Некоторые нуль-филиформные алгебры
Наведено опис алгебр, що задаються деякими спеціальними тотожностями i мають максимальний індєкс нільпотентності.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166002 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Некоторые нуль-филиформные алгебры / К.К. Масутова, Б.А. Омиров // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 482–492. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166002 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660022020-02-18T01:27:52Z Некоторые нуль-филиформные алгебры Масутова, К.К. Омиров, Б.А. Статті Наведено опис алгебр, що задаються деякими спеціальними тотожностями i мають максимальний індєкс нільпотентності. We present the description of algebras with the maximum nilpotency index given by certain special identities. 2014 Article Некоторые нуль-филиформные алгебры / К.К. Масутова, Б.А. Омиров // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 482–492. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166002 512.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Масутова, К.К. Омиров, Б.А. Некоторые нуль-филиформные алгебры Український математичний журнал |
| description |
Наведено опис алгебр, що задаються деякими спеціальними тотожностями i мають максимальний індєкс нільпотентності. |
| format |
Article |
| author |
Масутова, К.К. Омиров, Б.А. |
| author_facet |
Масутова, К.К. Омиров, Б.А. |
| author_sort |
Масутова, К.К. |
| title |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_short |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_full |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_fullStr |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_full_unstemmed |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_sort |
некоторые нуль-филиформные алгебры |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166002 |
| citation_txt |
Некоторые нуль-филиформные алгебры / К.К. Масутова, Б.А. Омиров // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 482–492. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT masutovakk nekotoryenulʹfiliformnyealgebry AT omirovba nekotoryenulʹfiliformnyealgebry |
| first_indexed |
2025-07-14T20:29:05Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:29:05Z |
| _version_ |
1837655599131656192 |
| fulltext |
УДК 512.5
К. К. Масутова, Б. А. Омиров (Ин-т математики при Нац. ун-те Узбекистана, Ташкент)
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ
We present the description of algebras with the maximum nilpotency index given by certain special identities.
Наведено опис алгебр, що задаються деякими спецiальними тотожностями i мають максимальний iндекс нiльпо-
тентностi.
1. Введение. При изучении нильпотентных алгебр естественно возникает задача: описать
алгебры, имеющие максимальный нильиндекс. Однако, в силу большого разнообразия классов
алгебр, в каждом случае приходится отдельно описывать алгебры максимального нильиндекса
данного класса. Поэтому в данной статье предпринята попытка описать алгебры максимального
нильиндекса, удовлетворяющие обобщенным тождествам специальных видов.
Введем некоторые тождества и дадим определения алгебр, удовлетворяющих данным тож-
дествам.
Определение 1.1. Алгебра L над полем F называется обобщенной алгеброй Лейбница
(ОАЛ), если для любых элементов x, y, z ∈ L выполняется тождество
a(bc) = A1(ab)c+A2(ac)b, (1)
где A1, A2 — произвольные скаляры поля.
Определение 1.2. Алгебра L над полем F называется обобщенной алгеброй Зинбиеля
(ОАЗ), если для любых элементов x, y, z ∈ L выполняется тождество
(ab)c = A1a(bc) +A2a(cb), (2)
где A1, A2 — произвольные скаляры поля.
В данной работе мы описываем ОАЛ и ОАЗ максимального нильиндекса. Отметим, что
алгебры Лейбница являются примерами ОАЛ при A1 = 1, A2 = −1. Исследованиям алгебр
Лейбница посвящены многочисленные работы (см., например, [1, 4, 5, 7, 9]). В частности, клас-
сификация нуль-филиформных алгебр Лейбница, полученная в работе [1], является частным
случаем теоремы 2.1 (случай A1 +A2 = 0).
В монографии [8] с категорной точки зрения рассмотрена связь категории алгебр Лейбница
с другими категориями алгебр. В работе [8] также были рассмотрены алгебры Зинбиеля (кошу-
лево дуальные к алгебрам Лейбница). Изучению структуры конечномерных алгебр Зинбиеля
посвящены работы [2, 3, 6]. Отметим, в свою очередь, что алгебры Зинбиеля являются приме-
рами ОАЗ при A1 = A2 = 1. Классификация нуль-филиформных алгебр Зинбиеля, полученная
в статье [3], также является частным случаем теорем 3.1 и 3.2 (случай A1 = A2).
