Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності
Рассмотрена смешанная задача для одного класса параболических уравнений с двойной нелинейностью и младшими членами, которые не вырождаются и показатели нелинейности которых являются функциями пространственных переменных, в обобщенных пространствах Лебега и Соболева. С помощью метода Галеркина получе...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166037 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності / Т.М. Бокало, О.М. Бугрій // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 612–628. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166037 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660372020-02-19T01:26:44Z Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності Бокало, Т.М. Бугрій, О.М. Статті Рассмотрена смешанная задача для одного класса параболических уравнений с двойной нелинейностью и младшими членами, которые не вырождаются и показатели нелинейности которых являются функциями пространственных переменных, в обобщенных пространствах Лебега и Соболева. С помощью метода Галеркина получены условия существования слабого решения. We investigate a mixed problem for a class of parabolic-type equations with double nonlinearity and minor terms that do not degenerate and whose indexes of nonlinearity are functions of spatial variables. These problems are considered in the generalized Lebesgue and Sobolev spaces. We obtain conditions for the existence of the generalized solution of this problem by using the Galerkin method. 2011 Article Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності / Т.М. Бокало, О.М. Бугрій // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 612–628. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166037 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бокало, Т.М. Бугрій, О.М. Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності Український математичний журнал |
| description |
Рассмотрена смешанная задача для одного класса параболических уравнений с двойной нелинейностью и младшими членами, которые не вырождаются и показатели нелинейности которых являются функциями пространственных переменных, в обобщенных пространствах Лебега и Соболева. С помощью метода Галеркина получены условия существования слабого решения. |
| format |
Article |
| author |
Бокало, Т.М. Бугрій, О.М. |
| author_facet |
Бокало, Т.М. Бугрій, О.М. |
| author_sort |
Бокало, Т.М. |
| title |
Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності |
| title_short |
Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності |
| title_full |
Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності |
| title_fullStr |
Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності |
| title_full_unstemmed |
Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності |
| title_sort |
подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166037 |
| citation_txt |
Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності / Т.М. Бокало, О.М. Бугрій // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 612–628. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bokalotm podvíjnonelíníjníparabolíčnírívnânnâzízmínnimipokaznikaminelíníjností AT bugríjom podvíjnonelíníjníparabolíčnírívnânnâzízmínnimipokaznikaminelíníjností |
| first_indexed |
2025-07-14T20:34:47Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:34:47Z |
| _version_ |
1837655956726480896 |
| fulltext |
УДК 517.9
Т. М. Бокало, О. М. Бугрiй (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ
ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ НЕЛIНIЙНОСТI
We investigate a mixed problem for a class of parabolic-type equations with double nonlinearity and minor
terms that do not degenerate and whose indexes of nonlinearity are functions of spatial variables. These
problems are considered in the generalized Lebesgue and Sobolev spaces. We obtain conditions for the
existence of the generalized solution of this problem by using the Galerkin method.
Рассмотрена смешанная задача для одного класса параболических уравнений с двойной нелинейностью
и младшими членами, которые не вырождаются и показатели нелинейности которых являются функци-
ями пространственных переменных, в обобщенных пространствах Лебега и Соболева. С помощью
метода Галеркина получены условия существования слабого решения.
Вступ. У цiй статтi дослiджено мiшану задачу для одного класу так званих подвiй-
но нелiнiйних параболiчних рiвнянь, якi мають вигляд
(Pu)t +Au = f,
де P — нелiнiйна функцiя, A — нелiнiйний диференцiальний оператор, f — деяка
функцiя. При певних обмеженнях на коефiцiєнти, вiльний член рiвняння та по-
казники нелiнiйностi операторiв P та A за допомогою методу Фаедо – Гальоркiна
доведено iснування розв’язку цiєї задачi.
Стаття складається зi вступу, трьох пунктiв та висновкiв. У першому пунктi на-
ведено основнi позначення, поняття, сформульовано дослiджувану задачу i основ-
ний результат. Другий пункт мiстить потрiбнi далi твердження з функцiонального
аналiзу. Третiй пункт присвячено доведенню основного результату.
1. Формулювання задачi та основного результату. Нехай T > 0 — деяке
число, Ω ⊂ Rn — обмежена область з кусково-гладкою межею ∂Ω, Qt1,t2 = Ω ×
× (t1, t2), 0 ≤ t1 < t2 ≤ T, Ωτ = {(x, t) : x ∈ Ω, t = τ}, τ ∈ [0, T ],
L∞+ (Ω) =
{
v ∈ L∞(Ω): ess inf
x∈Ω
v(x) > 1
}
.
Для кожної функцiї s ∈ L∞+ (Ω) через s0 та s0 позначатимемо числа s0 ≡ ess inf
x∈Ω
s(x)
та s0 ≡ ess sup
x∈Ω
s(x), а через s′ — таку функцiю, що
1
s(x)
+
1
s′(x)
= 1 для x ∈ Ω.
Нехай p > 1 — деяке число, r, q ∈ L∞+ (Ω), Lq(x)(Ω) — узагальнений простiр
Лебега (див. п. 2), V
df
= W 1,p
0 (Ω) ∩ Lq(x)(Ω) ∩ L2(Ω),
U(Q0,T )
df
=
u : (0, T )→ V
∣∣∣∣∣
∫
Q0,T
[ n∑
i=1
|uxi |p + |u|p + |u|2 + |u|q(x)
]
dxdt < +∞
,
U df
= U(Q0,T ) ∩ Lr(x)(Q0,T ).
Для спрощення позначатимемо
(z, v)Ω =
∫
Ω
z(x)v(x) dx, [u,w]Q =
∫
Q0,T
u(x, t)w(x, t) dxdt.
c© Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ, 2011
612 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ . . . 613
Вивчатимемо мiшану задачу
(Pu)t −
n∑
i=1
(
ai(x)|uxi |p−2uxi
)
xi
+ g(x)|u|q(x)−2u = f(x, t), (1)
u|∂Ω×[0,T ] = 0, (2)
u|t=0 = 0, (3)
де
Pu = Ru+ u, Ru =
1
r(x)− 1
|u|r(x)−2u,
а функцiї a1, . . . , an, g, f задовольняють умови:
A) ai ∈ L∞(Ω), i = 1, n, ai(x) ≥ a0 > 0 для майже всiх x ∈ Ω;
G) g ∈ L∞(Ω), g(x) ≥ g0 > 0 для майже всiх x ∈ Ω;
F) f, ft ∈ Lp
′
(Q0,T ).
