О норме разложимых подгрупп в непериодических группах

Розглядаються взаємозв’язки мiж властивостями неперiодичнихгр уп та їхнор м розкладнихпiдгр уп. Зокрема, дослiджено вплив обмежень, якi задовольняє норма розкладнихпiдгр уп, на властивостi самої групи за умови, що така норма недедекiндова. Описано будову неперiодичнихлок ально нiльпотентнихгр уп, у...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Лиман, Ф.Н., Лукашова, Т.Д.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2015
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165926
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О норме разложимых подгрупп в непериодических группах / Ф.Н. Лиман, Т.Д. Лукашова // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1679–1689. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165926
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1659262020-02-18T01:28:27Z О норме разложимых подгрупп в непериодических группах Лиман, Ф.Н. Лукашова, Т.Д. Статті Розглядаються взаємозв’язки мiж властивостями неперiодичнихгр уп та їхнор м розкладнихпiдгр уп. Зокрема, дослiджено вплив обмежень, якi задовольняє норма розкладнихпiдгр уп, на властивостi самої групи за умови, що така норма недедекiндова. Описано будову неперiодичнихлок ально нiльпотентнихгр уп, у якихвк азана норма є недедекiндовою. Окрiм того, встановлено деякi зв’язки мiж нормою абелевихнециклiчнихт а нормою розкладних пiдгруп. We study the relations between the properties of nonperiodic groups and their norms of decomposable subgroups. In particular, we analyze the influence of restrictions imposed on the norm of decomposable subgroups on the properties of the group provided that this norm is non-Dedekind. We also describe the structure of nonperiodic locally nilpotent groups for which the indicated norm is non-Dedekind. Furthermore, some relations between the norm of noncyclic Abelian subgroups and the norm of decomposable subgroups are established. 2015 Article О норме разложимых подгрупп в непериодических группах / Ф.Н. Лиман, Т.Д. Лукашова // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1679–1689. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165926 519.544 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Лиман, Ф.Н. Лукашова, Т.Д. О норме разложимых подгрупп в непериодических группах Український математичний журнал
description	Розглядаються взаємозв’язки мiж властивостями неперiодичнихгр уп та їхнор м розкладнихпiдгр уп. Зокрема, дослiджено вплив обмежень, якi задовольняє норма розкладнихпiдгр уп, на властивостi самої групи за умови, що така норма недедекiндова. Описано будову неперiодичнихлок ально нiльпотентнихгр уп, у якихвк азана норма є недедекiндовою. Окрiм того, встановлено деякi зв’язки мiж нормою абелевихнециклiчнихт а нормою розкладних пiдгруп.
format	Article
author	Лиман, Ф.Н. Лукашова, Т.Д.
author_facet	Лиман, Ф.Н. Лукашова, Т.Д.
author_sort	Лиман, Ф.Н.
title	О норме разложимых подгрупп в непериодических группах
title_short	О норме разложимых подгрупп в непериодических группах
title_full	О норме разложимых подгрупп в непериодических группах
title_fullStr	О норме разложимых подгрупп в непериодических группах
title_full_unstemmed	О норме разложимых подгрупп в непериодических группах
title_sort	о норме разложимых подгрупп в непериодических группах
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165926
citation_txt	О норме разложимых подгрупп в непериодических группах / Ф.Н. Лиман, Т.Д. Лукашова // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1679–1689. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT limanfn onormerazložimyhpodgruppvneperiodičeskihgruppah AT lukašovatd onormerazložimyhpodgruppvneperiodičeskihgruppah
first_indexed	2025-07-14T20:23:18Z
last_indexed	2025-07-14T20:23:18Z
_version_	1837655234082504704
fulltext	УДК 519.544 Ф. Н. Лиман, Т. Д. Лукашова (Сум. гос. пед. ун-т им. А. С. Макаренко) О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУППАХ We study the relations between the properties of nonperiodic groups and their norms of decomposable subgroups. In particular, we analyze the influence of restrictions imposed on the norm of decomposable subgroups on the properties of the group provided that this norm is non-Dedekind. We also describe the structure of nonperiodic locally nilpotent groups for which the indicated norm is non-Dedekind. Furthermore, some relations between the norm of noncyclic Abelian subgroups and the norm of decomposable subgroups are established. Розглядаються взаємозв’язки мiж властивостями неперiодичних груп та їх норм розкладних пiдгруп. Зокрема, дослiджено вплив обмежень, якi задовольняє норма розкладних пiдгруп, на властивостi самої групи за умови, що така норма недедекiндова. Описано будову неперiодичних локально нiльпотентних груп, у яких вказана норма є недедекiндовою. Окрiм того, встановлено деякi зв’язки мiж нормою абелевих нециклiчних та нормою розкладних пiдгруп. Введение. Пусть Σ — система всех подгрупп группы, которые имеют определенное теоретико- групповое