Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью
Знайдено точні за порядком оцінки колмогоровських поперечників та ентропійних чисел для аналогів класів Hiкольського - Бєсова з логарифмічною гладкістю.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165918 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью / С.А. Стасюк.// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1579–1584. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165918 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1659182020-02-22T13:17:28Z Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью Стасюк, С.А. Короткі повідомлення Знайдено точні за порядком оцінки колмогоровських поперечників та ентропійних чисел для аналогів класів Hiкольського - Бєсова з логарифмічною гладкістю. We establish the exact-order estimates of Kolmogorov widths and entropy numbers for analogs of the Nikol’skii–Besov classes with logarithmic smoothness. 2015 Article Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью / С.А. Стасюк.// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1579–1584. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165918 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Стасюк, С.А. Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью Український математичний журнал |
| description |
Знайдено точні за порядком оцінки колмогоровських поперечників та ентропійних чисел для аналогів класів Hiкольського - Бєсова з логарифмічною гладкістю. |
| format |
Article |
| author |
Стасюк, С.А. |
| author_facet |
Стасюк, С.А. |
| author_sort |
Стасюк, С.А. |
| title |
Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью |
| title_short |
Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью |
| title_full |
Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью |
| title_fullStr |
Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью |
| title_full_unstemmed |
Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью |
| title_sort |
колмогоровские поперечники аналогов классов никольского – бесова с логарифмической гладкостью |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165918 |
| citation_txt |
Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью / С.А. Стасюк.// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1579–1584. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT stasûksa kolmogorovskiepoperečnikianalogovklassovnikolʹskogobesovaslogarifmičeskojgladkostʹû |
| first_indexed |
2025-07-14T20:22:45Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:22:45Z |
| _version_ |
1837655199402950656 |
| fulltext |
УДК 517.5
С. А. Стасюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ
НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ГЛАДКОСТЬЮ*
We establish the exact-order estimates of Kolmogorov widths and entropy numbers for the analogs of the Nikol’skii – Besov
classes with logarithmic smoothness.
Знайдено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечникiв та ентропiйних чисел для аналогiв класiв Нi-
кольського – Бєсова з логарифмiчною гладкiстю.
Пусть Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, — пространство Лебега 2π-периодических функций f(x), x ∈ [0, 2π], со
стандартной нормой || · ||q. Для r > 0, 1 < p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ обозначим
B0,r
p,θ := {f ∈ Lp : ||f ||
B0,r
p,θ
≤ 1}, (1)
где
||f ||
B0,r
p,θ
:=
( ∞∑
s=0
((s+ 1)r||δs(f)||p)θ
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞, (2)
||f ||
B0,r
p,∞
:= sup
s≥0
||δs(f)||p
(s+ 1)−r
, θ =∞, (3)
а δs(f) :=
∑
[2s−1]≤|k|<2s
f̂(k)eikx, f̂(k) := (2π)−1
∫ 2π
0
f(x)e−ikxdx. Классы B0,r
p,θ мы называем
аналогами классов Никольского – Бесова с логарифмической гладкостью. В случае θ = ∞
вместо B0,r
p,∞ иногда будем писать H0,r
p , т. е. будем полагать B0,r
p,∞ ≡ H0,r
p .
Заметим, что для классов LGr, которые можно отождествить с классамиH0,r
∞ , в [1] установ-
лены точные по порядку оценки поперечников по Колмогорову и энтропийных чисел. Классы,
определяемые с помощью (1) – (3), изучались также в работах [2, 3], с точки зрения установле-
ния порядковых оценок некоторых аппроксимативных характеристик этих классов, а в работе
[4], с точки зрения вложения в некоторые пространства гладких функций.
Приведем определение исследуемых в данной работе аппроксимативных характеристик.
Пусть K — компакт в банаховом пространстве X с единичным шаром BX . Величины
dm(K, X) := inf
{vj}mj=1⊂X
sup
f∈K
inf
cj
∥∥∥∥f − m∑
j=1
cjvj
∥∥∥∥
X
, (4)
εm(K, X) := inf
{
ε: ∃{uj}nj=1 ⊂ X,n ≤ 2m−1,K ⊂
n⋃
j=1
{uj + εBX}
}
, m = 1, 2, . . . , (5)
* Выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (проект
№ GP/F32/0100) и FP7-People-2011-IRSES (проект № 295164 (EUMLS: EU-Ukrainian Mathematicians for Life
Sciences)).
c© С. А. СТАСЮК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11 1579
1580 С. А. СТАСЮК
называются соответственно m-м поперечником по Колмогорову и m-м энтропийным числом
множества K в пространстве X. С результатами исследования величин (4) и (5) можно ознако-
миться, например, в [5 – 8], где приведена обширная библиография.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема A [1]. Для r > 1 справедливы соотношения
dm(LGr, Lq) � εm(LGr, Lq) �
(log2m)−r+1, если q =∞,
(log2m)−r+1/2, если 1 ≤ q <∞.
