К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций
Одержано необхiднi та достатнi умови фредгольмовостi, а також формулу обчислення iндексу однiєї площинної задачi iз зсувом та спряженiстю для пари функцiй.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166032 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций / З.М. Лысенко, Л.В. Матвиюк, А.П. Нечаев, В.Т. Швец // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 566–571. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166032 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660322020-02-19T01:25:26Z К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций Лысенко, З.М. Матвиюк, Л.В. Нечаев, А.П. Швец, В.Т. Короткі повідомлення Одержано необхiднi та достатнi умови фредгольмовостi, а також формулу обчислення iндексу однiєї площинної задачi iз зсувом та спряженiстю для пари функцiй. We obtain necessary and sufficient conditions of the Fredholm properties and the formula for the calculation of index of a planar problem with shift and conjugation for a pair of functions. 2011 Article К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций / З.М. Лысенко, Л.В. Матвиюк, А.П. Нечаев, В.Т. Швец // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 566–571. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166032 517.544; 517.968 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Лысенко, З.М. Матвиюк, Л.В. Нечаев, А.П. Швец, В.Т. К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций Український математичний журнал |
| description |
Одержано необхiднi та достатнi умови фредгольмовостi, а також формулу обчислення iндексу однiєї площинної задачi iз зсувом та спряженiстю для пари функцiй. |
| format |
Article |
| author |
Лысенко, З.М. Матвиюк, Л.В. Нечаев, А.П. Швец, В.Т. |
| author_facet |
Лысенко, З.М. Матвиюк, Л.В. Нечаев, А.П. Швец, В.Т. |
| author_sort |
Лысенко, З.М. |
| title |
К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций |
| title_short |
К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций |
| title_full |
К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций |
| title_fullStr |
К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций |
| title_full_unstemmed |
К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций |
| title_sort |
к теории фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166032 |
| citation_txt |
К теории Фредгольма одной плоскостной задачи со сдвигом для пары функций / З.М. Лысенко, Л.В. Матвиюк, А.П. Нечаев, В.Т. Швец // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 4. — С. 566–571. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT lysenkozm kteoriifredgolʹmaodnojploskostnojzadačisosdvigomdlâparyfunkcij AT matviûklv kteoriifredgolʹmaodnojploskostnojzadačisosdvigomdlâparyfunkcij AT nečaevap kteoriifredgolʹmaodnojploskostnojzadačisosdvigomdlâparyfunkcij AT švecvt kteoriifredgolʹmaodnojploskostnojzadačisosdvigomdlâparyfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-14T20:31:08Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:31:08Z |
| _version_ |
1837655727230943232 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.544; 517.968
З. М. Лысенко, Л. В. Матвиюк (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова),
А. П. Нечаев, В. Т. Швец (Одес. гос. академия холода)
К ТЕОРИИ ФРЕДГОЛЬМА ОДНОЙ ПЛОСКОСТНОЙ ЗАДАЧИ
СО СДВИГОМ ДЛЯ ПАРЫ ФУНКЦИЙ
We obtain necessary and sufficient conditions of the Fredholm properties and the formula for the calculation
of index of a planar problem with shift and conjugation for a pair of functions.
Одержано необхiднi та достатнi умови фредгольмовостi, а також формулу обчислення iндексу однiєї
площинної задачi iз зсувом та спряженiстю для пари функцiй.
