Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі
Введен новый класс почти периодических операторов. Также получены условия существования почти периодических и устойчивых по Пуассону решений разностных уравнений в метрическом пространстве, которые могут не быть почти периодическими по Бохнеру....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165930 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1707–1714. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165930 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1659302020-02-18T01:26:44Z Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі Слюсарчук, В.Ю. Статті Введен новый класс почти периодических операторов. Также получены условия существования почти периодических и устойчивых по Пуассону решений разностных уравнений в метрическом пространстве, которые могут не быть почти периодическими по Бохнеру. We introduce a new class of almost periodic operators and establish the conditions of existence of almost periodic and Poisson stable solutions of difference equations in metric spaces that can be not almost periodic in Bochner’s sense. 2015 Article Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1707–1714. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165930 517.925.52 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Слюсарчук, В.Ю. Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі Український математичний журнал |
| description |
Введен новый класс почти периодических операторов. Также получены условия существования почти периодических и устойчивых по Пуассону решений разностных уравнений в метрическом пространстве, которые могут не быть почти периодическими по Бохнеру. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_short |
Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_full |
Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_fullStr |
Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_full_unstemmed |
Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| title_sort |
майже періодичні та стійкі за пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165930 |
| citation_txt |
Майже періодичні та стійкі за Пуассоном розв’язки різницевих рівнянь у метричному просторі / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1707–1714. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû majžeperíodičnítastíjkízapuassonomrozvâzkiríznicevihrívnânʹumetričnomuprostorí |
| first_indexed |
2025-07-14T20:23:40Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:23:40Z |
| _version_ |
1837655259707604992 |
| fulltext |
УДК 517.925.52
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА СТIЙКI ЗА ПУАССОНОМ РОЗВ’ЯЗКИ
РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ У МЕТРИЧНОМУ ПРОСТОРI
We introduce a new class of almost periodic operators and establish the conditions of existence of almost periodic and
Poisson stable solutions of difference equations in metric spaces that can be not almost periodic in Bochner’s sense.
Введен новый класс почти периодических операторов, а также получены условия существования почти периоди-
ческих и устойчивых по Пуассону решений разностных уравнений в метрическом пространстве, которые могут не
быть почти периодическими по Бохнеру.
1. Основнi позначення, означення та об’єкт дослiджень. Нехай M — метричний простiр iз
метрикою ρM , R — множина всiх дiйсних чисел, Z — множина всiх цiлих чисел i N — множина
всiх натуральних чисел. Зафiксуємо довiльний елемент m ∈M. Позначимо через C метричний
простiр усiх неперервних на R функцiй x = x(t) зi значеннями в M, для кожної з яких
sup
t∈R
ρM (x(t),m) <∞,
з метрикою
ρ(x1, x2) = sup
t∈R
ρM (x1(t), x2(t)).
У просторi C визначимо оператор зсуву Sh, h ∈ R, за допомогою формули
(Shx)(t) = x(t+ h), t ∈ R.
Означення 1. Функцiя y ∈ C називається майже перiодичною (за Бохнером) (див. [1, 2]),
якщо замикання множини {Shy : h ∈ R} у просторi C є компактною пiдмножиною цього
простору.
Множина B майже перiодичних елементiв простору C є пiдпростором цього простору з
метрикою ρC.
Нехай B[a, r] — замкнена куля у просторi C з центром у точцi a ∈ C радiуса r, тобто
множина {x ∈ C : ρC(x, a) ≤ r}.
Означення 2. Оператор H : C → C називається майже перiодичним, якщо для кожних
функцiї a ∈ C, числа r > 0 i послiдовностi (hk)k≥1 дiйсних чисел iснує така пiдпослiдовнiсть
(hkl)l≥1, що
lim
l1→∞
l2→∞
sup
x∈B[a,r]
ρC
(
Shl1HS−hl1x, Shl2HS−hl2x
)
= 0.
