Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних
Доведено теорему єдиностi для функцiй на Rⁿ, n≥2, з нульовими iнтегралами по кулях фiксованого радiуса та заданою мажорантою зростання. Розглянуто питання про непокращуванiсть цiєї теореми....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166013 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних / О.А. Очаковская // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 361–368. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166013 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660132020-02-19T01:26:31Z Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних Очаковская, О.А. Статті Доведено теорему єдиностi для функцiй на Rⁿ, n≥2, з нульовими iнтегралами по кулях фiксованого радiуса та заданою мажорантою зростання. Розглянуто питання про непокращуванiсть цiєї теореми. An uniqueness theorem is proved for functions in Rⁿ, n≥2, with vanishing integrals over balls of fixed radius and a given majorant of growth. The problem of the unimprovability of this theorem is considered. 2011 Article Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних / О.А. Очаковская // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 361–368. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166013 517.444 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Очаковская, О.А. Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних Український математичний журнал |
| description |
Доведено теорему єдиностi для функцiй на Rⁿ, n≥2, з нульовими iнтегралами по кулях фiксованого радiуса та заданою мажорантою зростання. Розглянуто питання про непокращуванiсть цiєї теореми. |
| format |
Article |
| author |
Очаковская, О.А. |
| author_facet |
Очаковская, О.А. |
| author_sort |
Очаковская, О.А. |
| title |
Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних |
| title_short |
Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних |
| title_full |
Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних |
| title_fullStr |
Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних |
| title_full_unstemmed |
Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних |
| title_sort |
об инъективности преобразования помпейю для интегральных шаровых средних |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166013 |
| citation_txt |
Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних / О.А. Очаковская // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 361–368. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT očakovskaâoa obinʺektivnostipreobrazovaniâpompejûdlâintegralʹnyhšarovyhsrednih |
| first_indexed |
2025-07-14T20:29:42Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:29:42Z |
| _version_ |
1837655636346667008 |
| fulltext |
УДК 517.444
О. А. Очаковская (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ОБ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ
ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ШАРОВЫХ СРЕДНИХ
An uniqueness theorem is proved for functions in Rn, n > 2, with vanishing integrals over balls of fixed
radius and a given majorant of growth. The problem of the unimprovability of this theorem is considered.
Доведено теорему єдиностi для функцiй на Rn, n > 2, з нульовими iнтегралами по кулях фiксованого
радiуса та заданою мажорантою зростання. Розглянуто питання про непокращуванiсть цiєї теореми.
Введение. Пусть Rn — вещественное евклидово пространство размерности n >
> 2 с евклидовой нормой | · |. Как обычно, символом L1
loc(Rn) обозначим класс
функций, локально суммируемых в Rn. Для r > 0 преобразование Помпейю Pr
(соответствующее шаровым средним) определяется как отображение из L1
loc(Rn)
в C(Rn), действующее по правилу
(Prf)(x) =
∫
|y|≤r
f(x+ y) dy, f ∈ L1
loc(Rn), x ∈ Rn.
Линейное пространство W (Rn) ⊂ L1
loc(Rn) называется классом инъективности
для преобразования Pr, если из условия Prf = 0 для f ∈ W (Rn) следует, что f
— нулевая функция.
Проблема изучения классов инъективности для Pr является одной из важ-
нейших в интегральной геометрии и многочисленных приложениях (см. [1 – 3]).
Многие авторы исследовали классы инъективности для Pr в терминах условий на
поведение на бесконечности для входящих в них функций. Первый такой результат
принадлежит Д. Смиту [4], который установил, что для любого r > 0 множество
функций f ∈ C(Rn) с условием
lim
|x|→∞
f(x) |x|(n−1)/2 = 0 (1)
является классом инъективности для Pr. При этом условие (1) нельзя заменить
условием f(x) = O
(
|x|(1−n)/2
)
при |x| → ∞. Известно также, что класс Lp(Rn)
является классом инъективности для Pr тогда и только тогда, когда 1 6 p 6
2n
n− 1
(см. [5], а также [6], где утверждение сформулировано для сферических средних).
