Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165921 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі / І.Ю. Меремеля, В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1690–1697. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165921 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1659212020-02-18T01:27:36Z Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі Меремеля, І.Ю. Савчук, В.В. Статті 2015 Article Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі / І.Ю. Меремеля, В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1690–1697. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165921 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Меремеля, І.Ю. Савчук, В.В. Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Меремеля, І.Ю. Савчук, В.В. |
| author_facet |
Меремеля, І.Ю. Савчук, В.В. |
| author_sort |
Меремеля, І.Ю. |
| title |
Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі |
| title_short |
Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі |
| title_full |
Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі |
| title_fullStr |
Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі |
| title_full_unstemmed |
Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі |
| title_sort |
точні константи в нерівностях для коефіцієнтів тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165921 |
| citation_txt |
Точні константи в нерівностях для коефіцієнтів Тейлора обмежених голоморфних функцій у полікрузі / І.Ю. Меремеля, В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1690–1697. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT meremelâíû točníkonstantivnerívnostâhdlâkoefícíêntívtejloraobmeženihgolomorfnihfunkcíjupolíkruzí AT savčukvv točníkonstantivnerívnostâhdlâkoefícíêntívtejloraobmeženihgolomorfnihfunkcíjupolíkruzí |
| first_indexed |
2025-07-14T20:22:59Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:22:59Z |
| _version_ |
1837655214342012928 |
| fulltext |
УДК 517.5
I. Ю. Меремеля, В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТОЧНI КОНСТАНТИ В НЕРIВНОСТЯХ ДЛЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ТЕЙЛОРА
ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ У ПОЛIКРУЗI
We determine the exact constants Lm,n(X) in the inequalities of the form
∣∣∣f̂(n)∣∣∣ ≤ Lm,n(X)
(
1−
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣) for the pairs
of Taylor coefficients f̂(m) and f̂(n) on some classes X of bounded holomorphic functions in a polydisc.
Вычислены точные константы Lm,n(X) в неравенствах вида
∣∣∣f̂(n)∣∣∣ ≤ Lm,n(X)
(
1−
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣) для пар коэффици-
ентов Тейлора f̂(m) и f̂(n) на некоторых класах X ограниченных голоморфных функций в поликруге.
1. Нехай d — натуральне число, Cd — множина всiх упорядкованих наборiв z := (z1, . . . , zd) з
d комплексних чисел, Dd := {z ∈ Cd : max1≤j≤m |zj | < 1} — одиничний полiкруг i Td := {z ∈
∈ Cd : |zj | = 1, j = 1, d} — кiстяк полiкруга Dd. Нормовану мiру Лебега на Td, тобто добуток
нормованих мiр Лебега одиничних кiл, з яких складається Td, будемо позначати через σ = σd.
Нехай далi H(Dd) — множина функцiй, голоморфних в Dd, B(Dd) — клас функцiй f ∈
∈ H(Dd), для яких supz∈Dd |f(z)| ≤ 1 i
f̂(k) :=
1
k!
(
∂|k|f
∂zk11 . . . ∂zkdd
)
z=0
— коефiцiєнти Тейлора функцiї f, де k := (k1, . . . , kd) — мультиiндекс, kj ∈ Z+ := N ∪ {0},
j = 1, d, k! := k1! . . . kd!, |k| = k1 + . . .+ kd i 0 := (0, . . . , 0).
Мета даної роботи — обчислення для даних мультиiндексiв m i n величин
Wm,n := sup
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣
1−
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣2 : f ∈ B(Dd)
i
Lm,n(X) := sup
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣
1−
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣ : f ∈ X
, X ⊂ H(Dd), Lm,n
(
B(Dd)
)
=: Lm,n,
якi є точними константами в нерiвностях для коефiцiєнтiв Тейлора при мультиiндексах m i n
функцiй з H(Dd): ∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ ≤Wm,n
(
1−
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣2) ∀f ∈ B(Dd), (1)
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ ≤ Lm,n(X)
(
1−
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣) ∀f ∈ X ⊂ H. (2)
Зрозумiло, що 1 ≤Wm,n ≤ Lm,n ≤ 2Wm,n для будь-яких мультиiндексiв m i n.
