Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале
Досліджєно довільну регулярну еліптичну крайову задачу, задану в обмеженій євклідовій області класу C∞. Доведено, що оператор цієї задачі є обмеженим i фредгольмовим у відповідних парах гільбертових просторів Хермандера. Вони параметризовав за допомогою довільної радіальної функції, RO-змінної на +∞...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166048 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале / А.В. Аноп, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 867–883. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166048 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660482020-02-19T01:25:54Z Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале Аноп, А.В. Мурач, А.А. Статті Досліджєно довільну регулярну еліптичну крайову задачу, задану в обмеженій євклідовій області класу C∞. Доведено, що оператор цієї задачі є обмеженим i фредгольмовим у відповідних парах гільбертових просторів Хермандера. Вони параметризовав за допомогою довільної радіальної функції, RO-змінної на +∞ та утворюють розширену соболєвську шкалу. Встановлено апріорні оцінки розв'язків задачі та досліджено їх локальну регулярність у цій шкалі. Знайдено нові достатні умови неперервності узагальнених частинних похідних розв'язку. We investigate an arbitrary regular elliptic boundary-value problem given in a bounded Euclidean C ∞- domain. It is shown that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of Hörmander inner-product spaces. They are parametrized with the help of an arbitrary radial function RO-varying at ∞ and form the extended Sobolev scale. We establish a priori estimates for the solutions of the problem and study their local regularity on this scale. New sufficient conditions for the generalized partial derivatives of the solutions to be continuous are obtained. 2014 Article Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале / А.В. Аноп, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 867–883. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166048 517.956.223 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Аноп, А.В. Мурач, А.А. Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале Український математичний журнал |
| description |
Досліджєно довільну регулярну еліптичну крайову задачу, задану в обмеженій євклідовій області класу C∞. Доведено, що оператор цієї задачі є обмеженим i фредгольмовим у відповідних парах гільбертових просторів Хермандера. Вони параметризовав за допомогою довільної радіальної функції, RO-змінної на +∞ та утворюють розширену соболєвську шкалу. Встановлено апріорні оцінки розв'язків задачі та досліджено їх локальну регулярність у цій шкалі. Знайдено нові достатні умови неперервності узагальнених частинних похідних розв'язку. |
| format |
Article |
| author |
Аноп, А.В. Мурач, А.А. |
| author_facet |
Аноп, А.В. Мурач, А.А. |
| author_sort |
Аноп, А.В. |
| title |
Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале |
| title_short |
Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале |
| title_full |
Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале |
| title_fullStr |
Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале |
| title_full_unstemmed |
Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале |
| title_sort |
регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166048 |
| citation_txt |
Регулярные эллиптические краевые задачи в расширенной соболевской шкале / А.В. Аноп, А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 867–883. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT anopav regulârnyeélliptičeskiekraevyezadačivrasširennojsobolevskojškale AT muračaa regulârnyeélliptičeskiekraevyezadačivrasširennojsobolevskojškale |
| first_indexed |
2025-07-14T20:38:46Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:38:46Z |
| _version_ |
1837656216422055936 |
| fulltext |
УДК 517.956.223
А. В. Аноп, А. А. Мурач (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ*
We investigate an arbitrary regular elliptic boundary-value problem given in a bounded Euclidean C∞-domain. We prove
that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of Hörmander inner product spaces. They
are parametrized with the help of an arbitrary radial function RO-varying at ∞ and form the extended Sobolev scale. We
establish a priori estimates for the solutions to the problem and investigate their local regularity on this scale. We find new
sufficient conditions for the generalized partial derivatives of the solutions to be continuous.
Дослiджено довiльну регулярну елiптичну крайову задачу, задану в обмеженiй евклiдовiй областi класу C∞. Доведе-
но, що оператор цiєї задачi є обмеженим i фредгольмовим у вiдповiдних парах гiльбертових просторiв Хермандера.
Вони параметризованi за допомогою довiльної радiальної функцiї, RO-змiнної на +∞, та утворюють розширену
соболєвську шкалу. Встановлено апрiорнi оцiнки розв’язкiв задачi та дослiджено їх локальну регулярнiсть у цiй
шкалi. Знайдено новi достатнi умови неперервностi узагальнених частинних похiдних розв’язку.
1. Введение. В теории эллиптических дифференциальных уравнений важная роль принадлежит
пространствам Соболева. Эллиптические краевые задачи имеют фундаментальные свойства в
соболевских шкалах: фредгольмовость (т. е. конечность индекса задачи), априорные оценки
решений, локальное повышение регулярности решений и другие (см., например, монографии
[1 – 7] и обзор [8]). С точки зрения применений этих свойств, в частности, в спектральной
теории дифференциальных операторов, наиболее полезна гильбертова шкала пространств Со-
болева. Однако она не является достаточно тонко градуированной для ряда задач [2, 9 – 14].
Недавно В. А. Михайлецом и вторым автором этой статьи была построена теория эллип-
тических операторов и эллиптических краевых задач для уточненной соболевской шкалы [14].
Она образована гильбертовыми пространствами Хермандера Hs,ϕ := B2,µ [3, 9], для кото-
рых показателем гладкости является функция µ(ξ) := 〈ξ〉sϕ(〈ξ〉) аргумента ξ ∈ Rn. Здесь
〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2, s ∈ R, а ϕ — произвольная положительная функция, медленно меняющаяся
на ∞ по Й. Карамата [15, 16]. Пространство Hs,ϕ на Rn состоит из всех медленно растущих
распределений w ∈ S ′(Rn) таких, что µŵ ∈ L2(Rn), и определяется на евклидовых облас-
тях и гладких компактных многообразиях стандартным образом (ŵ — преобразование Фурье
распределения w).
Эта шкала {Hs,ϕ} содержит пространства Соболева: Hs,1 = Hs, привязана к соболевской
шкале с помощью числового параметра s и тоньше градуирована, чем последняя. Для примене-
ний важно, что каждое пространство Hs,ϕ получается в результате интерполяции с некоторым
функциональным параметром пары соболевских пространств Hs0 и Hs1 , где s0 < s < s1.
Поскольку при интерполяции пространств наследуется ограниченность линейных операторов
и их фредгольмовость, уточненная соболевская шкала оказалась удобным инструментом в ис-
* Поддержана грантом № 01-01-12/2 НАН Украины (в рамках совместного украинско-российского проекта НАН
Украины и Российского фонда фундаментальных исследований).
c© А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7 867
868 А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ
следовании свойств операторов, порожденных эллиптическими краевыми задачами (см. также
статьи [17 – 22] и обзор [23]).
В этой связи естественно возникает вопрос об описании и возможных применениях клас-
са всех гильбертовых пространств, интерполяционных относительно пар гильбертовых про-
странств Соболева. Из теоремы В. И. Овчинникова [24] (п. 11.4) следует, что это класс со-
стоит (с точностью до эквивалентности норм) из пространств Хермандера Hϕ := B2,µ, где
µ(ξ) := ϕ(〈ξ〉), а ϕ — положительная функция, RO-меняющаяся на ∞ по В. Г. Авакумовичу
[15, 16]. Указанный класс пространств является расширенной соболевской шкалой (с помощью
интерполяции) [25]. Он содержит уточненную соболевскую шкалу и позволяет значительно
тоньше охарактеризовать регулярность функций/распределений. Так, RO-меняющаяся функ-
ция может не иметь числового порядка s изменения на∞.