Если рассмотреть ОАЛ при A1 = 1, A2 = 0 (случай A1 + A2 = 1) или ОАЗ при A1 =
= 1, A2 = 0 (случай A1 + A2 = 1), то получим ассоциативные алгебры. Отметим, что нуль-
филиформные ассоциативные алгебры произвольной размерности, как алгебры максимального
c© К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ, 2014
482 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 483
индекса нильпотентности, ранее не выделялись. Поэтому результаты, полученные в данной
работе, восполняют данный пробел.
Таким образом, полученные классификации нуль-филиформных ОАЛ и ОАЗ обобщают
известные результаты для алгебр Лейбница, алгебр Зинбиеля и ассоциативных алгебр. Кроме
того, в связи с развитием современной абстрактной алгебры появляются новые многообразия
алгебр, и полученные классификации могут быть использованы для изучения алгебр, которые
будут частными случаями ОАЛ и ОАЗ.
Для произвольной алгебры A рассмотрим ряд
A1 = A, Ak+1 =
k∑
i=1
AiAk+1−i, k ≥ 1. (3)
Определение 1.3. n-Мерная алгебра A называется нуль-филиформной, если dimAi =
= (n+ 1)− i, 1 ≤ i ≤ n+ 1.
Нетрудно видеть, что алгебра имеет максимальный нильиндекс тогда и только тогда,
когда она является нуль-филиформной. Кроме того, для нильпотентной алгебры условие нуль-
филиформности равносильно однопорожденности алгебры.
В дальнейшем мы будем рассматривать алгебры над полем F характеристики нуль.
2. Алгебры, определенные тождеством a(bc) = A1(ab)c + A2(ac)b. ПустьA— произ-
вольная n-мерная ОАЛ. Нетрудно видеть, что для алгебры A ряд (3) сводится к последователь-
ности
A1 = A,Ak+1 = AkA1, k ≥ 1. (4)
Поэтому в дальнейшем вместо этого ряда мы будем использовать последовательность (4).
В следующей теореме представлена классификация нуль-филиформных ОАЛ.
Теорема 2.1. n-Мерная нуль-филиформная ОАЛ A существует только при A1 + A2 = 0
или A1 + A2 = 1. Более того, в каждом случае существует базис {e1, e2, . . . , en} алгебры A
такой, что умножение имеет вид
случай A1 +A2 = 0: eie1 = ei+1, 1 ≤ i ≤ n− 1,
случай A1 +A2 = 1: eiej = ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ n.
Доказательство. Пусть A — нуль-филиформная ОАЛ размерности n и {e1, e2, . . . , en} —
базис алгебры A такой, что ei ∈ Ai \Ai+1, 1 ≤ i ≤ n. Тогда имеем
e2 =
(
n∑
i=1
γiei
)(
n∑
i=1
δiei
)
= γ1δ1e1e1 + f,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
484 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
где f ∈ A3. Заметим, что γ1δ1 6= 0 и e1e1 ∈ A2\A3, в противном случае e2 ∈ A3. Переобозначая
e′2 =
1
γ1δ1
(e2 − f), можем полагать, что e2 = e1e1.
Пусть e2e1 = α1e3, e1e2 = β1e3, где (α1, β1) 6= (0, 0). Если α1 = 0, то e2e1 = 0, следова-
тельно,
e1e2 = e1(e1e1) = A1(e1e1)e1 +A2(e1e1)e1 = (A1 +A2)e2e1 = 0,
т. е. β1 = 0. Тогда алгебра не является нуль-филиформной.
Таким образом, α1 6= 0. Выполняя замену базисного элемента вида e′3 := α1e3, можно
полагать, что α1 = 1. Cледовательно, e2e1 = e3, e1e2 = β1e3, где β1 = A1 +A2.
Обозначим eie1 = αi−1ei+1, 2 ≤ i ≤ n− 1. Рассмотрим равенства
eie2 = ei(e1e1) = A1(eie1)e1 +A2(eie1)e1 = β1(eie1)e1 = β1αi−1ei+1e1 = β1αi−1αiei+2.
Индукцией по j для произвольного i доказывается равенство
eiej = αi−1αi . . . αi+j−2β
j−1
1 ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ n.
