Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках
Для банаховых решеток дано усиление известного результата Марцинкевича - Зигмунда о законе больших чисел. Приведены примеры приложений к эмпирическим распределениям....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165959 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках / І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 504–513. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165959 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1659592020-02-18T01:27:01Z Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках Мацак, І.К. Плічко, А.М. Статті Для банаховых решеток дано усиление известного результата Марцинкевича - Зигмунда о законе больших чисел. Приведены примеры приложений к эмпирическим распределениям. We strengthen the well-known Marcinkiewicz–Zygmund law of large numbers in the case of Banach lattices. Examples of applications to empirical distributions are presented. 2010 Article Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках / І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 504–513. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165959 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мацак, І.К. Плічко, А.М. Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках Український математичний журнал |
| description |
Для банаховых решеток дано усиление известного результата Марцинкевича - Зигмунда о законе больших чисел. Приведены примеры приложений к эмпирическим распределениям. |
| format |
Article |
| author |
Мацак, І.К. Плічко, А.М. |
| author_facet |
Мацак, І.К. Плічко, А.М. |
| author_sort |
Мацак, І.К. |
| title |
Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках |
| title_short |
Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках |
| title_full |
Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках |
| title_fullStr |
Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках |
| title_full_unstemmed |
Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках |
| title_sort |
про закон великих чисел марциикевича - зигмунда у банахових ґратках |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165959 |
| citation_txt |
Про закон великих чисел Марциикевича - Зигмунда у банахових ґратках / І.К. Мацак // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 504–513. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT macakík prozakonvelikihčiselmarciikevičazigmundaubanahovihgratkah AT plíčkoam prozakonvelikihčiselmarciikevičazigmundaubanahovihgratkah |
| first_indexed |
2025-07-14T20:25:29Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:25:29Z |
| _version_ |
1837655371820302336 |
| fulltext |
UDK 519.21
I. K. Macak (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka),
A. M. Pliçko (Krakiv. politexnika, Pol\wa)
PRO ZAKON VELYKYX ÇYSEL
MARCYNKEVYÇA – ZYÌMUNDA U BANAXOVYX ÌRATKAX
We intensify the well-known Marcinkiewicz – Zygmund law of large numbers for the case of Banach
lattices. Examples of applications to empirical distributions are presented.
Dlq banaxov¥x reßetok dano usylenye yzvestnoho rezul\tata Marcynkevyça – Zyhmunda o zako-
ne bol\ßyx çysel. Pryveden¥ prymer¥ pryloΩenyj k πmpyryçeskym raspredelenyqm.
1. Vstup. Osnovna teorema. Nexaj ξ, ξ1 , ξ2 ,4…4— nezaleΩni odnakovo roz-
podileni vypadkovi velyçyny (n.4o.4r.4v.4v.) v R. U roboti Marcynkevyça – Zy©-
munda [1] oderΩano take uzahal\nennq zakonu velykyx çysel (ZVÇ) Kolmohoro-
va: dlq 1 ≤ p < 2 majΩe napevno (m. n.)
lim
n p i
i
n
n→∞ =
=∑1
01
1
/ ξ ,
qkwo E ξ p < ∞ i Eξ = 0 .
Nexaj ( )Xi — poslidovnist\ nezaleΩnyx kopij vypadkovoho elementa (v.4e.)
X zi znaçennqmy v separabel\nomu banaxovomu prostori B i Sn = Xii
n
=∑ 1
.
Vidomo [2, s. 259], wo dlq banaxovyx prostoriv typu p, 1 ≤ p < 2, za umov
E X p < ∞ (1)
i EX = 0 takoΩ vykonu[t\sq ZVÇ Marcynkevyça – Zy©munda vyhlqdu
lim
n p n
n
S
→∞
=
1
01/ m.4n. (2)
Dali çerez B poznaçatymemo separabel\nu banaxovu ©ratku z modulem ⋅ .