(6)
Теорема 1. Пусть 1 ≤ θ <∞, r > 1− 1
θ
, тогда
dm(B0,r
∞,θ, L∞) � εm(B0,r
∞,θ, L∞) � (log2m)−r+1− 1
θ . (7)
Теорема 2. Пусть 1 ≤ q <∞, r > 1
2
− 1
θ
, тогда для max{q; 2} ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ θ <∞ или
max{q; 2} ≤ p <∞, θ =∞ имеют место порядковые равенства
dm(B0,r
p,θ , Lq) � εm(B0,r
p,θ , Lq) � (log2m)−r+
1
2
− 1
θ . (8)
Сравнивая приведенные выше теоремы, видим, что теоремы 1 и 2 дополняют результат
теоремы A в том смысле, что помимо введения и рассмотрения дополнительных параметров p
и θ также удалось расширить область изменения параметра r.
Заметим, что условия r >
(
1
2
− 1
θ
)
+
:= max
{
0;
1
2
− 1
θ
}
и r > 1 − 1
θ
обеспечивают
вложение B0,r
p,θ ⊂ Lq при 1 ≤ q < ∞, q ≤ p, 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ и q = p = ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞
соответственно. Этот факт следует из доказательства оценок сверху в теоремах 1 и 2 с помощью
применения неравенства Гельдера и соотношения (см., например, [6] (введение, § 3), [7] (гл. § I,
§ 1.1)) ∥∥∥∥∥∥
( ∞∑
s=0
|δs(f)|2
)1/2
∥∥∥∥∥∥
p
�
( ∞∑
s=0
||δs(f)||2p
)1/2
, 2 ≤ p <∞, (9)
для f ∈ Lp. Соотношение (9) является следствием теоремы Литтлвуда – Пэли.
Основные пункты доказательства теорем 1 и 2 включают оценки сверху для dm(B0,r
p,θ , Lq),
оценки снизу для εm(B0,r
p,θ , Lq) с последующим применением леммы, вытекающей из одного
неравенства Карла (см., например, [1]).
Лемма A. Пусть A — компакт в сепарабельном банаховом пространстве X. Предполо-
жим, что для пары чисел (a, b), где либо a > 0, b ∈ R, либо a = 0, b < 0, выполнены
соотношения
dm(A,X)� m−a(log2m)b,
εm(A,X)� m−a(log2m)b.
Тогда
dm(A,X) � εm(A,X) � m−a(log2m)b.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 1581
Доказательство теорем 1 и 2. Нижеприведенная схема рассуждений аналогична приме-
няемой в [1] при доказательстве теоремы A.
Установим сначала оценки сверху для dm(B0,r
p,θ , Lq). С этой целью рассмотрим при m = 2n
приближение функций f ∈ B0,r
p,θ суммами Фурье S2n(f) =
∑n
s=0
δs(f).
При p = q = ∞, 1 < θ < ∞, r > 1 − 1
θ
вследствие применения неравенства Гельдера
получаем
||f − S2n(f)||∞ =
∥∥∥∥∥∑
s>n
δs(f)
∥∥∥∥∥
∞
≤
∑
s>n
(s+ 1)−r||δs(f)||∞(s+ 1)r ≤
≤
(∑
s>n
(s+ 1)−rθ
′
) 1
θ′
(∑
s>n
((s+ 1)r||δs(f)||∞)θ
)1/θ
� n−r+1− 1
θ ||f ||
B0,r
∞,θ
≤
≤ n−r+1− 1
θ � (log2m)−r+1− 1
θ . (10)
Если же p = q =∞, θ = 1, r > 0, то
||f − S2n(f)||∞ ≤
∑
s>n
(s+ 1)−r||δs(f)||∞(s+ 1)r <
< n−r
∑
s>n
(s+ 1)r||δs(f)||∞ ≤ n−r||f ||B0,r
∞,1
≤ n−r � (log2m)−r. (11)
Пусть теперь 2 ≤ q <∞, 2 < θ <∞, r > 1
2
− 1
θ
. Применяя следствие теоремы Литтлвуда –
Пэли (9) и неравенство Гельдера, имеем
||f − S2n(f)||q �
(∑
s>n
||δs(f)||2q
)1/2
≤
(∑
s>n
(s+ 1)−2r(||δs(f)||p (s+ 1)r)2
)1/2
≤
≤
(∑
s>n
(s+ 1)−
2rθ
θ−2
) 1
2
− 1
θ
(∑
s>n
((s+ 1)r||δs(f)||p)θ
)1/θ
�
� n−r+
1
2
− 1
θ ||f ||
B0,r
p,θ
≤ n−r+
1
2
− 1
θ � (log2m)−r+
1
2
− 1
θ . (12)
Если же q ≥ 2, θ = 2, r > 0, то
