Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия
Встановлено достатні умови асимптотичної та рівномірної асимптотичної стійкості неявних диференціальних систем в околі програмного многовиду. Отримано також достатні умови стійкості при відомих перших інтегралах. Виділено клас неявних систем, для яких можливо обчислити похідну функції Ляпунова....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166060 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 558–565. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166060 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660602020-02-19T01:26:42Z Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия Жуматов, С.С. Короткі повідомлення Встановлено достатні умови асимптотичної та рівномірної асимптотичної стійкості неявних диференціальних систем в околі програмного многовиду. Отримано також достатні умови стійкості при відомих перших інтегралах. Виділено клас неявних систем, для яких можливо обчислити похідну функції Ляпунова. Sufficient conditions for the asymptotic and uniform asymptotic stability of implicit differential systems in a neighborhood of the program manifold are established. Sufficient conditions of stability are also obtained for the known first integrals. A class of implicit systems for which it is possible to find the derivative of the Lyapunov function is selected. 2014 Article Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 558–565. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166060 517.925.5 519.216 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Жуматов, С.С. Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия Український математичний журнал |
| description |
Встановлено достатні умови асимптотичної та рівномірної асимптотичної стійкості неявних диференціальних систем в околі програмного многовиду. Отримано також достатні умови стійкості при відомих перших інтегралах. Виділено клас неявних систем, для яких можливо обчислити похідну функції Ляпунова. |
| format |
Article |
| author |
Жуматов, С.С. |
| author_facet |
Жуматов, С.С. |
| author_sort |
Жуматов, С.С. |
| title |
Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия |
| title_short |
Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия |
| title_full |
Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия |
| title_fullStr |
Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия |
| title_sort |
асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166060 |
| citation_txt |
Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 558–565. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT žumatovss asimptotičeskaâustojčivostʹneâvnyhdifferencialʹnyhsistemvokrestnostiprogrammnogomnogoobraziâ |
| first_indexed |
2025-07-14T20:41:15Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:41:15Z |
| _version_ |
1837656373550120960 |
| fulltext |
УДК 517.925.5:519.216
С. С. Жуматов (Ин-т математики М-ва образования и науки Республики Казахстан, Алматы)
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
В ОКРЕСТНОСТИ ПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ
Sufficient conditions for the asymptotic and uniform asymptotic stability of implicit differential systems in a neighborhood
of the program manifold are established. Sufficient conditions of stability are also obtained for the known first integrals. A
class of implicit systems for which it is possible to find the derivative of the Lyapunov function is selected.
Встановлено достатнi умови асимптотичної та рiвномiрної асимптотичної стiйкостi неявних диференцiальних сис-
тем в околi програмного многовиду. Отримано також достатнi умови стiйкостi при вiдомих перших iнтегралах.
Видiлено клас неявних систем, для яких можливо обчислити похiдну функцiї Ляпунова.
Введение. Постановка задачи. Рассматривается система дифференциальных уравнений, не
разрешенных относительно старшей производной. В общем случае такие системы имеют вид
f(t, x, ẋ) = 0, f ∈ Rs, x ∈ Rn (s ≤ n), t ∈ (α, β). (1)
Неявный характер этой системы порождает ряд трудностей, связанных с существованием
и единственностью, устойчивостью и ограниченностью решений. В работе [1] такие системы
названы неявными дифференциальными системами, введены понятия устойчивости и огра-
ниченности решений относительно заданных нелинейных функций. Получены достаточные
условия устойчивости и ограниченности, где явно фигурируют эти функции. В [2, 3] исследо-
ваны особые точки неявных систем дифференциальных уравнений (1) при s = n. Рассмотрены
особые точки определенного типа, называемые правильными, которые являются в некотором
смысле типичными для уравнения общего положения. Показано, что среди правильных осо-
бых точек встречаются, в основном, точки трех типов: точки ветвления (существуют ровно два
решения, выходящие из данной точки, и нет ни одного входящего решения), точки остановки
(существуют ровно два решения, входящие в данную точку, и нет ни одного выходящего реше-
ния) и точки единственности (существуют одно решение, выходящее из данной точки, и одно
входящее). Установлено, что если функция f достаточно гладкая, то в окрестности правиль-
ной особой точки решение x(t) представимо в виде композиции гладкой функции и корня из t
некоторой степени. В [4, 5] для произвольного обыкновенного дифференциального уравнения с
конечными соотношениями, не разрешенного относительно производной, строится другое диф-
ференциальное уравнение, разрешенное относительно производной и не содержащее конечных
соотношений.
