Зображувальний тип нодальних алгебр типу D
Определены представленческие типы (конечный, ручной, дикий) нодальных алгебр типа D.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166052 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Зображувальний тип нодальних алгебр типу D / Ю.А. Дрозд, В.В. Зембик // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 930–938. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166052 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660522020-02-19T01:26:09Z Зображувальний тип нодальних алгебр типу D Дрозд, Ю.А. Зембик, В.В. Статті Определены представленческие типы (конечный, ручной, дикий) нодальных алгебр типа D. We establish the representation types (finite, tame, or wild) of nodal algebras of type D. 2014 Article Зображувальний тип нодальних алгебр типу D / Ю.А. Дрозд, В.В. Зембик // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 930–938. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166052 512.552.8 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Дрозд, Ю.А. Зембик, В.В. Зображувальний тип нодальних алгебр типу D Український математичний журнал |
| description |
Определены представленческие типы (конечный, ручной, дикий) нодальных алгебр типа D. |
| format |
Article |
| author |
Дрозд, Ю.А. Зембик, В.В. |
| author_facet |
Дрозд, Ю.А. Зембик, В.В. |
| author_sort |
Дрозд, Ю.А. |
| title |
Зображувальний тип нодальних алгебр типу D |
| title_short |
Зображувальний тип нодальних алгебр типу D |
| title_full |
Зображувальний тип нодальних алгебр типу D |
| title_fullStr |
Зображувальний тип нодальних алгебр типу D |
| title_full_unstemmed |
Зображувальний тип нодальних алгебр типу D |
| title_sort |
зображувальний тип нодальних алгебр типу d |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166052 |
| citation_txt |
Зображувальний тип нодальних алгебр типу D / Ю.А. Дрозд, В.В. Зембик // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 930–938. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT drozdûa zobražuvalʹnijtipnodalʹnihalgebrtipud AT zembikvv zobražuvalʹnijtipnodalʹnihalgebrtipud |
| first_indexed |
2025-07-14T20:39:45Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:39:45Z |
| _version_ |
1837656269173817344 |
| fulltext |
УДК 512.552.8
Ю. А. Дрозд, В. В. Зембик (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗОБРАЖУВАЛЬНИЙ ТИП НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР ТИПУ D
We establish representation types (finite, tame, wild) of nodal algebas of type D.
Определены представленческие типы (конечный, ручной, дикий) нодальных алгебр типа D.
Ця стаття є продовженням роботи [1], в якiй було введено нодальнi алгебри i встановлено
зображувальнi типи (скiнченний, ручний, дикий) нодальних алгебр типу A, тобто таких, якi
отримуються роздуттями i склеюваннями з сагайдакiв типу A або Ã. У цiй роботi ми встано-
вимо зображувальнi типи нодальних алгебр типу D, тобто таких, якi отримуються роздуттями
i склеюваннями з сагайдакiв типу D або D̃, але не є нодальними алгебрами типу A.
1. Нодальнi алгебри. Ми фiксуємо алгебраїчно замкнене поле k i розглядаємо лише скiн-
ченновимiрнi k-алгебри. Нагадаємо означення й конструкцiю нодальних алгебр [1, 2].
Означення 1.1. Алгебра A називається нодальною, якщо iснує спадкова алгебра H ⊃ A
така, що:
(1) radA = radH;
(2) lengthA(H ⊗A U) ≤ 2 для кожного простого лiвого A-модуля U.
Будемо казати, що нодальна алгебра A пов’язана зi спадковою алгеброю H.
Нагадаємо, що алгебра A називається базовою [3], якщо її фактор-алгебра Ā = A/ radA
iзоморфна прямому добутку тiл. А оскiльки ми розглядаємо алгебри над алгебраїчно замкненим
полем k, то в даному випадку A/ radA ' km для деякого m. З теорема Морiти [3] випливає,
що алгебра i її базова алгебра мають однаковий зображувальний тип. У статтi [1] встановлено,
що якщо алгебра A є нодальною й пов’язана зi спадковою алгеброю H, то й її базова алгебра є
нодальною й пов’язаною зi спадковою алгеброю, яка є Морiта-еквiвалентною до H. Тому далi
ми обмежимося розглядом лише базових нодальних алгебр.
