Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях

Показано, що найкращі показники сумовності функцій, які задовольняють обернену нерівність Гельдера у граничних випадках, можна о тримати з пеграничного випадку при переході до границі....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
1. Verfasser:	Кореновский, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2010
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165957
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях / А.А. Кореновский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 483–493. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165957
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1659572020-02-18T01:26:58Z Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях Кореновский, А.А. Статті Показано, що найкращі показники сумовності функцій, які задовольняють обернену нерівність Гельдера у граничних випадках, можна о тримати з пеграничного випадку при переході до границі. We show that the best summability factors of functions that satisfy the reverse Hölder inequality in limit cases can be obtained from the nonlimit case by passing to the limit. 2010 Article Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях / А.А. Кореновский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 483–493. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165957 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Кореновский, А.А. Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях Український математичний журнал
description	Показано, що найкращі показники сумовності функцій, які задовольняють обернену нерівність Гельдера у граничних випадках, можна о тримати з пеграничного випадку при переході до границі.
format	Article
author	Кореновский, А.А.
author_facet	Кореновский, А.А.
author_sort	Кореновский, А.А.
title	Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях
title_short	Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях
title_full	Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях
title_fullStr	Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях
title_full_unstemmed	Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях
title_sort	самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству гельдера в предельных случаях
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165957
citation_txt	Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях / А.А. Кореновский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 483–493. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT korenovskijaa samoulučšeniepokazatelejsummiruemostifunkcijudovletvorâûŝihobratnomuneravenstvugelʹderavpredelʹnyhslučaâh
first_indexed	2025-07-14T20:25:21Z
last_indexed	2025-07-14T20:25:21Z
_version_	1837655362915794944
