Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса
Найдены неванлинновы характеристики дзета-функций Вейерштрасса и показано, что ни одно из значений a∈C¯ не является исключительным в смысле Неванлинны для этой функции....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166047 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса / М.Є. Коренков, Ю. Зайонц, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 718–720. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166047 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660472020-02-19T01:28:51Z Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса Коренков, М.Є. Зайонц, Ю. Харкевич, Ю.І. Короткі повідомлення Найдены неванлинновы характеристики дзета-функций Вейерштрасса и показано, что ни одно из значений a∈C¯ не является исключительным в смысле Неванлинны для этой функции. We establish the Nevanlinna characteristics of the Weierstrass zeta function and show that none of the values a∈C¯ is exceptional in the Nevanlinna sense for this function. 2011 Article Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса / М.Є. Коренков, Ю. Зайонц, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 718–720. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166047 517.53 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Коренков, М.Є. Зайонц, Ю. Харкевич, Ю.І. Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса Український математичний журнал |
| description |
Найдены неванлинновы характеристики дзета-функций Вейерштрасса и показано, что ни одно из значений a∈C¯ не является исключительным в смысле Неванлинны для этой функции. |
| format |
Article |
| author |
Коренков, М.Є. Зайонц, Ю. Харкевич, Ю.І. |
| author_facet |
Коренков, М.Є. Зайонц, Ю. Харкевич, Ю.І. |
| author_sort |
Коренков, М.Є. |
| title |
Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса |
| title_short |
Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса |
| title_full |
Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса |
| title_fullStr |
Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса |
| title_full_unstemmed |
Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса |
| title_sort |
характеристики неванлінни та дефектні значення дзета-функцій вейєрштрасса |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166047 |
| citation_txt |
Характеристики Неванлінни та дефектні значення дзета-функцій Вейєрштрасса / М.Є. Коренков, Ю. Зайонц, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 718–720. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT korenkovmê harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa AT zajoncû harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa AT harkevičûí harakteristikinevanlínnitadefektníznačennâdzetafunkcíjvejêrštrassa |
| first_indexed |
2025-07-14T20:38:30Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:38:30Z |
| _version_ |
1837656200995405824 |
| fulltext |
© М. Є. КОРЕНКОВ, Ю. ЗАЙОНЦ, Ю. І. ХАРКЕВИЧ, 2011
718 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
УДК 517.53
М. Є. Коренков, Ю. Зайонц, Ю. І. Харкевич (Волин. нац. ун-т ім. Л. Українки, Луцьк)
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛІННИ ТА ДЕФЕКТНІ
ЗНАЧЕННЯ ДЗЕТА-ФУНКЦІЙ ВЕЙЄРШТРАССА
We establish the Nevanlinna characteristics of the Weierstrass zeta function and show that none of the values
a !C is exceptional in the Nevanlinna sense for this function.
Найдены неванлинновы характеристики дзета-функций Вейерштрасса и показано, что ни одно из
значений a !C не является исключительным в смысле Неванлинны для этой функции.
У даній роботі ми знайдемо характеристики Неванлінни відомої дзета-функції Ве-
йєрштрасса !(z) , яка тісно пов’язана із функціями Вейєрштрасса !(z) , !(z)
[1]. Вивчимо також питання про дефектні значення ! -функції. Ці питання можна
дослідити з допомогою асимптотичних формул із робіт [2, 3], однак ми скористає-
мося простішими засобами. Вказані функції часто використовуються при дослід-
женнях, що торкаються еліптичних функцій. Зазначимо, що !(z) — мероморфна
функція з простими полюсами !mn = 2m!1 + 2n!2 , де Im(!2/!1) > 0, m !Z ,
n !Z , яка зображується у вигляді
!(z) =
1
z
+
m,n=–"
+"
# $ 1
z – %mn
+
1
%mn
+
z
%mn
2
&
'
(
)
*
+
,
причому штрих біля знака суми означає, що доданком з m = 0 , n = 0 нехтуємо.
Функції !(z) , !(z) , !(z) пов’язані рівностями !(z) = !" (z)/"(z) , !(z) =
= ! "# (z) , причому !(z) є цілою функцією з простими нулями !mn , !(z) —
подвійно періодична мероморфна функція з полюсами другого порядку у вказаних
точках, тобто еліптична функція.
Будемо вважати відомими основні поняття, факти і стандартні позначення із
теорії розподілу значень мероморфних функцій [4]. Нагадаємо деякі з них.
Характеристики Неванлінни мероморфної функції f , f ! const , вводяться з
допомогою рівностей
m(r, f ) :=
1
2!
ln
+
0
2!
