Про деякі критерії опуклості компактів
Найдены критерии выпуклости компактов в евклидовом пространстве. Аналоги этих результатов пере- несены на комплексный и гиперкомплексный случаи.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166022 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про деякі критерії опуклості компактів / І.Ю. Виговська, Ю.Б. Зелінський, М.В. Ткачук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 466–471. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166022 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660222020-02-19T01:26:04Z Про деякі критерії опуклості компактів Виговська, І.Ю. Зелінський, Ю.Б. Ткачук, М.В. Статті Найдены критерии выпуклости компактов в евклидовом пространстве. Аналоги этих результатов пере- несены на комплексный и гиперкомплексный случаи. We establish some criteria of convexity of compact sets in the Euclidean space. Analogs of these results are extended to complex and hypercomplex cases. 2011 Article Про деякі критерії опуклості компактів / І.Ю. Виговська, Ю.Б. Зелінський, М.В. Ткачук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 466–471. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166022 517.5 + 513.835 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Виговська, І.Ю. Зелінський, Ю.Б. Ткачук, М.В. Про деякі критерії опуклості компактів Український математичний журнал |
| description |
Найдены критерии выпуклости компактов в евклидовом пространстве. Аналоги этих результатов пере- несены на комплексный и гиперкомплексный случаи. |
| format |
Article |
| author |
Виговська, І.Ю. Зелінський, Ю.Б. Ткачук, М.В. |
| author_facet |
Виговська, І.Ю. Зелінський, Ю.Б. Ткачук, М.В. |
| author_sort |
Виговська, І.Ю. |
| title |
Про деякі критерії опуклості компактів |
| title_short |
Про деякі критерії опуклості компактів |
| title_full |
Про деякі критерії опуклості компактів |
| title_fullStr |
Про деякі критерії опуклості компактів |
| title_full_unstemmed |
Про деякі критерії опуклості компактів |
| title_sort |
про деякі критерії опуклості компактів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166022 |
| citation_txt |
Про деякі критерії опуклості компактів / І.Ю. Виговська, Ю.Б. Зелінський, М.В. Ткачук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 466–471. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT vigovsʹkaíû prodeâkíkriterííopuklostíkompaktív AT zelínsʹkijûb prodeâkíkriterííopuklostíkompaktív AT tkačukmv prodeâkíkriterííopuklostíkompaktív |
| first_indexed |
2025-07-14T20:30:16Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:30:16Z |
| _version_ |
1837655672020271104 |
| fulltext |
© Ю. Б. ЗЕЛІНСЬКИЙ, І. Ю. ВИГОВСЬКА, М. В. ТКАЧУК, 2011
466 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
УДК 517. 5 + 513. 835
Ю. Б. Зелінський, І. Ю. Виговська, М. В. Ткачук (Ін-т математики НАН України, Київ)
ПРО ДЕЯКІ КРИТЕРІЇ ОПУКЛОСТІ КОМПАКТІВ
We establish some criteria of convexity of compact sets in the Euclidean space. Analogs of these results are
extended to complex and hypercomplex cases.
Найдены критерии выпуклости компактов в евклидовом пространстве. Аналоги этих результатов пере-
несены на комплексный и гиперкомплексный случаи.
Метою роботи є узагальнення теореми Ауманна [1] на ациклічні компакти та вста-
новлення опуклості одного з класів гіперкомплексно опуклих поліедрів у багатови-
мірному гіперкомплексному (кватерніонному) просторі Hn. Терміни, які викорис-
товуються в роботі без пояснення, взято з монографій [2, 3].
Лема 1. Нехай K ! !n — ациклічний неопуклий компакт. Тоді існує опорна
до K гіперплощина, яка перетинає K по множині, що містить ненульовий
цикл.
Доведення. Припустимо, що це не так і всі опорні площини перетинають K
по ациклічних множинах. Не порушуючи загальності будемо вважати, що внут-
рішність опуклої оболонки компакта непорожня (якщо це не так, то можемо пе-
рейти до найменшої площини, яка містить його) і початок координат міститься у
внутрішності опуклої оболонки convK компакта K . Нехай (convK ) * — по-
ляра до convK , яка при накладених на K припущеннях буде компактною мно-
жиною. Будемо досліджувати у просторі !n ! !n множину convK ! (convK ) * ,
а точніше її підмножину F , яку можна задати двома еквівалентними способами
F = (x, y)!convK " (convK )* x !# convK , y !# (convK )*[ ]{ } ,
де точка y задає опорну гіперплощину до convK , що проходить через точку
x , або, що те ж саме, точка x задає опорну гіперплощину до (convK ) * , що
проходить через точку y . Внаслідок опуклості множин convK і (convK ) *
опорні гіперплощини перетинають їх по опуклих, а отже, ациклічних множинах.