Нагадаємо конструкцiю, яка дає всi базовi нодальнi алгебри [1, 2]. Назвемо нодальними
даними набiр, який складається з:
(1) сагайдака Q;
(2) бiнарного симетричного вiдношення ∼ на множинi Q0 (вершин сагайдака Q) такого,
що для кожної вершини i ∈ Q0 є не бiльше нiж одна вершина j ∈ Q0 така, що i ∼ j.
За цими даними будується базова нодальна алгебра A(Q,∼) у такий спосiб:
1. Розглядаємо спадкову алгебру H iз сагайдаком Q i кратностями вершин
mj =
1, якщо j � j,
2, якщо j ∼ j.
2. У фактор-алгебрi H̄ = H/ radH =
∏s
j=1
Mat(mj ,k) розглядаємо пiдалгебру Ā, яка
складається з таких наборiв (a1, . . . , as), що:
aj = ak, якщо j ∼ k i k 6= j; у цьому випадку ми будемо казати, що A отримується з H
склеюванням вершин j та k сагайдака Q;
aj є дiагональною матрицею, якщо j ∼ j; у цьому випадку ми будемо казати, що A
отримується з H роздуттям вершини j сагайдака Q.
c© Ю. А. ДРОЗД, В. В. ЗЕМБИК, 2014
930 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ЗОБРАЖУВАЛЬНИЙ ТИП НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР ТИПУ D 931
3. Розглядаємо пiдалгебру A = A(Q,∼) ⊂ H, яка є прообразом пiдалгебри Ā ⊂ H̄; за
побудовою, ця алгебра є базовою.
У [1, 2] доведено, що кожна базова нодальна алгебра A iзоморфна алгебрi, яка отримується
iз базової спадкової алгебри H iз сагайдаком Q за допомогою деякої послiдовностi склеювань
i роздуттiв вершин цього сагайдака.
Нагадаємо, що склеювання вершин i та j сагайдакаQ називають неiстотним, якщо не iснує
стрiлок, якi входять у вершину i (вiдповiдно, виходять iз вершини i), та стрiлок, якi виходять
iз вершини j (вiдповiдно, входять у вершину j). Вiдомо [1], що такi склеювання не впливають
на зображувальний тип алгебри A.
2. Нодальнi алгебри типу D. Якщо Q — сагайдак типу A або Ã, то кажуть, що нодальна
алгебра A є нодальною алгеброю типу A. У цьому випадку зображувальний тип алгебри A
(скiнченний, ручний, дикий) визначено в роботi [1]. Нас цiкавитиме випадок, колиQ — сагайдак
типу D або D̃:
1
α
Dn+3 : 3
γ1
4
γ2
. . . (n+ 3)
γn
2 β
1
α
1′α′
D̃n+3 : 3
γ1
4
γ2
. . . (n+ 2)
γn−1
2 β 2′β′
(2.1)
з довiльною орiєнтацiєю ребер. Далi ми використовуватимемо позначення вершин i стрi-
лок з (2.1).
Позначимо черезQ′ сагайдак, який одержується зQ вилученням вершини 2 i ребра β. Якщо
сагайдак Q є типу D, то сагайдак Q′ має тип A; якщо ж Q є типу D̃, то Q′ матиме тип D.
Зауваження 2.1. Припустимо, що жодна з вершин 1, 2 не бере участь у склеюваннях. Якщо
обидвi стрiлки α, β починаються (або обидвi закiнчуються) у вершинi 3, то алгебру A можна
одержати iз сагайдака Q′, зробивши тi самi склеювання й роздуття та додавши ще роздуття
вершини 1. Нехай тепер одна з цих стрiлок починається у вершинi 3, а друга там закiнчується.
