Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий

Розглядаються Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля. Отримано оцiнку мiри образу кулi при таких вiдображеннях i дослiджено асимптотичну поведiнку в в нулi.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Ковтонюк, Д.А., Салимов, Р.Р.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2011
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166024
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий / Д.А. Ковтонюк, Р.Р. Салимов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 481–488. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166024
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1660242020-02-19T01:26:04Z Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий Ковтонюк, Д.А. Салимов, Р.Р. Статті Розглядаються Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля. Отримано оцiнку мiри образу кулi при таких вiдображеннях i дослiджено асимптотичну поведiнку в в нулi. We consider Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus. An estimate for a measure of a ball image is obtained under such mappings and the asymptotic behavior at zero is investigated. 2011 Article Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий / Д.А. Ковтонюк, Р.Р. Салимов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 481–488. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166024 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Ковтонюк, Д.А. Салимов, Р.Р. Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий Український математичний журнал
description	Розглядаються Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля. Отримано оцiнку мiри образу кулi при таких вiдображеннях i дослiджено асимптотичну поведiнку в в нулi.
format	Article
author	Ковтонюк, Д.А. Салимов, Р.Р.
author_facet	Ковтонюк, Д.А. Салимов, Р.Р.
author_sort	Ковтонюк, Д.А.
title	Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий
title_short	Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий
title_full	Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий
title_fullStr	Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий
title_full_unstemmed	Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий
title_sort	асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166024
citation_txt	Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий / Д.А. Ковтонюк, Р.Р. Салимов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 481–488. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kovtonûkda asimptotičeskoepovedenievtočkeobobŝennyhkvaziizometrij AT salimovrr asimptotičeskoepovedenievtočkeobobŝennyhkvaziizometrij
first_indexed	2025-07-14T20:30:24Z
last_indexed	2025-07-14T20:30:24Z
_version_	1837655680169803776
fulltext	УДК 517.5 Д. А. Ковтонюк, Р. Р. Салимов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк) АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ТОЧКЕ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ We consider Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus. An estimate for a measure of a ball image is obtained under such mappings and the asymptotic behavior at zero is investigated. Розглядаються Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля. Отримано оцiнку мiри образу кулi при таких вiдображеннях i дослiджено асимптотичну поведiнку в нулi. 1. Введение. Напомним некоторые определения. Борелева функция % : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства кривых Γ в Rn (пишут % ∈ adm Γ), если∫ γ %(x) ds > 1 (1) для всех γ ∈ Γ. Пусть p > 1, тогда p-модулем семейства кривых Γ называется величина Mp(Γ) = inf %∈adm Γ ∫ Rn %p(x) dm(x). (2) Здесь m обозначает меру Лебега