Отже, існують два неперервних відображення p1 : F! "(convK ) і p2 : F!
! "[(convK )*] , які будуть ациклічними (стягують у точку відповідні перетини з
опорними площинами) і згідно з теоремою Вьєторіса – Бегла індукують ізоморфіз-
ми відповідних груп когомологій. Оскільки межі опуклих невироджених компактів
гомеоморфні (n ! 1) -сфері, то і відповідні групи множини F збігаються з група-
ми сфери. Далі використаємо рівність поляр K* = (convK ) * . Розглянемо тепер
підмножину множини F , яка має властивості
F0 = (x, y) !F x !K ! " convK , y !" (convK ) *[ ]{ } ,
де, як і вище, точка y задає опорну гіперплощину до K , що проходить через
точку x , а точка x задає опорну гіперплощину до (convK ) * , що проходить
через точку y . З того, що K ! convK , випливає, що F0 — власна підмножина
ПРО ДЕЯКІ КРИТЕРІЇ ОПУКЛОСТІ КОМПАКТІВ 467
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
F . Як і вище, існують неперервні відображення h1 : F0 ! K ! "(convK ) і
h2 : F0 ! ! "[(convK )*] . Покажемо їх ациклічність. Проекція h1 ациклічна,
тому що множина опорних площин у точці x !K збігається з множиною
опорних площин у тій же точці до convK . Проекція h2 ациклічна, тому що,
згідно з припущенням, перетини компакта K з опорними гіперплощинами
ациклічні. Отже, як і вище, маємо два ациклічних відображення, які індукують
ізоморфізми груп когомологій. Тому
H
n!1(K ! " convK ) # H n!1(F0 ) # H n!1 (convK ) *[ ] # H n!1(Sn!1) .
А це можливо тільки тоді, коли K ! !convK = !convK і, отже, внаслідок
ациклічності K , convK = K . Отримана суперечність доводить лему.
Приклад 1. Розглянемо півсферу S! = {(x1, x2 , x3) x12 + x22 + x32 = 1, x3 ! 0} .
Опорна площина x3 = 0 перетинає її по одновимірному циклу (колу). Перетини з
іншими опорними площинами є відповідними єдиними точками півсфери.
Зауважимо, що при доведенні леми ми скористалися ациклічністю компакта
лише в кінці при ствердженні його опуклості. Тому справедливим є наступний
наслідок.
Наслідок 1. Нехай K ! !n — компакт. Якщо кожна опорна до K гіпер-
площина перетинає K по ациклічній множині, то або K є опуклим компак-
том, або він містить ненульовий (n ! 1) -цикл.
Носієм цього циклу буде межа ! convK , якщо K має внутрішні пустоти.
Означення 1. Будемо говорити, що m -площина L , 0 ! m ! n " 1 , є опор-
ною до компакта K , якщо L ! K ! "K .
З леми 1 випливає наступне узагальнення теореми Ауманна для ациклічних
компактів.
Теорема 1. Для того щоб ациклічний компакт K ! !n був опуклим, необ-
хідно і достатньо, щоб усі його перетини опорними m -площинами, 1 ! m !
! n " 1 , були ациклічними.
Отриманий результат легко переноситься на комплексний випадок. Терміни,
які будуть використані, визначено в [2].
Твердження 1 [2, с.132]. Компакти K ! Cn , перетини яких опорними
гіперплощинами зв’язні, мають сильно лінійно опуклу c-оболонку.
Теорема 2. Для того щоб ациклічний компакт K ! Cn з не порожньою
внутрішністю був сильно лінійно опуклим, необхідно і достатньо, щоб усі його
перетини опорними комплексними m -площинами, 1 ! m ! n " 1 , були
ациклічними.
Доведення повторює міркування з доведення леми 1 і теореми 1 з
використанням спряженої до K множини. Отриманий результат підсилює
теорему 9.1 [2] у випадку ациклічних компактів.
Далі ми будемо переносити теорему 11.1 [2] на гіперкомплексний випадок.
Означення 2. Множина E ! Hn називається лінійно гіперкомплексно
468 Ю. Б. ЗЕЛІНСЬКИЙ, І. Ю. ВИГОВСЬКА, М. В. ТКАЧУК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
опуклою, якщо її доповнення до Hn є деяким об’єднанням гіперплощин прос-
тору Hn .
Внаслідок некомутативності множення в тілі кватерніонів слід розрізняти пло-
щини, які задаються множенням справа чи зліва. Далі будемо розглядати лінійні
підмножини, що визначені множенням зліва (для іншого випадку міркування ана-
логічні).
Означення 3. Гіперкомплексним поліедром називають множину вигляду
E = z{ : f j h( )!E j , j !J = 1, 2,…, N }{ } ,
де множини E j ! H , f j (h) = a jkhkk=1
n! , причому будь-які дві функції f j ,
fk , k ! j , є лінійно незалежними, а кожна з функцій f j відображає E в під-
множину E j гіперкомплексної прямої. Множини E j називають твірними
гіперкомплексного поліедра E .