" f (re
i#
) d# ,
N(r, f ) :=
n(t, f ) ! n(0, f )
t
0
r
" dt + n(0, f ) ln r ,
T (r, f ) := m(r, f ) + N(r, f ) ,
де ln+ ! := max 0, ln!{ } , ! > 0 , і n(r, f ) (що інакше позначається n(r,!, f ) )
є числом полюсів функції f у крузі �
z !C{ z ! r } , r ! 0 , з урахуванням їх
кратностей. Якщо a !C , то використовуються позначення n(r, a, f ) ,
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВАНЛІННИ ТА ДЕФЕКТНІ … 719
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
N(r, a, f ) , m(r, a, f ) замість відповідно n r,
1
f ! a
"
#
$
% , N r,
1
f ! a
"
#
$
% , m r,
!
"#
1
f ! a
"
#$
. Дефектом Неванлінни мероморфної функції f у точці a !C назива-
ється величина
!(a, f ) := lim
r"#
m(r, a, f )
T (r, f )
.
Якщо !(a, f ) > 0 , то a називається винятковим (дефектним) значенням у
розумінні Неванлінни мероморфної функції f .
Теорема 1. Справджуються співвідношення (r! ")
N(r,!) =
"r2
2D
+ O(r) ,
m(r,!) = O(ln r) , (1)
T (r,!) =
"r2
2D
+ O(r) , (2)
де D — площа основного паралелограма періодів функції !(z) .
Доведення. Як відомо [1, с. 420],
N(r,!) =
"r
2
D
+ O(r) , r ! " .
Тому
N(r,!) =
"r2
2D
+ O(r) , r ! " .
Оскільки !(z) = "# (z)/#(z) , то згідно з теоремою 1.3 [4, с. 122]
m(r,!) = m r,
"#
#
$
%&
'
()
= O(ln r) , r ! " .
Отже,
T (r,!) = m(r,!) + N(r,!) =
"r2
2D
+O(r) , r ! " .
Теорему доведено.
Теорема 2. Жодне значення a !C не є винятковим у розумінні Неванлінни
для функції !(z) .
Доведення. Із (1), (2) випливає, що
!(",#) = lim
r$"
m(r,#)
T (r,#)
= 0 ,
тобто неванліннів дефект ! -функції в точці ! дорівнює нулю.
720 М. Є. КОРЕНКОВ, Ю. ЗАЙОНЦ, Ю. І. ХАРКЕВИЧ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
Відомо [1, с. 422], що
m(r, 0,!) = O(r) , r ! " . (3)
Використовуючи властивості характеристики m(r, a, f ) мероморфної функції
f , лему 2.1 із [4, с. 129], оцінки (1), (3) і рівність !" (z) = #$(z) , приходимо до
висновку, що при a !C , a ! 0 , виконується
m(r, a,!) " m r,
!
#!
$
%&
'
()
+O(ln r) ≤
≤ m r,
1
!"
#
$%
&
'(
+ m(r,") +O(ln r) = m r,
1
)
#
$%
&
'(
+O(ln r) =
= m(r, 0,!) +O(ln r) = O(r) , r ! " .
Тоді із рівності (2) випливає, що
!(a,") = lim
r#$
m(r, a,")
T (r,")
% lim
r#$
O(r)
T (r,")
= 0 ,
тобто неванліннів дефект функції !(z) у довільній точці a !C , a ! 0 , дорів-
нює нулю, !(a,") = 0 .
Розглянемо випадок, коли a = 0 . Використовуючи властивості характерис-
тики m(r, a, f ) мероморфної функції f , оцінку (3) і теорему 1.3 [4, c. 122], ді-
стаємо
m(r, 0,!) = m r,
1
!
"
#$
%
&'
= m r,
(!
!
)
1
(!
"
#$
%
&'
* m r,
(!
!
"
#$
%
&'
+ m r,
1
(!
"
#$
%
&'
=
= m r,
1
!
"
#$
%
&'
+O(ln r) = m(r, 0,!) +O(ln r) =
= O(r) +O(ln r) = O(r) , r ! " .
Згідно з рівністю (2) знаходимо
!(0,") = lim
r#$
m(r, 0,")
T (r,")
% lim
r#$
O(r)
T (r,")
= 0 ,
тобто неванліннів дефект функції !(z) у точці a = 0 дорівнює нулю, !(0,") =
= 0.
Теорему доведено.
Зауваження. Із рівності (2), зокрема, випливає, що !(z) — мероморфна функ-
ція порядку 2.
1. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций: В 2 т. – М.: Наука, 1968. – Т. 2. – 624 с.
2. Гольдберг А. А., Коренков Н. Е. Об асимптотике логарифмической производной целой функции
вполне регулярного роста // Укр. мат. журн. – 1978. – 30, № 1. – С. 25 – 32.
3. Гольдберг А. А., Коренков Н. Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции
вполне регулярного роста // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, № 3. – С. 63 – 79.
4. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука,
1970. – 591 с.
Одержано 12.11.10
|