Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів
Известно, что сумма двух линейных непрерывных узких операторов на пространствах Lp при 1 < p < ∞ не обязательно должна быть узким оператором. Однако сумма узкого и компактного линейных непрерывных операторов является узким оператором. В работе М. Плиева и М. Попова начато исследование нелинейн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165932 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів / Г.І. Гуменчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1620–1625. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165932 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1659322020-02-18T01:28:36Z Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів Гуменчук, Г.І. Статті Известно, что сумма двух линейных непрерывных узких операторов на пространствах Lp при 1 < p < ∞ не обязательно должна быть узким оператором. Однако сумма узкого и компактного линейных непрерывных операторов является узким оператором. В работе М. Плиева и М. Попова начато исследование нелинейных узких операторов, в частности ортогонально аддитивных операторов. В настоящей статье доказано, что сумма узкого ортогонально аддитивного оператора и конечномерного латерально-нормировано непрерывного ортогонально аддитивного оператора, действующего из безатомной порядково полной векторной решетки в банахово пространство, является узким оператором. It is well known that the sum of two linear continuous narrow operators in the spaces Lp with 1 < p < ∞ need not be narrow. However, the sum of narrow and compact linear continuous operators is narrow. In a recent paper, M. Pliev and M. Popov started the investigation of nonlinear narrow operators and, in particular, of orthogonally additive operators. As our main result, we prove that the sum of a narrow orthogonally additive operator and a finite-rank laterally-to-norm continuous orthogonally additive operator acting from an atomless Dedekind complete vector lattice into a Banach space is narrow. 2015 Article Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів / Г.І. Гуменчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1620–1625. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165932 517.982 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гуменчук, Г.І. Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів Український математичний журнал |
| description |
Известно, что сумма двух линейных непрерывных узких операторов на пространствах Lp при 1 < p < ∞ не обязательно должна быть узким оператором. Однако сумма узкого и компактного линейных непрерывных операторов является узким оператором. В работе М. Плиева и М. Попова начато исследование нелинейных узких операторов, в частности ортогонально аддитивных операторов. В настоящей статье доказано, что сумма узкого ортогонально аддитивного оператора и конечномерного латерально-нормировано непрерывного ортогонально аддитивного оператора, действующего из безатомной порядково полной векторной решетки в банахово пространство, является узким оператором. |
| format |
Article |
| author |
Гуменчук, Г.І. |
| author_facet |
Гуменчук, Г.І. |
| author_sort |
Гуменчук, Г.І. |
| title |
Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів |
| title_short |
Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів |
| title_full |
Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів |
| title_fullStr |
Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів |
| title_full_unstemmed |
Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів |
| title_sort |
про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165932 |
| citation_txt |
Про суму вузького та скінченновимірного ортогонально адитивних операторів / Г.І. Гуменчук // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1620–1625. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT gumenčukgí prosumuvuzʹkogotaskínčennovimírnogoortogonalʹnoaditivnihoperatorív |
| first_indexed |
2025-07-14T20:23:47Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:23:47Z |
| _version_ |
1837655266808561664 |
| fulltext |
УДК 517.982
Г. I. Гуменчук (Чернiв. мед. коледж)
ПРО СУМУ ВУЗЬКОГО ТА СКIНЧЕННОВИМIРНОГО
ОРТОГОНАЛЬНО АДИТИВНИХ ОПЕРАТОРIВ
It is well known that the sum of two linear continuous narrow operators in the spaces Lp with 1 < p < ∞ need not
be narrow. However, the sum of narrow and compact linear continuous operators is narrow. In a recent paper, M. Pliev
and M. Popov started the investigation of nonlinear narrow operators and, in particular, of orthogonally additive operators.
As our main result, we prove that the sum of a narrow orthogonally additive operator and a finite-rank laterally-to-norm
continuous orthogonally additive operator acting from an atomless Dedekind complete vector lattice into a Banach space
is narrow.