Якщо α (або β) не входить до спiввiдношень алгебри A, то до вершини 1 (вiдповiдно, 2) можна
застосувати вiддзеркалення з роботи [4], одержавши зображення алгебри, яка вiдрiзняється вiд
A лише орiєнтацiєю стрiлки α (вiдповiдно, β). Але неважко переконатися, що за будь-яких
склеювань, у яких вершини 1 та 2 не беруть участi, та роздуттiв вершин, вiдмiнних вiд 3,
принаймнi одна зi стрiлок α чи β не увiйде до спiввiдношень. Отже, цей випадок зводиться до
попереднього. Звичайно, те саме стосується вершин 1′ i 2′ у випадку сагайдака типу D̃.
З огляду на це зауваження введемо таке означення.
Означення 2.1. Назвемо нодальну алгебруA нодальною алгеброю типу D, якщо у вiдповiд-
них нодальних даних сагайдак Q має тип D або D̃, причому або одна з вершин 1, 2 бере участь
у склеюваннi, або застосовується роздуття вершини 3. У випадку сагайдака типу D̃ ми, крiм
того, вважаємо, що або одна з вершин 1′, 2′ бере участь у склеюваннi, або застосовується
роздуття вершини (n+ 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
932 Ю. А. ДРОЗД, В. В. ЗЕМБИК
Наступнi теореми описують зображувальнi типи нодальних алгебр типу D. При цьому
напрямок стрiлок, не вказаний явно на дiаграмах, є довiльним i не впливає на зображувальний
тип.
Теорема 2.1. Нехай нодальна алгебра A є iзоморфною або антиiзоморфною до алгебри,
яка одержана з сагайдака типу D деякими неiстотними склеюваннями та однiєю з наступних
операцiй:
(1) склеюванням вершин 1 i 3 у сагайдаку
1
α
&&
3
γ1 // 4
γ2
. . .
γn
(n+ 3)
2 β
88 (2.2)
при n ≤ 2;
(2) склеюванням вершин 1 i 3 у сагайдаку
1
α
&&
3
βxx
4
γ1oo
γ2
. . .
γn
(n+ 3)
2
(2.3)
при n ≤ 4;
(3) склеюванням вершин 1 i (n+ 2) у сагайдаку
1
α
&&
3
γ1
. . .
γn−1// (n+ 2)
γn // (n+ 3)
2 β
(2.4)
при 2 ≤ n ≤ 4.
Тодi A має скiнченний зображувальний тип.
Теорема 2.2. Нехай нодальна алгебра A є iзоморфною або антиiзоморфною до алгебри,
яка одержана з сагайдака типу D або D̃ неiстотними склеюваннями та однiєю з наступних
операцiй:
(1) склеюванням вершин 1 i 3 у сагайдаку (2.3) при n = 5;
(2) склеюванням вершин 1 i 3 у сагайдаку
1 α
''
3
γ1 //
βxx
4
2
;
(3) склеюванням вершин 1 i 4 у сагайдаку
1 α
''
3
γ1 // 4
γ2 // 5
γ3
6
2 β
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ЗОБРАЖУВАЛЬНИЙ ТИП НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР ТИПУ D 933
(4) склеюванням вершин 1 i (n+ 2) у сагайдаку (2.4) при n = 5;
(5) роздуттям вершини 3 у сагайдаку
1 α
''
3
βxx
4
γ
oo
2
; (2.5)
(6) роздуттям вершини 3 у сагайдаку
1 α
''
4γ
xx
3
δ ''βxx2 5
. (2.6)
Тодi A є ручною, нескiнченного зображувального типу.