Це означення у випадку лiнiйного майже перiодичного оператора H рiвносильне означен-
ню, що використовувалось Є. Мухамадiєвим при дослiдженнi оборотностi лiнiйних функцiо-
нальних операторiв у просторi обмежених на R функцiй зi значеннями у скiнченновимiрному
банаховому просторi [3, 4].
Нехай K — множина всiх непорожнiх компактних пiдмножин K ⊂ M i R(x) — множина
значень функцiї x = x(t), тобто множина {x(t) : t ∈ R}. Для компактної множини K ⊂ K
позначимо через DK множину всiх функцiй x ∈ C, для кожної з яких R(x) ⊂ K.
У подальшому будемо використовувати наступне означення майже перiодичного оператора.
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12 1707
1708 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Означення 3. Оператор H : C → C називається майже перiодичним, якщо для кожних
множини K ∈ K i послiдовностi (hk)k≥1 дiйсних чисел iснує така пiдпослiдовнiсть (hkl)l≥1,
що
lim
l1→∞, l2→∞
sup
x∈DK
ρC
(
Shl1HS−hl1x, Shl2HS−hl2x
)
= 0.
Зазначимо, що майже перiодичний за означенням 3 оператор H може не бути майже перiо-
дичним за означенням 2 (вiдповiдний приклад наведено в пунктi 2). Однак майже перiодичний
за означенням 2 оператор H є майже перiодичним i за означенням 3.
Позначимо через Ω множину всiх числових послiдовностей (ωn)n≥1, кожна з яких прямує
до +∞ або −∞.
Означення 4. Функцiя y ∈ C називається стiйкою за Пуассоном, якщо iснує послiдовнiсть
(ωn)n≥1 ∈ Ω, для якої
lim
n→∞
ρC(y, Sωny) = 0.
Очевидно, що кожна майже перiодична функцiя x ∈ C є стiйкою за Пуассоном.
Означення 5. Оператор H : C→ C називається стiйким за Пуассоном, якщо для кожної
множини K ∈ K iснує залежна вiд цiєї множини послiдовнiсть (ωn)n≥1 ∈ Ω, для якої
lim
n→∞
sup
x∈DK
ρC(Hx, SωnHS−ωnx) = 0.
Очевидно, що кожний майже перiодичний оператор H : C→ C є стiйким за Пуассоном.
Розглянемо рiзницевий оператор F : C→ C, що визначається за допомогою формули
(Fx)(t) = F (t, x(t), x(t+ h1), . . . , x(t+ hk)), t ∈ R,
де x ∈ C, k ∈ N, h1, . . . , hk ∈ R i F : R ×Mk+1 → M — вiдображення, для якого множина
F (R × M1 × . . . × Mk+1) є обмеженою для всiх обмежених множин M1, . . . ,Mk+1 ⊂ M.
Оператору F поставимо у вiдповiднiсть рiзницеве рiвняння
Fx = h, (1)
де h ∈ C.
Зазначимо, що оператор F може не бути неперервним.
Метою статтi є встановлення умов, при виконаннi яких обмеженi розв’язки рiвняння (1)
є майже перiодичними або стiйкими за Пуассоном. При дослiдженнi рiвняння (1) будемо ви-
користовувати один функцiонал, визначений на множинi розв’язкiв цього рiвняння, множини
значень яких є пiдмножинами компактних множин.
2. Приклад майже перiодичного за означенням 3 оператора, що не є майже перiодичним
за означенням 2. Нехай метричний простiр M є таким, що iснують функцiя y ∈ C i число
µ > 0, для яких:
1) y(t) = y(1) для всiх t < 1;
2) ρM (y(n1), y(n2)) ≥ µ, якщо n1, n2 ∈ N i n1 6= n2.