Известно, что сумма двух линейных непрерывных узких операторов на пространствах Lp при 1 < p < ∞ не обя-
зательно должна быть узким оператором. Однако сумма узкого и компактного линейных непрерывных операторов
является узким оператором. В работе М. Плиева и М. Попова начато исследование нелинейных узких операторов,
в частности ортогонально аддитивных операторов. В настоящей статье доказано, что сумма узкого ортогонально
аддитивного оператора и конечномерного латерально-нормировано непрерывного ортогонально аддитивного опера-
тора, действующего из безатомной порядково полной векторной решетки в банахово пространство, является узким
оператором.
1. Вступ. 1.1. Термiнологiя та позначення. Ми будемо використовувати стандартнi вiдомостi
про векторнi ґратки, а також стандартнi позначення з [1].
Нехай E — векторна ґратка та x, y ∈ E. Елемент x називається фрагментом елемента
y (записується x v y), якщо x ⊥ (y − x) (у iншiй термiнологiї x називається компонентою
елемента y; ще кажуть, що x є уламком елемента y). Якщо E — векторна ґратка функцiй,
то x v y означає, що графiк функцiї x є пiдмножиною графiка функцiї y, якщо вiдкинути
ту частину графiка, в якiй функцiя x дорiвнює нулю. Неважко переконатися в тому, що v —
частковий порядок на E, який у роботi [2] названо латеральним порядком.
Елемент u > 0 векторної ґратки E називається атомом, якщо з умов 0 ≤ x ≤ u, 0 ≤ y ≤ u
та x ∧ y = 0 випливає, що x = 0, або y = 0. Векторна ґратка називається безатомною, якщо
вона не мiстить атомiв. Очевидно, ненульовий елемент x ∈ E є атомом тодi i лише тодi, коли
єдиними фрагментами x є 0 та сам x. Отже, векторна ґратка E є безатомною тодi i лише тодi,
коли кожний ненульовий елемент x ∈ E має такий фрагмент y v x, що 0 6= y 6= x. Сiтка
(xα)α∈Λ в E називається порядково збiжною до елемента x ∈ E (позначення xα
o−→ x), якщо
iснує сiтка (uα)α∈Λ в E (з тiєю ж самою множиною iндексiв) така, що uα ↓ 0 та |xβ − x| ≤ uβ
для всiх β ∈ Λ. Рiвнiсть x =
⊔n
i=1 xi означає, що x =
∑n
i=1
xi та xi⊥xj при i 6= j. Пiдмножина
A векторної ґратки E називається латерально обмеженою, якщо iснує e ∈ E такий, що x v e
для всiх x ∈ A. Згiдно з [3], сiтка (xα)α∈Λ в E називається латерально збiжною до елемента
x ∈ E (позначення xα
lat−→ x), якщо xα
o−→ x та для деякого iндексу α0 сiтка (xα)α≥α0 є
латерально обмеженою. Вiдображення f : E → X з векторної ґратки E у банахiв простiр X
називається:
порядково-нормовано неперервним у точцi x ∈ E, якщо для довiльної сiтки (xα) в E з
умови xα
o−→ x випливає ‖xα − x‖ → 0;
порядково-нормовано неперервним, якщо воно є таким у кожнiй точцi x ∈ E;
латерально-нормовано неперервним в точцi x ∈ E, якщо для довiльної сiтки (xα) в E з
умови xα
lat−→ x випливає ‖xα − x‖ → 0;
латерально-нормовано неперервним, якщо воно є таким у кожнiй точцi x ∈ E.
c© Г. I. ГУМЕНЧУК, 2015
1620 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
ПРО СУМУ ВУЗЬКОГО ТА СКIНЧЕННОВИМIРНОГО ОРТОГОНАЛЬНО АДИТИВНИХ ОПЕРАТОРIВ 1621
Оскiльки за означенням з латеральної збiжностi випливає порядкова збiжнiсть, то кожне поряд-
ково-нормовано неперервне вiдображення є латерально-нормовано неперервним.
1.2. Ортогонально адитивнi оператори на векторних ґратках. Ортогонально адитивнi
оператори, що дiють мiж векторними ґратками, було введено i дослiджено у 1990 р. Х. Ма-
зоном та С. Сегура де Леоном [4, 5], а згодом узагальнено на порядково-нормованi простори
А. Г. Кусраєвим та М. А. Плiєвим [6 – 8]. Питання продовження ортогонально адитивних опера-
торiв розглядалися у роботi [9]. У статтi [3] доведено, що латерально-нормована неперервнiсть
ортогонально адитивного оператора рiвносильна його латерально-нормованiй неперервностi
в нулi.