Теорема 2.3. Якщо нодальна алгебра A типу D не є анi iзоморфною, анi антиiзоморфною
до алгебри, яка пiдпадає пiд випадки, описанi у теоремах 1 i 2, то вона є дикою.
3. Доведення теорем. Будемо доводити теореми 2.1 – 2.3 одночасно. При цьому розглянемо
окремi випадки склеювання й роздуття. З точнiстю до iзоморфiзму або антиiзоморфiзму можна
вважати (i ми це робитимемо), що стрiлка α направлена вiд вершини 1 до вершини 3, причому
або вершина 1 бере участь у склеюваннi, або вiдбувається роздуття вершини 3.
Випадок 3.1. Cклеювання вершин 1 i 3 у сагайдаку (2.2).
В результатi отримаємо сагайдак вигляду
2
β
// 3
γ1 //
α
��
4
γ2
. . .
γn
(n+ 3)
зi спiввiдношеннями α2 = 0, αβ = 0.
Пiсля зведення α
0 0 I
0 0 0
0 0 0
рядки β роздiляться на три частини, причому внаслiдок
умови αβ = 0 останнiй рядок буде нульовим. Зведемо β :
β
0 I 0
0 0 0
0 0 I
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
Тодi γ1 розiб’ється на шiсть стовпчикiв, причому стовпчики 1 i 2, а також стовпчики 5 i 6
пов’язанi, тобто в них вiдбуваються однаковi перетворення. Пiсля зведення стрiлок γ2, . . . , γn
рядки матрицi γ1 роздiляться на n частин, причому вони будуть лiнiйно впорядкованi. Пiсля
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
934 Ю. А. ДРОЗД, В. В. ЗЕМБИК
зведення перших двох стовпчикiв цiєї матрицi стовпчики 5 i 6 подiляться кожен на n+1 частину.
Усього зi стовпчикiв 3 – 6 отримаємо 2n + 4 ненульовi стовпчики. Додавання цих стовпчикiв
задається частково впорядкованою множиною S вигляду
1
2 3
4
...
... 2n+ 3
2(n+ 2)
.
З [5] випливає, що наша задача рiвносильна задачi про зображення частково впорядкованої
множини, яка є кардинальною сумою S та множини, яка є лiнiйно впорядкованою i має n− 1
елемент. З робiт [5, 6] випливає, що ця задача є скiнченною при n ≤ 2 i дикою при n > 2.
Отже, такою є й алгебра A. Це дає перше твердження теореми 2.1.
Будь-яке додаткове iстотне склеювання або роздуття дає додатковий подiл матрицi β або
γ1, що робить задачу дикою. Розглянемо, наприклад, випадок, коли склеюються ще вершини
4 i 5 за умови, що стрiлка γ2 направлена до вершини 5 (iнакше це склеювання є неiстотним).
Результуючий сагайдак зi спiввiдношеннями мiстить пiдсагайдак
2
β
// 3
γ1 //
α
��
4
γ2
��
зi спiввiдношеннями α2 = 0, αβ = 0, γ22 = 0.
Пiсля зведення α i γ2 до вигляду
0 0 I
0 0 0
0 0 0
матрицi β i γ1 розiб’ються в такий спосiб:
β =
B1
B2
0
x γ1 =
−−−−−−−−−−−−−−−−→G∗11 G12 G∗13
G21 G22 G23
G∗31 G32 G∗33
x .
