Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления
Вивчається розподіл значень розв'язків алгебраїчного диференціального рівняння P(z,f,f',...,f(s))=0, коефіцієнти i розв'язки якого мають точку розгалуження в нескінченності (наприклад, логарифмічну особливу точку). Показано, що якщо a∈C (a — дефектне значення розв'язку f цього рі...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166053 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления / А.А. Мохонько, А.З. Мохонько // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 939–957. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166053 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660532020-02-19T01:26:10Z Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления Мохонько, А.А. Мохонько, А.З. Статті Вивчається розподіл значень розв'язків алгебраїчного диференціального рівняння P(z,f,f',...,f(s))=0, коефіцієнти i розв'язки якого мають точку розгалуження в нескінченності (наприклад, логарифмічну особливу точку). Показано, що якщо a∈C (a — дефектне значення розв'язку f цього рівняння) i f зростає швидше за коефіцієнти, то справджується тотожність P(z,a,0,...,0)≡0,z∈{z:r0≤|z|<∞}. Якщо P(z,а,0,...,0) не перетворюється тотожно в нуль за сукупністю змінних z і a, то лише скінченне число значень а може бути дефектним значенням для розв'язків f∈Mb скінченного порядку. We study the distribution of values of the solutions of an algebraic differential equation P(z, f, f′, . . . , f (s)) = 0 with the property that its coefficients and solutions have a branching point at infinity (e.g., a logarithmic singularity). It is proved that if a ∈ ℂ is a deficiency value of f and f grows faster than the coefficients, then the following identity takes place: P(z, a, 0, . . . , 0) ≡ 0, z ∈ {z : r 0 ≤ |z| < ∞}. If P(z, a, 0, . . . , 0) is not identically equal to zero in the collection of variables z and a, then only finitely many values of a can be deficiency values for the solutions f ∈ M b with finite order of growth 2014 Article Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления / А.А. Мохонько, А.З. Мохонько // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 939–957. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166053 512.925.7 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мохонько, А.А. Мохонько, А.З. Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления Український математичний журнал |
| description |
Вивчається розподіл значень розв'язків алгебраїчного диференціального рівняння P(z,f,f',...,f(s))=0, коефіцієнти i розв'язки якого мають точку розгалуження в нескінченності (наприклад, логарифмічну особливу точку). Показано, що якщо a∈C (a — дефектне значення розв'язку f цього рівняння) i f зростає швидше за коефіцієнти, то справджується тотожність P(z,a,0,...,0)≡0,z∈{z:r0≤|z|<∞}. Якщо P(z,а,0,...,0) не перетворюється тотожно в нуль за сукупністю змінних z і a, то лише скінченне число значень а може бути дефектним значенням для розв'язків f∈Mb скінченного порядку. |
| format |
Article |
| author |
Мохонько, А.А. Мохонько, А.З. |
| author_facet |
Мохонько, А.А. Мохонько, А.З. |
| author_sort |
Мохонько, А.А. |
| title |
Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления |
| title_short |
Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления |
| title_full |
Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления |
| title_fullStr |
Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления |
| title_full_unstemmed |
Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления |
| title_sort |
дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166053 |
| citation_txt |
Дефектные значения решений дифференциальных уравнений c точкой ветвления / А.А. Мохонько, А.З. Мохонько // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 939–957. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mohonʹkoaa defektnyeznačeniârešenijdifferencialʹnyhuravnenijctočkojvetvleniâ AT mohonʹkoaz defektnyeznačeniârešenijdifferencialʹnyhuravnenijctočkojvetvleniâ |
| first_indexed |
2025-07-14T20:40:01Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:40:01Z |
| _version_ |
1837656286988075008 |
| fulltext |
УДК 517.925.7
А. А. Мохонько, А. З. Мохонько (Нац. ун-т „Львов. политехника”)
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ
We study the distribution of values of the solutions of an algebraic differential equation P (z, f, f ′, . . . , f (s)) = 0 with the
property that its coefficients and solutions have a branching point at infinity (e.g. a logarithmic singularity). It is proved
that if a ∈ C is a deficiency value of f and f grows faster than the coefficients then the following identity takes place:
P (z, a, 0, . . . , 0) ≡ 0, z ∈ {z : r0 6 |z| < ∞}. If P (z, a, 0, . . . , 0) is not identically equal to zero in the collection of
variables z and a then only finitely many values of a can be deficiency values for the solutions f ∈ Mb with finite order
of growth.
Вивчається розподiл значень розв’язкiв алгебраїчного диференцiального рiвняння P (z, f, f ′, . . . , f (s)) = 0, коефi-
цiєнти i розв’язки якого мають точку розгалуження в нескiнченностi (наприклад, логарифмiчну особливу точку).
Показано, що якщо a ∈ C (a — дефектне значення розв’язку f цього рiвняння) i f зростає швидше за коефiцiєнти, то
справджується тотожнiсть P (z, a, 0, . . . , 0) ≡ 0, z ∈ {z : r0 6 |z| <∞}. Якщо P (z, a, 0, . . . , 0) не перетворюється
тотожно в нуль за сукупнiстю змiнних z i a, то лише скiнченне число значень a може бути дефектним значенням
для розв’язкiв f ∈Mb скiнченного порядку.
Обозначим через Ab кольцо всех аналитических в G = {z : r0 6 |z| < +∞} функций, единст-
венной особой точкой которых является ∞. Для функций f ∈ Ab точка ∞ может быть либо
логарифмической особой точкой, либо алгебраической точкой ветвления порядка n− 1, если в
∞ соединяются n ветвей функции f (в частности, точкой ветвления нулевого порядка, если f
— однозначная голоморфная в G функция). Кольцо Ab целостное (без делителей нуля), поэтому
его можно погрузить в поле [1, c. 53, 59]. Через Mb обозначим наименьшее поле, такое, что
Ab ⊂Mb. Для функции f ∈Mb будет удобно также использовать обозначение f(z), z ∈ G.
Если f ∈Mb, то кроме точки ветвления в бесконечности особыми точками функции f могут
быть только полюсы, изолированные на римановой поверхности аналитической функции f(z),
z ∈ G.
Пусть f ∈ Mb. Далее для определенности считаем, что функция f имеет в бесконечности
логарифмическую особую точку, так как для конечнозначных (однозначных) и бесконечнознач-
ных функций определения и обозначения неванлинновских характеристик T (r, f), Sα,β(r, f)
существенно отличаются [2, с. 23, 37].