||f − S2n(f)||q �
(∑
s>n
(s+ 1)−2r(||δs(f)||p (s+ 1)r)2
)1/2
<
< n−r
(∑
s>n
((s+ 1)r||δs(f)||p)2
)1/2
≤ n−r||f ||
B0,r
p,2
� (log2m)−r+
1
2
− 1
θ . (13)
В случае же 2 ≤ q <∞, θ =∞, r > 1
2
получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1582 С. А. СТАСЮК
||f − S2n(f)||q �
(∑
s>n
(s+ 1)−2r(||δs(f)||p (s+ 1)r)2
)1/2
≤
≤
(∑
s>n
(s+ 1)−2r
)1/2
sup
s>n
((s+ 1)r||δs(f)||p)�
� n−r+
1
2 ||f ||
H0,r
p
� n−r+
1
2 � (log2m)−r+
1
2 . (14)
При 1 ≤ q < 2 ≤ θ ≤ ∞, r > 1
2
− 1
θ
, учитывая || · ||q ≤ || · ||2 и (12) – (14), имеем
dm(B0,r
p,θ , Lq) ≤ dm(B0,r
p,θ , L2)� (log2m)−r+
1
2
− 1
θ . (15)
Таким образом, оценки сверху в (7), (8) для dm(B0,r
p,θ , Lq), вследствие (10) – (15), уста-
новлены.
Докажем теперь оценки снизу в (7) и (8) для εm(B0,r
p,θ , Lq).
Базовыми при доказательстве этих оценок являются следующие утверждения из [1].
Предварительно для любого множества Λ ⊂ Z через T (Λ) обозначим множество тригоно-
метрических полиномов вида
t(x) =
∑
k∈Λ
cke
ikx
и для случая, когда множество Λ ⊂ Z симметрично относительно начала координат (Λ = −Λ),
положим
Tr(Λ) =
{
t(x) =
∑
k∈Λ
cke
ikx : ck = c−k, k ∈ Λ
}
(для Λ = −Λ иногда будем использовать обозначение Tr(Λ
⋂
Z+) вместо Tr(Λ)).
Теорема B [1]. Для любого полинома вида
f =
2l∑
k=l+1
pk(x) cos 4kx,
где pk ∈ Tr({−2l, . . . , 2l}), k = l + 1, . . . , 2l, l = 1, 2, . . . , выполняется неравенство
||f ||∞ ≥ c
2l∑
k=l+1
||pk||1, c > 0.
Лемма B [1]. Существует такая абсолютная постоянная c0 > 0, что в каждом про-
странстве Tr({N, . . . , N +m}) можно найти 2m функций t1, . . . , t2
m
, для которых
1) ||ti||∞ ≤ 1 для каждого i;
2) ||ti1 − ti2 ||1 ≥ c0, i1 6= i2, i1, i2 ∈ {1, . . . , 2m}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ АНАЛОГОВ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 1583
Лемма C [1]. Пусть заданы натуральные числа m, µ, µ < m, и „параллелепипед” Π ⊂
⊂ Zm,
Π =
m⊗
j=1
{1, . . . ,Mj},
причем для некоторых Q ∈ N, M ∈ N, Q ≤M,
Q ≤Mj ≤M, j = 1, . . . ,m.
Тогда найдется множество Ω ⊂ Π из не менеее чем
[
M−µ(Qm−1)/
(
m
µ
)]
различных точек,
имеющее следующее свойство: если x = xj ∈ Ω, y = yj ∈ Ω, x 6= y, то
#{j : xj 6= yj} ≥ µ.
Поскольку правая часть (8) от q не зависит, а || · ||q ≥ || · ||1, 1 ≤ q < ∞, и имеет мес-
то вложение B0,r
∞,θ ⊂ B0,r
p,θ , 1 < p ≤ ∞, то доказательство оценок снизу для εm(B0,r
p,θ , Lq),
1 ≤ q < ∞, сводится к рассмотрению случая q = 1, p = ∞. При θ = ∞, исходя из таких же
соображений, считаем, учитывая (6), что нижняя оценка в (8) для εm(B0,r
p,∞, Lq) уже доказана.
Для каждого числа l построим специальный набор функций Fl ⊂ B0,r
∞,θ, на котором будет
реализована нижняя оценка для ε2l(B
0,r
∞,θ, L1). Зафиксируем число l и для каждого j = l +
+ 1, . . . , 2l, согласно лемме B, в которой положим N = 2j , m = 2l, определим набор {tij}2
2l
i=1 ⊂
⊂ Tr({2j , . . . , 2j + 2l}) со свойствами:
а) ||tij ||∞ ≤ 1;
б) ||ti1j − t
i2
j ||1 ≥ c0 для любых j, i1 6= i2.