Poklademo
S Sn
k n
k
∗
≤
= sup , n = 1, 2, …
(tut i dali k ≤ n oznaça[ 1 ≤ k ≤ n).
Pryrodno posta[ pytannq: çy ne moΩna ZVÇ (2) u vypadku banaxovyx ©ratok
pidsylyty do rivnosti
lim
n p n
n
S
→∞
∗ =
1
01/ m.4n. (3)
i qki umovy dlq c\oho potribno naklasty na v.4e. X ?
Nexaj 1 ≤ p, q < ∞. Banaxova ©ratka B nazyva[t\sq p-opuklog [3, s. 46],
qkwo isnu[ taka stala D p( ) = D Bp( )( ) , wo dlq koΩnoho n i bud\-qkyx ele-
mentiv ( )x Bi
n
1 ⊂
x D xi
p
i
n p
p
i
p
i
n p
= =
∑ ∑
≤
1
1
1
1/
( )
/
,
© I. K. MACAK, A. M. PLIÇKO, 2010
504 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
PRO ZAKON VELYKYX ÇYSEL … 505
i, analohiçno, q-vhnutog, qkwo dlq deqko] stalo] D q( ) = D Bq( )( ) vykonu[t\sq
obernena nerivnist\
x D xi
q
i
n q
q i
q
i
n q
= =
∑ ∑
≤
1
1
1
1/
( )
/
.
Teorema 1. Nexaj B — p-opukla (1 ≤ p < 2) i q-vhnuta (q < ∞) banaxova
©ratka, X — vypadkovyj element zi znaçennqmy v B ta EX = 0 . Todi umova
(1) ekvivalentna rivnosti (3).
Naslidok 1. Nexaj X — vypadkovyj element zi znaçennqmy u prostori Lp
abo � p pry 1 ≤ p < 2 i EX = 0 . Todi umovy (1) ta (3) ekvivalentni.
ZauvaΩennq 1. Dlq zahal\nyx separabel\nyx banaxovyx ©ratok teorema41 [
xybnog, ale, qk pokazano u praci [4], vykonu[t\sq ZVÇ typu Kolmohorova:
lim
n
n
n
S
→∞
∗ =
1
0 m.4n.
za umov E X < ∞ ta EX = 0 .
Nahada[mo, wo poslidovnist\ ( )xn elementiv banaxovo] ©ratky B nazyva[t\-
sq o-zbiΩnog do elementa x , poznaça[t\sq x = o – lim
n
nx
→∞
, qkwo isnu[ taka
poslidovnist\ nevid’[mnyx elementiv vn B∈ , wo x xn − ≤ vn i vn ↓ 0 , tob-
to v v1 2≥ ≥ … ta inf
n
n≥1
v = 0.
Dlq v. e. X zi znaçennqmy u banaxovij ©ratci (z EX = 0 ) moΩna rozhlqnuty
porqdkovyj ZVÇ Marcynkevyça – Zy©munda
o
n
S
n p n− =
→∞
lim
1
01/ m. n.
ZauvaΩennq 2. V umovax teoremy41 porqdkovyj ZVÇ Marcynkevyça – Zy©-
munda ne vykonu[t\sq. Tak, kontrpryklad iz roboty [5], qkwo joho rozhlqnuty
u prostori � p , 1 ≤ p < ∞, zadovol\nq[ nerivnist\ (1) i razom z tym dlq n\oho
sup
n
p n
n
S
p≥
= ∞
1
1
1
/
�
m.4n.
2. Dovedennq teoremy 1. Vidrazu zaznaçymo, wo tut my istotno vykorysto-
vu[mo dovedennq ZVÇ Marcynkevyça – Zy©munda u banaxovomu prostori z roboty
[2, s. 186, 187].
Implikaciq (3) ⇒ (1) vyplyva[ z rezul\tativ [2, s. 259]. Tomu dostatn\o vsta-
novyty protyleΩnu implikacig (1) ⇒ (3).
1-j krok. DopomiΩni lemy.