Вiдомо, що в одновимiрному випадку, коли m = 0 i n = n, справджується рiвнiсть
W0,n = 1 ∀n ∈ N, тобто спiввiдношення (1) має мiсце з точною константою 1, а (2) при
X = B(D1) — з константою 2.
c© I. Ю. МЕРЕМЕЛЯ, В. В. САВЧУК, 2015
1690 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
ТОЧНI КОНСТАНТИ В НЕРIВНОСТЯХ ДЛЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ТЕЙЛОРА . . . 1691
Як зазначив О. Сас [1, с. 308] (див. виноску), першу згадку про нерiвнiсть (1) датова-
но 1906 р. i пов’язано з iменем Е. Ландау, який довiв, що (1) має мiсце для значень m = 0
i n = 1. У випадку ж m = 0 i довiльного значення натурального n доведення нерiвностi (1)
належить Ф. Вiнеру i вперше опублiковано з його дозволу в роботi Г. Бора [2].
Згодом Г. М. Голузiн [3, с. 72] (див. виноску), зазначив, що нерiвнiсть (1) з константою
Wm,n = 1 справджується при довiльних m i n, пов’язаних спiввiдношенням n ≥ 2m + 1,
m ≥ 0, i цей факт легко отримати, виходячи з частинного випадку, коли m = 0 i n = 1.
Питання про екстремальнi функцiї, на яких реалiзується величина Wm,n, розв’язав Г. М. Го-
лузiн в [4], показавши, що екстремальними є тiльки функцiї вигляду
f(z) =
czm + ηzn
1 + cηzn−m
, |c| ≤ 1, (3)
де |η| = 1, якщо |c| < 1, i η = 0, якщо |c| = 1.
Зафiксуємо мультиiндекс m, число a ∈ [0, 1] i позначимо
Ba
m(Dd) :=
{
f ∈ B(Dd) :
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣ ≤ a} .
Зрозумiло, що B1
m(Dd) = B(Dd) для будь-якого мультиiндексу m.
В одновимiрному випадку, виходячи з результатiв про константи Wm,n i явного вигляду
екстремальних функцiй, якi реалiзують цю величину, легко показати, що при n ≥ 2m+1,m ≥ 0,
справджується рiвнiсть
Lm,n
(
Ba
m(D1)
)
= 1 + a ∀ a ∈ [0, 1].
Справдi, для будь-якої функцiї f ∈ Ba
m(D1)∣∣∣f̂(n)
∣∣∣
1−
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣ ≤ 1 +
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣ ≤ 1 + a, (4)
а для функцiй вигляду (3) при |c| = a < 1 всi цi спiввiдношення перетворюються в рiвностi.
Якщо ж a = 1, то для функцiй вигляду (3) перше спiввiдношення в (4) перетворюється в
рiвнiсть, звiдки при |c| → 1 випливає, що Lm,n ≥ 2.
Слiд зазначити, що всi вищенаведенi результати про константи Wm,n i Lm,n можна легко
отримати з одного загального твердження О. Саса [5].
Розглянемо тепер багатовимiрний випадок.
Виходячи з вiдомого факту про те, що для будь-якої функцiї f ∈ B(Dd) i будь-яких ω ∈ D1
i z ∈ Dd має мiсце розклад f(ωz) =
∑∞
n=0
(∑
|k|=n f̂(k)zk
)
ωn, до того ж |f(ωz)| ≤ 1, легко
показати (з огляду на одновимiрний випадок), що∑
|k|=1
∣∣∣f̂(k)
∣∣∣ ≤ 1−
∣∣∣f̂(0)
∣∣∣2 . (5)
З нерiвностi (5) i одновимiрних результатiв для мультиiндексу n такого, що |n| = 1, випливає
рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1692 I. Ю. МЕРЕМЕЛЯ, В. В. САВЧУК
W0,n = 1. (6)
Питання про нетривiальнi екстремальнi функцiї, тобто функцiї з усiма частинними похiдни-
ми, вiдмiнними вiд тотожного нуля в Dd, на яких реалiзується величина W0,n в (6), дослiдив
Г. Кнесе [6]. Зокрема, вiн показав, що при d = 2 такими є функцiї вигляду
f(z1, z2) = µ
az1 + bz2 − z1z2
1− bz1 − az2
, |µ| = |a|+ |b| = 1, (z1, z2) ∈ D2.
I. I. Барвiн [7] показав, що рiвнiсть (6) справджується для будь-якого мультиiндексу n такого,
що 0 ≤ nj ≤ 1, j = 1, . . . , d, i |n| ≥ 1.