В результате получим l таких наборов. Далее рассмотрим в качестве „параллелепипеда” Π
из леммы C „куб”
l⊗
j=1
{1, . . . ,M}, положив M = 22l , m = l, µ = [l/3]
(
тогда
[
M−µ(Mm −
−1)/
(
m
µ
)]
≥ 2l2
l−1
)
, и по соответствующему множеству Ω из леммы C определим множество
функций
F0
l :=
fI =
2l∑
j=l+1
t
ij
j : ij ∈ {1, . . . , 22l}, I := (il+1, . . . , i2l) ⊂ Ω
.
Заметим, что 2l2
l−1 ≤ cardF0
l ≤ 2l2
l
.
Для произвольной функции f ∈ F0
l , учитывая, что ||δs(f)||∞ ≤ 1 при s = l + 1, . . . , 2l и
δs(f) = 0 при s ∈ Z+\{l + 1, . . . , 2l} (см. свойство а)), имеем
||f ||
B0,r
∞,θ
=
(
2l∑
s=l+1
((s+ 1)r||δs(f)||∞)θ
)1/θ
≤
(
2l∑
s=l+1
(s+ 1)rθ
)1/θ
� lr+
1
θ .
Положим Fl := C1l
−r− 1
θF0
l . Тогда, очевидно, при некотором C1 > 0 имеет место вложение
Fl ⊂ B0,r
∞,θ при любом l ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1584 С. А. СТАСЮК
Далее, в [1] показано, что
||f − g||1 � l1/2 ∀f, g ∈ F0
l , f 6= g, (16)
а значит, с учетом εl2l−1(F0
l , L1) � l1/2 и ε2l(B
0,r
∞,θ, L1) � ε2l(Fl, L1) � l−r+
1
2
− 1
θ , завершаем
доказательство оценки снизу для εm(B0,r
p,θ , Lq) в случае 1 ≤ q <∞.
Перейдем к случаю q = ∞. Доказательство в этом случае фактически совпадает с доказа-
тельством для случая 1 ≤ q < ∞, а точнее, для q = 1. Отметим только отличия. Вместо Fl
рассмотрим подмножество H = {hI , I ∈ Ω} (Ω — множество точек (наборов) I, построенное в
лемме C), где hI =
∑2l
k=l+1
tik cos 4kx, а tik — удовлетворяющий требованиям леммы B (при
N = 0, m = 2l) набор тригонометрических полиномов порядка 2l с числом элементов 22l .
Применяя теперь теорему B (вместо (16)), для h ∈ H, g ∈ H, h 6= g, имеем ||h− g||∞ ≥ cl,
поэтому ε2l(B
0,r
∞,θ, L∞)� l−r+1− 1
θ (вследствие включения C2l
−r− 1
θH ⊂ B0,r
∞,θ, C2 > 0).
Таким образом, оценки сверху для dm(B0,r
p,θ , Lq) и такие же по порядку оценки снизу для
εm(B0,r
p,θ , Lq) получены. Отсюда, с учетом леммы A, заключаем, что теоремы 1 и 2 доказаны.
Отметим, что в [3] при 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞, q < ∞, 1 ≤ θ ≤ 2, r > 0 установлена оценка
dm(B0,r
p,θ , Lq) � (log2m)−r, которая дополняет теорему 2, например, по значениям параметра θ.
В заключение выражаю благодарность В. С. Романюку за обсуждение результатов работы
и полезные замечания при ее оформлении.
1. Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об одной норме и аппроксимационных характеристиках классов функций многих
переменных // Теория функций. Сер. физ.-мат. наук. – 2007. – 25. – С. 58 – 79.
2. Seeger A., Trebels W. Low regularity classes and entropy numbers // Arch. Math. – 2009. – 92, № 2. – P. 147 – 157.
3. Стасюк С. А. Аппроксимативные характеристики аналогов классов Бесова с логарифмической гладкостью //
Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 4. – С. 493 – 499.
4. Cobos F., Domı́nquez Ó. On Besov spaces of logarithmic smoothness and Lipschitz spaces // J. Math. Anal. and
Appl. – 2015. – 425, № 1. – P. 71 – 84.
5. Пич А. Операторные идеалы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 536 с.
6. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions // Comput. Math. and Anal. Ser. – Commack, New York: Nova
Sci. Publ., Inc., 1993. – 419 p.
7. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
8. Романюк А. С. Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов периодических функций многих переменных
// Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. –
С. 196 – 213.
Получено 10.11.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|