О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа
У класi голоморфних вектор-функцiй вказано умови розв’язностi крайової задачi для одного класу операторно-диференцiальних рiвнянь другого порядку, що виражаються у термiнах операторних коефiцiєнтiв, якi входять у рiвняння i крайову умову....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166016 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа / С.С. Мирзоев, Р.Ф. Сафаров // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 416–420. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166016 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660162020-02-19T01:26:31Z О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа Мирзоев, С.С. Сафаров, Р.Ф. Короткі повідомлення У класi голоморфних вектор-функцiй вказано умови розв’язностi крайової задачi для одного класу операторно-диференцiальних рiвнянь другого порядку, що виражаються у термiнах операторних коефiцiєнтiв, якi входять у рiвняння i крайову умову. In the class of holomorphic vector functions, we determine conditions of the solvability of boundary-value problem for a class of second-order differential operator equations, which are given in terms of operator coefficients containing in the equation and in the boundary condition. 2011 Article О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа / С.С. Мирзоев, Р.Ф. Сафаров // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 416–420. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166016 517.946 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Мирзоев, С.С. Сафаров, Р.Ф. О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа Український математичний журнал |
| description |
У класi голоморфних вектор-функцiй вказано умови розв’язностi крайової задачi для одного класу операторно-диференцiальних рiвнянь другого порядку, що виражаються у термiнах операторних коефiцiєнтiв, якi входять у рiвняння i крайову умову. |
| format |
Article |
| author |
Мирзоев, С.С. Сафаров, Р.Ф. |
| author_facet |
Мирзоев, С.С. Сафаров, Р.Ф. |
| author_sort |
Мирзоев, С.С. |
| title |
О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа |
| title_short |
О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа |
| title_full |
О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа |
| title_fullStr |
О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа |
| title_full_unstemmed |
О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа |
| title_sort |
о голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166016 |
| citation_txt |
О голоморфных решениях некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа / С.С. Мирзоев, Р.Ф. Сафаров // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 3. — С. 416–420. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mirzoevss ogolomorfnyhrešeniâhnekotoryhkraevyhzadačdlâoperatornodifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaélliptičeskogotipa AT safarovrf ogolomorfnyhrešeniâhnekotoryhkraevyhzadačdlâoperatornodifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaélliptičeskogotipa |
| first_indexed |
2025-07-14T20:29:56Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:29:56Z |
| _version_ |
1837655651880271872 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.946
С. С. Мирзоев, Р. Ф. Сафаров (Бакин. ун-т, Азербайджан)
О ГОЛОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ
НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
In the class of holomorphic vector functions, we determine conditions of the solvability of boundary-value
problem for a class of second-order differential operator equations, which are given in terms of operator
coefficients containing in the equation and in the boundary condition.
У класi голоморфних вектор-функцiй вказано умови розв’язностi крайової задачi для одного класу
операторно-диференцiальних рiвнянь другого порядку, що виражаються у термiнах операторних коефi-
цiєнтiв, якi входять у рiвняння i крайову умову.
Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A — положительно опреде-
ленный самосопряженный оператор в H, а Hγ — шкала гильбертовых пространств,
порожденная оператором A, т. е. Hγ = D(Aγ), (x, y)γ = (Aγx,Aγy) , γ ≥ 0,
H0 = H.
Обозначим через L2 (R+;H) гильбертово пространство всех вектор-функций
f(t), определенных в R+ = (0,∞) почти всюду со значениями в H, для которых
‖f‖L2(R+;H) =
∞∫
0
‖f(t)‖2 dt
1/2
<∞.
Введем гильбертово пространство [1, 2]
W 2
2 (R+;H) =
{
u(t) : u′′(t) ∈ L2 (R+;H) , A2u(t) ∈ L2 (R+;H)
}
с нормой
‖u‖W 2
2 (R+;H) =
(∥∥A2u
∥∥2
L2(R+;H)
+ ‖u′′‖2L2(R+;H)
)1/2
.
Здесь производные понимаются в смысле теории распределений [1, 2].