Lema 1 [4]. Nexaj Y — v. e. zi znaçennqmy u skinçennovymirnomu pidpros-
tori E banaxovo] ©ratky, a ( )Yi — joho nezaleΩni kopi]. Nexaj 1 < p ≤ 2 ,
E Y p < ∞ i EY = 0 . Todi pry n → ∞ m.4n.
1
01
1n
Y
p
k n
i
i
k
/ sup
≤ =
∑ → .
Lema 2 [6]. Nexaj B — q-vhnutyj (q < ∞) banaxiv ideal\nyj prostir, a
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
506 I. K. MACAK, A. M. PLIÇKO
X = X t( )( , t T∈ ) — vypadkovyj element zi znaçennqmy v B. Todi
E EX D X tq q
q
q q( ) ≤ ( )1 1/ /
( ) ( ) .
Lema 3 [2, s. 179]. Nexaj ( )Xn ta ( )′Xn — nezaleΩni poslidovnosti vypad-
kovyx velyçyn u banaxovomu prostori taki, wo pry n → ∞
X Xn n− ′ → 0 m.4n. i Xn
P→ 0 .
Todi
Xn → 0 m.4n.
Nastupna lema blyz\ka do vidomoho rezul\tatu Proxorova v R [7]. Prypus-
tymo, wo çyslova poslidovnist\ an ↑ ∞ ta isnugt\ pidposlidovnist\ ( )bm =
= ( )anm
i stali C > c > 1 taki, wo C ≥ anm + 1
/ anm
≥ c dlq dosyt\ velykyx m.
(Qkwo, napryklad, a an n+ 1/ → 1, to taka pidposlidovnist\ isnu[ [8, s. 330].)
Nexaj ( )Xn — poslidovnist\ nezaleΩnyx v.4e. zi znaçennqmy v banaxovij
©ratci B. Dlq poslidovnosti ( )Xn tak samo, qk i u vstupi, vyznaça[mo Sn ta
Sn
∗
. Poklademo Jm = nm −{ 1 + 1, … , nm} , m ∈N , ta
U S Sm
n J
n n
m
m
= −
∈
−sup
1
.
Lema 4. Nastupni spivvidnoßennq ekvivalentni:
i) lim
n n
n
a
S
→∞
∗1
= 0 m.4n.;
ii) lim
m m
m
b
U
→∞
1
= 0 m.4n.;
iii) ∀ >δ 0 : P
1
1 b
U
m
mm
>
≥∑ δ < ∞.
Dovedennq lemy 4. Dosyt\ dovesty rivnosyl\nist\ umov i) ta ii), bo rivno-
syl\nist\ ii) ta iii) vyplyva[ z lemy Borelq – Kantelli.
Qkwo vykonu[t\sq umova i), to pry m → ∞
1
b
U
m
m ≤
1
b
S
m n J
n
m
sup
∈
+
S
b
b
b
n
m
m
m
m −
−
−1
1
1
→ 0 m.4n.
Navpaky, nexaj vykonu[t\sq umova ii). Todi dlq n Jm∈
Sn = S S S Sn n n n
i
m
m i i
− + −− −
=
−
∑1 1
1
1
( ) ≤ Ui
i
m
=
∑
1
.
Zvidsy ma[mo
1
a
S
n
n
∗ ≤
C
b
U
m
i
i
m
=
∑
1
. (4)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
PRO ZAKON VELYKYX ÇYSEL … 507
Iz vlastyvostej pidposlidovnosti ( )bm vyplyva[ ocinka
bi
i
m
=
∑
1
≤
b
c
m
1 1− /
. (5)
I nareßti, skorysta[mos\ elementarnym çyslovym spivvidnoßennqm [8,
s. 327] (lema49): pry n → ∞
1
0
1a
b y
n
i i
i
n
→
=
∑ ,
qkwo an = bii
n
=∑ 1
↑ ∞ i yn → 0 .