в Rn. В дальнейшем полагаем M(Γ) = Mn(Γ). Свойства p-модуля, определенного соотношением (2), в некоторой мере анало- гичны свойствам меры Лебега m в Rn, а именно: 1) p-модуль пустого семейства кривых равен нулю: Mp(∅) = 0; 2) p-модуль имеет свойство монотонности относительно семейств кривых: Γ1 ⊂ Γ2 ⇒Mp(Γ1) ≤Mp(Γ2); 3) p-модуль имеет свойство полуаддитивности: Mp ( ∞⋃ i=1 Γi ) 6 ∞∑ i=1 Mp(Γi) (см. теорему 6.2 в разд. 6 гл. I [1]). Заметим также, что если Γ∞ — некоторое семейство, состоящее из неспрямляемых кривых, то Mp(Γ∞) = 0 (см. разд. 6 гл. I в [1, с. 18]). Упомянем еще об одном свойстве модуля. Говорят, что семейство кривых Γ1 минорируется семейством Γ2 (пишем Γ1 > Γ2), если для каждой кривой γ ∈ Γ1 существует подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. Известно, что если Γ1 > Γ2, то Mp(Γ1) < Mp(Γ2) (см. [1]). Известно (см., например, разд. 13 гл. II в [1]), что в основу геометрического определения квазиконформных отображений, заданных в области G из Rn, n > 2, положено условие M(fΓ) 6 KM(Γ) (3) c© Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ, 2011 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 481 482 Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ для произвольного семейства Γ кривых γ в области G, где M(·) — (конформный) модуль семейства кривых, определенный при p = n.Другими словами, стандартное определение квазиконформности сводится к тому, что n-модуль любого семейства кривых искажается не более чем в K раз. Отметим, что выражение „конформный модуль” употребляется в случае p-модуля, определенного в (2), при p = n. Упомя- нутое выше словосочетание вполне оправдано тем, что для любого конформного отображения g : G → Rn, заданного в области G ⊂ Rn, и для произвольного се- мейства кривых Γ, лежащего в области G, выполнено равенство M(gΓ) = M(Γ) (см., например, теорему 8.1 гл. I в [1]). Отметим, что при p 6= n даже линейные отображения fk(x) = kx, k 6= 0, не сохраняют модуль семейств кривых, а именно, Mp (fkΓ) = kn−pMp(Γ) (см. теорему 8.2 там же). Предположим, что 1 < p 6= n и Mp(fΓ) ≤ KMp(Γ) (4) для произвольного семейства Γ кривых γ в области G. При дополнительном пред- положении, что f в (4) является гомеоморфизмом, Ф. Герингом установлено, что отображение f является локально квазиизометричным. Другими словами, при не- которой постоянной C > 0 и всех x0 ∈ G справедлива оценка lim sup x→x0 \|f(x)− f(x0)\| \|x− x0\| 6 C (см., например, теорему 2 в [2]). Целью данной работы является исследование на основе используемой нами техники аналога следующего результата из работы [3] для более общих классов. Предположим, что f : B3 → B3 — K-квазиконформное отображение такое, что f(0) = 0. Тогда lim inf x→0 \|f(x)\| \|x\|α 6 1, где α — постоянная, зависящая только от коэффициента квазиконформности K. Пусть для отображения f : G → Rn, имеющего в G частные производные почти всюду, f ′(x) — якобиева матрица отображения f в точке x, ‖f ′(x)‖ = = maxh∈Rn\{0} \|f ′(x)h\| \|h\| . Внешняя дилатация отображения f в точке x есть вели- чина KO(x, f) = ‖f ′(x)‖n \|J(x, f)\| , если якобиан J(x, f) := det f ′(x) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KO(x, f) = = ∞ в остальных точках. Внутренняя дилатация отображения f в точке x есть величина KI(x, f) = \|J(x, f)\| l (f ′(x)) n , если якобиан J(x, f) 6= 0, KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞ в остальных точках. В формуле выше, как обычно, l (f ′(x)) = min h∈Rn\{0} \|f ′(x)h\| \|h\| . Всюду далееB(x0, r) = {x ∈ Rn : \|x− x0\| < r} ,Bn = B(0, 1) , Br = B(0, r), ωn−1 — площадь единичной сферы Sn−1 в Rn, Ωn — объем единичного шара Bn в ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ТОЧКЕ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ 483 Rn, nΩn = ωn−1. Пусть G — область в Rn, n ≥ 2, и Q : G → [0,∞] — измеримая функция. Тогда qx0 (r) = 1 ωn−1rn−1 ∫ \|x−x0\|=r Q(x)dA означает среднее интеграль- ное значение над сферой S(x0, r) = { x ∈ Rn : \|x − x0\| = r } , где dA — элемент площади поверхности. В дальнейшем при x0 = 0 полагаем q(t) = qx0 (t). Запись m(A) означает меру Лебега множества A в Rn. Следуя работе [4], пару E = (A,C), где A ⊂ Rn — открытое множество и C — непустое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором. Конденсатор E называем кольцевым конденсатором, если B = A \ C — кольцо, т. е. если B — область, дополнение которой Rn \ B состоит в точности из двух компонент. Конденсатор E называем ограниченным конденсатором, если множе- ство A является ограниченным. Говорят, что конденсатор E = (A,C) лежит в области G, если A ⊂ G. Очевидно, что если f : G→ Rn — открытое отображение и E = (A,C) — конденсатор в G, то (fA, fC) также конденсатор в fG. Далее fE = (fA, fC). Пусть E = (A,C) — конденсатор, W0(E) = W0(A,C) — семейство неотрица- тельных функций u : A → R1 таких, что: 1) u ∈ C0(A), 2) u(x) > 1 для x ∈ C и 3) u принадлежит классу ACL, и пусть \|∇u\| = ( n∑ i=1 (∂iu) 2 )1/2 . (5) При p > 1 величину cappE = capp (A,C) = inf u∈W0(E) ∫ A \|∇u\|p dm (6) называют p-емкостью конденсатора E. В дальнейшем при p > 1 будем использо- вать равенство cappE = Mp(∆(∂A, ∂C;A \ C)), (7) где для множеств S1, S2 и S3 в Rn, n > 2, ∆(S1,S2;S3) обозначает семейство всех непрерывных кривых, соединяющих S1 и S2 в S3 [5 – 7]. Известно, что при p > 1 cappE > (inf mn−1 σ) p [m(A \ C)] p−1 , (8) где mn−1 σ — (n − 1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия σ, которое является границей σ = ∂U ограниченного открытого множества U, содержащего C и содер- жащегося вместе со своим замыканием U в A, а точная нижняя грань берется по всем таким σ (см. предложение 5 из [8]). Пусть G — область в Rn, n > 2, и Q : G → [0,∞] — измеримая функция. Гомеоморфизм f : G → Rn будем называть Q-гомеоморфизмом относительно p- модуля, если Mp(fΓ) 6 ∫ G Q(x)%p(x) dm(x) (9) для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции % для Γ. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 484 Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ Определение Q-гомеоморфизма относительно p-модуля впервые встречается в работе [9]. Такие отображения являются естественным обобщением квазиконформ- ных и локально квазиизометрических отображений. Заметим, что если Q(x) 6 K почти всюду при p = n, отображение f является K-квазиконформным (см., напри- мер, [1]) и локально K-квазиизометричным в случае 1 < p 6= n [2]. Целью теории Q-гомеоморфизмов является установление взаимосвязей между различными свой- ствами мажоранты Q и самого отображения f. Неравенство вида (9) при p = n установлено В. Я. Гутлянским в работе [10] совместно с К. Бишопом, О. Мартио и М. Вуориненом для квазиконформных отображений, где Q было равно KI(x, f). Последнее обстоятельство, собственно, и положило начало рассмотрению классов отображений, удовлетворяющих упомянутому выше соотношению. Отметим так- же, что неравенство вида (9) при p = n было установлено Ю. Ф. Струговым в работе [11] для так называемых отображений, квазиконформных в среднем. При p = n проблема локального поведения Q-гомеоморфизмов изучалась в Rn в случае Q ∈ BMO (ограниченного среднего колебания), в случае Q ∈ FMO (конечного среднего колебания) и в других случаях (см. монографию [12]). 