Визначимо оператор A : V → V ∗ так:
〈Au, v〉V =
n∑
i=1
(ai|uxi |p−2uxi , vxi)Ω + (g|u|q(x)−2u, v)Ω, u, v ∈ V.
Можна вважати, що оператор A дiє також з U(Q0,T ) в [U(Q0,T )]∗ за правилом
〈Az, y〉Q ≡ 〈Az, y〉U(Q0,T ) =
T∫
0
〈Az(t), y(t)〉V dt, z, y ∈ U(Q0,T ).
Вiдомо, що A є обмеженим монотонним семiнеперервним оператором.
Означення. Функцiя u ∈ U ∩C([0, T ];L2(Ω)) називається узагальненим роз-
в’язком задачi (1) – (3), якщо (Pu)t ∈ L2(Q0,T ), u задовольняє умову (3) i для
кожного ω ∈ U виконується iнтегральна тотожнiсть
[(Pu)t, ω]Q + 〈Au, ω〉Q = [f, ω]Q. (4)
Теорема. Якщо виконуються умови A, G, F, r, q ∈ L∞+ (Ω), p > n та r0 ≥ 2,
то iснує узагальнений розв’язок u задачi (1) – (3). Крiм того, u ∈ L∞(0, T ;Lr(x)(Ω)∩
∩ V ), u ∈ L∞(Q0,T ), Ru ∈ L∞(Q0,T ), ut, (Ru)t ∈ L2(Q0,T ).
Питання про єдинiсть узагальненого розв’язку дослiджуваної задачi тут не вив-
чається.
Мiшанi задачi для подвiйно нелiнiйних параболiчних рiвнянь, модельним при-
кладом яких є рiвняння
(|u|r−2u)t − a(|ux|p−2ux)x + g|u|q−2u = f (5)
зi сталими r, p, q, вивчались у статтях [1 – 5] (див. також бiблiографiю в них).
У цих працях доведено iснування, єдинiсть та розглянуто деякi якiснi властиво-
стi розв’язкiв вказаних задач. З розвитком теорiї узагальнених просторiв Лебега i
Соболєва (див. [6 – 9]) нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння та варiацiйнi нерiвностi
почали вивчати в таких просторах. Так, мiшанi задачi для параболiчних рiвнянь та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
614 Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ
варiацiйних нерiвностей типу (5) з r = 2, p = p(x) > 1, q = q(x) розглянуто у
роботах [8, 10 – 12], а для r = 2, p = p(x, t) > 1, g = 0 — у [13].
Подвiйно нелiнiйним параболiчним рiвнянням з виродженням, якi у модельному
випадку мають вигляд(
|u|r−2u
)
t
− a
(
|u|γ−2u
)
xx
+ g|u|q(x)−2u = f, (6)
де r, γ ≥ 2 — сталi, q = q(x) > 1 — функцiя, присвячено статтю [14]. При додатко-
вих умовах у [14], зокрема, показано iснування розв’язку задачi типу (2), (3), (6).
2. Допомiжнi твердження. Введемо деякi допомiжнi позначення та нагадаємо
необхiднi у подальшому твердження. Норму банахового простору B позначимо
через ‖ · ;B‖, а спряжений до B простiр — через B∗. Скалярний добуток мiж B∗ та
B позначатимемо через 〈·, ·〉B. Для спрощення викладок замiсть, наприклад, u(·, t)
писатимемо u(t), а замiсть u(x, t) — u.
Узагальненi простори Лебега було введено в [6]. Нагадаємо їх означення та деякi
властивостi. Нехай q ∈ L∞+ (Ω). Визначимо функцiонал ρq(·,Ω) рiвнiстю ρq(v,Ω) =
=
∫
Ω
|v(x)|q(x)dx, де v — деяка функцiя. Узагальненим простором Лебега Lq(x)(Ω)
називатимемо множину таких вимiрних функцiй v : Ω → R1, для яких ρq(v,Ω) <
< +∞. Вiдомо, що функцiонал ρq є слабко напiвнеперервним знизу на Lq(x)(Ω)
(див. [6, c. 208]). Крiм того, Lq(x)(Ω) є рефлексивним банаховим простором з
нормою
‖v;Lq(x)(Ω)‖ = inf{λ > 0: ρq(v/λ,Ω) ≤ 1}.
Зазначимо, що якщо r(x) ≥ q(x), то Lr(x)(Ω) ↪→ Lq(x)(Ω). Спряженим до Lq(x)(Ω)
є простiр Lq
′(x)(Ω).
Зауваження 1. Нехай q ∈ L∞+ (Ω),
Sq(s) =
s
q0 , s ∈ [0, 1],
sq
0
, s > 1,
S1/q(s) =
s
1/q0 , s ∈ [0, 1],
s1/q0 , s > 1.
В лемi 1 [12, c. 168] стверджується, що для довiльної функцiї v : Ω → R викону-
ються нерiвностi:
1) ‖v;Lq(x)(Ω)‖ ≤ S1/q(ρq(v,Ω)) при ρq(v,Ω) < +∞;
2) ρq(v,Ω) ≤ Sq(‖v;Lq(x)(Ω)‖) при ‖v;Lq(x)(Ω)‖ < +∞.
Крiм того,
Sq(S1/q(s)) = S1/q(Sq(s)) =
s
q0/q
0
, s ∈ [0, 1],
sq
0/q0 , s > 1.
Аналогiчно до Lq(x)(Ω) визначимо простiр Lq(x)(Q0,T ), ввiвши замiсть ρq(·,Ω)
функцiонал ρq(·, Q0,T ).
Далi нам будуть потрiбнi деякi допомiжнi твердження.
Твердження 1 (формула iнтегрування частинами, теорема 1 [9, c. 23]). При-
пустимо, що r ∈ L∞+ (Ω), r0 ≥ 2, w ∈ Lr(x)(Q0,T ) та
∂
∂t
(|w|r−2w) ∈ Lr′(x)(Q0,T ).
Тодi для будь-яких s, τ ∈ [0, T ], s < τ, правильною є формула iнтегрування части-
нами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ . . . 615
τ∫
s
dt
∫
Ω
w
∂
∂t
( 1
r(x)− 1
|w|r(x)−2w
)
dx =
=
∫
Ω
1
r(x)
|w(τ)|r(x)dx−
∫
Ω
1
r(x)
|w(s)|r(x)dx. (7)
Твердження 2 (похiдна композицiї функцiй). Нехай r ∈ L∞+ (Ω).