Zvidsy, z umovy ii) ta ocinok (4), (5) otrymu[mo umovu i).
Lemu dovedeno.
ZauvaΩennq 3. Poklademo
T S Sm n nm m
= − − 1
i rozhlqnemo umovy
ii′) lim
m m
m
b
T
→∞
1
= 0 m. n.;
iii′) ∀ >δ 0 : P
1
1 b
T
m
mm
>
≥∑ δ < ∞.
Qkwo v umovax lemy 4 B = R , a v.4e. Xn symetryçni, to spivvidnoßennq ii), iii)
moΩna zaminyty na ii′) , iii′) [7]. Çy moΩna zrobyty ce dlq banaxovyx ©ratok —
nam nevidomo.
2-j krok. Spoçatku vstanovymo poslablenyj variant implikaci] (1) ⇒ (3), a
same, pokaΩemo, wo v (3) ma[ misce zbiΩnist\ za jmovirnistg.
Vidomo, wo mnoΩyna prostyx v. e. wil\na v L Bp ( ) (dyv., napryklad, [9,
s. 97], vprava 3), tomu dlq bud\-qkoho ε > 0 isnu[ prostyj (tobto skinçennoznaç-
nyj) v.4e. Y takyj, wo E X Y p p
−( )1/ < ε. Oskil\ky EY ≤ E(Y – X) +
+ EX ≤ E X Y p p
−( )1/ < ε, to, vykorystovugçy Y – EY zamist\ Y, moΩemo
vvaΩaty EY = 0. Poklademo R = X – Y. Zvyçajno,
ER = 0 i E R p p( )1/ < ε. (6)
Dlq Xn , n ≥ 1, nezaleΩnyx kopij X, zapyßemo Xn = Yn + Rn , de Yn —
nezaleΩni kopi] Y, a Rn — nezaleΩni kopi] R . Poklademo
′ =
≤ =
∑S Yn
k n
i
i
k
sup
1
i ′′ =
≤ =
∑S Rn
k n
i
i
k
sup
1
.
Oçevydno,
S S Sn n n
∗ ≤ ′ + ′′ . (7)
Na pidstavi lemy41
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
508 I. K. MACAK, A. M. PLIÇKO
lim
n p n
n
S
→∞
′ =
1
01/ m.4n. (8)
Teper ocinymo zverxu ′′Sn . ZauvaΩymo, wo separabel\na σ-povna banaxova
©ratka porqdkovo izometryçna do deqkoho banaxovoho ideal\noho prostoru [3,
s. 25] (u knyzi [3] vΩyva[t\sq blyz\kyj termin „funkcijnyj prostir Kete”). Os-
kil\ky q-vhnuta banaxova ©ratka bude σ-povnog [3] (teorema41.a.5), to bez obme-
Ωennq zahal\nosti moΩna vvaΩaty B separabel\nym p-opuklym i q-vhnutym
banaxovym ideal\nym prostorom, zadanym na deqkomu vymirnomu prostori (T , Λ,
µ) . Nexaj
X X tn n= ( ) , ′′ = ′′S S tn n ( ) , R R tn n= ( ) ,
a
� �R R tn n= ( ) , t T∈ , — nezaleΩna kopiq Rn . Vykorystovugçy proceduru sy-
metryzaci], ma[mo [9, s. 222] (lema 3.4)
E ′′Sn ≤ E sup
k n
i i
k
R R
≤
−( )∑ �
1
.
MoΩna vvaΩaty, wo Rn –
�Rn = εn nR̂ , de εn — nezaleΩni symetryçni v.4v.