Существенно более общие и точные результаты в этом направлении получены
В. В. Волчковым в [1, 7]. Из [7], в частности, следует, что если при некотором
p ∈
[
1,
2n
n− 1
]
функция f ∈ Lploc(Rn) удовлетворяет условию∫
|x|≤r
f(x+ y) dx = 0 (2)
при всех |y| > r и при этом
lim
R→∞
1
µp(R)
∫
|x|6R
| f(x)|p dx = 0, (3)
c© О. А. ОЧАКОВСКАЯ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3 361
362 О. А. ОЧАКОВСКАЯ
то f = 0 на множестве {x ∈ Rn : |x| > r − 1}
(
здесь µp(R) = Rn−(n−1)p/2 при
1 6 p <
2n
n− 1
и µp(R) = lnR при p =
2n
n− 1
)
. При этом условие (3) нельзя
заменить условием
∫
|x|6R
| f(x)|p dx = O
(
µp(R)
)
при R → ∞. Ряд обобщений
этого результата получен в [7] (§ 8), а также в [1], где условие нулевых шаровых
средних заменяется уравнением свертки более общего вида.
Некоторые аналоги сформулированных выше результатов на симметрических
пространствах получены в [2, 8, 9]. В работах [10, 11] изучались подобные вопросы
для функций с нулевыми шаровыми средними, заданных на полупространстве.
Характерной особенностью большинства известных классов инъективности для
Pr является их инвариантность относительно группы вращений Rn, что позволя-
ет использовать при их изучении аппарат гармонического анализа на компактных
группах (см., например, [1]). Первые нетривиальные примеры классов инъектив-
ности, не инвариантных относительно вращений, были получены в работе [12].
В частности, в этих классах содержатся функции, у которых по одной из пере-
менных допускается даже экспоненциальный рост, который в некотором смысле
компенсируется быстрым убыванием по другим переменным.
Одним из результатов работы [12] является следующая теорема.
Теорема 1. Для любого r > 0 имеют место следующие утверждения.
1. Пусть f ∈ L1
loc(Rn) и удовлетворяет условию (2) при всех y ∈ Rn. Пусть
также существуют возрастающая положительная функция κ ∈ C1[0,+∞) и
постоянные c1, c2 > 0 такие, что
∞∫
1
dt
tκ(t)
= +∞, (4)
κ(t) = o
(
t
ln t
)
, t→ +∞, (5)
κ(t) = O
(
κ
(
t
κ(t)
))
, t→ +∞, (6)
tκ′(t) = o (κ(t)) , t→ +∞, (7)
|f(x)| 6 c1 exp
(
− |x1|+ . . .+ |xn−1|
κ(|x1|+ . . .+ |xn−1|)
+ c2|xn|
)
(8)
при почти всех x ∈ Rn. Тогда f = 0.
2. Для любого ε > 0 и любой возрастающей функции κ : [0,+∞) → (0,+∞)
такой, что
∞∫
1
dt
tκ(t)
< +∞, (9)
существует ненулевая функция f класса C∞(Rn), удовлетворяющая (2) при всех
y ∈ Rn, для которой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ОБ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ . . . 363
|f(x)| 6 exp
(
− |x1|+ . . .+ |xn−1|
κ(|x1|+ . . .+ |xn−1|)
+ ε|xn|
)
(10)
для всех x ∈ Rn.
Условия (4) – (7) выполнены для многих медленно растущих функций κ. На-
пример, нетрудно видеть, что они выполнены для любой положительной функции
κ ∈ C1[0,+∞), совпадающей при достаточно больших t с функцией
κm(t) = (ln t)(ln ln t) . . . ( ln ln . . . ln t︸ ︷︷ ︸
m
)
для некоторого m ∈ N. С другой стороны, если κ : [0,+∞)→ (0,+∞) совпадает
при больших t с функцией
κm(t)( ln ln . . . ln t︸ ︷︷ ︸
m+1
)1+δ
для некоторых m ∈ N, δ > 0, то выполнено условие (9).
Из второго условия теоремы 1 следует, что условия (4) и (8) в ее первом утвер-
ждении являются неулучшаемыми. В то же время вопрос о необходимости условий
(5) – (7) остается открытым. В. В. Волчков предположил, что первое утверждение
теоремы 1 останется верным, если выполнены только условия (4) и (8) для неко-
торой возрастающей положительной функции κ на [0,+∞). Это предположение
остается недоказанным в полном объеме до настоящего времени.