Важно отметить, что частным случаем системы (1) является система вида
H(t, x(t))ẋ = f(t, x), H ∈ Rs×n, f ∈ Rs, x ∈ Rn (s ≤ n), t ∈ (α, β). (2)
Модели вида (2) известны под названиями сингулярных систем, обобщенных систем про-
странственного состояния или дифференциально-алгебраических систем. В работах [6 – 8] изу-
чались свойства систем при s = n, когда при старшей производной стоит матрица, у которой
детерминант равен нулю, установлены условия приводимости к канонической форме и усло-
вия разрешимости задачи Коши, исследованы вопросы существования периодических решений.
c© С. С. ЖУМАТОВ, 2014
558 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ . . . 559
Исследования этих систем при s = n и постоянной матрице H, детерминант которой равен
нулю, а функция f является линейной относительно x с постоянной матрицей f0, тесно пере-
плетается с работами К. Вейерштрасса и Л. Кронекера [9, 10] по теории матричных пучков.
Начиная с семидесятых годов XX столетия эти системы в случае, когда указанные матрицы
являются переменными, исследовались и исследуются на предмет существования и единствен-
ности решений, приведения к канонической форме, приводимости к системам с постоянными
матрицами, построения вычислительных алгоритмов решения вырожденных линейных систем.
В перечисленных работах неявные дифференциальные системы исследовались относитель-
но нулевой точки равновесия. Мы исследуем эти системы в окрестности программного много-
образия.
В работе [11] получены достаточные условия устойчивости и притягиваемости программ-
ного многообразия неявных дифференциальных систем.
Предположим, что векторная функция f(t, x, ẋ) обеспечивает существование решений сис-
темы (1). Под решением системы (1) будем понимать непрерывную функцию времени t, суще-
ствующую на временном интервале T ⊆ I, которая всюду в T\S удовлетворяет уравнению (1),
где S — не более чем счетное множество.
Программное многообразие Ω(t) задается следующим образом:
Ω(t) ≡ ω(t, x) = 0, ω ∈ Rs (s ≤ n). (3)
Обозначим через Φ множество, образованное при t ∈ [t0, β) значениями x(t, t0, x0) всех
решений x(t), существующих на [t0, β), t0 ∈ T̄ , где T̄ — связное множество всевозможных
начальных моментов, а через Ψ многозначную функцию, которая имеет свойство Φ(t0, t) ⊂
⊂ Ψ(t0, t), t0 ≤ t. Пусть xu(t) — известное решение системы (1), ω(t, xu(t)) = 0.
Введем некоторые векторные функции q, p, l, удовлетворяющие следующим условиям:
Q̄(t, ε) = {x ∈ Rn : |q(t, ω)− q(t, 0)| ≤ ε}, q(t, ω) ∈ Rq,
P̄ (t, ε) = {x ∈ Rn : |p(t, ω)− p(t, 0)| ≤ ε}, p(t, ω) ∈ Rp, (4)
L̄(t, ε) = {x ∈ Rn : |l(t, ω)− l(t, 0)| ≤ ε}, l(t, ω) ∈ Rl.
Ставится задача: получить условия асимптотической устойчивости программного многооб-
разия неявной системы (1) относительно функций q, p, l.
Асимптотическая устойчивость программного многообразия. Для решения поставлен-
ной задачи введем следующие множества и определения:
Bε = Q(t, ε)
⋂
Φ(t0, t),
Bδ(ε) = Bδ
⋂
Bε,
Āε = L̄(t, ε)
⋂
Ψ̄(t0, t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
560 С. С. ЖУМАТОВ
Определение 1. Пусть S(t) ∈ Sp(R
n), t ∈ I, где Sp(Rn) — множество всех непустых
связных подмножеств из R. Тогда существует предел limt→∞ S(t) = L, если можно найти
L ∈ Sp(Rn) и r0 > 0, r0 ∈ R, и для любой подпоследовательности Ts = {tk}, сходящейся к S,
для любых ε ∈ (0,∞) и r ∈ (r0,∞) существует такое m(s, ε, r), что(
[S(tk) ∩H(r)]4 [L ∩H(r)]
)
⊂ N
(
∂[L ∩H(r)], ε
)
∀ k ∈ (m,∞), tk ∈ Ts.
Здесь N(S,m) = [x ∈ Rn : d(x, S) < m], m — окрестность множества S.
