Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці
В рамках классической статистической механики рассматриваются непрерывные бесконечные системы точечных частиц, взаимодействующих с помощью усиленно сверхустойчивого взаимодействия. Семейство аппроксимируемых корреляционных функций определяется таким образом, что они учитывают только те конфигурации...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166008 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці / С.М. Петренко, О.Л. Ребенко, М.В. Тертичний // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 369–384. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166008 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660082020-02-19T01:26:44Z Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці Петренко, С.М. Ребенко, О.Л. Тертичний, М.В. Статті В рамках классической статистической механики рассматриваются непрерывные бесконечные системы точечных частиц, взаимодействующих с помощью усиленно сверхустойчивого взаимодействия. Семейство аппроксимируемых корреляционных функций определяется таким образом, что они учитывают только те конфигурации частиц в пространстве Rᵈ, которые для заданного розбиения пространства Rᵈ на непересекающиеся гиперкубики объема aᵈ содержат не более чем одну частицу в каждом кубике. Доказано, что так определенные аппроксимации корреляционных функций сходятся поточечно к собственно корреляционным функциям системы, когда параметр аппроксимации a стремится к 0, при произвольных положительных значениях обратной температуры β и активности z. Этот результат получен как для двухчастичных, так и многочастичных потенциалов взаимодействия. A continuous infinite systems of point particles with strong superstable interaction are considered in the framework of classical statistical mechanics. The family of approximated correlation functions is determined in such a way that they take into account only those configurations of particles in the space Rᵈ which, for a given partition of Rᵈ into nonintersecting hypercubes with a volume aᵈ, contain no more than one particle in every cube. We prove that so defined approximations of correlation functions pointwise converge to the proper correlation functions of the initial system if the parameter of approximation a tends to zero for any positive values of an inverse temperature β and a fugacity z. This result is obtained for both two-body and many-body interaction potentials. 2011 Article Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці / С.М. Петренко, О.Л. Ребенко, М.В. Тертичний // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 369–384. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166008 519-7 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Петренко, С.М. Ребенко, О.Л. Тертичний, М.В. Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці Український математичний журнал |
| description |
В рамках классической статистической механики рассматриваются непрерывные бесконечные системы точечных частиц, взаимодействующих с помощью усиленно сверхустойчивого взаимодействия. Семейство аппроксимируемых корреляционных функций определяется таким образом, что они учитывают только те конфигурации частиц в пространстве Rᵈ, которые для заданного розбиения пространства Rᵈ на непересекающиеся гиперкубики объема aᵈ содержат не более чем одну частицу в каждом кубике. Доказано, что так определенные аппроксимации корреляционных функций сходятся поточечно к собственно корреляционным функциям системы, когда параметр аппроксимации a стремится к 0, при произвольных положительных значениях обратной температуры β и активности z. Этот результат получен как для двухчастичных, так и многочастичных потенциалов взаимодействия. |
| format |
Article |
| author |
Петренко, С.М. Ребенко, О.Л. Тертичний, М.В. |
| author_facet |
Петренко, С.М. Ребенко, О.Л. Тертичний, М.В. |
| author_sort |
Петренко, С.М. |
| title |
Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці |
| title_short |
Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці |
| title_full |
Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці |
| title_fullStr |
Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці |
| title_full_unstemmed |
Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці |
| title_sort |
про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166008 |
| citation_txt |
Про квазінеперервну апроксимацію в класичній статистичній механіці / С.М. Петренко, О.Л. Ребенко, М.В. Тертичний // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 369–384. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT petrenkosm prokvazíneperervnuaproksimacíûvklasičníjstatističníjmehanící AT rebenkool prokvazíneperervnuaproksimacíûvklasičníjstatističníjmehanící AT tertičnijmv prokvazíneperervnuaproksimacíûvklasičníjstatističníjmehanící |
| first_indexed |
2025-07-14T20:29:26Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:29:26Z |
| _version_ |
1837655619826352128 |
| fulltext |
УДК 519-7
С. M. Петренко (ТОВ „Вайз Iнвест Груп”, Київ),
О. Л. Ребенко, M. В. Тертичний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО КВАЗIНЕПЕРЕРВНУ АПРОКСИМАЦIЮ
В КЛАСИЧНIЙ СТАТИСТИЧНIЙ МЕХАНIЦI
A continuous infinite systems of point particles with strong superstable interaction are considered in the
framework of classical statistical mechanics. The family of approximated correlation functions is determined
in such a way that they take into account only those configurations of particles in the space Rd which, for a
given partition of Rd into nonintersecting hypercubes with a volume ad, contain no more than one particle in
every cube. We prove that so defined approximations of correlation functions pointwise converge to the proper
correlation functions of the initial system if the parameter of approximation a tends to zero for any positive
values of an inverse temperature β and a fugacity z. This result is obtained for both two-body and many-body
interaction potentials.
В рамках классической статистической механики рассматриваются непрерывные бесконечные системы
точечных частиц, взаимодействующих с помощью усиленно сверхустойчивого взаимодействия. Семей-
ство аппроксимируемых корреляционных функций определяется таким образом, что они учитывают
только те конфигурации частиц в пространстве Rd, которые для заданного розбиения пространства
Rd на непересекающиеся гиперкубики объема ad содержат не более чем одну частицу в каждом ку-
бике. Доказано, что так определенные аппроксимации корреляционных функций сходятся поточечно
к собственно корреляционным функциям системы, когда параметр аппроксимации a стремится к 0,
при произвольных положительных значениях обратной температуры β и активности z. Этот результат
получен как для двухчастичных, так и многочастичных потенциалов взаимодействия.
1. Вступ. Квазiнеперервну апроксимацiю класичної статистичної механiки було за-
пропоновано в роботi [1] для дослiдження нескiнченних систем точкових частинок,
що взаємодiють за допомогою двочастинкового (парного) посилено надстiйкого
потенцiалу. Суть такої апроксимацiї полягає у тому, що в iнтегралах (iнтеграли Ле-
бега – Пуассона по всiх можливих конфiгурацiях частинок), якi входять в означення
основних характеристик системи, таких як велика статистична сума та кореляцiйнi
функцiї, iнтегрування виконується лише по таких конфiгурацiях, якi для заданого
розбиття простору Rd на неперетиннi гiперкубики об’ємом ad мiстять не бiльше
нiж одну точку (частинку) у кожному кубику розбиття. Кореляцiйнi функцiї та
тиск системи, визначенi таким чином, збiгаються поточково (при a, що прямує
до 0) до вiдповiдних величин, у яких iнтегрування виконується по усiх можливих
конфiгурацiях, якщо потенцiал взаємодiї є достатньо сингулярним у точцi початку
координат. Бiльш точно, коли потенцiал не є локально iнтегровним у будь-якiй
обмеженiй областi простору Rd, яка мiстить точку початку координат. Цей факт
хоч i є передбачуваним з точки зору фiзичних мiркувань, але досить несподiваний
з математичної точки зору, оскiльки множина таких конфiгурацiй має мiру нуль по
вiдношенню до мiри Пуассона чи мiри Гiббса для нескiнченної системи.
Разом з тим визначенi таким чином системи легко апроксимувати системами
ґратчастих газiв, вивчення яких значно спрощується. Особливо важливим перехiд
вiд неперервних систем до ґратчастих газiв може виявитись при дослiдженнi кри-
тичної поведiнки нескiнченних неперервних систем в областi фазових переходiв.