Выберем произвольные α, β, −∞ < α < β < +∞. Через f(z), z ∈ gαβ = {z = reiθ :
α 6 θ 6 β, r0 6 r < +∞}, обозначим однозначную ветвь функции f ∈ Mb в угловой области
gα,β на римановой поверхности аналитической функции f(z), z ∈ G. (Более подробное опреде-
ление однозначной ветви, а также определения арифметических операций над многозначными
функциями см., например, в [3, с. 478].) Неванлинновские характеристики ветви f(z), z ∈ gαβ ,
определяются следующим образом [2, с. 40] (k = π/(β − α), ln+ x = max(lnx, 0), x > 0) :
Aαβ(r, f) =
k
π
r∫
r0
(
1
tk+1
− tk−1
r2k
)[
ln+ |f(teiα)|+ ln+ |f(teiβ)|
]
dt > 0,
Bαβ(r, f) =
2k
πrk
β∫
α
ln+ |f(reiθ)| sin(k(θ − α))dθ > 0, (1)
c© А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7 939
940 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
Cαβ(r, f) = 2k
r∫
r0
cαβ(t, f)
(
1
tk+1
+
tk−1
r2k
)
dt > 0,
где
cαβ(t, f) = cαβ(t,∞, f) =
∑
r0<|ρn|6t
α6ψn6β
sin(k(ψn − α)),
а ρneiψn — полюсы функции f(z), z ∈ gαβ, рассматриваемые с учетом кратности,
Sαβ(r, f) = Aαβ(r, f) +Bαβ(r, f) + Cαβ(r, f). (2)
Функция cαβ(t, f) — cчитающая функция полюсов ветви f(z), z ∈ gαβ .
Для величин Aαβ
(
r,
1
f − a
)
, Bαβ
(
r,
1
f − a
)
, Cαβ
(
r,
1
f − a
)
, cαβ
(
r,
1
f − a
)
условимся
использовать более простую запись Aαβ(r, a), Bαβ(r, a), Cαβ(r, a), cαβ(r, a).
Неванлинновские характеристики имеют такие свойства [2, с. 41, 45]: пусть f, g ∈ Mb и
f(z), g(z), z ∈ gαβ, — однозначные ветви этих функций в угловой области gαβ. Через Dαβ(r, f)
обозначим любую из характеристик Aαβ(r, f), Bαβ(r, f), Cαβ(r, f). Тогда
Dαβ(r, f + g) 6 Dαβ(r, f) +Dαβ(r, g) + ln 2,
Dαβ(r, f · g) 6 Dαβ(r, f) +Dαβ(r, g), (3)
Dαβ(r, f
2) = 2Dαβ(r, f).
Каково бы ни было комплексное число a 6=∞, справедливо соотношение
Aαβ(r, a) +Bαβ(r, a) + Cαβ(r, a) = Sαβ(r, f) + ε(r, a), ε(r, a) = O(1). (4)
Символы Ландау O(. . .), o(. . .) в статье используются при r → +∞.
Обозначим (a ∈ C ∪ {∞})
δαβ(a) = δαβ(a, f) = lim
r→∞
Aαβ(r, a) +Bαβ(r, a)
Sαβ(r, f)
, (5)
δαβ(a, f) — дефект в точке a однозначной ветви f(z), z ∈ gαβ . Если δαβ(a) > 0, то a называется
дефектным значением функции f ∈Mb.
Напомним, что функция f ∈Mb имеет конечный порядок роста ρ, если
ρ = sup
∀α,β
lim
r→+∞
ln+ Sαβ(r, f)/ ln r < +∞, −∞ < α < β < +∞. (6)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
P (z, f, f1, . . . , fs) =
n∑
j=0
∑
j=k0+...+ks
ak0...ks(z)f
k0fk11 . . . fkss = 0, (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 941
ak0...ks ∈Mb, f
(j) = fj , j = 1, . . . , s. Пусть f(z), z ∈ gαβ, и ak0...ks(z), z ∈ gαβ, — однозначные
ветви функции f ∈Mb и коэффициентов ak0...ks ∈Mb уравнения (7), такие, что при подстановке
f(z), ak0...ks(z), z ∈ gαβ , в (7) вместо, соответственно, f, ak0...ks(z) образуется тождество в gαβ.
Обозначим
n∑
j=0
∑
j=k0+...+ks
Sαβ(r, ak0...ks) =
∑
Sαβ(r, ak0...ks).
Основным результатом статьи является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функция f ∈ Mb конечного порядка — решение уравнения (7), такое,
что Sαβ(r, f) 6= O
(∑
Sαβ(r, ak0...ks)
)
. Если a 6=∞ и δαβ(a) > 0, то справедливо тождество
P (z, a, 0, . . . , 0) ≡ 0, z ∈ G. (8)
Если P (z, a, 0, . . . , 0) не обращается тождественно в нуль по совокупности переменных z и a,
то только конечное число значений a может быть дефектным значением для решений f ∈Mb
конечного порядка.
Замечание 1. Для случая, когда коэффициенты уравнения (7) — многочлены и f(z), z ∈ C,
— однозначное мероморфное решение конечного порядка роста, эта теорема доказана другим
способом Ш. И. Стрелицем [4, с. 213].
Условие Sαβ(r, f) 6= O
(∑
Sαβ(r, ak0...ks)
)
означает, что рассматриваются решения f ∈Mb
уравнения (7), скорость роста которых превышает скорость роста коэффициентов уравнения.
Считающая функция cαβ(t, a) описывает расположение корней уравнения f(z) = a (a-то-
чек) в {z = reiθ : α 6 θ 6 β, r0 < r 6 t}. Поскольку для любого a выполняется (4), сумма
Aαβ(r, a)+Bαβ(r, a)+Cαβ(r, a) не зависит существенно от a. Соотношение (4) дает верхнюю
границу числа корней уравнения f(z) = a, справедливую для всех r и a. Из теоремы 1 и
определения дефекта δαβ(a) (5) получаем, что для решений f ∈Mb уравнения (7) в указанной
сумме слагаемое Cαβ(r, a) доминирует для любого a ∈ C, кроме, возможно, конечного числа
значений a, для которых выполняется тождество (8). Следовательно, Cαβ(r, a) приближается к
Sαβ(r, f) — своей верхней границе, устанавливаемой соотношением (4), почти для всех a. Для
решений f ∈Mb уравнения (7) существует разве что несколько значений a, для которых число
корней уравнения f(z) = a меньше максимально допустимого числа.
Пример 1. Функция f(z) = ez ln z 6= 0, ∞, z ∈ G = {z : 2 6 |z| < ∞}, f ∈ Ab ⊂ Mb,
является решением уравнения
P (z, f, f ′) = f ′ − f
(
1 +
1
z ln z
)
= 0.
Это уравнение вида a0,1(z)f
′+a1,0(z)f = 0, a0,1(z) = 1, a1,0(z) = −1−
1
z ln z
. Покажем, что
для f выполняются условия теоремы 1 и δ−π,π(0) > 0, a = 0 — дефектное значение функции
f , для которого выполняется очевидное тождество P (z, 0, 0) ≡ 0. Действительно, возьмем
α = −π, β = π, k =
π
β − α
=
1
2
. Функция f не имеет полюсов, поэтому (см. (1))
c−π,π(t,∞, f) ≡ 0, t > 2; C−π,π(r, f) ≡ 0, r > 2;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
942 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
S−π,π(r, f) = A−π,π(r, f) +B−π,π(r, f) ⇒ δ−π,π(∞) = 1.
Поскольку функция f не имеет нулей, аналогично доказывается, что S−π,π(r, 0) =
= A−π,π(r, 0) +B−π,π(r, 0). Отсюда и из (4) следует
A−π,π(r, 0) +B−π,π(r, 0) = S−π,π(r, f) + ε(r, 0), ε(r, 0) = O(1). (9)
Оценим характеристику S−π,π(r, f). Имеем
|f(reiθ)| = |ereiθ ln(reiθ)| = er cos θ| ln r + iθ| = er cos θ(ln r +O(1)), −π 6 θ 6 π.
