Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃
Исследуется вопрос о восстановлении вариации метрического тензора поверхности по заданной вариации символов Кристоффеля второго рода при инфинитезимальных деформациях поверхностей в евклидовом пространстве E₃....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166028 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ / І.В. Потапенко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 523–530. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166028 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660282020-02-19T01:28:57Z Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ Потапенко, І.В. Статті Исследуется вопрос о восстановлении вариации метрического тензора поверхности по заданной вариации символов Кристоффеля второго рода при инфинитезимальных деформациях поверхностей в евклидовом пространстве E₃. We investigate the problem of reconstruction of variation of a metric tensor of a surface on the basis of given variation of the sekond-kind Christoffel symbols for infinitesimal deformations of surfaces in the Euclidean space E₃. 2011 Article Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ / І.В. Потапенко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 523–530. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166028 514. 752. 43 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Потапенко, І.В. Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ Український математичний журнал |
| description |
Исследуется вопрос о восстановлении вариации метрического тензора поверхности по заданной вариации символов Кристоффеля второго рода при инфинитезимальных деформациях поверхностей в евклидовом пространстве E₃. |
| format |
Article |
| author |
Потапенко, І.В. |
| author_facet |
Потапенко, І.В. |
| author_sort |
Потапенко, І.В. |
| title |
Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ |
| title_short |
Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ |
| title_full |
Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ |
| title_fullStr |
Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ |
| title_full_unstemmed |
Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ |
| title_sort |
про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі e₃ |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166028 |
| citation_txt |
Про відновлення варіації метричного тензора поверхні за заданою варіацією символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальних деформаціях поверхонь в евклідовому просторі E₃ / І.В. Потапенко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 523–530. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT potapenkoív provídnovlennâvaríacíímetričnogotenzorapoverhnízazadanoûvaríacíêûsimvolívkrístoffelâdrugogorodupriínfínítezimalʹnihdeformacíâhpoverhonʹvevklídovomuprostoríe3 |
| first_indexed |
2025-07-14T20:30:48Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:30:48Z |
| _version_ |
1837655706004619264 |
| fulltext |
© І. В. ПОТАПЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, №4 523
УДК 514. 752. 43
І. В. Потапенко (Ін-т математики, економіки і механіки, Одес. нац. ун-т)
ПРО ВІДНОВЛЕННЯ ВАРІАЦІЇ МЕТРИЧНОГО
ТЕНЗОРА ПОВЕРХНІ ЗА ЗАДАНОЮ ВАРІАЦІЄЮ
СИМВОЛІВ КРІСТОФФЕЛЯ ДРУГОГО РОДУ
ПРИ ІНФІНІТЕЗИМАЛЬНИХ ДЕФОРМАЦІЯХ ПОВЕРХОНЬ
В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ E3
We investigate the problem of reconstruction of variation of a metric tensor of a surface on the basis of given
variation of the sekond-kind Christoffel symbols for infinitesimal deformations of surfaces in the Euclidean
space E3 .
Исследуется вопрос о восстановлении вариации метрического тензора поверхности по заданной вариа-
ции символов Кристоффеля второго рода при инфинитезимальных деформациях поверхностей в евкли-
довом пространстве E3 .
У теорії інфінітезимальних деформацій поверхонь у тривимірному евклідовому
просторі одне з цікавих питань полягає в тому, які умови повинно задовольняти си-
метричне за нижніми індексами тензорне поле !" ijh , щоб, з одного боку, воно за-
давало варіацію символів Крістоффеля другого роду, а з іншого — за ним можна
було відтворити варіацію !gij метричного тензора поверхні при деякій регулярній
інфінітезимальній деформації, та з якою довільністю це можна зробити.
Ця проблематика має певну схожість з проблемою відновлення метричного
тензора поверхні за заданими симетричними за нижніми індексами функціями ! ijh
Крістоффеля другого роду, оригінальне розв’язання якої наведено в [1, с. 18 – 20].
Більш загальну задачу про пошук умов, при яких простір афінної зв’язності
( An ) зводиться до простору Вейля (Wn ), для бінарної області ( n = 2 ) роз-
в’язано в [2]. Ця задача узагальнює основну проблему неріманової геометрії, яка
була поставлена Ейзенхартом і Вебленом в [3]. Задача, яка розглядається в даній
роботі, та задачі, про які йшлося вище, зводяться до системи диференціальних
рівнянь з частинними похідними, що схожі своєю лівою частиною, але суттєво від-
різняються правою. Відмінність полягає в тому, що варіація символів Крістоф-
феля другого роду !" ijh на відміну від символів Крістоффеля другого роду ! ijh є
тензором при інфінітезимальних деформаціях першого порядку.