свойство. Напомним, что Σ-нормой группы G называется пересечение нормализа- торов всех подгрупп группы G, входящих в систему Σ. В частности, если Σ состоит из всех подгрупп групп G, то соответствующая Σ-норма называется нормой группы [1]. Авторы продолжают исследование взаимосвязей между свойствами группы и свойствами ее Σ-норм для различных систем подгрупп Σ. В настоящей статье рассматриваются свойства норм разложимых подгрупп в непериодических локально разрешимых группах и влияние таких норм на свойства самой группы. Заметим, что аналогичные исследования в классе локально конечных групп были проведены в работе [2], а отдельные результаты настоящей статьи анонсированы в [3]. Напомним, что разложимой называется подгруппа группыG, которую можно представить в виде прямого произведения двух нетривиальных множителей [4]. Соответственно, пересечение нормализаторов всех разложимых подгрупп группы G будем называть нормой разложимых подгрупп и обозначать ее Nd G. Заметим, что для групп, не содержащих разложимых подгрупп, будем считать G = Nd G. Из определения нормыNd G следует, что в случаеNd G = G в группеG разложимые подгруппы либо являются нормальными, либо не существуют. Неабелевы группы с таким свойством были изучены в работе [4] и названы там di-группами. Далее в работе будем использовать следующие два предложения, описывающие строение di-групп. Предложение 1 [4]. Неабелевы локально конечные и непериодические локально разреши- мые di-группы, у которых все подгруппы неразложимы, исчерпываются группами следующих типов: 1) кватернионная 2-группа (конечная или бесконечная); 2) группа Фробениуса G = AhB, где A — локально циклическая р-группа, B — циклическая q-группа, p и q — простые числа и (p− 1, q) = q; 3) группа Фробениуса G = A h B, где A — абелева группа без кручения ранга 1, B — бесконечная циклическая группа или группа порядка 2. c© Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА, 2015 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 1679 1680 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА Группой Фробениуса (см. [5]) будем называть полупрямое произведение G = A h B двух нетривиальных групп A и B, где B ∩ g−1Bg = E для любого элемента g ∈ G\B и A\E = = G\ ⋃ g∈G ( g−1Bg ) . Предложение 2 [4]. Непериодические di-группы, каждая из которых имеет разложимую подгруппу, являются группами одного из следующих видов: 1) G = A h 〈b〉 , где A — непериодическая абелева группа без инволюций, содержащая разложимую подгруппу, \|b\| = 2 и b−1ab = a−1 для любого элемента a ∈ A; 2) G = A 〈b〉 , где A — непериодическая абелева группа с единственной инволюцией b2 и b−1ab = a−1 для любого элемента a ∈ A; 3) G = ( 〈 b2 〉 × C) 〈b〉 , где \|b\| = 8, C — абелева группа без кручения ранга 1, a фактор- группа G/ 〈 b4 〉 содержит бесконечные абелевы подгруппы и все они нормальны в G/ 〈 b4 〉 ; 4) G = Q×B, где Q — группа кватернионов, B — абелева группа без кручения ранга 1; 5) G = 〈a〉 h B, \|a\| = pn, — простое число (n > 1 при p = 2), B — неполная абелева группа без кручения ранга 1 и коммутант группы G имеет проcтой порядок. Таким образом, строение непериодических недедекиндовых локально разрешимых групп, совпадающих со своей нормой разложимых подгрупп, известно. Поэтому естественно поста- вить вопрос о свойствах непериодических групп, в которых такая норма недедекиндова и является собственной подгруппой. 1. Непериодические группы с недедекиндовой нормой разложимых подгрупп. В этом пункте рассматриваются взаимосвязи между свойствами непериодических локально разреши- мых групп и их норм разложимых подгрупп при дополнительном условии недедекиндовости таких норм. Далее будет часто использоваться следующее утверждение. Лемма 1.1 [2]. Пусть G — группа, содержащая неединичную Nd G-допустимую подгруппу H такую, что H ∩Nd G = E, где Nd G — норма разложимых подгрупп группы G. Тогда подгруппа Nd G дедекиндова. Опираясь на лемму 1.1, нетрудно показать, что норма Nd G разложимых подгрупп непери- одической группы G дедекиндова, если она конечна или содержит отличную от единичной конечную характеристическую подгруппу. В частности, имеет место следующее утверждение. Следствие 1.1. Если норма Nd G разложимых подгрупп локально разрешимой непериодиче- ской группы G удовлетворяет условию минимальности для абелевых подгрупп, то она деде- киндова. Доказательство. По условию норма Nd G разложимых подгрупп группы G является локаль- но разрешимой периодической группой с условием минимальности для абелевых подгрупп. Тогда по теореме 4.3 [6] Nd G содержит характеристическую, а значит, нормальную в G конеч- ную абелеву подгруппу A. Поскольку [G : CG(A)] < ∞, то подгруппа CG(A) непериодиче- ская. Следовательно, существует элемент x ∈ CG(A) такой, что \|x\| = ∞. Тогда подгруппа 〈A, x〉 = A× 〈x〉 разложима и является Nd G-допустимой. Значит, подгруппа 〈x〉\|A\| также будет Nd G-допустимой, причем 〈x〉\|A\| ∩ Nd G = E. В силу леммы 1.1 норма Nd G дедекиндова, что и требовалось доказать. Дальнейшие утверждения характеризуют влияние нормы разложимых подгрупп на свойства группы. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУППАХ 1681 Теорема 1.1. Пусть G — непериодическая группа с недедекиндовой нормой Nd G разложи- мых подгрупп. Тогда произвольная разложимая абелева подгруппа группыG будет смешанной в том и только в том случае, когда смешанной является каждая разложимая абелева подгруппа нормы Nd G. Доказательство. Прямое утверждение теоремы очевидно. Докажем правильность обратно- го утверждения. Пусть все разложимые абелевы подгруппы нормы Nd G являются смешанными, а сама группа G содержит разложимую подгруппу M = 〈x〉 × 〈y〉 , где \|x\| = \|y\| = ∞ или \|x\| = p, \|y\| = q, p и q — простые числа. Из описания непериодических di-групп (предложе- ние 2) следует, что в этом случае Nd G является группой одного из типов: 1) Nd G = Ah 〈b〉, где A = A1 × C — непериодическая абелева группа без инволюций, A1 — абелева группа без кручения ранга 1, C — локально циклическая p-группа (p — нечетное простое число), \|b\| = 2 и b−1ab = a−1 для любого элемента a ∈ A; 2) Nd G = A 〈b〉, где A = A1×C — непериодическая абелева группа с одной инволюцией b2, A1 — абелева группа без кручения ранга 1, C — локально циклическая 2-группа, b−1ab = a−1 для любого элемента a ∈ A; 3) Nd G = ( 〈 b2 〉 × C) 〈b〉, где \|b\| = 8, C — абелева группа без кручения ранга 1 и в фактор-группе G/ 〈 b4 〉 все бесконечные абелевы подгруппы нормальны; 4) Nd G = Q×B, где Q — группа кватернионов, B — абелева группа без кручения ранга 1; 5) Nd G = 〈a〉 h B, где \|a\| = pn, p — простое число (n > 1 при p = 2), B — неполная абелева группа без кручения ранга 1 и коммутант группы G имеет проcтой порядок. В каждом из этих случаев норма Nd G содержит нормальную в G конечную неединичную абелеву подгруппу F , откуда [G : CG(F )] <∞. Если \|M \| = ∞, то поскольку в норме Nd G все абелевы подгруппы без кручения имеют ранг 1, можно считать, что Nd G ∩ 〈y〉 = E. Далее из условия [G : CG(F )]< ∞ следует, что ym ∈ CM (F ) для некоторого m ∈ N и потому 〈F, ym〉 — Nd G-допустимая подгруппа. Значит, подгруппа 〈F, ym〉\|F \| = 〈 ym\|F \| 〉 также будет Nd G-допустимой. Применяя лемму 1.1, делаем вывод, что в этом случае, вопреки условию, норма Nd G дедекиндова. Предположим, что \|M \| < ∞ и \|M \| = pq. В этом случае норма Nd G содержит элемент a такой, что \|a\| = ∞ и a ∈ CG(M). Но тогда подгруппы 〈a, x〉 и 〈a, y〉 будут Nd G-допустимыми, а значит, Nd G-допустимыми будут и подгруппы 〈x〉 и 〈y〉. Так как 〈x, y〉 * Nd G, то по крайней мере одна из подгрупп 〈x〉 или 〈y〉 не принадлежит Nd G. Применяя лемму 1.1, приходим к выводу, что и в этом случае норма Nd G дедекиндова. Теорема 1.1 доказана. Следствие 1.2. Если норма Nd G абелевых разложимых подгрупп непериодической группы G недедекиндова и все еe разложимые абелевы подгруппы являются смешанными, то фактор- группа G/Nd G периодическая. Лемма 1.2. Если непериодическая группа G содержит абелеву подгруппу M, которая яв- ляется либо свободной группой ранга r ≥ 2, либо периодической непримарной группой, то каждая подгруппа из M будет Nd G-допустимой в G. Доказательство. Oграничимся случаем, когда M = 〈x1〉 × 〈x2〉, где \|x1\| = \|x2\| =∞ или \|x1\| = pm, \|x2\| = qn, n,m ∈ N, p и q — различные простые числа. В первом случае для любого неединичного элемента x ∈M найдется такой элемент y ∈M, что \|y\| =∞ и 〈x〉 ∩ 〈y〉 = E. Тогда для каждого натурального числа k подгруппа 〈 x, yk 〉 будет Nd G -допустимой. Следовательно, подгруппа ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 1682 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА ∞⋂ k=1 〈 x, yk 〉 = 〈x〉 также является Nd G-допустимой. Но тогда Nd G-допустимыми будут все подгруппы из M . Во втором случае из разложимости M следует, что она Nd G-допустима, а значит, Nd G- допустимыми будут еe характеристические подгруппы 〈x1〉 и 〈x2〉. Из этого заключаем, что каждая подгруппа из M будет Nd G-допустимой. Лемма 1.2 доказана. Теорема 1.2. Непериодическая группа G с недедекиндовой нормой Nd G разложимых под- групп тогда и только тогда не содержит разложимых подгрупп, когда таких подгрупп не содержит ее норма Nd G. Доказательство. Прямое утверждение теоремы очевидно. Докажем справедливость об- ратного утверждения. Пусть норма Nd G разложимых подгрупп группы G недедекиндова и не содержит разложимых подгрупп, а в группе G такие подгруппы имеются. Тогда G содержит прямое произведение M = 〈x〉 × 〈y〉 двух неединичных циклических подгрупп. Если \|x\| = \|y\| = ∞, то по лемме 1.2 каждая подгруппа из M будет Nd G-допустимой. Из этого следует существование такой бесконечной подгруппы 〈a〉 ⊂ M , что 〈a〉 ⋂ Nd G = E. В силу леммы 1.1 норма Nd G дедекиндова, что невозможно по условию. Далее рассмотрим случай, когда подгруппа M смешанная и \|x\| = ∞, \|y\| < ∞. Пусть y1 ∈ 〈y〉 , \|y1\| = p, где p — простое число. Тогда подгруппы 〈y1〉 и 〈xp〉 будут Nd G-допустимыми и хотя бы одна из них имеет единичное пересечение сNd G. Снова применяя лемму 1.1, получаем противоречие. Пусть теперь \|M \| <∞ и x1 ∈ 〈x〉, y1 ∈ 〈y〉 , где \|x1\| = p, \|y1\| = q, p и q — простые числа. Если p 6= q, то подгруппы 〈x1〉 и 〈y1〉 будут