Bernulli, a R̂n — nezaleΩni kopi] R – �R (
�R — nezaleΩna kopiq R ), qki ne za-
leΩat\ vid ( εn ). Todi z ostann\o] nerivnosti ta lemy42 otrymu[mo
E ′′Sn ≤ D R tq
k n
i i
k q q
( )
ˆ sup ˆ ( )E E
≤
∑
ε
1
1/
, (9)
de çerez
ˆ ( ˆ )Eϕ εn nR poznaçeno matematyçne spodivannq v.4v. ϕ ε( ˆ )n nR pry fik-
sovanyx znaçennqx v.4v. ( ˆ )Rn . Dali, pry fiksovanyx znaçennqx R̂n poslidovno
zastosu[mo momentnu nerivnist\ Levi dlq symetryçnyx v. v.4v R [2, s. 48]
E max
k n
i
k q
≤ ∑ ξ
1
≤ 2 E ξi
n q
1
∑
ta vidomu nerivnist\ Kaxana [3] (teorema 1.e.13)
ˆ sup ˆ ( )E
k n
i i
i
k q q
R t
≤ =
∑
ε
1
1/
≤ 2 ˆ ˆ ( )E εi i
n q q
R t
1
1
∑
/
≤
≤ C R tK i i
n p p
ˆ ˆ ( )E ε
1
1
∑
/
≤ C R tK i
p
n p
ˆ ( )
1
1
∑
/
,
de CK = C p qK ( , ) zaleΩyt\ vid stalo] v nerivnosti Kaxana.
Na pidstavi ocinky (9), ostann\o] nerivnosti ta p-opuklosti B distanemo (pry
deqkyx absolgtnyx stalyx C1 , C)
E ′′Sn ≤ C Ri
p
i
n p
1
1
1
E ˆ
=
∑
/
≤ C Ri
p
i
n p
E ˆ
=
∑
1
1/
≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
PRO ZAKON VELYKYX ÇYSEL … 509
≤ Cn Rp
i
p p
1
1
/
/
E ˆ( ) ≤ Cn p1/ ε . (10)
V ostannij nerivnosti vykorystano j nerivnist\ z (6).
Oskil\ky ε [ dovil\nym, to z (7), (8) ta (10) vyplyva[
1
01n
S
p n
P
/
∗ → . (11)
3-j krok. Perejdemo bezposeredn\o do dovedennq implikaci] (1) ⇒ (3).
Pry c\omu, vnaslidok lemy43 ta spivvidnoßennq (11), moΩna obmeΩytysq sy-
metryçnymy v.4e. Xn . Za analohi[g z 2-m krokom zobrazymo ]x u vyhlqdi
Xn = ε εn n n n nX Y R′ = +( ) ,
de symetryçni v.4v. Bernulli εn ne zaleΩat\ vid ′Xn . Poklademo
′Sn = sup
k n
i i
i
k
Y
≤ =
∑ ε
1
, ′′Sn = sup
k n
i i
i
k
R
≤ =
∑ ε
1
.
Zrozumilo, wo velyçyny ′Sn ta ′′Sn zadovol\nqgt\ nerivnist\ (7), a dlq ′Sn
vykonu[t\sq rivnist\ (8). Takym çynom, dlq dovedennq teoremy41 zalyßylosq
pokazaty, wo
lim /n p n
n
S
→∞
′′ =
1
01 m.4n. (12)
Dlq koΩnoho m ∈N poznaçymo Jm = 2 1m −{ + 1, … , 2m} i dlq koΩnoho
j Jm∈
V R Rj j j j
m p= ≤( )ε I 2 /
,
de I( )A = 1, qkwo podiq A vykonu[t\sq, i I( )A = 0 u protyleΩnomu vypadku.
V.4e. Rj zadovol\nq[ umovu (6), a tomu
P ∃ ∈ ≠{ }
≥
∑ j J V Rm j j j
m
, ε
1
≤ 2 2
1
m m p
m
RP >{ }
≥
∑ / < ∞.
Za lemog Borelq – Kantelli ce oznaça[, wo m. n. nerivnist\ V Rj j j≠ ε vyko-
nu[t\sq lyße skinçennu kil\kist\ raziv. Takym çynom, rivnist\ (12) vykonuvaty-
met\sq, qkwo
lim sup
n p
k n
i
k
n
V
→∞ ≤
∑ =
1
01
1
/ m.4n.