В работах [14, 26 – 31] найдены применения расширенной соболевской шкалы к эллиптиче-
ским дифференциальным операторам, заданным в Rn и на замкнутых гладких многообразиях.
Отметим, что в последнее время пространства Хермандера и их разные аналоги, называемые
пространствами обобщенной гладкости, вызывают немалый интерес как сами по себе, так и с
точки зрения приложений [10 – 13].
Настоящая статья посвящена применениям расширенной соболевской шкалы к эллиптиче-
ским краевым задачам, заданным в ограниченной евклидовой области с гладкой границей. Наша
цель — установить для этой шкалы теоремы о разрешимости общей регулярной эллиптической
краевой задачи и свойствах ее решений.
Работа состоит из шести пунктов. В п. 2 дано определение регулярной эллиптической кра-
евой задачи. Следующий пункт посвящен необходимым в работе пространствам Хермандера,
которые образуют расширенную соболевскую шкалу на Rn, евклидовой области и ее гладкой
границе. Основные результаты статьи сформулированы в п. 4. Это — теоремы о фредгольмо-
вости операторов, соответствующих задаче в расширенной соболевской шкале, порожденных
ими изоморфизмах, априорной оценке решений, их локальной регулярности. В качестве при-
менений приведены достаточные условия непрерывности обобщенных частных производных
(заданного порядка) решений, а также классичности обобщенного решения. Пункт 5 содер-
жит необходимые для доказательства свойства расширенной соболевской шкалы, в частности
интерполяционные. Все теоремы доказаны в п. 6.
2. Постановка задачи. Пусть Ω — ограниченная область в евклидовом пространстве
Rn, n ≥ 2. Предположим, что ее граница Γ := ∂Ω является бесконечно гладким замкнутым
многообразием (размерности n− 1). Как обычно, Ω := Ω ∪ Γ.
В области Ω рассматривается краевая задача
Au(x) ≡
∑
|µ|≤2q
aµ(x)Dµu(x) = f(x), x ∈ Ω, (1)
Bju(x) ≡
∑
|µ|≤mj
bj,µ(x)Dµu(x) = gj(x), x ∈ Γ, j = 1, . . . , q. (2)
Здесь A = A(x,D) — линейное дифференциальное выражение на Ω четного порядка 2q ≥ 2,
а каждое Bj = Bj(x,D) — граничное линейное дифференциальное выражение на Γ порядка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ 869
mj ≤ 2q − 1. Все коэффициенты дифференциальных выражений A и Bj предполагаются
бесконечно гладкими комплекснозначными функциями: aµ ∈ C∞(Ω) и bj,µ ∈ C∞(Γ). Положим
B := (B1, . . . , Bq).
Мы используем стандартные обозначения: µ := (µ1, . . . , µn) — мультииндекс, |µ| := µ1 +. . .
. . . + µn, Dµ := Dµ1
1 . . . Dµn
n , Dk := i∂/∂xk при k = 1, . . . , n, где i — мнимая единица, а
x = (x1, . . . , xn) — произвольная точка пространства Rn.
Всюду в работе предполагается, что краевая задача (1), (2) является регулярной эллипти-
ческой в области Ω. Это означает, что выражение A правильно эллиптическое в Ω, а набор
граничных выражений B нормальный и удовлетворяет условию дополнительности по отноше-
нию к A на Γ (см., например, [5] (гл. 2, п. 1.4) или [7] (п. 5.2.1)). Из условия нормальности
следует, что порядки mj граничных дифференциальных выражений все различны.
Наряду с (1), (2) рассмотрим краевую задачу
A+v ≡
∑
|µ|≤2q
Dµ(aµ v) = ω в Ω, (3)
B+
j v = hj на Γ, j = 1, . . . , q. (4)
Она формально сопряжена к задаче (1), (2) относительно формулы Грина
(Au, v)Ω +
q∑
j=1
(Bju,C
+
j v)Γ = (u,A+v)Ω +
q∑
j=1
(Cju,B
+
j v)Γ,
справедливой для любых функций u, v ∈ C∞(Ω). Здесь {B+
j }, {Cj} и {C+
j } — нормальные сис-
темы граничных линейных дифференциальных выражений с коэффициентами класса C∞(Γ).
Их порядки удовлетворяют условию
ordBj + ordC+
j = ordCj + ordB+
j = 2q − 1.
Здесь и далее через (·, ·)Ω и (·, ·)Γ обозначены скалярные произведения в комплексных гильбер-
товых пространствах L2(Ω) и L2(Γ), состоящих из функций, интегрируемых с квадратом в Ω
и на Γ соответственно, а также расширения по непрерывности этих скалярных произведений.
Краевая задача является регулярной эллиптической тогда и только тогда, когда формально
сопряженная к ней задача является регулярной эллиптической [5] (гл. 2, п. 2.5).
Обозначим
N :=
{
u ∈ C∞( Ω ): Au = 0 в Ω, Bju = 0 на Γ для j = 1, . . . , q
}
,
N+ :=
{
v ∈ C∞( Ω ): A+v = 0 в Ω, B+
j v = 0 на Γ для j = 1, . . . , q
}
.
Поскольку задачи (1), (2) и (3), (4) являются регулярными эллиптическими, пространства N
и N+ конечномерны [5] (гл. 2, п. 5.4). Отметим, что множество N+ не зависит от выбора
сопряженной системы граничных выражений {B+
1 , . . . , B
+
q }, удовлетворяющей формуле Грина
[5] (гл. 2, п. 2.5).
Мы исследуем линейное отображение u 7→ (Au,Bu) в расширенной соболевской шкале.
3. Расширенная соболевская шкала состоит из гильбертовых изотропных пространств
Хермандера Hϕ, для которых показателем гладкости является произвольный функциональный
параметр ϕ ∈ RO. Приведем определение класса RO и пространства Hϕ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
870 А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ
Класс RO состоит из всех измеримых по Борелю функций ϕ : [1,∞)→ (0,∞), для которых
существуют числа a > 1 и c ≥ 1 такие, что
c−1 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c для любых t ≥ 1, λ ∈ [1, a]
(постоянные a и c могут зависеть от ϕ ∈ RO). Такие функции называют RO- (или OR-) меня-
ющимися на бесконечности. Класс RO-меняющихся функций введен В. Г. Авакумовичем [32]
и достаточно полно изучен (см. [15] (приложение 1) и [16] (пп. 2.0 – 2.2)).
Этот класс допускает простое описание:
ϕ ∈ RO ⇔ ϕ(t) = exp
(
β(t) +
t∫
1
γ(τ)
τ
dτ
)
при t ≥ 1,
где действительные функции β и γ измеримы по Борелю и ограничены на полуоси [1,∞) (см.,
например, [15] (приложение 1, теорема 1)).