Оскільки всі міркування будуть стосуватися лише метрики поверхні, а не самої
поверхні, то є сенс говорити про сім’ю поверхонь з заданою регулярною метри-
кою. Але, не змінюючи загальності міркувань, під час доведень будемо мати на
увазі якусь конкретну поверхню сімей.
Наведемо деякі означення, необхідні для подальшого викладу, та доведемо
важливі леми. Аналітичне зображення процесу деформування регулярних повер-
хонь евклідового простору E3 в класі Cm (G) , m ! 1 , та означення неперервної
524 І. В. ПОТАПЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
за параметром t деформації St можна знайти в [4, с. 54, 55; 5].
Означення 1. Нехай St — регулярна сім’я поверхонь (неперервна за пара-
метром t деформація), яке залежить від малого параметра t , до того ж
rt (x1, x2 , t) = r (x1, x2 ) + t
1
y(x1, x2 ) + t 2
2
y(x1, x2 ) + … + t n
n
y(x1, x2 ) . (1)
Деформацію (1) називають інфінітезимальною деформацією k -го порядку,
k = 1, 2,…, n , якщо її розглядають з точністю до k -го порядку відносно
t ! 0 . При цьому величинами порядків k + 1 і вище відносно t нехтують.
Вектори
1
y(x1, x2 ) ,
2
y((x1, x2 ) , … ,
k
y(x1, x2 ) називають векторами зміщення.
Означення 2. Нехай R(x1, x2 ) та Rt (x1, x2 , t) — певні характеристики по-
верхонь S та St відповідно. Припустимо, що приріст !R(x1, x2 , t) =
= Rt (x1, x2 , t) ! R(x1, x2 ) функції R(x1, x2 ) при деформації розкладено в ряд по
степенях t . Тоді у розкладі
Rt (x1, x2 , t) = R(x1, x2 ) + t!R(x1, x2 ) + t 2!2R(x1, x2 ) + ...+ t n!nR(x1, x2 ) (2)
коефіцієнти !R , !R2 ,…, !nR називаються відповідно першою, другою і т. д.
n -ю варіаціями геометричної величини R(x1, x2 ) .
З (2) легко вивести формулу обчислення варіації k -го порядку, k = 1, 2,…, n :
!kR(x1, x2 ) = 1
k !
"kRt (x1, x2 , t)
"t k t=0
. (3)
У даній роботі обмежимося розглядом виключно інфінітезимальних деформацій
першого порядку вигляду
rt = r (x1, x2 ) + ty(x1, x2 ) (4)
і далі словами ,,першого порядку” будемо нехтувати.
Лема 1. Нехай регулярна поверхня S з векторно-параметричним рівнянням
r = r (x1, x2 ) зазнає інфінітезимальної деформації (4) і
Ti1i2…ip
j1 j2… jq та
Ui1i2…ir
j1 j2… js
— тензорні поля на S типу (p, q) та (r, s) відповідно. Тоді мають місце
формули
!
"Ti1i2…ip
j1 j2… jq
"xk
#
$
%
%
&
'
(
(
=
" !Ti1i2…ip
j1 j2… jq( )
"xk
, (5)
! Ti1i2…ip
j1 j2… jqUi1i2…ir
j1 j2… js( ) = !Ti1i2…ip
j1 j2… jq( )Ui1i2…ir
j1 j2… js + Ti1i2…ip
j1 j2… jq !Ui1i2…ir
j1 j2… js( ) . (6)
Доведення. Формули (5) та (6) випливають з означення 2 та формули (3) при
k = 1 .
Також з формули (3) видно, що операція варіювання тензора не змінює його
типу.