Zastosuvavßy lemu44 pry a nn
p= 1/
i nm
m= 2 , otryma[mo, wo ostannq
rivnist\ ekvivalentna umovi
∀ > >{ } < ∞
≥
∑δ δ0 2
1
: P Um
m p
m
/
, (13)
de Um = sup j J ii
j
m m V∈ = +−∑ 2 11 .
Z ocinky (10) ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
510 I. K. MACAK, A. M. PLIÇKO
E U Cm
m p≤ 2 / ε .
Zvidsy, vybyragçy ε = δ/( )2C , oderΩu[mo, wo umova
∀ > − >{ } < ∞−
≥
∑δ δ0 2 1
1
: ( )P EU Um m
m p
m
/
(14)
[ dostatn\og dlq vykonannq (13).
Dlq ocinky m-ho dodanka v sumi (14) skorysta[mosq modyfikaci[g metodu
Gryns\koho [10] dlq sum nezaleΩnyx v. e. u banaxovyx prostorax. Dlq koΩno-
ho j Jm∈ vvedemo poznaçennq
U Vm j
i J
s
s J s i s jm m
,
, ,
sup=
∈ ∈ < ≠
∑ ,
ζ j j m j mU U= − −E E 1 ,
E Ej jη η= ( )F ,
de Fj — σ-alhebra, natqhnena na v. e. Vi : i Jm∈ , i ≤ j; F2 1( )m − — tryvial\na σ-
alhebra.
Todi ma[ misce martynhal\ne zobraΩennq
U Um m j
j Jm
− =
∈
∑E ζ . (15)
Oskil\ky ζ j moΩna zapysaty u vyhlqdi
ζ j = E Ej j m m jU U−( ) −( )− 1 , ,
to, zastosovugçy nerivnist\
U U Vm m j j− ≤, ,
otrymu[mo
ζ j j jV V≤ + E . (16)
Ale ( )ζ j — poslidovnist\ martynhal-riznyc\, tomu zhidno z ocinkog (16) ma[mo
E ζ j
j Jm∈
∑
2
≤ E ζ j
j Jm
2
∈
∑ ≤ C Vj
j Jm
E
2
∈
∑ ≤ C Vm
j2
2
E .
Zvidsy ta z rivnosti (15) vyplyva[, wo rqd u (14) moΩna ocinyty zverxu takym
çynom:
C
V
m p
m
j
j Jm
δ2 2
1
21
2 /
≥ ∈
∑ ∑ E ≤
C
R R
m p
m
m p
δ2 2 1
1
21
2
2( )/
/
−
≥
∑ ≤( )( )E I . (17)
Vidomo (dyv. [2, s. 187], dovedennq teoremy 7.9), wo dlq v.4v. ξ v R za umovy
E ξ p < ∞, 1 ≤ p < 2, suma
1
2
22 1
1
2
m p
m
p m
( )/ −
≥
∑ ≤( )( )E ξ ξI < ∞.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
PRO ZAKON VELYKYX ÇYSEL … 511
Oskil\ky v.4v. R zadovol\nq[ umovu (6), to rqd (17) zbiha[t\sq, a otΩe zbi-
ha[t\sq i rqd (14).
Teoremu dovedeno.
3. Pryklady zastosuvannq do empiryçnyx rozpodiliv. 1. Vybirka v R .
Dlq n.4o.4r.4v.4v. ξ , ξ1 , ξ2 , … v R z funkci[g rozpodilu F t( ) vvedemo empi-
ryçnu funkcig rozpodilu
F t
n
In t i
i
n
∗
−∞
=
= ∑( ) ( )( , )
1
1
ξ , t ∈R ,
de I t( , )( )−∞ ξ = 1, qkwo ξ < t, i I t( , )( )−∞ =ξ 0 , qkwo ξ ≥ t.