fulltext	UDK 517.5 A. A. Korenovskyj, V. V. Fomyçev (Odes. nac. un-t, Yn-t matematyky, πkonomyky y mexanyky) SAMOULUÇÍENYE POKAZATELEJ SUMMYRUEMOSTY FUNKCYJ, UDOVLETVORQGWYX OBRATNOMU NERAVENSTVU HEL\|DERA V PREDEL\|NÁX SLUÇAQX It is shown that the best exponents of summability of functions, which satisfy the reverse Hölder inequality in the limiting cases, can be obtained from a nonlimiting case by limiting transition. Pokazano, wo najkrawi pokaznyky sumovnosti funkcij, qki zadovol\nqgt\ obernenu nerivnist\ Hel\dera u hranyçnyx vypadkax, moΩna otrymaty z nehranyçnoho vypadku pry perexodi do hra- nyci. 1. Vvedenye. Pust\ mnoΩestvo E d⊂ R ymeet poloΩytel\nug koneçnug le- behovu meru, 0 < E < + ∞. Dlq neotrycatel\noj na E funkcyy f srednym znaçenyem porqdka r ∈ { }R\ 0 naz¥vaetsq velyçyna M r r E r f E f x dx( ) ( ) / =         ∫ 1 1 . Esly f x dxr E ( )∫ = + ∞, to, kak ob¥çno, sçytaem, çto M r f( ) = 0 pry r < 0 y M r f( ) = + ∞ pry r > 0. TakΩe polahaem M0 1 ( ) exp ln ( )f E f x dx E =    ∫ , M−∞ ∈ =( ) inf ( )f f x x E ess , M+∞ ∈ =( ) sup ( )f f x x E ess . Yzvestno, çto opredelenn¥e takym obrazom srednye M r f( ) vozrastagt s rostom r, – ∞ ≤ r ≤ + ∞, t.2e. esly – ∞ ≤ α < β ≤ + ∞, to v¥polnqetsq neravenst- vo Hel\dera 1 1 1 E f x dx E f x dx E E α α β( ) ( ) / ∫ ∫         ≤         1/β , (1) pryçem v πtom neravenstve, kak y vsgdu v dal\nejßem, srednye porqdka α, β ∈ ∈ −∞ +∞{ }, ,0 ponymagtsq v opredelennom v¥ße sm¥sle. Bolee toho, esly (1) obrawaetsq v ravenstvo pry nekotor¥x α < β, to funkcyq f πkvyvalentna toΩdestvennoj postoqnnoj [1, s. 175]. Druhymy slovamy, esly obratnoe k (1) neravenstvo 0 < 1 1 E f x dx E β β ( ) / ∫         ≤ B E f x dx E 1 1 α α ( ) / ∫         < + ∞ (2) ymeet mesto pry B = 1, to f πkvyvalentna postoqnnoj. Pust\, naprymer, zada- n¥ – ∞ < α < 0 < β < + ∞ y çyslo B > 1. Tohda lehko pryvesty prymer udovlet- © A. A. KORENOVSKYJ, V. V. FOMYÇEV, 2010 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 483 484 A. A. KORENOVSKYJ, V. V. FOMYÇEV vorqgwej uslovyg (2) funkcyy f takoj, çto f x dxr E ( )∫ = + ∞ pry lgb¥x r < < α y r > β. ∏to oznaçaet, çto pry lgbom B > 1 uslovye (2) ne harantyruet vozmoΩnosty „uluçßenyq” pokazatelq summyruemosty funkcyy f. Svqzano πto s tem, çto (2) predpolahaetsq v¥polnenn¥m lyß\ po odnomu mnoΩestvu E . Esly Ωe predpoloΩyt\ uslovye (2) v¥polnenn¥m dlq nekotoroho nabora mnoΩestv E s odnoj y toj Ωe postoqnnoj B > 1, to sytuacyq moΩet suwestvenno yzmenyt\sq. O takyx klassax funkcyj y pojdet reç\ dalee. Pust\ B > 1, – ∞ ≤ α < β ≤ + ∞. Çerez RH Bα β, ( ) oboznaçym klass vsex ne- otrycatel\n¥x na parallelepypede 1 R d 0 ⊂ R funkcyj f, udovletvorqgwyx obratnomu neravenstvu Hel\dera 1 1 1 R f x dx B R f x dx R R β β α( ) ( ) / ∫ ∫         ≤         1/α ravnomerno po vsem parallelepypedam R R⊂ 0 . Polahaem takΩe RH α β, = = RH B B α β, ( ) > 1∪ . Esly 1 ≤ p ≤ + ∞, to RH p− −1 1 1/( ), ≡ Ap yzvesten kak klass vesov¥x funk- cyj Makenxaupta (sm. [2]), a pry 1 < q ≤ + ∞ poluçaem RH q1, ≡ Gq — klass Herynha (sm. [3]). Fundamental\noe svojstvo funkcyj yz πtyx klassov, usta- novlennoe v [2, 3], zaklgçaetsq v tak naz¥vaemom samouluçßenyy pokazatelq summyruemosty. V dal\nejßem πto svojstvo yzuçalos\ vo mnohyx rabotax. Ot- metym lyß\ te yz nyx, v kotor¥x naxodylys\ toçn¥e znaçenyq. Dlq monoton- noj funkcyy yz klassa Herynha Gq predel\n¥j poloΩytel\n¥j pokazatel\ summyruemosty ustanovlen v [4]. Bez predpoloΩenyq monotonnosty predel\- n¥j poloΩytel\n¥j dlq klassa Gq y predel\n¥j otrycatel\n¥j dlq klassa Ap pokazately najden¥ v [5]. V [6] v¥çyslen¥ pokazately dlq klassa A1 , a v [7] — dlq klassa A∞ . V mnohomernom sluçae dlq klassa Gq vopros