Если существует j0 (2 ≤ j0 ≤ n − 1) такой, что αj0−1 = 0, то ej0−i+1ei = 0 для любых
2 ≤ i ≤ j0. Следовательно, пришли к противоречию. Таким образом, αj0−1 6= 0 для любых
2 ≤ j0 ≤ n − 1. При замене базисных элементов e′j0+1 := αj0−1ej0+1 можно полагать, что
αj0−1 = 1 для любых 2 ≤ j0 ≤ n− 1. Поэтому имеем
eie1 = ei+1, 1 ≤ i ≤ n− 1, eiej = βj−11 ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ n.
Рассмотрение тождества (1) для элементов {e1, e1, e2} влечет β1e1e3 = β21e4, т. е. β1 ∈ {0, 1}.
Следовательно, получаем следующие алгебры:
I : eie1 = ei+1, 1 ≤ i ≤ n− 1 при β1 = 0;
II : eiej = ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ n при β1 = 1.
Поскольку размерность правого аннулятора алгебры I равна n − 1, а размерность правого
аннулятора алгебры II – 1, алгебры I и II не изоморфны.
Теорема 2.1 доказана.
3. Алгебры, определенные тождеством (ab)c = A1a(bc) + A2a(cb). Пусть задана
ОАЗ A, тогда из тождества (2) видно, что в алгебре A вместо ряда (3) достаточно рассмотреть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 485
последовательность
A1 = A, Ak+1 = AAk, k ≥ 1.
Следующая теорема описывает нуль-филиформные ОАЗ.
Теорема 3.1. n-Мерная нуль-филиформная ОАЗ A существует только при A1 = A2, либо
A1 = −A2, либо A1+A2 = 1. Более того, в алгебре A существует базис {e1, e2, . . . , en} такой,
что умножение имеет вид
eiej = Bi,jei+j ,
где B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1 и Bi,j = A1Bi−1,j +A2Bj,i−1, 2 ≤ i ≤ n− j.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2.1, существует базис {e1, e2, . . . , en}
алгебрыA такой, что ei ∈ Ai\Ai+1, 1 ≤ i ≤ n и e1e1 = e2. Положим e1e2 = α1e3, e2e1 = β1e3,
где (α1, β1) 6= (0, 0). Если α1 = 0, то e1e2 = 0. Из равенства
e2e1 = (e1e1)e1 = A1e1(e1e1) +A2e1(e1e1) = (A1 +A2)e1e2 = 0
следует β1 = 0. Пришли к противоречию. Таким образом, α1 6= 0. Выполняя замену базисного
элемента вида e′3 := α1e3, можно полагать, что α1 = 1, т. е. e1e2 = e3, e2e1 = β1e3, где
β1 = A1 +A2.
Пусть e1e3 = α2e4. Применяя тождество (2) к произведениям
(e1e1)e2, (e1e2)e1, (e2e1)e1,
получаем e2e2 = (A1 +A2β1)e1e3, e3e1 = (A1β1 +A2)e1e3.
Если α2 = 0, то e2e2 = e3e1 = 0 — противоречие. Поэтому α2 6= 0 и, выполняя замену
e′4 := α2e4, можно полагать, что α2 = 1 и e2e2 = (A1 +A2β1)e4, e3e1 = (A1β1 +A2)e4.
При рассмотрении тождества (2) для базисных элементов {e2, e1, e1} получаем три возмож-
ных случая для параметров A1 и A2:
1) A1 = A2 (β1 = 2 ·A1 6= 0); 2) A1 = −A2 (β1 = 0); 3) A1 +A2 = 1 (β1 = 1).
Действительно, β1e3e1 = (e2e1)e1 = A1e2e2 +A2e2e2 = β1e2e2, откуда имеем либо β1 = 0,
либо e3e1 = e2e2. Рассмотрев равенство e3e1 = e2e2, получим A1 = A2 или β1 = 1.
Обозначим e1ei+j−1 = αi+j−2ei+j . Покажем, что для некоторого фиксированного s, 1 ≤
≤ s ≤ n − 1, выполняется eiej = Bi,je1ei+j−1, 2 ≤ i + j ≤ s + 1, где Bi,j удовлетворяют
условиям из утверждения теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
486 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
Предположим, что для s = s0 эта зависимость справедлива. Тогда при условии e1ei+j−1 = 0
имеем eiej = 0 для любых 2 ≤ i+j ≤ s0+1, что противоречит существованию алгебры. Таким
образом, e1ei+j−1 6= 0 (т. е. αi+j−2 6= 0). Используя замену e′i+j := αi+j−2ei+j , можно полагать,
что αi+j−2 = 1. Следовательно, имеем
e1ei+j−1 = ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ s0 + 1,
eiej = Bi,je1ei+j−1 = Bi,jei+j , 2 ≤ i+ j ≤ s0 + 1.