Vidoma teorema Hlivenka – Kantelli stverdΩu[, wo
sup ( ) ( )
t
nF t F t
∈
∗ − →
R
0 m.4n.
Rozhlqnemo vypadkovi procesy
X t I F tn t n( ) ( ) ( )( , )= −−∞ ξ , t ∈R , (18)
qk v.4e. zi znaçennqmy u prostori Lp ( )R , 1 ≤ p < ∞ (zvyçajno, ce bude tak lyße
za pevnyx obmeΩen\ na v.4v. ξ [4]). Dlq v.4e. Xn , vyznaçenyx rivnistg (18), i z
umovog
E Xn L
p
p ( )R < ∞ , (19)
ZVÇ (2) u prostori Lp ( )R moΩna zapysaty u takomu vyhlqdi: pry n → ∞ m.4n.
1
0
n
n F t F t dtp
n
p∗
−∞
∞
− →∫ ( ) ( ) . (20)
Teorema41 dozvolq[ pidsylyty ostann[ spivvidnoßennq tak: za umovy (19) pry
n → ∞ m.4n.
1
0
n
k F t F t dt
k n
p
k
p
max ( ) ( )
≤
∗
−∞
∞
− →∫ . (21)
Z inßoho boku, rivnosti (20), (21) moΩna rozhlqdaty, qk deqki varianty teo-
remy Hlivenka – Kantelli u prostori Lp ( )R .
Naslidok 2. Pry 1 ≤ p < 2 empiryçna funkciq rozpodilu F tn
∗( ) zadovol\-
nq[ zakon velykyx çysel (21) todi i til\ky todi, koly
E ξ < ∞ . (22)
ZauvaΩennq 4. Vidomo [4], wo pry umovi E ξ 1/p < ∞ Xn naleΩyt\
Lp ( )R 44m. n. Tomu umova (22) harantu[ naleΩnist\ Xn do vsix Lp ( )R vidrazu.
Naslidok42 bezposeredn\o vyplyva[ z teoremy41, qkwo vstanovyty ekviva-
lentnist\ (19) ⇔ (22).
Ce perevirq[t\sq prosto. Spravdi,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
512 I. K. MACAK, A. M. PLIÇKO
E Xn L
p
p ( )R = E 1 − < + ≥( )
−∞
∞
∫ F t t F t t dtp p( ) ( ) ( ) ( )I Iξ ξ =
= 1 1− + −( )( )
−∞
∞
∫ F t F t F t F t dtp p( ) ( ) ( ) ( ) .
Ostannij intehral bude obmeΩenym todi j til\ky todi, koly
1
0
−( )
∞
∫ F t dt( ) + F t dt( )
−∞
∫
0
< ∞.
Vidomo [11, s. 179] (lema42), wo ostannq nerivnist\ ekvivalentna umovi (22).
2. Vybirka v Rm
. Nexaj b c, = b ci ii
m
=∑ 1
— skalqrnyj dobutok elemen-
tiv b = ( , , )b bm1 … ta c = ( , , )c cm1 … z Rm
, c = c c, 1 2/
, ξ , ξ1 ,
ξ2 , … — n. o. r. v. v. v Rm
. Z kil\kox moΩlyvyx sposobiv vyznaçennq empiryç-
no] funkci] rozpodilu v Rm
vyberemo takyj:
F c tn
∗( , ) =
1
1n
I ct i
i
n
( , ) ,−∞
=
( )∑ ξ , c t D, ∈ ,
de D = Sm × R, a Sm
— odynyçna sfera m-vymirnoho evklidovoho prostoru.
Vvedemo na D miru pryrodnym sposobom qk dobutok (normovano]) sferyçno] mi-
ry Lebeha na Sm
ta zvyçajno] miry Lebeha v R.
Poklademo F c t( , ) = P ξi c t, <{ } i rozhlqnemo vypadkovi funkci]
X c tn ( , ) = I ct n( , ) ,−∞ ( )ξ – F c t( , ) , ( , )c t D∈ ,
qk v.4e. Xn zi znaçennqmy u (separabel\nij) banaxovij ©ratci çyslovyx funkcij
L Dp ( ) , 1 ≤ p < ∞.