Г. Боас i Д. Хавiнсон (див. доведення теореми 2 в [8]) доповнили спiввiдношення (5),
показавши, що для будь-якого натурального n∑
|k|=n
∣∣∣f̂(k)
∣∣∣2
1/2
≤ 1−
∣∣∣f̂(0)
∣∣∣2 , (7)
що i доводить рiвнiсть (6) для будь-якого мультиiндексу n, вiдмiнного вiд 0.
Елементарне доведення нерiвностi (7), а вiдтак i рiвностi (6), яке базується на поняттi
оператора стиску в гiльбертовому просторi, дали В. I. Паулсен, Г. Попеску i Д. Сiнгх [9].
Нехай RB = RB(Dd) := {f ∈ H(Dd) : Re f ≤ 1, f(0) > 0}. Використовуючи iдеї дове-
дення спiввiдношення (7) з [8] та однiєї нерiвностi з [9] (див. доведення теореми 2.1), можна
показати, що для будь-якої функцiї f ∈ RB i будь-якого натурального n∑
|k|=n
∣∣∣f̂(k)
∣∣∣2
1/2
≤ 2
(
1− f̂(0)
)
.
Звiдси для будь-якого мультиiндексу n, |n| > 0, випливають рiвностi
L0,n = L0,n(RB) = 2.
Нехай n ∈ N. Позначимо N(n) := N \ {j > n : j = 0 modn} i
BN(n) :=
f ∈ B(Dd) : f(z) = f̂(0) +
∑
j∈N(n)
∑
|k|=j
f̂(k)zk, z ∈ Dd
,
де zk := zk11 . . . zkdd .
Зрозумiло, що клас BN(n) мiстить клас „трикутних” алгебраїчних многочленiв
P∆
n :=
f ∈ B(Dd) : f(z) =
∑
|k|≤n
f̂(k)zk
,
а перетин
⋂
n≥2BN(n) утворює клас
BΠ :=
f ∈ B(Dd) : f(z) = f̂(0) +
∑
p∈Π
∑
|k|=p
f̂(k)zk, z ∈ Dd
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
ТОЧНI КОНСТАНТИ В НЕРIВНОСТЯХ ДЛЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ТЕЙЛОРА . . . 1693
де Π — множина простих чисел.
Л. А. Айзенберг i А. Вiдрас [10] показали, що для будь-якого мультиiндексу n такого, що
|n| = n,
L0,n(P∆
n ) = L0,n(BN(n)) = 1 ∀ n ∈ N (8)
i для будь-якого мультиiндексу n такого, що |n| ∈ Π,
L0,n(BΠ) = 1.
В одновимiрному випадку рiвнiсть L0,n(P∆
n ) = 1 уперше було доведено Р. С. Вiссером
[11], i ним же показано, що екстремальними многочленами, на яких реалiзується величина
L0,n(P∆
n ), є лише многочлени вигляду f(z) = a+ bzn, |a|+ |b| = 1.
2. З огляду на вищенаведенi результати здається, що константи Wm,n i Lm,n у випадку
довiльної пари мультиiндексiв m i n залишаться такими ж, як i в одновимiрному випадку. Ми
покажемо, що це не так для констант Lm,n при d ≥ 2, а саме, що величини цих констант
залежать вiд того, як спiввiдносяться мiж собою компоненти мультиiндексiв m i n.
Теорема 1. Нехай d ∈ N, m i n — рiзнi мультиiндекси. Тодi:
1) якщо в мультиiндексi n є хоча б одна компонента nj , яка задовольняє умову nj ≥ 2mj+1,
то
Wm,n = 1;
2) якщо d ≥ 2, а в мультиiндексi n є хоча б одна компонента nj , яка задовольняє умову
nj ≥ 2mj + 1, i одна компонента ni, яка задовольняє умову ni ≤ (mi − 1)/2, то
Lm,n = 1;
3) якщо мультиiндекс n задовольняє умову nj ≥ mj , j = 1, . . . , d, i хоча б для однiєї
компоненти ni виконується умова ni ≥ 2mi + 1, то
Lm,n = 2.
Зауваження 1. З рiвностi Wm,n = 1 внаслiдок того, що supm
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣ ≤ 1, для будь-якої
функцiї f ∈ B(Dd) i ρ ∈ [0, 2] випливає оцiнка
ρ
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣+
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ ≤ 1 + ρ
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣− ∣∣∣f̂(m)
∣∣∣2 ≤
≤ max{1 + ρx− x2 : x ∈ [0, 1]} = 1 +
ρ2
4
. (9)
Цiкавим видається питання про те, коли цi спiввiдношення перетворюються в рiвностi.