В данной работе показано, что первое утверждение теоремы 1 остается верным,
если условия (5) и (7) заменить единственным условием
lim
t→∞
κ(λ0t)
κ(t)
= 1 (11)
для некоторого фиксированного λ0 > 1, при этом вместо гладкости κ на [0,+∞)
требуется только ее возрастание (см. теорему 2 ниже).
Другим вопросом, естественно возникающим в связи с теоремой 1, является
следующий: для каких функций ϕ на [0,+∞) первое утверждение теоремы 1
сохранится, если условие (8) заменить оценкой
|f(x)| ≤ c1 exp
(
− |x1|+ . . .+ |xn−1|
κ(|x1|+ . . .+ |xn−1|)
+ c2ϕ(|xn|)
)
(12)
для почти всех x ∈ Rn ?
Из теоремы 3 данной работы следует, что первое утверждение теоремы 1 ста-
нет неверным, если вместо (8) выполнено (12) с функцией ϕ, удовлетворяющей
условию ϕ(t) > εt2 при некотором ε > 0.
2. Формулировки основных результатов. Основными результатами данной
работы являются следующие теоремы.
Теорема 2. Пусть f принадлежит L1
loc(Rn) и удовлетворяет условию (2)
при всех y ∈ Rn. Пусть также существуют положительная возрастающая функ-
ция κ на [0,+∞) и постоянные c1, c2 > 0 такие, что выполнено условие (11) для
некоторого фиксированного λ0 > 1 и условие (8) при почти всех x ∈ Rn. Тогда
f = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
364 О. А. ОЧАКОВСКАЯ
Таким образом, если κ удовлетворяет условиям теоремы 2, то функция f,
допускающая оценку (8) при некоторых c1, c2 > 0, зависящих от f, образует
класс инъективности для преобразования Pr. Отметим, что условия типа (11)
естественно возникают в теории медленно меняющихся функций (см. [13]). Из
доказательства теоремы 2 также видно (см. п. 3), что ее утверждения остаются
верными, если условия (5) – (7) заменить единственным условием
lim
t→+∞
κ(t)
κ( t
κ(t) )
= 1.
Далее, пусть ν — наименьший положительный корень уравнения J1(ν) = 0,
где J1 — функция Бесселя первого рода.
Теорема 3. Для любых r, α, β > 0 существует ненулевая функция f ∈
∈ C∞(R2), удовлетворяющая (2) при всех y ∈ R2, для которой
|f(x)| ≤ α exp
(
−βx21 + βx22 +
ν
r
|x2|
)
при всех x = (x1, x2) ∈ R2.
3. Доказательство основных результатов. Для доказательства теоремы 2 нам
потребуется следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть u : [0,+∞) → (0,+∞) — возрастающая функция, удовле-
творяющая условию
lim
t→+∞
u(αt)/u(t) = 1
при всех α > 0. Тогда
u(t) = exp
t∫
0
ϕ(ζ)
ζ
dζ + ψ(t)
, t ≥ 0, (13)
где ϕ ∈ C[0,+∞) и ψ — ограниченная измеримая функция на [0,+∞). При
этом ϕ(t) → 0 при t → ∞, ϕ(t) = 0 в некоторой окрестности точки t = 0 и
существует конечный предел limt→+∞ ψ(t).
Доказательство. Поскольку u возрастает, она является измеримой на [0,+∞).
Используя теорему 1.2 из [13], получаем, что существует число B > 0 такое, что
при всех t ≥ B
u(t) = exp
t∫
0
ε(ζ)
ζ
dζ + η(t)
,
где ε ∈ C[B,+∞), ε(t)→ 0 при t→ +∞ и η — ограниченная измеримая функция
на [B,+∞), для которой существует конечный предел limt→∞ η(t). Продолжим
ε на [0,+∞) по непрерывности, полагая ε(t) = 0 в некоторой окрестности точки
t = 0. Полученное продолжение обозначим через ϕ. Положим теперь
ψ(t) =
η(t) при t ∈ [B,+∞),
ln(u(t))−
∫ t
0
ϕ(ζ)
ζ
dζ при t ∈ [0, B).