ПРО ВІДНОВЛЕННЯ ВАРІАЦІЇ МЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ПОВЕРХНІ … 525
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
Означення 3. Коваріантною похідною тензорного поля
Ti1i2…ip
j1 j2… jq типу
(p, q) , заданого на регулярній поверхні S , називається тензорне поле
Ti1i2…ip ,l
j1 j2… jq типу (p + 1, q) , яке визначається за формулою
Ti1i2…ip ,l
j1 j2… jq =
!Ti1i2…ip
j1 j2… jq
!xl
+ Ti1i2…ip
"j2… jq#"l
j1 + Ti1i2…ip
j1"… jq#"l
j2 + ...+ Ti1i2…ip
j1 j2…"#"l
jq –
–
T!i2…ip
j1 j2… jq" i1l
! # Ti1!…ip
j1 j2… jq" i2l
! #…# Ti1i2…!
j1 j2… jq" ipl
! , (7)
де ! ijh — символи Крістоффеля другого роду, які визначаються на базі першого
фундаментального тензора поверхні за формулою
! ijh = 1
2
"gik
"x j
+
"g jk
"xi
#
"gij
"xk
$
%&
'
()
gkh . (8)
Лема 2. Нехай поверхня S зазнає інфінітезимальної деформації (4) і
Ti1i2 ... ip
j1 j2 ... jq — тензорне поле типу (p, q) , задане на поверхні. Тоді варіація кова-
ріантної похідної
! Ti1i2…ip ,l
j1 j2… jq( ) цього поля задовольняє співвідношення
! Ti1i2 ... ip ,l
j1 j2 ... jq( ) = !Ti1i2 ... ip
j1 j2 ... jq( )
,l
+ Ti1i2 ... ip
"j2 ... jq!#"l
j1 + Ti1i2 ... ip
j1"... jq!#"l
j2 + ...+ Ti1i2 ... ip
j1 j2 ..."!#"l
jq $
–
T!i2…ip
j1 j2… jq"# i1l
! $ Ti1!…ip
j1 j2… jq"# i2l
! $…$ Ti1i2…!
j1 j2… jq"# ipl
! , (9)
де !" ijh — варіація символів Крістоффеля другого роду.
Доведення. Коваріантна похідна тензорного поля
Ti1i2…ip
j1 j2… jq типу (p, q) згідно
з означенням 3 визначається за формулою (7).
Якщо поверхня S зазнає інфінітезимальної деформації (4), то кожне тензорне
поле на поверхні зазнає варіації.
Зваріюємо (7), використавши формули (5) та (6):
! Ti1i2…ip ,l
j1 j2… jq( ) =
"!Ti1i2…ip
j1 j2… jq
"xl
+ !Ti1i2…ip
#j2… jq$#l
j1 + Ti1i2…ip
#j2… jq!$#l
j1 + !Ti1i2…ip
j1#… jq$#l
j2 +
+
Ti1i2…ip
j1!… jq"#!l
j2 +…+ "Ti1i2…ip
j1 j2…!#!l
jq + Ti1i2…ip
j1 j2…!"#!l
jq $ "T!i2…ip
j1 j2… jq# i1l
! –
–
T!i2…ip
j1 j2… jq"# i1l
! $ "Ti1!…ip
j1 j2… jq# i2l
! $ Ti1!…ip
j1 j2… jq"# i2l
! $…$ "Ti1i2…!
j1 j2… jq# ipl
! –
–
Ti1i2…!
j1 j2… jq"# ipl
! . (10)
Збираючи у правій частині (10) доданки, що містять вираз
!Ti1i2…ip
j1 j2… jq , згідно з
526 І. В. ПОТАПЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
означенням 3 коваріантної похідної отримуємо (9).
Лему 2 доведено.
Лема 3. Коваріантна похідна варіації метричного тензора регулярної по-
верхні S при інфінітезимальній деформації (4) визначається за формулою
!gij,k = gmj!" ikm + gmi!" jk
m . (11)
Доведення. Для метричного тензора поверхні має місце рівність
gij,k = 0 . (12)
Застосувавши до (12) формулу (9), отримаємо (11).
Лему 3 доведено.
Лема 4. Варіація символів Крістоффеля другого роду при інфінітезимальній
деформації (4) регулярної поверхні S визначається за формулою
!" ijh = 1
2
g#h (!gi#, j + !g j#,i $ !gij,# )
(13)
і є тензором типу (2, 1).
Доведення. Застосувавши до кожного доданка в дужках у правій частині (13)
формулу (11) та згорнувши вираз з метричним тензором g!h , помноженим на
1
2
, отримаємо (13).
Лему 4 доведено.