1. Постановка задачи. Пусть Π = {z ∈ C : Im z > 0} — верхняя полуплос-
кость комплексной плоскости C с обычной мерой Лебега dA(w) = dx dy, R =
= (−∞; +∞), Π̄ = Π ∪ R, ˙̄Π = Π̄ ∪ {∞}; L(X,Y ) — пространство линейных
ограниченных операторов, действующих из банахова пространства X в банахо-
во пространство Y, L(X) = L(X,X); S ⊕ T — прямая сумма либо пространств,
либо операторов S и T ; X ⊗ Y — декартово произведение пространств X и Y ;
Cf = f̄ , If = f ; запись A ' B означает, что операторы A и B отличаются на
вполне непрерывный оператор; A2(Π) — бергманово пространство в области Π
всех аналитических в L2(Π) функций, Ã2(Π) = {Cf, f ∈ A2(Π)} — антибергмано-
во пространство в области Π всех антианалитических в L2(Π) функций. Известно
[1, 2], что гильбертовы пространства A2(Π) и Ã2(Π) являются замкнутыми под-
пространствами в L2(Π). Пусть Z2(Π) и Z̃2(Π) — ортогональные дополнения в
L2(Π) к пространствам A2(Π) и Ã2(Π) соответственно. Тогда существуют ортого-
нальные проекторы BΠ : L2(Π) → A2(Π) (бергмановский) и B̃Π : L2(Π) → Ã2(Π)
(антибергмановский). Проекторы BΠ и B̃Π являются [1, с. 37] (см. также [2], фор-
мулы (2.7), (2.10)) двумерными интегральными операторами следующего вида:
(BΠf)(z) = − 1
π
∫
Π
f(w)
(z − w̄)2
dA(w),
(B̃Πf)(z) = − 1
π
∫
Π
f(w)
(z̄ − w)2
dA(w),
f ∈ L2(Π), z ∈ Π.
Легко проверить (см. [1, с. 224, 225]), что
B̃Π = CBΠC, (1)
BΠB̃Π = B̃ΠBΠ = 0. (2)
Введем оператор сдвига
(Wαf)(z) = f [α(z)],
где отображение (сдвиг) α : Π→ Π удовлетворяет условию
WαBΠW
−1
α = B̃Π. (3)
c© З. М. ЛЫСЕНКО, Л. В. МАТВИЮК, А. П. НЕЧАЕВ, В. Т. ШВЕЦ, 2011
566 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
К ТЕОРИИ ФРЕДГОЛЬМА ОДНОЙ ПЛОСКОСТНОЙ ЗАДАЧИ СО СДВИГОМ . . . 567
Например, в качестве α можно взять [1] (формула (10.9)) отображение α(z) = −z̄.
Рассмотрим следующую плоскостную задачу со сдвигом и сопряжением о на-
хождении пары функций ψ ∈ A2(Π) и ϕ ∈ Ã2(Π), удовлетворяющих условию
a(t)ψ[α(t)] + b(t)ψ[α(t)] + e(t)ϕ(t) + d(t)ϕ(t) = h(t), t ∈ Π, (4)
где правая часть h — известная гармоническая функция из A2(Π) ⊕ Ã2(Π), коэф-
фициенты a(t), b(t), e(t) и d(t) — известные функции из C( ˙̄Π).
Напомним [3], что линейный ограниченный оператор U называется фредголь-
мовым, если его образ замкнут, а дефектные числа α = dim KerU и β = dim coKerU
конечны, при этом целое число indU = α − β называется индексом оператора U.
Под фредгольмовостью и индексом плоскостной задачи Uf = h будем понимать со-
ответственно фредгольмовость и индекс оператора U. В данной работе с помощью
операторного подхода найдены необходимые и достаточные условия фредгольмо-
вости, а также формула для нахождения индекса задачи (4). Что касается опера-
торного подхода, то он является аналогом операторного подхода, разработанного
С. Ф. Скороходом [4] и Н. И. Лисовец [5] для краевых задач. Суть операторного
подхода для краевых задач можно найти также в обзорной статье Г. С. Литвинчу-
ка [6].
Отметим, что плоскостные задачи без сдвига в пространстве Бергмана рассмат-
ривались А. Д. Джураевым [7, 8], И. И. Комяком [9, 10]. Задачи такого типа играют
важную роль в теории обобщенных аналитических функций [11], теории конформ-
ных отображений и римановых поверхностей [12, 13], теории квазиконформных
отображений [14]. Что касается алгебр операторов с бергмановскими проекторами,
то исследования и обзор по этой тематике можно найти в монографии Н. Л. Ва-
силевского [2]. В [15] найден критерий фредгольмовости операторной алгебры,
порожденной бергмановскими проекторами и оператором карлемановского сдвига.
Введем оператор
T0 =
[
(a+ bC)W, e+ dC
]
: A2(Π)⊗ Ã2(Π)→ A2(Π)⊕ Ã2(Π),
где W = Wα. Тогда задача (4) запишется в операторной форме:
T0(ψ(t), ϕ(t)) = h(t). (5)
Таким образом, теория Фредгольма задачи (4) — это теория Фредгольма оператора
T0 ∈ L
(
A2(Π)⊗ Ã2(Π), A2(Π)⊕ Ã2(Π)
)
.
