До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах
Установлены условия существования континуальных узлов для интерполяционного полинома интегрального вида. Этот результат обобщается для операторов многих переменных. Рассмотрены примеры таких ингерполянтов....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165958 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах / О.Ф. Кашпур // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 494–503. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165958 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1659582020-02-18T01:26:49Z До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах Кашпур, О.Ф. Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Статті Установлены условия существования континуальных узлов для интерполяционного полинома интегрального вида. Этот результат обобщается для операторов многих переменных. Рассмотрены примеры таких ингерполянтов. We establish conditions for the existence of continual nodes for interpolation polynomials of the integral type. This result is generalized to the case of multivariable operators. Some examples of these interpolants are analyzed. 2010 Article До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах / О.Ф. Кашпур // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 494–503. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165958 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кашпур, О.Ф. Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах Український математичний журнал |
| description |
Установлены условия существования континуальных узлов для интерполяционного полинома интегрального вида. Этот результат обобщается для операторов многих переменных. Рассмотрены примеры таких ингерполянтов. |
| format |
Article |
| author |
Кашпур, О.Ф. Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. |
| author_facet |
Кашпур, О.Ф. Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. |
| author_sort |
Кашпур, О.Ф. |
| title |
До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах |
| title_short |
До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах |
| title_full |
До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах |
| title_fullStr |
До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах |
| title_full_unstemmed |
До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах |
| title_sort |
до питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165958 |
| citation_txt |
До питання коптинуальпості інтерполяційних вузлів для операторів у лінійних і опологічних просторах / О.Ф. Кашпур // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 494–503. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kašpurof dopitannâkoptinualʹpostíínterpolâcíjnihvuzlívdlâoperatorívulíníjnihíopologíčnihprostorah AT makarovvl dopitannâkoptinualʹpostíínterpolâcíjnihvuzlívdlâoperatorívulíníjnihíopologíčnihprostorah AT hlobistovvv dopitannâkoptinualʹpostíínterpolâcíjnihvuzlívdlâoperatorívulíníjnihíopologíčnihprostorah |
| first_indexed |
2025-07-14T20:25:26Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:25:26Z |
| _version_ |
1837655368620048384 |
| fulltext |
УДК 517.988
В. Л. Макаров (Iн-т математики НАН України, Київ),
В. В. Хлобистов (Київ. нац. авiац. ун-т),
О. Ф. Кашпур (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДО ПИТАННЯ КОНТИНУАЛЬНОСТI
IНТЕРПОЛЯЦIЙНИХ ВУЗЛIВ ДЛЯ ОПЕРАТОРIВ
У ЛIНIЙНИХ ТОПОЛОГIЧНИХ ПРОСТОРАХ
Conditions for the existence of continual nodes for interpolation integral-type polynomials are obtained. This
result is generalized to multivariable operators. Examples of these interpolants are considered.
Установлены условия существования континуальных узлов для интерполяционного полинома инте-
грального вида. Этот результат обобщается для операторов многих переменных. Рассмотрены примеры
таких интерполянтов.
1. Вступ. Дана робота уточнює та узагальнює результати, анонсованi в [1, 2], щодо
континуальних вузлiв iнтерполяцiї операторiв однiєї та багатьох змiнних у лiнiйних
топологiчних просторах. Будемо розглядати полiном n-го степеня вигляду [3]
Pn(x) = F (x0) +
b∫
a
F ′(x0 + gτ1(x1 − x0))dgτ1(x− x0)+
+
b∫
a
τ1∫
a
F ′′(x0 + gτ1(x1 − x0) + gτ2(x2 − x1))dgτ2(x− x1)dgτ1(x− x0) + . . .
. . .+
b∫
a
τ1∫
a
. . .
τn−1∫
a
F (n)(x0 +
n∑
i=1
gτi(xi − xi−1))dgτn(x− xn−1) . . . dgτ1(x− x0),
(1)
де оператор F : X → Y, xi ∈ X, i = 0, 1, 2, . . . , n, gτ — лiнiйний оператор, gτ : X →
→ X, X, Y — лiнiйнi топологiчнi простори, τ — скалярний аргумент, τ ∈ [a, b], gτ
— диференцiйовний по τ оператор, тобто має g′τ -похiдну за цим аргументом.