2. Искажение объема. В этом пункте получена оценка меры образа шара при Q-гомеоморфизмах относительно p-модуля. Впервые оценка площади образа круга при квазиконформных отображениях встречается в работе М. А. Лаврентьева [13]. Лемма. Пусть n > 2, f : Bn → Bn — Q-гомеоморфизм относительно p- модуля с Q(x) ∈ L1 loc(Bn). Тогда при 1 < p < n имеет место оценка m(fBr) 6 Ωn 1 + n− p p− 1 1∫ r dt t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t) n(p−1)/(p−n) , (10) а при p = n — m(fBr) 6 Ωn exp −n 1∫ r dt tq1/(n−1)(t)  . (11) Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо Rt = {x ∈ Bn : t < \|x\| < < t+4t}. Пусть (At+4t, Ct) — конденсатор, где Ct = Bt, At+4t = Bt+4t. Тогда (fAt+4t, fCt) — кольцевой конденсатор в Rn, и согласно (7) имеем capp(fAt+4t, fCt) = Mp(4(∂fAt+4t, ∂fCt; fRt)). (12) В силу неравенства (8) получим capp (fAt+4t, fCt) > (inf mn−1 σ) p m (fAt+∆t \ fCt)p−1 , (13) где mn−1 σ – (n − 1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия σ, которое является границей σ = ∂U ограниченного открытого множества U, содержащего fCt и содержащегося вместе со своим замыканием U в fAt+4t, а точная нижняя грань берется по всем таким σ. С другой стороны, в силу определения Q-гомеоморфизма относительно p- модуля имеем capp (fAt+4t, fCt) 6 ∫ Rt Q(x)%p(x) dm(x). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ТОЧКЕ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ 485 Заметим, что функция %(x) = ( \|x\| ln t+ ∆t t )−1 χRt(x), где χRt(x) — ха- рактеристическая функция множества Rt, является допустимой для семейства 4(∂At+4t, ∂Ct;Rt), и поэтому capp (fAt+4t, fCt) 6 1( ln t+ ∆t t )p ∫ Rt Q(x) \|x\|p dm(x). (14) Комбинируя неравенства (13) и (14), получаем (inf mn−1 σ) p m (fAt+∆t \ fCt)p−1 6 1( ln t+ ∆t t )p ∫ Rt Q(x) \|x\|p dm(x). Заметим, что по теореме Фубини имеем ∫ Rt Q(x) \|x\|p dm(x) = t+∆t∫ t dt tp ∫ St Q(x) dA = ωn−1 t+∆t∫ t tn−p−1q(t) dt и, таким образом, inf mn−1 σ 6 ω 1/p n−1 [m (fAt+∆t \ fCt)](p−1)/p ln t+ ∆t t  t+∆t∫ t tn−p−1q(t) dt 1/p . Далее, воспользовавшись изопериметрическим неравенством inf mn−1 σ > nΩ1/n n (m(fCt)) (n−1)/n , получим (m(fCt)) (n−1)/n 6 6 ω 1/p n−1 [m (fAt+∆t \ fCt)](p−1)/p ln t+ ∆t t  t+∆t∫ t tn−p−1q(t) dt 1/p . (15) Определим функцию Φ(t) для данного гомеоморфизма f следующим образом: Φ(t) := m (fBt) . Тогда из соотношения (15) следует, что nΩ1/n n Φ(n−1)/n(t) 6 6 ω 1/p n−1 [ Φ(t+ ∆t)− Φ(t) ∆t ](p−1)/p ln(t+ ∆t)− ln t ∆t  1 ∆t t+∆t∫ t tn−p−1q(t) dt 1/p . (16) Далее, устремляя в неравенстве (16) ∆t к нулю и учитывая монотонное возра- стание функции Φ по t ∈ (0, 1), для почти всех t имеем ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 486 Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ nΩ (p−n)/n(p−1) n t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t) 6 Φ′(t) Φp(n−1)/n(p−1)(t) . (17) Рассмотрим неравенство (17) при 1 < p < n. Интегрируя обе части неравенства по t ∈ [r, 1] и учитывая, что (см., например, теорему 7.4 гл. IV в [14]) 1∫ r Φ′(t) Φp(n−1)/n(p−1)(t) dt 6 n(p− 1) p− n ( Φ(p−n)/n(p−1)(1)− Φ(p−n)/n(p−1)(r) ) , находим 1∫ r dt t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t) 6 6 1 Ω (p−n)/n(p−1) n p− 1 p− n ( Φ(p−n)/n(p−1)(1)− Φ(p−n)/n(p−1)(r) ) . (18) Из неравенства (18) получаем Φ(r) 6 ( Φ(p−n)/n(p−1)(1)+ +Ω(p−n)/n(p−1) n n− p p− 1 1∫ r dt t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t) )n(p−1)/(p−n) . Наконец, обозначая в последнем неравенстве Φ(r) = m(fBr) и учитывая, что m(fBn) ≤ Ωn, имеем оценку m(fBr) 6 Ωn 1 + n− p p− 1 1∫ r dt t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t) n(p−1)/(p−n) . Неравенство (10) доказано. Осталось рассмотреть случай p = n. В этом случае неравенство (17) примет вид n tq1/(n−1)(t) 6 Φ′(t) Φ(t) . (19) Интегрируя обе части неравенства (19) по t ∈ [r, 1] и учитывая, что (см., например, теорему 7.4 гл. IV в [14]) 1∫ r Φ′(t) Φ(t) dt 6 ln Φ(1) Φ(r) , получаем n 1∫ r dt tq1/(n−1)(t) 6 ln Φ(1) Φ(r) . Следовательно, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ТОЧКЕ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ 487 exp n 1∫ r dt tq1/(n−1)(t)  6 Φ(1) Φ(r) , а потому Φ(r) 6 Φ(1) exp −n 1∫ r dt tq1/(n−1)(t)  . Наконец, обозначая в последнем неравенстве Φ(r) = m(fBr), имеем m(fBr) 6 Ωn exp −n 1∫ r dt tq1/(n−1)(t)  . Неравенство (11) доказано, что и завершает доказательство леммы. 