Лема 5. Варіація тензора кривини Рімана типу (3, 1) при інфінітезимальній
деформації (4) регулярної поверхні S визначається за формулою
!R.ijkh = (!" ikh ), j # (!" ijh ),k . (14)
Доведення. Тензор кривини Рімана типу (3, 1) визначається через символи
Крістоффеля другого роду за формулою
R.ijkh = !" ikh
!x j
+ " ik#"#j
h $
!" ijh
!xk
$ " ij#"#k
h . (15)
Зваріювавши (15) з використанням формул (5) та (6), а також означення 3 ко-
варіантної похідної, отримаємо (14).
Лему 5 доведено.
Отже, проблема відновлення варіації метричного тензора за заданою варіацією
символів Крістоффеля другого роду на поверхнях в евклідовому просторі E3
зводиться до вивчення умов інтегровності системи (11).
Теорема 1. Якщо тензорні поля !gij1 , !gij2 — два довільні розв’язки системи
(11) на поверхні ненульової гауссової кривини, то вони відрізняються на величину
Cgij , де C — стала, а gij — метричний тензор поверхні.
Доведення. Нехай тензорні поля !gij1 , !gij2 є розв’язками системи (11), тоді
мають місце рівності
ПРО ВІДНОВЛЕННЯ ВАРІАЦІЇ МЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ПОВЕРХНІ … 527
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
!g
ij ,k
1 = gmj!" ikm + gmi!" jk
m (16)
та
!g
ij ,k
2 = gmj!" ikm + gmi!" jk
m . (17)
Віднімаючи від (16) рівність (17), одержуємо
(!gij1 " !gij2 ),k = 0 . (18)
Але згідно з [6, с. 361 – 362], якщо на поверхні ненульової гауссової кривини
коваріантна похідна симетричного коваріантного тензора другої валентності то-
тожно дорівнює нулю, то цей тензор відрізняється лише сталим множником від
метричного тензора поверхні. Отже, !gij1 " !gij2 = Cgij .
Теорему 1 доведено.
З геометричної точки зору теорема 1 показує, що варіація символів Крістоф-
феля другого роду визначає варіацію метричного тензора з точністю до гомотетії.
Теорема 2. При будь-якій інфінітезимальній деформації (4) регулярної по-
верхні S мають місце співвідношення
!R"kl" = 0 , (19)
де !Rijkh — варіація тензора кривини Рімана, виражена формулою (14).
Доведення. Якщо поверхня S зазнає інфінітезимальної деформації (4), то
система (11) має розв’язок, а це означає, що для неї виконуються умови ін-
тегровності
!gmjRiklm + !gimRjklm = gim!Rjklm + gmj!Riklm . (20)
Використавши формулу
Riklm = K(!kmgil " !lmgik ) , (21)
перепишемо (20) у вигляді
K(!gkjgil " !gljgik + !gikg jl " !gilg jk ) = gim!Rjklm + gmj!Riklm . (22)
Помноживши (22) на gij , одержимо (19).
Теорему 2 доведено.
Слід зазначити, що умови (19) є і достатніми для того, щоб система (11) мала
розв’язки на регулярній поверхні, тобто була інтегровною.
Теорема 3. При інфінітезимальній деформації (4) регулярної поверхні S за
виконання умов (19) система (11) завжди має розв’язок.
Доведення. Зваріювавши формулу [4, с. 349]
Rijkh = !khRij " ! jhRik , (23)
отримаємо
528 І. В. ПОТАПЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
!Rijkh = !kh!Rij " ! jh!Rik . (24)
Виконавши згортку за індексами h та k , матимемо
!Rij = !Rij"" . (25)
Для визначення варіації метричного тензора на поверхні ненульової гауссової
кривини скористаємось формулою
Rij = ! Kgij . (26)
Зваріювавши (26), для поверхонь ненульової гауссової повної кривини K з ура-
хуванням (6) матимемо
!gij =
("!Kgij " !Rij## )
K
. (27)
Покажемо, що тензорне поле !" ijh повністю визначає варіацію гауссової кривини
!K за умови, що виконуються умови (19).