Далi розглядатимемо множину операторiв gτ таких, що виконуються умови
ga = 0, gb = I, (2)
де 0, I — нульовий та тотожний оператори вiдповiдно. Тут F (n) — похiдна Гато n-го
порядку, dgτi = dτigτi . Тодi, як показано в [3], полiном (1) буде iнтерполяцiйним,
тобто має iнтерполяцiйними вузлами xi,
Pn(xi) = F (xi), i = 0, 1, 2, . . . , n.
Але, як неодноразово зазначали автори [1, 4, 5], для побудови полiнома (1)
потрiбна континуальна iнформацiя щодо оператора та його похiдних Гато до n-го
порядку включно в континуальних точках. Однак iнтерполяцiйний полiном Pn(x)
має скiнченну множину iнтерполяцiйних вузлiв, що неприродно. Для подолання
цього недолiку будемо вимагати вiд операторiв gτ крiм умов (2) ще й умову
c© В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР, 2010
494 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
ДО ПИТАННЯ КОНТИНУАЛЬНОСТI IНТЕРПОЛЯЦIЙНИХ ВУЗЛIВ ДЛЯ ОПЕРАТОРIВ . . . 495
gugv = gs, s = min(u, v). (3)
Позначимо таку множину операторiв gτi через G. У данiй роботi уточнюється
множина G, а саме, G є множиною недиференцiйовних по τ в звичайному сенсi
операторiв, тобто оператори g′τi будуть „узагальненими” (на зразок узагальненої
сингулярної функцiї [6]), але F повинен бути таким, щоб iнтеграли в (1) iснували.
Далi будемо позначати таку множину операторiв F через R.
У цiй роботi з урахуванням уточнення множини G для iнтерполяцiйного полi-
нома (1) встановлено умови iснування континуальних вузлiв. Розглянуто приклад
iнтерполяцiйного полiнома, операторiв F та gτi , де множини G, R не є порожнiми,
а вiдповiднi вузли будуть континуальними. Наведено узагальнення iнтерполяцiй-
них полiномiв для операторiв багатьох змiнних [2] у сенсi визначення умов, за яких
має мiсце континуальнiсть вiдповiдної множини вузлiв.
2. Континуальнi вузли iнтерполяцiйних полiномiв для операторiв однiєї
змiнної. Розглянемо континуальну множину вузлiв
xn(ξ) = x0 +
n∑
i=1
gξi(xi − xi−1), (4)
b ≥ ξ1 ≥ ξ2 ≥ . . . ≥ ξn ≥ a.
Справедлива наступна теорема.
Теорема 1. Нехай gτi ∈ G, i = 1, 2, . . . , n + 1, оператор F n + 1 раз дифе-
ренцiйовний за Гато i такий, що iнтеграли в (1) iснують. Тодi полiном (1) має
континуальнi вузли (4), тобто виконуються iнтерполяцiйнi умови
Pn(xn(ξ)) = F (xn(ξ)). (5)
Доведення. Нехай F (n+1) iснує. Тодi, записуючи залишковий член формули (1)
у виглядi
Rn(x) =
b∫
a
τ1∫
a
. . .
τn∫
a
F (n+1)
(
x0 +
n∑
i=1
gτi(xi − xi−1) + gτn+1
(x− xn)
)
×
×dgτn+1
(x− xn) . . . dgτ1(x− x0), (6)
пiдставляючи в Rn x = xn(ξ) з (4) i враховуючи, що gτn+1gξi = gτn+1 , i =
= 1, 2, . . . , n, одержуємо
dgτn+1
(xn − xn) = dgτn+1
(
x0 +
n∑
i=1
gξi(xi − xi−1)− xn
)
= dgτn+1
(0) = 0.
Звiдси маємо Rn(xn(ξ)) = 0. Таким чином, отримуємо iнтерполяцiйну умову (5).
Теорему доведено.