Нам понадобится следующее свойство класса RO [15] (приложение 1, теорема 2). Для
каждой функции ϕ ∈ RO существуют числа s0, s1 ∈ R, s0 ≤ s1, и c0, c1 > 0 такие, что
c0λ
s0 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c1λ
s1 для всех t ≥ 1, λ ≥ 1. (5)
Положим
σ0(ϕ) := sup {s0 ∈ R : верно левое неравенство в (5)},
σ1(ϕ) := inf {s1 ∈ R : верно правое неравенство в (5)};
здесь −∞ < σ0(ϕ) ≤ σ1(ϕ) < ∞. Числа σ0(ϕ) i σ1(ϕ) являются соответственно нижним и
верхним индексами Матушевской [33] функции ϕ ∈ RO (см. [16] (п. 2.1.2)).
Пусть ϕ ∈ RO. По определению, комплексное линейное пространство Hϕ(Rn), n ≥ 1,
состоит из всех распределений w ∈ S ′(Rn) таких, что их преобразование Фурье ŵ := Fw
локально суммируемо по Лебегу в Rn и удовлетворяет условию∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉) |ŵ(ξ)|2 dξ <∞.
Здесь S ′(Rn) — линейное топологическое пространство Л. Шварца медленно растущих комп-
лекснозначных распределений, заданных в Rn, а 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2 — сглаженный модуль
вектора ξ ∈ Rn. Нам удобно трактовать распределения как антилинейные непрерывные функ-
ционалы на пространстве S(Rn) основных функций.
В пространстве Hϕ(Rn) определено скалярное произведение распределений w1, w2 по
формуле
(w1, w2)Hϕ(Rn) :=
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉) ŵ1(ξ) ŵ2(ξ) dξ.
Оно задает на Hϕ(Rn) структуру гильбертового пространства и определяет норму
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ 871
‖w‖Hϕ(Rn) := (w,w)
1/2
Hϕ(Rn).
Это пространство сепарабельное; в нем плотно множество C∞0 (Rn) бесконечно дифференци-
руемых функций на Rn с компактным носителем.
Пространство Hϕ(Rn) — гильбертов изотропный случай пространств Bp,k, введенных и си-
стематически изученных Л. Хермандером в [3] (п. 2.2) (см. также его монографию [9] (п. 10.1)).
А именно, Hϕ(Rn) = Bp,k, если p = 2 и k(ξ) = ϕ(〈ξ〉) при ξ ∈ Rn. Отметим, что при p = 2
пространства Хермандера совпадают с пространствами, введенными и изученными Л. Р. Воле-
вичем и Б. П. Панеяхом [34] (§ 2).
Если функция ϕ степенная: ϕ(t) ≡ ts, то Hϕ(Rn) =: H(s)(Rn) является (гильбертовым)
пространством Соболева порядка s ∈ R.
В общем случае
s0 < σ0(ϕ) ≤ σ1(ϕ) < s1 ⇒ H(s1)(Rn) ↪→ Hϕ(Rn) ↪→ H(s0)(Rn), (6)
причем оба вложения непрерывны и плотны.
Следуя [25], класс гильбертовых функциональных пространств
{Hϕ(Rn) : ϕ ∈ RO} (7)
называем расширенной соболевской шкалой на Rn.
Нам необходимы ее аналоги для евклидовой области Ω и замкнутого многообразия Γ. Эти
аналоги строятся стандартным образом по классу (7) (см. [35] (п. 2) и [14] (п. 2.4.2)). Приведем
соответствующие определения. Как и прежде, ϕ ∈ RO.
Линейное пространство Hϕ(Ω) состоит из сужений в область Ω всех распределений w ∈
∈ Hϕ(Rn). В пространстве Hϕ(Ω) определена норма распределения u по формуле
‖u‖Hϕ(Ω) := inf
{
‖w‖Hϕ(Rn) : w ∈ Hϕ(Rn), w = u в Ω
}
.
Относительно этой нормы пространство Hϕ(Ω) гильбертово и сепарабельно, поскольку оно
является фактор-пространством гильбертова пространства Hϕ(Rn) по подпространству{
w ∈ Hϕ(Rn) : suppw ⊆ Rn \ Ω
}
.
Множество C∞(Ω) плотно в Hϕ(Ω).
Комплексное линейное пространство Hϕ(Γ) состоит из всех распределений на Γ, которые
в локальных координатах принадлежат к Hϕ(Rn−1). А именно, пусть произвольно выбран
конечный атлас из C∞-структуры на многообразии Γ, образованный локальными картами
αj : Rn−1 ↔ Uj , j = 1, . . . ,κ. (Открытые множества U1, . . . , Uκ составляют покрытие мно-
гообразия Γ.) Пусть, кроме того, произвольно выбраны функции χj ∈ C∞(Γ), j = 1, . . . ,κ,
образующие разбиение единицы на Γ и удовлетворяющие условию suppχj ⊂ Uj . Тогда
Hϕ(Γ) :=
{
h ∈ D′(Γ) : (χjh) ◦ αj ∈ Hϕ(Rn−1) для каждого j ∈ {1, . . . ,κ}
}
.
Здесь D′(Γ) — линейное топологическое пространство всех распределений на многообразии Γ,
а (χjh) ◦ αj — представление распределения χjh в локальной карте αj . В пространстве Hϕ(Γ)
определено скалярное произведение распределений h1 и h2 по формуле
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
872 А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ
(h1, h2)Hϕ(Γ) :=
κ∑
j=1
((χjh1) ◦ αj , (χj h2) ◦ αj)Hϕ(Rn−1).
Это пространство гильбертово сепарабельное и с точностью до эквивалентности норм не за-
висит от выбора атласа и разбиения единицы [14] (теорема 2.21). Множество C∞(Γ) плотно в
Hϕ(Γ).
Определенные выше функциональные пространства образуют расширенные соболевские
шкалы
{Hϕ(Ω): ϕ ∈ RO} и {Hϕ(Γ) : ϕ ∈ RO} (8)
на Ω и Γ соответственно. Они содержат шкалы гильбертовых пространств Соболева: если
ϕ(t) ≡ ts для некоторого s ∈ R, то Hϕ(Ω) =: H(s)(Ω) и Hϕ(Γ) =: H(s)(Γ) являются простран-
ствами Соболева порядка s.
Необходимые нам свойства шкал (8) будут рассмотрены в п. 5.
4. Основные результаты. Сформулируем основные результаты статьи о свойствах эллип-
тической краевой задачи (1), (2) в расширенной соболевской шкале. Их доказательства будут
приведены в п. 6.
Положим %(t) := t для произвольного t ≥ 1. Если ϕ ∈ RO и s ∈ R, то функция %sϕ ∈ RO,
при этом ее индексы Матушевской σj(%sϕ) = s+ σj(ϕ) для каждого j ∈ {0, 1}.