Nd G-допустимыми и по крайней мере одна из них не принадлежит Nd G. Используя лемму 1.1, приходим к противоречию с условием. Поэтому p = q и 〈x1, y1〉 — элементарная абелева группа порядка p2. Рассмотрим подгруппу G1 = 〈x1, y1〉Nd G. Поскольку 〈x1, y1〉 / G1, то [G1 : CG1 〈x1, y1〉] < < ∞. Если норма Nd G содержит элементы бесконечного порядка, то CG1 〈x1, y1〉 — неперио- дическая группа и нетрудно показать, что подгруппы 〈x1〉 и 〈y1〉 будут Nd G-допустимыми. Но в таком случае получаем ситуацию, изученную выше, и Nd G является дедекиндовой группой, что невозможно по условию. Следовательно, Nd G — периодическая группа. Учитывая лемму 1.1, имеем 〈x1, y1〉 ∩Nd G 6= E. Тогда ∣∣〈x1, y1〉 ∩Nd G ∣∣ = p и, не нарушая общности рассуждений, будем считать x1 /∈ Nd G, y1 ∈ Nd G. Очевидно, что[ 〈x1, y1〉 , Nd G ] = 〈y1〉 / G1. При этом если норма Nd G является p-группой, то 〈y1〉 ⊆ Z(Nd G) − единственная подгруппа порядка p в нормеNd G и 〈y1〉 / G. В этом случае в группе найдется элемент бесконечного поряд- ка такой, что [a, y1 ] = 1. Но тогда 〈ap〉 является Nd G-допустимой подгруппой, что невозможно в силу леммы 1.1. Значит, Nd G — непримарная группа и можно указать элемент b ∈ Nd G такой, что \|b\| 6= 1, (\|b\| , p) = 1. По теореме Машке 〈x1, y1〉h 〈b〉 = (〈y1〉 × 〈y2〉) h 〈b〉 , где 〈y2〉 — 〈b〉-допустимая подгруппа, 〈y2〉 ∩ Nd G = E и [y2, b] ∈ Nd G ⋂ 〈y2〉 = E. Поскольку подгруппа 〈y2, b〉 является Nd G-допустимой, то Nd G-допустимой будет ее характеристическая подгруппа 〈y2〉. Но в таком случае из леммы 1.1 следует дедекиндовость нормы Nd G, что невозможно. Теорема 1.2 доказана. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУППАХ 1683 Условие недедекиндовости нормы Nd G разложимых подгрупп в теореме 1.2 является суще- ственным. Это подтверждает следующий пример. Пример 1.1. G = (〈a〉h 〈b〉)×〈c〉, где \|a\| = \|c\| =∞, \|b\| = 2, b−1ab = a−1. В этой группе Nd G = 〈c〉 и не содержит разложимых подгрупп, а в группе G множество таких подгрупп бесконечно. Следствие 1.3. Если норма Nd G непериодической локально разрешимой группы G недеде- киндова, содержит элементы бесконечного порядка и не содержит разложимых подгрупп, то G = Nd G и G — группа Фробениуса типа 3 предложения 1. Теорема 1.3. Непериодическая группа G с недедекиндовой нормой Nd G разложимых под- групп тогда и только тогда содержит свободную абелеву подгруппу ранга r ≥ 2, когда подгруппу такого ранга содержит ее норма Nd G. Доказательство. Если норма Nd G содержит свободную абелеву подгруппу ранга r ≥ 2, то утверждение теоремы очевидно. Предположим, что G содержит свободную абелеву подгруппу M = 〈x1〉 × 〈x2〉 × . . . × 〈xr〉 ранга r ≥ 2. По лемме 1.2 каждая из подгрупп 〈xi〉, где i = 1, r, является Nd G-допустимой. В силу леммы 1.1 〈xi〉 ∩Nd G 6= E для каждого i = 1, r. Из этого следует, что M ∩Nd G — свободная абелева подгруппа ранга r нормы Nd G. Теорема 1.3 доказана. Лемма 1.3. Если норма Nd G разложимых подгрупп произвольной группы G недедекиндова и группа G содержит непримарную циклическую подгруппу 〈x〉 × 〈y〉 = 〈xy〉 порядка pmqn (p, q — различные простые числа), то 〈 xp m−1 yq n−1 〉 ⊂ Nd G. Доказательство. Пусть G ⊃ 〈x〉 × 〈y〉, где \|x\| = pm, \|y\| = qn, m ≥ 1, n ≥ 1, p, q− различные простые числа. Тогда 〈x, y〉 является Nd G-допyстимой подгруппой, а значит, Nd G- допустимыми будут и подгруппы 〈x〉 и 〈y〉. Поскольку Nd G — недедекиндова группа, то в силу леммы 1.1 〈x〉 ∩Nd G 6= E, 〈y〉 ∩Nd G 6= E. Следовательно, 〈 xp m−1 yq n−1 〉 ⊂ Nd G. Лемма 1.3 доказана. Очевидным следствием леммы 1.3 является следующая теорема, касающаяся как периоди- ческих, так и непериодических групп. Теорема 1.4. Произвольная группа G, имеющая недедекиндову норму Nd G разложимых подгрупп, тогда и только тогда содержит непримарные абелевы подгруппы, когда подгруппы с таким свойством содержит ее норма Nd G. 2. О непериодических группах с недедекиндовой локально нильпотентной нормой разложимых подгрупп. В работе [4] установлено, что неабелевы локально нильпотентные группы, все разложимые подгруппы которых нормальны (или система таких подгрупп пуста), в периодическом случае являются либо кватернионными 2-группами, либо HAp-группами (p- группами, в которых нормальны все абелевы нециклические подгруппы), а в непериодическом — группами одного из типов 4 или 5 при n > 1 предложения 2. Как будет показано ниже, в классе локально нильпотентных непериодических групп из условия недедекиндовости нор- мы разложимых подгрупп следует нормальность всех разложимых подгрупп в группе и, как следствие, совпадение указанной нормы с группой. Теорема 2.1. В непериодической локально разрешимой группе G норма Nd G разложимых подгрупп локально нильпотентна и недедекиндова тогда и только тогда, когда Nd G является непериодической di-группой одного из типов 4 или 5 при n > 1 предложения 2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 1684 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА Доказательство. Достаточность условий теоремы очевидна, так как каждая из групп, указанных в условии теоремы, нильпотентна класса 2. Докажем их необходимость. Пусть