По индукции покажем, что eiej = Bi,je1ei+j−1 при i+ j = s0 + 2.
Пусть e1es0+1 = αs0es0+2.При i = 2 имеем e2es0 = (e1e1)es0 = A1e1(e1es0)+A2e1(es0e1) =
= (A1 +A2Bs0,1)e1es0+1. Положим A1 +A2Bs0,1 = B2,s0 , тогда e2es0 = B2,s0e1es0+1.
Пусть для i = i0, 1 ≤ i0 ≤ s0, выполняется ei0es0+2−i0 = Bi0,s0+2−i0e1es0+1, где Bi0,s0+2−i0
удовлетворяют свойствам из утверждения теоремы. Тогда рассмотрим
ei0+1es0+1−i0 = (e1ei0)es0+1−i0 = A1e1(ei0es0+1−i0) +A2e1(es0+1−i0ei0) =
= (A1Bi0,s0+1−i0 +A2Bs0+1−i0,i0)e1es0+1 = Bi0+1,s0+1−i0e1es0+1.
Таким образом, eiej = Bi,je1ei+j−1 для 2 ≤ i+ j ≤ s0 +2. Аналогично можно считать, что
αs0 = 1, т. е. e1es0+1 = es0+2. Следовательно,
eiej = Bi,jei+j ,
где B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1 и Bi,j = A1Bi−1,j +A2Bj,i−1, 2 ≤ i+ j ≤ n.
Теорема 3.1 доказана.
В дальнейшем нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 3.1. Для любых натуральных чисел a, i, s ∈ N, i ≥ 2, s ≥ 3, справедливы следующие
равенства:
i∑
l=2
Ca−1
l+a−s = Ca
i+a−(s−1),
i∑
l=2
Cj−1
l−2 = Cj
i−1.
Доказательство проводится несложной индукцией.
Лемма 3.2. Для любых i, j ∈ N и любого x ∈ F справедливы следующие равенства:
i∑
l=2
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2 + Cj−1
k+l−2)x
k+i =
j−2∑
k=2
(Ck
k+i−2 + Cj
k+i−2)x
k+i−1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 487
i∑
l=2
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l =
i−j∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Доказательство. Первое равенство вытекает из следующей цепочки равенств:
i∑
l=2
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2 + Cj−1
k+l−2)x
k+i =
i∑
l=2
j−2∑
k=2
(Ck−1
k+l−3 + Cj−1
k+l−3)x
k+i−1 =
=
j−2∑
k=2
i∑
l=2
(Ck−1
k+l−3 + Cj−1
k+l−3)x
k+i−1 =
j−2∑
k=2
xk+i−1
(
i∑
l=2
Ck−1
k+l−3 +
i∑
l=2
Cj−1
k+l−3
)
=
= (по лемме 3.1) =
j−2∑
k=2
(Ck
k+i−2 + Cj
k+i−2)x
k+i−1.
Справедливость второго равенства следует из равенств
i∑
l=2
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l =
i∑
l=2
[
l−j−1∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l + Cj−1
l−2 x
i
]
=
= (по лемме 3.1) = Cj
i−1x
i + xi+j
i∑
l=2
l−j−1∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k−l =
= Cj
i−1x
i + xi+j
[
1−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k−2 +
2−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k−3 + . . .+
i−j−1∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k−i
]
=
= Cj
i−1x
i + xi+j
[
1−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2(x
k−2 + xk−3 + xk−4 + . . .+ xk−(i−1) + xk−i)+
+Cj−1
0 x−j−1 + (Cj−1
0 x−j−2 + Cj−1
1 x−j−1)+
+(Cj−1
0 x−j−3 + Cj−1
1 x−j−2 + Cj−1
2 x−j−1) +
3∑
k=0
Cj−1
k x−j−4+k + . . .