Зауваження 1. Насправдi теорема буде правильною за умови iснування лише
n-ї похiдної Гато оператора F, але доведення цього твердження занадто громiздке,
тому ми його не наводимо. Так, не вимагаючи iснування F (n+1), розглянемо на
прикладi полiнома першого степеня (1) виконання iнтерполяцiйної умови (5) для
n = 1. Маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
496 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
P1(x) = F (x0) +
b∫
a
F ′(x0 + gτ1(x1 − x0))dgτ1(x− x0)
та континуальний вузол
x1(ξ) = x0 + gξ1(x1 − x0), ξ1 ∈ [a, b]. (7)
Далi
P1(x1(ξ)) = F (x0) +
b∫
a
F ′(x0 + gτ1(x1 − x0))dgτ1gξ1(x1 − x0) =
= F (x0) +
ξ1∫
a
F ′(x0 + gτ1(x1 − x0))dgτ1gξ1(x1 − x0)+
+
b∫
ξ1
F ′(x0 + gτ1(x1 − x0))dgτ1gξ1(x1 − x0) =
= F (x0) +
ξ1∫
a
F ′(x0 + gτ1(x1 − x0))dgτ1(x1 − x0) =
= F (x0) +
ξ1∫
a
dF (x0 + gτ1(x1 − x0)) =
= F (x0) + F (x0 + gξ1(x1 − x0))− F (x0) =
= F (x0 + gξ1(x1 − x0)) = F (x1(ξ)).
У цих перетвореннях ми використали умови (2), (3) та диференцiювання суперпо-
зицiї операторiв [7].
Приклад. Розглянемо iнтерполяцiйнi полiноми першого та другого степеня
i покажемо, що множина G операторiв gτ i множина R операторiв F, для яких
вiдповiднi iнтеграли в (1) iснують, не є порожнiми та Pi(xj(ξ)) = F (xj(ξ)), де
xj(ξ), j = 1, 2, — континуальнi вузли (4). Нехай F : Q[a, b] → R1, де Q[a, b] —
простiр кусково-неперервних функцiй на [a, b], gτx = H(τ−t)x(t), H(u) — функцiя
Хевiсайда, x(t), xi(t) ∈ Q[a, b], τ, t ∈ [a, b].
Неважко бачити, що gτ = H(τ − t) ∈ G. Маємо
P1(x(·)) = F (x0(·)) +
b∫
a
F ′
(
x0(·)+
+H(τ − ·)(x1(·)− x0(·))
)
dH(τ − ·)(x(·)− x0(·)), (8)
де dH(τ − t) = δ(τ − t)dτ, δ є δ-функцiєю Дiрака. Вiзьмемо оператор F у виглядi
функцiонала F (x) =
∫ b
a
x2(t)dt. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
ДО ПИТАННЯ КОНТИНУАЛЬНОСТI IНТЕРПОЛЯЦIЙНИХ ВУЗЛIВ ДЛЯ ОПЕРАТОРIВ . . . 497
F (x0(·)) =
b∫
a
x2
0(t)dt,
b∫
a
F ′(x0(·) +H(τ − ·)(x1(·)− x0(·)))dH(τ − ·)(x(·)− x0(·)) =
=
b∫
a
d
dγ
b∫
a
(x0(t) +H(τ − t)(x1(t)− x0(t)) + γdH(τ − t)(x(t)− x0(t)))2
∣∣∣
γ=0
dt =
= 2
b∫
a
b∫
a
(
x0(t) +H(τ − t)(x1(t)− x0(t))+
+ γdH(τ − t)(x(t)− x0(t))
)
dH(τ − t)(x(t)− x0(t))
∣∣∣
γ=0
dt =
= 2
b∫
a
b∫
a
(
x0(t) +H(τ − t)(x1(t)− x0(t))
)
dH(τ − t)(x(t)− x0(t))dt =
= 2
b∫
a
x0(t)H(τ − t)(x(t)− x0(t))
∣∣∣b
a
dt+
+2
b∫
a
1
2
H2(τ − t)
∣∣∣b
a
(x1(t)− x0(t))(x(t)− x0(t))dt =
=
b∫
a
2
(
x0(t) + (x1(t)− x0(t))
)
(x(t)− x0(t))dt =
=
b∫
a
(x0(t) + x1(t))(x(t)− x0(t))dt. (9)