Нехай E — векторна ґратка та F — дiйсний лiнiйний простiр. Оператор T : E → F нази-
вається ортогонально адитивним, якщо T (x + y) = T (x) + T (y) для довiльних диз’юнктних
елементiв x, y ∈ E. З означень безпосередньо випливає, що T (0) = 0, а множина всiх ортого-
нально адитивних операторiв утворює лiнiйний простiр вiдносно природних лiнiйних операцiй.
Наведемо природнi приклади нелiнiйних ортогонально адитивних операторiв:
(1) (Ω,Σ, µ) — простiр з мiрою, 1 ≤ p <∞, T : Lp(µ)→ R, T (x) = ‖x‖p, x ∈ Lp(µ);
(2) E — безатомна векторна ґратка, Ti : E → E, T1(x) = x+, T2(x) = x−, T3(x) = |x|,
x ∈ E.
1.3. Вузькi оператори. Вузькi оператори, як узагальнення поняття компактного оператора
на функцiональних просторах, формально введено i дослiджено в роботi [10], але фактично
цi оператори також були предметом дослiджень до появи цiєї статтi. З сучасним станом теорiї
вузьких операторiв можна ознайомитися в оглядi [11], а також у монографiї [12].
Якщо простiр Кете E на безатомному просторi з мiрою (Ω,Σ, µ) має абсолютно неперервну
норму, то кожний компактний оператор з E у довiльний F -простiр є вузьким. Але на просторi
L∞, норма якого не є абсолютно неперервною, iснують лiнiйнi неперервнi невузькi функцiо-
нали. З iншого боку, навiть на просторi Lp при 1 < p < ∞ сума двох вузьких операторiв не
обов’язково повинна бути вузьким оператором. А отже, природно запитати: чи завжди сума
вузького та вузького компактного операторiв є вузьким оператором [12] (задача 5.6)? Позитив-
ну вiдповiдь на це питання надав В. В. Михайлюк у роботi [13]. У данiй роботi ми доводимо
аналогiчний результат для поняття вузького оператора, що дiє з векторної ґратки у банахiв
простiр, яке було розроблено в роботi [14].
2. Вузькi ортогонально адитивнi оператори та допомiжнi леми. Нехай E — безатомна
векторна ґратка, X — банахiв простiр. Зауважимо, що запис e = e1 t e2 для елементiв E
означає, що e подано у виглядi суми своїх диз’юнктних фрагментiв e1 та e2. Згiдно з [15],
ортогонально адитивний оператор T : E → X називається вузьким, якщо довiльний елемент
e ∈ E для довiльного числа ε > 0 допускає розбиття на диз’юнктнi фрагменти e = e1 t e2, для
якого ‖T (e1)− T (e2)‖ < ε.
НехайE — векторна ґратка та e ∈ E.Позначимо через Fe множину всiх фрагментiв елемента
e. Згiдно з теоремою 3.15 [1], якщо e ≥ 0, то Fe — булева алгебра вiдносно ґраткових операцiй
∨ та ∧, нуля та одиницi e, а ґратковий порядок ≤ збiгається з латеральним порядком v на Fe.
Бiльш того, якщо E — порядково повна векторна ґратка, то Fe також є порядково повною.
Лема 2.1. Нехай E — векторна ґратка, 0 < e ∈ E. Для довiльних x, y ∈ Fe маємо
x = x ∧ y t (x− x ∧ y).
Доведення. Оскiльки x ∧ y ≤ x та ґратковий порядок на Fe збiгається з латеральним, то
x ∧ y v x, а отже, x ∧ y ⊥ x− x ∧ y.