Дане питання розв’язано в [5] для одновимiрного випадку: при d = 1, 0 ≤ ρ < 2 i n ≥
≥ 2m+ 1, m ≥ 0, рiвностi в (9) мають мiсце лише для функцiй
µ
ρzm + 2ηzn
ρηzn−m + 2
= µ
ρ
2
zm + µη
(
1− ρ2
4
)
zn + . . . , |µ| = |η| = 1.
У випадку ρ = 1 цей факт ранiше був встановлений Д. Помпейєм [12] (див. також [13, с. 26]).
У багатовимiрному випадку мають мiсце такi твердження, якi випливають з теореми 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1694 I. Ю. МЕРЕМЕЛЯ, В. В. САВЧУК
Наслiдок 1. За умов пункту 2 теореми 1 справджується рiвнiсть
max
{∣∣∣f̂(m)
∣∣∣+
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ : f ∈ B(Dd)
}
= 1. (10)
Максимум у рiвностi (10) досягається, зокрема, для функцiї f(z) = azm +bzn, |a|+ |b| = 1.
Наслiдок 2. За умов пункту 3 теореми 1 для будь-якого ρ ∈ [0, 2) справджується рiвнiсть
max
{
ρ
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣+
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ : f ∈ B(Dd)
}
= 1 +
ρ2
4
. (11)
Максимум у рiвностi (11) досягається, зокрема, для функцiї
f(z) = µ
ρzm + 2ηzn
ρηzn−m + 2
= µ
ρ
2
zm + µη
(
1− ρ2
4
)
zn + . . . , |µ| = |η| = 1, (12)
де n−m := (n1 −m1, . . . , nd −md).
Зауваження 2. Нехай, наприклад, у наслiдку 1 m = (1, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸
d−1
), n = (0, 1, 0, . . . , 0) i f —
будь-яка iнша екстремальна функцiя в (10). Тодi згiдно з (5) для будь-якого мультиiндексу k,
|k| = 1, вiдмiнного вiд m i n, справджуються рiвностi f̂(0) = f̂(k) = 0, тобто
f(z) = f̂(m)zm + f̂(n)zn +
∞∑
ν=2
∑
|k|=ν
f̂(k)zk, z ∈ Dd.
Наслiдок 3. За умов пункту 3 теореми 1 справджується рiвнiсть
Lm,n
(
Ba
m(Dd)
)
= 1 + a ∀a ∈ [0, 1].
Позначимо через Zd+ множину всiх упорядкованих наборiв з d невiд’ємних цiлих чисел i
для функцiї f ∈ B покладемо f̂(k) = 0, якщо k ∈ Zd \ Zd+.
Для даних мультиiндексiв m,n ∈ Zd+ розглянемо клас функцiй
Bm,n(Dd) :=
{
f ∈ B(Dd) : f̂(kn− (k − 1)m) = 0 ∀ k ∈ N \ {1}
}
,
де kn := (kn1, . . . , knd).
Зрозумiло, що у випадку, коли мультиiндекси m i n задовольняють умови пункту 2 теоре-
ми 1, класи B(Dd) i Bm,n(Dd) збiгаються i при цьому для будь-якої функцiї f ∈ Bm,n(Dd),
згiдно з наслiдком 1, справджується нерiвнiсть
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣ +
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ ≤ 1. Наступне твердження
показує, що така нерiвнiсть на класi Bm,n(Dd) має мiсце i в рештi випадкiв.
Теорема 2. Нехай d ∈ N i m,n — рiзнi мультиiндекси. Якщо в мультиiндексi n є хоча б
одна компонента nj , яка задовольняє умову nj ≥ 2mj + 1, то
max
{∣∣∣f̂(m)
∣∣∣+
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ : f ∈ Bm,n(Dd)
}
= 1
i
Lm,n
(
Bm,n(Dd)
)
= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
ТОЧНI КОНСТАНТИ В НЕРIВНОСТЯХ ДЛЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ТЕЙЛОРА . . . 1695
Екстремальними функцiями, на яких реалiзуються данi величини, є, зокрема, функцiї f(z) =
= azm + bzn, |a|+ |b| = 1.