Теорема 1. Пусть ϕ ∈ RO и σ0(ϕ) > −1/2. Тогда отображение u 7→ (Au,Bu), где
u ∈ C∞(Ω), продолжается единственным образом (по непрерывности) до ограниченного
оператора
(A,B) : Hϕ%2q(Ω)→ Hϕ(Ω)⊕
q⊕
j=1
Hϕ%2q−mj−1/2
(Γ) =: Hϕ(Ω,Γ). (9)
Этот оператор фредгольмов. Его ядро совпадает с N, а область значений состоит из всех
векторов (f, g1, . . . , gq) ∈ Hϕ(Ω,Γ) таких, что
(f, v)Ω +
q∑
j=1
(gj , C
+
j v)Γ = 0 для всех v ∈ N+. (10)
Индекс оператора (9) равен dimN − dimN+ и не зависит от ϕ.
Напомним, что линейный оператор T : X → Y , где X и Y — банаховы пространства, назы-
вается фредгольмовым, если его ядро kerT и коядро Y/T (X) конечномерны. Если оператор T
фредгольмов, то его область значений T (X) замкнута в Y (см., например, [4] (лемма 19.1.1)),
а индекс indT := dim kerT − dim(Y/T (X)) конечен.
В частном случае, когда N = {0} и N+ = {0}, оператор (A,B) осуществляет изоморфизм
пространства Hϕ%2q(Ω) на Hϕ(Ω,Γ). В общем случае изоморфизм удобно строить с помощью
следующих проекторов.
Представим пространства, в которых действует оператор (9), в виде прямых сумм (замкну-
тых) подпространств:
Hϕ%2q(Ω) = N u
{
u ∈ Hϕ%2q(Ω): (u,w)Ω = 0 для всех w ∈ N
}
, (11)
Hϕ(Ω,Γ) = {(v, 0, . . . , 0) : v ∈ N+}u (A,B)
(
Hϕ%2q(Ω)
)
. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ 873
Такие разложения в прямые суммы существуют. В самом деле, (11) является сужением на
Hϕ%2q(Ω) разложения пространства L2(Ω) в ортогональную сумму подпространствN и L2(Ω)
N . Формула (12) справедлива, так как в ее правой части слагаемые имеют тривиальное
пересечение и (конечная) размерность первого слагаемого совпадает с коразмерностью второго
в силу теоремы 1.
Обозначим через P и P+ проекторы соответственно пространств Hϕ%2q(Ω) и Hϕ(Ω,Γ) на
второе слагаемое в суммах (11) и (12) параллельно первому слагаемому. Отображения P и P+
не зависят от ϕ.
Теорема 2. Пусть ϕ ∈ RO и σ0(ϕ) > −1/2. Сужение отображения (9) на подпростран-
ство P (Hϕ%2q(Ω)) является изоморфизмом
(A,B) : P (Hϕ%2q(Ω))↔ P+(Hϕ(Ω,Γ)). (13)
Для решения краевой задачи (1), (2) выполняется следующая априорная оценка.
Теорема 3. Пусть ϕ ∈ RO и σ0(ϕ) > −1/2. Тогда существует число c = c(ϕ) > 0 такое,
что
‖u‖
Hϕ%2q (Ω)
≤ c
(
‖(A,B)u‖Hϕ(Ω,Γ) + ‖u‖L2(Ω)
)
(14)
для произвольной функции u ∈ Hϕ%2q(Ω). Здесь c не зависит от u.
Исследуем локальную регулярность решения краевой задачи (1), (2) в расширенной собо-
левской шкале. Обозначим
H2q−1/2+(Ω) :=
⋃
l>2q−1/2
H(l)(Ω) =
⋃
α∈RO,
σ0(α)>2q−1/2
Hα(Ω)
(последнее равенство справедливо в силу (6)). Согласно теореме 1, для каждой функции u ∈
∈ H2q−1/2+(Ω) определены по замыканию правые части краевой задачи (1), (2).
Пусть V — произвольное открытое множество в Rn такое, что Ω0 := Ω ∩ V 6= ∅. Положим
Γ0 := Γ ∩ V (возможен случай, когда Γ0 = ∅). Введем локальные аналоги пространств Hα(Ω)
и Hα(Γ), где α ∈ RO. Обозначим
Hα
loc(Ω0,Γ0) :=
{
u ∈ D′(Ω): χu ∈ Hα(Ω)
для всех χ ∈ C∞(Ω) таких, что suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0
}
. (15)
Здесь D′(Ω) — линейное топологическое пространство всех распределений в области Ω. Топо-
логия в линейном пространстве Hα
loc(Ω0,Γ0) задается полунормами u 7→ ‖χu‖Hα(Ω), где χ —
произвольная функция, удовлетворяющая условию (15). Аналогично определяем
Hα
loc(Γ0) :=
{
h ∈ D′(Γ) : χh ∈ Hα(Γ) для всех χ ∈ C∞(Γ) таких, что suppχ ⊂ Γ0
}
.
Топология в линейном пространстве Hα
loc(Γ0) задается полунормами h 7→ ‖χh‖Hα(Γ), где χ ∈
∈ C∞(Γ) и suppχ ⊂ Γ0.
Теорема 4. Предположим, что функция u ∈ H2q−1/2+(Ω) является решением краевой
задачи (1), (2), правые части которой удовлетворяют условиям
f ∈ Hϕ
loc(Ω0,Γ0) и gj ∈ Hϕ%2q−mj−1/2
loc (Γ0) при j = 1, . . . , q
для некоторого функционального параметра ϕ ∈ RO такого, что σ0(ϕ) > −1/2. Тогда реше-
ние u ∈ Hϕ%2q
loc (Ω0,Γ0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
874 А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ
Отметим важные частные случаи этой теоремы.
Если Ω0 = Ω и Γ0 = Γ, то Hα
loc(Ω0,Γ0) = Hα(Ω) и Hα
loc(Γ0) = Hα(Γ) для любого α ∈ RO.
В этом случае теорема 4 утверждает, что регулярность решения u повышается глобально,
т. е. во всей области Ω вплоть до ее границы Γ.
Если Ω0 = Ω и Γ0 = ∅, то по теореме 4 регулярность решения u повышается в окрестности
каждой внутренней точки области Ω.
Теоремы 1 – 4 распространяют на расширенную соболевскую шкалу известные свойства
регулярных эллиптических краевых задач в пространствах Соболева [2, 5, 6, 8], а также в
уточненной соболевской шкале [14].
В связи с теоремой 2 отметим, что в статье Г. Шлензак [36] установлен аналог изоморфиз-
ма (13) для некоторого класса гильбертовых пространств Хермандера. Однако использованный
Г. Шлензак класс не имеет конструктивного описания.
В качестве применения расширенной соболевской шкалы приведем достаточное условие
непрерывности обобщенных частных производных (заданного порядка) решения эллиптиче-
ской краевой задачи.
Теорема 5. Пусть выполняется условие теоремы 4. Кроме того, предположим, что
∞∫
1
t2k+n−1−4qϕ−2(t)dt <∞ (16)
для некоторого целого k ≥ 0. Тогда u ∈ Ck(Ω0 ∪ Γ0).