Множество S(t) ограничено на I, если существует такое ограниченное множество Sb, что
для любого t ∈ I имеем S(t) ⊂ Sb. Известно, что если S(t) и L — ограниченные множества на I,
то существует такое r0 > 0, r0 ∈ R, что S(t) ⊂ H(r0), L ⊂ H(r0), поэтому S(t)∩H(r0) = S(t)
и L ∩H(r0) = L.
Определение 2. Программное многообразие Ω(t) неявной дифференциальной системы (1)
называется асимптотически устойчивым относительно заданных функций q, p, l, c, c ≥ 0,
если оно устойчиво относительно q, p и для любого t0 ∈ T, T ⊆ I, существует такое m(t0) >
> 0, что для любого x0 ∈ Bm(t0) и t < t1 имеет место соотношение limt→t1 ω(t, t0, x0) =
= limt→t1 Āc. Здесь Āc = L̄(t, c)
⋂
Ψ̄(t0, t).
Определение 3. Программное многообразие неявной дифференциальной системы (1) на-
зывается равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво и равно-
мерно притягивающее.
Определение 4. Пусть S(t) ∈ Sp(Rn), t ∈ I. Тогда:
1) множество S(t) называется непрерывным для любого t ∈ I, если S(t) : t→ s = S(s) ∀ t ∈
∈ I;
2) множество S(t) называется асимптотически сжимающимся на S∗(t), если:
а) S(t) непрерывна на I;
б) S∗(t) ⊂ S(t) ∀t ∈ I;
в) limt→t1 S(t) = limt→t1 S∗(t).
Для формулировки основных результатов введем следующие обозначения:
a(t, ω) = p(t, ω)− p(t, 0),
D(t0, t,Φ) = P (t, γ)
⋂
Φ(t0, t), γ > 0,
D+f(t0) = lim
t→t+0
sup
f(t)− f(t0)
t− t0
и для любой v > 0, удовлетворяющей условию B̄v ⊂ B, где B ⊂ Rn — открытая область,
положим
Vv = {x ∈ Rn : V (t, q(t, ω)) ≤ θ(v)}.
Здесь D+ — правая верхняя производная Дини.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ . . . 561
Теорема 1. Пусть заданы функции q, p, l, удовлетворяющие условию (4), и существуют
непрерывная функция V, которая является локально липшицевой по x, и решение xu(t) ∈
∈ D(t0, t,Φ) такие, что:
1) Φ(t0, δ) 6= ∅ ∀δ > 0 ∀t0 ∈ T ;
2) V (t, q(t, 0)) ≡ 0, θ(‖a(t, ω)‖) ≤ V (t, q(t, ω));
3) P (·, ε) не затухает для любого ε ∈ (0, γ);
4) D+V (t, q(t, ω)) ≤ 0;
5) множество A(·, ε) является асимптотически сжимающимся на множестве Ā(·, t, c).
Тогда программное многообразие неявной дифференциальной системы (1) асимптотически
устойчиво относительно функций q, p, l, c, c ≥ 0.
Доказательство. Пусть заданы t0 ∈ T, ε > 0 и q, p, l, — функции, удовлетворяющие усло-
виям (4), в частности
L̄(t, c) = {x ∈ Rn : |l(t, ω)− l(t, 0)| ≤ c, c ≥ 0}, l(t, ω) ∈ Rl. (5)
Программное многообразие неявной дифференциальной системы (1) устойчиво относительно
функций q, p при выполнении условий 1 – 4, т. е. для любого x0 ∈ Bδ(ε) и t0 ∈ T̄i имеет
место ω(t, t0, x0) ∈ Āε, где Āε = P̄ (t, ε)
⋂
Ψ̄(t0, t). Согласно условию 5 теоремы выполняются
соотношения
Āc ⊂ Āε, Āc = L̄(t, c)
⋂
Ψ̄(t0, t), lim
t→t1
Ā(t, ε) = lim
t→t1
Ā(t, c). (6)
Приняв во внимание условия 2 и 4 теоремы, установим, что функция V (t) = V (t, q(t, ω(t)))
ограничена снизу, монотонно убывает и имеет конечный предел
lim
t→∞
V (t) = α ≥ 0, (7)
где α не может быть положительным [12].
Множество Āc ограничено, так как Āε является ограниченным множеством, поэтому су-
ществует такое r0 > 0, r0 ∈ R, что Āc ⊂ H(r0), L ⊂ H(r0), откуда следует Āc ∩H(r0) = Āc и
L ∩H(r0) = L. Множества Āc и Āε имеют одинаковый предел в силу равенства (6). Покажем,
что величину δ можно выбрать так, чтобы при этом limt→∞ Ā(t, c) = 0, если x0 ∈ Bδ(ε).