Zastosovugçy teoremu41 do v.4e. Xn , dista[mo takyj naslidok.
Naslidok 3. Qkwo
E ξ < ∞ , (23)
to dlq koΩnoho 1 ≤ p < 2 pry n → ∞ m.4n.
1
0
n
dc k F c t F c t dt
m
k n
p
n
p
S
∫ ∫ ≤
∗
−∞
∞
− →max ( , ) ( , ) . (24)
Dlq dovedennq naslidku43 dosyt\ pereviryty vykonannq umovy (19). Ma[mo
E Xn L D
p
p ( ) =
= E dc F c t c t F c t c t dt
m
p p
S
I I∫ − <( ) + ≥( )( )1 ( , ) , ( , ) ,ξ ξ
−−∞
∞
∫ =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
PRO ZAKON VELYKYX ÇYSEL … 513
= dc F c t F c t F c t F c t dt
m
p p
S
∫ − + −( )
−∞
∞
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )∫∫ ≤
≤ 2 1dc F c t F c t dt
mS
∫ ∫ −( )
−∞
∞
( , ) ( , ) ≤
≤ 2 1
0
0
dc F c t dt F c t dt
mS
∫ ∫∫ −( ) +
−∞
∞
( , ) ( , ) .
Ocinymo dva ostanni odnovymirni intehraly
1
0
−
∞
∫ F c t dt( , ) ≤ P ξ, c t dt≥{ }
∞
∫
0
= E ξ, c ≤ E ξ
i analohiçno
F c t dt( , )
−∞
∫
0
= P ξ, − > −{ }
−∞
∫ c t dt
0
= P ξ, − >{ }
∞
∫ c t dt
0
≤ E ξ .
Zbyragçy razom ostanni ocinky ta umovu (23), otrymu[mo (19).
Naslidok dovedeno.
1. Marcinkiewicz J., Zygmund A. Sur les fonctions indépendantes // Fund. Math. – 1937. – 29. – P. 60
– 90.
2. Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach spaces. – Berlin: Springer, 1991. – 480 p.
3. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. – Berlin etc.: Springer, 1979. – 243 p.
4. Macak I. K., Pliçko A. M. Do zakonu velykyx çysel u banaxovyx ©ratkax // Mat. visn. NTÍ.
– 2009. – 6. – S. 179 – 197.
5. Macak I. K. ZauvaΩennq do porqdkovoho zakonu velykyx çysel // Teoriq jmovirnostej ta
mat. statystyka. – 2005. – Vyp. 72. – S. 84 – 92.
6. Macak I. K., Pliçko A. M. Pro maksymumy nezaleΩnyx vypadkovyx elementiv u funkcijnij
banaxovij ©ratci // Tam Ωe. – 1999. – Vyp. 61. – S. 105 – 116.
7. Proxorov G. V. Ob usylennom zakone bol\ßyx çysel // Yzv. AN SSSR. – 1950. – 14, # 6. –
S. 523 – 536.
8. Petrov V. V. Summ¥ nezavysym¥x sluçajn¥x velyçyn. – M.: Nauka, 1972. – 416 s.
9. Vaxanyq N. N., Taryeladze V. Y., Çobanqn S. A. Veroqtnostn¥e raspredelenyq v banaxov¥x
prostranstvax. – M.: Nauka, 1985. – 368 s.
10. Grynskyj V. V. Pokazatel\n¥e ocenky dlq bol\ßyx uklonenyj // Teoryq veroqtnostej y
ee prymenenyq. – 1974. – 19, # 1. – S. 152 – 153.
11. Feller V. Vvedenye v teoryg veroqtnostej y ee pryloΩenyq. – M.: Myr, 1984. – T. 2. –
7524s.
OderΩano 18.08.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 4
|