1 (Лема 4 [9, c. 19]). Якщо r0 ≥ 3, то взята в сенсi розподiлiв на Q0,T формула
(Ru)t = |u|r(x)−2ut (8)
виконується для всiх u ∈ V1, де V1 =
{
v ∈ L∞(0, T ;L2(r(x)−2)(Ω)) : vt ∈ L∞(0, T ;
L2(Ω))
}
.
2 ([15, c. 67]). Якщо r(x) ≡ const, 2 ≤ r ≤ 3, то формула (8) виконується для
всiх u ∈ V2, де V2 =
{
v ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) : vt ∈ L∞(0, T ;L2(Ω))
}
.
3. Якщо r0 ≥ 2, u ∈ C1(Q0,T ), то майже для всiх x ∈ Ω та для всiх t ∈ (0, T )
формула (8) виконується поточково, як формула похiдної композицiї диференцi-
йовних функцiй однiєї змiнної t.
Твердження 3 (узагальнена нерiвнiсть Гельдера [7]). Нехай p ∈ L∞+ (Ω). Якщо
u ∈ Lp(x)(Ω), v ∈ Lp′(x)(Ω), то uv ∈ L1(Ω) i
(u, v)Ω ≤ K1‖u;Lp(x)(Ω)‖‖v;Lp
′(x)(Ω)‖,
де K1 — стала, що не залежить вiд u та v.
Твердження 4 (узагальнена нерiвнiсть Гельдера для трьох функцiй, лема 1 [9,
c. 14]). Нехай p, q ∈ L∞+ (Ω) — такi функцiї, що
1
p(x)
+
1
q(x)
≡ const < 1 для
x ∈ Ω, число k > 1 задано рiвнiстю
1
p(x)
+
1
q(x)
+
1
k
= 1, x ∈ Ω.
Якщо u ∈ Lp(x)(Ω), v ∈ Lq(x)(Ω), w ∈ Lk(Ω), то uvw ∈ L1(Ω) i∫
Ω
u(x)v(x)w(x) dx ≤
≤ K2S1/p
∫
Ω
|u(x)|p(x) dx
S1/q
∫
Ω
|v(x)|q(x) dx
∫
Ω
|w(x)|k dx
1/k
,
де K2 > 0 — стала, яка не залежить вiд u, v, w.
Твердження 5 (узагальнена нерiвнiсть Юнга). Нехай p ∈ L∞+ (Ω). Тодi для кож-
ного ε > 0 iснує таке число Yp(ε) > 0, що для всiх a, b > 0 та x ∈ Ω виконується
оцiнка
ab ≤ ε ap(x) + Yp(ε) b
p′(x). (9)
Крiм того, Yp(ε) не залежить вiд x та Yp(ε)−→
ε→0
+∞, Yp(ε) −→
ε→+∞
0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
616 Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ
Твердження 6 (нерiвнiсть Фрiдрiхса). Нехай Ω — обмежена область, 1 ≤ p <
< +∞. Тодi iснує така стала MΩ > 0 (яка залежить вiд p та Ω), що виконується
нерiвнiсть ∫
Ω
|v|pdx ≤MΩ
∫
Ω
n∑
i=1
|vxi |pdx (10)
для всiх v ∈W 1,p
0 (Ω).
Твердження 7. Якщо fm → f в [U(Q0,T )]∗, ωm → ω слабко в U(Q0,T ), то
〈fm, ωm〉U(Q0,T ) −→
m→∞
〈f, ω〉U(Q0,T ).
Для двох нормованих просторiв B1 та B2 введемо позначення. Запис B1 ⊂ B2
традицiйно означатиме, що B1 є пiдмножиною B2, а запис B1 B2 означає те, що
B1 неперервно вкладається в B2, тобто
1) B1 ⊂ B2;
2) ∃γ > 0 ∀f ∈ B1 : ‖f‖B2 ≤ γ‖f‖B1 .
Запис B1
K
⊂ B2 означає компактне вкладення B1 в B2, тобто
1) B1 ⊂ B2;
2) кожна обмежена послiдовнiсть в B1 має пiдпослiдовнiсть, сильно збiжну
в B2.
Твердження 8. Нехай Ω ⊂ Rn — область, що задовольняє умову конуса,
CkB(Ω) — множина u ∈ Ck(Ω) таких, що Dαu є обмеженою при |α| ≤ k. Якщо
(m− k)p > n, то Wm,p(Ω)
K
⊂ CkB(Ω).
Твердження 9 (теорема Обена [16], див. також [2, c. 393; 17, c. 70]). Якщо T >
> 0, s, h ∈ (1,+∞) — деякi числа, W,L,B — банаховi простори, W
K
⊂ L B,
то {
u ∈ Ls(0, T ;W) : ut ∈ Lh(0, T ;B)
} K
⊂ Ls(0, T ;L) ∩ C([0, T ];B),
тобто якщо {um}m∈N — обмежена послiдовнiсть в Ls(0, T ;W) та {umt }m∈N є
обмеженою в Lh(0, T ;B), то iснує пiдпослiдовнiсть {umj}j∈N ⊂ {um} така, що
umj → u сильно в Ls(0, T ;L) та в C([0, T ];B).
Доведемо кiлька важливих допомiжних тверджень.
Лема 1. Нехай q ∈ L∞+ (Ω) i послiдовнiсть {um}m∈N ⊂ Lq(x)(Ω) така, що
um −→
m→∞
u слабко в Lq(x)(Ω)
та
um(x) −→
m→∞
v(x) для майже всiх x ∈ Ω.
Тодi u = v.
Доведення проведемо в два етапи:
1. Оскiльки послiдовнiсть {um}m∈N слабко збiжна в Lq(x)(Ω), то за теоремою
1 з [18, c. 194] маємо
∃M > 0 ∀m ∈ N : ‖um;Lq(x)(Ω)‖ ≤ C1.
Тому згiдно з зауваженням 1 отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ . . . 617
∃C2 > 0 ∀m ∈ N :
∫
Ω
|um(x)|q(x)dx ≤ C2, (11)
де C2 = S1/p(C1).