Для цього використаємо формулу [4, с. 69]
!K = " 2Kg!g " 1
2
c jkcil!gij ,kl , (28)
де cij — дискримінантний тензор поверхні [4, с. 7], або, з урахуванням (11),
!K = " 2Kg!g " 1
2
c jkcil (gmj!# ik,lm + gmi!# jk,l
m ) . (29)
Покажемо, що умови (19) забезпечують існування варіації дискримінанта метрич-
ного тензора !g . Для цього використаємо формулу Фосса – Вейля [6, с. 350]
!g
!xl
= 2g"#l
# . (30)
Зваріювавши (30) з використанням леми 1, матимемо
!"g
!xl
= 2"g#$l
$ + 2g"#$l
$ . (31)
Умови інтегровності (31) мають вигляд
!2"g
!xl!xk
= !2"g
!xk!xl
. (32)
Диференціюючи (31) по xk , отримуємо
!2"g
!xl!xk
= 2 !"g
!xk
#$l
$ + 2"g !#$l
$
!xk
+ 2 !g
!xk
"#$l
$ + 2g !"#$l
$
!xk
. (33)
Підставляючи в (33) вирази для !g
!xk
та !"g
!xk
за формулами (30), (31) відповідно,
ПРО ВІДНОВЛЕННЯ ВАРІАЦІЇ МЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ПОВЕРХНІ … 529
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
маємо
!2"g
!xl!xk
= 4("g#$k
$ + g"#$k
$ )#$l
$ + 2"g !#$l
$
!xk
+ 4g#$k
$ "#$l
$ + 2g !"#$l
$
!xk
. (34)
Отже,
!2"g
!xl!xk
# !2"g
!xk!xl
= 2"g !$%l
%
!xk
# !$%k
%
!xl
&
'(
)
*+
+ 2g !"$%l
%
!xk
# !"$%k
%
!xl
&
'(
)
*+
. (35)
Оскільки !"#l
#
!xk
$ !"#k
#
!xl
= R#kl#
та !"#$l
$
!xk
% !"#$k
$
!xl
= "R$kl$ , то за формулою (9) та
умовою (19) переконуємося, що виконано умови (32). Таким чином, система (31) є
абсолютно інтегровною відносно !g , що дозволяє за формулою (29) визначити
варіацію гауссової кривини !K , а за формулою (27) — варіацію !gij .
У випадку K = 0 , як видно з (22),
gim!Rjklm + gmj!Riklm = 0 . (36)
Помноживши (36) на gij , отримаємо співвідношення (19), яке виконується за
умовою теореми.
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Якщо при інфінітезимальній деформації поверхні ненульової гаус-
сової кривини в евклідовому просторі E3 варіація тензора Річчі дорівнює нулю,
то така деформація є конформною.
Доведення. З формули (27) внаслідок умови !Rij = 0 випливає
!gij = "!K
K
gij ,
тобто варіація метричного тензора пропорційна самому метричному тензору. От-
же, інфінітезимальна деформація є конформною.
Теорему 4 доведено.
Зазначимо, що виконання умови (19) для тензорного поля !" ijh відносно мет-
рики gij не гарантує існування інфінітезимальної деформації (4).
В [7, 8] відмічено тісний зв’язок між геодезичними відображеннями та геодези-
чними інфінітезимальними деформаціями поверхонь в E3 які характеризуються
умовою
!" ijh = #i! jh + # j!ih .
Для геодезичних інфінітезимальних деформацій регулярних поверхонь умова (19)
означає градієнтність векторного поля !i , тобто (19) набирає вигляду
!i, j " ! j,i = 0 .
Таким чином, використовуючи отриманий у роботі результат, можна вивчати
530 І. В. ПОТАПЕНКО
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
різні типи інфінітезимальних деформацій з різного роду алгебраїчними та дифе-
ренціальними обмеженнями на варіацію символів Крістоффеля другого роду.
1. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть вторая. – М.; Л.: ОГИЗ,
1948. – 408 с.
2. Петров П. И. Основная проблема неримановой геометрии в бинарной области // Докл. АН СССР.
– 1961. – 140, № 4. – С. 768 – 769.
3. Eisenhart L. P., Veblen O. Proc. Nat. Acad. USA. – 1922. – 8, № 2.
4. Безкоровайна Л. Л. Ареальні нескінченно малі деформації і врівноважені стани пружної оболон-
ки. – Одеса: АстроПринт, 1999. – 168 с.
5. Ефимов Н. В. Качественные вопросы теории деформаций поверхностей // Успехи мат. наук. –
1948. – 3, вып. 2 (24). – С. 47 – 158.
6. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть первая. – М.; Л.:ОГИЗ,
1947. – 512 с.
7. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. – М.: Наука, 1979. – 256 с.
8. Фоменко В. Т. Об однозначной определенности замкнутых поверхностей относительно геодези-
ческих отображений // Докл. Академии наук. – 2006. – 407, № 4. – С. 453 – 456.
Одержано 25.08.10,
після доопрацювання — 24.01.11
|