норма Nd G разложимых подгрупп непериодической ло- кально разрешимой группы G является периодической локально нильпотентной недедекин- довой подгруппой. Из описания di-групп [4] следует, что Nd G является либо кватернионной 2-группой порядка больше 8, либо HAp-группой (см. [7]). В каждом из этих случаев Nd G содержит конечную нормальную в G подгруппу F . Поскольку [G : CG(F )] < ∞, то найдет- ся элемент x бесконечного порядка такой, что x ∈ CG(F ). Из этого следует, что подгруппа 〈x, F 〉\|F \| = 〈x〉\|F \| будет Nd G-допустимой. Oтсюда в силу леммы 1.1 Nd G должна быть дедекин- довой, что противоречит условию. Значит,Nd G — локально нильпотентная непериодическая di-группа. Из описания таких групп (предложения 1, 2) заключаем, что локально нильпотентными среди них будут лишь группы типа 4 или 5 при n > 1 предложения 2. Теорема 2.1 доказана. Следующая теорема дает полное описание непериодических локально нильпотентных групп, у которых норма Nd G разложимых подгрупп недедекиндова. Теорема 2.2. В непериодической локально нильпотентной группе G норма Nd G разложи- мых подгрупп тогда и только тогда недедекиндова, когда G = Nd G и G — группа одного из типов: 1) G = Q×B, где Q — группа кватернионов, B — абелева группа без кручения ранга 1; 2) G = 〈a〉 h B, где \|a\| = pn, p — простое число, n > 1, B — неполная абелева группа без кручения ранга 1 и [〈a〉 , B] = 〈 ap n−1 〉 . Доказательство. Достаточность условий теоремы очевидна. Покажем их необходимость. Пусть G — локально нильпотентная непериодическая группа, имеющая недедекиндову норму Nd G. По теореме 2.1 Nd G является группой одного из типов 1 или 2 этой теоремы. Учитывая, что все разложимые абелевы подгруппы нормы Nd G являются смешанными, и применяя теорему 1.1, делаем вывод, что в группеG любая разложимая абелева подгруппа также будет смешанной. Поэтому периодическая часть T (G) группы G не содержит разложимых подгрупп и в силу предложения 1 является либо локально циклической p-группой для некоторого простого числа p, либо кватернионной 2-группой (конечной или бесконечной). Следовательно, T (G) ∩ Nd G ⊃ 〈a1〉, где \|a1\| = p. Так как 〈a1〉 / G и группа G локально нильпотентна, то 〈a1〉 ⊆ Z(G). Покажем, что в группе G любая пара бесконечных циклических подгрупп имеет нетри- виальное пересечение. В самом деле, если x, y ∈ G, \|x\| = \|y\| = ∞, то подгруппы 〈a1, x〉 и 〈a1, y〉 будyт Nd G-допустимыми, а потому подгруппы 〈xp〉 и 〈yp〉 также Nd G-допустимы. Так как Nd G недедекиндова, то по лемме 1.1 〈xp〉 ∩ Nd G 6= E и 〈yp〉 ∩ Nd G 6= E. Тогда 〈xp〉 ∩ B 6= E, 〈yp〉∩B 6= E и потому 〈x〉∩〈y〉 6= E. Из этого следует, что G/T (G) — локально нильпотентная группа без кручения и без разложимых подгрупп. В силу предложения 1 она является абелевой группой без кручения ранга 1, откуда коммутант G′ ⊂ T (G). Далее рассмотрим каждый из указанных случаев для нормы Nd G отдельно. 1. Пусть Nd G = Q×B — группа типа 1 теоремы 2.1, где Q = 〈q1, q2〉 — группа кватернионов, \|q1\| = \|q2\| = 4, q1 2 = q2 2, q2 −1q1q2 = q1 −1, B — абелева группа без кручения ранга 1. Тогда T (G) является кватернионной 2-группой. Пусть 〈q〉 ⊂ T (G) , где \|q\| = 8. Тогда 〈q〉 — единственная циклическая подгруппа порядка 8 в T (G) , откуда 〈q〉 /G. Не нарушая общности ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУППАХ 1685 рассуждений, полагаем q2 = q1. Возьмем элемент b ∈ B бесконечного порядка, перестановоч- ный с qq2. Тогда (〈b〉×〈qq2〉) — Nd G-допустимая подгруппа и 〈qq2〉 также будет Nd G-допустимой. Но [qq2, q2] = q1 −1 = q−2 /∈ 〈qq2〉. Следовательно, T (G) = T ( Nd G ) = Q. Пусть C = CG (Q) — централизатор подгруппы Q в G. Поскольку для каждого элемента g ∈ G бесконечного порядка подгруппа 〈 q21, g 〉 Nd G-допустима, то 〈 g2 〉 также Nd G-допустима и g2 ∈ C. Отсюда следует, что exp (G/C) = 2 и потому G/C абелева. Следовательно, коммутант G′ ⊆ Q ∩ C = 〈 q21 〉 . Поскольку каждая разложимая подгруппа группы G содержит G′, то в G все разложимые подгруппы нормальны и потому в этом случае G = Nd G. 2. Пусть Nd G = 〈a〉 h B — группа типа 2 теоремы 2.1, где \|a\| = pn, p — простое число, n > 1, а B — неполная абелева группа без кручения ранга 1, [〈a〉 , B] = 〈 ap n−1 〉 = 〈a1〉. Допустим, что T (G) 6= 〈a〉. Так как T (G) не содержит разложимых подгрупп, то либо найдется такой элемент c ∈ T (G), что cp = a, либо T (G) = 〈a, q〉 — кватернионная 2-группа, где \|a\| = 2n, n > 1, \|q\| = 4, q2 = a1, q −1aq = a−1. Если T (G) содержит элемент c такой, что cp = a, то из условия [〈a〉 , B] 6= E следует [a, b] = a1 для некоторого элемента b ∈ B. Так как a1 ∈ Z(G) и \|bc\| = ∞, то (〈a1〉 × 〈bc〉) — Nd G-допустимая подгруппа, откуда [bc, b] ∈ G′ ∩ 〈bc, a1〉 = 〈a1〉. Положим [bc, b] = [c, b] = aα1 , тогда [a, b] = [cp, b] = [c, b]p = 1, что невозможно. Значит, T (G) = T (Nd G) = 〈a〉. Покажем теперь, что и в этом случае коммутант G′ группы G имеет простой порядок. Для этого достаточно убедиться, что любой неединичный коммутатор группы G имеет порядок p. Пусть x, y ∈ G и [x, y] 6= 1. Тогда подгруппа H = 〈T (G) , x, y〉 нильпотентна, a фактор-группа H/T (G) циклическая. Значит, H = T (G) h 〈h〉 для некоторого элемента h ∈ H , \|h\| =∞. Так как a1 ∈ T (G) ∩ Z(H), то подгруппа 〈a1, h〉 Nd G-допустима. Поэтому [T (G) , 〈h〉] ⊂ T (G) ∩ 〈a1, h〉 = 〈a1〉 , ∣∣H ′∣∣ = p, \|[x, y]\| = p, ∣∣G′∣∣ = p. В силу того, что любая разложимая подгруппа группыG является смешанной, она содержит коммутант G′, откуда G = Nd G и в G нормальны все разложимые подгруппы. Пусть теперь T (G) = 〈a, q〉 — кватернионная 2-группа, \|a\| = 2n, n > 1, \|q\| = 4, q2 = a1, q−1aq = a−1. В нильпотентной группе 〈T (G) , x〉 , где x ∈ G и \|x\| = ∞, периодическая часть неабелева и конечна. Поэтому xk ∈ CG (〈a, q〉) для некоторого натурального числа k. Тогда подгруппа (〈 xk 〉 × 〈q〉 ) Nd G-допустима и [a, q] ∈ 〈a〉 ∩ (〈 xk 〉 × 〈q〉 ) = 〈a1〉. Таким образом, \|a\| = 4 и T (G) = 〈a, q〉 — группа кватернионов порядка 8. Повторяя рассуждения из пункта 1, получaeм G′ ⊆ T (G)∩CG(T (G)) = 〈a1〉, откуда G — di-группа. Значит, G = T (G)×B = Nd G, что противоречит условию. Итак, этот случай невозможен и теорема 2.2 доказана. Следствие 2.1. Произвольная непериодическая локально нильпотентная группа G, имею- щая недедекиндову норму Nd G разложимых подгрупп, нильпотентна класса 2. Отметим, что класс непериодических групп с локально нильпотентной недедекиндовой нор- мой Nd G является болем широким, чем класс локально нильпотентных непериодических групп с такими же ограничениями на данную норму. Следующий пример показывает, что существу- ют непериодические не локально нильпотентные группы, у которых норма Nd G разложимых подгрупп является недедекиндовой нильпотентной группой. Пример 2.1. Пусть G = Bh〈q1, q2〉, где B — абелева группа без кручения ранга 1, \|q1\| = 8, \|q2\| = 4, q1 4 = q2 2, q2 −1q1q2 = q1 −1, [B, 〈q2〉] = E, q1 −1 bq1 = b−1 для всех b ∈ B. Группа G не локально нильпотентна, а ее норма Nd G = 〈 q1 2, q2 〉 ×B нильпотентна. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 1686 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА 3. Взаимосвязи между нормами разложимых подгрупп и абелевых нециклических под- групп в непериодических локально разрешимых группах. В этом пункте будут рассмот- рены взаимосвязи между нормами разложимых и абелевых нециклических подгрупп. Нормой абелевых нециклических подгрупп группы G будем называть пересечение нормализаторов всех еe абелевых нециклических подгрупп (при условии, что система таких подгрупп непуста) и обозначать ее NA G [8]. Очевидно, что если в непериодической группе G множества абелевых нециклических и разложимых подгрупп совпадают, то совпадают и соответствующие нормы. С другой стороны, из равенства указанных норм не следует совпадение множеств абелевых нециклических и разложимых подгрупп. Пример 3.1. Рассмотрим IH-группу С. Н. Черникова [6, c. 176] G = Ah 〈b〉 , где A ⊇ A1 × 〈c1〉 × 〈c2〉 и A1 — нециклическая подгруппа без кручения ранга 1, \|b\| = 2, b−1ab = a−1 для любого элемента a ∈ A, \|c1\| = p, \|c2\| = q, p и q — различные простые нечетные числа. В данной группе подгруппа A1 неразложимая нециклическая, а подгруппа 〈c1〉 × 〈c2〉 разложимая циклическая. В то же время Nd G = NA G = G. Следующие примеры показывают, что в непериодической локально разрешимой группе возможны включения Nd G⊂ N A G или NA G ⊂ Nd G. Пример 3.2. G = (((〈a1〉 × 〈a2〉 × . . . × 〈a6〉) h 〈b〉) h 〈c〉) h 〈d〉 , где \|ai\| = ∞, i = 1, 6, \|b\| = 7, \|c\| = 3, \|d\| = 4, b−1aib = ai+1, i = 1, 5, b−1a6b = a−11 a−12 . . . a−16 , c−1a1c = a2, c−1a2c = a−11 a−12 , c−1a3c = a4, c−1a4c = a−13 a−14 , c−1a5c = a6, c−1a6c = a−15 a−16 , c−1bc = b2, d−1aid = a−1i , i = 1, 6, [b, d] = [c, d] = 1. В этой группе NA G = 〈a1, a2, . . . , a6, d〉. Так как ani /∈ NG (〈b, d〉) для i = 1, 6, b /∈ NG (〈 ai, d 2 〉) , c /∈ NG (〈 ai, d 2 〉) и d /∈ NG( 〈 a1b, d 2 〉 ), то Nd G = 〈 d2 〉 = Z (G) и Nd G⊂ N A G. Пример 3.3. G = 〈a〉 h B, где \|a\| = p — простое нечетное число (p 6= 2), B — неполная абелева нециклическая подгруппа без кручения ранга 1 и G′ = 〈a〉 . В этой группе Nd G = G. Так как a /∈ NG (B), то NA G ⊂ Nd G. Лемма 3.1. Если норма Nd G разложимых подгрупп непериодической группы G недедекин- дова и все ее разложимые абелевы подгруппы смешанные, то NA G ⊆ Nd G, причем возможен случай NA G 6= Nd G. Доказательство. В силу теоремы 1.1 каждая разложимая абелева подгруппа группы G является смешанной. Следовательно, имеет место включение NA G ⊆ Nd G. Примером группы, в которой NA G 6= Nd G, является группа из примера 3.3. Лемма 3.1 доказана. Теорема 3.1. Если нормаNd G разложимых подгрупп непериодической локально разрешимой группы G локально нильпотентна и недедекиндова, то NA G ⊆ Nd G, причем имеют место оба случая NA G ⊂ Nd G и NA G = Nd G. Доказательство. По теореме 2.1 норма Nd G является непериодической группой одного из типов 1 или 2 этой теоремы. В обоих случаях все разложимые абелевы подгруппы нормы Nd G являются смешанными. Учитывая теорему 1.1, приходим к заключению, что все разложимые абелевы подгруппы группы G также будут смешанными, a потому нециклическими. Следова- тельно, имеет место включение NA G ⊆ Nd G. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУППАХ 1687 Включение будет строгим, например, в случае G = Nd G = Q×B, где Q = 〈q1, q2〉 — группа кватернионов порядка 8, а группа B изоморфна аддитивной группе рациональных чисел. В этом случае подгруппа содержит бесконечную последовательность подгрупп 〈b1〉 ⊂ 〈b2〉 ⊂ . . . 〈bn〉 ⊂ . . . , где \|b1\| =∞, bαn+1 n+1 =bn и (αn+1, 2) = 1 для n = 1, 2, . . . . Нетрудно показать, что изолятор A [9, с. 411] подгруппы 〈q1b1〉 нециклический, так как из элемента q1 извлекается корень любой нечетной степени. При этом A 6C G, поскольку [q2, A] = [q2, q1] /∈ A. Значит, NA G = 〈 q21 〉 ×B = Z (G) 6= Nd G = G. Если G = Nd G = Q × B, где Q = 〈q1, q2〉 — группа кватернионов порядка 8 и B — груп- па, изоморфная аддитивной группе двоичных дробей или бесконечная циклическая, то в G нормальны все разложимые подгруппы и все абелевы нециклические подгруппы [10]. Следо- вательно, в этом случае NA G = Nd G. Теорема 3.1 доказана. Лемма 3.2. Если в локально разрешимой непериодической группе G выполняются условия NA G * Nd G и Nd G* N A G, то еe норма Nd G разложимых подгрупп дедекиндова. Доказательство. Пусть в локально разрешимой непериодической группе G нормы NA G и Nd G удовлетворяют условиям леммы. Тогда G содержит абелеву нециклическую неразложи- мую подгруппу B, не являющуюся Nd G-допустимой, и непримарную циклическую подгруппу 〈c〉, не являющуюся NA G -допустимой. Очевидно, что в таком случае B является либо квазицик- лической группой, либо локально циклической группой без кручения ранга 1. Покажем, что в такой группе норма Nd G разложимых подгрупп дедекиндова. Если Nd G — непериодическая группа, то, учитывая, что подгруппа 〈c〉 является Nd G-допустимой, делаем вы- вод, что существует элемент x бесконечного порядка, принадлежащий централизатору CG(c). Тогда абелева подгруппа 〈c, x〉, а вместе с ней и ее характеристическая подгруппа 〈c〉 явля- ются NA G -допустимыми, что противоречит выбору 〈c〉. Значит, Nd G — периодическая локально разрешимая группа. Если при этом ∣∣Nd G ∣∣ <∞, то Nd G дедекиндова по лемме 1.1. Пусть Nd G — бесконечная периодическая группа. Предположим, что Nd G не удовлетворяет условию минимальности для абелевых подгрупп. Тогда в группе Nd G ∩ CG(c) можно выделить такие абелевы нециклические подгруппы A1 и A2, что (A1 ∪A2) ∩ 〈c〉 = E, A1 ∩ A2 = E. Но в таком случае подгруппа 〈A2, c〉 ∩ 〈A1, c〉 = 〈c〉 будет NA G -допустимой, что противоречит ее выбору. Значит,Nd G — группа с условием минимальности для абелевых подгрупп. По следствию 1.1 и в этом случае норма Nd G дедекиндова. Лемма 3.2 доказана. Теорема 3.2. Если в непериодической локально разрешимой группе G хотя бы одна из норм NA G или Nd G недедекиндова и норма Nd G бесконечна, то имеет место одно из включений NA G ⊆ Nd G или Nd G ⊆ NA G . Доказательство. Если норма Nd G разложимых подгрупп группы G недедекиндова, то утверждение теоремы следует из леммы 3.2. Поэтому в дальнейшем будем считать, что Nd G — дедекиндова группа, а недедекиндовой является норма NA G абелевых нециклических подгрупп группы G. Нетрудно показать, что в таком случае норма NA G бесконечна. Предположим, что при этих условиях NA G + Nd G и NA G * Nd G. Так как норма Nd G беско- нечна, то из доказательства леммы 3.2 следует, что она дедекиндова и удовлетворяет условию минимальности. Значит, Nd G является конечным расширением полной подгруппы P . Из пред- положения также следует, что группа G содержит непримарную циклическую подгруппу 〈c〉, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 1688 Ф. Н. ЛИМАН, Т. Д. ЛУКАШОВА не являющуюся NA G -допустимой, и абелеву нециклическую неразложимую подгруппу B, кото- рая не является Nd G-допустимой. При этом B является либо квазициклической группой, либо локально циклической группой без кручения ранга 1. Далее рассмотрим отдельно каждый из указанных выше случаев для подгруппы B. 1. Пусть B — квазициклическая подгруппа. Покажем, что в этом случае она является мак- симальной абелевой подгруппой группы G. Действительно, в противном случае в G найдется неединичная подгруппа 〈g〉 такая, что B ∩ 〈g〉 = E, [B, 〈g〉] = E. Тогда подгруппа B × 〈g〉 будет Nd G-допустимой. При этом если \|g\| = ∞, то Nd G-допустимой будет и подгруппа B, как характеристическая подгруппа группы B × 〈g〉 , что противоречит ее выбору. Если \|g\| < ∞, то подгруппа 〈B, g〉\|g\| = B также будет Nd G-допустимой. Значит, B — максимальная абелева подгруппа группы G и B 6C G. Применяя следствие 1.3 [6] к группе G1 = BNd G и учитывая, что Nd G является конечным расширением полной подгруппы P , заключаем, что G1 — группа с условием минимальности для абелевых подгрупп. Поскольку B — максимальная абелева подгруппа, то B = P / Nd G, что противоречит выбору B. Значит, B не может быть квазициклической группой. 