2. Теория Фредгольма оператора ΠW . Введем линейный ограниченный опе-
ратор
ΠW =
[
BΠW
−1
B̃ΠC
]
: A2(Π)⊕ Ã2(Π)→ A2(Π)⊗ Ã2(Π).
Лемма 1. Оператор ΠW ∈ L(A2(Π)⊕ Ã2(Π), A2(Π)⊗ Ã2(Π)) фредгольмов.
Доказательство. Регуляризатором оператора ΠW является оператор
Π
(−1)
W =
(
WBΠ,CB̃Π
)
∈ L
(
A2(Π)⊗ Ã2(Π), A2(Π)⊕ Ã2(Π)
)
.
Действительно, на основании (1) – (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
568 З. М. ЛЫСЕНКО, Л. В. МАТВИЮК, А. П. НЕЧАЕВ, В. Т. ШВЕЦ
Π(−1)ΠW = WBΠW
−1 + CB̃ΠC = B̃Π +BΠ,
ΠWΠ(−1) =
[
BΠ BΠW
−1CB̃Π
B̃ΠCWBΠ B̃Π
]
= diag{BΠ, B̃Π}.
Остается отметить, что B̃Π + BΠ — единичный оператор в пространстве A2(Π) ⊕
⊕ Ã2(Π), diag{BΠ, B̃Π} — единичный оператор в пространстве A2(Π)⊗ Ã2(Π).
Лемма 2. Оператор ΠW фредгольмов тогда и только тогда, когда фред-
гольмовы одновременно операторы
BΠW
−1B̃Π ∈ L(Ã2(Π), A2(Π))
и
B̃ΠC(I − B̃Π) ∈ L(Z̃2(Π), Ã2(Π)).
В случае фредгольмовости
ind ΠW = indBΠW
−1B̃Π + ind B̃ΠC(I ⊕ B̃Π).
Доказательство. Используя (1) – (3), получаем
ΠW (B̃Π, BΠ) =
[
BΠW
−1B̃Π BΠW
−1BΠ
B̃ΠCB̃Π B̃ΠCBΠ
]
= BΠW
−1B̃Π ⊕ B̃ΠCBΠ,
откуда и следует утверждение леммы.
Лемма 3. Оператор BΠW
−1B̃Π ∈ L(Ã2(Π), A2(Π)) фредгольмов тогда и
только тогда, когда фредгольмов оператор
(I −BΠ)W−1(I − B̃Π) ∈ L(Z̃2(Π), Z2(Π)).
В случае фредгольмовости
indBΠW
−1B̃Π = − ind(I −BΠ)W−1(I − B̃Π).
Доказательство. ОператорW−1 : L2(Π)→ L2(Π) обратим. ПредставивL2(Π) =
= A2(Π)⊕ Z2(Π) и L2(Π) = Ã2(Π)⊕ Z̃2(Π), получим
K−1 =
[
BΠ
I −BΠ
]
W−1(B̃Π, I − B̃Π) =
=
[
BΠW
−1B̃Π BΠW
−1(I −BΠ)
(I −BΠ)W−1B̃Π (I −BΠ)W−1(I − B̃Π)
]
=
= BΠW
−1B̃Π ⊕ (I −BΠ)W−1(I − B̃Π).
Отсюда
0 = indBΠW
−1B̃Π + ind(I −BΠ)W−1(I − B̃Π). (6)
Лемма доказана.
Лемма 4. ind ΠW = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
К ТЕОРИИ ФРЕДГОЛЬМА ОДНОЙ ПЛОСКОСТНОЙ ЗАДАЧИ СО СДВИГОМ . . . 569
Доказательство. Поскольку
(I −BΠ)CBΠ ·BΠW
−1B̃Π = (I −BΠ)CW−1B̃Π
и
(I −BΠ)W−1(I − B̃Π) · (I − B̃Π)CB̃Π = (I −BΠ)W−1CB̃Π,
то
(I −BΠ)CBΠ ·BΠW
−1B̃Π = (I −BΠ)W−1(I − B̃Π) · (I − B̃Π)CB̃Π.
Отсюда, а также из лемм 1 – 3 получаем
indBΠW
−1B̃Π =
1
2
{
− ind(I −BΠ)CBΠ + ind(I − B̃Π)CB̃Π
}
.