Замечание 1. Условие (16) не только достаточное, но и необходимое на классе всех реше-
ний u, удовлетворяющих условию теоремы 4.
Особо выделим достаточное условие классичности решения u ∈ H2q−1/2+(Ω) краевой
задачи (1), (2). Положим m := max{m1, . . . ,mq}.
Теорема 6. Предположим, что функция u ∈ H2q−1/2+(Ω) является решением краевой
задачи (1), (2), правые части которой удовлетворяют условиям
f ∈ Hϕ1
loc(Ω,∅) ∩Hϕ2(Ω), (17)
gj ∈ Hϕ2%
2q−mj−1/2
(Γ) при j = 1, . . . , q (18)
для некоторых функциональных параметров ϕ1, ϕ2 ∈ RO таких, что σ0(ϕ1), σ0(ϕ2) > −1/2,
и
∞∫
1
tn−1ϕ−2
1 (t)dt <∞, (19)
∞∫
1
t2m+n−1−4qϕ−2
2 (t)dt <∞. (20)
Тогда u ∈ C2q(Ω) ∩ Cm(Ω), т. е. решение u классическое.
В связи с последней теоремой отметим следующее. Если u — классическое решение рас-
сматриваемой краевой задачи, то левые части равенств (1) и (2) вычисляются с помощью
классических производных, а сами равенства выполняются в каждой точке множества Ω либо
Γ соответственно. При этом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ 875
F = (A,B)u ∈ C(Ω)× (C(Γ))q. (21)
Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, не верно. А именно, из условия (21) не
следует, что решение u является классическим (см., например, [37] (п. 4.5, примечания)).
5. Вспомогательные результаты. Здесь мы изложим несколько полезных результатов, ко-
торые будут использованы в доказательствах теорем. Первые два из них относятся к свойствам
вложений пространств Хермандера.
Предложение 1. Пусть α, α1 ∈ RO. Отношение функций α/α1 ограничено в окрестнос-
ти ∞ тогда и только тогда, когда Hα1(Ω) ↪→ Hα(Ω). Это вложение непрерывно и плотно.
Оно компактно тогда и только тогда, когда α(t)/α1(t) → 0 при t → ∞. Это предложение
сохраняет силу, если в нем заменить Ω на Γ.
Предложение 1 является непосредственным следствием теорем 2.2.2 и 2.2.3 из монографии
Л. Хермандера [3].
В силу этого предложения верны следующие вложения для пространств Хермандера и
Соболева: если α ∈ RO, s0 < σ0(α) и s1 > σ1(α), то
H(s1)(Ω) ↪→ Hα(Ω) ↪→ H(s0)(Ω), (22)
H(s1)(Γ) ↪→ Hα(Γ) ↪→ H(s0)(Γ). (23)
Эти вложения компактны и плотны.
Предложение 2. Пусть произвольно выбраны функция α ∈ RO и целое число k ≥ 0.
Тогда
∞∫
1
t2k+n−1α−2(t) dt <∞ ⇔ Hα(Ω) ↪→ Ck(Ω).
Последнее вложение непрерывно.
Это предложение следует из теоремы 2.2.7 монографии Л. Хермандера [3] (см. соответству-
ющие рассуждения в [28] (лемма 2)).
Связь между расширенной соболевской шкалой и пространствами Соболева не исчерпыва-
ется вложениями (6) и их аналогами (22) и (23); она значительно глубже. А именно, каждое
пространство Hα, α ∈ RO, является результатом интерполяции с подходящим функциональ-
ным параметром пары соболевских пространств H(s0) и H(s1), если s0 < σ0(α) и σ1(α) < s1.
Это фундаментальное свойство будет использовано в доказательстве теоремы 1.
Метод интерполяции с функциональным параметром нормированных пространств впер-
вые появился в статье К. Фояша, Ж.-Л. Лионса [38] и был исследован рядом авторов (см.
монографии [24, 39] и приведенную в них библиографию).
Для наших целей достаточно воспользоваться интерполяцией с функциональным парамет-
ром сепарабельных гильбертовых пространств. Напомним ее определение и некоторые свой-
ства (см. монографию [14] (пп. 1.1, 2.4.2) или статью [40] (п. 2), где эти вопросы изложены
систематически).
Пусть задана упорядоченная параX := [X0, X1] сепарабельных комплексных гильбертовых
пространствX0 иX1 такая, что выполняется непрерывное и плотное вложениеX1 ↪→ X0. Пару
X называем допустимой. Для нее существует изометрический изоморфизм J : X1 ↔ X 0 такой,
что J является самосопряженным положительно определенным оператором в пространстве X0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
876 А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ
с областью определения X1. Оператор J определяется парой X однозначно; он называется
порождающим для X .
Обозначим через B множество всех измеримых по Борелю функций ψ : (0,∞) → (0,∞),
которые ограничены на каждом отрезке [a, b] и отделены от нуля на каждом множестве [r,∞),
где 0 < a < b <∞ и r > 0.
Пусть ψ ∈ B. В пространстве X0 определен, как функция от J , оператор ψ(J). Обозначим
через [X0, X1]ψ или, короче, Xψ область определения оператора ψ(J), наделенную скалярным
произведением
(w1, w2)Xψ := (ψ(J)w1, ψ(J)w2)X0
и соответствующей нормой ‖w‖Xψ = (w,w)
1/2
Xψ
. Пространство Xψ гильбертово и сепарабельно,
при этом выполняется непрерывное и плотное вложение Xψ ↪→ X0.
Функцию ψ ∈ B называем интерполяционным параметром, если для произвольных допу-
стимых пар X = [X0, X1] и Y = [Y0, Y1] гильбертовых пространств и для любого линейного
отображения T , заданного на X0, выполняется следующее. Если при каждом j ∈ {0, 1} суже-
ние отображения T на пространство Xj является ограниченным оператором T : Xj → Yj , то и
сужение отображения T на пространство Xψ является ограниченным оператором T : Xψ → Yψ.
Тогда будем говорить, что пространство Xψ получено интерполяцией с функциональным па-
раметром ψ пары X .
Функция ψ ∈ B является интерполяционным параметром тогда и только тогда, когда она
псевдовогнута в окрестности бесконечности, т. е. ψ(t) � ψ1(t) при t � 1 для некоторой поло-
жительной вогнутой функции ψ1(t). (Здесь ψ � ψ1 означает ограниченность обоих отношений
ψ/ψ1 и ψ1/ψ на указанном множестве.) Этот важный факт вытекает из теоремы Ж. Петре [41]
об описании всех интерполяционных функций положительной степени (см. также монографию
[42] (п. 5.4)).
Упомянутое выше интерполяционное свойство расширенной соболевской шкалы формули-
руется следующим образом.
Предложение 3. Пусть заданы функция α ∈ RO и числа s0, s1 ∈ R такие, что s0 < σ0(α)
и s1 > σ1(α). Положим
ψ(t) =
{
t−s0/(s1−s0) α
(
t1/(s1−s0)
)
при t ≥ 1,
α(1) при 0 < t < 1.