Обозначим через H2,α множество вектор-функций f(z), голоморфных в сек-
торе
Sα = {z : |arg z| < α} , 0 ≤ α < π
2
,
со значениями в H, для которых при любом ϕ ∈ (−α, α) вектор-функция fϕ(t) =
= f
(
teiϕ
)
принадлежит L2 (R+;H) , причем
sup
|ϕ|<α
∥∥f (teiϕ)∥∥
L2(R+;H)
<∞.
Легко видеть, что вектор-функции f(z) ∈ H2,α имеют граничные значения
(в смысле сходимости почти всюду или в L2 (R+;H) ) f±α(t) ∈ L2 (R+;H) на
c© С. С. МИРЗОЕВ, Р. Ф. САФАРОВ, 2011
416 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О ГОЛОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 417
лучах Γ±α = te±iα, t > 0, и H2,α становится гильбертовым пространством
относительно нормы
‖f‖H2,α
=
1√
2
(
‖fα(t)‖2L2(R+;H) + ‖f−α(t)‖2L2(R+;H)
)1/2
.
Введем гильбертово пространство
W 2
2,α =
{
u(z) : u′′(z) ∈ H2,α, A
2u(z) ∈ H2,α
}
с нормой
‖u‖W 2
2,α
=
(
‖u′′(z)‖2H2,α
+
∥∥A2u(z)
∥∥2
H2,α
)1/2
.
Здесь производные понимаются в смысле комплексного анализа.
Оказывается, функции u(z) из W 2
2,α также имеют граничные значения u±α(t) ∈
∈ W 2
2 (R+;H) и при u ∈ W 2
2,α, Au
′(z) ∈ H2,α, u(0) ∈ H3/2, u
′(0) ∈ H1/2,
причем
‖Au′‖H2,α
≤ const ‖u‖W 2
2,α
,
∥∥∥u(j)(0)
∥∥∥
2−j−1/2
≤ const ‖u‖W 2
2,α
, j = 0, 1.
Предположим, что K — линейный ограниченный оператор, действующий из
пространства H3/2 в H1/2, т. е. K принадлежит L
(
H3/2, H1/2
)
. Тогда
W 2
2,α (K) =
{
u(z) : u(z) ∈W 2
2,α, u
′(0) = Ku(0)
}
— подпространство гильбертова пространства W 2
2,α.
Рассмотрим в пространстве H краевую задачу
P
(
d
dz
)
u(z) = −u′′(z) +A2u(z) +A1u
′(z) = f(z), z ∈ Sα, (1)
u′(0) = Ku(0), (2)
где f(z) ∈ H2,α, u(z) ∈ W 2
2,α, а операторные коэффициенты удовлетворяют сле-
дующим условиям:
1) A — положительно определенный самосопряженный оператор;
2) A1 — линейный, вобще говоря, неограниченный оператор, причем оператор
B = A1A
−1 ограничен в H;
3) оператор K принадлежит L
(
H3/2, H1/2
)
.
Определение 1. Если при f(z) ∈ H2,α существует вектор-функция u(z) ∈
∈W 2
2,α, удовлетворяющая уравнению (1) тождественно в Sα, то будем называть
ее регулярным решением уравнения (1).
Определение 2. Если при любом f(z) ∈ H2,α существует регулярное ре-
шение u(z) уравнения (1), удовлетворяющее граничному условию (2) в смысле
сходимости
lim
z→0
|arg z|<α
‖u′(z)−Ku(z)‖1/2 = 0,
и имеет место оценка
‖u‖W 2
2,α
≤ const ‖f‖H2,α
,
то задачу (1), (2) будем называть регулярно разрешимой.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
418 С. С. МИРЗОЕВ, Р. Ф. САФАРОВ
В данной работе мы установим достаточные условия для коэффициентов опера-
торно-дифференциального уравнения (1) и краевого условия (2), обеспечивающие
регулярную разрешимость задачи (1), (2). Отметим, что аналогичные задачи рас-
смотрены в работе [3] на полуоси, а в работе [4] в секторе Sα с другим краевым
условием.
Сначала займемся регулярной разрешимостью задачи
P0
(
d
dz
)
u(z) = −u′′(z) +A2u(z) = f(z), z ∈ Sα, (3)
u′(0) = Ku(0). (4)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполняются условия 1, 3 и оператор E+A−1K ограни-
ченно обратим в H3/2. Тогда оператор P0 ≡ P0 (d/dz) изоморфно отображает
пространство W 2
2,α (K) на H2,α.