. . .+
i−5∑
k=0
Cj−1
k x−j−(i−4)+k +
i−4∑
k=0
Cj−1
k x−j−(i−3)+k +
i−3∑
k=0
Cj−1
k x−j−(i−2)+k
]
=
= Cj
i−1x
i + xi+j
x−j−1 i−3∑
k=1
Cj−1
k + x−j−2
i−4∑
k=1
Cj−1
k + x−j−3
i−5∑
k=1
Cj−1
k + . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
488 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
. . .+ x1−i
j−1∑
k=1
Cj−1
k︸ ︷︷ ︸
(i−j−1)-е место
+x−i
j−2∑
k=1
Cj−1
k︸ ︷︷ ︸
(i−j)-е место
+ . . .+ x−j−(i−4)
2∑
k=1
Cj−1
k︸ ︷︷ ︸
(i−4)-е место
+x−j−(i−3)Cj−1
1︸ ︷︷ ︸
(i−3)-е место
=
= (по лемме 3.1) = Cj
i−1x
i + xi+j
[
Cj
i−2x
−j−1 + Cj
i−3x
−j−2+
+Cj
i−4x
−j−3 + . . .+ Cj
j+1x
2−i + Cj
jx
1−i
]
=
= Cj
i−1x
i +
i−j−1∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j =
i−j∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Лемма 3.2 доказана.
Лемма 3.3. Для любых i, j ∈ N и любого x ∈ F справедливо равенство
i∑
l=2
l−4∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l =
i−4∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
i∑
l=2
l−4∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l =
i−4∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
i+j−4 +
i−5∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
i+j−5 +
i−6∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
i+j−6 + . . .
. . .+
3∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
j+3 +
2∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
j+2 + xj+1 = (по лемме 3.1) =
i−4∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Лемма 3.3 доказана.
Следующая теорема описывает параметры Bi,j из теоремы 3.1 в случае A1 = A2 = x.
Теорема 3.2. Для любой n-мерной нуль-филиформной ОАЗ A при A1 = A2 = x (случай I)
для произвольного i > 1 справедливы равенства
Bi,1 = 2xi−1 +
i−2∑
k=1
xk, Bi,2 = C1
i−1x
i−1(2x+ 1) +
i−3∑
k=1
C1
kx
k+1, (5)
Bi,j = Cj−1
i+j−3x
i+j−3(2x+ 1) + xi−1 +
i−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j−1 +
j−3∑
k=1
(Ck
k+i−2 + Cj−1
k+i−2)x
k+i−1,
j ≥ 3.
Доказательство. Из теоремы 3.1 следует, что eiej = Bi,jei+j , где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 489
B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1, Bi,j = x(Bi−1,j +Bj,i−1), 2 ≤ i ≤ n− j.
Поскольку Bj+1,i−1 = x(Bj,i−1 + Bi−1,j), то Bi,j = Bj+1,i−1, i ≥ 2. Поэтому при j > 1
имеем
Bi,j = x(Bi−1,j +Bi,j−1), 2 ≤ i ≤ n− j. (6)
При j = 1 имеем рекуррентное соотношение Bi,1 = x(Bi−1,1+B1,i−1) = xBi−1,1+x, i > 1,
из которого вытекает Bi,1 = 2xi−1 +
∑i−2
k=1
xk.
С помощью равенства (6) при j = 2, используя полученное выражение для Bi,1, индукцией
доказываем соотношение
Bi,2 = C1
i−1x
i−1(2x+ 1) +
i−3∑
k=1
C1
kx
k+1. (7)
Доказательство равенства (5) при j ≥ 3 проведем индукцией по j при произвольном зна-
чении i.
Полагая в равенстве (6) j = 3, получaeм Bi,3 = x(Bi−1,3 + Bi,2). Используя соотношение
(7), нетрудно доказать справедливость равенства (5) при j = 3.
Пусть при фиксированном j > 3 формула (5) справедлива. Рассмотрим Bi,j+1 при произ-
вольном i:
Bi,j+1 = x(x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
k раз
(Bi−k,j+1 +Bi−k+1,j) +Bi−k+2,j) + . . .+Bi−2,j) +Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
k раз
=
= x(x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
k раз
(x(Bi−k−1,j+1+Bi−k,j)+Bi−k+1,j)+Bi−k+2,j)+. . .+Bi−2,j)+Bi−1,j)+Bi,j)︸ ︷︷ ︸
k раз
=
= x(x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
(k+1) раз
(Bi−k−1,j+1 +Bi−k,j) +Bi−k+1,j) + . . .+Bi−2,j) +Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
(k+1) раз
.
