О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций

Нехай n≥0, ω — непорожня множина простих чисел і τ — підгруповий функтор (в сенсі A. М. Скиби) такий, що для будь-якої скінченної групи G всі підгрупи, що входять до τ(G), є субнормальиими в G. Доведено, що і'ратка всіх τ-замкпених n-кратно ω-композиційних формацій е алгебраїчною та модулярною....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Воробьев, Н.Н., Царев, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165954
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций / Н.Н. Воробьев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 453–463. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165954
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1659542020-02-18T01:26:52Z О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций Воробьев, Н.Н. Царев, А.А. Статті Нехай n≥0, ω — непорожня множина простих чисел і τ — підгруповий функтор (в сенсі A. М. Скиби) такий, що для будь-якої скінченної групи G всі підгрупи, що входять до τ(G), є субнормальиими в G. Доведено, що і'ратка всіх τ-замкпених n-кратно ω-композиційних формацій е алгебраїчною та модулярною. Let n ≥ 0, let ω be a nonempty set of prime numbers and let τ be a subgroup functor (in Skiba’s sense) such that all subgroups of any finite group G contained in τ (G) are subnormal in G. It is shown that the lattice of all τ-closed n-multiply ω-composite formations is algebraic and modular. 2010 Article О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций / Н.Н. Воробьев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 453–463. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165954 512.542 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Воробьев, Н.Н. Царев, А.А. О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций Український математичний журнал
description	Нехай n≥0, ω — непорожня множина простих чисел і τ — підгруповий функтор (в сенсі A. М. Скиби) такий, що для будь-якої скінченної групи G всі підгрупи, що входять до τ(G), є субнормальиими в G. Доведено, що і'ратка всіх τ-замкпених n-кратно ω-композиційних формацій е алгебраїчною та модулярною.
format	Article
author	Воробьев, Н.Н. Царев, А.А.
author_facet	Воробьев, Н.Н. Царев, А.А.
author_sort	Воробьев, Н.Н.
title	О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций
title_short	О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций
title_full	О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций
title_fullStr	О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций
title_full_unstemmed	О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций
title_sort	о модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165954
citation_txt	О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций / Н.Н. Воробьев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 453–463. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT vorobʹevnn omodulârnostirešetkitzamknutyhnkratnoōkompoziciopnyhformacij AT carevaa omodulârnostirešetkitzamknutyhnkratnoōkompoziciopnyhformacij
first_indexed	2025-07-14T20:25:10Z
last_indexed	2025-07-14T20:25:10Z
_version_	1837655352953274368