Тогда выполнено (13), и лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ОБ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ . . . 365
Перейдем к доказательству теоремы 2. Из (11) следует, что
lim
t→+∞
κ(αt)/κ(t) = 1 (14)
при любом α > 0 (см. [13], лемма 1.15). Следовательно, существует β > 0 такое,
что при всех x1, . . . , xn−1 ∈ R1
|x1|+ . . .+ |xn−1|
κ(|x1|+ . . .+ |xn−1|)
> β
ρ
κ(ρ)
,
где ρ =
√
x21 + . . .+ x2n−1. Оценка (8) показывает, что при γ = c2, всех q ∈ N и
почти всех xn ∈ R1 неравенство∫
Rn−1
f(x1, . . . , xn)(1 + |x1|+ . . .+ |xn−1|)q dx1 . . . xn−1 ≤Mqe
γ|xn|
выполнено с постоянной
Mq =
∞∫
0
exp
(
− βt
κ(t)
) (1 + nt)q+n
(1 + t)2
dt.
Докажем, что имеет место условие
∞∑
m=1
(
inf
q≥m
M1/q
q
)−1
= +∞. (15)
При любом q ∈ N имеем
Mq ≤ nq+nNq+n + cq3, (16)
где
Nq =
∞∫
1
tq exp
(
− βt
κ(t)
)
(1 + t)2
dt
и постоянная c3 > 0 не зависит от q.
Оценим Nq сверху при достаточно больших q. Положим
Hq(t) = q ln t− β t
κ(t)
, t ≥ 1. (17)
Используя (14) и лемму 1, получаем равенство
κ(t) = exp
t∫
0
ϕ(ζ)
ζ
dζ + ψ(t)
, t ≥ 0,
где ϕ и ψ удовлетворяют условиям, указанным в лемме 1. Положим
g(t) = exp
t∫
0
ϕ(ζ)
ζ
dζ
, h(t) = expψ(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
366 О. А. ОЧАКОВСКАЯ
Тогда g ∈ C1[0,+∞), g > 0 и
tg′(t) = o(g(t)) при t→ +∞. (18)
Кроме того, существуют положительные постоянные c4, c5 такие, что
c4 < h(t) < c5 для всех t ≥ 0. (19)
Отсюда и из (17) следует оценка
Hq(t) ≥ Θq(t), t ≥ 1,
где
Θq(t) = q ln t− β1
t
g(t)
, β1 = β/c4. (20)
Учитывая (19), из (14) и [13] (п. 1.5) получаем
g(t) = o(tλ) при t→ +∞ и при любом λ > 0.
Тогда Θq(1) < 0 и Θq(t) → 0 при t → +∞ (см. (5)). Если Θq(t) ≤ 0 при всех
t ≥ 1, то из (20) и определения Nq имеем
Nq ≤ 1. (21)
В противном случае существует точка tq ∈ (1,+∞), в которой функция Θq дости-
гает максимума (если таких точек несколько, выбираем одну из них произвольно).
Тогда Θ′q(tq) = 0, откуда
q =
β1tq
g(tq)
(
1− tq
g′(tq)
g(tq)
)
.
В частности, tq → +∞ при q → +∞ и из (18) следует, что
β1tq ∼ qκ(tq), q → +∞. (22)
Кроме того, согласно (20)
Θq(t)
q
≤ ln tq − β1
tq
qg(tq)
, t ≥ 1. (23)
Учитывая (23), (22), (14) и неравенство (21), которое, вообще говоря, может вы-
полняться при некоторых q, убеждаемся, что существует c6 > 0 такое, что
N1/q
q < c6qg(q)
при всех q ∈ N. Теперь из условия (4) и оценки (16) следует (см. [1], гл. 1, следствие
2.1), что числа Mq удовлетворяют (15).
Применяя теперь теорему 1 из [12], получаем f = 0, что и требовалось дока-
зать.
Доказательство теоремы 3. Пусть t ∈ R1, γ = β/4, ε =
α
2
√
γ/π, λ = ν/r.