Таким простором є кожний нескiнченновимiрний банаховий простiр E, якщо метрику ρ
визначити за допомогою формули
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА СТIЙКI ЗА ПУАССОНОМ РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ. . . 1709
ρ(x1, x2) = ‖x1 − x2‖, x1, x2 ∈ E
(див. [5, c. 203]).
Розглянемо множину S усiх функцiй x ∈ C, замикання множин значень яких є компактними
пiдмножинами простору M.
Зафiксуємо довiльний елемент c простору M i розглянемо функцiю b = b(t), для якої
b(t) ≡ c.
Визначимо оператор G : C→ C за допомогою рiвностi
Gx =
{
b, якщо x ∈ S,
y, якщо x ∈M \S.
Очевидно, що для кожної компактної множини K ⊂M
{ShGS−hx : h ∈ R, x ∈ DK} = {ShGS−hx : h ∈ R, x ∈ S} = {b}.
Тому оператор G : C → C є майже перiодичним у сенсi означення 3. Однак цей оператор не
є майже перiодичним у сенсi означення 2. Справдi, зафiксуємо довiльну функцiю z ∈ C \ S.
Очевидно, що
ShGS−hz = Shy (2)
для кожного h ∈ R. Тому
ρC(Sm1y, Sm2y) = sup
t∈R
ρM (y(t+m1), y(t+m2)) ≥ ρM (y(m1), y(m2)) ≥ µ,
якщо m1 6= m2 i m1,m2 ∈ N.
Отже, якщо m1 6= m2 i {Shz : h ∈ R} ⊂ B[b, r] (r — деяке додатне число), то
sup
x∈B[b,r]
ρC (Sm1GS−m1x, Sm2GS−m2x) ≥ µ > 0.
Звiдси та iз спiввiдношення (2) випливає, що оператор G не є майже перiодичним у сенсi
означення 2.
3. Функцiонал δ. Зафiксуємо довiльну множину K ∈ K. Позначимо через N(F ,K) мно-
жину всiх розв’язкiв рiвняння (1), для кожного з яких R(x) ⊂ K. Вважатимемо, що
N(F ,K) 6= ∅.
Розглянемо функцiю x∗ ∈ N(F ,K), для якої
sup
{
ρM (x, y) : x, y ∈ R(x∗)
}
6= 0,
i додатне число
r(x∗,K) = sup
{
ρM (x, y) : x ∈ R(x∗), y ∈ K
}
.
Зафiксуємо довiльне число ε ∈ [0, r(x∗,K)]. Позначимо через Ω(x∗,K, ε) множину всiх
функцiй y ∈ C, для кожної з яких
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1710 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
R(y) ⊂ K
i
ρC(y, x∗) ≥ ε.
Розглянемо функцiонал
δ(x∗,K, ε) = inf
y∈Ω(x∗,K,ε)
ρC(Fy,Fx∗). (3)
Цей функцiонал будемо використовувати для дослiдження рiвняння (1).
4. Основнi результати. За допомогою визначеного рiвнiстю (3) функцiонала δ отримаємо
умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвняння (1), в яких на вiдмiну вiд вiдомої тео-
реми Амерiо про майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (див. [6, 7])
не використовуються H-клас рiвняння (1) та вiдокремленiсть розв’язкiв рiвнянь H-класу цього
рiвняння. Також наведемо умови iснування стiйких за Пуассоном розв’язкiв рiвняння (1).
Нехай Λ — обмежена пiдмножина простору C. Визначимо дiаметр diam Λ множини Λ
рiвнiстю
diam Λ = sup{ρM (x, y) : x, y ∈ Λ}.
Теорема 1. Нехай оператор F : C→ C є майже перiодичним у сенсi означення 3, h ∈ B i
K ∈ K.
Якщо для розв’язку x∗ ∈ N (F ,K) рiзницевого рiвняння (1) diamR(x∗) 6= 0 i виконується
спiввiдношення
δ(x∗,K, ε) > 0 (4)
для кожного ε ∈ (0, r(x∗,K)), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 1. Розв’язок x∗ ∈ N (F ,K) рiвняння (1), для якого diamR(x∗) = 0, є сталим
i, отже, майже перiодичним.