Действительно, по найденной величине δ > 0 построим величину δ1 такую, что при x0 ∈ Bδ1(δ)
будет Āδ = L̄(t, δ)
⋂
Ψ̄(t0, t).
Пусть это не так, т. е. существует решение x(t) ∈ D(t0, t,Φ) такое, что |p(t, ω)−p(t, 0)| > δ
при t ≥ t0. Тогда V (t, q(t, ω)) > λ > 0 согласно условию 2, что противоречит соотношению
(7). Таким образом,
α = lim
t→∞
V (t, q(t, ω)). (8)
Покажем теперь, что ω(t) → 0 при t → ∞. Действительно, пусть ε1 > 0 произвольно
мало и
l1 = inf θ(ω) > 0 при ε1 ≤ ‖ω‖ ≤ r, r ∈ (r0,∞). (9)
Из формулы (7) следует, что при t1 > t0 имеет место
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
562 С. С. ЖУМАТОВ
V (t, q(t, ω)) < l1.
Отсюда в силу монотонного убывания функции V (t, q(t, ω)) получаем
V (t, q(t, ω)) < l1 при t > t1 (10)
и, следовательно,
‖ω‖ < ε1 при t > t1. (11)
Если бы ‖ω‖ ≥ ε1 для некоторого момента t2 > t1 , то с учетом (9) и (10) l1 > V (t2, q(t2, ω)) ≥
≥ θ(ω(t2)) ≥ l1, что невозможно. Таким образом, на основании неравенства (11) имеем
lim
t→∞
ω(t) = 0.
Откуда следует, что limt→∞ ω(t, t0, x0) = limt→∞ Āc.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть заданы функции q, p, l, удовлетворяющие условию (4), и существуют
непрерывная функция V, которая является локально липшицевой по x, и решение xu(t) ∈
∈ D(t0, t,Φ) такие, что:
1) Φ(t0, δ) 6= ∅ ∀δ > 0 ∀t0 ∈ I;
2) V (t, q(t, 0)) ≡ 0, θ(‖a(t, ω)‖) ≤ V (t, q(t, ω)) ≤ ξ(‖a(t, ω)‖);
3) P (·, ε) не затухает для любого ε ∈ (0, γ);
4) D+V (t, q(t, ω)) ≤ −ξ(‖a(t, ω)‖);
5) множество A(·, ε) является асимптотически сжимающимся на множестве Ā(·, t, c).
Тогда программное многообразие неявной дифференциальной системы (1) равномерно асимп-
тотически устойчиво относительно функций q, p, l, c, c ≥ 0.
Доказательство. Пусть заданы t0 ∈ T, ε > 0 и q, p, l, — функции, удовлетворяющие
условиям (4). Выберем ν > 0 такое, что B̄ν ⊂ B, и из условий 2 получим, что для любого t ∈ I
выполняется соотношение
Vν ⊂ B̄ν ⊂ B. (12)
Тогда для любого t0 ∈ Ti и x0 ∈ Vν0 в силу условия 3 следует, что x ∈ Vν0 для любого
t ∈ I+, и поэтому на основании (12) заключаем, что x(t) не может достигнуть границы B.
Значит, I+ = [t0,∞). Поскольку выполняются условия теоремы, программное многообразие
асимптотически устойчиво относительно функций q, p, l. Тогда в силу условий 1, 2 найдется
δ = δ(ε) > 0 такое, что V (t, x0) < θ(ε) для всех x0 ∈ Bδ(ε). Принимая во внимание, что
x(t) = x(t, t0, x0), и используя условия 3, 4, заключаем, что V (t, q(t, ω)) не возрастает вдоль
траекторий неявной дифференциальной системы (1) и для любых x0 ∈ Bδ, t ∈ I+ = [t0, β)
получаем
θ(‖a(t, ω)‖) ≤ V (t, q(t, ω)) ≤ V (t0, ω0) < θ(ε).