У роботi [1] показано, що для довiльних додатних значень температури сис-
теми T (або оберненої температури β = 1/kT ) та активностi z апроксимований
тиск системи p(−)(z, β; a) прямує до справжнього тиску p(z, β) при a, що пря-
мує до 0. У роботi [2] цей результат узагальнено для систем з багаточастинковою
взаємодiєю. Пiзнiше в роботi [3] такий самий результат було отримано для сiм’ї
c© С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3 369
370 С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ
кореляцiйних функцiй, але тiльки в областi достатньо малих значень параметра z,
значення якого обмежувались радiусом збiжностi розкладiв Кiрквуда – Зальцбурга
для кореляцiйних функцiй системи.
У цiй роботi ми узагальнюємо результат роботи [3] на випадок довiльних до-
датних значень параметрiв β, z. Використовуючи розклад кореляцiйних функцiй
за так званими щiльними конфiгурацiями, який було запропоновано в роботi [4]
для потенцiалiв фiнiтної дiї i в роботi [5] для потенцiалiв з нескiнченним радiу-
сом взаємодiї, ми встановлюємо, що сiм’я апроксимованих кореляцiйних функцiй
ρ
(−)
Λ (z, β; a) для системи в обмеженому об’ємi Λ b Rd рiвномiрно обмежена кон-
стантою, яка не залежить вiд параметра апроксимацiї a i об’єму Λ i поточково
збiгається до кореляцiйних функцiй ρ(z, β) при Λ ↑ Rd i a → 0 при довiльних
додатних значеннях оберненої температури β та активностi z. Цей результат буде
одержано як для парних потенцiалiв посилено надстiйкого типу, так i для багато-
частинкових посилено суперстiйких взаємодiй.
2. Конфiгурацiйнi простори. 2.1. Основнi конфiгурацiйнi простори. Нехай
Rd — d-вимiрний евклiдовий простiр. Через B(Rd) позначимо сiм’ю всiх борелiв-
ських множин в Rd. Визначимо простiр конфiгурацiй в Rd як множину локально
скiнченних пiдмножин (множину положень частинок у просторi Rd):
Γ = ΓRd :=
{
γ ⊂ Rd
∣∣ γ ∩ Λ| <∞ для всiх Λ ∈ Bc(Rd)
}
,
де |A| := card{A} — кiлькiсть точок множини A, а Bc(Rd) — система всiх обмеже-
них множин з B(Rd). Визначимо також простiр скiнченних конфiгурацiй Γ0:
Γ0 =
⊔
n∈N0
Γ(n), Γ(n) :=
{
η ⊂ Rd
∣∣ |η| = n, n ∈ N0
}
, N0 = N ∪ {0}.
Для довiльного Λ ∈ Bc(Rd) визначимо вiдображення NΛ : Γ→ N0 вигляду
NΛ(η) := |η ∩ Λ|.
Тодi B(Γ) можна визначити також як найменшу σ-алгебру на Γ, по вiдношенню
до якої всi цi вiдображення є вимiрними для кожного Λ ∈ Bc(Rd), тобто σ(NΛ
∣∣Λ ∈
∈ Bc(Rd)) (бiльш детально див. в [6, 7]).
Простiр скiнченних конфiгурацiй в обмеженому Λ ∈ Bc(Rd) позначимо че-
рез ΓΛ:
ΓΛ :=
{
γ ∈ Γ0
∣∣ γ ⊂ Λ, Λ ∈ Bc(Rd)
}
,
а вiдповiднi σ-алгебри на ΓΛ i Γ0 — через B(ΓΛ) та B(Γ0).
2.2. Мiра Лебега – Пуассона. Позначимо через σ мiру Лебега на (Rd,B(Rd)).
Для довiльного n ∈ N розглянемо мiру σ⊗n на множинi
(̃Rd)n =
{
(x1, . . . , xn) ∈ (Rd)n
∣∣xk 6= xl, якщо k 6= l
}
,
а отже, як мiру σ(n) на Γ(n) через вiдображення
symn : (̃Rd)n 3 (x1, . . . , xn) 7→ {x1, . . . , xn} ∈ Γ(n).
За допомогою мiри σ(n) визначимо мiру Лебега – Пуассона (або ненормовану мiру
Пуассона) λσ на B(Γ0) формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПРО КВАЗIНЕПЕРЕРВНУ АПРОКСИМАЦIЮ В КЛАСИЧНIЙ СТАТИСТИЧНIЙ МЕХАНIЦI 371
λzσ :=
∑
n≥0
zn
n!
σ(n). (2.1)
Звуження мiри λσ на B(ΓΛ) також будемо позначати λσ ≡ λΛ
σ . З бiльш детальною
структурою конфiгурацiйних просторiв Γ, Γ0, ΓΛ та елементами аналiзу на цих
просторах можна ознайомитись у роботi [8].
2.3. Розбиття Rd на кубики. Наслiдуючи Руеля [9], введемо розбиття евклi-
дового простору Rd на елементарнi неперетиннi кубики. Нехай a > 0 — довiльне
число. Для кожного r ∈ Zd визначимо елементарний кубик iз ребром a i центром
у точцi ar ∈ Rd:
∆a(r) := {x ∈ Rd | a(ri − 1/2) ≤ xi < a(ri + 1/2)}. (2.2)
Ми будемо писати ∆ замiсть ∆a(r), якщо по контексту зрозумiло, про який кубик
йде мова. Позначимо через ∆a розбиття простору Rd на кубики ∆a(r). Введемо
також поняття узгоджених розбиттiв.
Означення 2.1. Два розбиття ∆a i ∆a′ з a′ < a є узгодженими, якщо a/a′ ∈
∈ N, а розбиття ∆a можна отримати з розбиття ∆a′ вилученням усiх гiпергра-
ней, якi не лежать на гiпергранях розбиття ∆a.
Щоб уникнути непорозумiнь, у подальшому будемо мати справу лише з узго-
дженими розбиттями.
2.4. Додатковi конфiгурацiйнi простори. Визначимо два додаткових конфi-
гурацiйних простори: Γdil
Λ будемо називати простором розрiджених конфiгурацiй,
а Γden
Λ — простором щiльних конфiгурацiй.
Не обмежуючи загальностi розгляду будемо розглядати лише такi Λ ∈ Bc(Rd),
якi є об’єднанням кубикiв ∆a(r) з деяким фiксованим a, що залежить вiд потенцi-
алу взаємодiї. У випадках, коли необхiдно пiдкреслити, що об’єм Λ є об’єднанням
кубикiв iз розбиття ∆a, будемо позначати такий об’єм через Λ(a). Отже, простiр
розрiджених конфiгурацiй визначимо формулою
Γdil
Λ :=
{
γ ∈ ΓΛ
∣∣ |γ∆| = 0 ∨ 1 для всiх ∆ ⊂ Λ
}
,
а простiр щiльних конфiгурацiй — формулою
Γden
Λ :=
{
γ ∈ ΓΛ
∣∣ |γ∆| ≥ 2 для всiх ∆ ⊂ Λ
}
.