fulltext	UDK 512.542 N. N. Vorob\ev ∗∗∗∗ , A. A. Carev (Vytebsk. hos. un-t ym. P. M. Maßerova, Belarus\) O MODULQRNOSTY REÍETKY ττττ - ZAMKNUTÁX n - KRATNO ωωωω - KOMPOZYCYONNÁX FORMACYJ Let n ≥ 0 , ω be a nonempty set of prime numbers, and τ be a subgroup functor (in the sense of A. N. Skiba) such that, for any finite group G, all subgroups contained in τ ( )G , are subnormal in G. It is proved that the lattice of all τ-closed n-multiply ω-composition formations is algebraic and modular. Nexaj n ≥ 0 , ω — neporoΩnq mnoΩyna prostyx çysel i τ — pidhrupovyj funktor (v sensi A./M. Skyby) takyj, wo dlq bud\-qko] skinçenno] hrupy G vsi pidhrupy, wo vxodqt\ do τ ( )G , [ subnormal\nymy v G. Dovedeno, wo ©ratka vsix τ-zamknenyx n-kratno ω - kompozycijnyx for- macij [ alhebra]çnog ta modulqrnog. Vvedenye. V rabote [1] ustanovleno, çto reßetka vsex (nas¥wenn¥x) for- macyj modulqrna. V dal\nejßem πtot rezul\tat poluçyl razvytye v razlyçn¥x napravlenyqx. V monohrafyy L. A. Íemetkova y A. N. Skyb¥ [2] dokazana mo- dulqrnost\ reßetky vsex n-kratno nas¥wenn¥x formacyj, v rabote A. Balles- tera-Bolynße y L. A. Íemetkova [3] — modulqrnost\ reßetky vsex ω-nas¥- wenn¥x formacyj. Modulqrnost\ reßetky vsex τ- zamknut¥x n-kratno nas¥- wenn¥x formacyj ustanovlena A. N. Skyboj [4]. V dal\nejßem A. N. Skyboj y L./A. Íemetkov¥m [5, 6] dokazana modulqrnost\ reßetok n-kratno ω-nas¥- wenn¥x formacyj y n-kratno �- kompozycyonn¥x formacyj sootvetstvenno. Pozdnee Y. P. Íabalynoj [7] ustanovlena modulqrnost\ reßetky vsex τ-zamk- nut¥x n-kratno ω-nas¥wenn¥x formacyj, a M. V. ZadoroΩngk [8] — modu- lqrnost\ reßetky vsex τ-zamknut¥x ω-kompozycyonn¥x formacyj. Modulqr- nost\ reßetky vsex total\no nas¥wenn¥x formacyj, a takΩe reßetky vsex τ-zamknut¥x total\no nas¥wenn¥x formacyj dokazana V. H. Safonov¥m [9, 10]. V nastoqwej rabote s pomow\g funktornoho podxoda razvyvagtsq metod¥ teo- ryy modulqrn¥x reßetok çastyçno kompozycyonn¥x formacyj: dokazano, çto reßetka vsex τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj alhebrayç- na y modulqrna (teorema/3.1). Krome toho, ustanovlena ynduktyvnost\ ukazan- noj reßetky (teorema/2.1). Zametym, çto specyal\n¥my sluçaqmy teorem¥/3.1 qvlqgtsq vse pryvedenn¥e v¥ße rezul\tat¥ o modulqrn¥x reßetkax formacyj (sm. sledstvyq/3.1 – 3.4). M¥ budem yspol\zovat\ standartnug termynolohyg, prynqtug v [2, 4 – 6, 11, 12]. Vse rassmatryvaem¥e v rabote hrupp¥ koneçn¥. 1. Predvarytel\n¥e svedenyq. Napomnym, çto formacyej naz¥vaetsq klass hrupp, zamknut¥j otnosytel\no homomorfn¥x obrazov y koneçn¥x pod- prqm¥x proyzvedenyj. V dal\nejßem ω oboznaçaet nekotoroe nepustoe mnoΩestvo prost¥x çysel y ′ω = P \ ω . Symvolom π ( )G oboznaçeno mnoΩestvo vsex razlyçn¥x pros- t¥x delytelej porqdka hrupp¥ G, π ( )� — obæedynenye mnoΩestv π ( )G dlq vsex hrupp G yz � , [ ]K H — poluprqmoe proyzvedenye hrupp¥ K s nekotoroj ee hruppoj operatorov H, A B� — rehulqrnoe spletenye hrupp¥ A s hruppoj B. Dlq proyzvol\noho klassa hrupp � ⊇ ( )1 çerez G� oboznaçeno pereseçe- nye vsex takyx normal\n¥x podhrupp N, çto G N/ ∈� , a çerez G� — proyz- ∗ PodderΩan Belorusskym respublykanskym fondom fudamental\n¥x yssledovanyj (hrant F08M-118). © N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV, 2010 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 453 454 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV vedenye vsex normal\n¥x �-podhrupp hrupp¥ G. V çastnosty, O Gp( ) = G p� y F Gp( ) = G p p� �′ . Symvol¥ �p , �, � ′p y �cp oboznaçagt sootvetstven- no klass vsex p-hrupp, klass vsex hrupp, klass vsex ′p -hrupp y klass vsex ta- kyx hrupp, u kotor¥x vse hlavn¥e p-faktor¥ central\n¥. Lgbaq funkcyq vyda f : ω ω∪ { }′ → { }formacyy hrupp naz¥vaetsq ω-kompozycyonn¥m sputnykom [6]. Kak y v [11], çerez C Gp( ) obo- znaçeno pereseçenye centralyzatorov vsex tex hlavn¥x faktorov hrupp¥ G, kompozycyonn¥e faktor¥ kotor¥x ymegt prostoj