3. Поведение в точке. Лемма, приведенная в предыдущем пункте, позволя- ет также описать асимптотическое поведение Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля в нуле. Предложение. Пусть f : Bn → Bn, n > 2, — гомеоморфизм, f(0) = 0. Тогда если m(fBr) 6 ΩnR n(r), (20) то lim inf x→0 \|f(x)\| R(\|x\|) 6 1. (21) Доказательство. Положим min\|x\|=r \|f(x)\| = lf (r). Тогда, учитывая, что f(0) = = 0, получаем Ωn l n f (r) 6 m(fBr) и, следовательно, lf (r) 6 ( m(fBr) Ωn )1/n . (22) Таким образом, учитывая неравенства (22) и (20), имеем lim inf x→0 \|f(x)\| R(\|x\|) = lim inf r→0 lf (r) R(r) 6 lim inf r→0 ( m(fBr) Ωn )1/n 1 R(r) 6 1. Предложение доказано. Комбинируя лемму и предложение с функцией R(r) = 1 + n− p p− 1 1∫ r dt t(−n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t) (p−1)/(n−p) при 1 < p < n иR(r) = exp { − ∫ 1 r dt tq1/(n−1)(t) } при p = n, получаем следующий результат. Теорема. Пусть f : Bn → Bn, n > 2, — Q-гомеоморфизм относительно p-модуля с Q ∈ L1 loc(Bn), f(0) = 0. Тогда при 1 < p < n имеет место оценка lim inf x→0 \|f(x)\| 1 + n− p p− 1 1∫ \|x\| dt t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t)  (p−1)/(n−p) 6 1, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 488 Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ а при p = n — lim inf x→0 \|f(x)\| exp  1∫ \|x\| dt tq1/(n−1)(t)  6 1. Авторы выражают благодарность профессору Гутлянскому В. Я. за постановку задачи об оценке меры образа шара, восходящей к Лаврентьеву М. А. в классе квазиконформных отображений на комплексной плоскости. 1. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229. – 229 p. 2. Gehring F. W. Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space // Adv. Theory Riemann Surfaces (Proc. Conf. Stonybrook, New York, 1969). Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175 — 193. 3. Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya Math. J. – 1965. – 25. – P. 175 – 203. 4. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. – 1969. – 448. – P. 1 – 40. 5. Gehring F. W. Quasiconformal mappings in complex analysis and its applications. – Vienna: Int. Atomic Energy Agency, 1976. 6. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality // Arch. mat. – 1975. – 13. – P. 131 – 144. 7. Shlyk V. A. On the equality between p-capacity and p-modulus // Sib. Mat. Zh. – 1993. – 34, № 6. – S. 216 – 221. 8. Кругликов В. И. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем // Мат. сб. – 1986. – 130, № 2. – C. 185 – 206. 9. Golberg A. Differential properties of (α,Q)-homeomorphisms // Further Progress in Analysis. – World Sci. Publ., 2009. – P. 218 – 228. 10. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420. 11. Стругов Ю. Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН СССР. – 1978. – 243, № 4. – С. 859 – 861. 12. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer, 2009. – 367 p. 13. Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. – М.: Наука, 1962. – 136 с. 14. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949. Получено 01.11.10 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4

Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий

Institution

Ähnliche Einträge