Поэтому с учетом того, что ln+ x = max(lnx, 0), x > 0, характеристика
B−π,π(r, f) =
1
πr1/2
π∫
−π
ln+ |f(reiθ)| sin
(
1
2
(θ + π)
)
dθ ∼ 1
πr1/2
π/2∫
−π/2
r cos θ cos
θ
2
dθ =
=
r1/2
2π
π/2∫
−π/2
[
cos
θ
2
+ cos
3θ
2
]
dθ =
4
√
2r
3π
, r → +∞.
Поскольку
|f(teiθ)|θ=−π,π = et cos θ(ln t+O(1))|θ=−π,π =
ln t+O(1)
et
< 1, t > t1,
то
ln+ |f(teiθ)|θ=−π,π = 0, t > t1,
поэтому
A−π,π(r, f) =
1
2π
r∫
r0
(
1
t3/2
− t−1/2
r
)[
ln+ |f(te−iπ)|+ ln+ |f(teiπ)|
]
dt = O(1).
Из предыдущего следует S−π,π(r, f) = (1 + o(1))
4
√
2r
3π
. Тогда с учетом (5), (9) дефект
δ−π,π(0) = 1 > 0.
Аналогично показывается, что для произвольных α, β, −∞ < α < β < +∞, выполняется
оценка Sαβ(r, f) < r1+ε, ε > 0, r > r1. Поэтому (см. (6)) f имеет конечный порядок роста.
Из (1) следует, что для коэффициентов a0,1(z) = 1, a1,0(z) = −1 − 1
z ln z
, уравнения
выполняется
S−π,π(r, a0,1), S−π,π(r, a1,0) = O(1) ⇒ S−π,π(r, f) 6= O (S−π,π(r, a0,1) + S−π,π(r, a1,0)) .
Итак, мы показали, что для указанного решения уравнения выполняются условия и выводы
теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 943
Справедлива следующая теорема [5, c. 215]: пусть
F = ptf
t + . . .+ p1f + p0, (10)
где f, pj ∈Mb, тогда
Aαβ(r, F ) 6 t Aαβ(r, f) +
t∑
j=0
Aαβ(r, pj) +O(1),
Bαβ(r, F ) 6 tBαβ(r, f) +
t∑
j=0
Bαβ(r, pj) +O(1).
(11)
Нам понадобятся следующие утверждения.
Лемма 1. Если f ∈Mb и имеет конечный порядок роста, то для любой однозначной ветви
f(z), z ∈ gαβ, выполняется
Aαβ
(
r,
f ′
f
)
+Bαβ
(
r,
f ′
f
)
= O(1). (12)
Лемма 2. Если f ∈ Mb и имеет конечный порядок роста, то и производная f ′ имеет
конечный порядок роста. Для любой однозначной ветви f(z), z ∈ gαβ, выполняется
Aαβ
(
r,
f (j)
f
)
+Bαβ
(
r,
f (j)
f
)
= O(1), j ∈ N. (13)
Доказательство теоремы 1. Пусть сначала a = 0. Поскольку f — решение уравнения (7),
то
a0...0(z) +
n∑
j=1
∑
j=k0+...+ks
ak0...ks(z)f
k0(z)fk11 (z) . . . fkss (z) ≡ 0, z ∈ gαβ,
или (аргумент z не пишем)
a0...0
fn
≡ −
n∑
j=1
1
fn−j
∑
j=k0+...+ks
ak0...ks
(
f1
f
)k1
. . .
(
fs
f
)ks
, z ∈ gαβ. (14)
Предположим, что a0...0(z) 6≡ 0. В правой части (14) имеем многочлен степени n − 1 от
функции
1
f
. Учитывая, что
nAαβ
(
r,
1
f
)
= Aαβ
(
r,
1
fn
)
= Aαβ
(
r,
a0...0
fn
1
a0...0
)
6 Aαβ
(
r,
a0...0
fn
)
+Aαβ
(
r,
1
a0...0
)
,
и применяя к (14) неравенства (11) и лемму 2, имеем
nAαβ
(
r,
1
f
)
−Aαβ
(
r,
1
a0...0
)
6 Aαβ
(
r,
a0...0
fn
)
6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
944 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
6 (n− 1)Aαβ
(
r,
1
f
)
+
∑
16k0+...+ks6n
Aαβ(r, ak0...ks) +O(1) ⇒
⇒ Aαβ
(
r,
1
f
)
6
∑
16k0+...+ks6n
Aαβ(r, ak0...ks) +Aαβ
(
r,
1
a0...0
)
+O(1). (15)
Аналогично получаем оценку
Bαβ
(
r,
1
f
)
6
∑
16k0+...+ks6n
Bαβ(r, ak0...ks) +Bαβ
(
r,
1
a0...0
)
+O(1).
Из этого неравенства и из (15), учитывая (2), (4), находим
Aαβ
(
r,
1
f
)
+Bαβ
(
r,
1
f
)
6
∑
06k0+...+ks6n
Sαβ(r, ak0...ks) +O(1). (16)
По условию Sαβ(r, f) 6= O
(∑
Sαβ(r, ak0...ks)
)
.Поэтому существует последовательность rm →
→∞, для которой выполняется
∑
Sαβ(rm, ak0...ks) = o(Sαβ(rm, f)). Отсюда и из (16) следует
Aαβ
(
rm,
1
f
)
+Bαβ
(
rm,
1
f
)
= o(Sαβ(rm, f)), rm →∞, т. е. δαβ(0) = 0.
Значит, если δαβ(0) > 0, то a0...0(z) ≡ P (z, 0, . . . , 0) ≡ 0.
Пусть теперь a 6= 0, δαβ(a, f) > 0. Рассмотрим функцию u(z) = f(z)− a. Тогда
Sαβ(r, u)
(3)
= Sαβ(r, f) +O(1) 6= O
(∑
Sαβ(r, ak0...ks)
)
и δαβ(0, u) > 0.
Но u является решением дифференциального уравнения P (z, u+ a, u1, . . . , us) = 0. Поскольку
δαβ(0, u) > 0, согласно доказанному выше выполняется (8).
Теорема 1 доказана.
Замечание 2. Все решения уравнения Пенлеве f ′′ = 2f3 + zf + c, c = const, являют-
ся однозначными мероморфными в C функциями конечного порядка. Решениями уравнения
(f ′)2 = 4f3−g2f−g3, gj = const, являются эллиптические функции Вейерштрасса — однознач-
ные мероморфные в C функции конечного порядка. Свойства однозначных мероморфных функ-
ций f удобнее изучать, используя характеристики m(r, f), T (r, f), m(r, a) = m
(
r,
1
f − a
)
,
T (r, a) = T
(
r,
1
f − a
)
[2, с. 26]. Для таких функций справедлива лемма о логарифмической
производной [2, c. 122] m
(
r,
f ′
f
)
= o(T (r, f), r 6∈ E ⊂ [0,+∞), mes E < +∞. Если же f
имеет конечный порядок, тоm
(
r,
f ′
f
)
= O(ln r) ∀ r ∈ [0,+∞). По определению неванлиннов-
ский дефект δ(a, f) = lim
r→∞
m(r, a)
T (r, f)
. Характеристики m(r, f), T (r, f), T (r, a) имеют свойства,
аналогичные (3), (4), (11). Повторяя доказательство теоремы 1, получаем такое утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 945
Пусть f — однозначное мероморфное в C решение уравнения (7) c однозначными мероморф-
ными в C коэффициентами ak0...ks(z), такое, что
∑
T (r, ak0...ks) = o(T (r, f)). Если a 6= ∞ и
δ(a, f) > 0, то справедливо тождество (8).