Доведення теореми 1. Припустимо, що розв’язок x∗ ∈ N (F ,K) рiвняння (1) не є еле-
ментом простору B. Тодi iснує послiдовнiсть
(
Shpx
∗)
p≥1
, для якої кожна пiдпослiдовнiсть(
Sτpx
∗)
p≥1
буде розбiжною. Отже, для деяких послiдовностей (pr)r≥1, (qr)r≥1 натуральних
чисел i числа γ ∈ (0,diamR(x∗))
ρC
(
Sτprx
∗, Sτqrx
∗) ≥ γ, r ≥ 1.
Тому
ρC
(
x∗, S−τprSτqrx
∗) ≥ γ, r ≥ 1,
i, отже,
S−τprSτqrx
∗ ∈ Ω(x∗,K, γ), r ≥ 1. (5)
Не обмежуючи загальностi доведення, можна на пiдставi включення h ∈ B вважати, що
lim
r→∞
ρC
(
S−τprh, S−τqrh
)
= 0. (6)
Зазначимо, що diamR(x∗)) ≤ r(x∗,K)). Не зменшуючи загальностi, можна вважати, що по-
слiдовнiсть (SτpFS−τpx)p≥1 збiгається рiвномiрно на DK . Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА СТIЙКI ЗА ПУАССОНОМ РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ. . . 1711
lim
p,q→∞
sup
x∈DK
ρC
(
SτpFS−τpx, SτqFS−τqx
)
= 0. (7)
Покажемо, що
δ(x∗,K, γ) = 0. (8)
Очевидно, що завдяки (3) i (5)
δ(x∗,K, γ) = inf
y∈Ω(x∗,K,γ)
ρC(Fy,Fx∗) ≤ ρC
(
FS−τprSτqrx
∗,Fx∗
)
, r ≥ 1. (9)
Оскiльки
ρC(FS−τprSτqrx
∗,Fx∗) =
= ρC
(
S−τpr
(
SτprFS−τpr
)
Sτqrx
∗, S−τqr
(
SτqrFS−τqr
)
Sτqrx
∗) ≤
≤ ρC
(
S−τpr
(
SτprFS−τpr
)
Sτqrx
∗, S−τpr
(
SτqrFS−τqr
)
Sτqrx
∗)+
+ρC
(
S−τpr
(
SτqrFS−τqr
)
Sτqrx
∗, S−τqr
(
SτqrFS−τqr
)
Sτqrx
∗) =
= ρC
((
SτprFS−τpr
)
Sτqrx
∗,
(
SτqrFS−τqr
)
Sτqrx
∗)+ ρC
(
S−τprSτqrh, S−τqrSτqrh
)
≤
≤ sup
x∈DK
ρC
(
SτprFS−τprx, SτqrFS−τqrx
)
+ ρC
(
S−τprh, S−τqrh
)
, r ≥ 1,
то на пiдставi (6), (7) i (9) справджується рiвнiсть (8). Це суперечить (4). Отже, припущення,
що розв’язок x∗ ∈ N(F ,K) рiвняння (1) не є елементом простору B, хибне.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай K ∈ K та iснує послiдовнiсть (ωn)n≥1 ∈ Ω, для якої виконуються
спiввiдношення
lim
n→∞
ρC(h, Sωnh) = 0 (10)
i
lim
n→∞
sup
x∈DK
ρC(Fx, SωnFS−ωnx) = 0. (11)
Якщо для розв’язку x∗ ∈ N (F ,K) рiзницевого рiвняння (1) diamR(x∗) 6= 0 i
δ(x∗,K, ε) > 0 (12)
для кожного ε ∈ (0, r(x∗,K)), то цей розв’язок є стiйким за Пуассоном i
lim
n→∞
ρC(x∗, Sωnx
∗) = 0. (13)
Зауваження 2. Розв’язок x∗ ∈ N (F ,K) рiвняння (1), для якого diamR(x∗) = 0, є сталим
i, отже, цей розв’язок є стiйким за Пуассоном.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1712 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зауваження 3. У теоремi 2 функцiя h i розв’язок x∗ рiвняння (1) є сумiсно стiйкими за
Пуассоном.