yzuçalsq v [8]. Sleduet otmetyt\ takΩe rabot¥ [9 – 13], v kotor¥x yzuçalys\ predel\n¥e pokazately summyruemosty funkcyj yz klassov RH α β, v razlyçn¥x çastn¥x sluçaqx. Naybolee polnoe reßenye zadaçy v odnomernom sluçae poluçeno v ra- bote [14]. Bolee toho, v [14] najden¥ ne tol\ko predel\n¥e pokazately summy- ruemosty vo vsex sluçaqx, vklgçaq predel\n¥e, no y nayluçßye znaçenyq „norm” funkcyj v sootvetstvugwyx klassax. V dannoj rabote budem sledovat\ oboznaçenyqm, prynqt¥m v [15, 16]. Pryve- dem odyn yz yzvestn¥x v πtom napravlenyy rezul\tatov. Teorema A [15, 16]. Pust\ funkcyq f prynadleΩyt klassu RH Bα β, ( ) na parallelepypede R0 , hde – ∞ < α < β < + ∞, αβ ≠ 0, B > 1, t.2e. 1 1 1 R f x dx B R f x dx R R β β α( ) ( ) / ∫ ∫         ≤         1/α , R R⊂ 0 . Tohda dlq lgboho γ ∈ −∞( ), min ( , )0 α ∪ max ( , ),0 β +∞( ) , udovletvorqgweho uslovyg 1 Z des\ y dalee rassmatryvagtsq tol\ko takye parallelepyped¥, storon¥ kotor¥x paral- lel\n¥ koordynatn¥m osqm. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 SAMOULUÇÍENYE POKAZATELEJ SUMMYRUEMOSTY FUNKCYJ … 485 1 1 1 1 −     > −     α γ β γ α β/ / B , (3) najdutsq takye ′B ≡ ′B B( , , , )γ α β y ′′B ≡ ′′B B( , , , )γ α β , çto 1 1 1 1 ′         ≤     ∫ ∫B R f x dx R f x dx R R α α γ( ) ( ) /      1/γ ≤ ≤ ′′         ∫B R f x dx R 1 1 β β ( ) / , R R⊂ 0 . (4) Esly Ωe çyslo γ ∈ −∞( ), min ( , )0 α ∪ max ( , ),0 β +∞( ) ne udovletvorqet uslo- vyg (3), to odno yz dvux neravenstv (4), voobwe hovorq, terqet sylu, a ymen- no, pry γ < α — levoe, a pry γ > β — pravoe. Ytak, teorema2A soderΩyt predel\n¥e znaçenyq pokazatelej summyruemos- ty funkcyj yz klassa RH Bα β, ( ) dlq koneçn¥x y nenulev¥x znaçenyj para- metrov α y β. V dannoj rabote m¥ pokaΩem, çto v opredelennom sm¥sle teo- rema2A spravedlyva y v sluçae, kohda α, β ∈ −∞ +∞{ }, ,0 . 2. Osnovn¥e rezul\tat¥. V dvux sledugwyx teoremax rassmatryvaetsq sluçaj samouluçßenyq pokazatelq summyruemosty funkcyj f ∈ RH Bα β, ( ) , kohda odyn yz pokazatelej klassa beskoneçen, a druhoj — koneçnoe, otlyçnoe ot nulq çyslo. Pry α = – ∞, β ∈ { }R\ 0 uslovye (3) prynymaet vyd 1 1 1 > −     B β γ β/ . ∏to neravenstvo v¥polnqetsq pry γ ∈ max ( , ), , ,0 β γ β−∞ +( )B , hde γ β−∞ + , , B = = β β/(1 – )B− > 0. Sledugwaq teorema pokaz¥vaet, çto v πtom predel\nom slu- çae teorema2A ostaetsq spravedlyvoj. Teorema 1. Pust\ funkcyq f prynadleΩyt klassu RH B−∞, ( )β na paral- lelepypede R0 , hde B > 1, β ∈ { }R\ 0 , t.2e. 1 1 R f x dx B f x R x R β β ( ) inf ( ) / ∫         ≤ ∈ ess , R R⊂ 0 . (5) Tohda dlq lgboho γ < γ β−∞ + , , B najdetsq ′′B ≡ ′′B B( , , )γ β takoe, çto 1 1 R f x dx B f x R x R γ γ ( ) inf ( ) / ∫         ≤ ′′ ∈ ess , R R⊂ 0 . (6) Esly Ωe γ ≥ γ β−∞ + , , B , to neravenstvo (6) terqet sylu pry lgbom ′′B . Dokazatel\stvo. Neravenstvo (6) dostatoçno ustanovyt\ lyß\ dlq takyx znaçenyj γ, çto max ( , )0 β < γ < γ β−∞ + , , B , a dlq ostal\n¥x γ dostatoçno bu- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 486 A. A. KORENOVSKYJ, V. V. FOMYÇEV det prymenyt\ ewe neravenstvo (1). Zafyksyruem takoe γ . Poskol\ku lim α αα γ → −∞ (1 – / )1/ = 1, najdetsq takoe çyslo α0 < min ( , )0 β , çto (1 – – α γ α 0 0/ )1/ > B(1 – / )1/β γ β . V sylu (1) y uslovyq (5) ymeem 