Для довiльного ∆ ∈ ∆a i довiльної фiксованої конфiгурацiї η ∈ ΓΛ розщепимо
простiр щiльних конфiгурацiй Γden
∆ на два пiдпростори:
Γ
(>)
∆ (η) = Γ
(>)
∆ :=
{
γ ∈ Γden
∆
∣∣ |γ| > dεη(∆)
}
i
Γ
(<)
∆ (η) = Γ
(<)
∆ :=
{
γ ∈ Γden
∆
∣∣ |γ| ≤ dεη(∆)
}
,
де ∆ ≡ ∆a(r), 0 < ε ≤ 1,
dη(∆) = dist(η,∆), dεη(∆) = (dη(∆))ε,
∆ — кубик, що утворюється з кубика ∆ замиканням множини його внутрiшнiх
точок, тобто в кубику ∆ всi точки його граней належать ∆. Очевидно також, що
Γden
∆ = Γ
(>)
∆ ∪ Γ
(<)
∆ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
372 С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ
I нарештi для Xk = ∪ki=1∆a(ri)
Γ
(>)
Xk
(η) = Γ
(>)
Xk
:=
{
γ ⊂ Xk
∣∣ |γ∆| > dεη(∆) для всiх ∆ ⊂ Xk
}
i
Γ
(<)
Xk
(η) = Γ
(<)
Xk
:=
{
γ ⊂ Xk
∣∣ |γ∆| ≤ dεη(∆) для всiх ∆ ⊂ Xk
}
.
3. Взаємодiя. В найбiльш загальнiй ситуацiї взаємодiя мiж частинками зада-
ється нескiнченною послiдовнiстю p-частинкових потенцiалiв:
V =
(
0, 0, V2(x1, x2), V3(x1, x2, x3), . . . , Vp(x1, . . . , xp), . . .
)
. (3.1)
У випадку двочастинкової (парної) взаємодiї, яку частiше за iншi розглядають у
практичних задачах фiзики, компоненти послiдовностi (3.1) мають вигляд
V2(x1, x2) = φ(|x1 − x2|), Vp ≡ 0, p ≥ 3.
Потенцiальну енергiю довiльної конфiгурацiї γ ∈ Γ0 записують таким чином:
U(γ) = UV (γ) =
|γ|∑
p=2
∑
{x1,...,xp}⊂γ
Vp(x1, . . . , xp) =
∑
η⊆γ : |η|≥2
V (η),
а енергiю взаємодiї мiж двома конфiгурацiями η, γ ∈ Γ0 визначають так:
W (η; γ) = WV (η; γ) = U(η ∪ γ)− U(η)− U(γ) =
=
|η∪γ|∑
p=2
|η|,|γ|∑
i,j=1
i+j=p
∑
{x1,...,xi}⊂η
{y1,...,yj}⊂γ
Vp(x1, . . . , xi, y1, . . . , yj).
Вiдповiднi формули для двочастинкової взаємодiї мають вигляд
U(γ) = Uφ(γ) =
∑
{x1,x2}⊂γ
φ(|x1 − x2|),
W (η; γ) = Wφ(η; γ) =
∑
x∈η
y∈γ
φ(|x− y|).
Визначимо три типи взаємодiй, якi обумовленi системами, що розглядаються в
роботi.
Означення 3.1. Взаємодiя U має назву:
а) стiйкої, якщо iснує константа B > 0 така, що
U(γ) ≥ −B|γ| для довiльної γ ∈ Γ0;
б) надстiйкої, якщо iснують константи A > 0, B ≥ 0 та розбиття ∆a такi,
що
U(γ) ≥ A
∑
∆∈∆a
|γ∆|2 −B|γ| для довiльної γ ∈ Γ0; (3.2)
в) посилено надстiйкої, якщо iснують m ≥ 2, a0 > 0 такi, що для будь-якого
0 < a ≤ a0 iснують константи A(a) > 0, B(a) ≥ 0 такi, що
U(γ) ≥ A(a)
∑
∆∈∆a:|γ∆|≥2
|γ∆|m −B(a)|γ| для довiльної γ ∈ Γ0. (3.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПРО КВАЗIНЕПЕРЕРВНУ АПРОКСИМАЦIЮ В КЛАСИЧНIЙ СТАТИСТИЧНIЙ МЕХАНIЦI 373
У зв’язку з наведеним означенням iснує проблема знаходження достатнiх умов
на потенцiали, якi забезпечують стiйкiсть, надстiйкiсть або посилену надстiйкiсть
системи. Розв’язання цiєї проблеми має досить довгу iсторiю (короткий огляд цiєї
iсторiї та деякi новi результати можна знайти в [10, 11]).
Зауваження 3.1. Якщо нерiвнiсть (3.2) виконується для деякого розбиття ∆a з
константами A i B, то вона виконується з тими самими константами для будь-якого
розбиття ∆a′ , якшо a′ < a i вони є узгодженими (див. означення 2.1).
Зауваження 3.2. Якщо потенцiал є посилено надстiйким, то вiн є також над-
стiйким з A = A(a0), B = B(a0).
3.1. Визначення системи з двочастинковою взаємодiєю. (A). Умови на по-
тенцiал взаємодiї. Розглянемо потенцiали загального вигляду φ, якi є неперервни-
ми функцiями на R+ \ {0} i для яких iснують константи r0 > 0, R > r0, ϕ0 > 0,
ϕ1 > 0, i ε0 > 0 такi, що
φ(|x|) ≡ −φ−(|x|) ≥ − ϕ1
|x|d+ε0
для |x| ≥ R,
φ(|x|) ≡ φ+(|x|) ≥ ϕ0
|x|s
, s ≥ d для |x| ≤ r0,
де
φ+(|x|) := max{0, φ(|x|)}, φ−(|x|) := −min{0, φ(|x|)}. (3.4)
Зазначимо, що в означеннi 3.1в) константа a0 ≤ r0. Для потенцiалiв взаємодiї, якi
задовольняють умови (A), визначимо двi важливi характеристики (для довiльного
∆ ∈ ∆a з a ≤ a0):
υε(a) :=
∑
∆′∈∆
sup
x∈∆
sup
y∈∆′
φ−(|x− y|)|x− y|ε для довiльного ε < ε0, (3.5)
b(a) := inf
{x,y}⊂∆
φ+(|x− y|). (3.6)
Внаслiдок трансляцiйної iнварiантностi двочастинкового потенцiалу величини υ0 i
b не залежать вiд положення кубика ∆. Справедливим є наступне твердження.
Твердження 3.1. Нехай потенцiал φ задовольняє умови (A). Тодi взаємодiя є
посилено надстiйкою, а енергiя U задовольняє нерiвнiсть (3.3) з деяким 0 < a0 < r0
i для s > d
m = 2, A(a) =
b(a)− 2υ0(a)
4
> 0, B(a) =
υ0(a)
2
(3.7)
для довiльного a ≤ a0.
Доведення див. в [3].
Бiльш сильний результат отримано в роботi [10], але для нашого розгляду до-
статньо нерiвностей (3.7).