Стрiлки показують напрямок перетворень, причому перетворення рядкiв у матрицi β i стовп-
чикiв у матрицi γ1 є контрагредiєнтними1, а у матриць, позначених зiрочками, перетворення
рядкiв i стовпчикiв є спiльними. Розглянемо зображення, в яких B1 = 0, B2 = I, у матрицi
γ1 немає другої горизонтальної смуги
(
тобто γ2 =
(
0 I
0 0
))
, G33 = I, а матрицi G31,
G32 та G13 є нульовими. Легко переконатися, що таке зображення iзоморфне зображенню
аналогiчного вигляду з матрицями G′11 i G′12 на вiдповiдних мiсцях тодi й тiльки тодi, коли
iснують невиродженi матрицi C1 i C2 такi, що G′11 = C1G11C
−1
1 , а G′12 = C1G12C2. Iнакше
кажучи, матрицi G11 i G12 задають зображення дикого сагайдака
1Це означає, що коли матриця β домножується злiва на невироджену матрицю C, то матриця γ1 домножується
справа на C−1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ЗОБРАЖУВАЛЬНИЙ ТИП НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР ТИПУ D 935
•
"" // • .
Отже, алгебра A є дикою. При iнших додаткових склеюваннях або роздуттях доведення дикостi
є аналогiчним (навiть, як правило, легшим). Звiдси випливає твердження теореми 2.3 у випадку,
коли наявне склеювання вершин 1 i 3 у сагайдаку (2.2).
Випадок 3.2. Склеювання вершин 1 i 3 у сагайдаку (2.3).
В результатi отримаємо сагайдак
2 3
β
oo
α
��
4
γ1oo
γ2
. . .
γn
(n+ 3)
зi спiввiдношеннями α2 = 0, αγ1 = 0.
Пiсля зведення α
0 0 I
0 0 0
0 0 0
стовпчики β i, вiдповiдно, рядки γ1 роздiляться на 3 части-
ни, причому внаслiдок умови αγ1 = 0 остання частина в γ1 буде нульовою. Перетвореннями,
якi не змiнюють вигляд матрицi α, матрицю β можна звести до вигляду
β
0 0 I 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 I 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 I 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 I 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
Вiдповiдно, матриця γ1 роздiлиться на 10 горизонтальних частин, з яких лише шiсть перших
будуть ненульовими. Пiсля зведення матриць γ2, . . . , γn матриця γ1 роздiлиться ще на n вер-
тикальних частин, тобто в γ1 буде шiсть ненульових рядкiв i n стовпчикiв. Легко бачити, що
тепер додавання рядкiв задається частково впорядкованою множиною S вигляду
•
• •
• •
•
,
а додавання стовпчикiв — лiнiйно впорядкованою множиною, яка складається з n елементiв.
Отже, згiдно з [5], наша задача рiвносильна задачi про зображення частково впорядкованої
множини, яка є кардинальною сумою S та множини, яка є лiнiйно впорядкованою i має n− 1
елемент. Згiдно з [5, 6], при n ≤ 4 ця задача має скiнченний тип, при n = 5 є ручною
(нескiнченного типу), а при n > 5 — дикою. Отже, такою є й алгебраA.Це дає друге твердження
теореми 2.1 i перше твердження теореми 2.2. Знов-таки, будь яке додаткове iстотне склеювання
або роздуття дає дику матричну задачу. Це доводить теорему 2.3 у випадку, коли вiдбувається
склеювання вершин 1 i 3 у сагайдаку (2.3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
936 Ю. А. ДРОЗД, В. В. ЗЕМБИК
Випадок 3.3. Склеювання вершин 1 i 3 у сагайдаку
1
α
&&
3
γ1 //
βxx
4
γ2
. . .
γn
(n+ 3)
2
. (3.1)
В результатi одержимо сагайдак
2 3
β
oo
γ1
//
α
��
4
γ2
. . .