Доказательство. Использовав аналогичные выкладки из книги [2], легко по-
казать, что при x ∈ H3/2 вектор-функция e−zAx является общим регулярным
решением уравнения (3). Здесь e−zA — голоморфная полугруппа ограниченных
операторов, порожденная оператором −A. Из условия u ∈ W 2
2,α(K) следует, что
−Ax = Kx или
(
E +A−1K
)
x = 0. Поскольку оператор E + A−1K обратим в
H3/2, то x = 0. Теперь покажем, что образ оператора P0 совпадает с простран-
ством H2,α. Так как на лучах Γ± = {z : z = te±i(π/2+α), t ≥ 0} имеет место
оценка
∑2
j=0
∥∥zjA2−jP−1
0 (z)
∥∥ ≤ const ([4], лемма 1), то вектор-функция
u0(z) =
1
2πi
2∑
k=1
∫
Γk
(−1)
k
P−1
0 (λ)f̂(λ)eλzdλ, Γ1 = Γ+, Γ2 = Γ−,
где f̂(λ) — преобразование Лапласа вектор-функции f(z), является частным ре-
гулярным решением уравнения (3). Тогда общее регулярное решение уравнения (3)
имеет вид
u(z) = u0(z) + e−zAx, x ∈ H3/2.
Отсюда, учитывая условие (4), относительно x получаем уравнение Ax+Kx =
= u′0(0)−Ku0(0) или
(
E +A−1K
)
x = A−1 (u′0(0)−Ku0(0)) . Поскольку u0(z) ∈
∈ W 2
2,α, то u(0) ∈ H3/2, u
′(0) ∈ H1/2, A
−1u′(0) ∈ H3/2, A
−1Ku0(0) ∈ H3/2.
Следовательно,
x =
(
E +A−1K
)−1
A−1 (u′0(0)−Ku0(0)) ∈ H3/2.
Таким образом, u(z) принадлежит W 2
2,α(K), т. е. образ оператора P0 совпадает
с пространством H2,α. Далее, учитывая, что при u ∈W 2
2,α (K) имеет место оценка
‖P0u‖H2,α
=
∥∥−u′′ +A2u
∥∥
H2,α
≤ const ‖u‖W 2
2,α
,
и применяя теорему Банаха об обратном операторе, завершаем доказательство тео-
ремы.
Из этой теоремы следует, что ‖P0u‖H2,α
является нормой в пространстве
W 2
2,α(K), эквивалентной исходной норме ‖u‖W 2
2,α
. Тогда согласно теореме о
промежуточных производных конечна следующая норма:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О ГОЛОМОРФНЫХ РЕШЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 419
N1,α (K) = sup
06=u∈W 2
2,α(K)
‖Au′‖H2,α
‖P0u‖−1
H2,α
.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполняются условия 1 – 3, E+A−1K ограниченно обра-
тим в H3/2 и ‖B‖ < N1,α (K) . Тогда задача (1), (2) регулярно разрешима.
Доказательство. Запишем задачу (1), (2) в виде уравнения
Pu = P0u+ P1u = f,
где u ∈W 2
2,α (K) , f ∈ H2,α, P0 = P0(d/dz), P1 = P1(d/dz) = A1d/dz.
Поскольку по теореме 1 оператор P0 является изоморфным, после замены
u = P−1
0 v получаем относительно v уравнение v + P1P
−1
0 v = f в пространстве
H2,α. В силу того, что при любом v ∈ H2,α∥∥P1P
−1
0 v
∥∥
H2,α
= ‖A1u
′‖H2,α
≤ ‖B‖ ‖Au′‖H2,α
≤ N1,α (K) ‖B‖ ‖P0u‖H2,α
=
= N1,α (K) ‖B‖ ‖v‖H2,α
= q ‖v‖H2,α
,
где q = N1,α (K) ‖B‖ < 1, оператор E + P1P
−1
0 обратим в H2,α, u = P−1
0 (E +
+ P1P
−1
0 )−1 и ‖u‖W 2
2,α
≤ const ‖f‖H2,α
.
Теорема доказана.
Таким образом, для нахождения условий регулярной разрешимости задачи (1),
(2) мы должны выразить норму N1,α (K) через операторные коэффициенты.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть выполняются условия 1 – 3, оператор E+A−1K обратим
в H3/2. Тогда имеет место оценка N1,α (K) ≤ αK , где
αK =
=
1
2 cosα
при Re (A−1Ky, y)3/2 ≥ 0,
1
2 cosα
1− 4
∣∣∣∣∣ inf
‖y‖3/2=1
Re
(
A−1Ky, y
)
3/2
1 + ‖A−1Ky‖3/2
∣∣∣∣∣
2
−1/2
в противном случае.
Доказательство. Используя аналогичные выкладки из работы [4], получаем,
что при любом β ∈ [0; 4 cos2 α) и u ∈W 2
2,α (K) имеет место равенство
‖P0u‖2H2,α
− β ‖Au′‖2H2,α
=
=
1
2
(
‖Φ(d/dt;β;A)uα‖2L2(R+;H) + ‖Φ(d/dt;β;A)u−α‖2L2(R+;H)
)
+Q(β, y), (5)
где Φ(λ;β;A) = λ2E +
√
4 cos2 α− βλA+A2, u(0) = y,
Q(β, y) = 4 cosαRe
(
A−1Ky, y
)
3/2
+
√
4 cos2 α− β(‖y‖23/2 +
∥∥A−1Ky
∥∥2
3/2
). (6)
Из равенства (5) следует, что если Re
(
A−1Ky, y
)
3/2
≥ 0, то Q(β, y) ≥ 0
при любом β ∈ (0; 4 cos2 α) и y ∈ H3/2. Тогда при всех u ∈ W 2
2,α (K) и β ∈
∈ (0; 4 cos2 α)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
420 С. С. МИРЗОЕВ, Р. Ф. САФАРОВ
‖P0u‖2H2,α
− β ‖Au′‖2H2,α
≥ 0.
Переходя к пределу при β → 4 cos2 α, получаем, что N1,α (K) ≤ 1
2 cosα
.
Теперь предположим, что существует вектор y0 ∈ H3/2 такой, что Re (A−1Ky0,
y0)3/2 < 0. В этом случае inf‖y‖3/2 Q
(
α−2
K
)
= 0 [3 – 5]. С другой стороны, из
обратимости оператора E + A−1K в H3/2 следует, что Q(0, y) > 0. Тогда при
малых β > 0 из интервала (0; 4 cos2 α) Q(0, y) > 0. А если N1,α (K) >
1
2 cosα
,
то N−2
1,α (K) ∈ (0; 4 cos2 α). Тогда при β ∈ (N−2
1,α (K) ; 4 cos2 α), по определению
нормы N1,α (K) , существует вектор-функция uβ(z) ∈W 2
2,α (K) такая, что
‖P0uβ‖2H2,α
− β
∥∥Au′β∥∥2
H2,α
< 0,
т. е. inf‖y‖3/2 Q(β, y) < 0 при β ∈ (N−2
1,α (K) ; 4 cos2 α). Поскольку inf‖y‖3/2 Q(α−2
K ,
y) = 0, получаем, что N−2
1,α(K) ≥ α−2
K , т. е. N1,α(K) ≤ αK .
Теорема доказана.
При K = 0 получаем такое следствие.
Следствие. Пусть выполняются условия 1, 2 и ‖B‖ < 2 cosα. Тогда задача
−u′′(z) +A2u(z) +A1u
′(z) = f(z), z ∈ Sα,
u′(0) = 0,
регулярно разрешима.
1. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971.
– 371 с.
2. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
3. Гасымов М. Г., Мирзоев С. С. О разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных
уравнений эллиптического типа второго порядка // Дифференц. уравнения. – 1992. – 28, № 4. –
С. 651 – 661.
4. Мирзоев С. С., Велиев С. Г. О решениях одного класса операторно-дифференциальных уравнений
второго порядка в классе голоморфных вектор-функций // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 6. –
С. 801 – 813.
5. Mirzoev S. S., Veliev S. G. On the estimation of the norms of intermediate derivatives in some abstract
space // J. Math. Phys., Anal. and Geom. – 2010. – 6, № 1. – P. 73 – 83.
Получено 02.10.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
|