Тодi, враховуючи (8), (9), отримуємо
P1(x(·)) =
b∫
a
x2
0(t)dt+
b∫
a
(x0(t) + x1(t))(x(t)− x0(t))dt. (10)
Покажемо далi, що iнтерполяцiйний полiном першого степеня (10) має конти-
нуальний вузол (7). Дiйсно,
P1(x1(ξ)) =
b∫
a
x2
0(t)dt+
b∫
a
(x0(t) + x1(t))H(ξ − t)(x1(t)− x0(t))dt =
=
b∫
a
x2
0(t)dt+
b∫
a
H(ξ − t)(x2
1(t)− x2
0(t))dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
498 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
=
b∫
a
x2
0(t)dt+
ξ∫
a
(x2
1(t)− x2
0(t))dt. (11)
З iншого боку,
F (x1(ξ)) =
b∫
a
(
x0(t) +H(ξ − t)(x1(t)− x0(t))
)2
dt =
=
ξ∫
a
(
x0(t) +H(ξ − t)(x1(t)− x0(t))
)2
dt+
+
b∫
ξ
(
x0(t) +H(ξ − t)(x1(t)− x0(t))
)2
dt =
=
ξ∫
a
x2
1(t)dt+
b∫
ξ
x2
0(t)dt+
ξ∫
a
x2
0(t)dt−
ξ∫
a
x2
0(t)dt =
=
b∫
a
x2
0(t)dt+
ξ∫
a
(x2
1(t)− x2
0(t))dt. (12)
Порiвнюючи (11) з (12), остаточно маємо P1(x1(ξ)) = F (x1(ξ)). Далi розглянемо
P2(x(·)) = P1(x(·))+
+
b∫
a
τ1∫
a
F ′′(y(·))dH(τ2 − ·)(x(·)− x1(·))dH(τ1 − ·)(x(·)− x0(·)), (13)
де y(t) = x0(t)+H(τ1−t)(x1(t)−x0(t))+H(τ2−t)(x2(t)−x1(t)), a ≤ τ2 ≤ τ1 ≤ b.
Другий доданок у (13) для функцiонала F (x) =
∫ b
a
x2(t)dt має вигляд
b∫
a
τ1∫
a
∂2
∂γ1∂γ2
b∫
a
{
x0(t) +H(τ1 − t)(x1(t)− x0(t))+
+ H(τ2 − t)(x2(t)− x1(t)) + γ1dH(τ1 − t)(x(t)− x0(t))+
+ γ2dH(τ2 − t)(x(t)− x1(t))
}2∣∣∣
γ1=γ2=0
dt =
= 2
b∫
a
τ1∫
a
b∫
a
dH(τ2 − t)(x(t)− x1(t))dH(τ1 − t)(x(t)− x0(t))dt =
= 2
b∫
a
b∫
a
H(τ2 − t)(x(t)− x1(t))
∣∣∣τ1
a
dH(τ1 − t)(x(t)− x0(t))dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
ДО ПИТАННЯ КОНТИНУАЛЬНОСТI IНТЕРПОЛЯЦIЙНИХ ВУЗЛIВ ДЛЯ ОПЕРАТОРIВ . . . 499
=
b∫
a
H2(τ1 − t)
∣∣∣b
a
(x(t)− x1(t))(x(t)− x0(t))dt =
=
b∫
a
(x(t)− x1(t))(x(t)− x0(t))dt.
Остаточно маємо
P2(x(·)) =
b∫
a
x2
0(t)dt+
b∫
a
(x1(t) + x0(t))(x(t)− x0(t))dt+
+
b∫
a
(x(t)− x1(t))(x(t)− x0(t))dt =
b∫
a
x2(t)dt, (14)
тобто iнтегральний полiном P2(x(·)) зберiгає даний функцiонал i, отже, P2(x2(ξ)) =
= F (x2(ξ)). Таким чином, для того щоб iнтерполяцiйний полiном Ульма – Соболев-
ського – Яновича [3] мав континуальнi вузли (4), необхiдна належнiсть операторiв
gτi множинi G, тобто виконання умов (2), (3), а оператор F повинен належати
множинi R, тобто бути таким, щоб вiдповiднi iнтеграли в (1) iснували.
Зауваження 2. У випадку недиференцiйовностi оператора F (наприклад, у
функцiональному просторi Q[0, 1]) можна застосувати модифiкацiю iнтерполяцiй-
ної формули в [4], де вiдповiднi iнтеграли розумiються як iнтеграли Стiльтьєса.