γn
(n+ 3)
iз спiввiдношенням α2 = 0. Зведемо матрицю α так само, як у попереднiх випадках. Стовпчики
матриць β i γ1 роздiляться на три частини, якi можна додавати злiва направо, причому пере-
творення першої й третьої частин мають бути однаковими. Пiсля зведення матриць γ2, . . . , γn
рядки матрицi γ1 роздiляться на n частин, перетворення яких задаються лiнiйно впорядкова-
ною множиною. Якщо n = 1, то одержимо задачу про зображення в’язки ланцюгiв E = { e } ,
F = { f1 < f2 < f3 } з вiдношенням ∼ таким, що e ∼ e, f1 ∼ f3
2. Ця задача є ручною (нескiн-
ченного типу), тому такою ж є й алгебра A. Якщо ж n > 1, розглянемо такi зображення, в яких
γ3 = . . . = γn = 0, другої вертикальної частини матриць β i γ1 немає
(
тобто α =
(
0 I
0 0
))
, а
перша й третя вертикальнi частини зведенi до вигляду
0 0 G1 G2
I 0 0 0
0 0 G3 G4
0 0 G5 G6
0 I 0 0
.
Тут подвiйна горизонтальна лiнiя показує роздiл мiж матрицями β i γ1, а одинична — мiж
частинами матрицi γ1, якi утворилися пiсля зведення матрицi γ2. Неважко переконатися, що
тодi матрицi Gi утворюють зображення пари частково впорядкованих множин
S =
•
• •
i T = • • .
З роботи [9] випливає, що ця задача, а тому й алгебра A, є дикою. Це дає друге твердження
теореми 2.2 i теорему 2.3 у випадку, коли має мiсце склеювання вершин 1 i 3 у сагайдаку (3.1).
Випадок 3.4. Склеювання вершин 1 i (m+ 3) (1 ≤ m < n) у сагайдаку
1
α
&&
3
γ1
. . .
γm // (m+ 3)
γm+1 // (m+ 4) . . .
γn
(n+ 3)
2 β
. (3.2)
2Ми користуємося означенням в’язок ланцюгiв з роботи [7]. У роботi [8] для таких самих задач використовува-
лися термiн „в’язка напiвланцюгiв” й iнше кодування.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ЗОБРАЖУВАЛЬНИЙ ТИП НОДАЛЬНИХ АЛГЕБР ТИПУ D 937
Зауважимо, що якщо стрiлка γm направлена вiд вершини (m + 3), то навiть при m = n ми
одержимо в алгебрi A дикий пiдсагайдак без спiввiдношень
2
β
3
γ1
uu
α
. . . (m+ 3)
γm
oo .
Якщо ж стрiлок, направлених вiд вершини (m + 3), немає, то склеювання 1 i (m + 3) є не-
iстотним. Отже, можна вважати, що n > m, стрiлка γm направлена до вершини (m+3), а стрiлка
γm+1 — вiд цiєї вершини. Напрямок стрiлки β не впливає на зображувальний тип, оскiльки ця
стрiлка напевно не входить у спiввiдношення, а тому можна зробити вiддзеркалення за [4] в
точцi 2 i змiнити її напрямок. У наступних обчисленнях ми вважаємо, що β : 2→ 3.
В результатi отримаємо сагайдак
2
β
// 3
γ1
uu
α
. . .
γm
// (m+ 3)
γm+1 // (m+ 4)
γm+2
. . .
γn
(n+ 3)
зi спiввiдношенням αγm = 0. Пiсля зведення матриць β та γi, якi утворюють сагайдак типу
An+2, матриця α розiб’ється на 2(n + 1) горизонтальну смугу й кiлька вертикальних смуг. Зi
спiввiдношення αγ2 = 0 випливає, що ненульовими в матрицi α є лише тi вертикальнi смуги,
якi вiдповiдають зображенням пiдсагайдака
(m+ 3)
γ3 // (m+ 4)
γ4
. . .
γn
(n+ 3) ,
ненульовим у вершинi (m + 3). Таких смуг буде n − m + 1, причому їх додавання керу-
ється лiнiйно впорядкованою множиною. Додавання ж горизонтальних смуг керується частково
впорядкованою множиною S:
1
2 3
4
...
... 2n+ 1
2n+ 2
.