Як i в роботi [5], введемо позначення
φ+
δ (|x|) := (1− δ)φ+(|x|), U+
δ := Uφ+
σ
, (3.8)
φstδ := δφ+(|x|)− φ−(|x|), Ustδ := Uφstδ , δ ∈ (0, 1). (3.9)
З (3.8), (3.9) легко бачити, що
φ(|x|) = φ+
δ (|x|) + φstδ (|x|), U(γ) = U+
δ (γ) + Ustδ (γ). (3.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
374 С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ
Твердження 3.2. Нехай потенцiал φ задовольняє умови (A). Тодi iснують
0 < a∗ < r0 та δ ∈ (0, 1) такi, що
(1− δ)b(a) > 2υ0(a) для a ≤ a∗, (3.11)
а потенцiал φstδ є стiйким: Ustδ := Uφstδ (γ) ≥ −Bδ|γ|, γ ∈ Γ0 з
Bδ =
1
2
υ0(a∗) =
δ
4
b(a∗). (3.12)
Доведення. Нерiвнiсть (3.11) є наслiдком умов (A) та означень (3.5), (3.6) для
достатньо малих a внаслiдок їх поведiнки:
b(a) ∼ ϕ0
as
, υε(a) ∼ φε
ad
,
оскiльки для s > d можна вибрати достатньо мале a = a∗ або ϕ0 >> φε для s = d,
де
φ0ε =
∫
Rd
φ−(|x|)|x|εdx.
Як i в роботi [3] (див. твердження 2.1), легко одержати
Uϕstδ (γ) ≥
∑
∆∈∆a:|γ∆|≥2
|γ∆|2
(
δ
b(a)
4
− υ0(a)
2
)
− υ0(a)
2
|γ|.
Величину a∗ виберемо коренем рiвняння
δ
b(a)
4
− υ0(a)
2
= 0.
Тодi, щоб задовольнити умову (3.11), слiд вибрати δ > 1/2, а константу Bδ в (3.12)
можна виразити через параметри потенцiалу ϕ0, φ0, s i розмiрнiсть простору d
(див. твердження 2.2 в [3].
3.2. Визначення системи з багаточастинковою взаємодiєю. Розглянемо ба-
гаточастинковий потенцiал взаємодiї загального типу, який визначається сiм’єю
p-частинкових потенцiалiв Vp : (Rd)⊗p → R, p ≥ 2. На сiм’ю потенцiалiв V :=
:= {Vp}p≥2 будемо накладати наступнi умови:
(A1) неперервнiсть:
Vp ∈ C( ˜(Rd)⊗p), p ≥ 2,
де
˜(Rd)⊗n =
{
(x1, . . . , xn) ∈ (Rd)⊗n
∣∣xk 6= xl при k 6= l
}
;
(A2) симетричнiсть: для довiльного p ≥ 2, довiльних (x1, . . . , xp) ∈ (Rd)⊗p i
довiльної перестановки π чисел {1, . . . , p}
Vp(x1, . . . , xp) = Vp(xπ(1), . . . , xπ(p));
(A3) трансляцiйна iнварiантнiсть: для довiльного p ≥ 2, довiльних (x1, . . .
. . . , xp) ∈ (Rd)⊗p i довiльного x0 ∈ Rd
Vp(x1, . . . , xp) = Vp(x1 + x0, . . . , xp + x0);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПРО КВАЗIНЕПЕРЕРВНУ АПРОКСИМАЦIЮ В КЛАСИЧНIЙ СТАТИСТИЧНIЙ МЕХАНIЦI 375
(A4) надстiйкiсть: для довiльного p ≥ 2 потенцiали Vp можна зобразити у
виглядi
Vp = Ṽ +
p + V (st)
p , V (st)
p = V
+
p + V −p ,
Ṽ + := (Ṽ +
p )p≥2, V (st) := (V (st)
p )p≥2,
де Ṽ +
p +V
+
p = V +
p , V
±
p визначається так само, як в (3.4), а V (st)
p , p ≥ 2, забезпечує
стiйкiсть вiдповiдної енергiї UV (st) , тобто iснує константа B ≥ 0 така, що для
довiльної конфiгурацiї η ∈ Γ0
UV (st)(η) ≥ −B|η|.
Вiдповiдне розбиття енергiї запишемо у виглядi
U(γ) = Ũ+(γ) + Ust(γ). (3.13)
Достатнi умови на потенцiали Vp, якi забезпечують надстiйкiсть, були отриманi в
роботi [11].
У роботi [9] рiвномiрну за об’ємом обмеженiсть кореляцiйних функцiй було
отримано для систем частинок з потенцiалами взаємодiї, що забезпечують над-
стiйкiсть та умову регулярностi знизу (див. [9]). Для парних потенцiалiв, якi за-
довольняють умови (A), обидвi умови виконуються. Але для багаточастинкових
потенцiалiв, якi не є повнiстю позитивними, для всiх p ≥ 3 умова регулярнос-
тi знизу не виконується. Тому, як i в роботах [12, 13], сформулюємо так зване
притягувально-вiдштовхувальне спiввiдношення, яке дає змогу довести нерiвнiсть,
що фактично замiнює умову регулярностi знизу.
Щоб сформулювати умови на потенцiали Vp, введемо деякi допомiжнi конструк-
цiї. Нехай p ≥ 2 та N ∈ N. Для довiльного об’єднання XN := ∪Nj=1∆j кубикiв з
розбиття ∆a (див. (2.2)) i довiльного ε ≥ 0 визначимо такi величини:
Ik1,...,kN
p (∆1; . . . ; ∆N ) := sup
x
(1)
i1
∈∆1,...,x
(N)
iN
∈∆N
i1=1,k1,...,iN=1,kN
V −p (x
(1)
1 , . . . , x
(N)
kN
),
де k1 + . . .+ kN = p, kj ≥ 1, j = 1, N, а
Ik1,...,kM |k̄
p (∆1; . . . ; ∆M |ε; (∆)π) :=
:=
∑
∆′1,...,∆
′
k̄
∈∆a
Ik1,...,kM ,1,1,...,1
p
(
∆1; . . . ; ∆M ; ∆′1; . . . ; ∆′k̄
) k̄∏
i=1
(
1 + dε∆′i,∆π(i)
)
,
(3.14)
dε∆′i,∆π(i)
=
(
dist(∆′i,∆π(i))
)ε
, π — вiдображення множини iндексiв {1, . . . , k̄} у
множину {1, . . . ,M}, (∆)π := {∆π(1), . . . ,∆π(k̄)} i k1 + . . .+kM +k = p. Вiдстань
мiж кубиками — це вiдстань мiж їхнiми замиканнями.
Зауважимо, що внаслiдок трансляцiйної iнварiантностi потенцiалiв взаємодiї у
випадку M = 1 усi iндекси π(i) = 1, а величина
Ik1|k̄
p (∆1|ε; ∆1) = Ik1|k̄
p (a; ε) , (3.15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
376 С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ
тобто не залежить вiд положення кубика ∆1. Для додатних частин Ṽ +
p потенцiалiв
взаємодiї визначимо величину
vk1,...,kN
p
(
∆1, . . . ,∆N
)
:= inf
x
(1)
i1
∈∆1,...,x
(N)
iN
∈∆N
i1=1,k1,...,iN=1,kN
Ṽ +
p (x
(1)
1 , . . . , x
(N)
kN
).