Так, для n = 2 будемо мати
P2(x(·)) = F (x0(·))−
1∫
0
x(z1)− x0(z1)
x1(z1)− x0(z1)
dz1F (x1(·, z1))+
+
1∫
0
2∏
i=1
x(z1)− xi−1(z1)
xi(z1)− xi−1(z1)
dz1F (x1(·, z1))−
−
1∫
0
2∏
i=1
x(z1)− xi−1(z1)
x2(z1)− xi−1(z1)
dz1F (x2(·, ~z 1))−
−
1∫
0
1∫
z1
2∏
i=1
x(z1)− xi−1(z1)
xi(z1)− xi−1(z1)
dz2dz1F (x2(·, ~z 2))+
+
1∫
0
1∫
z1
2∏
i=1
x(zi)− xi−1(zi)
xi(zi)− xi−1(zi)
dz2dz1F (x2(·, ~z 2)), (15)
де x1(·, z1) = x0(·)+H(·−z1)(x1(·)−x0(·)), x2(·, ~z 2) = x1(·, z1)+H(·−z2)(x2(·)−
− x1(·)), x2(·, ~z 1) = x0(·) + H(· − z1)(x2(·) − x0(·)). Тодi формула (15) визна-
чає iнтерполяцiйний полiном для функцiонала F (x(·)) на континуальному вуз-
лi x2
(
z, ~ξ 2
)
= x0(z) + H(z − ξ1)(x1(z) − x0(z)) + H(z − ξ2)(x2(z) − x1(z)),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
500 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
0 ≤ ξ1 ≤ ξ2 ≤ 1. Умови iснування iнтегралiв Стiльтьєса для iнтегралiв, що входять
у формулу (15), можна одержати шляхом узагальнення вiдомого результату [8], а
саме, iнтеграл
∫ b
a
f(t)dg(t) iснує, якщо функцiя f(t) зi значеннями в банахово-
му просторi неперервна на вiдрiзку [a, b], а скалярна функцiя g(t) має на цьому
вiдрiзку кiнцевий вимiр. Зауважимо, що формула (15) також не вимагає „правила
пiдстановки” [4].
3. Континуальнi вузли iнтерполяцiйних полiномiв для операторiв багатьох
змiнних. Розглянемо питання континуальностi iнтерполяцiйних вузлiв для опера-
торiв та функцiоналiв багатьох змiнних [2]. В роботi [2] запропоновано iнтерполя-
цiйний полiном n-го степеня:
Pm,n(F ;x, y, . . . , z) = F (x0, y0, . . . , z0)+
+
n∑
k=1
∫
Ωk
∑
i1+i2+...+im=k
F (i1+i2+...+im)
(
x0 +
i1∑
i=1
gτi1(xi − xi−1),
y0 +
i2∑
i=1
gτi2(yi − yi−1), . . . , z0 +
im∑
i=1
gτim(zi − zi−1)
)
×
×
i1∏
i=1
dgτi1(x− xi−1)
i2∏
i=1
dgτi2(y − yi−1) . . .
im∏
i=1
dgτim(z − zi−1), (16)
де F (x, y, . . . , z) — оператор m змiнних x, y, . . . , z, x ∈ X, y ∈ Y, . . . , z ∈ Z,
F : X
⊕
Y
⊕
. . .
⊕
Z → V, X, Y, . . . , Z, V — лiнiйнi топологiчнi простори, gτis
— лiнiйнi неперервнi оператори, gτi1 : X → X, gτi2 : Y → Y, . . . , gτim : Z →
→ Z, i — iндекс, що пробiгає деякi множини натуральних чисел, gτis залежать
вiд скалярних аргументiв τis з [a, b], мають першi похiднi за цими аргументами та
задовольняють умови (2), xi ∈ X, i = 0, 1, 2, . . . , i1, yi ∈ Y, i = 0, 1, 2, . . . , i2, . . .
. . . , zi ∈ Z, i = 0, 1, 2, . . . , im, — вузли iнтерполяцiї за кожною змiнною; Ωk =
= Ωi1 × Ωi2 × . . .× Ωim , i1 + i2 + . . .+ im = k,
Ωis =
{
(τ1s, τ2s, . . . , τiss) : 0 ≤ τ1s ≤ 1, 0 ≤ τ2s ≤ τ1s, . . .