За лемою 1.3 з [19, c. 34] функцiя v є вимiрною. Далi на пiдставi (11), застосо-
вуючи лему Фату [19, c. 39], одержуємо∫
Ω
|v(x)|q(x)dx =
∫
Ω
lim
m→∞
|um(x)|q(x)dx =
=
∫
Ω
lim
m→∞
|um(x)|q(x)dx ≤ lim
m→∞
∫
Ω
|um(x)|q(x)dx ≤ C2,
а тому v ∈ Lq(x)(Ω).
2. Змiнюючи, якщо потрiбно, на множинi мiри нуль функцiї v, um, можна
вважати, що послiдовнiсть {um(x)}m∈N є збiжною для кожної змiнної x ∈ Ω.
Нехай
Ek =
{
x ∈ Ω: sup
m≥k
|um(x)| ≥ k
}
, k ∈ N.
Очевидно, що послiдовностi Ek, k ∈ N, є вимiрними. Далi матимемо⋂
k
Ek =
{
x ∈ Ω: lim
m→∞
|um(x)| = +∞
}
= ∅,
бо um збiгається скрiзь в Ω. Тому зрозумiло, що mes
(⋂
k
Ek
)
= 0 i звiдси, оскiльки
Ek+1 ⊂ Ek, k ∈ N, випливає
lim
k→∞
mes(Ek) = 0. (12)
Нехай w ∈ Lq′(x)(Ω), k ∈ N, x ∈ Ω\Ek
|um(x)w(x)| ≤ k|w(x)|, m ≥ k. (13)
Використовуючи збiжнiсть майже скрiзь, нерiвностi (13) та теорему Лебега, маємо
lim
m→∞
∫
Ω\Ek
um(x)w(x)dx =
∫
Ω\Ek
v(x)w(x)dx. (14)
Якщо χEk — iндикатор множиниEk, то χEkw ∈ Lq
′(x)(Ω). Тому зi слабкої збiжностi
отримуємо
lim
m→∞
∫
Ω\Ek
um(x)w(x)dx = lim
m→∞
∫
Ω
um(x)χEk(x)w(x)dx =
=
∫
Ω
u(x)χEk(x)w(x)dx =
∫
Ω\Ek
u(x)w(x)dx. (15)
Поєднуючи (14) та (15), згiдно з лемою дю Буа – Реймонда одержуємо, що u(x) =
= v(x) для майже всiх x ∈ Ω\Ek. Оскiльки виконується (12), то остаточно маємо
u(x) = v(x) для майже всiх x ∈ Ω.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
618 Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ
Лема 2. Нехай {zm}m∈N — деяка функцiйна послiдовнiсть, визначена на Ω.
Якщо zm(x) = 0 майже для всiх x ∈ Ω i для всiх m ∈ N та lim
m→∞
∫
Ω
zm(x) dx = 0,
то:
1) не обов’язково zm −→
m→∞
0 майже скрiзь в Ω;
2) iснує пiдпослiдовнiсть {zmk}k∈N послiдовностi {zm}m∈N така, що
zmk −→
k→∞
0 майже скрiзь в Ω.
Доведення. Згiдно з [20, с. 152] отримаємо п. 1 та те, що zm збiгається до нуля
за мiрою в Ω. Тому з теореми 4 [20, с. 96] випливає п. 2.
Зрозумiло, що леми 1, 2 виконуються i для функцiй, визначених на Q0,T .
Лема 3 (див. для порiвняння лему 2.4 [5, c. 87]). Якщо p ∈ (1,+∞), то для
будь-якого M1 > 0 iснує h0 > 0 таке, що для всiх η (|η| ≤ M1) та для всiх ξ
(|ξ| ≥ 2 +M1):
(|ξ|p−2ξ − |η|p−2η)(ξ − η) ≥ h0|ξ − η|. (16)
Доведення. Нехай γ(s) = |s|p−2s, s ∈ R, таH(ξ, η) =
(
|ξ|p−2ξ−|η|p−2η
)
(ξ−η),
ξ, η ∈ R. Розглянемо довiльнi ξ, η ∈ R з умов леми. Зрозумiло, що ξ = η + ρα0, де
|α0| = 1, ρ = |ξ − η| ≥ 2.
Введемо позначення h(ρ)
df
= H(ξ, η) = (γ(η + ρα0)− γ(η))ρα0 = σ1 + σ2, де
σ1 = (γ(η + ρα0)− γ(η + α0))ρα0,
σ2 = (γ(η + α0)− γ(η))ρα0.
Нехай ξ0 = η + α0. Тодi ξ − ξ0 = (ρ− 1)α0 i тому ρα0 =
ρ
ρ− 1
(
ξ − ξ0
)
. Оскiльки
ρ ≥ 2, то ρ > 0, ρ − 1 > 0, ξ 6= ξ0 i тому σ1 > 0. Крiм того, σ2 = ρ h(1). Тому
h(ρ) > ρh(1) для ρ ≥ 2. Перепишемо цю нерiвнiсть для функцiї H:
H(ξ, η) ≥ |ξ − η|H(η + α0, η), (17)
де
|α0| = 1, ξ = η + ρα0, ρ ≥ 2.
Нехай K = {(η, α0) : |η| ≤ M1, |α0| = 1}. Оскiльки H — неперервна функцiя в
R2, а K — компакт в R2, то H у правiй частинi (17) досягає свого мiнiмуму на K,
тобто iснують h0, (η̃, α̃0) ∈ K такi, що
h0 = H
(
η̃ + α̃0, η̃
)
= min
K
H(η + α0, η).
Оскiльки α̃0 6= 0, то H(η̃+ α̃0, η̃) > 0, i тому h0 > 0. Оцiнивши праву частину (17)
через h0|ξ − η|, отримаємо (16).
Лему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ . . . 619
3. Доведення теореми. Для зручностi доведення теореми розiб’ємо на кiлька
частин.
1. Використаємо метод Фаедо – Гальоркiна. Нехай ω1, ω2, . . . , ωm, . . . — пов-
на злiченна лiнiйно незалежна система функцiй в C1
0 (Ω). Розв’язок задачi (1) – (3)
починаємо шукати у виглядi
um(x, t) =
m∑
µ=1
cmµ (t)ωµ(x), (x, t) ∈ Q0,T ,
де функцiї cmµ , µ = 1,m, є абсолютно неперервними розв’язками такої задачi Кошi
для системи звичайних диференцiальних рiвнянь
(
(Pum(t))t, ω
j
)
Ω
+
(
n∑
i=1
ai|umxi(t)|
p−2umxi(t), ω
j
xi
)
Ω
+
+ (g|um(t)|q(x)−2um(t), ωj)Ω = (f(t), ωj)Ω, t ∈ (0, T ), (18)
cmj (0) = 0, j = 1,m.