Легко перевірити, що кожен гіперкомплексний поліедр E буде лінійно гіпер-
комплексно опуклою множиною. Точка h0 = (h1, h2 ,…, hn ) не належить гіпер-
комплексному поліедру E тоді і тільки тоді, коли існують натуральне число
j !J і кватерніон b , відмінний від дільників нуля, такі, що f j (h0 ) =
= a jkhk = b !E jk=1
n" . Тоді гіперплощина a jkhk = bk=1
n! проходить через
точку h0 і, очевидно, не перетинає E .
Означення 4. Множину
! j = h "#E : f j (h){ "#E j a fk (h) " intEk , k = 1, 2,…, j $ 1, j + 1,…, N }
називають гранню, а множину
Ê = h{ : f j h( )!"E j , j !J = 1, 2,…, N }{ }
— остовом поліедра E .
Далі будемо розглядати частковий випадок гіперкомплексних поліедрів, які бу-
дуть невиродженими декартовими добутками множин, що лежать у гіперкомплек-
сно одновимірних просторах, тобто жоден із співмножників не є точкою, або усім
простором.
Означення 5. Множина E ! Hn називається сильно лінійно опуклою, якщо
її перетини гіперкомплексними прямими ациклічні (гомотопно еквівалентні
точці).
У [4] доведено, що сильно лінійно опуклі області і компакти є лінійно гіпер-
комплексно опуклими множинами.
Наступна теорема характеризує сильно лінійно опуклі компакти, які можна
зобразити як декартові добутки.
Теорема 3. Компакт, який є невиродженим декартовим добутком, сильно
лінійно опуклий тоді і тільки тоді, коли він опуклий.
Доведення. Нехай E — сильно лінійно опуклий компакт. Не порушуючи за-
гальності можна вважати, що E = E1 ! E2 " H2 , інакше досить перейти до пере-
ПРО ДЕЯКІ КРИТЕРІЇ ОПУКЛОСТІ КОМПАКТІВ 469
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
тину E гіперкомплексно двовимірним простором.
Далі для продовження доведення встановимо кілька лем.
Лема 2. Нехай K1 і K2 — дві компактні ациклічні підмножини евклідового
простору !4 , кожна з яких містить не менше двох точок, крім того, множина
K2 є опуклим тілом (тобто замиканням відкритої множини). Якщо для кож-
ного невиродженого лінійного відображення f множина K1 ! f (K2 ) ациклічна
(в тому числі порожня), то множина K1 теж опукла.
Доведення. Припустимо, що множина K1 не є опуклою. Якщо множина K1
незв’язна, то виберемо дві точки x1 і x2 , що лежать у різних компонентах K1 .
Легко підібрати лінійне відображення f , яке дві точки компакта K2 переведе в
ці дві точки множини K1 . Внаслідок гомеоморфності f перетин K1 ! f (K2 )
незв’язний, що суперечить умові.
Якщо ж множина K1 зв’язна, то згідно з лемою 1 існує перетин K1 опорною
гіперплощиною, який містить ненульовий цикл. Відображення f виберемо та-
ким, щоб f (K2 ) містив всередині кулю достатньо великого радіуса і гіперпло-
щина, паралельна до дотичної, в досить малому околі точки дотику містила в
перетині з f (K2 ) кулю діаметра більшого, ніж діаметр перетину K1 з обраною
гіперплощиною. Тепер легко підібрати зсув множини f (K2 ) так, щоб основна її
частина знаходилася в іншому півпросторі, ніж множина K1 , і перетин K1 !
! f (K2 ) мало відрізнявся від перетину K1 вибраною опорною площиною, а от-
же, містив ненульовий цикл. Цим опуклість множини K1 встановлено.
Легко бачити, що лема залишиться справедливою, якщо чотиривимірний ев-
клідів простір розглядати як гіперкомплексний простір H , а відображення f —
як гіперкомплексно лінійне відображення.
Покажемо, що лема 2 не буде правильною, якщо обмежитися лише лінійними
зсувами без гомотетій.
Приклад 2. Нехай K2 — куля одиничного радіуса і K1 — півсфера одинич-
ного радіуса. Якщо обмежитися тільки лінійними трансляціями множини K2 без
гомотетій, то всі можливі парні перетини K1 ! f (K2 ) множин ациклічні.
Означення 6. 1-Прапором у просторі !
n назвемо його замкнений
півпростір, а його межу — древком прапора. Поширимо означення по індукції:
k -прапором у просторі !n , 1 ! k ! n , назвемо об’єднання відкритого пів-
простору з (k ! 1) -прапором, що лежить у його межі. При цьому k -прапор
містить у собі усі менші m -прапори, 1 ! m ! k , його древком будемо називати
древко найменшого вкладеного 1-прапора. Для повноти 0-прапором будемо на-
зивати сам простір !n , древком для нього будемо вважати його ж. Два пра-
пори будемо називати доповнюючими, якщо їх перетин міститься в древку.