. . . , 0 ≤ τiss ≤ τis−1,s
}
, s = 1, 2, . . . ,m, (17)
а похiднi вiд F розумiються в сенсi Гато, dgτis = dτisgτis .
Цей iнтерполянт має вузли — „точки” (xp, yq, . . . , zr), а у випадку, коли X =
= Y = . . . = Z = V = R1, отримуємо полiном Ньютона (полiном найменшого
степеня) для функцiї m змiнних [9]. Має мiсце наступне твердження.
Теорема 2. Нехай оператори gτis належать G, s = 1, 2, . . . , F належить
R, а F (n+1) в (6) iснує за кожною змiнною. Тодi континуальними вузлами iнтер-
поляцiйного полiнома (16) будуть точки(
x0 +
i1∑
i=1
gξi1(xi − xi−1), y0 +
i2∑
i=1
gξi2(yi − yi−1), . . . , z0 +
im∑
i=1
gξim(zi − zi−1)
)
,
де b ≥ ξ11 ≥ ξ21 ≥ . . . ≥ ξi11 ≥ a, b ≥ ξ12 ≥ ξ22 ≥ . . . ≥ ξi22 ≥ a, . . .
. . . , b ≥ ξ1m ≥ ξ2m ≥ . . . ≥ ξimm ≥ a, i1 + i2 + . . .+ im = k, k = 1, 2, . . . , n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
ДО ПИТАННЯ КОНТИНУАЛЬНОСТI IНТЕРПОЛЯЦIЙНИХ ВУЗЛIВ ДЛЯ ОПЕРАТОРIВ . . . 501
Доведення. Не зменшуючи загальностi та уникаючи громiздких викладок, по-
кажемо справедливiсть цього твердження для випадкуm = n = 2. З (16) отримуємо
P2,2(F ;x, y) = F (x0, y0) +
b∫
a
F ′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0)dgτ11(x− x0)+
+
b∫
a
F ′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0))dgτ12(y − y0)+
+
b∫
a
τ11∫
a
F ′′(x0 + gτ11(x1 − x0) + gτ21(x2 − x1), y0)dgτ21(x− x1)dgτ11(x− x0)+
+
b∫
a
b∫
a
F ′′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0 + gτ12(y1 − y0))dgτ11(x− x0)dgτ12(y − y0)+
+
b∫
a
τ12∫
a
F ′′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0) + gτ22(y2 − y1))dgτ22(y − y1)dgτ12(y − y0). (18)
Покажемо, що континуальнi „точки”
u(ξ) = (x0 + gξ11(x1 − x0) + gξ21(x2 − x1), y0),
v(ξ) = (x0, y0 + gξ12(y1 − y0) + gξ22(y2 − y1)),
w(ξ) = (x0 + gξ11(x1 − x0), y0 + gξ12(y1 − y0))
будуть вузлами iнтерполяцiйного полiнома P2,2(F ;x, y). На пiдставi теореми 1
u(ξ), v(ξ) — вузли полiнома P2,2(F ;x, y). Доведемо iнтерполяцiйнiсть w(ξ). Маємо
P2,2(F ;w(ξ)) = F (x0, y0) +
b∫
a
F ′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0)dgτ11(gξ11(x1 − x0))+
+
b∫
a
F ′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0))dgτ12(gξ12(y1 − y0))+
+
b∫
a
τ11∫
a
F ′′(x0 + gτ11(x1 − x0) + gτ21(x2 − x1), y0)×
×dgτ21(x0 + gξ11(x1 − x0)− x1)dgτ11(gξ11(x1 − x0))+
+
b∫
a
b∫
a
F ′′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0 + gτ12(y1 − y0))×
×dgτ11gξ11(x1 − x0)dgτ12gξ12(y1 − y0)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
502 В. Л. МАКАРОВ, В. В. ХЛОБИСТОВ, О. Ф. КАШПУР
+
b∫
a
τ12∫
a
F ′′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0) + gτ22(y2 − y1))×
×dgτ22(gξ12(y1 − y0) + y0 − y1)dgτ12gξ12(y1 − y0) =
= F (x0, y0) + F (x0 + gξ11(x1 − x0), y0)− F (x0, y0) + F (x0, y0 + gξ12(y1 − y0))−
−F (x0, y0) +
ξ11∫
a
τ11∫
a
F ′′(x0 + gτ11(x0 − x1) + gτ21(x2 − x1), y0)×
×d
[
gτ21(x0 − x1) + gτ21(x1 − x0)
]
dgτ11gξ11(x1 − x0)+
+
ξ12∫
a
τ12∫
a
F ′′(x0, y0 + gτ12(y1 − y0) + gτ22(y2 − y1))×