(24)
Тогда функция ψ ∈ B является интерполяционным параметром и выполняются следующие
равенства пространств с эквивалентностью норм в них:[
H(s0)(Ω), H(s1)(Ω)
]
ψ
= Hα(Ω), (25)
[
H(s0)(Γ), H(s1)(Γ)
]
ψ
= Hα(Γ). (26)
Формула (25) установлена в [35] (теорема 5.1), а (26) — в [14] (теорема 2.21). Отметим, что
при условии предложения 3 также[
H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)
]
ψ
= Hα(Rn)
с равенством норм [14] (теорема 2.19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ 877
Укажем еще два важных свойства расширенной соболевской шкалы {Hα : α ∈ RO}. Она
замкнута относительно интерполяции с функциональным параметром и совпадает (с точно-
стью до эквивалентности норм) с классом всех гильбертовых пространств, интерполяционных
для пар соболевских пространств [H(s0), H(s1)], где s0, s1 ∈ R и s0 < s1. Последнее свойство
следует из теоремы В. И. Овчинникова [24] (п. 11.4) об описании всех гильбертовых про-
странств, интерполяционных для заданной пары гильбертовых пространств (см. пояснения в
[14] (п. 2.4.2)). Напомним, что свойство (гильбертового) пространства H быть интерполяцион-
ным для допустимой пары X = [X0, X1] означает следующее: а) выполняются непрерывные
вложения X1 ↪→ H ↪→ X0, б) любой линейный оператор, ограниченный на каждом из про-
странств X0 и X1, является ограниченным и на X .
В конце этого пункта приведем два общих свойства интерполяции, которые будут использо-
ваны в доказательствах. Первое из них показывает, что при интерполяции пространств насле-
дуется не только ограниченность, но и фредгольмовость линейных операторов при некоторых
дополнительных условиях [14] (п. 1.1.7).
Предложение 4. Пусть X = [X0, X1] и Y = [Y0, Y1] — допустимые пары гильбертовых
пространств. Пусть, кроме того, на X0 задано линейное отображение T такое, что его
сужения на пространства Xj , j = 0, 1, являются фредгольмовыми ограниченными операто-
рами T : Xj → Yj , которые имеют общее ядро и одинаковый индекс. Тогда для произвольного
интерполяционного параметра ψ ∈ B ограниченный оператор T : Xψ → Yψ фредгольмов с
тем же ядром и индексом, а его область значений равна Yψ ∩ T (X0).
Второе свойство сводит интерполяцию ортогональных сумм гильбертовых пространств к
интерполяции слагаемых [14] (п. 1.1.5).
Предложение 5. Пусть задано конечное число допустимых пар [X
(k)
0 , X
(k)
1 ], k = 1, . . . , p,
гильбертовых пространств. Тогда для произвольного ψ ∈ B выполняется[ p⊕
k=1
X
(k)
0 ,
p⊕
k=1
X
(k)
1
]
ψ
=
p⊕
k=1
[
X
(k)
0 , X
(k)
1
]
ψ
с равенством норм.
6. Доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 1. В случае про-
странств Соболева, т. е. когда ϕ(t) ≡ ts и s > −1/2, эта теорема доказана (см. [5] (гл. 2,
теорема 5.4) для s ≥ 0 и [6] (теоремы 4.1.3 и 5.3.1) для s > −1/2). В общей ситуации произ-
вольного ϕ ∈ RO мы выведем теорему 1 из соболевского случая с помощью интерполяции с
функциональным параметром.
Выберем действительные числа l0 и l1 так, чтобы −1/2 < l0 < σ0(ϕ) и σ1(ϕ) < l1. Отоб-
ражение u 7→ (Au,Bu), где u ∈ C∞(Ω), продолжается по непрерывности до фредгольмовых
ограниченных операторов
(A,B) : H(lr+2q)(Ω)→ H(lr)(Ω)⊕
q⊕
j=1
H(lr+2q−mj−1/2)(Γ) =: H(lr)(Ω,Γ), r = 0, 1, (27)
действующих в пространствах Соболева. Эти операторы имеют общее ядро N и одинаковый
индекс, равный dimN − dimN+. Кроме того,
(A,B)
(
H(lr+2q)(Ω)
)
=
{
(f, g1, . . . , gq) ∈ H(lr)(Ω,Γ): верно (10)
}
. (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
878 А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ
Определим функцию ψ по формуле (24), в которой полагаем α := ϕ, s0 := l0 и s1 :=
:= l1. Согласно предложению 3 функция ψ является интерполяционным параметром. Поэтому
в силу предложения 4 из ограниченности и фредгольмовости обоих операторов (27) следует
ограниченность и фредгольмовость оператора
(A,B) :
[
H(l0+2q)(Ω), H(l1+2q)(Ω)
]
ψ
→
[
H(l0)(Ω,Γ),H(l1)(Ω,Γ)
]
ψ
. (29)
Он является сужением оператора (27), где r = 0. Покажем, что отображение (29) является
оператором (9) из формулировки теоремы 1.
На основании предложения 3 имеем следующие равенства пространств с точностью до
эквивалентности норм в них: [
H(l0)(Ω), H(l1)(Ω)
]
ψ
= Hϕ(Ω), (30)
[
H(l0+2q)(Ω), H(l1+2q)(Ω)
]
ψ
= Hϕ%2q(Ω), (31)
[
H(l0+2q−mj−1/2)(Γ), H(l1+2q−mj−1/2)(Γ)
]
ψ
= Hϕ%2q−mj−1/2
(Γ) при j = 1, . . . , q. (32)
Относительно двух последних формул отметим следующее. Равенство (31) получаем, полагая
α := ϕ%2q, s0 := l0 + 2q и s1 := l1 + 2q в предложении 3, а равенство (32) получаем, полагая
там
α := ϕ%2q−mj−1/2, s0 := l0 + 2q −mj − 1/2, s1 := l1 + 2q −mj − 1/2.
При этом для обеих формул функция ψ удовлетворяет (24).
Из формул (30) и (32) в силу предложения 5 следует, что[
H(l0)(Ω,Γ),H(l1)(Ω,Γ)
]
ψ
=
[
H(l0)(Ω), H(l1)(Ω)
]
ψ
⊕
⊕
q⊕
j=1
[
H(l0+2q−mj−1/2)(Γ), H(l1+2q−mj−1/2)(Γ)
]
ψ
= Hϕ(Ω,Γ) (33)
с точностью до эквивалентности норм.
Теперь на основании равенств (31) и (33) делаем вывод, что ограниченный и фредгольмов
оператор (29) действует в паре пространств (A,B) : Hϕ%2q(Ω)→ Hϕ(Ω,Γ). В силу предложе-
ния 4 ядро этого оператора и его индекс совпадают с общим ядром N и одинаковым индексом
dimN − dimN+ операторов (27). Кроме того,
(A,B)
(
Hϕ%2q(Ω)
)
= Hϕ(Ω,Γ) ∩ (A,B)
(
H(l0+2q)(Ω)
)
=
=
{
(f, g1, . . . , gq) ∈ Hϕ(Ω,Γ): верно (10)
}
.