Зауважимо, що
um|t=0 = 0. (19)
Переконаємося, що система звичайних диференцiальних рiвнянь (18) розв’язна
спочатку локально. Зведемо систему (18) до нормального вигляду. Використовуючи
(8), перший член системи (18) записуємо у виглядi(
(|um|r(x)−2 + 1)
m∑
µ=1
(cmµ )′ωµ, ωj
)
Ω
=
=
m∑
µ=1
(
ωµ
√
|um|r(x)−2 + 1, ωj
√
|um|r(x)−2 + 1
)
Ω
(cmµ )′.
Звiдси безпосередньо видно, що з коефiцiєнтiв при (cmµ )′ формується матриця
Грамма системи функцiй {
ωµ
√
|um|r(x)−2 + 1
}m
µ=1
, (20)
яка разом з ωµ, µ = 1,m, є лiнiйно незалежною. Дiйсно, покажемо лiнiйну незалеж-
нiсть системи (20). Запишемо лiнiйну комбiнацiю цих функцiй. Нехай αi, i = 1,m,
— деякi числа такi, що
α1ω
1
√
|um|r(x)−2 + 1 + α2ω
2
√
|um|r(x)−2 + 1 + . . .
. . .+ αmω
m
√
|um|r(x)−2 + 1 ≡ 0. (21)
Звiдси (
α1ω
1 + α2ω
2 + . . .+ αmω
m
)√
|um|r(x)−2 + 1 = 0. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
620 Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ
Оскiльки |um|r(x)−2 + 1 ≥ 1 > 0 (достатньо того, щоб 6= 0), то з тотожностi (22)
отримуємо
α1ω
1 + α2ω
2 + . . .+ αmω
m ≡ 0. (23)
За означенням система функцiй {ωµ}mµ=1 лiнiйно незалежна. Тому тотожнiсть (23)
можлива лише при
α1 = α2 = . . . = αm = 0. (24)
Отже, тотожнiсть (21) виконується лише при виконаннi (24), що й означає лiнiйну
незалежнiсть системи функцiй (20).
З наведених мiркувань випливає, що систему (18) можна звести до нормального
вигляду за допомогою домноження на невироджену матрицю[((
ωµ
√
|um|r(x)−2 + 1, ωj
√
|um|r(x)−2 + 1
)
Ω
)
µ,j=1,m
]−1
.
Задача Кошi (18) розв’язна для кожного m = 1, 2, . . . на деякому вiдрiзку [0, Tm]
згiдно з теоремою Пеано. З отриманих нижче оцiнок випливатиме, що розв’язок
системи (18) визначений на всьому [0, T ]. Крiм того, cm1 , . . . , c
m
m ∈ C1([0, T ]), а
тому
um ∈ C1(Q0,T ). (25)
2. При фiксованому m кожне рiвняння системи (18) за номером j = 1, . . . , m
домножимо на cmj (t) i пiдсумуємо всi рiвняння цiєї системи. Результат зiнтегруємо
по вiдрiзку [0, τ ], τ ≤ Tm. Отримаємо тотожнiсть
J1 + J2 + J3 = F, (26)
де
J1 =
τ∫
0
(P(um))t, u
m)Ωdt, J2 =
n∑
i=1
τ∫
0
(ai|umxi |
p−2umxi , u
m
xi)Ωdt,
J3 =
τ∫
0
(g|um|q(x)−2um, um)Ωdt, F =
τ∫
0
(f, um)Ωdt.
Оцiнимо кожну з функцiй (26). З (7) та (25) одержимо
J1 =
∫
Ωτ
1
r(x)
|um|r(x)dx−
∫
Ω0
1
r(x)
|um|r(x)dx+
1
2
∫
Ωτ
|um|2dx− 1
2
∫
Ω0
|um|2dx.
Враховуючи (19), отримуємо
J1 =
∫
Ωτ
1
r(x)
|um|r(x)dx+
1
2
∫
Ωτ
|um|2dx.
Для оцiнки J2+J3 та F використаємо умови A, G, F та нерiвностi Юнга i Фрiдрiхса
(див. (9) та (10)):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ . . . 621
J2 + J3 =
∫
Q0,τ
[
n∑
i=1
ai|umxi |
p + g|um|q(x)
]
dxdt ≥
≥ a0
∫
Q0,τ
n∑
i=1
|umxi |
pdxdt+ g0
∫
Q0,τ
|um|q(x)dxdt,
F =
∫
Q0,τ
fumdxdt ≤ Yp(ε)
∫
Q0,τ
|f |p
′
dxdt+ ε
∫
Q0,τ
|um|pdxdt ≤
≤ Yp(ε)
∫
Q0,τ
|f |p
′
dxdt+ εMΩ
∫
Q0,τ
n∑
i=1
|umxi |
pdxdt.
Отож, з (26) будемо мати∫
Ωτ
1
r(x)
|um|r(x)dx+
1
2
∫
Ωτ
|um|2dx+
+
∫
Q0,τ
[
(a0 − εMΩ)
n∑
i=1
|umxi |
p + g0|um|q(x)
]
dxdt ≤ Yp(ε)
∫
Q0,τ
|f |p
′
dxdt.
Звiдси, вибравши ε > 0 досить малим, можна добитися виконання нерiвностi∫
Ωτ
|um|r(x)dx+
∫
Ωτ
|um|2dx+
∫
Q0,τ
[
n∑
i=1
|umxi |
p + |um|q(x)
]
dxdt ≤
≤ C3
∫
Q0,τ
|f |p
′
dxdt, (27)
де стала C3 > 0 не залежить вiд m, τ. Тодi
sup
0≤τ≤T
∥∥um(τ);L2(Ω)
∥∥ ≤ C4,
де стала C4 > 0 не залежить вiд m. Тому функцiї cm1 , . . . , c
m
m, а отже i um, можна
продовжити на весь промiжок [0, T ] для кожного m ∈ N.