2. Рассмотрим теперь случай, когда B — локально циклическая группа без кручения ранга 1. Так как подгруппа 〈c〉 непримарна и не является NA G -допустимой, то хотя бы одна из ее силовских подгрупп также не будет NA G -допустимой. Пусть такой будет подгруппа 〈c〉p, где p — простое число. Если p /∈ π(P ) или P непримарна, то в P можно выделить квазицикличе- скую q-подгруппу P1, где q 6= p, 〈c〉pP1 = 〈c〉p × P1 и 〈c〉p — NA G -допустимая подгруппа, что противоречит ее выбору. Значит, 〈c〉pP — p-группа. Если 〈c〉p ⊂ P, то 〈c〉p — подгруппа некоторой квазициклической p-группы, и потому она также будет NA G -допустимой, что невозможно. Пусть 〈c〉p 6⊂ P . Если полная p-группа P не является квазициклической, то 〈c〉pP содержит элементарную абелеву подгруппу порядка p3. В этом случае существует подгруппа 〈a1〉 × 〈a2〉 порядка p2 такая, что 〈c〉p ∩ 〈a1, a2〉 = E. Тогда подгруппа ( 〈a1〉 × 〈c〉p ) ∩ ( 〈a2〉 × 〈c〉p ) = 〈c〉p будет NA G -допустимой, что противоречит ее выбору. Значит, P — квазициклическая p-группа и существует такой элемент a ∈ 〈c〉pP порядка p, что подгруппа 〈a〉 × 〈c〉p будет NA G -допустимой. Если при этом подгруппа NA G непериодическая, то существует такой элемент x ∈ NA G, что \|x\| = ∞ и [ 〈x〉 , 〈c〉p ] = E. Следовательно, подгруппа 〈x〉 × 〈c〉p, а значит, и подгруппа 〈c〉p являютсяNA G -допустимыми. Снова получили противоречие. Итак,NA G — периодическая группа. Тогда в группеNA GB = NA G×B нормальной будет каждая подгруппа нормыNA G , следовательно, NA G дедекиндова, что противоречит условию. Теорема 3.2 доказана. Как показывают следующие примеры, условие бесконечности нормы Nd G в теореме 3.2 является существенным. Пример 3.4. G = (〈a〉hB) h 〈c〉, где \|a\| = p − простое число (p 6= 2), B — группа, изо- морфная аддитивной группе q-ичных дробей, q /∈ {2, p} , B = B1 〈x〉 , x2 ∈ B1, x −1ax = a−1, [B1 〈, a〉] = E, \|c\| = 2, [c, a] = 1, c−1bc = b−1 для любого элемента b ∈ B. В этой группе все периодические разложимые подгруппы имеют порядок 2p и являются группами вида 〈 amcbk1 〉 , где b1∈ B1, k ∈ {0, 1} , (m, p) = 1. Соответственно, все непериодиче- ские разложимые подгруппы являются смешанными, содержатся в группе B1 × 〈a〉 и потому являются нормальными в G. Поскольку NG (〈 amcbk1 〉) = 〈 amcbk1 〉 , то Nd G = 〈a〉 . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 О НОРМЕ РАЗЛОЖИМЫХ ПОДГРУПП В НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУППАХ 1689 Найдем теперь норму NA G абелевых нециклических подгрупп группы G. Очевидно, что G не содержит периодических абелевых нециклических подгрупп, а все смешанные абелевы подгруппы содержат 〈a〉 и являются подгруппами группы (B1 × 〈a〉) . Легко убедиться, что все они нормальны в G. Далее, все абелевы нециклические подгруппы ранга 1 либо содержатся в подгруппе B, либо в сопряженных ей подгруппах g−1Bg, g ∈ G, либо в группе (B1 × 〈a〉). Рассмотрим бесконечную последовательность подгрупп в B1: 〈b1〉 ⊂ 〈b2〉 ⊂ . . . 〈bn〉 ⊂ . . . , \|b1\| = ∞, bαn+1 n+1 = bn, αn+1 ∈ N, (αn+1, p) = 1 для n = 1, 2, . . . . Нетрудно показать, что изолятор подгруппы 〈ab1〉 нециклический, так как из элемента a извлекается корень любой степени, взаимно простой с p. При этом NG (A) = 〈a,B1〉. Учитывая, что NG (B) = B h 〈c〉, получаем NA G = B1 и Nd G ∩NA G = E. Пример 3.5. G = (〈a〉hB)h〈c〉, где \|a\| = p— простое число (p 6= 2),B — группа, изоморф- ная аддитивной группе p-ичных дробей, B = B1 〈x〉 , x2 ∈ B1, x−1ax = a−1, [B1 〈, a〉] = E, \|c\| = 2, [c, a] = 1, c−1bc = b−1 для любого элемента b ∈ B. Как и в примере 3.4, в этой группе норма разложимых подгрупп Nd G = 〈a〉 . Однако норма абелевых нециклических подгрупп NA G = (B1 h 〈c〉). Это следует из того, что для любого неединичного элемента y1 ∈ B1 изолятор подгруппы 〈ay1〉 циклический, и потому элемент c нормализует любую абелеву нециклическую подгруппу группы G. В этом случае норма NA G абелевых нециклических подгрупп недедекиндова и Nd G ∩NA G = E. 1. Baer R. Der Kern, eine charakteristische Untergruppe // Comp. Math. – 1934. – 1. – Р. 254 – 283. 2. Лиман Ф. Н., Лукашова Т. Д. О норме разложимых подгрупп в локально конечных группах // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 4. – С. 480 – 488. 3. Liman F. M., Lukashova T. D. About non-periodic groups with non-Dedekind norms of decomposable subgroups // 9th Int. Algebr. Conf. in Ukraine (L’viv, July 8-13, 2013). – L’viv, 2013. – P. 116. 4. Лиман Ф. Н. Группы, все разложимые подгруппы которых инвариантны // Укр. мат. журн. – 1970. – 22, № 6. – С. 725 – 733. 5. Блудов В.В. О группах Фробениуса // Сиб. мат. журн. – 1997. – 38, № 6. – С. 1219 – 1221. 6. Черников С. H. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980. – 384 с. 7. Лиман Ф.Н. Периодические группы, все абелевы нециклические подгруппы которых инвариантны // Группы с ограничениями для подгрупп. – Киев: Наук. думка, 1971. – С. 65 – 96. 8. Лукашова Т. Д. Про норму абелевих нециклiчних пiдгруп нескiнченних локально скiнченних p-груп (р6= 2) // Вiсн. Київ. ун-ту. Фiз.-мат. науки. – 2004. – № 3. – С. 35 – 39. 9. Курош А. Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967. – 648 с. 10. Лиман Ф. Н. Непериодические группы с некоторыми системами инвариантных подгрупп // Алгебра и логика. – 1968. – 7, № 4. – С. 70 – 86. Получено 13.01.15 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12

О норме разложимых подгрупп в непериодических группах

Institution

Ähnliche Einträge