Пример 2. Все решения уравнения Пенлеве f ′′ = 6f2 + z являются однозначными транс-
цендентными мероморфными в C функциями конечного порядка роста [6]. Уравнение Пенлеве
не имеет решений с дефектными значениями. Действительно, пусть f — решение уравнения
Пенлеве. Справедливо тождество f(z)
f ′′(z)
f(z)
−z ≡ 6f2(z), z ∈ C. Из свойств неванлинновской
характеристики m(r, f) и леммы о логарифмической производной [2, c. 44, 122] следует
2m(r, f) 6 m(r, f) +m
(
r,
f ′′
f
)
+ ln r +O(1) = m(r, f) +O(ln r) ⇒ m(r, f) = O(ln r).
Поскольку для трансцендентной мероморфной функции f выполняется limr→∞
T (r, f)
ln r
= +∞,
из предыдущего следует δ(∞, f) = lim
r→∞
m(r, f)
T (r, f)
= 0. Поэтому уравнение Пенлеве не имеет
решений, для которых ∞ была бы дефектным значением (в частности, не имеет целых реше-
ний).
Предположим, что a 6= 0 является дефектным значением для решения f уравнения Пенлеве.
По замечанию 2 должно выполняться тождество 6a2 + z ≡ 0, что невозможно.
Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение
f ′ =
∑t
j=0
pj1(z)f
j∑s
j=0
pj2(z)f
j
, pjq(z) = (cjq + o(1))zajq(ln z)bjq ,
cjq ∈ C, ct1, cs2 6= 0, ajq, bjq ∈ R; pjq ∈Mb,
(17)
например, pjq(z) = sin
1√
z
ln z ∼ z−1/2 ln z, z → ∞. Известно (см. [12]), что в этом случае
любое решение f ∈Mb уравнения (17) имеет конечный порядок роста. Известно также (см. [3]),
что если f ∈ Mb — решение уравнения (17) и (17) не является уравнением Риккати f ′ =
= p21f
2 + p11f + p01, то
Sαβ(r, f) = O
∑
j,q
Sαβ(r, pjq)
+O(1) = O(1) для любых α, β.
Это означает, что из уравнений (17) только уравнение Риккати может иметь решения f ∈ Mb,
растущие быстрее коэффициентов, т. е. такие, что
Sαβ(r, f) 6= O(1). (18)
Поэтому далее изучаем дефектные значения решений f ∈Mb уравнения
f ′ = p2f
2 + p1f + p0, pj(z) = (cj + o(1))zaj (ln z)bj , (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
946 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
cj ∈ C, c2 6= 0, aj , bj ∈ R; pj ∈Mb, j = 0, 1, 2. Покажем, что уравнение Риккати не имеет реше-
ний, для которых∞ была бы дефектным значением. Из (1) и (19) следует оценка характеристик
коэффициентов
(
k =
π
β − α
> 0
)
:
Sαβ(r, pj) = Aαβ(r, pj) +Bαβ(r, pj) + Cαβ(r, pj) = O(1), j = 0, 1, 2. (20)
Пусть f — решение уравнения Риккати. Тогда p−12
(
f
(
f ′
f
− p1
)
− p0
)
= f2. Поэтому, учиты-
вая свойства характеристик (3), (4) и лемму 1, имеем
2Aαβ(r, f) 6 Aαβ(r, f) +Aαβ
(
r,
1
p2
)
+Aαβ
(
r,
f ′
f
)
+Aαβ(r, p0) +Aαβ(r, p1)+
+O(1)
(12),(20)
= Aαβ(r, f) +Aαβ
(
r,
1
p2
)
+O(1)⇒
⇒ Aαβ(r, f) 6 Aαβ
(
r,
1
p2
)
+O(1). (21)
Аналогично получаем оценку
Bαβ(r, f) 6 Bαβ
(
r,
1
p2
)
+O(1).
Отсюда и из (21), учитывая (2), (4), имеем
Aαβ(r, f) +Bαβ(r, f) 6 Aαβ
(
r,
1
p2
)
+Bαβ
(
r,
1
p2
)
+O(1) 6
6 Sαβ(r, p2) +O(1)
(20)
= O(1) ⇒ Aαβ(r, f) +Bαβ(r, f) = O(1).
Из предыдущего и из (18) следует δαβ(∞, f) = limr→∞
Aαβ(r, f) +Bαβ(r, f)
Sαβ(r, f)
= 0, т. е. уравне-
ние Риккати не имеет решений, для которых ∞ была бы дефектным значением (в частности,
не имеет целых решений).
По теореме 1 для того, чтобы a 6= ∞ было дефектным значением решения f , необходимо,
чтобы
p2(z)a
2 + p1(z)a+ p0(z) ≡ 0, z ∈ G. (22)
Подставляя p0(z) из (22) в (19), получаем f ′ = (f − a)(p2(f + a) + p1) или
f ′ = (f − a)(p2(z)f + q(z)), q(z) = p2(z)a+ p1(z). (23)
Одним из решений (23) является f(z) ≡ a, z ∈ G. В силу теоремы единственности все
другие решения уравнения (23) не принимают значение a, следовательно, для них a является
дефектным значением, δαβ(a) = 1 > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 947
Запишем общее решение уравнения (23). Выполним в уравнении (23) замену f =
1
u
+ a.
Сократив его затем на
1
u
, получим
u′
u
= −p2(z)
u
− p2(z)a− q(z). (24)
Общее решение уравнения (24) имеет вид [10, с. 39] (C = const)
u = CeP (z) − eP (z)
z∫
z0
p2(t)e
−P (t)dt, P (t) = −
t∫
z0
(p2(τ)a+ q(τ))dτ. (25)
Это решение не имеет полюсов и принадлежит кольцу Ab. Видим, что уравнение Риккати (23)
имеет решение f =
1
u
+ a с дефектным значением a.
Уравнение Риккати
f ′ = p2(z)(f − a)(f − h), a 6= h, a, h ∈ C, (26)
имеет решения f(z) ≡ a, f(z) ≡ h, z ∈ G; любое другое решение этого уравнения находится
по формуле
f − a
f − h
= C · e(a−h)
∫ z
z0
p2(τ)dτ , C = const 6= 0. Эти решения принадлежат полю Mb
и, как видно из упомянутой формулы, не принимают значений a и h. Следовательно, каждое
решение (26) (отличное от f(z) ≡ a, f(z) ≡ h, z ∈ G) имеет два дефектных значения: a и h.
Более двух дефектных значений ни одно решение уравнения Риккати (19) иметь не может.
Доказана также следующая теорема.