1 1 R f x dx R β β ( ) / ∫         ≤ B f x x R ess inf ( ) ∈ ≤ B R f x dx R 1 0 01 α α ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . Takym obrazom, dlq çysel α0 < β < γ v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥2A, y, sledovatel\no, najdetsq takoe ′′B0 ≡ ′′B B0 0( , , , )γ α β , çto 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         ≤ ′′         ∫B R f x dx R 0 1 1 β β ( ) / , R R⊂ 0 . ∏to vmeste s uslovyem (5) pryvodyt k neravenstvu 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         ≤ B B f x x R ′′ ∈ 0 ess inf ( ) , R R⊂ 0 , çto y zaverßaet dokazatel\stvo neravenstva (6). Ostalos\ pokazat\, çto uslovye na γ nel\zq uluçßyt\. Dostatoçno ras- smotret\ sluçaj d = 1 y γ = γ β−∞ + , , B . PoloΩym δ0 = ( )1 − −B β / β, f x0( ) = = x−δ0 x R∈( 0 ≡ 0 1,[ ]) . Lehko ubedyt\sq v tom, çto funkcyq f0 udovletvo- rqet uslovyg (5), no esly γ = γ β−∞ + , , B , to f x0 γ ( ) = 1 / x, tak çto yntehral v levoj çasty (6) rasxodytsq pry R R= 0 . Teorema dokazana. Analohyçno, v sluçae α ∈ { }R\ 0 , β = + ∞ uslovye (3) prynymaet vyd 1 1 −     > α γ α/ B . ∏to neravenstvo v¥polnqetsq pry γ ∈ γ αα, , , min ( , )+∞ −( )B 0 , hde γ α, ,+∞ − B = = α α/( )1 − B < 0. PokaΩem, çto y v takom predel\nom sluçae teorema2A os- taetsq spravedlyvoj. Teorema 2. Pust\ funkcyq f prynadleΩyt klassu RH Bα, ( )+∞ na paral- lelepypede R0 , hde B > 1, α ∈ { }R\ 0 , t.2e. ess sup ( ) x R f x ∈ ≤ B R f x dx R 1 1 α α ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . (7) Tohda dlq lgboho γ > γ α, ,+∞ − B najdetsq ′B ≡ ′B B( , , )γ α takoe, çto ess sup ( ) x R f x ∈ ≤ ′         ∫B R f x dx R 1 1 γ γ ( ) / , R R⊂ 0 . (8) Esly Ωe γ ≤ γ α, ,+∞ − B , to neravenstvo (8) terqet sylu pry lgbom ′B . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 SAMOULUÇÍENYE POKAZATELEJ SUMMYRUEMOSTY FUNKCYJ … 487 Dokazatel\stvo. Neravenstvo (8) dostatoçno ustanovyt\ lyß\ dlq takyx znaçenyj γ, çto γ α, ,+∞ − B < γ < min ( , )0 α , a dlq ostal\n¥x γ dostatoçno budet prymenyt\ ewe neravenstvo (1). Zafyksyruem takoe γ . Poskol\ku lim β ββ γ → +∞ ( – / ) /1 1 = 1, najdetsq takoe çyslo β0 > max ( , )0 β , çto (1 – – α γ α/ ) /1 > B( – / ) /1 β γ β 0 1 0 . V sylu (1) y uslovyq (7) ymeem 1 0 01 R f x dx R β β ( ) / ∫         ≤ ess sup ( ) x R f x ∈ ≤ B R f x dx R 1 1 α α ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . Takym obrazom, dlq çysel γ < α < β0 v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥2A, y, sledovatel\no, najdetsq takoe ′B0 ≡ ′B B0 0( , , , )γ α β , çto 1 1 R f x dx R α α ( ) / ∫         ≤ ′         ∫B R f x dx R 0 1 1 γ γ ( ) / , R R⊂ 0 . ∏to vmeste s uslovyem (7) pryvodyt k neravenstvu ess sup ( ) x R f x ∈ ≤ B B R f x dx R ′         ∫0 1 1 γ γ ( ) / , R R⊂ 0 , çto y zaverßaet dokazatel\stvo neravenstva (8). Ostalos\ pokazat\, çto uslovye na γ nel\zq uluçßyt\. Dostatoçno ras- smotret\ sluçaj d = 1 y γ = γ α, ,+∞ − B . PoloΩym δ0 = ( )Bα − 1 / α , f x0( ) = = xδ0 x R∈( 0 ≡ 0 1,[ ]) . Lehko ubedyt\sq v tom, çto funkcyq f0 udovletvo- rqet uslovyg (7), no esly γ = γ α, ,+∞ − B , to f x0 γ ( ) = 1 / x, tak çto yntehral v pravoj çasty (8) rasxodytsq pry R R= 0 . Poskol\ku γ < 0, pravaq çast\ v (8) obrawaetsq v nul\. Teorema