Доведення теореми 2. Припустимо, що спiввiдношення (13) не виконується. Тодi
lim
n→∞
ρC(x∗, Sωnx
∗) > 0
та iснують число µ ∈ (0, r(x∗,K)] i пiдпослiдовнiсть (ωnk
)k≥1 послiдовностi (ωn)n≥1, для яких
ρC
(
x∗, Sωnk
x∗
)
≥ µ, k ≥ 1,
i, отже,
ρC
(
x∗, S−ωnk
x∗
)
≥ µ, k ≥ 1.
Звiдси випливає, що
S−ωnk
x∗ ∈ Ω(x∗,K, µ), k ≥ 1,
i тому завдяки (3)
δ(x∗,K, µ) = inf
y∈Ω(x∗,K,µ)
ρC(Fy,Fx∗) ≤ ρC
(
FS−ωnk
x∗,Fx∗
)
, k ≥ 1. (14)
Покажемо, що
δ(x∗,K, µ) = 0. (15)
Оскiльки для кожного k ≥ 1
ρC
(
FS−ωnk
x∗,Fx∗
)
= ρC
(
S−ωnk
(
Sωnk
FS−ωnk
)
x∗,Fx∗
)
≤
≤ ρC
(
S−ωnk
(
Sωnk
FS−ωnk
)
x∗, S−ωnk
Fx∗
)
+ ρC
(
S−ωnk
Fx∗,Fx∗
)
=
= ρC
((
Sωnk
FS−ωnk
)
x∗,Fx∗
)
+ ρC
(
S−ωnk
h, h
)
=
= ρC
((
Sωnk
FS−ωnk
)
x∗,Fx∗
)
+ ρC
(
h, Sωnk
h
)
(тут використано нерiвнiсть трикутника), то на пiдставi (10) i (11)
lim
k→∞
ρC
(
FS−ωnk
x∗,Fx∗
)
= 0.
Звiдси та з (14) випливає (15), що суперечить (12).
Отже, припущення, що не виконується спiввiдношення (13), є хибним.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 4. Якщо для метрики ρM метричного простору M виконується спiввiдношен-
ня
inf{ρM (x, y) : x 6= y} > 0, (16)
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI ТА СТIЙКI ЗА ПУАССОНОМ РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ. . . 1713
x(t) ≡ c (17)
для кожної функцiї x = x(t) ∈ C, де c — елемент простору M, що залежить вiд x. Тому для
неперервних на R майже перiодичних або стiйких за Пуассоном розв’язкiв рiвняння (1) (у
теоремах 1 i 2) також справджується тотожнiсть (17).
Зазначимо, що спiввiдношення (16) виконується, якщо, наприклад, метричний простiр M є
скiнченною множиною.
5. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Функцiонали, аналогiчнi функцiоналу
δ, введено автором у статтях [8 – 12] для дослiдження нелiнiйних майже перiодичних рiвнянь
x(t+ 1) = f(t, x(t)), t ∈ R, (18)
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), t ∈ R, (19)
f(t, x(t)) = 0, t ∈ R, (20)
i
G(t, x(t), x(t−∆1), . . . , x(t−∆m)) = 0, t ∈ R. (21)
Тут f : R × E → E i G : R × Em+1 → E — неперервнi оператори, E — банаховий простiр
i ∆1, . . . ,∆m — довiльнi дiйснi числа. Аналогiчний функцiонал для дослiдження нелiнiйних
рiвнянь
x(n+ 1) = g(n, x(n)), n ∈ Z, (22)
i
S
(
t, x(t),
dx(t)
dt
)
= 0, t ∈ R, (23)
використано автором у [13] та [14]. У цих рiвняннях g i S — вiдображення, що дiють iз Z× E
i R × E × E вiдповiдно в E й аналогiчнi вiдображенню F iз пункту 1, за допомогою якого
визначається оператор F .