У випадку, коли d = 1 i m = 0, теорема 2 збiгається з результатом Л. А. Айзенберга i
А. Вiдраса [10] (див. рiвностi (8)), оскiльки у цьому випадку B0,n = BN(n). При d ≥ 2, m = 0
i n = |n| має мiсце строге включення BN(n) ⊂ B0,n, вiдтак теорема 2 мiстить рiвностi (8).
3. Доведення теорем 1 i 2 ґрунтуються на такому твердженнi, не позбавленому й самостiй-
ного iнтересу.
Лема. Нехай d ∈ N, f ∈ B(Dd) i m ∈ Zd+. Якщо n — мультиiндекс, в якому хоча б одна
компонента nj задовольняє умову nj ≥ 2mj + 1, то функцiя fm,n, визначена в крузi D1 за
правилом
fm,n(z) = f̂(m) + f̂(n)z +
∞∑
k=2
f̂(kn− (k − 1)m)zk, (13)
належить класовi B(D1).
Зауважимо, що конструкцiї типу функцiї fm,n часто називають дiагональними функцiями.
Як зазначено в [14, с. 214], уперше таке перетворення використав, мабуть, А. Пуанкаре [15,
с. 245] у двовимiрному випадку (вiдповiдає розглядуваному випадку при m = 0).
Основна значущiсть дiагональних перетворень голоморфних функцiй багатьох змiнних, як
це вiдображено в численних роботах (див. бiблiографiю в [14]), полягає в тому, що такi пере-
творення зберiгають основнi (найсуттєвiшi) властивостi функцiй, якими вони породжуються.
В розглядуваному випадку такою властивiстю є зображення функцiй класу B(Dd) у виглядi
кратного iнтеграла Пуассона (див. формулу (17)).
Доведення леми. Вiдомо (див., наприклад, [16, с. 476]), що кожна функцiя f ∈ B(Dd) має
граничнi значення (якi будемо позначати так само через f ) вздовж недотичних шляхiв майже у
всiх точках торa Td, а для коефiцiєнтiв f̂(k) справджується формула Кошi∫
Td
f(w)wkdσ(w) = f̂(k), k ∈ Zd, (14)
де w := (w1, . . . , wd).
Оскiльки
∣∣∣f̂(k)
∣∣∣ ≤ 1 ∀k ∈ Zd, то сума ряду у правiй частинi (13) є голоморфною функцiєю
змiнної z у крузi D1. Далi, згiдно з (14) для будь-якого z ∈ D1
fm,n(z) =
∫
Td
f(w)wm(1 + wn−mz + w2(n−m)z2 + . . .)dσ(w), (15)
а внаслiдок того, що (k + 1)m − kn ∈ Zd \ Zd+ ∀ k ∈ N i wmwk(n−m) = w(k+1)m−kn для
w ∈ Td, маємо
0 =
∫
Td
f(w)wm(wn−mz + w2(n−m)z2 + . . .)dσ(w). (16)
Додавши рiвностi (15) i (16), одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1696 I. Ю. МЕРЕМЕЛЯ, В. В. САВЧУК
fm,n(z) =
∫
Td
f(w)wm
(
1 + 2 Re
(
wn−mz + w2(n−m)z2 + . . .
))
dσ(w) =
=
∫
Td
f(w)wm
(
1 + 2 Re
wn−mz
1−wn−mz
)
dσ(w) =
=
∫
Td
f(w)wm 1− |z|2
|1−wn−mz|2
dσ(w). (17)
Звiдси випливає оцiнка
|fm,n(z)| ≤
∫
Td
|f(w)| 1− |z|2
|1−wn−mz|2
dσ(w) ≤
∫
Td
1− |z|2
|1−wn−mz|2
dσ(w) = 1,
що й потрiбно було довести.
Доведення теореми 1. За умов кожного з пунктiв 1 – 3 виконуються умови леми. Тому, за-
стосувавши до довiльної функцiї f ∈ B(Dd) дiагональне перетворення fm,n, одержимо функцiю
класу B(D1) з нульовим i першим коефiцiєнтами Тейлора, рiвними f̂(m) i f̂(n) вiдповiдно.
Отже, для цих коефiцiєнтiв, як коефiцiєнтiв Тейлора функцiї класу B(D1), справджується
нерiвнiсть
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ ≤ 1 −
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣2. Звiдси внаслiдок довiльностi f випливають нерiвностi
Wm,n ≤ 1 i Lm,n ≤ 2.