З (27) випливають оцiнки
‖um;L∞(0, T ;Lr(x)(Ω))‖ ≤ C5, (28)
‖um;L∞(0, T ;L2(Ω))‖ ≤ C5, (29)
‖um;Lp(0, T ;W 1,p
0 (Ω))‖ ≤ C5, (30)
ρq(u
m;Q0,T ) ≤ C5, (31)
де стала C5 > 0 не залежить вiд m. Використавши зауваження 1, з оцiнки (31)
матимемо ∥∥um;Lq(x)(Q0,T )
∥∥ ≤ C4. (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
622 Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ
3. З оцiнок (28), (29) та рефлексивностi просторiв Lr(x)(Q0,T ), L2(Q0,T ),
Lr
′(x)(Q0,T ) випливає iснування такої пiдпослiдовностi {umj}j∈N ⊂ {um}m∈N,
що
umj −→
j→∞
u ∗-слабко в L∞(0, T ;Lr(x)(Ω)),
umj −→
j→∞
z1 ∗-слабко в L∞(0, T ;L2(Ω)),
umj −→
j→∞
z2 слабко в Lr(x)(Q0,T ),
umj −→
j→∞
z3 слабко в L2(Q0,T ),
|umj |r(x)−2umj −→
j→∞
χ̃0 слабко в Lr
′(x)(Q0,T ).
З рефлексивностi просторiв Lp(0, T ;W 1,p
0 (Ω)), Lq(x)(Q0,T ) та оцiнок (30), (32)
випливає, що
umj −→
j→∞
z4 слабко в Lp(0, T ;W 1,p
0 (Ω)),
umj −→
j→∞
z5 слабко в Lq(x)(Q0,T ).
З оцiнок (30), (32) та рефлексивностi просторiв Lp
′
(Q0,T ), Lq
′(x)(Q0,T ) одержимо
|umjxi |
p−2umjxi −→j→∞χi, i = 1, n, слабко в Lp
′
(Q0,T ),
|umj |q(x)−2umj −→
j→∞
χ0 слабко в Lq
′(x)(Q0,T ).
Отриманi збiжностi означають збiжнiсть {umj}j∈N до u, z1, z2, z3, z4, z5 у просторi
розподiлiв D∗(0, T ;V ∗ + Lr
′(x)(Ω)). З єдиностi границi в цьому просторi маємо
z1 = z2 = z3 = z4 = z5 = u. Отже,
umj −→
j→∞
u ∗-слабко в L∞(0, T ;Lr(x)(Ω)) та L∞(0, T ;L2(Ω)),
umj −→
j→∞
u слабко в Lr(x)(Q0,T ),
umj −→
j→∞
u слабко в Lp(0, T ;W 1,p
0 (Ω)), L2(Q0,T ) та
Lq(x)(Q0,T ) (тобто в U(Q0,T )).
4. Домножимо j-те рiвняння (18) на
d
dt
cmj (t), пiдсумуємо по j вiд 1 до m i
зiнтегруємо по t вiд 0 до τ ∈ (0, T ]. Отримаємо тотожнiсть
J̃1 + J̃2 + J̃3 = F̃ , (33)
де
J̃1 =
τ∫
0
((Pum)t, u
m
t )Ω dt, J̃2 =
n∑
i=1
τ∫
0
(ai|umxi |
p−2umxi , u
m
xit)Ω dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ . . . 623
J̃3 =
τ∫
0
(g|um|q(x)−2um, umt )Ω dt, F̃ =
τ∫
0
(f, umt )Ω dt.
Оцiнимо кожну з функцiй (33):
J̃1 =
∫
Q0,τ
(
1
r(x)− 1
|um|r(x)−2 + 1
)
|umt |2dxdt ≥
≥ 1
r0 − 1
∫
Q0,τ
|um|r(x)−2|umt |2dxdt+
∫
Q0,τ
|umt |2dxdt,
J̃2 =
∫
Q0,τ
n∑
i=1
ai(x)|umxi |
p−2umxiu
m
xitdxdt =
=
1
p
∫
Ωτ
n∑
i=1
ai(x)|umxi |
pdx− 1
p
∫
Ω0
n∑
i=1
ai(x)|umxi |
pdx =
=
1
p
∫
Ωτ
n∑
i=1
ai(x)|umxi |
pdx ≥ a0
p
∫
Ωτ
n∑
i=1
|umxi |
pdx,
J̃3 =
∫
Q0,τ
g(x)|um|q(x)−2umumt dxdt =
=
∫
Ωτ
1
q(x)
g(x)|um|q(x)dx−
∫
Ω0
1
q(x)
g(x)|um|q(x)dx =
=
∫
Ωτ
1
q(x)
g(x)|um|q(x)dx ≥ g0
q0
∫
Ωτ
|um|q(x)dx,
F̃ =
∫
Q0,τ
fumt dxdt =
∫
Ωτ
fumdx−
∫
Q0,τ
ftu
mdxdt.
З того, що f, ft ∈ Lp
′
(Q0,T ), випливає, що f ∈ C([0, T ];Lp
′
(Ω)). Тому з нерiвно-
стей Юнга, Фрiдрiхса та оцiнки (27) випливає
∫
Ωτ
fumdx ≤ Yp(ε)
∫
Ωτ
|f |p
′
dx+ εMΩ
∫
Ωτ
n∑
i=1
|umxi |
pdx,
−
∫
Q0,τ
ftu
mdxdt ≤
∫
Q0,τ
(Yp(ε1)|ft|p
′
+ ε1|um|p)dxdt ≤
≤ Yp(ε1)
∫
Q0,τ
|ft|p
′
dxdt+ ε1MΩ
∫
Q0,τ
n∑
i=1
|umxi |
pdxdt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
624 Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ
≤ C6
∫
Q0,τ
(|f |p
′
+ |ft|p
′
)dxdt.
З (33) та проведених оцiнок одержимо
1
r0 − 1
∫
Q0,τ
|um|r(x)−2|umt |2dxdt+
∫
Q0,τ
|umt |2dxdt+
+
(
a0
p
− εMΩ
)∫
Ωτ
n∑
i=1
|umxi |
pdx+
g0
q0
∫
Ωτ
|um|q(x)dx ≤
≤ C7(ε)
∫
Ωτ
|f |p
′
dx+
∫
Q0,τ
(|f |p
′
+ |ft|p
′
)dxdt
.