Наведенi в пунктi 4 умови iснування майже перiодичних та стiйких за Пуассоном розв’язкiв
рiвняння (1) у метричному просторi, що використовують функцiонал δ, є новими. У теоремi 1 на
вiдмiну вiд теореми Амерiо не використовуються H-клас рiвняння (1) та умова вiдокремлення
розв’язкiв рiвнянь H-класу цього рiвняння.
Дослiдженню розв’язкiв майже перiодичних рiвнянь присвячено багато публiкацiй. Для
звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першi теореми про майже перiодичнi розв’язки
були доведенi Фаваром у роботi [15], для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в
роботi [6]. У цих роботах суттєво використовуються H-класи дослiджуваних рiвнянь, а в [6]
використовується також вимога вiдокремленостi обмежених розв’язкiв рiвнянь. Результати Фа-
вара були покращенi Е. Мухамадiєвим [3, 4]. Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено
роботи [16 – 18]. Важливi результати в цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [2], Аме-
рiо [19] та В. В. Жикову [20]. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних
рiвнянь (18) – (23) без використання H-класiв цих рiвнянь отримано автором у [8 – 14].
Стiйкi за Пуассоном траєкторiї динамiчних систем та функцiональнi оператори дослiджу-
вались вiдповiдно в [21] i [22].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1714 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. – 1927. – 96. – I Teil. – P. 119 – 147. II Teil. –
P. 383 – 409.
2. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
3. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //
Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
4. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных урав-
нений // Мат. заметки. – 1981. – 30, № 3. – С. 443 – 460.
5. Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. – Київ: Вища шк., 1974. –
456 с.
6. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
mat. pura ed appl. – 1955. – 39. – P. 97 – 119.
7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
8. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з непе-
рервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – С. 118 – 124.
9. Slyusarchuk V. Yu. Conditions of almost periodicity for bounded solutions of nonlinear difference equations with
continuous argument // J. Math. Sci. – 2014. – 197, № 1. – P. 122 – 128.
10. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у
банаховому просторi // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 307 – 312.
11. Слюсарчук В. Ю. Критерiй iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь, що не використовує
H-класи цих рiвнянь // Буков. мат. журн. – 2013. – 1, № 1 – 2. – С. 136 – 138.
12. Слюсарчук В. Ю. Дослiдження майже перiодичних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом, що не
використовує H-класи цих рiвнянь // Буков. мат. журн. – 2013. – 1, № 3 – 4. – С. 137 – 143.
13. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дискретним
аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 3. – С. 416 – 425.
14. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв не розв’язаних вiдносно похiдної нелi-
нiйних диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 3. – С. 384 – 393.
15. Favard J. Sur leséquations différentielles á coefficients presquepériodiques // Acta math. – 1927. – 51. – P. 31 – 81.
16. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116(158), № 4(12). – С. 483 – 501.
17. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130(172), № 1(5). – C. 86 – 104.
18. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-дифферен-
циальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
19. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. – 1960. – 30. – P. 288 – 301.
20. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в случае про-
извольного банахова пространства // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 121 – 126.
21. Щербаков Б. А. Устойчивость по Пуассону движений динамических систем и решений дифференциальных
уравнений. – Кишинев: Штиинца, 1985. – 148 с.
22. Слюсарчук В. Е. Обратимость устойчивых по Пуассону функциональных операторов // Некоторые вопросы
теории асимптотических методов нелинейной механики. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. – C. 173 –
174.
Одержано 22.03.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
|