Но поскольку оператор (I − BΠ)CBΠ ∈ L(A2(Π), Z2(Π)) является регуляриза-
тором оператора BΠC(I − BΠ) ∈ L(Z2(Π), A2(Π)), а оператор (I − B̃Π)CB̃Π ∈
∈ L(Ã2(Π), Z̃2(Π)) — регуляризатором оператора B̃ΠC(I−B̃Π) ∈ L(Z̃2(Π), Ã2(Π))
и при этом
indBΠC(I −BΠ) = − ind(I −BΠ)CBΠ,
ind B̃ΠC(I − B̃Π) = − ind(I − B̃Π)CB̃Π,
на основании леммы 2 имеем
ind ΠW =
1
2
{
indBΠC(I −BΠ)− ind B̃ΠC(I − B̃Π)}+ ind B̃ΠC(I − B̃Π) =
=
1
2
{indBΠC(I −BΠ) + ind B̃ΠC(I − B̃Π)
}
.
НоBΠC(I−BΠ) = BΠ·BΠC(I−BΠ) = BΠCB̃Π(I−BΠ) = BΠCB̃Π и, аналогично,
B̃ΠC(I − B̃Π) = B̃ΠCBΠ. Следовательно,
ind ΠW =
1
2
{indBΠCB̃Π + ind B̃ΠCBΠ}.
А так как оператор BΠCB̃Π ∈ L
(
Ã2(Π), A2(Π)
)
является регуляризатором опера-
тора B̃ΠCBΠ ∈ L
(
A2(Π), Ã2(Π)
)
, то получаем ind ΠW = 0.
3. Теория Фредгольма оператора T0. Введем вспомогательные операторы:
U = dBΠ + aB̃Π, V = bBΠ + eB̃Π, T̃0 = U + V C.
С учетом равенств (1) – (3) непосредственно находим
T0ΠW = (a+ bC)WBΠW
−1 + (e+ dC)B̃ΠC = U + V C.
Отсюда, а также из леммы 4 вытекает следующая лемма.
Лемма 5. Операторы T0 ∈ L(A2(Π) ⊗ Ã2(Π), A2(Π) ⊕ Ã2(Π)) и T̃0 ∈
∈ L(A2(Π)⊕ Ã2(Π)) могут быть фредгольмовыми лишь одновременно, и в случае
фредгольмовости
indT0 = ind T̃0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
570 З. М. ЛЫСЕНКО, Л. В. МАТВИЮК, А. П. НЕЧАЕВ, В. Т. ШВЕЦ
Введем матричный оператор
T1 =
[
U V
V1 U1
]
,
где
U1 = āBΠ + d̄B̃Π, V1 = ēBΠ + b̄B̃Π.
Теорема 1. Оператор T̃0 ∈ L(A2(Π)⊕ Ã2(Π)) фредгольмов тогда и только
тогда, когда фредгольмов оператор T1 ∈ L
(
(A2(Π)⊕ Ã2(Π))⊗ (A2(Π)⊕ Ã2(Π))
)
.
В случае фредгольмовости
ind T̃0 =
1
2
indT1.
Доказательство. Исключим инволюцию C в операторе T̃0. Для этого заметим,
что T̃0iI = i(U−V C). Следовательно, операторы U+V C и U−V C фредгольмовы
одновременно и имеют равные индексы. Отсюда, а также из матричного равенства
[3, c. 398](
I C
I −C
)(
U V
CV C CUC
)(
I I
C −C
)
= 2
(
U + V C 0
0 U − V C
)
следует, что фредгольмовость среднего множителя в левой части эквивалентна
фредгольмовости T̃0 и при этом
ind T̃0 =
1
2
ind
(
U V
CV C CUC
)
.
Остается отметить, что из (1), (2) следуют равенства V1 = CV C, U1 = CUC.
Теорема доказана.
Из теоремы 1, а также леммы 5 следует такая теорема.
Теорема 2. Оператор T0 ∈ L(A2(Π)⊗ Ã2(Π)) фредгольмов тогда и только
тогда, когда фредгольмов оператор T1 ∈ L
(
(A2(Π)⊕ Ã2(Π))⊕ (A2(Π)⊕ Ã2(Π))
)
.