Лему 2.1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1622 Г. I. ГУМЕНЧУК
Будемо говорити, що пiдмножина D ⊆ Fe є латерально щiльною в Fe, якщо для довiльного
x ∈ Fe, x 6= 0, iснує d ∈ D такий, що 0 6= d v x. Векторну ґратку E називатимемо латерально
сепарабельною, якщо для довiльного e ∈ E iснує не бiльш нiж злiченна латерально щiльна
в Fe пiдмножина D ⊆ Fe. Послiдовнiсть (en)∞n=1 елементiв векторної ґратки E називається
диз’юнктним деревом на елементi e ∈ E, якщо e1 = e та en = e2n t e2n+1 для всiх n ∈ N.
Зрозумiло, що в цьому випадку всi en є фрагментами e. Крiм того, для кожного k = 1, 2, . . .
маємо e = e2k t e2k+1 t . . . t e2k+2k−1, а також для для довiльних iндексiв n ≥ 2k+1 iснує
єдиний iндекс ` ∈ {0, . . . , 2k − 1} такий, що en v e2k+`.
Лема 2.2. Нехай E — векторна ґратка та x, y ∈ E. Вiдношення x v y має мiсце тодi i
лише тодi, коли x+ v y+ та x− v y−.
Доведення. Нехай x v y, тобто y = xt (y−x). Тодi y+ = x+t (y−x)+, звiдки отримуємо
x+ ≤ y+ та (y − x)+ = y+ − x+. Отже, y+ = x+ t (y+ − x+), тобто x+ v y+. Аналогiчно,
x− ≤ y− та x− v y−.
Нехай x+ v y+ та x− v y−. Тодi з першого вiдношення випливає, що x+ ≤ y+. Тому
0 ≤ x+ ∧ y− ≤ y+ ∧ y− = 0, а отже, x+ ⊥ y−. Оскiльки, бiльш того, x+ ⊥ (y+ − x+) та
x+ ⊥ x−, то x+ ⊥ (y+− x+− y−+ x−), тобто x+ ⊥ (y− x). Аналогiчно, x− ⊥ (y− x), а тому
x ⊥ (y − x).
Лему 2.2 доведено.
Лема 2.3. Нехай E — безатомна порядково повна латерально сепарабельна векторна
ґратка. Тодi для довiльного e ∈ E iснує таке диз’юнктне дерево (en)∞n=1 на e, що для до-
вiльної послiдовностi номерiв m1 < m2 < . . . та довiльної послiдовностi fn v emn iснує
пiдпослiдовнiсть (fnk
)∞k=1, яка латерально прямує до нуля.
Доведення достатньо провести для довiльного e ≥ 0. Дiйсно, в загальному випадку за-
пишемо e = e+ − e− i скористаємося доведеним випадком, окремо побудувавши диз’юнктнi
дерева (e′n)∞n=1 на e+ та (e′′n)∞n=1 на e− з потрiбними властивостями. Покладемо en = e′n−e′′n для
всiх n ∈ N. Тодi для довiльної послiдовностi номерiвm1 < m2 < . . . та довiльної послiдовностi
fn v emn , згiдно з лемою 2.2 , матимемо f+
n v e′mn
та f−n v e′′mn
. Виберемо спочатку порядково
збiжну до нуля пiдпослiдовнiсть (f+
nk
)∞k=1, а потiм для послiдовностi номерiв mn1 < mn2 < . . .
та послiдовностi f−nk
v e′′mnk
порядково збiжну до нуля пiдпослiдовнiсть (f−nkj
)∞j=1. Нарештi
fnkj
= f+
nkj
− f−nkj
o−→ 0, а отже, fnkj
= f+
nkj
− f−nkj
lat−→ 0, оскiльки, згiдно з лемою 2.2,
fnkj
∈ Fe.
Отже, нехай e ∈ E+ та (dn)∞n=1 — латерально щiльна в Fe послiдовнiсть. Шукане дерево
задамо рекурентно:
e1 = e, e2n = en ∧ dn, e2n+1 = en − en ∧ dn, n = 1, 2, . . . .
Згiдно з лемою 2.1, en = e2n t e2n+1, а отже, (en)∞n=1 — диз’юнктне дерево на E.