Лема 3. Кожен компакт K ! !n лежить в деякому n -прапорі так, що
його перетин з кожним меншим підпрапором не є порожнім.
Лема очевидно доводиться послідовним викиданням з простору частин, які
470 Ю. Б. ЗЕЛІНСЬКИЙ, І. Ю. ВИГОВСЬКА, М. В. ТКАЧУК
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
лежать по іншій бік відповідних опорних площин.
Лема 4. Для кожного неопуклого компакта K ! !n існує вкладення в де-
який k -прапор так, що його перетин з кожним меншим підпрапором не порож-
ній, а перетин з древком є носієм (n ! k ! 1) -вимірного циклу.
Доведення. Згідно з наслідком 1, якщо перетин з древком, яке є (n ! k) -ви-
мірним евклідовим простором, містить цикл розмірності меншої за n ! k ! 1 , то
буде існувати вкладення компакта в (k + 1) -прапор і так далі, поки не одержимо
ненульовий цикл максимально можливої розмірності в древку.
Лема 5. Нехай K1, K2 ! !
n — два компакти, що містять ненульові (n ! 1) -
цикли і початок координат, n ! 2 . Тоді існує відображення f таке, що K1 !
! f (K2 ) є носієм ненульового циклу, де f є суперпозицією повороту простору
!
n і його гомотетії відносно початку координат.
Доведення. З умов леми і формули Кюнетта [5] у вигляді точної послідовності
груп когомологій
0! H n"1(K1)# H n"1(K2 )! H 2n"2 (K1 $ K2 )
випливає, що (2n ! 2) -вимірна група когомологій декартового добутку K1 ! K2
відмінна від нуля. Графіком описаного в лемі відображення буде перетин цього
декартового добутку з n- вимірною площиною, що проходить через початок коор-
динат. Припустимо, що для кожного відображення f множини K1 ! f (K2 )
ациклічні. Об’єднання множини перетинів збігається з декартовим добутком
K1 ! K2 . Далі аналогічно теоремі 4.2 [3] одержуємо ациклічність K1 ! K2 , що
суперечить встановленому вище.
Тепер повернемося до доведення теореми 3. Якщо один із співмножників опук-
лий, то у випадку, коли він містить внутрішні точки, досить застосувати лему 2,
щоб одержати неациклічний перетин гіперплощиною. Якщо ж не містить внут-
рішніх точок, то він знаходиться в дійсній гіперплощині простору H . Тоді його
можна розмістити в опорній гіперплощині до K1 , яка перетинає K1 по циклу, і
гомотетією K2 можна добитися циклу в перетині K1 ! f (K2 ) , який еквівален-
тний перетину вихідного компакта гіперкомплексною прямою.
Якщо обидва співмножники неопуклі, то згідно з лемою 4 розмістимо спів-
множники у прапорах так, щоб цикли максимальної розмірності лежали у відпо-
відних древках, а внутрішності компактів — у доповнюючих прапорах. Якщо ці
древка мають різну розмірність, то зафіксуємо меншу з них (нехай це m ), а в
древку більшої розмірності виділимо підпростір цієї ж розмірності, який цикл
древка розбиває. Це можливо, адже ми показали, що ненульовий цикл розбиває
древко. Отже, згідно з лемою 5, досить підбирати відображення в евклідовому
просторі !m , внутрішності компактів при цьому перетинатися не будуть. Тепер
існування неациклічного перетину підмножин древків, яке встановлене в лемі 5,
суперечить сильній гіперкомплексній опуклості компакта K і завершує доведен-
ня теореми.
Критерій опуклості області евклідового простору можна знайти в [6].
ПРО ДЕЯКІ КРИТЕРІЇ ОПУКЛОСТІ КОМПАКТІВ 471
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
1. Aumann G. On a topological characterization of compact convex sets // Ann. Math. – 1936. – 37, № 3. –
P. 443 – 447.
2. Лейхтвейс К. Выпуклые множества: Пер. с нем. – М.: Наука., 1985. – 336 с.
3. Зелинский Ю. Б. Многозначные отображения в анализе. – Киев: Наук. думка, 1993. – 264 с.
4. Мкртчян Г. А. О сильной гиперкомплексной выпуклости // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 2. –
С. 182 – 187.
5. Спеньер Э. Алгебраическая топология. – М.: Мир, 1971. – 680 с.
6. Зелинский Ю. Б., Выговская И. Ю. Критерий выпуклости области евклидова пространства // Укр.
мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 708 – 712.
Одержано 30.12.10
|