Таким образом, можно на (i− 1)-м шаге дойти до B1,j+1, которое равно единице, т. е.
Bi,j+1 = x(x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
(1 +B2,j) +B3,j) + . . .+Bi−2,j) +Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
=
xi−1 + xi−1B2,j + xi−2B3,j + xi−3B4,j + . . .+ x2Bi−1,j + xBi,j = xi−1 +
i∑
l=2
xi+1−lBl,j =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
490 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
=xi−1+
i∑
l=2
[
Cj−1
l+j−3x
i+j−2(2x+ 1) + xi+
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l+
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2+C
j−1
k+l−2)x
k+i
]
=
= xi−1 + xi+j−2(2x+ 1)
i∑
l=2
Cj−1
l+j−3 + (i− 1)xi +
i∑
l=2
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l+
+
i∑
l=2
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2 + Cj−1
k+l−2)x
k+i = (по лемме 3.1) = xi−1 + Cj
i+j−2x
i+j−2(2x+ 1)+
+(i− 1)xi +
i∑
l=2
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l +
i∑
l=2
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2 + Cj−1
k+l−2)x
k+i.
Применяя лемму 3.2, получаем
Bi,j+1 = Cj
i+j−2x
i+j−2(2x+ 1) + xi−1 +
i−j−1∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j + (i− 1)xi + Cj
i−1x
i+
+
j−2∑
k=2
(Ck
k+i−2 + Cj
k+i−2)x
k+i−1 = Cj
i+j−2x
i+j−2(2x+ 1) + xi−1 +
i−j−1∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j+
+
j−2∑
k=1
(Ck
k+i−2 + Cj
k+i−2)x
k+i−1.
Теорема 3.2 доказана.
Приведем описание параметров Bi,j в случае A1 = −A2 = x.
Теорема 3.3. Для любой n-мерной нуль-филиформной ОАЗ A при A1 = −A2 = x (случай II)
для произвольного i > 1 справедливы равенства
Bi,1 = −
i−2∑
k=1
xk, B2,2 = x, Bi,2 = −C1
i−3x
i−2(x+ 1)−
i−4∑
k=1
C1
kx
k+1, (8)
Bi,j = −(Cj−1
i+j−5 − C
j−3
i+j−5)x
i+j−4(x+ 1) +
j−3∑
k=1
Ck−1
i+k−3x
i+k−2 −
i−4∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j−1, j ≥ 3.
Доказательство. Из теоремы 3.1 имеем eiej = Bi,jei+j , где
B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1, Bi,j = x(Bi−1,j −Bj,i−1), 2 ≤ i ≤ n− j.
Нетрудно видеть, что Bj+1,i−1 = x(Bj,i−1 −Bi−1,j). Следовательно,
Bi,j = −Bj+1,i−1, i ≥ 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 491
При j = 1, 2, 3 имеем рекуррентные соотношения
Bi,1 = x(Bi−1,1 −B1,i−1) = x(Bi−1,1 − 1), i > 1,
Bi,2 = x(Bi−1,2 −B2,i−1) = x(Bi−1,2 +Bi,1), i > 1,
Bi,3 = x(Bi−1,3 −B3,i−1) = x(Bi−1,3 +Bi,2), i > 1,
соответственно. Используя данные соотношения, убеждаемся в справедливости первых двух
равенств и третьего равенства при j = 3 в (8).
Доказательство третьего равенства в (8) при j > 3 проведем индукцией.
Пусть при произвольном i и фиксированном j > 3 формула (8) справедлива. Рассмотрим
Bi,j+1 при произвольном i, тогда Bi,j+1 = x(Bi−1,j+1+Bi,j). Рассуждая, как и при доказатель-
стве теоремы 3.2, можно показать, что
Bi,j+1 = x(x(x(x . . . (x(x︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
(B1,j+1 +B2,j) +B3,j) +B4,j) + . . .+Bi−2,j) +Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
.