Теорема 2. Все решения f линейного неоднородного уравнения
f (n) + p1(z)f
(n−1) + . . .+ pn(z)f = g(z), (27)
в котором коэффициенты g, pj ∈ Ab, j = 1, . . . , n, также принадлежат кольцу Ab, f ∈ Ab.
Если, кроме того, коэффициенты g, pj , j = 1, . . . , n, — голоморфные в G функции, причем
pj(z) = (cj + o(1))zqj , cj ∈ C, qj ,∈ Z, j = 1, . . . , n, (28)
а коэффициент g(z), z ∈ G, — функция конечного порядка роста, то все решения f имеют
конечный порядок роста. Если a 6=∞, δαβ(a) > 0 и Sαβ(r, f) 6= O
(
Sαβ(r, g)+ 1
)
, то pn(z)a ≡
≡ g(z), z ∈ G.
Доказательство. По теореме Коши существует единственное голоморфное в круге d =
= {z : |z − z0| < ε} ⊂ G решение f(z), z ∈ d, уравнения (27), удовлетворяющее начальным
условиям f (j)(z0) = yj0, j = 0, 1, . . . , n − 1. Правильный элемент f(z), z ∈ d, можно аналити-
чески продолжить по любой непрерывной кривой L : z = ϕ(τ), 0 6 τ 6 1, ϕ(0) = z0, носитель
которой [L] ⊂ G [8, с. 36]. Правильный элемент f(z), z ∈ d, порождает аналитическую в обла-
сти G функцию f(z), z ∈ G, с единственной особой точкой в ∞, поэтому f ∈ Ab [9, с. 524];
f(z), z ∈ G, — решение уравнения (27).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
948 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
Рассмотрим теперь частный случай, когда коэффициенты g, pj , j = 1, . . . , n, уравнения (27)
— голоморфные в G функции. Уравнение
f (n) + p1(z)f
(n−1) + . . .+ pn(z)f = 0, z ∈ G = {z : r0 6 |z| < +∞}, (29)
с коэффициентами pj , j = 1, . . . , n, — голоморфными в G функциями, имеет n линейно неза-
висимых решений вида (см. [4, с. 184])
fs(z) = zλ
ks∑
t=0
bst(z) ln
t z, s = 1, . . . , n, (30)
где bst(z), z ∈ G, — голоморфные функции, для которых, вообще говоря, ∞ является суще-
ственно особой точкой. Таким образом, fs ∈ Ab, s = 1, . . . , n, следовательно, любое решение
f уравнения (29) принадлежит кольцу Ab.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (27) имеет вид
f(z) =
n∑
s=0
Csfs(z) + F (z), z ∈ G, Cs = const, s = 1, . . . , n, (31)
где F — частное решение (27), которое можно найти методом вариации постоянной [10, с. 102]
(z0 ∈ G, z0 — фиксированное):
F (z) = C1(z)f1(z) + . . .+ Cn(z)fn(z), Cj(z) =
z∫
z0
Wj(ζ)
W (ζ)
dζ,
W (ζ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
f1 f2 . . . fn
f ′1 f ′2 . . . f ′n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f
(n−1)
1 f
(n−1)
2 . . . f
(n−1)
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0, z ∈ G,
(32)
Wj(ζ) — определитель, полученный из определителя Вронского W (ζ) заменой j-го столбца
столбцом colon(0, 0, . . . , g(z)), j = 1, . . . , n. Здесь интеграл берется вдоль произвольной кри-
вой L, соединяющей точки z0 и z, точки носителя которой [L] принадлежат G, [L] ⊂ G.
Единственной особой точкой аналитической функции
Wj(z)
W (z)
, z ∈ G, является ∞. Поэтому
Wj
W
∈ Ab. Интеграл
∫ z
z0
Wj(ζ)
W (ζ)
dζ, рассматриваемый вдоль всех возможных кривых L, соединя-
ющих точки z0 и z, [L] ⊂ G, порождает аналитическую функцию Cj(z) =
∫ z
z0
Wj(ζ)
W (ζ)
dζ, z ∈ G
[11, с. 96], с единственной особой точкой в∞. Поэтому функция Cj ∈ Ab, j = 1, . . . , n. Отсюда
и из (31) вновь следует, что все решения f уравнения (27) принадлежат кольцу Ab.
Пусть, в частности, в (29) коэффициенты имеют вид (28), например pj(z) = sin
1
z
. Тогда
все решения fk уравнения (29) имеют конечный порядок роста [4, с. 184].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 949
Предположим теперь, что в (27) коэффициенты pj , j = 1, . . . , n, — голоморфные в G
функции вида (28), а g(z), z ∈ G, — голоморфная функция конечного порядка роста [2, с.
61, 65] (такая функция может быть трансцендентной). В этом случае все решения fk уравне-
ния (29) имеют конечный порядок роста. Согласно лемме 2 производные f (j)k , j = 1, . . . , n− 1,
k = 1, . . . , n, также имеют конечный порядок. Из (32) и свойств (3), (4) последовательно по-
лучаем, что функции W (ζ), Wj(ζ),
Wj(z)
W (z)
, z ∈ G, конечного порядка роста,
Wj
W
∈ Ab. Тогда
и Cj(z) =
∫ z
z0
Wj(ζ)
W (ζ)
dζ, z ∈ G, j = 1, . . . , n, имеют конечный порядок. Из предыдущего и из
(31), (32) следует, что в рассматриваемом случае все решения неоднородного уравнения (27)
имеют конечный порядок.
Применим к уравнению (29) теорему 1. Для этого оценим неванлинновские характеристики
коэффициентов pj , j = 1, . . . , n, вида (28). Имеем |pj(reiθ)| = |cj + o(1)|rqj , cj ∈ C, qj ∈ Z,
j = 1, . . . , n, поэтому
Aαβ(r, pj) +Bαβ(r, pj)
(1)
=
k
π
r∫
r0
(
1
tk+1
− tk−1
r2k
)
[ln+ |pj(teiα)|+ ln+ |pj(teiβ)|]dt+
+
2k
πrk
β∫
α
ln+ |pj(reiθ)| sin(k(θ − α))dθ
(28)
= O(1), k =
π
β − α
> 0.
Следовательно, условие Sαβ(r, f) 6= O
(∑
Sαβ(r, ak0...ks)
)
, налагаемое на скорость роста ре-
шений в теореме 1, для теоремы 2 принимает вид Sαβ(r, f) 6= O
(
Sαβ(r, g) + 1
)
. Если a 6= ∞,
δαβ(a) > 0, то тождество (8) принимает форму pn(z)a ≡ g(z), z ∈ G.
Доказательство леммы 1. Рассмотрим однозначные ветви f(z),
z ∈ gA,A+π =
{
z = teiϕ : A 6 ϕ 6 A+ π, r0 6 t < +∞
}
и
z ∈ gA−π
2
,A+ 3π
2
=
{
z = teiϕ : A− π
2
6 ϕ 6 A+
3π
2
, r0 6 t < +∞
}
.