(A5) Притягувально-вiдштовхувальне спiввiдношення. Iснує a0 > 0 таке, що
для довiльного N ∈ N, довiльної множини XN := ∪Nj=1∆j , ∆j ∈ ∆a з a ≤ a0
виконуються наступнi нерiвностi:
(i) для довiльного ∆ ∈ ∆a i будь-якого p ≥ 2
Vp(x1, . . . , xp) ≥ 0, якщо {x1, . . . , xp} ⊂ ∆,
(ii) для довiльних p ≥ 2, 1 ≤ N < p та π : {1, . . . , n} 7→ {1, . . . , N}
vk1,...,kN
p (∆1, . . . ,∆N ) ≥
≥ 2
∞∑
l=0
∑
mi≥1,i=1,N;n≥1
m1+...+mN+n=p+l
Cm1
k1
. . . CmNkN
(2p)nI
m1,...,mN |n
p+l (∆1, . . . ,∆N ; ε, (∆)π),
(3.16)
де k1 + . . .+ kN = p, Cmk = k!/m!(k −m)!, якщо k ≥ m, i Cmk = 0, якщо m > k.
Зауваження 3.3. Умова (3.16) виникає з комбiнаторних мiркувань, якi викли-
канi необхiднiстю контролювати вiд’ємну частину потенцiалiв взаємодiї. З точки
зору фiзичних мiркувань вона означає, що коли у кубику знаходяться принаймнi
двi частинки (а саме така ситуацiя виникне у випадку, коли N < p), то при достат-
ньо малих розмiрах кубика їх p-частинкова енергiя вiдштовхування повинна бути
бiльшою за енергiї притягання цих частинок з iншими частинками системи для
всiх l ≥ p-частинкових взаємодiй.
Лема 3.1. Нехай потенцiали V = {Vp}p≥2 задовольняють умови (A1) – (A5).
Тодi взаємодiя є посилено надстiйкою, тобто iснують m ≥ 2, a0 > 0 такi, що для
довiльного 0 < a ≤ a0 iснують константи A(a) > 0, B(a) ≥ 0 такi, що
U(γ) ≥ A(a)
∑
∆∈∆a : |γ∆|≥2
|γ∆|m −B(a)|γ| для будь-якого γ ∈ Γ0 (3.17)
з
A(a) = v2
2(a)− 2
∑
p≥2
4pI1|p−1
p (a; 0), B(a) =
∑
p≥2
I1|p−1
p (a; 0), m = 2,
i для довiльних γ ∈ η ∪ Γ
(>)
X′ i γ ∈ Γ
(<)
X ∪ Γ
(dil)
Λ\(X∪X′), X
′ ∩X = ∅,
−βW (γ|γ)− 1
2
βUṼ +(γ)leqβĪ(a)|η|, (3.18)
де Ī(a) :=
∑
p≥2
2pI1|p−1
p (a, 0) (див. (3.14), (3.15)).
Доведення повнiстю збiгається з доведенням леми 3.2 в роботi [12] або ле-
ми 3.1 в роботi [13]. Основна вiдмiннiсть полягає у тому, що для доведення не-
рiвностi (3.18) ми використовуємо бiльш громiздку, але бiльш слабку умову (3.16),
нiж у роботах [12, 13].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПРО КВАЗIНЕПЕРЕРВНУ АПРОКСИМАЦIЮ В КЛАСИЧНIЙ СТАТИСТИЧНIЙ МЕХАНIЦI 377
3.3. Велика статистична сума та кореляцiйнi функцiї. Введемо важливу
вимiрну Γ-функцiю, яку ми використаємо для визначення квазiнеперервної апрок-
симацiї статистичних систем:
χ∆
−(γ) =
1 для γ з |γ∆| = 0 ∨ 1,
0 в iнших випадках.
(3.19)
Запишемо вираз для великої статистичної суми, в якiй враховуються всi можливi
конфiгурацiї частинок з ΓΛ, i вираз для апроксимованої великої статистичної суми,
в якiй враховуються лише конфiгурацiї з простору Γdil
Λ :
ZΛ(z, β) :=
∫
ΓΛ
e−βU(γ)λzσ(dγ), (3.20)
Z
(−)
Λ (z, β, a) :=
∫
ΓΛ
e−βU(γ)
∏
∆∈∆a∩Λ
χ∆
−(γ)λzσ(dγ) :=
∫
ΓΛ
e−βU(γ)λazσ(dγ). (3.21)
Визначимо кореляцiйнi функцiї
ρΛ(η; z, β) :=
1
ZΛ(z, β)
∫
ΓΛ
e−βU(η∪γ)λzσ(dγ), η ∈ ΓΛ, (3.22)
i вiдповiднi кореляцiйнi функцiї, що вiдповiдають квазiнеперервнiй апроксимацiї:
ρ
(−)
Λ (η; z, β, a) :=
1
Z
(−)
Λ (z, β, a)
∫
ΓΛ
e−βU(η∪γ)λazσ(η ∪ dγ), (3.23)
де згiдно з (3.21)
λazσ(η ∪ dγ) :=
∏
∆∈∆a∩Λ
χ∆
−(η ∪ γ)λzσ(dγ). (3.24)
4. Основнi результати. Основнi результати вiдносяться до статистичних ха-
рактеристик нескiнченних необмежених систем, для яких iснує термодинамiчний
граничний перехiд. Тому ми розглянемо послiдовнiсть (Λl) обмежених вимiрних
областей простору Rd:
Λ1 ⊂ Λ2 ⊂ . . . ⊂ Λn ⊂ . . . , ∪
l
Λl = Rd, (4.1)
в якiй послiдовнiсть (Λl) прямує до Rd в сенсi Фiшера (див. [14], гл. 2, п. 2.1).
Вiдомо, що для довiльної конфiгурацiї η ∈ Γ0 i довiльної послiдовностi (4.1)
такої, що η ⊂ Λ1, iснує пiдпослiдовнiсть (Λ′k) послiдовностi (Λl) така, що
lim
k→∞
ρΛ′k
(η; z, β) = ρ(η; z, β) <∞ (4.2)
для довiльних додатних z, β рiвномiрно на B(Γ0). Цей результат є наслiдком
рiвномiрної обмеженостi сiм’ї кореляцiйних функцiй {ρΛl : Λl ∈ Bc(Rd):
ρΛl(η; z, β) ≤ ξ|η|e−β U
+
δ (4.3)
з деяким додатним ξ, що не залежить вiд Λl, η.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
378 С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ
Нерiвнiсть (4.3) без експоненти у правiй частинi вперше було отримано в ро-
ботi [9]. У роботi [4] наведено нове доведення (значно спрощене завдяки новому
пiдходу) з експонентою e
−β U+
1/2 , а в роботах [5, 12] цей результат було узагальнено
на випадок багаточастинкових потенцiалiв взаємодiї зi скiнченним i нескiнченним
радiусом дiї вiдповiдно.
У наступному пунктi ми наведемо основнi моменти доведення наступної леми.
Лема 4.1. Нехай потенцiали V = {Vp}p≥2 задовольняють умови (A) у випад-
ку двочастинкової взаємодiї i умови (A1) – (A5) для багаточастинкової взаємодiї.
Тодi для довiльного η ∈ ΓΛl iснують 0 < a∗ ≤ a0 < r0 i деяка додатна константа
ξ− = ξ−(a∗), яка не залежить вiд Λl i a, такi, що нерiвнiсть
ρ
(−)
Λl
(η; z, β, a) ≤ ξ|η|− e−β U
+
δ (4.4)
виконується для довiльного a < a∗ такого, що a∗/a ∈ N.