porqdok p ( C Gp( ) = G , esly v G net hlavn¥x faktorov s takym svojstvom ) . Symvolom R Gω ( ) obozna- çena naybol\ßaq normal\naq razreßymaq ω-podhruppa hrupp¥ G ; Com( )G — klass vsex prost¥x abelev¥x hrupp A takyx, çto A H K≅ / dlq nekotoroho kompozycyonnoho faktora H K/ hrupp¥ G . Sohlasno [6], proyzvol\nomu ω- kompozycyonnomu sputnyku f sopostavlqgt klass hrupp CF fω ( ) = ( G G R G/ ( )ω ∈ f ( )′ω y G C Gp/ ( ) ∈ f p( ) dlq vsex p G∈ω π∩ ( )( )Com ) . Esly formacyq � takova, çto � = CF fω ( ) dlq nekotoroho ω-kompozycyon- noho sputnyka f, to hovorqt, çto ona ω-kompozycyonna, a f — ω-kompozycyon- n¥j sputnyk πtoj formacyy [6]. Esly pry πtom vse znaçenyq f leΩat v � , to sputnyk f naz¥vaetsq vnutrennym. Sohlasno koncepcyy kratnoj lokalyzacyy, predloΩennoj A. N. Skyboj (sm. [13, 6]), lgbaq formacyq sçytaetsq 0-kratno ω-kompozycyonnoj, a pry n > 0 formacyq � naz¥vaetsq n-kratno ω-kompozycyonnoj, esly � = CF fω ( ) , hde vse nepust¥e znaçenyq funkcyy f qvlqgtsq ( )n − 1 -kratno ω-kompozycyon- n¥my formacyqmy. Pust\ Θ — polnaq reßetka formacyj. Tohda symvolom Θ form� obozna- çaetsq pereseçenye vsex tex formacyj yz Θ, kotor¥e soderΩat sovokupnost\ hrupp �. V çastnosty, pyßut Θ formG v sluçae, kohda � = { }G . Lgbaq for- macyq takoho vyda naz¥vaetsq odnoporoΩdennoj formacyej, prynadleΩawej Θ. Znak Θ opuskaetsq, esly Θ — sovokupnost\ vsex formacyj. Napomnym, çto sputnyk f naz¥vaetsq Θ-znaçn¥m, esly vse eho znaçenyq prynadleΩat Θ. Sleduq [6], symvolom Θωc budem oboznaçat\ polnug reßetku formacyj, yme- gwyx Θ-znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk. Dlq proyzvol\noj sovokupnosty hrupp � polahagt (sm. [6]) �( )C p = form ComG C G G p p p/ ( ) ( ( ) , ( ) , ∈( ) ∈ ∅ ∉ � �esly , esly π π CCom( ))� .     Pust\ � = CF Fω ( ) , hde F( )′ω = � y F p( ) = � �p pC( ) dlq vsex p ∈ω . Tohda sputnyk F naz¥vaetsq kanonyçeskym ω - kompozycyonn¥m sputnykom [6]. Napomnym neskol\ko yzvestn¥x utverΩdenyj, kotor¥e potrebugtsq dlq do- kazatel\stva osnovnoho rezul\tata. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 455 Lemma-1.1 ([6], lemma/8). Pust\ Θ — takaq polnaq reßetka formacyj, çto Θ Θωc ⊆ , y dlq lgboj formacyy � ∈Θ formacyq � �p ∈Θ pry lg- bom p ∈ω . Tohda esly � = CF F c ω ω( ) ∈Θ , to sputnyk F Θ-znaçen. Lemma-1.2 ([6], lemma/4). Esly � = CF fω ( ) y G O G f pp/ ( ) ( )∈ ∩ � dlq nekotoroho p ∈ω , to G ∈� . Lemma-1.3 ([6], zameçanye/1). Lgbaq ω-kompozycyonnaq formacyq ymeet kanonyçeskyj ω-kompozycyonn¥j sputnyk. V proyzvol\noj hruppe G v¥berem systemu podhrupp τ ( )G . Hovorqt, çto τ — podhruppovoj funktor (v sm¥sle A. N. Skyb¥ [4]), esly v¥polnqgtsq sledu- gwye uslovyq: 1) G G∈τ ( ) ; 2) dlq lgboho πpymorfyzma ϕ : A B� y dlq lgb¥x hrupp H A∈τ ( ) , T B∈τ ( ) ymeet mesto H Bϕ τ∈ ( ) y T Aϕ τ − ∈ 1 ( ) . Esly τ ( ) { }G G= , to funktor τ naz¥vaetsq tryvyal\n¥m. Formacyq � naz¥- vaetsq τ-zamknutoj [4], esly τ ( )G ⊆ � dlq lgboj hrupp¥ G yz �. M¥ budem rassmatryvat\ lyß\ takye podhruppov¥e funktor¥ τ, çto dlq lgboj hrupp¥ G vse podhrupp¥, vxodqwye v τ ( )G , subnormal\n¥ v G. Otnosytel\no vklgçenyq ⊆ sovokupnost\ vsex τ-zamknut¥x n-kratno ω- kompozycyonn¥x formacyj c nω τ qvlqetsq polnoj reßetkoj. Symvolamy cω τ 0 y cn ω budem oboznaçat\ sootvetstvenno reßetku vsex τ-zamknut¥x formacyj y reßetku vsex n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj. Zametym, çto esly τ — tryvyal\n¥j podhruppovoj funktor, to c nω τ = cn ω . Pust\ { }\|f i Ii ∈ — nabor vsex ω-kompozycyonn¥x c nω τ −1 -znaçn¥x sputny- kov formacyy �. V sylu lemm¥/2 [6] f = fii I∈∩ — ω-kompozycyonn¥j c nω τ −1 - znaçn¥j sputnyk formacyy �, naz¥vaem¥j mynymal\n¥m. Sledugwee utverΩdenye daet sposob postroenyq mynymal\noho c nω τ −1 -znaç- noho sputnyka formacyy � = c nω τ form� . Lemma-1.4 ([6], lemma/5). Pust\ � = c nω τ form� y π = ω π∩ ( )( )Com � . Tohda mynymal\n¥j ω-kompozycyonn¥j c nω τ −1 -znaçn¥j sputnyk f formacyy � takov, çto: 1) f ( )′ω = c G R G G nω τ ω− ∈ 1 form ( / )( ) � ; 2) f p( ) = c G C G G n p ω τ − ∈ 1 form ( / )( ) � dlq vsex p ∈π ; 3) f p( ) = ∅ dlq vsex p ∈ω π\ ; 4) esly � = CF hω ( ) y sputnyk h c nω τ −1 -znaçen, to dlq vsex p ∈π yme- et mesto f p( ) = c A A h p O A n pω τ − ∈ = 1 1form ( )( ) , ( )∩ � y ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 456 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV f ( )′ω = c A A h R A nω τ ωω − ∈ ′ = 1 1form ( )( ) , ( )∩ � . Lemma-1.5 ([4], sledstvye/1.2.24). Dlq lgboj sovokupnosty τ-zamknut¥x formacyj { }� i i I∈ ymeet mesto τ form � i i I∈     ∪ = form � i i I∈     ∪ . Lemma-1.6 ([12], teorema/2.2). Dlq lgboho klassa � ymeet mesto raven- stvo form � = QR0 � . Polahagt f ≤ h [6], esly f a h a( ) ( )⊆ dlq vsex a ∈ ′ω ω∪ { }. Lemma-1.7 ([6], lemma/6). Pust\ f1 y f2 — mynymal\n¥e ω-kompozy- cyonn¥e c nω τ −1 -znaçn¥e sputnyky formacyj �1 y �2 sootvetstvenno. Tohda � �1 2⊆ v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda f1 ≤ f2 . Lemma-1.8 ([6], lemma/10). Formacyq � n-kratno ω-kompozycyonna toh- da y tol\ko tohda, kohda ona obladaet takym sputnykom f, vse znaçenyq f a( ) kotoroho ( )n − 1 -kratno ω-kompozycyonn¥ dlq vsex a ∈ω . Lemma-1.9 ([6], lemma/2). Pust\ � = �ii I∈∩ , hde �i = CF fiω ( ) . Tohda � = CF fω ( ) , hde f = fii I∈∩ . 2. Ynduktyvnost\ reßetky c nωω ττ . Napomnym opredelenye ynduktyvnoj reßetky formacyj. Pust\ Θ — polnaq reßetka formacyj. Dlq proyzvol\noj sovokupnosty formacyj { }�i i I∈ yz Θ polahagt ∨ ∈Θ ( )�i i I = Θ form �i i I∈     ∪ . Pust\ { }f i Ii ∈ — nekotoraq sovokupnost\ Θ -znaçn¥x sputnykov. Tohda çerez ∨ ∈Θ ( )f i Ii oboznaçagt takoj sputnyk f, çto f a( ) = Θ form f ai i I ( ) ∈     ∪ dlq vsex a ∈ ′ω ω∪ { }. Sleduq [4], polnug reßetku formacyj Θ budem naz¥vat\ ynduktyvnoj, es- ly dlq lgboho nabora { }�i i I∈ formacyj �i c∈Θω y dlq lgboho nabora { }f i Ii ∈ vnutrennyx Θ -znaçn¥x ω-kompozycyonn¥x sputnykov fi , hde fi — ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i , ymeet mesto ∨ ∈ Θωc i i I( )� = CF f i Iiω ( ( ))∨ ∈Θ . V dannom punkte m¥ dokaΩem svojstvo ynduktyvnosty reßetky vsex τ-zamk- nut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj, kotoroe leΩyt v osnove dokaza- tel\stva modulqrnosty ukazannoj reßetky. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 457 Lemma-2.1. Pust\ � = CF Fω ( ) — τ -zamknutaq n-kratno ω -kompozy- cyonnaq formacyq, n ≥ 1. Tohda sputnyk F c nω τ −1 -znaçen. Dokazatel\stvo. Sohlasno lemme/1.1 dostatoçno lyß\ proveryt\, çto dlq lgboho p ∈P y dlq lgboj τ-zamknutoj n-kratno ω-kompozycyonnoj forma- cyy � ( )n ≥ 0 formacyq � = � �p qvlqetsq τ-zamknutoj n-kratno ω-kom- pozycyonnoj. Zametym, çto poskol\ku dlq lgboho p ∈P formacyq � �p τ -zamknuta, hde � — τ-zamknutaq formacyq, to v sluçae n = 0 utverΩdenye spravedlyvo. Pust\ n > 0 y pry n – 1 utverΩdenye lemm¥ spravedlyvo. PokaΩem sna- çala, çto formacyq � n-kratno ω-kompozycyonna. Pust\ � = CF hω ( ) , hde h — vnutrennyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk. Formacyq �p ymeet takoj vnutrennyj ω -kompozycyonn¥j sputnyk f, çto f p( ) = ( )1 , f ( )′ω = ( )1 y f q( ) = ∅ dlq