Множество нулей и полюсов ветви f(z), z ∈ gA−π
2
,A+ 3π
2
обозначим через {cq}, cq = |cq|eiϕq ∈
∈ {cq}. Считающая функция нулей и полюсов ветви f(z), z ∈ gA−π
2
,A+ 3π
2
(
см. (1),
k = π/ (A+ 3π/2− (A− π/2)) = 1/2
)
, имеет вид
cA−π
2
,A+ 3π
2
(s, 0,∞)
df
=
∑
r0<|cq |6s
A−π
2
6ϕq6A+ 3π
2
sin
(
1
2
(
ϕq −A+
π
2
))
. (33)
Число нулей и полюсов ветви f(z), z ∈ gA,A+π, таково:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
950 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
nA,A+π(s, 0,∞)
df
=
∑
r0<|cq |6s
A6ϕq6A+π
1. (34)
Если A 6 ϕ 6 A+ π, то
π
4
6
1
2
(
ϕ−A+
π
2
)
6
3π
4
. Поэтому
sin
(
1
2
(
ϕq −A+
π
2
))
>
1√
2
, A 6 ϕq 6 A+ π. (35)
Из (34), (35) следует, что
1√
2
nA,A+π(s, 0,∞) =
1√
2
∑
r0<|cq |6s
A<ϕq<A+π
1 6
∑
r0<|cq |6s
A6ϕq6A+π
sin
(
1
2
(
ϕq −A+
π
2
))
6
6
∑
r0<|cq |6s
A−π
2
6ϕq6A+ 3π
2
sin
(
1
2
(
ϕq −A+
π
2
))
= cA−π
2
,A+ 3π
2
(s, 0,∞),
т. е.
nA,A+π(s, 0,∞) 6
√
2cA−π
2
,A+ 3π
2
(s, 0,∞). (36)
Считающая функция нулей и полюсов cαβ(t, 0,∞) является неубывающей, поэтому (см.
(1)) (r0 6 s < R)
Cαβ(R, 0,∞) = 2k
R∫
r0
cαβ(t, 0,∞)
(
1
tk+1
+
tk−1
R2k
)
dt >
> 2kcαβ(s, 0,∞)
R∫
s
(
1
tk+1
+
tk−1
R2k
)
dt = 2cαβ(s, 0,∞)
(
tk
R2k
− 1
tk
)∣∣∣∣R
s
=
= 2cαβ(s, 0,∞)
R2k − s2k
skR2k
.
Следовательно,
cαβ(s, 0,∞) 6 Cαβ(R, 0,∞)
skR2k
2(R2k − s2k)
, r0 6 s < R. (37)
Если в (37)
α = A− π
2
, β = A+
3π
2
, то k =
π
A+ 3π/2− (A− π/2)
=
1
2
,
поэтому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 951
cA−π
2
,A+ 3π
2
(s, 0,∞) 6
√
sR
2(R− s)
CA−π
2
,A+ 3π
2
(R, 0,∞), r0 6 s < R. (38)
Поскольку
CA−π
2
,A+ 3π
2
(R, 0,∞) = CA−π
2
,A+ 3π
2
(
R,
1
f
)
+ CA−π
2
,A+ 3π
2
(R, f) 6
6 SA−π
2
,A+ 3π
2
(
R,
1
f
)
+ SA−π
2
,A+ 3π
2
(R, f)
(4)
= 2SA−π
2
,A+ 3π
2
(R, f) +O(1),
из (38) следует
cA−π
2
,A+ 3π
2
(s, 0,∞) 6
√
sR
R− s
(
SA−π
2
,A+ 3π
2
(R, f) +O(1)
)
, r0 6 s < R.
Отсюда и из (36) получаем
nA,A+π(s, 0,∞) 6
√
2sR
R− s
(
SA−π
2
,A+ 3π
2
(R, f) +O(1)
)
, r0 6 s < R. (39)
Функция z = ζeiA осуществляет взаимно однозначное отображение области D = {ζ =
= reiθ : 0 6 θ 6 π, r0 6 r < +∞} на gA,A+π. При этом отображении однозначной ветви
f(z), z ∈ gA,A+π, соответствует функция
w(ζ)
df
= f(ζeiA), ζ ∈ D; (40)
любому полюсу (нулю) cq = |cq|eiϕq ∈ {cq} ветви f(z), z ∈ gA,A+π, соответствует полюс
(нуль) ζq = cqe
−iA, ζq = |ζq|eiθq = |cq|ei(ϕq−A) функции w(ζ), ζ ∈ D. Функция w(ζ), ζ ∈ D,
мероморфна в области D.
Из (40) следует [2, с. 41], что неванлинновские характеристики таковы:
S0,π(r, w) = SA,A+π(r, f), B0,π(r, w) = BA,A+π(r, f), (41)
а число нулей и полюсов функции w(ζ), ζ ∈ D, в области {ζ = reiθ : 0 6 θ 6 π, r0 6 r 6 s}
равно числу нулей и полюсов ветви f(z), z ∈ gA,A+π, в области {z = reiϕ : A 6 θ 6 A + π,
r0 6 r 6 s}:
n0,π(r, 0,∞) = nA,A+π(r, 0,∞). (42)
Учитывая (40), имеем w′(ζ) = f ′(ζeiA)eiA. Поэтому∣∣∣∣w′(ζ)w(ζ)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣f ′(z)f(z)
∣∣∣∣ , z = reiϕ = z = ζeiA = rei(θ+A), θ = ϕ−A, θq = ϕq −A. (43)
Таким образом (κ ∈ (0, 1)),
π∫
0
(∣∣∣∣w′(reiθ)w(reiθ)
∣∣∣∣)κ
dθ =
π∫
0
∣∣∣∣∣f ′(rei(θ+A))f(rei(θ+A))
∣∣∣∣∣
κ
dθ =
A+π∫
A
∣∣∣∣f ′(reiϕ)f(reiϕ)
∣∣∣∣κ dϕ. (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
952 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
Далее через K будем обозначать различные константы K = const > 0. В [7] доказана
оценка: если w(ζ), ζ ∈ D = {ζ = reiθ : 0 6 θ 6 π, r0 6 r < +∞}, — мероморфная функция,
{ζq} — множество ее нулей и полюсов, ζq = |ζq|eiθq ∈ {ζq}, то
K
∣∣∣∣w′(ζ)w(ζ)
∣∣∣∣ < S0,π(2r, w) + 1
sin2 θ
+
∑
r0<|ζq |<2r
sin θq
sin θ|ζ − ζq|
, (45)
S0,π(s, w) — неванлинновская характеристика функции w(ζ), ζ ∈ D; сумма берется по всем
ζq ∈ {ζq}, r0 < |ζq| < 2r.