Тодi, як i у попередньому випадку, iснує пiдпослiдовнiсть (Λ′′m) послiдовностi
(Λl) така, що iснує границя
ρ(−)(η; z, β, a) = lim
m→∞
ρ
(−)
Λ′′m
(η; z, β, a) <∞. (4.5)
Зауваження 4.1. Граничнi функцiї ρ(η; z, β) i ρ(−)(η; z, β, a) в (4.2) та (4.5)
можуть бути рiзними для рiзних пiдпослiдовностей Λ′k i Λ′′m. Тому для того, щоб
функцiя ρ(−)(η; z, β, a) була апроксимацiєю функцiї ρ(η; z, β), потрiбно вибрати
пiдпослiдовнiсть Λ′′m у граничному переходi (4.5), як пiдпослiдовнiсть послiдовнос-
тi Λ′k.
Тепер сформулюємо основний результат цiєї статтi.
Теорема 4.1. Нехай потенцiали V = {Vp}p≥2 задовольняють умови (A) у
випадку двочастинкової взаємодiї i умови (A1) – (A5) для багаточастинкової вза-
ємодiї. Тодi для довiльного ε > 0, довiльних додатних z i β i довiльної конфiгурацiї
η ∈ Γ0 iснує a = a(z, β, ε) > 0 таке, що
|ρ(η; z, β)− ρ(−)(η; z, β, a)| < ε, (4.6)
де ρ(η; z, β) i ρ(−)(η; z, β, a) — граничнi значення функцiй ρΛ′′m
(η; z, β) i
ρ
(−)
Λ′′m
(η; z, β, a) вiдповiдно з тiєю самою пiдпослiдовнiстю послiдовностi (Λl) (див.
зауваження 4.1).
Доведення ґрунтується на iснуваннi границь (4.2), (4.5) i наступнiй лемi.
Лема 4.2. Нехай потенцiали V = {Vp}p≥2 задовольняють умови (A) у випад-
ку двочастинкової взаємодiї i умови (A1) – (A5) для багаточастинкової взаємодiї.
Тодi для довiльної послiдовностi Λl вигляду (4.1)
lim
a→0
ρ
(−)
Λl
(η; z, β, a) = ρΛl(η; z, β), (4.7)
звiдки випливає, що для довiльного ε > 0 iснує a < a∗ таке, що виконується
нерiвнiсть ∣∣∣ρ(−)
Λl
(η; z, β, a)− ρΛl(η; z, β)
∣∣∣ ≤ ε
3
. (4.8)
Внаслiдок iснування границь (4.2) i (4.3) для довiльного ε > 0 iснують K1 ∈ N
таке, що для k ≥ K1 справджується∣∣ρΛ′′m
(η; z, β)− ρ(η; z, β)
∣∣ ≤ ε
3
, (4.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПРО КВАЗIНЕПЕРЕРВНУ АПРОКСИМАЦIЮ В КЛАСИЧНIЙ СТАТИСТИЧНIЙ МЕХАНIЦI 379
i K2 ∈ N таке, що для k ≥ K2 виконується нерiвнiсть∣∣∣ρ(−)
Λ′′m
(η; z, β, a)− ρ(−)(η; z, β, a)
∣∣∣ ≤ ε
3
. (4.10)
Тодi теорема 4.1 випливає з (4.8) при Λl ≡ Λ′′m i нерiвностей (4.9), (4.10):∣∣∣ρ(η; z, β)− ρ(−)(η; z, β, a)
∣∣∣ =
=
∣∣∣ρ(η; z, β)− ρΛ′′m
(η; z, β) + ρΛ′′m
(η; z, β)− ρ(−)
Λ′′m
(η; z, β, a)+
+ρ
(−)
Λ′′m
(η; z, β, a)− ρ(−)(η; z, β, a)
∣∣∣ ≤
≤ ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
Наслiдок 4.1. Нерiвнiсть (4.6) забезпечує iснування границi
lim
a→0
ρ(−)(η; z, β, a) = ρ(η; z, β)
для довiльних додатних z, β > 0 i η ∈ Γ0.
У випадку двочастинкових потенцiалiв в областi достатньо малих значень актив-
ностi z iснування єдиної поточкової границi доведено в роботi [3].
5. Доведення лем 4.1 i 4.2. 5.1. Доведення леми 4.1 базується на розкладi
кореляцiйних функцiй за щiльними конфiгурацiями, було запропоновано в роботi
[5] (див. також [13]) i фактично збiгається з доведенням теореми 2.2 в роботi [5]
у випадку двочастинкової взаємодiї i теореми 2.1 у роботi [13] у випадку багато-
частинкової взаємодiї. Основна вiдмiннiсть доведення леми 4.1 полягає у тому, що
в означеннi кореляцiйних функцiй ρ(−)
Λ (η; z, β, a) iнтегрування по конфiгурацiйно-
му простору ΓΛ виконується за мiрою λa (див. (3.23), (3.24)), тодi як в означеннi
звичайних кореляцiйних функцiй ρΛ(η; z, β) iнтегрування виконується за мiрою Ле-
бега – Пуассона λ, яка враховує всi можливi конфiгурацiї (див. (3.20) – (3.22)). Тому
основна мета доведення леми 4.1 полягає у тому, щоб показати, що константа ξ−
в нерiвностi (4.4) не залежить вiд параметра розбиття a. Тому в цiй роботi ми на-
ведемо лише основнi моменти в побудовi самого розкладу i деякi оцiнки величин,
яких не було у попередньому доведеннi.
Для того щоб побудувати розклад за щiльними конфiгурацiями, введемо функ-
цiю-iндикатор за формулою χ∆
+(γ) = 1−χ∆
−(γ). Скористаємося розкладом одиницi
для довiльного γ ∈ ΓΛ i деякого фiксованого розбиття з a = a∗, тобто ∆a∗ :
1 =
∏
∆⊂Λ(a∗)
[
χ∆
−(γ) + χ∆
+(γ)
]
=
=
NΛ(a∗)∑
n=0
∑
{∆1,...,∆n}⊂Λ(a∗)
n∏
i=1
χ∆i
+ (γ)
∏
∆⊂Λ(a∗)\∪ni=1∆i
χ∆
−(γ) :=
:=
∑
∅⊆X⊆Λ(a∗)
χ̃X+ (γ)χ̃
Λ(a∗)\X
− (γ), (5.1)
де NΛ = |Λ|/ad∗ (тут символом |Λ| позначено мiру Лебега множини Λ(a∗)) —
кiлькiсть кубикiв ∆ в об’ємi Λ = Λ(a∗) (див. пп. 2.4), а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
380 С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ
χ̃X± (γ) =
∏
∆⊂X
χ∆
±(γ). (5.2)
Пiдставляючи (5.1) з a = a∗ в означення (3.23) кореляцiйних функцiй ρ(−)
Λ (η; z, β, a)
з a < a∗ i таким, що
a∗
a
∈ N, отримуємо розклад
ρ
(−)
Λ (η; z, β, a) =
=
1
Z
(−)
Λ (z, β, a)
∑
∅⊆X⊆Λ(a∗)
∫
ΓΛ
e−βU(η∪γ) χ̃X+ (γ)χ̃
Λ\X
− (γ)λazσ(η ∪ dγ). (5.3)
Зауваження 5.1. Множини X в (5.3) є об’єднаннями кубикiв ∆ ∈ ∆a∗ , але в
добутку в означеннi λazσ(η ∪ dγ) (див. (3.24)) ∆ ∈ ∆a з a < a∗ i a∗/a ∈ N.