×d
[
gτ22(y1 − y0) + gτ22(y0 − y1)
]
dgτ12gξ12(y1 − y0)+
+
ξ11∫
a
ξ12∫
a
F ′′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0 + gτ12(y1 − y0))×
×dgτ11(x1 − x0)dgτ12(y1 − y0) =
= F (x0 + gξ11(x1 − x0), y0) + F (x0, y0 + gξ12(y1 − y0))− F (x0, y0)+
+
ξ11∫
a
{
F ′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0 + gξ12(y1 − y0))−
−F ′(x0 + gτ11(x1 − x0), y0)
}
dgτ11(x1 − x0) =
= F (x0 + gξ11(x1 − x0), y0) + F (x0, y0 + gξ12(y1 − y0))− F (x0, y0)+
+F (x0 + gξ11(x1 − x0), y0 + gξ12(y1 − y0))− F (x0, y0 + gξ12(y1 − y0))−
−F (x0 + gξ11(x1 − x0), y0) + F (x0, y0) =
= F (x0 + gξ11(x1 − x0), y0 + gξ12(y1 − y0)) = F (w(ξ)).
В цих перетвореннях використано належнiсть операторiв gτs до множини G, а
також правило диференцiювання оператора за параметром [8].
Зауваження 3. Питання континуальностi iнтерполяцiйних вузлiв розгляда-
лися також в [10, 11]. У цих роботах для нелiнiйних функцiоналiв, визначених
на просторi кусково-неперервних функцiй, побудовано iнтерполяцiйний iнтеграль-
ний ланцюговий дрiб за континуальними кусково-неперервними вузлами, знайдено
умови iснування та єдиностi таких iнтерполянтiв.
1. Макаров В. Л., Хлобистов В. В., Демкiв I. I. Про континуальнi вузли iнтерполювання формул типу
Ньютона та Ермiта в лiнiйних топологiчних просторах // Доп. НАН України. – 2007. – № 12. –
С. 22 – 27.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
ДО ПИТАННЯ КОНТИНУАЛЬНОСТI IНТЕРПОЛЯЦIЙНИХ ВУЗЛIВ ДЛЯ ОПЕРАТОРIВ . . . 503
2. Макаров В. Л., Хлобистов В. В., Демкiв I. I. Iнтерполяцiя функцiоналiв багатьох змiнних // Там
же. – 2009. – № 5. – С. 29 – 35.
3. Егоров А. Д., Соболевський П. И., Янович Л. А. Приближенные методы вычисления континуальных
интегралов. – Минск: Наука и техника, 1985. – 310 с.
4. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В., Кашпур О. Ф., Михальчук Б. Р. Интерполяционные полиномы
типа Ньютона с континуальними узлами // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 6. – С. 779 – 790.
5. Макаров В. Л., Хлобистов В. В., Демкiв I. I. Функцiональнi полiноми Ермiта в просторi Q[0, 1] //
Доп. НАН України. – 2007. – № 8. – С. 21 – 25.
6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.:
Наука, 1968. – 496 c.
7. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1968. – 495 с.
8. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В., Янович Л. А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2000. – 407 с.
9. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений: В 2 т. – М.: Наука, 1966. – Т. 1. – 632 с.
10. Михальчук Б. Р. Iнтерполяцiя нелiнiйних функцiоналiв за допомогою iнтегральних ланцюгових
дробiв // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 3. – С. 364 – 375.
11. Макаров В. Л., Хлобистов В. В., Михальчук Б. Р. Iнтерполяцiйнi iнтегральнi ланцюговi дроби //
Там же. – 2003. – 55, № 4. – С. 479 – 488.
Одержано 29.12.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
|