dokazana. Teper\ yzuçym sluçaj koneçn¥x α, β takyx, çto αβ = 0. Pry α = 0 < β < + ∞ uslovye (3) prynymaet vyd e B− > −     1 1 1/ / γ ββ γ . ∏to neravenstvo v¥polnqetsq pry γ ∈ ( , ), ,γ β0 0B − ∪ ( , ), ,β γ β0 B + , hde γ β0, , B ± — poloΩytel\n¥j y otrycatel\n¥j korny uravnenyq e B− = −     1 1 1/ / γ ββ γ . Teorema 3. Pust\ funkcyq f prynadleΩyt klassu RH B0, ( )β na paral- lelepypede R0 , hde B > 1, 0 < β < + ∞, t.2e. 1 1 R f x dx R β β ( ) / ∫         ≤ B R f x dx R exp ln ( ) 1 ∫     , R R⊂ 0 . (9) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 488 A. A. KORENOVSKYJ, V. V. FOMYÇEV Tohda dlq lgboho γ ∈ ( , ), ,γ β0 0B − ∪ ( , ), ,β γ β0 B + suwestvugt takye ′B ≡ ≡ ′B B( , , )γ β y ′′B ≡ ′′B B( , , )γ β , çto 1 1 ′    ∫B R f x dx R exp ln ( ) ≤ 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         ≤ ≤ ′′         ∫B R f x dx R 1 1 β β ( ) / , R R⊂ 0 . (10) Esly Ωe γ ∈ −∞(  −, , ,γ β0 B ∪ γ β0, , ,B + +∞ ) , to odno yz dvux neravenstv v (10), voobwe hovorq, terqet sylu, a ymenno, pry γ γ β≤ − 0, , B — levoe , a pry γ ≥ ≥ γ β0, , B + — pravoe. Dokazatel\stvo. Pust\ γ ∈ ( , ), ,γ β0 0B − ∪ ( , ), ,β γ β0 B + . Poskol\ku lim / / α α γα γ→ + −−     = 0 1 11 e , najdetsq takoe α0 ∈ ( , )0 β , çto ( ) /1 0 1 0− α γ α/ > B( ) /1 1− β γ β/ . Yz uslovyq (9) y neravenstva (1) sleduet 1 1 R f x dx R β β ( ) / ∫         ≤ B R f x dx R exp ln ( ) 1 ∫     ≤ ≤ B R f x dx R 1 0 01 α α ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . Takym obrazom, dlq 0 < α0 < β y γ v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥2A, v sylu kotoroj najdutsq takye ′B0 ≡ ′B B0 0( , , , )γ α β y ′′B0 ≡ ′′B B0 0( , , , )γ α β , çto 1 1 0 1 0 0 ′         ∫B R f x dx R α α ( ) / ≤ 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         ≤ ≤ ′′         ∫B R f x dx R 0 1 1 β β ( ) / , R R⊂ 0 . Ocenyvaq v¥raΩenye sleva s pomow\g neravenstva (1), poluçaem (10). Ostalos\ pokazat\, çto uslovye na γ nel\zq uluçßyt\. Dlq πtoho dosta- toçno ubedyt\sq v tom, çto levoe neravenstvo v (10) terqet sylu pry γ = γ β0, , B − , a pravoe — pry γ = γ β0, , B + . MoΩno takΩe sçytat\, çto d = 1. Netrudno proveryt\, çto pry γ 0 = γ β0, , B ± funkcyq f x0( ) = x−1 0/γ , x ∈ ∈ R0 ≡ 0 1,[ ] , udovletvorqet uslovyg (9), no pry γ = γ β0, , B − y R = 0 1,[ ] le- vaq çast\ (10) poloΩytel\na, a 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫       = 0, tak çto levoe neraven- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 SAMOULUÇÍENYE POKAZATELEJ SUMMYRUEMOSTY FUNKCYJ … 489 stvo v (10) ne v¥polnqetsq pry lgbom ′B . Esly Ωe γ = γ β0, , B + y R = 0 1,[ ] , to pravaq çast\ (10) koneçna, a 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫       = + ∞, tak çto pravoe neraven- stvo v (10) ne v¥polnqetsq pry lgbom ′′B . Teorema dokazana. Pust\ teper\ – ∞ < α < β = 0. Tohda uslovye (3) prynymaet vyd 1 1 1−     > −α γ α γ / /B e . ∏to neravenstvo v¥polnqetsq pry γ ∈ ( , ), ,γ αα 0 B − ∪ ( , ), ,0 0γ α B + , hde γ α, ,0 B ± — poloΩytel\n¥j y otrycatel\n¥j korny uravnenyq 1 1 1−     = −α γ α γ / /B e . Teorema 4. Pust\ funkcyq f prynadleΩyt klassu RH Bα, ( )0 na paral- lelepypede R0 , hde B > 1, – ∞ < α < 0, t.2e. exp ln ( ) 1 R f x dx R ∫     ≤ B R f x dx R 1 1 α α ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . (11) Tohda dlq lgboho γ ∈ ( , ), ,γ αα 0 B − ∪ ( , ), ,0 0γ α B + suwestvugt takye ′B ≡ ≡ ′B B( , , )γ α y ′′B ≡ ′′B B( , , )γ α , çto 1 1 1 ′         ∫B R f x dx R α α ( ) / ≤ 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         ≤ ≤ ′′    ∫B R f x dx R exp ln ( ) 1 , R R⊂ 0 . (12) Esly Ωe γ ∈ −∞(  −, , ,γ α 0 B ∪ γ α, , ,0 B + +∞ ) , to odno yz dvux neravenstv v (12), voobwe hovorq, terqet sylu, a ymenno, pry γ γ α≤ − , ,0 B — levoe , a pry γ ≥ ≥ γ α, ,0 B + — pravoe. Dokazatel\stvo. Pust\ γ ∈ ( , ), ,γ αα 0 B − ∪ ( , ), ,0 0γ α B + . Poskol\ku lim / / β β γβ γ→ − −−     = 0 1 11 e , najdetsq takoe β0 ∈ ( , )α 0 , çto ( ) /1 1− α γ α/ > B( ) /1 0 1 0− β γ β/ . Yz nera- venstva (1) y uslovyq (11) sleduet ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 490 A. A. KORENOVSKYJ, V. V. FOMYÇEV 1 0 01 R f x dx R β β ( ) / ∫         ≤ exp ln ( ) 1 R f x dx R ∫     ≤ ≤ B R f x dx R 1 1 α α ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . Takym obrazom, dlq α < β0 < 0 y γ v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥2A, v sylu kotoroj najdutsq takye ′B0 ≡ ′B B0 0( , , , )γ α β y ′′B0 ≡ ′′B B0 0( , , , )γ α β , çto 1 1 0 1 ′         ∫B R f x dx R α α ( ) / ≤ 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         ≤ ≤ ′′         ∫B R f x dx R 0 1 1 0 0 β β ( ) / , R R⊂ 0 . Ocenyvaq v¥raΩenye sprava s pomow\g neravenstva (1), poluçaem (12). Ostalos\ pokazat\, çto uslovye na γ nel\zq uluçßyt\. Dlq πtoho dosta- toçno ubedyt\sq v tom, çto levoe neravenstvo v (12) terqet sylu pry γ = γ α, ,0 B − , a pravoe — pry γ = γ α, ,0 B + . MoΩem takΩe sçytat\, çto d = 1. Netrudno proveryt\, çto pry γ 0 = γ α, ,0 B ± funkcyq f x0( ) = x−1 0/γ , x ∈ ∈ R0 ≡ 0 1,[ ] , udovletvorqet uslovyg (11), no pry γ = γ α, ,0 B − y R = 0 1,[ ] le- vaq çast\ (12) poloΩytel\na, a 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫       = 0, tak çto levoe nera- venstvo v (12) ne v¥polnqetsq pry lgbom ′B . Esly Ωe γ = γ α, ,0 B + y R = = 0 1,[ ] , to pravaq çast\ (12) koneçna, a 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫       = + ∞, tak çto pra- voe neravenstvo v (12) ne v¥polnqetsq pry lgbom ′′B . Teorema dokazana. Ostalos\ rassmotret\ sluçaj, kohda odyn yz pokazatelej klassa RH Bα β, ( ) beskoneçen, a druhoj raven nulg. Pry – ∞ = α < β = 0 uslovye (3) prynymaet vyd 1 1> −B e /γ . ∏to neravenstvo v¥polneno pry 0 < γ < 1 / ln B. Teorema 5. Pust\ funkcyq f prynadleΩyt klassu RH B−∞, ( )0 na paral- lelepypede R0 , hde B > 1, t.2e. exp ln ( ) 1 R f x dx R ∫     ≤ B f x x R ess inf ( ) ∈ , R R⊂ 0 . (13) Tohda dlq lgboho γ < 1 / ln B najdetsq takoe ′′B ≡ ′′B B( , )γ , çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 SAMOULUÇÍENYE POKAZATELEJ SUMMYRUEMOSTY FUNKCYJ … 491 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         ≤ ′′ ∈ B f x x R ess inf ( ) , R R⊂ 0 . (14) Esly Ωe γ ≥ 1 / ln B, to neravenstvo (14) voobwe hovorq, terqet sylu pry lgbom ′′B . Dokazatel\stvo. Neravenstvo (14) dostatoçno dokazat\ lyß\ dlq 0 < γ < < 1 / ln B, a dlq ostal\n¥x γ dostatoçno budet prymenyt\ ewe neravenstvo (1). Zafyksyruem takoe γ. Yspol\zuq ravenstva lim α αα γ → −∞ ( – / ) /1 1 = 1, lim β → −0 (1 – – β γ β/ ) /1 = e−1/γ , naxodym takye – ∞ < α0 < β0 < 0, çto ( ) /1 0 1 0− α γ α/ > > B( ) /1 0 1 0− β γ β/ . V sylu neravenstva (1) y uslovyq (13) ymeem 1 0 01 R f x dx R β β ( ) / ∫         ≤ exp ln ( ) 1 R f x dx R ∫     ≤ ≤ B f x x R ess inf ( ) ∈ ≤ B R f x dx R 1 0 01 α α ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . Takym obrazom, dlq çysel α0 < β0 < 0 < γ v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥2A, y, sledovatel\no, najdetsq takoe ′′B0 ≡ ′′B B0 0 0( , , , )γ α β , çto 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         ≤ ′′         ∫B R f x dx R 0 1 1 0 0 β β ( ) / , R R⊂ 0 . Ocenyvaq pravug çast\ s pomow\g (1) y yspol\zuq uslovye (13), poluçaem (14). Ostalos\ pokazat\, çto uslovye na γ nel\zq uluçßyt\. Dostatoçno ras- smotret\ sluçaj d = 1 y γ = γ 0 = 1 / ln B. PoloΩym f x0( ) = x−1 0/γ , x ∈ R0 ≡ ≡ 0 1,[ ] . Lehko ubedyt\sq v tom, çto funkcyq f0 udovletvorqet uslovyg (13), no esly γ = γ 0 , to f x0 γ ( ) = 1 / x, tak çto yntehral v levoj çasty (14) rasxodyt- sq pry R R= 0 . Teorema dokazana. Pry 0 = α < β = + ∞ uslovye (3) prynymaet vyd e B− >1/γ . ∏to neravenstvo v¥polneno pry – 1 / ln B < γ < 0. Teorema 6. Pust\ funkcyq f prynadleΩyt klassu RH B0, ( )+∞ na paral- lelepypede R0 , hde B > 1, t.2e. ess sup ( ) x R f x ∈ ≤ B R f x dx R exp ln ( ) 1 ∫     , R R⊂ 0 . (15) Tohda dlq lgboho γ > – 1 / ln B najdetsq takoe ′B ≡ ′B B( , )γ , çto ess sup ( ) x R f x ∈ ≤ ′         ∫B R f x dx R 1 1 γ γ ( ) / , R R⊂ 0 . (16) Esly Ωe γ ≤ – 1 / ln B, to neravenstvo (16) terqet sylu pry lgbom ′B . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 492 A. A. KORENOVSKYJ, V. V. FOMYÇEV Dokazatel\stvo. Neravenstvo (16) dostatoçno dokazat\ dlq – 1 / ln B < γ < < 0, a dlq ostal\n¥x γ dostatoçno budet prymenyt\ ewe neravenstvo (1). Za- fyksyruem takoe γ . Yspol\zuq ravenstva lim β ββ γ → +∞ ( – / ) /1 1 = 1, lim α → +0 (1 – – α γ α/ ) /1 = e−1/γ , naxodym takye 0 < α0 < β0 < + ∞, çto ( ) /1 0 1 0− α γ α/ > > B( ) /1 0 1 0− β γ β/ . V sylu neravenstva (1) y uslovyq (15) ymeem 1 0 01 R f x dx R β β ( ) / ∫         ≤ ess sup ( ) x R f x ∈ ≤ ≤ B R f x dx R exp ln ( ) 1 ∫     ≤ B R f x dx R 1 0 01 α α ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . Takym obrazom, dlq çysel γ < 0 < α0 < β0 v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥2A, y, sledovatel\no, najdetsq takoe ′B0 ≡ ′B B0 0 0( , , , )γ α β , çto 1 1 0 1 0 0 ′         ∫B R f x dx R α α ( ) / ≤ 1 1 R f x dx R γ γ ( ) / ∫         , R R⊂ 0 . Ocenyvaq snyzu levug çast\ s pomow\g neravenstva (1) y yspol\zuq uslo- vye2(15), poluçaem (16). Ostalos\ pokazat\, çto uslovye na γ nel\zq uluçßyt\. Dostatoçno ras- smotret\ sluçaj d = 1 y γ = γ 0 = – 1 / ln B. PoloΩym f x0( ) = x−1 0/γ , x ∈ R0 ≡ ≡ 0 1,[ ] . Lehko ubedyt\sq v tom, çto funkcyq f0 udovletvorqet uslovyg (15), no esly γ = γ 0 , to f x0 γ ( ) = 1 / x, tak çto pravaq çast\ (16) obrawaetsq v nul\ pry R R= 0 . Teorema dokazana. 