Подальшi кроки у побудовi розкладу i оцiнках повнiстю збiгаються з доведен-
ням теореми 2.2 в роботi [5] у випадку двочастинкової взаємодiї i теореми 2.1 в
роботi [13] у випадку багаточастинкової взаємодiї. Необхiдно зауважити, що пере-
хiд вiд iнтегрування за мiрою λazσ(η ∪ dγ∆′) у правiй частинi (5.3) до iнтегрування
за мiрою λazσ(dγ∆′) у подальших оцiнках є наслiдком елементарної нерiвностi
χ∆′
− (η ∪ γ∆′) ≤ χ∆′
− (γ∆′),
яка випливає з означення (3.19) для довiльного ∆′ ∈ ∆a i довiльної конфiгурацiї
γ ∈ Γ.
5.2. Доведення леми 4.2. Пiдставивши розбиття (5.1) (але з кубиками, що
мають довжину ребер a замiсть a∗ i з аргументом η ∪ γ у кожнiй функцiї χ∆
±) в
(3.22), отримаємо розклад
ρΛ(η; z, β) =
z|η|
ZΛ(z, β)
∑
X⊆Λ
∫
ΓΛ
e−βU(η∪γ) χ̃X+ (η ∪ γ)χ̃
Λ\X
− (η ∪ γ)λzσ(dγ). (5.4)
Видiлимо перший член розкладу приX = ∅ i, врахувавши означення (3.20) – (3.23),
запишемо (5.4) у виглядi
ρΛ(η; z, β) =
Z
(−)
Λ (z, β, a)
ZΛ(z, β)
ρ
(−)
Λ (η; z, β, a) +RΛ(η; z, β, a), (5.5)
де
RΛ(η; z, β, a =
z|η|
ZΛ(z, β)
∑
∅ 6=X⊆Λ
∫
ΓΛ
e−βU(η∪γ) χ̃X+ (η ∪ γ)χ̃
Λ\X
− (η ∪ γ)λzσ(dγ).
(5.6)
Доведення леми 4.2 ґрунтується на двох лемах.
Лема 5.1. Нехай потенцiали V = {Vp}p≥2 задовольняють умови (A) у випад-
ку двочастинкової взаємодiї i умови (A1) – (A5) для багаточастинкової взаємодiї.
Тодi для довiльного фiксованого Λ ∈ Bc(Rd) i довiльної конфiгурацiї η ∈ Γ0
lim
a→0
RΛ(η; z, β, a) = 0.
Доведення див. у додатку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПРО КВАЗIНЕПЕРЕРВНУ АПРОКСИМАЦIЮ В КЛАСИЧНIЙ СТАТИСТИЧНIЙ МЕХАНIЦI 381
Лема 5.2. Нехай потенцiали V = {Vp}p≥2 задовольняють умови (A) у випад-
ку двочастинкової взаємодiї i умови (A1) – (A5) для багаточастинкової взаємодiї.
Тодi для довiльного фiксованого Λ ∈ Bc(Rd)
lim
a→0
Z
(−)
Λ (z, β, a)
ZΛ(z, β)
= 1.
Доведення. В роботах [1, 2] було доведено нерiвнiсть
lim
a→0
Z
(−)
Λ (z, β, a)
ZΛ(z, β)
≥ 1,
на якiй фактично ґрунтувалося доведення того, що тиск апроксимованої системи
збiгається до тиску справжньої системи. З iншого боку, внаслiдок означень (3.20),
(3.21) легко бачити, що для довiльного a > 0
Z
(−)
Λ (z, β, a)
ZΛ(z, β)
≤ 1.
В результатi отримуємо
lim
a→0
Z
(−)
Λ (z, β, a)
ZΛ(z, β)
= 1.
A. Додаток. Доведення леми 5.1. Врахувавши умову (3.10) для парного по-
тенцiалу i умову (3.13) для багаточастинкової взаємодiї, запишемо вираз (5.6) у
виглядi
RΛ(η; z, β, a) =
z|η|
ZΛ(z, β)
∑
∅6=X⊆Λ
∫
ΓΛ
e−β( 1
2 Ũ
+(η∪γX)+Ust(η∪γX))χ̃X+ (η ∪ γ)×
×e−βW (η∪γX ;γΛ\X)−βŨ+(η∪γX)/2e−βU(γΛ\X)χ̃
Λ\X
− (η ∪ γ)λzσ(dγ). (A.1)
Використавши нескiнченну подiльнiсть мiри Лебега – Пуассона, оцiнку
e−βW (η∪γX ;γΛ\X)−βŨ+(η∪γX)/2 ≤ eβυ∗(a)(|η|+|γX |)
i той факт, що
χ̃
Λ\X
− (η ∪ γ) ≤ 1,
де υ∗(a) = υ0(a) для двочастинкового потенцiалу i υ∗(a) = Ī(a) для багаточастин-
кової взаємодiї (див. (3.18)), отримаємо оцiнку виразу (A.1):
RΛ(η; z, β, a) ≤ (zeβυ∗(a))|η|
ZΛ(z, β)
∑
∅ 6=X⊆Λ
∫
ΓX
e−β(Ũ+(η∪γX)/2+Ust(η∪γX)+υ∗(a)|γX |)×
×χ̃X+ (η ∪ γ)λzσ(dγX)
∫
ΓΛ\X
e−βU(γΛ\X)λzσ(dγΛ\X). (A.2)
Врахуємо, що
ZΛ\X(z, β) =
∫
ΓΛ\X
e−βU(γΛ\X)λzσ(dγΛ\X)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
382 С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ
i ZΛ\X(z, β) ≤ ZΛ(z, β). Тодi з (A.2) випливає, що
RΛ(η; z, β, a) ≤
≤ (zeβυ∗(a))|η|
∑
∅ 6=X⊆Λ
∫
ΓX
e−β(Ũ+(η∪γX)/2+Ust(η∪γX)+υ∗(a)|γX |)χ̃X+ (η ∪ γ)λzσ(dγX).
Нехай Λη — об’єднання кубикiв, в яких зосереджено точки конфiгурацiї η. Тодi з
твердження 3.1, леми 3.1 i нерiвностей (3.3), (3.17) маємо
RΛ(η; z, β, a) ≤ (zeβ(υ∗(a)+B(a)))|η|(RΛ
1 +RΛ
2 ), (A.3)
де
RΛ
1 =
∑
∅ 6=X⊆(Λ\Λη)
∫
ΓX
e
∑
∆∈Xβ(A(a)|γ∆|2/2+(B(a)+υ∗(a))|γ∆|)χ̃X+ (η ∪ γ)λzσ(dγX),
RΛ
2 =
∑
∅ 6=X⊆Λ,
X∩Λη 6=∅
∫
ΓX
e
∑
∆∈Xβ(A(a)(|γ∆|+|η∆|)2/2+(B(a)+υ∗(a))|γ∆|)χ̃X+ (η ∪ γ)λzσ(dγX)
з A(a) i B(a), як в (3.7) для двочастинкових потенцiалiв i в (3.17) для багаточас-
тинкових взаємодiй. Знову використовуючи нескiнченну подiльнiсть мiри Лебега –
Пуассона та її визначення, легко отримуємо∫
Γ∆
e−βA(a) |γ∆|2/2+β (B(a)+υ∗(a)) |γ∆| χ∆
+(γ∆)λzσ(dγ∆) =
=
∞∑
n=2
(ad z)n
n!
e−β A(a)n2/2+β (B(a)+υ∗(a))n ≤ ε1(a),
ε1(a)→ 0, якщо a→ 0.