Из (40), (41) и (43) следует, что для функции f(z), z ∈ gA,A+π, формула (45) преобразуется
к виду (r = t)
K
∣∣∣∣f ′(teiϕ)f(teiϕ)
∣∣∣∣ < SA,A+π(2t, f) + 1
sin2(ϕ−A)
+
∑
r0<|cq |62t
A6ϕq6A+π
sin(ϕq −A)
sin(ϕ−A)|tei(ϕ−A) − cqe−iA|
. (46)
Пусть ε — наперед заданное число, 0 < ε < 1. Использовав известное неравенство [2, c. 118](∑
q dq
)κ
6
∑
q(dq)
κ, dq > 0, где
1− ε
2
< κ <
1
2
, проинтегрируем (45) на [0, π]. Получим
(0 6 sin θq 6 1, 0 6 θq 6 π)
K
π∫
0
∣∣∣∣w′(reiθ)w(reiθ)
∣∣∣∣κ dθ < (S0,π(2r, w) + 1)κ
π∫
0
dθ
sin2κ θ
+
∑
r0<|ζq |<2r
π∫
0
dθ
sinκ θ|reiθ − ζq|κ
. (47)
Поскольку κ <
1
2
и
2x
π
< sinx, если 0 < x <
π
2
, то
π∫
0
dθ
sin2κ θ
= 2
π
2∫
0
dθ
sin2κ θ
< 2
(π
2
)2κ π
2∫
0
dθ
θ2κ
=
π
1− 2κ
. (48)
Используя неравенство Коши – Буняковского∣∣∣∣∣∣
b∫
a
f(x)g(x)dx
∣∣∣∣∣∣ 6
b∫
a
|f(x)|2dx
1/2 b∫
a
|g(x)|2dx
1/2
,
получаем
π∫
0
dθ
sinκ θ|reiθ − ζq|κ
6
π∫
0
dθ
sin2κ θ
1/2 π∫
0
dθ
|reiθ − ζq|2κ
1/2
(48)
<
(48)
<
(
π
1− 2κ
)1/2
2π∫
0
dθ
|reiθ − |ζq||2κ
1/2
<
(
π
1− 2κ
)1/2
2π∫
0
dθ
(r sin θ)2κ
1/2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 953
=
(
π
1− 2κ
)1/2
2
π∫
0
dθ
(r sin θ)2κ
1/2
(48)
<
√
2
rκ
π
1− 2κ
. (49)
Из (47), (48), (49) следует
(
n0,π(2r, 0,∞) =
∑
r0<|cq |62r
06θq6π
1
)
K
π∫
0
∣∣∣∣w′(reiθ)w(reiθ)
∣∣∣∣κ dθ < (S0,π(2r, w) + 1)κ +
n0,π(2r, 0,∞)
rκ
.
Отсюда и из (41), (42), (44) получаем
K
A+π∫
A
∣∣∣∣f ′(reiθ)f(reiθ)
∣∣∣∣κ dθ < (SA,A+π(2r, f) + 1)κ +
nA,A+π(2r, 0,∞)
rκ
. (50)
Известно неравенство [2, c. 116] (формула (1.2′)): если g(x) > 0, a 6 x 6 b, — измеримая
функция, то
1
b− a
b∫
a
ln+ g(x)dx 6 ln+
1
b− a
b∫
a
g(x)dx
+ ln 2. (51)
Поэтому
1
π
A+π∫
A
ln+
∣∣∣∣f ′(reiϕ)f(reiϕ)
∣∣∣∣ dϕ =
1
κπ
A+π∫
A
ln+
∣∣∣∣f ′(reiϕ)f(reiϕ)
∣∣∣∣κ dϕ 6
6
1
κ
ln+
1
π
A+π∫
A
∣∣∣∣f ′(reiϕ)f(reiϕ)
∣∣∣∣κ dϕ
+
ln 2
κ
. (52)
Из (50) и (52), с учетом неравенства ln+ |a+ b| 6 ln+ |a|+ ln+ |b|+ ln 2, следует
1
π
A+π∫
A
ln+
∣∣∣∣f ′(reiϕ)f(reiϕ)
∣∣∣∣ dϕ 6 ln(SA,A+π(2r, f) + 1)+
+
1
κ
ln+
nA,A+π(2r, 0,∞)
rκ
+
2 ln 2
κ
+ lnK. (53)
Если функция f ∈ Mb имеет конечный порядок ρ, то, учитывая (6), для любых α, β,
−∞ < α < β < +∞, выполняется
Sαβ(r, f) < rρ+
ε
4 , ε > 0, r > r(α, β, ε). (54)
В этом случае (39) преобразуется к виду (R = 3r, s = 2r, r > r(A))
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
954 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
nA,A+π(2r, 0,∞) 6 6
√
r
(
SA−π
2
,A+ 3π
2
(3r, f) +O(1)
) (54)
< rρ+
1
2
+ ε
3 .
Отсюда и из (53), (54), получаем
(
1
2
− κ <
ε
2
)
1
π
A+π∫
A
ln+
∣∣∣∣f ′(reiϕ)f(reiϕ)
∣∣∣∣ dϕ 6 ln rρ+
ε
3 +
1
κ
ln rρ+
1
2
+ ε
3
−κ <
ρ+ ε
κ
ln r. (55)
Пусть [α, β] ⊂ [α, α+mπ], m ∈ N. Тогда (0 6 k(ϕ− α) 6 π, α 6 ϕ 6 β)
Bαβ
(
r,
f ′(reiϕ)
f(reiϕ)
)
=
2k
πrk
β∫
α
ln+
∣∣∣∣f ′(reiϕ)f(reiϕ)
∣∣∣∣ sin(k(ϕ− α))dϕ <
<
2k
πrk
β∫
α
ln+
∣∣∣∣f ′f
∣∣∣∣ dϕ 6
2k
πrk
α+mπ∫
α
ln+
∣∣∣∣f ′f
∣∣∣∣ dϕ =
2k
πrk
m∑
j=1
α+jπ∫
α+(j−1)π
ln+
∣∣∣∣f ′f
∣∣∣∣ dϕ. (56)
Обозначим A = α+ (j − 1)π. Тогда A+ π = α+ jπ,
α+jπ∫
α+(j−1)π
ln+
∣∣∣∣f ′f
∣∣∣∣ dϕ =
A+π∫
A
ln+
∣∣∣∣f ′f
∣∣∣∣ dϕ (55)
< π
ρ+ ε
κ
ln r, r > r(α+ jπ).
Из этого неравенства и из (56) следует
(
k =
π
β − α
> 0
)
Bαβ
(
r,
f ′(reiϕ)
f(reiϕ)
)
<
2k
rk
m∑
j=1
ρ+ ε
κ
ln r =
2k(ρ+ ε)m
κ
ln r
rk
= o(1), r →∞. (57)
Докажем оценку (12). Из (1) следует
π
k
Aαβ
(
r,
f ′
f
)
=
r∫
r0
(
1
tk+1
− tk−1
r2k
)
ln+
∣∣∣∣f ′(teiα)f(teiα)
∣∣∣∣ dt+
+
r∫
r0
(
1
tk+1
− tk−1
r2k
)
ln+
∣∣∣∣f ′(teiβ)f(teiβ)
∣∣∣∣ dt = Iα + Iβ. (58)
Оценим интеграл Iα (Iβ оценивается аналогично). Пусть теперь A = α − π
2
. Тогда A + π =
= α +
π
2
, A − π
2
= α − π, A +
3π
2
= α + π. Учитывая (39), получаем, что для числа нулей
и полюсов ветви f(z), z ∈ gα−π
2
,α+π
2
, в области
{
z = teiϕ : α− π
2
6 ϕ 6 α+
π
2
, r0 6 t < s
}
выполняется оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 955
nα−π/2,α+π/2(s, 0,∞) 6
√
2sR
R− s
(Sα−π,α+π(R, f) +O(1)) , r0 6 s < R. (59)
Если в формуле (46) положить A = α− π
2
и ϕ = α, то получим
K
∣∣∣∣f ′(teiα)f(teiα)
∣∣∣∣ < Sα−π/2,α+π/2(2t, f) + 1 +
∑
r0<|cq |62t
α−π/26ϕq6α+π/2
sin(ϕq − α+ π/2)
|t− |cq||
.