Нехай задано послiдовнiсть номерiв m1 < m2 < . . . та послiдовнiсть fn v emn . Покажемо,
що iснує така послiдовнiсть `k ∈ {0, . . . , 2k − 1}, k = 1, 2, . . . , що
e2k+1+`k+1
v e2k+`k
, (1)
а також множина {n ∈ N : fn v e2k+`k
} є нескiнченною для всiх k ∈ N. При k = 1 маємо
e = e2 t e3. Якщо n ≥ 2, то або fn v emn v e2, або fn v emn v e3. Отже, принаймнi одна з
множин {n ∈ N : fn v e21+`}, ` = 0, 1, є нескiнченною. Позначимо вiдповiдний iндекс через
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
ПРО СУМУ ВУЗЬКОГО ТА СКIНЧЕННОВИМIРНОГО ОРТОГОНАЛЬНО АДИТИВНИХ ОПЕРАТОРIВ 1623
`1 ∈ {0, 1}. При k = 2 маємо e = e4 t e5 t e6 t e7. Тодi кожний елемент fn при n ≥ 8, як i
en, є фрагментом одного з елементiв e4, e5, e6, e7. Отже, принаймнi одна з множин {n ∈ N :
fn v e22+`}, ` = 0, 12, 3, є нескiнченною. Позначимо вiдповiдний iндекс через `2 ∈ {0, 1, 2, 3}.
Продовжуючи процес побудови очевидним чином, отримуємо шукану послiдовнiсть.
Використовуючи нескiнченнiсть кожної з множин {n ∈ N : fn v e2k+`k
}, виберемо пiдпо-
слiдовнiсть (fnk
)∞k=1 так, щоб fnk
v e2k+`k
, i доведемо, що fnk
o−→ 0. Для кожного k ∈ N
покладемо
uk = sup
j≥k
fnj .
Супремум iснує, адже E — порядково повна векторна ґратка, а множина обмежена зверху еле-
ментом e (нагадаємо, що ґратковий та латеральний порядок збiгаються на Fe, а отже, супремум
в означеннi uk можна брати як звичайний, так i латеральний). Тодi 0 ≤ fnk
≤ uk ↓ . Залиши-
лося довести, що infk uk = 0. Нехай, навпаки, iснує такий z ∈ Fe, що 0 6= z v uk для всiх k.
Оскiльки (dn)∞n=1 — латерально щiльна в Fe послiдовнiсть, то iснує такий номер m ∈ N, що
dm v z. Тодi
e2m = em ∧ dm v dm v z v uk для всiх k ∈ N. (2)
З (1) випливає, що при j ≥ k має мiсце fnj v e2j+`j v e2k+`k
, а отже, uk v e2k+`k
. Врахо-
вуючи (2), отримуємо e4m t e4m+1 = e2m v e2k+`k
для всiх k ∈ N. Виберемо k ∈ N так, щоб
2k ≤ 4m < 2k+1, а потiм виберемо ` ∈ {0, . . . , 2k − 1} так, щоб 4m = 2k + `. Тодi 4m + 1 =
= 2k + `+ 1, причому з парностi 4m випливає, що ` ≤ 2k − 2, а отже, `+ 1 ≤ 2k − 1. З умов
e2k+` = e4m v e2k+`k
випливає, що ` = `k, а з умов e2k+`+1 = e4m+1 v e2k+`k
— що `+ 1 = `k.
Отримали суперечнiсть, яка доводить, що fnk
o−→ 0. Оскiльки при цьому fnk
∈ Fe при всiх
k ∈ N, то fnk
lat−→ 0.
Лему 2.3 доведено.
Лема 2.4. Нехай E — безатомна порядково повна векторна ґратка, X — нормований
простiр, T : E → X — скiнченновимiрний латерально-нормовано неперервний ортогонально
адитивний оператор. Тодi для довiльного e ∈ E iснує таке диз’юнктне дерево (en)∞n=1 на e,
що для довiльного ε > 0 iснує k ∈ N таке, що для довiльного ` ∈ {0, . . . , 2k − 1} та довiльного
f v e2k+` маємо ‖T (f)‖ < ε.