Згiдно з [5], одержана задача рiвносильна задачi про зображення частково впорядкованої мно-
жини, яка є кардинальною сумою S та лiнiйно впорядкованої множини з n−m елементiв. З робiт
[5, 6] випливає, що ця задача, а тому й алгебра A, має скiнченний тип при m ≤ 3, n = m+ 1,
є ручною при m = 1, n = 3 або m = 4, n = 5 i дикою в усiх iнших випадках. Це дає тре-
тє твердження теореми 2.1, третє та четверте твердження теореми 2.2. Знов-таки, додатковi
склеювання чи роздуття дають дикi алгебри, що доводить теорему 2.3 у випадку, коли наявне
склеювання вершин 1 i (m+ 3) (m > 0) у сагайдаку (3.2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
938 Ю. А. ДРОЗД, В. В. ЗЕМБИК
Випадок 3.5. Роздуття вершини 3 у сагайдаку (2.6).
В результатi одержимо сагайдак
1
α′
��
α′′
$$
4
γ′′
��
γ′
zz
3′
β′
��
δ′ $$
3′′
β′′zz
δ′′
��
2 5
зi спiвiдношеннями β′α′ = β′′α′′, δ′γ′ = δ′′γ′′, β′γ′ = β′′γ′′, δ′α′ = δ′′α′′. У роботi [10] доведено,
що ця алгебра є ручною. Це дає шосте твердження теореми 2.2, а також п’яте твердження цiєї
ж теореми, оскiльки сагайдак (2.5) є пiдсагайдаком у сагайдаку (2.6).
Отже, ми повнiстю довели теореми 2.1 i 2.2. Для доведення теореми 2.3 залишилося довести,
що наступнi операцiї дають дику алгебру:
(1) склеювання крайнiх вершин за умови, що воно є iстотним, тобто з однiєї з цих вершин
стрiлка виходить, а в другу входить;
(2) роздуття вершини 3 у сагайдаку типу Dn+3 або D̃n+3, якщо або n > 1, або принаймнi
три стрiлки входять до цiєї вершини або з неї виходять;
(3) iстотнi склеювання, в яких бере участь принаймнi одна з вершин 1, 2 i принаймнi одна
з вершин 1′, 2′ у сагайдаку типу D̃.
Операцiї (1) i (2), як одразу видно, завжди дають дикий пiдсагайдак без спiввiдношень.
Операцiя (3) подiляється на випадки, аналогiчнi випадкам 3.1 – 3.4, розглянутим вище. Неважко
переконатися, що в усiх цих випадках вiдбувається додатковий подiл матриць, який перетворює
вiдповiднi задачi на дикi. Це завершує доведення теореми 2.3.
1. Drozd Y. A., Zembyk V. V. Representations of nodal algebras of type A // Algebra and Discrete Math. – 2013. – 15,
№ 2. – P. 179 – 200.
2. Зембик В. В. Будова скiнченновимiрних нодальних алгебр // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 3. – С. 415 – 419.
3. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. – Киев: Вища шк., 1980.
4. Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Пономарев В. А. Функторы Кокстера и теорема Габриеля // Успехи мат.
наук. – 1973. – 28, № 2. – С. 19 – 33.
5. Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного типа // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1972. – 28. –
С. 32 – 41.
6. Назарова Л. А. Частично упорядоченные множества бесконечного типа // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1975. –
39. – С. 963 – 991.
7. Burban I., Drozd Y. Derived categories of nodal algebras // J. Algebra. – 2004. – 272. – P. 46 – 94.
8. Бондаренко В. М. Связки полуцепных множеств и их представления. – Киев, 1988. – 32 с. – (Препринт /
АН УССР. Ин-т математики; № 88.60).
9. Kleiner M. M. Pairs of partially ordered sets of tame representation type // Linear Algebra and Appl. – 1988. – 104.
– P. 103 – 115.
10. Geiss C., de la Peña J. A. An interesting family of algebras // Arch. Math. – 1993. – 60. – P. 25 – 35.
Одержано 18.09.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
|