Вибравши ε ∈
(
0,
a0
pMΩ
)
та скориставшись (8), отримаємо
∫
Q0,τ
|um|r(x)−2|umt |2dxdt+
∫
Q0,τ
|umt |2dxdt+
∫
Ωτ
n∑
i=1
|umxi |
pdx+
∫
Ωτ
|um|q(x)dx ≤
≤ C8
∫
Ωτ
|f |p
′
dx+
∫
Q0,τ
(|f |p
′
+ |ft|p
′
)dxdt
, τ ∈ (0, T ]. (34)
Використавши нерiвнiсть Фрiдрiхса, будемо мати∫
Ωτ
|um|pdx ≤MΩ
∫
Ωτ
n∑
i=1
|umxi |
pdx ≤
≤ C9
∫
Ωτ
|f |p
′
dx+
∫
Q0,τ
(|f |p
′
+ |ft|p
′
)dxdt
, τ ∈ (0, T ]. (35)
Аналiзуючи (34), (35), можна отримати оцiнки∫
Q0,τ
|um|r(x)−2|umt |2dxdt ≤ C10, (36)
‖umt ;L2(Q0,T )‖ ≤ C10, (37)
‖um;L∞(0, T ;W 1,p
0 (Ω))‖ ≤ C10, (38)
‖um;L∞(0, T ;Lq(x)(Ω))‖ ≤ C10, (39)
де C10 > 0 не залежить вiд m. Тому, можливо при переходi до нової пiдпослiдов-
ностi {umj}j∈N (залишимо таке ж позначення), матимемо
u
mj
t −→
j→∞
ut слабко в L2(Q0,T ), (40)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ . . . 625
umj −→
j→∞
u ∗-слабко в L∞(0, T ;W 1,p
0 (Ω)) та L∞(0, T ;Lq(x)(Ω)). (41)
З оцiнки (38) та твердження 8 (нагадаємо, що p > n) одержимо
‖um;L∞(Q0,T )‖ ≤ C11, (42)
де стала C11 > 0 не залежить вiд m. Вiзьмемо довiльне s ≥ 2. Тодi W 1,p
0 (Ω)
K
⊂
K
⊂ Ls(Ω) L2(Ω) i з (37), (38) та теореми Обена отримаємо
umj −→
j→∞
u сильно в Ls(Q0,T ) та в C([0, T ], L2(Ω)), (43)
а тому
umj −→
j→∞
u майже скрiзь в Q0,T . (44)
Отже, використавши лему 1, одержимо χ0 = |u|q(x)−2u, χ̃0 = |u|r(x)−2u. Звiдси,
зокрема, випливає, що
Rumj −→
j→∞
Ru слабко в Lr
′(x)(Q0,T ),
а з урахуванням (42)
Rumj −→
j→∞
Ru ∗-слабко в L∞(Q0,T ).
5. Покажемо, що
(Rumj )t −→
j→∞
(Ru)t слабко в L2(Q0,T ). (45)
Розглянемо множину функцiй (див. твердження 2 та (25))
(Rum)t = (|um|r(x)−2)1/2(|um|r(x)−2)1/2umt , m ∈ N.
Згiдно з оцiнками (36) i (42) ця множина рiвномiрно по m обмежена в L2(Q0,T ), а
тому, можливо при переходi до нової пiдпослiдовностi, одержимо (45) .
6. Покажемо, що для кожного i ∈ {1, . . . , n}
umjxi −→j→∞uxi майже скрiзь в Q0,T . (46)
Використаємо деяку модифiкацiю методу, запропонованого в [5]. Нехай маємо
простiр Lm =
{∑m
k=1
dk(t)ωk(x) : d1, . . . , dm ∈ C1([0, T ])
}
. Тодi для кожного
w ∈ Lm з системи (18) можна отримати рiвнiсть[
(Pum)t, w
]
Q
+ 〈Aum, w〉Q = [f, w]Q. (47)
Оскiльки u ∈ U(Q0,T ), то iснує послiдовнiсть елементiв {ym}m∈N таких, що ym ∈
∈ Lm для кожного m ∈ N i ym → u сильно в U(Q0,T ) при m → ∞. Покладемо в
(47) w = um − ym та m = mj i перепишемо цю рiвнiсть у виглядi
I1 + I2 + I3 = I4, (48)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
626 Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ
де
I1 = [(Pumj )t, umj − ymj ]Q, I2 = 〈Aumj −Au, umj − ymj 〉Q,
I3 = 〈Au, umj − ymj 〉Q, I4 = [f, umj − ymj ]Q.
Зауважимо, що якщо αj → α слабко в B∗, βj → β сильно в B, де B — деякий
банахiв простiр, то
lim
j→∞
〈αj , βj〉B = lim
j→∞
(〈αj , β〉B + 〈αj , βj − β〉B) = lim
j→∞
〈αj , β〉B.
Використавши цю властивiсть, твердження 7 та (40), (45), (43), отримаємо
lim
j→∞
I1 = lim
j→∞
I1 = lim
j→∞
[
(Rumj )t + u
mj
t , umj − u
]
Q
−→
j→∞
0.
Крiм того,
lim
j→∞
I4 = lim
j→∞
I4 = lim
j→∞
[f, umj − u]Q = 0,
lim
j→∞
I3 = lim
j→∞
〈Au, umj − u〉Q = 0.
Тодi, використавши нерiвнiсть з [21, с. 23], з (48) одержимо
0 = lim
j→∞
I4 = lim
j→∞
(I1 + I2 + I3) ≥
≥ lim
j→∞
I1 + lim
j→∞
I2 + lim
j→∞
I3 = lim
j→∞
I2 = lim
j→∞
∫
Q0,T
zj(x, t) dxdt,
де
zj =
n∑
i=1
ai
(
|umjxi |
p−2umjxi − |uxi |
p−2uxi
)
(umjxi − uxi)+
+g
(
|umj |q(x)−2umj − |u|q(x)−2u
)
(umj − u).
Зрозумiло, що zj(x, t) ≥ 0 в Q0,T . Тому (можливо при переходi до пiдпослiдовно-
стi) з леми 2 отримаємо
lim
j→∞
zj(x, t) = 0 майже для всiх (x, t) ∈ Q0,T . (49)
Далi виберемо точку (x, t) ∈ Q0,T так, щоб функцiї u, ux1
, . . . , uxn були визначенi
та скiнченнi в цiй точцi i щоб виконувалась рiвнiсть (49). Введемо позначення
ξ
mj
i = u
mj
xi (x, t), ηi = uxi(x, t), i = 1, n, для (x, t) ∈ Q0,T . Виберемо також
числову послiдовнiсть
Hmj =
n∑
i=1
ai(|ξ
mj
i |
p−2ξ
mj
i − |ηi|p−2ηi)(ξ
mj
i − ηi), j ∈ N.