Доведення. Зафiксуємо довiльний e ∈ E та виберемо, згiдно з лемою 2.3, таке диз’юнктне
дерево (en)∞n=1 на e, що для довiльної послiдовностi номерiв m1 < m2 < . . . та довiльної
послiдовностi fn v emn iснує пiдпослiдовнiсть (fnk
)∞k=1, яка латерально прямує до нуля. До-
ведемо, що дане дерево є шуканим. Нехай, навпаки, для даного δ > 0 i кожного n ∈ N iснують
такi `n ∈ {0, . . . , 2n − 1} та фрагмент fn v e2n+`n , що ‖T (fn)‖ ≥ δ. Вибираючи латерально
збiжну до нуля пiдпослiдовнiсть (fnk
)∞k=1, отримуємо суперечнiсть з латерально-нормованою
неперервнiстю в нулi, адже ортогонально адитивний оператор нуль переводить в нуль.
Лему 2.4 доведено.
Наступна лема формально випливає з леми про заокруглення коефiцiєнтiв [16, c. 14] при
dimX = 1. Крiм того, дану лему можна легко довести iндукцiєю по n.
Лема 2.5. Нехай ε > 0, n ∈ N, a1, . . . , an ∈ R, причому |ak| < ε для всiх k = 1, . . . , n. Тодi
iснує таке розбиття {1, . . . , n} = I t J, що∣∣∣∣∣∑
i∈I
ai −
∑
j∈J
aj
∣∣∣∣∣ < ε.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1624 Г. I. ГУМЕНЧУК
3. Основний результат.
Теорема 3.1. Нехай E — безатомна порядково повна векторна ґратка, X — нормова-
ний простiр, S, T : E → X — ортогонально адитивнi оператори. Якщо S — вузький, а T —
скiнченновимiрний латерально-нормовано неперервний оператор, то сума S + T є вузьким
оператором.
Доведення. Спочатку покажемо, що досить розглянути випадок, коли T — одновимiрний
оператор. При цьому T запишемо у виглядi скiнченної суми одновимiрних операторiв з ана-
логiчними властивостями. Дiйсно, позначимо X1 = T (E) та n = dimX1. Виберемо лiнiйно
незалежну систему x1, . . . , xn ∈ X1, а також, використавши теорему Гана – Банаха, функцiона-
ли f1, . . . , fn ∈ X∗ так, щоб fi(xj) = δi,j при всiх i, j ≤ n. Таким чином, формулою
P (x) =
n∑
i=1
fi(x)xi, де x ∈ X,
задається лiнiйний неперервний проектор з X на X1. Зокрема,
T (e) = P
(
T (e)
)
=
n∑
i=1
fi
(
T (e)
)
xi
для всiх e ∈ E. Оскiльки композицiя ортогонально адитивного оператора на лiнiйний є, очеви-
дно, ортогонально адитивним оператором, то fi◦T є таким. Аналогiчно, композицiя латерально-
нормовано неперервного оператора на неперервний є латерально-нормовано неперервним опе-
ратором, а отже, fi ◦ T є таким для всiх i = 1, . . . , n. Таким чином, T є скiнченною сумою
латерально-нормовано неперервних ортогонально адитивних одновимiрних операторiв. Якщо
довести теорему за припущення одновимiрностi T, то загальне твердження теореми виплива-
тиме з принципу математичної iндукцiї.
Отже, нехай T — одновимiрний оператор, x ∈ X — такий елемент та ϕ : E → R — таке
вiдображення, що ‖x‖ = 1, T (e) = ϕ(e)x для всiх e ∈ E. Безпосередньо отримуємо, що ϕ —
латерально-нормовано неперервний ортогонально адитивний оператор.
Доведемо вузькiсть суми S + T. Зафiксуємо довiльно e ∈ E та ε > 0. Виберемо, згiдно з
лемою 2.4, диз’юнктне дерево (en)∞n=1 на e та k ∈ N такi, що для довiльного ` ∈ {0, . . . , 2k−1}
та довiльного f v e2k+` маємо ‖T (f)‖ < ε/2, тобто |ϕ(f)| < ε/2. Виберемо, згiдно з лемою 2.5,
розбиття {0, . . . , 2k − 1} = I t J таке, що∣∣∣∣∣∑
i∈I
ϕ(e2k+i)−
∑
j∈J
ϕ(e2k+j)
∣∣∣∣∣ < ε
2
.