3. Vesovoj sluçaj. Pust\ na parallelepypede R d 0 ⊂ R zadana proyz- vol\naq koneçnaq mera µ . Tohda na µ-yzmerymom mnoΩestve E R⊂ 0 mer¥ 0 < µ( )E < + ∞ srednye porqdka r ≠ 0 dlq neotrycatel\noj funkcyy f opre- delqgtsq ravenstvom M r r E r f E f x d x, / ( ) ( ) ( ) ( )µ µ µ=         ∫ 1 1 , a pry r ∈ −∞ +∞{ }, ,0 srednye M r f, ( )µ — po analohyy s nevesov¥m sluçaem. Pry πtom neravenstvo Hel\dera (1) ostaetsq spravedlyv¥m (sm. [1, s. 175]). Esly v opredelenyy klassa RH Bα β, ( ) vmesto mer¥ Lebeha yspol\zovat\ me- ru µ, to poluçym sootvetstvugwyj klass RH Bµ α β, ( ) . V rabotax [15, 16] doka- zan analoh teorem¥2A v sluçae absolgtno neprer¥vnoj mer¥ µ s tem lyß\ ot- lyçyem, çto okonçatel\nost\ uslovyq (3) ustanovlena lyß\ dlq mer¥ Lebeha. Takym obrazom, y teorem¥ 1 – 6 yz dannoj rabot¥ ostagtsq spravedlyv¥my, es- ly meru Lebeha v nyx zamenyt\ proyzvol\noj absolgtno neprer¥vnoj meroj µ . Pry πtom sleduet sçytat\, çto okonçatel\nost\ hranyc dlq yzmenenyq paramet- ra γ v πtyx teoremax spravedlyva lyß\ dlq mer¥ Lebeha. 1. Xardy H. H., Lyttl\vud DΩ. E., Polya H. Neravenstva. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948. – 4562s. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4 SAMOULUÇÍENYE POKAZATELEJ SUMMYRUEMOSTY FUNKCYJ … 493 2. Muckenhoupt B. Weighted inequalities for the Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. – 1972. – 165. – P. 533 – 565. 3. Gehring F. W. The Lp -integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta math. – 1973. – 130. – P. 265 – 273. 4. D’Apuzzo L., Sbordone C. Reverse Hölder inequalities. A sharp result // Rend. mat. – 1990. – 10, Ser. VII. – P. 357 – 366. 5. Korenovskyj A. A. O toçnom prodolΩenyy obratnoho neravenstva Hel\dera y uslovyq Ma- kenxaupta // Mat. zametky. – 1992. – 52, # 6. – S. 32 – 44. 6. Bojarski B., Sbordone C., Wik I. The Muckenhoupt class A1( )R // Stud. Math. – 1992. – 101, # 2. – P. 155 – 163. 7. Leonçyk E. G., Malaksyano N. A. Toçn¥e pokazately summyruemosty funkcyj yz klassov A∞ // Yzv. vuzov. Matematyka. – 2007. – # 2. – S. 17 – 26. 8. Kinnunen J. Sharp result on reverse Hölder inequalities // Ann. Accad. sci. fenn., Math. Diss. – 1994. – 95, Ser. A1. – P. 1 – 34. 9. Popoli A. Weighted reverse Hölder inequalities // Rend. Accad. sci. fis. e mat. – 1995. – 62 . – P. 187 – 212. 10. Popoli A. Optimal integrability in Bp q classes // Le mat. – 1997. – 52, # 1. – P. 159 – 170. 11. Malaksyano N. A. O toçn¥x vloΩenyqx klassov Herynha v klass¥ Makenxaupta // Mat. za- metky. – 2001. – 70, # 5. – S. 742 – 750. 12. Malaksiano N. A. The precise embeddings of the one-dimensional Muckenhoupt classes in Gehring classes // Acta sci. math. (Szeged). – 2002. – 68. – P. 237 – 248. 13. Vasgnyn V. Y. Toçnaq konstanta v obratnom neravenstve Hel\dera dlq makenxauptovskyx vesov // Alhebra y analyz. – 2003. – 15, v¥p. 1. – S. 73 – 117. 14. Vasgnyn V. Y. Vzaymn¥e ocenky Lp -norm y funkcyq Bellmana // Zap. nauç. sem. POMY. – 2008. – 355. – S. 81 – 138. 15. Korenovskyj A. A. Ob obratnom neravenstve Hel\dera // Mat. zametky. – 2007. – 81, # 3. – S. 361 – 373. 16. Korenovskii A. Mean oscillations and equimeasurable rearrangements of functions // Lect. Notes Unione mat. Ital. – Berlin; Heidelberg: Springer, 2007. – # 4. – 188 p. Poluçeno 28.08.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4

Самоулучшение показателей суммируемости функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера в предельных случаях

Institution

Ähnliche Einträge