Отсюда и из (58) следует
Iα =
r∫
r0
(
1
tk+1
− tk−1
r2k
)
ln+
∣∣∣∣f ′(teiα)f(teiα)
∣∣∣∣ dt <
r∫
r0
1
tk+1
ln+ Sα−π/2,α+π/2(2t, f)dt+
+
r∫
r0
(
1
tk+1
− tk−1
r2k
)
ln+
∑
r0<|cq |62t
α−π/26ϕq6α+π/2
dt
|t− |cq||
+O(1) = J1 + J2 +O(1). (60)
Оценим интеграл J2, применив формулу интегрирования по частям. Обозначим
u(t) =
1
tk+1
− tk−1
r2k
, v(t) =
t∫
r0
ln+
∑
r0<|cq |62τ
α−π/26ϕq6α+π/2
dτ
|τ − |cq||
.
Поскольку u(t)v(t)|rr0 = 0, то
J2 =
r∫
r0
t∫
r0
ln+
∑
r0<|cq |62τ
α−π/26ϕq6α+π/2
1
|τ − |cq||
dτ
(
k + 1
tk+2
+ (k − 1)
tk−2
r2k
)
dt =
=
r0+1∫
r0
+
r∫
r0+1
=
r∫
r0+1
t∫
r0
ln+
∑ 1
|τ − |cq||
dτ
(k + 1
tk+2
+ (k − 1)
tk−2
r2k
)
dt+O(1) 6
6 4k
r∫
r0+1
t∫
r0
ln+
∑ 1
|τ − |cq||1/2
dτ
dt
tk+2
+O(1) 6
6 4k
r∫
r0+1
1
t− r0
t∫
r0
ln+
∑
|τ − |cq||−1/2dτ
dt
tk+1
+O(1)
(51)
6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
956 А. А. МОХОНЬКО, А. З. МОХОНЬКО
(51)
6 4k
r∫
r0+1
ln+
1
t− r0
t∫
r0
∑
r0<|cq |62τ
α−π/26ϕq6α+π/2
|τ − |cq||−1/2dτ
+ ln 2
dt
tk+1
+O(1)
(34)
6
(34)
6 4k
r∫
r0+1
ln+
{
4
√
t
t− r0
nα−π/2,α+π/2(2t, 0,∞)
}
dt
tk+1
+O(1).
Поэтому с учетом (59) выполняется неравенство (R = 3t, s = 2t)
J2 6 4k
r∫
r0
ln+ Sα−π,α+π(3t, f)
dt
tk+1
+O(1). (61)
Поскольку функция Sαβ(t, f) не убывает и Sα1β1(t, f) > Sαβ(t, f)+O(1), если α1 6 α < β 6 β1
(см. [3, c. 479], формула (14)), то (см. (60))
J1 =
r∫
r0
1
tk+1
ln+ Sα−π/2,α+π/2(2t, f)dt <
r∫
r0
ln+ Sα−π,α+π(3t, f)
dt
tk+1
+O(1).
Отсюда с учетом (61), (60) следует, что
Iα < K
r∫
r0
ln+ Sα−π,α+π(3t, f)
dt
tk+1
+K, K = const > 0.
Аналогичная оценка имеет место для интеграла Iβ (см. (58)). Таким образом, доказано, что
KAαβ
(
r,
f ′
f
)
<
r∫
r0
(
ln+ Sα−π,α+π(3t, f) + ln+ Sβ−π,β+π(3t, f)
) dt
tk+1
+ 1. (62)
При доказательстве неравенства (62) не использовалось предположение о конечности порядка
роста функции f ∈Mb.
Если f ∈Mb имеет конечный порядок роста, то выполняется (54). Как следует из (62), (54),
для таких функций выполняется неравенство
Aαβ
(
r,
f ′
f
)
< K = const > 0, r > r(α, β). (63)
Оценка (12) является следствием (57), (63).
Лемма 1 доказана.
Доказательство леммы 2. Каждому полюсу порядка m функции f(z), z ∈ gαβ , соот-
ветствует полюс порядка m + 1 производной f ′(z), z ∈ gαβ , поэтому Cαβ(r, f ′) 6 2Cαβ(r, f).
Следовательно,
Sαβ(r, f
′) = Aαβ(r, f
′) +Bαβ(r, f
′) + Cαβ(r, f
′) 6 Aαβ(r, f
′) +Bαβ(r, f
′)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ДЕФЕКТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ C ТОЧКОЙ ВЕТВЛЕНИЯ 957
+2Cαβ(r, f) = Aαβ
(
r, f
f ′
f
)
+Bαβ
(
r, f
f ′
f
)
+ 2Cαβ(r, f)
(3)
6
(3)
6 Aαβ(r, f) +Aαβ
(
r,
f ′
f
)
+Bαβ(r, f) +Bαβ
(
r,
f ′
f
)
+ 2Cαβ(r, f)
(12)
=
(12)
= Aαβ(r, f) +Bαβ(r, f) + 2Cαβ(r, f) +O(1) 6 2Sαβ(r, f) +O(1).
Значит, производная f ′ имеет конечный порядк роста. Поскольку
f (j)
f
=
f (j)
f (j−1)
f (j−1)
f (j−2)
. . .
f ′
f
,
применяя к этому равенству (3) и (12), получаем (13).
Лемма 2 доказана.
1. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976. – 648 с.
2. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. – М.: Наука, 1970. – 592 с.
3. Мохонько А. А. Теорема Мальмквиста для решений дифференциальных уравнений в окрестности логарифми-
ческой особой точки // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 4. – C. 476 – 483.
4. Стрелиц Ш. И. Асимптотические свойства аналитических решений дифференциальных уравнений. – Виль-
нюс: Минтас, 1972. – 468 с.
5. Мохонько А. З. Поле алгеброидных функций и оценки их неванлинновских характеристик // Сиб. мат. журн.
– 1981. – 22, № 3. – С. 213 – 218.
6. Boutroux P. Sur quelques proprietés des fonctions entieres// Acta math. – 1904. – 29. – P. 97 – 204.
7. Мохонько А. З. Оценка модуля логарифмической производной функции, мероморфной в угловой области, и
ее применение // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 6. – C. 839 – 843.
8. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. – М.; Л.: Гостехтеориздат,
1950. – 436 с.
9. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. – М.: Наука, 1968. – Т. 2. – 624 с.
10. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа.–
М.: Наука, 1981. – 384 с.
11. Евграфов М. А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1968. – 472 с.
12. Mokhon’ko A. Z., Mokhon’ko V. D. On order of growth of analytic solutions for algebraic differential equations
having logarithmic singularity // Math. Stud. – 2000. – 13, № 2. – P. 203 – 218.
Получено 20.03.12,
после доработки — 19.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
|