‖(S + T )(e′)− (S + T )(e′′)‖ ≤ ‖S(e′)− S(e′′)‖+ ‖T (e′)− T (e′′)‖ =
=
∥∥∥∥∥∥
∑
i∈I
S(e2k+i)−
∑
j∈J
S(e2k+j)
∥∥∥∥∥∥+
∣∣∣∣∣∣
∑
i∈I
ϕ(e2k+i)−
∑
j∈J
ϕ(e2k+j)
∣∣∣∣∣∣ <
<
∑
i∈I
‖S(e2k+i)‖+
∑
j∈J
‖S(e2k+j)‖+
ε
2
=
2k−1∑
`=0
‖S(e2k+`)‖+
ε
2
<
ε
2
+
ε
2
= ε.
Теорему 3.1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
ПРО СУМУ ВУЗЬКОГО ТА СКIНЧЕННОВИМIРНОГО ОРТОГОНАЛЬНО АДИТИВНИХ ОПЕРАТОРIВ 1625
Зауважимо, що при доведеннi як леми 2.4, так i теореми 3.1 ми використовували латерально-
нормовану неперервнiсть оператора T лише в нулi. Але, як показано в [3], для ортогонально
адитивного оператора це рiвносильно латерально-нормованiй неперервностi в усiх точках.
Автор висловлює подяку професору Попову М. М. за постановку задач та численнi кориснi
зауваження.
1. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive operators. – Dordrecht: Springer, 2006. – 367 p.
2. Mykhaylyuk V., Pliev M., Popov M. Laterally ordered sets and orthogonally additive operators. – 2015. – Preprint.
3. Gumenchuk A. I. Lateral continuity and orthogonally additive operators // Carpath. Math. Publ. – 2015.
4. Mazón J. M., Segura de León S. Order bounded ortogonally additive operators // Rev. roum. math. pures et appl. –
1990. – 35, № 4. – P. 329 – 353.
5. Mazón J. M., Segura de León S. Uryson operators // Rev. roum. math. pures et appl. – 1990. – 35, № 5. – P. 431 – 449.
6. Kusraev A. G., Pliev M. A. Orthogonally additive operators on lattice-normed spaces // Vladikavkaz Math. J. – 1999. –
№ 3. – P. 33 – 43.
7. Kusraev A. G., Pliev M. A. Weak integral representation of the dominated orthogonally additive operators // Vladi-
kavkaz Math. J. – 1990. – № 4. – P. 22 – 39.
8. Pliev M. Uryson operators on the spaces with mixed norm // Vladikavkaz Math. J. – 2007. – № 3. – P. 47 – 57.
9. Gumenchuk A. I., Pliev M. A, Popov M. M. Extensions of orthogonally additive operators // Math. Stud. – 2014. –
41, № 2. – P. 214 – 219.
10. Plichko A. M., Popov M. M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces // Diss. Math. – 1990. – 306. –
P. 1 – 85.
11. Popov M. M. Narrow operators (a survey) // Banach Center Publ. – 2011. – 92. – P. 299 – 326.
12. Popov M., Randrianantoanina B. Narrow operators on function spaces and vector lattices. – Berlin; Boston: De
Gruyter, 2013. – 319 p.
13. Mykhaylyuk V. On the sum of a compact and a narrow operators // J. Funct. Anal. – 2014. – 266. – P. 5912 – 5920.
14. Maslyuchenko O. V., Mykhaylyuk V. V., Popov M. M. A lattice approach to narrow operators // Positivity. – 2009. –
13. – P. 459 – 495.
15. Pliev M. A., Popov M. M. Narrow orthogonally additive operators // Positivity. – 2014. – 18. – P. 641 – 667.
16. Kadets V. M., Kadets M. I. Rearrangements of series in Banach spaces // Transl. Math. Monogr. – Providence, R.I.:
Amer. Math. Soc., 1991. – 86. – 189 p.
Одержано 25.01.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
|