Рассмотрим функцию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ОБ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ . . . 367
f(x) = ε
∫
R1
e−itx1 ch(
√
λ2 + t2x2)e−γt
2
dt, x = (x1, x2) ∈ R2. (24)
Из (24) следует, что ∆f + λ2f = 0 в R2, где ∆ – оператор Лапласа. По теореме о
среднем для решений уравнения Гельмгольца имеем∫
|x|≤r
f(x+ y) dx = 2π
J1(λr)
λ
f(y) = 0
для любого y ∈ R2 (см. [1], формула (1.7.9)). Кроме того,
f(0) = ε
∫
R1
e−γt
2
dt > 0.
Докажем, что f удовлетворяет требуемой оценке. Используя голоморфность
подынтегральной функции в (24) и формулу Коши, перенесем контур интегриро-
вания в (24) на прямую t− x1
2γ
i. В результате получим
f(x) = εe−βx
2
1
∫
R1
ch
√λ2 +
(
t− x1
2γ
i
)2
x2
e−γt
2
dt. (25)
Положим E1 =
t ∈ R1 :
∣∣∣∣∣∣
√
λ2 +
(
t− x1
2γ
i
)2
+ t− x1
2γ
i
∣∣∣∣∣∣ ≥ λ
, E2 = R1 \ E1,
где выбирается ветвь
√
z, принимающая положительные значения при положи-
тельных z. Из определения E1 и E2 имеем∣∣∣∣∣
√
λ2 +
(
t− x1
2γ
i
)2
−
(
t− x1
2γ
i
)∣∣∣∣∣ ≤ λ при t ∈ E1,
∣∣∣∣∣
√
λ2 +
(
t− x1
2γ
i
)2
+
(
t− x1
2γ
i
)∣∣∣∣∣ ≤ λ при t ∈ E2.
Используя эти оценки, из (25) получаем
f(x) = εe−βx
2
1
∫
E1
ch
(
x2
(
t− x1
2γ
i+ ϕ(t, x1)
))
e−γt
2
dt+
+
∫
E2
ch
(
x2
(
x1
2γ
i− t+ ψ(t, x1)
))
e−γt
2
dt
,
где |ϕ(t, x1)| ≤ λ и |ψ(t, x2)| ≤ λ. Тогда
|f(x)| ≤ εe−βx
2
1eλ|x2|
∫
R1
e|tx2|e−γt
2
dt < 2εe−βx
2
1eλ|x2|
∫
R1
et|x2|e−γt
2
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
368 О. А. ОЧАКОВСКАЯ
= 2ε
√
π
γ
e−βx
2
1eβx
2
2 .
Таким образом, функция f удовлетворяет всем требованиям теоремы 3.
1. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Kluwer Acad. Publ., 2003. – 454 p.
2. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and
the Heisenberg group. – Springer London Limited, 2009. – 671 p.
3. Zalcman L. Supplementary bibliography to ‘A bibliographic survey of the Pompeiu problem’ // Radon
Transforms and Tomography, Contemp. Math. – 2001. – 278. – P. 69 – 74.
4. Smith I. D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1972. –
72. – P. 403 – 416.
5. Sitaram A. Fourier analysis and determining sets for Radon measures on Rn // Ill. J. Math. – 1984. –
28, № 2. – P. 339 – 347.
6. Thangavelu S. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group // J. Anal. Math. – 1994. –
63.– P. 255 – 286.
7. Волчков В. В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций // Мат. сб. – 1997. –
188, № 9. – С. 13 – 30.
8. Shahshahani M., Sitaram A. The Pompeiu problem in exterior domains in symmetric space // Contemp.
Math. – 1987. – 63. – P. 267 – 277.
9. Волчков В. В. Теоремы о шаровых средних на симметрических пространствах // Мат. сб. – 2001.
– 192, № 9. – С. 17 – 38.
10. Очаковская О. А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса на
полупространстве // Докл. РАН. – 2001. – 381, № 6. – С. 745 – 747.
11. Очаковская О. А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // Мат.
физика, анализ, геометрия. – 2002. – 9, № 3. – С. 493 – 501.
12. Очаковская О. А. Точные характеристики допустимой скорости убывания ненулевой функции с
нулевыми шaровыми средними // Мат. сб. – 2008. – 199, № 1. – C. 47 – 66.
13. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
Получено 24.09.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
|