Здесь также использовано равенство (28) и вложение Hϕ(Ω,Γ) ↪→ H(l0)(Ω,Γ), которое следует
из формул (22) и (23). Остается отметить, что этот оператор является продолжением по непре-
рывности отображения u 7→ (Au,Bu), где u ∈ C∞(Ω), так как множество C∞(Ω) плотно в
пространстве Hϕ%2q(Ω).
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ 879
Доказательство теоремы 2. По теореме 1 сужение оператора (9) на P (Hϕ%2q(Ω)) является
непрерывным и биективным отображением подпространства P (Hϕ%2q(Ω)) на подпространство
P+(Hϕ(Ω,Γ)). Следовательно, по теореме Банаха об обратном операторе оно является изомор-
физмом (13).
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Для произвольной функции u ∈ Hϕ%2q(Ω) в силу теоремы 2
имеем
‖u‖
Hϕ%2q (Ω)
≤ ‖Pu‖
Hϕ%2q (Ω)
+ ‖u− Pu‖
Hϕ%2q (Ω)
≤
≤ c1‖(A,B)Pu‖Hϕ(Ω,Γ) + c2‖u− Pu‖L2(Ω).
Здесь c1 — норма оператора, обратного к изоморфизму (13), а c2 — некоторое положительное
число, не зависящее от u. Это число существует, так как функция u−Pu принадлежит конечно-
мерному пространствуN , а в нем эквивалентны все нормы, в частности нормы в пространствах
Hϕ%2q(Ω) и L2(Ω). Отсюда с учетом формул
(A,B)Pu = (A,B)u и ‖u− Pu‖L2(Ω) ≤ ‖u‖L2(Ω)
получаем требуемую оценку (14).
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 4. По условию, u ∈ H(s+2q)(Ω) для некоторого числа s, удовле-
творяющего неравенству−1/2 < s < σ0(ϕ). Отметим, что в силу (22) пространствоH(s+2q)(Ω)
шире, чем Hϕ%2q(Ω).
Сначала установим теорему в случае глобальной регулярности, когда Ω0 = Ω и Γ0 = Γ.
Тогда, по условию, F := (A,B)u ∈ Hϕ(Ω,Γ). Следовательно, на основании теоремы 1 (ис-
пользованной также в соболевском случае ϕ(t) ≡ ts) запишем
F ∈ Hϕ(Ω,Γ) ∩ (A,B)
(
H(s+2q)(Ω)
)
= (A,B)
(
Hϕ%2q(Ω)
)
.
Значит, наряду с условием (A,B)u = F выполняется равенство (A,B)v = F для некоторой
функции v ∈ Hϕ%2q(Ω). Тогда (A,B)(u − v) = 0, что по теореме 1 (для ϕ(t) ≡ ts) влечет за
собой включения
w := u− v ∈ N ⊂ C∞(Ω) и u = v + w ∈ Hϕ%2q(Ω).
В рассмотренном случае теорема 4 доказана.
Докажем ее в общем случае. Обозначим
Υ :=
{
χ ∈ C∞(Ω) : suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0
}
.
Сначала покажем, что в силу условия теоремы 4 выполняется импликация для каждого i ∈ N:(
χu ∈ Hϕ%2q(Ω) +H(s+i−1+2q)(Ω) для всех χ ∈ Υ
)
⇒
⇒
(
χu ∈ Hϕ%2q(Ω) +H(s+i+2q)(Ω) для всех χ ∈ Υ
)
. (34)
Здесь и далее в доказательстве используем алгебраические суммы пространств.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
880 А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ
Произвольно выберем i ∈ N и предположим, что истинна посылка импликации (34). Рас-
смотрим любую функцию χ ∈ Υ и выберем функцию η ∈ Υ такую, что η = 1 в окрест-
ности suppχ. По условию, χF ∈ Hϕ(Ω,Γ), где F := (A,B)u.
Переставив оператор умножения на функцию χ с дифференциальным оператором (A,B),
можем записать следующее:
χF = χ(A,B)(ηu) = (A,B)(χηu)− (A′, B′)(ηu),
(A,B)(χu) = χF + (A′, B′)(ηu).
(35)
Здесь (A′, B′) — некоторый дифференциальный оператор вида (A,B), порядки компонент ко-
торого меньше (по крайней мере на единицу), чем порядки соответствующих компонент опе-
ратора (A,B). В силу посылки импликации (34) имеем ηu = u1 + u2 для некоторых функций
u1 ∈ Hϕ%2q(Ω) и u2 ∈ H(s+i−1+2q)(Ω).
Отсюда в силу (35) можем записать (A,B)(χu) = F1 + F2, где
F1 := χF + (A′, B′)u1 ∈ Hϕ(Ω,Γ), (36)
F2 := (A′, B′)u2 ∈ H(s+i)(Ω,Γ). (37)
Объясним включения, фигурирующие в формулах (36) и (37). Здесь H(l)(Ω,Γ) обозначает
пространство Hα(Ω,Γ) в соболевском случае α(t) ≡ tl и l ∈ R. Поскольку покомпонентно
ord (A′, B′) ≤ ord (A,B) − 1, то отображение v 7→ (A′v,B′v), где v ∈ C∞(Ω), продолжается
по непрерывности до ограниченного оператора
(A′, B′) : H(l+2q)(Ω)→ H(l+1)(Ω,Γ) для каждого l > m− 2q + 1/2.
Отсюда при l := s+ i− 1 и из включения u2 ∈ H(s+i−1+2q)(Ω) следует (37).
Далее, из ограниченности операторов
(A′, B′) : H(li+2q)(Ω)→ H(li+1)(Ω,Γ) ↪→ H(li)(Ω,Γ) при i = 0, 1
в силу интерполяционных формул (31) и (33) следует ограниченность оператора
(A′, B′) : Hϕ%2q(Ω) =
[
H(l0+2q)(Ω), H(l1+2q)(Ω)
]
ψ
→
→
[
H(l0)(Ω,Γ),H(l1)(Ω,Γ)
]
ψ
= Hϕ(Ω,Γ). (38)
Здесь числа l0 и l1 и интерполяционный параметр ψ такие, как в доказательстве теоремы 1.
Теперь формула (36) является следствием (38) и включений χF ∈ Hϕ(Ω,Γ), u1 ∈ Hϕ%2q(Ω).
Воспользуемся проектором P+ и теоремой 2 (в соболевском случае тоже). Из равенства
(A,B)(χu) = F1 + F2 и включений (36) и (37) следует, что
(A,B)(χu) = P+(A,B)(χu) = P+F1 + P+F2 = (A,B)v1 + (A,B)v2.
Здесь функции
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ 881
v1 ∈ P
(
Hϕ%2q(Ω)
)
и v2 ∈ P
(
H(s+i+2q)(Ω)
)
(39)
являются решениями (единственными) задач
(A,B)v1 = P+F1 ∈ P+
(
Hϕ(Ω,Γ)
)
и (A,B)v2 = P+F2 ∈ P+
(
H(s+i)(Ω,Γ)
)
.