З iншого боку, на прикладi функцiї f(z) = zn бачимо, що Wm,n ≥ 1. Таким чином,
Wm,n = 1.
Для доведення пункту 2 досить зауважити, що в розкладi (13) виконуються рiвностi
f̂(kn− (k − 1)m) = 0 для всiх натуральних k ≥ 2. Отже, дiагональна функцiя fm,n має вигляд
fm,n(z) = f̂(m) + f̂(n)z. (18)
Тому, згiдно з лемою, має мiсце нерiвнiсть 1 ≥ supz∈D1 |fm,n(z)| =
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣ +
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣. Отже,
Lm,n = 1, оскiльки завжди має мiсце нерiвнiсть Lm,n ≥Wm,n ≥ 1.
Для доведення пункту 3 досить встановити оцiнку знизу Lm,n ≥ 2. З цiєю метою розглянемо
функцiю f, означену за правилом (12).
Оскiльки nj ≥ mj , j = 1, 2, . . . , d, то f ∈ B(Dd) при ρ ∈ [0, 2) i
Lm,n ≥
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣
1−
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣ = 1 +
ρ
2
→ 2, ρ→ 2−,
що й потрiбно було довести.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
ТОЧНI КОНСТАНТИ В НЕРIВНОСТЯХ ДЛЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ТЕЙЛОРА . . . 1697
Доведення теореми 2. Оскiльки для будь-якої функцiї f ∈ Bm,n(Dd) її дiагональна функцiя
fm,n має вигляд (18), то за лемою справджуються спiввiдношення
1 ≥ sup
z∈D1
|fm,n(z)| =
∣∣∣f̂(m)
∣∣∣+
∣∣∣f̂(n)
∣∣∣ ,
якi для функцiї f(z) = azm + bzn, |a|+ |b| = 1, перетворюються в рiвностi.
1. Szász O. Ungleichheitsbeziehungen für die Ableitung einer Potenzreihe, die eine im Einheitskreise beschränkte
Funktion darstellt // Math. Z. – 1920. – № 8. – S. 303 – 309.
2. Bohr H. A theorem concerning power series // Proc. London Math. Soc. – 1914. – 13. – P. 1 – 5.
3. Голузин Г. М. Оценки для аналитических функций с ограниченным средним модулем // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1946. – 18. – С. 3 – 88.
4. Голузин Г. М. Некоторые оценки для ограниченных функций // Мат. сб. – 1950. – 26, № 1. – С. 7 – 18.
5. Szász O. Ungleichungen für die Koeffizienten einer Potenzreihe // Math. Z. – 1918. – № 1. – S. 163 – 183.
6. Knese G. A Schwarz lemma on the polydisk // Proc. Amer. Math. Soc. – 2007. – 135, № 9. – P. 2759 – 2768.
7. Баврин И. И. Точные оценки производных для функций Каратеодори и Шура // Math. Mont. – 1993. – 1. –
P. 11 – 16.
8. Boas H. P., Khavinson D. Bohr’s power series theorem in several variables // Proc. Amer. Math. Soc. – 1997. – 125,
№ 10. – P. 2975 – 2979.
9. Paulsen V. I., Popescu G., Singh D. On Bohr’s inequality // Proc. London Math. Soc. – 2002. – 85, № 3. – P. 493 – 515.
10. Айзенберг Л. А., Видрас А. О радиусе Бора для двух классов голоморфных функций // Сиб. мат. журн. – 2004. –
45, № 4. – С. 734 – 746.
11. Visser C. A simple proof of certain inequalities concerning polynomials // Koninkl. Ned. Akad. Wetmschap. Proc. –
1945. – 47. – P. 276 – 281.
12. Pompéiu D. Sur une relation d’inégalité dans la théorie des fonctions holomorphes // Arch. Math. und Phys. – 1912. –
19. – S. 224 – 228.
13. Landau E., Gaier D. Darstellung und Bergundung eininger neurer Ergebnisse der Functionentheorie. – Berlin: Springer-
Verlag, 1986. – 201 S.
14. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. – Новосибирск: Наука, 1988. – 241 с.
15. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики: Избр. труды: В 3 т. – М.: Наука, 1971. – Т. 1. – 771 с.
16. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
Одержано 20.11.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
|