Згiдно з цими позначеннями i (49) та (44) матимемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ПОДВIЙНО НЕЛIНIЙНI ПАРАБОЛIЧНI РIВНЯННЯ ЗI ЗМIННИМИ ПОКАЗНИКАМИ . . . 627
Hmj −→
j→∞
0. (50)
Зауважимо, що Hmj =
∑n
i=1
aiH(ξ
mj
i , ηi), де H — функцiя з леми 3.
Припустимо, що для деякого i ∈ {1, . . . , n} послiдовнiсть {ξmji }∞j=1 є необме-
женою. Тодi знайдеться така пiдпослiдовнiсть (залишимо старе позначення), що
|ξmji | −→
j→∞
∞. Нехай M1 > 0 — довiльне число при ηi = 0, M1 = |ηi| в iншому
випадку. Для вказаної сталої M1 будуємо h0 = h0(x, t) з леми 3. Оскiльки для
великих j ∈ N виконується нерiвнiсть |ξmji | ≥ 2 +M1, то з леми 3 отримаємо
Hmj ≥ aiH(ξ
mj
i , ηi) ≥ a0h0(x, t)|ξmji − ηi|,
де a0 — стала з умови A. Тодi Hmj ≥ a0h0(x, t)|ξmji − ηi| −→
j→∞
∞, бо h0(x, t) > 0.
Це суперечить умовi (50).
Отже, для кожного i ∈ {1, . . . , n} послiдовнiсть {ξmji }∞j=1 є рiвномiрно об-
меженою. Нехай ξi — одна з її часткових границь, тобто ξ
mj
i −→
j→∞
ξi. Згiдно з
неперервнiстю функцiї H за першою змiнною та (50)
lim
j→∞
Hmj =
n∑
i=1
aiH(ξ
mj
i , ηi) =
n∑
i=1
ai(|ξi|p−2ξi − |ηi|p−2ηi)(ξi − ηi) = 0,
що можливо лише при ξi = ηi. Отже, (46) доведено. Тому χi = |uxi |p−2uxi для
кожного i ∈ {1, . . . , n}.
7. Для кожного ω ∈ U вiзьмемо таку послiдовнiсть функцiй {vk}k∈N, що
vk ∈ Lk, vk → ω сильно в U при k →∞. Тодi з (47) будемо мати
[(Pumj )t, vk]Q + 〈Aumj , vk〉Q = [f, vk]Q для k ∈ N, mj ≥ k.
Спрямувавши mj →∞, отримаємо
[(Pu)t, vk]Q + 〈Au, vk〉Q = [f, vk]Q для k ∈ N, mj ≥ k.
Тому при k →∞ отримаємо (4).
Теорему доведено.
Висновки. У цiй статтi дослiджено мiшану задачу для подвiйно нелiнiйного
параболiчного рiвняння (1) зi змiнними показниками нелiнiйностi. За допомогою
методу Фаедо – Гальоркiна доведено iснування узагальненого розв’язку цiєї задачi.
1. Bernis F. Qualitative properties for some non-linear higher order degenerate parabolic equations //
Houston J. Math. – 1988. – 14, № 3. – P. 319 – 351.
2. Bernis F. Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domains
// Math Ann. – 1988. – 279. – P. 373 – 394.
3. Шишков А. Е. Распространения возмущений в сингулярной задаче Коши для квазилинейных
вырождающихся параболических уравнений // Мат. сб. – 1996. – 187, № 9. – С. 139 – 160.
4. Дегтярев С. П. L1 − L∞ оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося
параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Там
же. – 2007. – 198, № 9. – С. 639 – 660.
5. Лаптев Г. И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с
двойной нелинейностью // Там же. – 1997. – 188, № 9. – С. 84 – 112.
6. Orlicz W. Uber konjugierte Exponentenfolgen // Stud. Math. (Lwow). – 1931. – 3. – P. 200 – 211.
7. Kovacik O. On space Lp(x) and W 1,p(x) // Czech. Math. J. – 2005. – 41 (116). – P. 592 – 618.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
628 Т. М. БОКАЛО, О. М. БУГРIЙ
8. Buhrii O. M. Uniqueness of solutions of the parabolic variational inequality with variable exponent of
nonlinearity // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. – 2009. – 70, № 6. – P. 2325 – 2331.
9. Бокало Т. М. Деякi формули iнтегрування частинами в просторах функцiй зi змiнним степенем
нелiнiйностi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2009. – Вип. 71. – С. 5 – 18.
10. Бугрiй О. М. Мiшана задача для параболiчного рiвняння, яке узагальнює рiвняння полiтропної
фiльтрацiї // Там же. – 2000. – Вип. 56. – С. 33 – 43.
11. Бугрiй О. М. Параболiчна варiацiйна нерiвнiсть, що узагальнює рiвняння полiтропної фiльтрацiї
// Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 7. – С. 867 – 878.
12. Бугрiй О. М. Скiнченнiсть часу стабiлiзацiї розв’язку нелiнiйної параболiчної варiацiйної нерiв-
ностi зi змiнним степенем нелiнiйностi // Мат. студ. – 2005. – 24, № 2. – С. 167 – 172.
13. Алхутов Ю. А. Параболические уравнения с переменным порядком нелинейности // Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 1. – С. 23 – 50.
14. Бугрiй О. М. Про задачi з однорiдними граничними умовами для нелiнiйних рiвнянь з виродженням
// Укр. мат. вiсн. – 2008. – 5, № 4. – С. 435 – 469.
15. Lions J.-L. Some non-linear evolution equations // Bull. de la S. M. F. – 1965. – 93. – P. 43 – 96.
16. Aubin J.-P. Un theoreme de compacite // C. R. Acad. Sci. Paris. – 1963. – 256, № 24. – P. 5042 – 5044.
17. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с.
18. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. –
543 с.
19. Гаевский Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. –
М.: Мир, 1978. – 336 с.
20. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974. – 480 с.
21. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977. –
528 с.
Одержано 25.06.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|