В случае фредгольмовости
indT0 =
1
2
indT1.
Согласно [1, c. 225], операторы aBΠ −BΠaI и aB̃Π − B̃ΠaI, a ∈ C( ˙̄Π), вполне
непрерывны в L2(Π). Следовательно, операторы из алгебры, порожденной проек-
торами BΠ, B̃Π и операторами умножения на функции из C( ˙̄Π), являются опера-
торами локального типа. Тогда из теоремы 2.1 в [10] следует, что операторы T1 и
detT1 = UU1 − V V1 могут быть фредгольмовыми лишь одновременно. Поскольку
detT1 ' uBΠ + ūB̃Π, где u = ād− bē, то из теоремы 2 следует такая теорема.
Теорема 3. Оператор T0 фредгольмов тогда и только тогда, когда фред-
гольмов оператор ∆ = uBΠ + ūB̃Π ∈ L(A2(Π)⊕ Ã2(Π)).
Теорема 4. Пусть оператор U ∈ L(A2(Π) ⊕ Ã2(Π)) фредгольмов. В этом
случае оператор T0 фредгольмов тогда и только тогда, когда фредгольмов опе-
ратор ∆, и если T0 фредгольмов, то
indT0 =
1
2
ind ∆.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
К ТЕОРИИ ФРЕДГОЛЬМА ОДНОЙ ПЛОСКОСТНОЙ ЗАДАЧИ СО СДВИГОМ . . . 571
Доказательство непосредственно следует из теорем 2, 3, а также следствия
3.1 в [16].
Отметим, что операторы ∆ и U принадлежат алгебре операторов, изученной
в работе [1]. В частности, условия фредгольмовости указанных операторов найдены
в терминах символа. Это дает возможность для задачи (4) получить явные условия
фредгольмовости и формулу вычисления индекса в терминах символа.
Авторы выражают благодарность Н. Л. Василевскому и Ю. И. Карловичу за
внимание к работе и ценные советы.
1. Karlovich Yu. I., Pessoa L. Algebras generated by Bergman and Antybergman projections and
multiplications by piecewise continuous functions // Integr. Equat. Oper. Theory. – 2005. – 52. – P. 219 –
270.
2. Vasilevski N. L. Commutative algebras of Toeplitz operators on the Bergman space // Operator Theory:
Adv. and Appl. – 2008. – 29, № 185. – 417 p.
3. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. – М.: Наука,
1977. – 448 с.
4. Скороход С. Ф. Теория Нетера многоэлементных краевых задач со сдвигом для функций, анали-
тических в области: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Одесса, 1984. – 132 с.
5. Лисовец Н. И. Исследование некоторых смешанных краевых задач теории аналитических функций:
Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Одесса, 1984. – 149 с.
6. Литвинчук Г. С. Об операторном подходе к теории краевых задач со сдвигом для функций,
аналитических в области // Научные труды юбилейного семинара, посвященного 75-летию со дня
рождения академика АН БССР Ф. Д. Гахова. – Минск: Изд-во „Университетское”, 1985. – С. 69 – 76.
7. Джураев А. Д. К теории систем сингулярных интегральных уравнений на ограниченной области
// Докл. АН СССР. – 1979. – 249, № 1. – С. 22 – 25.
8. Джураев А. Д. Теория некоторых систем сингулярных интегральных уравнений по двумерным
ограниченным областям // Там же. – 1984. – 279, № 3. – С. 528 – 532.
9. Комяк И. И. Класс двумерных сингулярных интегральных операторов в круговой области // Докл.
АН БССР. – 1979. – 23, № 11. – С. 972 – 975.
10. Комяк И. И. Класс двумерных сингулярных интегральных уравнений с ядром Бергмана // Там же.
– № 1. – С. 8 – 11.
11. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1988. – 510 с.
12. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. – М.: Мир, 1975.
13. Шиффер М., Спенсер Д. К. Функционалы на конечных римановых поверхностях. – М.: Мир, 1975.
14. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969.
15. Ortega J. R., Vasilevski N. L., de Arellano E. R. On the algebra generated by the Bergman projection
and shift operator I // Integr. Equat. Oper. Theory. – 2003. – 46. – P. 455 – 471.
16. Крупник Н. Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы. – Кишинев:
Штиинца, 1984. – 138 с.
Получено 15.12.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|