Теперь из равенства
(A,B)(χu) = (A,B)(v1 + v2)
следует, что
χu = v1 + (v2 + w) для некоторого w ∈ N ⊂ C∞(Ω).
Эта формула с учетом вложений (39) и произвольности функции χ ∈ Υ означает истинность
заключения импликации (34).
Таким образом, мы доказали, что эта импликация справедлива для каждого i ∈ N. По
условию u ∈ H(s+2q)(Ω); поэтому посылка импликации (34) является истинной при i = 1.
Выберем число p ∈ N так, чтобы s+ p > σ1(ϕ). Тогда в силу (22)
H(s+p+2q)(Ω) ⊂ Hϕ%2q(Ω).
Используя импликацию (34) последовательно для значений i = 1, 2, . . . , p, делаем вывод, что
χu ∈ Hϕ%2q(Ω) +H(s+p+2q)(Ω) = Hϕ%2q(Ω) для всех χ ∈ Υ.
Таким образом, u ∈ Hϕ%2q
loc (Ω0,Γ0).
Теорема 4 доказана.
Доказательство теоремы 5. Произвольно выберем точку x ∈ Ω0 ∪ Γ0 и функцию χ ∈
∈ C∞(Ω) такую, что suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0 и χ = 1 в некоторой окрестности точки x. В силу
теоремы 4, условия (16) и предложения 2, в котором берем α(t) ≡ ϕ(t)t2q, получаем включение
χu ∈ Hϕρ2q(Ω) ⊂ Ck(Ω).
Отсюда с учетом выбора x и χ следует, что u ∈ Ck(Ω0 ∪ Γ0).
Теорема 5 доказана.
Обоснуем также замечание 1 к этой теореме. Пусть целое k ≥ 0. Предположим, что для каж-
дого решения u, удовлетворяющего условию теоремы 4, выполняется включение u ∈ Ck(Ω0 ∪
∪ Γ0). Покажем, что тогда верно (16). Любая функция u ∈ Hϕ%2q(Ω) удовлетворяет условию
теоремы 4 и поэтому принадлежит пространству Ck(Ω0) согласно нашему предположению.
Отсюда следует вложение Hϕ%2q(Ω1) ⊂ Ck(Ω1), где Ω1 — некоторый (произвольно выбранный)
открытый шар в Rn, замыкание которого лежит в Ω0. В силу предложения 2 это вложение
влечет за собой (16).
Доказательство теоремы 6. Из условий (17) (включение f ∈ Hϕ1
loc(Ω,∅)) и (19) на основа-
нии теоремы 5 следует, что u ∈ C2q(Ω). Кроме того, из условий (17) (включение f ∈ Hϕ2(Ω)),
(18) и (20) в силу той же теоремы следует, что u ∈ Cm(Ω).
Теорема 6 доказана.
1. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems. – Princeton, N.J.: Van Nostrand Reinhold, 1965. – 292 p.
2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка,
1965. – 800 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
882 А. В. АНОП, А. А. МУРАЧ
3. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.
4. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. – М.: Мир, 1987. –
Т. 3. – 696 с.
5. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с.
6. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1996. – xii+415 p.
7. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир,
1980. – 664 с.
8. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Partial Different. Equat., IX. – Berlin:
Springer, 1997. – P. 1 – 144.
9. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. – М.: Мир, 1986. –
Т. 2. – 456 с.
10. Jacob N. Pseudodifferential operators and Markov processes: In 3 vol. – London: Imperial College Press, 2001, 2002,
2005.
11. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – x+306 p.
12. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem. – Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
13. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin; Boston: De Gruyter,
2014. – xii + 297 p. (Рус изд. доступно как arXiv: 1106.3214.)
15. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
16. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p.
17. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic operators in a refined scale of functional spaces // Ukr. Math. J. – 2005. – 57,
№ 5. – P. 817 – 825.
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
20. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic operator with homogeneous regular boundary conditions in a two-sided
refined scale of spaces // Ukr. Math. Bull. – 2006. – 3, № 4. – P. 529 – 560.
21. Mikhailets V. A., Murach A. A. Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided
improved scale of spaces // Ukr. Math. J. – 2006. – 58, № 11. – P. 1748 – 1767.
22. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces // Ukr. Math. J. –
2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
23. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
24. Ovchinnikov V. I. The methods of orbits in interpolation theory // Math. Rep. Ser. 1. – 1984. – № 2. – P. 349 – 515.
25. Mikhailets V. A., Murach A. A. Extendet Sobolev scale and elliptic operators // Ukr. Math. J. – 2013. – 65, № 3. –
P. 435 – 447.
26. Михайлец В. А., Мурач А. А. Об эллиптических операторах на замкнутом многообразии // Доп. НАН України. –
2009. – № 3. – С. 13 – 19.
27. Murach A. A. On elliptic systems in Hörmander spaces // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 3. – P. 467 – 477.
28. Zinchenko T. N., Murach A. A. Douglis – Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces // Ukr. Math. J. – 2013. –
64, № 11. – P. 1672 – 1687.
29. Murach A. A., Zinchenko T. Parameter-elliptic operators on the extended Sobolev scale // Meth. Funct. Anal. and
Top. – 2013. – 19, № 1. – P. 29 – 39.
30. Зинченко Т. Н. Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале // Доп. НАН України. – 2013. –
№ 3. – С. 14 – 20.
31. Zinchenko T. N., Murach A. A. Petrovskii elliptic systems in the extended Sobolev scale // J. Math. Sci. (N. Y.). –
2014. – 196, № 5. – P. 721 – 732.
32. Avakumović V. G. O jednom O-inverznom stavu // Rad. Jugoslovenske Akad. Znatn. Umjetnosti. – 1936. – 254. –
P. 167 – 186.
33. Matuszewska W. On a generalization of regularly increasing functions // Stud. Math. – 1964. – 24. – P. 271 – 279.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В РАСШИРЕННОЙ СОБОЛЕВСКОЙ ШКАЛЕ 883
34. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
35. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces for a couple of Sobolev spaces. – Preprint
arXiv:1106.2049v2 [math.FA] 25 Dec. 2012. – 15 p.
36. Slenzak G. Elliptic problems in a refined scale of spaces // Moscow Univ. Math. Bull. – 1974. – 29, № 3 – 4. –
P. 80 – 88.
37. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго
порядка. – М.: Наука, 1989. – 464 с.
38. Foiaş C., Lions J.-L. Sur certains théorèmes d’interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1961. – 22, № 3 – 4. –
P. 269 – 282.
39. Brudnyi Yu A, Krugljak N Ya. Interpolation functors and interpolation spaces. – Amsterdam: North-Holland, 1991. –
xvi+718 p.
40. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
41. Peetre J. On interpolation functions. II // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1968. – 29, № 1 – 2. – P. 91 – 92.
42. Берг Й, Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. – М.: Мир, 1980. – 264 с.
Получено 01.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
|