vsex q p∈ω \{ } . Netrudno pokazat\, çto forma- cyq � ymeet takoj sputnyk m, çto m p( ) = � , m ( )′ω = � y m q( ) = ∅ dlq vsex q p∈ω \{ } (sm. [6], teorema/6). No sohlasno predpoloΩenyg � = = � �p — ( )n − 1 -kratno ω-kompozycyonnaq formacyq. Znaçyt, � — n-krat- no ω-kompozycyonnaq formacyq. DokaΩem teper\, çto formacyq � τ-zamknuta. PredpoloΩym protyvnoe. Tohda najdutsq takye hruppa G ∈� y podhruppa H G∈τ ( ) , çto H ∉� . Poskol\ku G p∈ =� � � , to G p � �∈ y G G/ � �∈ . Poskol\ku formacyq � po predpoloΩenyg τ-zamknuta, to dlq lgboj hrupp¥ H G G∈τ( / )� ymeet mesto H ∈� . No HG G G G� � �/ ( / )∈τ . Sledovatel\no, HG G� �/ ≅ H H G/ ∩ � ∈ �. Vmeste s tem H G H∩ �� y H G∩ � — p-hruppa. Poπtomu H G∩ � ⊆ ⊆ O Hp( ) . Znaçyt, H � ⊆ O Hp( ) , t. e. H p � �∈ . Otsgda H p∈� � = �. Protyvoreçye. Sledovatel\no, formacyq � τ-zamknuta. Pust\ F — kanonyçeskyj cn−1 ω -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk τ-zam- knutoj n-kratno ω-kompozycyonnoj formacyy � . PokaΩem, çto formacyq F a( ) qvlqetsq τ-zamknutoj. Esly a = { }′ω , to formacyq F( )′ω = � τ - zamknuta sohlasno dopuwenyg. Dopustym, çto a = p ∈ω . Rassmotrym hruppu G F p∈ ( ) y H G∈τ ( ) . Pust\ P — needynyçnaq hruppa y D = P G� = [ ]K G , hde K — baza rehulqr- noho spletenyq D. Tohda H K D∈τ ( ) . Dejstvytel\no, pust\ ϕ : /D D K→ — kanonyçeskyj πpymorfyzm hrupp¥ D na D K/ . Tohda H K K/ = H ϕ . Poπto- mu H K K D K/ ( / )∈τ . A tak kak H K = ( / )H K K ϕ−1 — poln¥j proobraz pod- hrupp H K K/ pry πpymorfyzme ϕ , to H K D∈τ ( ) . Poskol\ku sputnyk F qvlqetsq vnutrennym y G ≅ D K/ ≅ D O Dp/ ( ) ∈ ∈ F p( ) , po lemme/1.2 D ∈� . Tak kak formacyq � τ-zamknuta, to H K ∈� . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 458 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV Pust\ M = H K . Tohda M C M F pp/ ( ) ( )∈ , hde p M∈π( )( )Com . Poskol\ku K — normal\naq p-podhruppa hrupp¥ M, to K O Mp∩ ′ ( ) = 1. Znaçyt, O Mp′ ( ) ⊆ ⊆ C KM ( ) . Po svojstvu rehulqrn¥x spletenyj C K KG ( ) ⊆ . Sledovatel\no, O Mp′ ( ) = 1. Znaçyt, O Mp( ) = F Mp( ) = C Mp( ) . Tak kak O Mp( ) = O M Mp( ) ∩ = O M KHp( ) ∩ = K O M Hp( )( ) ∩ y O M Hp( ) ∩ ⊆ O Hp( ) , to O Mp( ) = K O M Hp( )( ) ∩ ⊆ KO Hp( ) ⊆ O Mp( ) . Znaçyt, KO Hp( ) = O Mp( ) . Tohda M C Mp/ ( ) = KH O Mp/ ( ) = KH KO Hp/ ( ) ≅ H O H K Hp/ ( )( ) ∩ = = H O H F pp/ ( ) ( )∈ = �p F p( ) , t. e. H F pp p∈� �( )( ) = ( ) ( )� �p p F p = �p F p( ) = F p( ) . Sledovatel\no, formacyq F p( ) τ-zamknuta. Lemma dokazana. V sluçae, kohda Θ = c nω τ , symvol ∨ c nω τ budem oboznaçat\ kak ∨ω τ n . Opysanye sputnyka reßetoçnoho obæedynenyq dvux τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj predstavlqet sledugwaq lemma. Lemma-2.2. Pust\ �i = CF fiω ( ) , hde fi — vnutrennyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i , pryçem fi ( )′ω = �i , i = 1, 2. Tohda esly � = � �1 2∨ω τ n , to � = CF fω ( ) , hde f = f f n 1 2 1 ∨ −ω τ . Dokazatel\stvo. Pust\ hi — mynymal\n¥j c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycy- onn¥j sputnyk formacyy �i = CF fiω ( ) , i = 1, 2. Pust\ p ∈ω . V sylu lemm/2.1 y 1.3 v¥polnqetsq vklgçenye h pi ( ) ⊆ f pi ( ) ⊆ �p ih p( ) = F pi ( ) ∈ c nω τ −1 , hde Fi — kanonyçeskyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i , i = 1, 2. Pust\ � = CF Fω ( ) , hde F — kanonyçeskyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycy- onn¥j sputnyk formacyy �, y h — mynymal\n¥j c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozy- cyonn¥j sputnyk formacyy �. Po lemme/1.4 h p( ) = c C n p ω τ −1 1 2form (( )( ))� �∪ = c C C n p p ω τ −1 1 2form ( ( ) ( ))� �∪ = = c h p h p nω τ −1 1 2form ( ( ))( ) ∪ ⊆ f p( ) ⊆ � p c h p h p nω τ −1 1 2form ( ( ))( ) ∪ ⊆ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 459 ⊆ �p h p( ) = F p( ) . Takym obrazom, h p( ) ⊆ f p( ) ⊆ F p( ) dlq vsex p ∈ω . Oçevydno, h( )′ω ⊆ ⊆ f ( )′ω ⊆ F( )′ω . Znaçyt, h a( ) ⊆ f a( ) ⊆ F a( ) dlq vsex a ∈ ′ω ω∪ { }. Ytak, h ≤ f ≤ F y poπtomu � = CF fω ( ) . Lemma dokazana. Teorema-2.1. Reßetka vsex τ-zamknut¥x n-kratno ω -kompozycyonn¥x formacyj ynduktyvna. Dokazatel\stvo. Pust\ { }�i i I∈ — proyzvol\n¥j nabor τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj y fi — nekotor¥j vnutrennyj c nω τ −1 - znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i . Yndukcyej po i doka- Ωem, çto spravedlyvo ravenstvo ∨ ∈ω τ n i i I( )� = CF f i I n iω ω τ( ( ))∨ − ∈ 1 . Esly i = 2, to teorema verna v sylu lemm¥/2.2. Pust\ i > 2 y dlq i r= − 1 utverΩdenye teorem¥ v¥polnqetsq. Tohda spravedlyvo ravenstvo � �1 1∨ ∨… −ω τ ω τ n n r = CF f f n n rω ω τ ω τ( )1 1 1 1 ∨ ∨ − − … − . No po lemme/2.2 � = � �1 ∨ ∨…ω τ ω τ n n r = c n n n r rω τ ω τ ω τform (( ) )� � �1 1∨ ∨… − ∪ = C F fω ( ) , hde f a( ) = c f a f a f a n n n r rω τ ω τ ω τ − − − ∨ ∨… − 1 1 1 1 1form (( )( ) ( ) (∪ ))) = = f a f a n n r1 1 1 ( ) ( )∨ ∨ − − …ω τ ω τ = ( )( )f f a n n r1 1 1 ∨ ∨ − − …ω τ ω τ pry lgbom a ∈ ′ω ω∪ { }. Poπtomu f = f f n n r1 1 1 ∨ ∨ − − …ω τ ω τ . Vsledstvye proyzvol\nosty v¥bora r teorema dokazana. 3. Osnovnoj rezul\tat. Dlq dokazatel\stva osnovnoho rezul\tata nam po- trebugtsq dva vspomohatel\n¥x utverΩdenyq, ustanavlyvagwye τ-zamknutost\ formacyy, ymegwej vnutrennyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk, a takΩe tot fakt, çto reßetka c nω τ qvlqetsq polnoj podreßetkoj reßet- ky// cn ω . Lemma-3.1. Pust\ � — n-kratno ω -kompozycyonnaq formacyq. Esly � ymeet vnutrennyj c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk, to � — τ-zam- knutaq formacyq. Dokazatel\stvo. Pust\ � — n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq s vnutrennym c nω τ −1 -znaçn¥m ω-kompozycyonn¥m sputnykom f. PokaΩem, çto � τ-zamknuta. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 460 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV Pust\ G ∈� y H G∈τ ( ) . Poskol\ku dlq lgboho a ∈ ′ω ω∪ { } forma- cyq f a( ) τ-zamknuta, to H R H/ ( )ω = H R G H/ ( )( )ω ∩ ≅ H R G R Gω ω( ) ( )/ ∈ τ ω( / )( )G R G . Tak kak G ∈� , to G R G f/ ( ) ( )ω ω∈ ′ . Sledovatel\no, H R H f/ ( ) ( )ω ω∈ ′ . Pust\ teper\ p H∈ω π∩ ( ( ))Com . Tohda C Gp ( ) = G cp� . Vsledstvye oh- ranyçenyq na podhruppovoj funktor τ H G�� . Tohda H cp� = G H cp� ∩ . Sledovatel\no, H H cp / � = H G H cp / ( )� ∩ ≅ HG G G G cp cp cp� � �/ ( / )∈τ = τ( / )( )G C Gp . Tak kak G ∈� , to G C G f pp/ ( ) ( )∈ . Znaçyt, H C Hp/ ( ) = H H f p cp / ( )� ∈ . Ytak, H R H f/ ( ) ( )ω ω∈ ′ y dlq lgboho p H∈ω π∩ ( ( ))Com ymeet mesto H C H f pp/ ( ) ( )∈ . Sledovatel\no, H ∈� , t. e. formacyq � τ-zamknuta. Lemma dokazana. Lemma-3.2. Reßetka c nω τ qvlqetsq polnoj podreßetkoj reßetky cn ω . Dokazatel\stvo provedem yndukcyej po n. Sohlasno lemme/1.5 ymeem c i i I ω τ 0 form � ∈     ∪ = τ form � i i I∈     ∪ = form � i i I∈     ∪ = c i i I 0 ωform � ∈     ∪ . Sledovatel\no, pry n = 0 lemma spravedlyva. Pust\ n > 0 y pry n − 1 utverΩdenye verno. Pust\ { }� i i I∈ — proyz- vol\n¥j nabor τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj y mi — mynymal\n¥j c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy � i . Voz\mem v teoreme/2.1 v kaçestve τ tryvyal\n¥j podhruppovoj funktor. Tohda ∨ ∈n i i Iω( )� = C F m i In iω ω( ( ))∨ − ∈1 . No v sylu predpoloΩenyq pry lgbom p ii I ∈ ( )( )∈ ω π∩ ∪Com � formacyy ∨ − ∈n im i I p1 ω ( )( ) y ( ( ))( )∨ − ∈ ′n im i I1 ω ω τ-zamknut¥. Sledovatel\no, po lemme/3.1 formacyq ∨ ∈n i i Iω( )� qvlqetsq τ-zamknutoj. Lemma dokazana. Osnovn¥m rezul\tatom rabot¥ qvlqetsq sledugwaq teorema. Teorema-3.1. Reßetka vsex τ-zamknut¥x n-kratno ω -kompozycyonn¥x formacyj alhebrayçna y modulqrna. Dokazatel\stvo. Snaçala pokaΩem, çto reßetka c nω τ alhebrayçna. Za- metym, çto lgbaq τ-zamknutaq n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq est\ obæedynenye svoyx odnoporoΩdenn¥x τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyon- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 461 n¥x podformacyj v reßetke c nω τ . Yndukcyej po n pokaΩem, çto kaΩdaq odnoporoΩdennaq τ-zamknutaq n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq � qvlqetsq kompaktn¥m πlementom v reßetke c nω τ . Pust\ � = c G nω τ form ⊆ � = c n i i I ω τ form � ∈     ∪ , hde �i — τ-zamknutaq n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq. Pust\ n = 0 . Tohda v sylu lemm/1.5 y 1.6 G c i i I ∈    ∈ ω τ 0 form �∪ = form �i i I∈     ∪ = QR0 �i i I∈     ∪ . Sledovatel\no, G T N≅ / dlq nekotoroj hrupp¥ T i I i∈ ∈R0( )∪ � . Znaçyt, najdutsq takye yndeks¥ i i Ik1, ,… ∈ , çto T i ik ∈ …R0 1 ( )� �∪ ∪ . Poπtomu G i ik ∈ …form ( )� � 1 ∪ ∪ . Sledovatel\no, v sylu lemm¥/1.5 � ⊆ form � �i ik1 ∪ ∪…( ) = τ form � �i ik1 ∪ ∪…( ) . Pust\ teper\ n > 0 y odnoporoΩdenn¥e formacyy yz c nω τ −1 qvlqgtsq kompaktn¥my πlementamy v reßetke c nω τ −1 . Pust\ fi — mynymal\n¥j c nω τ −1 - znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy �i , f — mynymal\n¥j c nω τ −1 - znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy � y m — mynymal\n¥j c nω τ −1 -znaçn¥j ω-kompozycyonn¥j sputnyk formacyy � . Po lemme/1.4 f a( ) = c G C G a a c n n a ω τ ω π ω π − ∈ ∅ ∈ 1 form ( / ) \ ( ) , , , , esly esly −− = ′        1 τ ω ωform ( / ) { }( ) , ,G R G aesly hde π = ω π∩ ( )( )Com G . Sohlasno lemme/1.7 f ≤ m . V sylu teorem¥/2.1 ymeet mesto ravenstvo m = = ∨ − ∈ω τ n f i Ii 1 ( ) . Znaçyt, dlq kaΩdoho p ∈ ω π∩ ( )( )Com G najdutsq takye yndeks¥ i i Ir1, ,… ∈ , çto G C G f p f pp i i n n r / ( ) ( ) ( )∈ …∨ ∨ − −1 1 1ω τ ω τ . Tak kak π( )( )Com G — koneçnoe mnoΩestvo, najdutsq takye yndeks¥ j j Is1, ,… ∈ , çto G j j n n s ∈ …∨ ∨� � 1 ω τ ω τ . Poπtomu � ⊆ � �j j n n s1 ∨ ∨…ω τ ω τ . Ytak, reßetka c nω τ alhebrayçna, y ee kompaktn¥my πlementamy qvlqgtsq od- noporoΩdenn¥e τ-zamknut¥e n-kratno ω-kompozycyonn¥e formacyy. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 462 N. N. VOROB\|EV, A. A. CAREV DokaΩem teper\ vtoroe utverΩdenye teorem¥. Yndukcyej po n pokaΩem, çto dlq lgb¥x τ-zamknut¥x n-kratno ω-kompozycyonn¥x formacyj �, � , � takyx, çto � ⊆ � , v¥polnqetsq toΩdestvo � � �∩ ( )∨ω τ n = � � �∨ω τ n ( )∩ . Vsledstvye modulqrnosty reßetky vsex formacyj (sm./[1]) pry n = 0 ut- verΩdenye teorem¥ spravedlyvo dlq tryvyal\noho podhruppovoho funktora τ. Znaçyt, reßetka c0 ω = c0 modulqrna. Sohlasno lemme/3.2 reßetka cω τ 0 qvlqetsq podreßetkoj v c0 ω . Sledovatel\no, reßetka cω τ 0 modulqrna. Pust\ n > 0 y vtoroe utverΩdenye teorem¥ verno pry n − 1. Pust\ �i = = CF Fiω ( ) , i = 1, 2, 3, — τ-zamknutaq n-kratno ω-kompozycyonnaq formacyq y � �2 1⊆ . PokaΩem, çto � � �1 2 3∩ ( )∨ω τ n = � � �2 1 3∨ω τ n ( )∩ . Pust\ fi — takoj ω-kompozycyonn¥j c nω τ −1 -znaçn¥j