми 1 i f̃(x) ∈ L̃p,
p ≥ 1, то в кожнiй точцi Лебега функцiї f̃(x), а отже майже скрiзь, справджується рiвнiсть
lim
y→0+0
(Ĩyk ∗ f̃)(x) = f̃(x), (86)
де Ĩyk(x) — 2π-перiодичний аналог Iyk(x).
Доведення. Оскiльки L̃p ⊆ L̂p, то кожна функцiя f̃ з простору L̃p належить простору L̂p.
Згiдно з теоремою 1, у кожнiй точцi Лебега функцiї f̃(x), а отже майже скрiзь, має мiсце
рiвнiсть
lim
y→0+0
(Iyk ∗ f̃)(x) = f̃(x). (87)
З рiвностi (87), згiдно з теоремою 4, випливає рiвнiсть (86).
Наслiдок 4 доведено.
1. Бушев Д. М. Iзометричнiсть функцiональних просторiв з рiзним числом змiнних // Укр. мат. журн. – 1998. –
50, № 8. – С. 1027 – 1045.
2. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974. – 480 с.
3. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах: Пер. с англ. – М.: Мир,
1974. – 333 с.
4. Степанец А. И. Скорость сходимости рядов Фурье на класах сверток. – Киев, 1996. – 70 с. – (Препринт НАН
Украины. Ин-т математики; № 96.11).
5. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М: Наука, 1972. –
496 с.
7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1980. – Ч. II. – 447 с.
8. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложе-
ния. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
9. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 480 с.
10. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.
11. Эдварс Р. Ряды Фурье в современном приложении: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – Т. 1. – 260 с.
Одержано 05.09.14,
пiсля доопрацювання — 03.09.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|