Тодi пiсля пiдсумовування за множинами X одержуємо оцiнку
RΛ
1 ≤ (1 + ε1(a))|Λ\Λη|/a
d
− 1 ≤ ε1(a)
|Λ \ Λη|
ad
(1 + ε1(a))|Λ\Λη|/a
d−1. (A.4)
Щоб оцiнити RΛ
2 , запишемо його у виглядi
RΛ
2 =
∑
∅6=X⊆Λ,
X∩Λη 6=∅
RΛ
0 (ηX∩Λη ; z, β, a)×
×
∫
ΓX\Λη
e
∑
∆⊂(X\Λη) β(−A(a)|γ∆|2/2+(B(a)+υ∗(a))|γ∆|)χ̃
X\Λη
+ (γX\Λη )λzσ(dγX\Λη ),
(A.5)
де
RΛ
0 =
∫
ΓX∩Λη
e
∑
∆⊂X∩Λη
β(−A(a)(|η∆|+|γ∆|)2/2+(B(a)+υ∗(a))|γ∆|)×
×χ̃X∩Λη
+ (η ∪ γX∩Λη )λzσ(dγX∩Λη ) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПРО КВАЗIНЕПЕРЕРВНУ АПРОКСИМАЦIЮ В КЛАСИЧНIЙ СТАТИСТИЧНIЙ МЕХАНIЦI 383
=
∏
∆∈X∩Λη
∫
Γ∆
eβ(−A(a)(|η∆|+|γ∆|)2/2+(B(a)+υ∗(a))|γ∆|)χ∆
+(η∆ ∪ γ∆)λzσ(dγ∆).
Оцiнюючи максимальне значення експоненти, отримуємо
RΛ
0 (ηX∩Λη ; z, β, a) ≤ e−β(2A(a)−B(a)−υ∗(a))
∏
∆⊂X∩Λη
∫
Γ∆
λzσ(dγ∆) ≤
≤ e−β(2A(a)−B(a)−υ∗(a))eza
d|η| (A.6)
Використавши (A.5), (A.6), легко оцiнити RΛ
2 зверху виразом
RΛ
2 ≤ e−β(2A(a)−B(a)−υ∗(a))eza
d|η|×
×
∑
∅ 6=X⊆Λ,
X∩Λη 6=∅
∫
ΓX\Λη
e
∑
∆⊂(X\Λη)
β(−A(a)|γ∆|2/2+(B(a)+υ∗(a))|γ∆|)
×
×χ̃X\Λη+ (γX\Λη )λzσ(dγX\Λη ). (A.7)
Враховуючи, що для довiльної B(ΓΛ)-вимiрної функцiї F (γ) виконується нерiв-
нiсть ∑
∅6=X⊆∆a∩Λ,
X∩Λη 6=∅
∫
ΓX\Λη
F (γX\Λη )λzσ(dγX\Λη ) ≤
≤ (2|η| − 1)
∑
X⊆∆a∩Λ\Λη
∫
ΓX
F (γX)λzσ(dγX),
i нескiнченну подiльнiсть мiри Лебега – Пуассона, з виразу (A.7) одержуємо нерiв-
нiсть
RΛ
2 ≤ e−β(2A(a)−B(a)−υ∗(a))ea
d|η|(2|η| − 1)×
×
∑
X⊆Λ\Λη
∏
∆⊂X
∫
Γ∆
eβ(−A(a)|γ∆|2/2+(B(a)+υ∗(a))|γ∆|)χ∆
+(γ∆)λzσ(dγ∆) ≤
≤ e−β(2A(a)−B(a)−υ∗(a))eza
d|η|(2|η| − 1)(1 + ε1(a))
|Λ\Λη|/ad . (A.8)
З (A.3), (A.4), (A.8) випливає, що
RΛ(η; z, β, a) ≤ (zeβ(B(a)+υ∗(a)))|η| (1 + ε1(a))
|Λ\Λη|/ad−1×
×
(
ε1(a)
|Λ \ Λη|
ad
+ (2|η| − 1)(1 + ε1(a))e−β(2A(a)−B(a)−υ∗(a))eza
d|η|
)
→ 0,
якщо a→ 0,
що й завершує доведення леми 5.1.
1. Rebenko A. L., Tertychnyi M. V. Quasicontinuous approximation of statistical systems with strong
superstable interactions // Proc. Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine. – 2007. – 4, № 3. – P. 172 – 182.
2. Петренко С. М. Квазiнеперервна апроксимацiя статистичних систем з багаточастинковою взаємо-
дiєю // Наук. вiсн. Львiв. НЛТУ України. – 2008. – Вип. 9. – P. 287 – 296.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
384 С. M. ПЕТРЕНКО, О. Л. РЕБЕНКО, M. В. ТЕРТИЧНИЙ
3. Rebenko A. L. , Tertychnyi M. V. Quasilattice approximation of statistical systems with strong superstable
interactions: Correlation functions // J. Math. Phys. – 2009. – 50, № 3. – P. 333301 – 10.
4. Rebenko A. L. New proof of Ruelle’s superstability bounds // J. Stat. Phys. – 1998. – 91. – P. 815 – 826.
5. Petrenko S. N., Rebenko A. L. Superstable criterion and superstable bounds for infinite range interaction
I: two-body potentials // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2007. – 13. – P. 50 – 61.
6. Lenard A. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. I // Arch. Ration.
Mech. and Anal. – 1975. – 59. – P. 219 – 239.
7. Lenard A. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. II // Ibid. – 1975.
– 59. – P. 241 – 256.
8. Albeverio S. , Kondratiev Yu. G. , Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces // J. Funct.
Anal. – 1998. – 154(2). – P. 444 – 500.
9. Ruelle D. Superstable interactions in classical statistical mechanics // Communs Math. Phys. – 1970. –
18. – P. 127 – 159.
10. Rebenko A. L., Tertychnyi M. V. On stability, superstability and strong superstability of classical systems
of Statistical Mechanics // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 3. – P. 287 – 296.
11. Tertychnyi M. V. Sufficient conditions for superstability of many-body interactions // Ibid. – 2008. – 14,
№ 4. – P. 386 – 396.
12. Kutoviy O. V. , Rebenko A. L. Existence of Gibbs state for continuous gas with many-body interection //
J. Math. Phys. – 2004. – 45(4). – P. 1593 – 1605.
13. Petrenko S. N., Rebenko A. L. Superstable criterion and superstable bounds for infinite range interaction
II: many-body potentials // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 1. – С. 191 – 208.
14. Рюэль Д. Статистическая механика (строгие результаты). – Пер. с англ. – М.: Мир, 1971. – 368 с.
Одержано 19.07.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
|