Таким образом,
Bi,j+1 = x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
(1 +B2,j) +B3,j) + . . .+Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
= xi−1 +
i∑
l=2
xi+1−lBl,j =
= xi−1 −
i∑
l=2
(Cj−1
l+j−5 − C
j−3
l+j−5)x
i+j−3(x+ 1)+
+
i∑
l=2
j−3∑
k=1
Ck−1
l+k−3x
i+k−1 −
i∑
l=2
l−4∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
i+k+j−l =
= (по лемме 3.3) = xi−1 − xi+j−3(x+ 1)
(
i∑
l=2
Cj−1
l+j−5 −
i∑
l=2
Cj−3
l+j−5
)
+
+
j−3∑
k=1
xi+k−1
i∑
l=2
Ck−1
l+k−3 −
i−4∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j = (по лемме 3.1) =
= −(Cj
i+j−4 − C
j−2
i+j−4)x
i+j−3(x+ 1) +
j−2∑
k=1
Ck−1
i+k−3x
i+k−2 −
i−4∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Теорема 3.3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
492 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
Следующая теорема завершает описание нуль-филиформных ОАЗ.
Теорема 3.4. Для любой n-мерной нуль-филиформной ОАЗ A при A1 + A2 = 1 (случай III)
справедливо соотношение
Bi,j = 1 для любых 1 ≤ i, j ≤ n− 1.
Доказательство. Пусть A1 = x, тогда A2 = 1 − x и Bi,j = xBi−1,j + (1 − x)Bj,i−1 =
= x(Bi−1,j−Bj,i−1)+Bj,i−1. Доказательство проведем индукцией по i при любом j. При i = 1
имеем B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1.
Рассмотрим Bi+1,j = xBi,j + (1− x)Bj,i = x+ (1− x)Bj,i. Поскольку
Bj,i = xBj−1,i + (1− x)Bi,j−1 = xBj−1,i + (1− x),
Bj−1,i = xBj−2,i + (1− x)Bi,j−2 = xBj−2,i + (1− x),
то Bj,i = xBj−1,i + (1− x) = x(xBj−2,i + (1− x)) + (1− x).
Аналогично можно показать, что
Bj,i = x(x(x(x . . . (x(x︸ ︷︷ ︸
(j−1) раз
B1,i + (1− x) ) + (1− x)) + . . .+ (1− x)) + (1− x)) + (1− x))︸ ︷︷ ︸
(j−1) раз
.
Поскольку B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1, то Bj,i = 1. Таким образом, Bi+1,j = x+ (1− x) · 1 = 1.
Следовательно, Bi,j = 1 для любых 1 ≤ i, j ≤ n− 1.
Теорема 3.4 доказана.
1. Аюпов Ш. А., Омиров Б. А. О некоторых классах нильпотентных алгебр Лейбница // Сиб. мат. журн. – 2001. –
42. – C. 18 – 29.
2. Омиров Б. А. Классификация двумерных комплексных алгебр Зинбиеля // Узб. мат. журн. – 2002. – № 2. –
C. 55 – 59.
3. Adashev J. Q., Omirov B. A., Khudoyberdiyev A. Kh. Classifications of some classes of Zinbiel algebras // J. Gen.
Lie Theory and Appl. – 2010. – 3(4). – P. 1 – 10.
4. Ayupov Sh. A., Omirov B. A. On Leibniz algebras // Algebra and Operators Theory: Proc. Colloq. in Tashkent 1997.
– Kluwer Acad. Publ., 1998. – P. 1 – 13.
5. Camacho L. M., Gómez J. R., González A. J., Omirov B. A. Naturally graded quasi-filiform Leibniz algebras // J.
Symbol. Comput. – 2009. – 44, № 5. – P. 527 – 539.
6. Dzhumadil’daev A. S., Tulenbaev K. M. Nilpotency of Zinbiel algebras // J. Dynam. Control Syst. – 2005. – 11, № 2. –
P. 195 – 213.
7. Loday J.-L. Une version non commutative des algebres de Lie: les algebres de Leibniz // Enseign. math. – 1993. –
39. – P. 269 – 293.
8. Loday J.-L., Frabetti A., Goichot F. Dialgebras and related operads // Lect. Notes Math. – 2001. – 1763. – 133 p.
9. Omirov B. A. Conjucasy of Cartan subalgebras of complex finite-dimensional Leibniz algebras // J. Algebra. – 2006. –
302. – P. 887 – 896.
Получено 24.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|