sputnyk formacyy �i , çto fi ( )′ω = �i = Fi ( )′ω y f pi ( ) = c C n i p ω τ −1 form( )( )� pry vsex p ∈ω . V sy- lu lemm¥/1.8 ymeet mesto ravenstvo �i = CF fiω ( ) . Pust\ r1 = f f n 2 3 1 ∨ −ω τ . Po teoreme/2.1 � �2 3∨ω τ n = CF f f n ω ω τ( )2 3 1 ∨ − = CF rω ( )1 . Po lemme/1.9 h1 = f r2 1∩ — vnutrennyj ω-kompozycyonn¥j c nω τ −1 -znaçn¥j sputnyk formacyy � � �1 2 3∩ ( )∨ω τ n . Ponqtno, çto f a2( ) ⊆ f a1( ) pry vsex a ∈ ′ω ω∪ { }. Znaçyt, sohlasno predpoloΩenyg pry vsex a ∈ ′ω ω∪ { } f a f a f a n 1 2 3 1 ( ) ( ) ( )∩ ∨ − ( )ω τ = f a f a f a n 2 1 3 1 ( ) ( ) ( )∨ − ( )ω τ ∩ . Sledovatel\no, h1 = f f f n 2 1 3 1 ∨ −ω τ ( )∩ . No f f1 3∩ — vnutrennyj ω-kompozy- cyonn¥j c nω τ −1 -znaçn¥j sputnyk formacyy � �1 3∩ . Znaçyt, sohlasno teoreme/2.1 � � �2 1 3∨ω τ n ( )∩ = CF hω ( )1 . Takym obrazom, pry lgb¥x cel¥x neotrycatel\n¥x n reßetka c nω τ modulqrna. Teorema dokazana. V sluçae n = 1 poluçaem takoe sledstvye. Sledstvye-3.1 [8]. Reßetka vsex τ-zamknut¥x ω-kompozycyonn¥x for- macyj alhebrayçna y modulqrna. Esly τ — tryvyal\n¥j podhruppovoj funktor, to, uçyt¥vaq sledstvye/1 y zameçanye/3 yz [6], poluçaem sledugwee utverΩdenye. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 O MODULQRNOSTY REÍETKY τ - ZAMKNUTÁX … 463 Sledstvye-3.2 [6]. Reßetka vsex n-kratno � -kompozycyonn¥x formacyj alhebrayçna y modulqrna. V sluçae ω = P dlq tryvyal\noho podhruppovoho funktora τ spravedlyvo takoe utverΩdenye. Sledstvye-3.3. Reßetka vsex n-kratno kompozycyonn¥x formacyj al- hebrayçna y modulqrna. Pry n = 1 y ω = P dlq tryvyal\noho podhruppovoho funktora τ spraved- lyvo takoe sledstvye. Sledstvye-3.4. Reßetka vsex kompozycyonn¥x formacyj alhebrayçna y modulqrna. 1. Skyba A. N. O lokal\n¥x formacyqx dlyn¥ /5 // Aryfmetyçeskoe y podhruppovoe stroe- nye koneçn¥x hrupp. – Mynsk: Nauka y texnyka, 1986. – S. 135 – 149. 2. Íemetkov L. A., Skyba A. N. Formacyy alhebrayçeskyx system. – M.: Nauka, 1989. – 254 s. 3. Ballester-Bolinches A., Shemetkov L. A. On lattices of p-local formations of finite groups // Math. Nachr. – 1997. – 186. – S. 57 – 65. 4. Skyba A. N. Alhebra formacyj. – Mynsk: Belarus. navuka, 1997. – 240 s. 5. Skyba A. N., Íemetkov L. A. Kratno ω -lokal\n¥e formacyy y klass¥ Fyttynha koneçn¥x hrupp // Mat. trud¥. – 1999. – 2, # 2. – S./114 – 147. 6. Skyba A. N., Íemetkov L. A. Kratno �-kompozycyonn¥e formacyy koneçn¥x hrupp // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52, # 6. – S./783 – 797. 7. Íabalyna Y. P. O reßetke τ-zamknut¥x n-kratno ω-lokal\n¥x formacyj koneçn¥x hrupp // Visci NAN Belarusi. Ser. fiz.-mat. navuk. – 2003. – # 1. – S./28 – 30. 8. ZadoroΩngk M. V. Ob πlementax v¥sot¥ 3 reßetky τ-znaçn¥x ω-kompozycyonn¥x formacyj // Vestn. Hrodnen. un-ta. – 2008. – # 2. – S./16 – 21. 9. Safonov V. G. On modularity of the lattice of totally saturated formations of finite groups // Communs Algebra. – 2007. – 35, # 11. – P. 3495 – 3502. 10. Safonov V. H. O modulqrnosty reßetky τ-zamknut¥x total\no nas¥wenn¥x formacyj koneçn¥x hrupp // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 6. – S./852 – 858. 11. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p. 12. Íemetkov L. A. Formacyy koneçn¥x hrupp. – M.: Nauka, 1978. – 272 s. 13. Skyba A. N. Xarakteryzacyq koneçn¥x razreßym¥x hrupp zadannoj nyl\potentnoj dlyn¥ // Vopros¥ alhebr¥. – 1987. – V¥p./3. – S./21 – 23. Poluçeno 12.09.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4

О модулярности решетки τ-замкнутых n-кратно ω-композициопных формаций

Репозитарії

Схожі ресурси