Поскольку θ ∈ K, заключаем, что ‖a(t, ω)‖ < ε и limt→∞ ω(t, t0, x0) = 0, т. е. ω(t, t0, x0) ∈
∈ Āε. Здесь Āε = P̄ (t, ε)
⋂
Ψ̄(t). Программное многообразие равномерно устойчиво. Также для
любого ε > 0 найдется η = η(ε) > 0 такое, что ξ(η) ≤ θ(ν). Выберем τ > ξ(ν)/ζ(η). В данном
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ . . . 563
случае ‖ω(t)‖ ≤ η для всех t ∈ [t0, t0 + τ ]. Значит, существует t1 ∈ [t0, t0 + τ ], для которого
выполняется соотношение ξ(‖ω(t1)‖) ≤ ξ(η) < θ(ε). Отсюда в силу условия 2 теоремы имеем
θ(‖a(t, ω)‖) ≤ V (t, q(t, ω)) ≤ V (t1, q(t1, ω(t1))) < ξ(‖q(ω(t1)‖) < θ(ε).
Следовательно, для всех t ≥ t0 + τ выполняется ‖a(t, ω)‖ < ε, т. е. ω(t, t0, x0) ∈ Āε, где
Āε = P̄ (t, ε)
⋂
Ψ̄(t). Теперь для любого δ > 0, удовлетворяющего неравенству ξ(δ) ≤ θ(ν),
получаем Bδ ⊂ Vν . Отсюда следует, что притяжение имеет свойство равномерности. Таким
образом, по определению 3 программное многообразие неявной дифференциальной системы
(1) равномерно асимптотически устойчиво.
Устойчивость программного многообразия при известных первых интегралах. Если
известны первые интегралы, то можно использовать их комбинацию с некоторой дополнитель-
ной функцией. Необходимо добиться того, чтобы эта комбинация была положительно опреде-
ленной и убывающей вдоль решений.
Определение 5. Непрерывная и локально липшицева по x функция W (t, x) называется
первым интегралом для уравнения (1), если D+W (t, x) = 0 для любого (t, x) ∈ I ×Rn.
Теорема 3. Пусть заданы функции q, p, удовлетворяющие условию (4), и существуют
непрерывные функции V и W, которые являются локально липшицевыми по x, и решения
xu(t) ∈ D(t0, t,Φ) такие, что:
1) Φ(t0, δ) 6= ∅ ∀σ > 0 ∀t0 ∈ T ;
2) V (t, q(t, 0)) ≡ 0, W (t, q(t, 0)) ≡ 0;
3) max{V (t, q(t, ω)),W (t, q(t, ω))} ≥ θ(‖a(t, ω)‖) ∀(t, x) ∈ I ×Rn;
4) P (·, ε) не затухает для любого ε ∈ (0, γ);
5) D+V (t, q(t, ω)) ≤ 0 для любого (t, x) ∈ I ×Rn такого, что V (t, q(t, ω)) ≥W (t, q(t, ω)).
Тогда программное многообразие неявных дифференциальных систем устойчиво относитель-
но заданных функций q, p.
Доказательство. Пусть V (t, q(t, ω)),W (t, q(t, ω)) и ν(t, q) — непрерывные функции, опре-
деленные на I ×D(t0, t,Φ), для которых справедливо соотношение
ν(t, q) = max{V (t, q(t, ω)),W (t, q(t, ω))},
причем V (t, q(t, 0)) ≡ 0, W (t, q(t, 0)) ≡ 0. Если выполняются
D+V (t, q(t, ω)) ≤ 0 ∧D+W (t, q(t, ω)) ≤ 0,
то D+ν(t, ω)) ≤ 0 на I × D(t0, t,Φ). Применяя теорему 2 и для определенности выбирая
ν(t, q) = V (t, q(t, ω(t))), получаем
θ(‖a(t, ω)‖) ≤ V (t, q(t, ω)) ≤ V (t0, ω0) < θ(ε).
Поскольку θ ∈ K, заключаем, что ‖a(t, ω)‖ < ε, т. е. ω(t, t0, x0) ∈ Āε, где Āε = P̄ (t, ε)
⋂
Ψ̄(t).
Вычисление производной функции Ляпунова. Заметим, что в вышепроведенных иссле-
дованиях непосредственное вычисление производной функций Ляпунова затруднительно. По-
этому введем следующее понятие.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
564 С. С. ЖУМАТОВ
Определение 6. Нелинейное преобразование y = G(t, x) называется преобразованием Ля-
пунова, если функция G(t, x) ∈ Rs, определяющая переменную y, такова, что:
1) полная производная по времени ẏ(t) вдоль решений системы (1) известна и является
ограниченной функцией, когда (t, y) принадлежит компактному множеству в I ×Rs;
2) любая непрерывная кривая из пространства I × Rn, состоящая из точек (t, x), пере-
водится преобразованием y = G(t, x) в непрерывную кривую, состоящую из точек (t, y) в
пространстве I ×Rs.
Лемма 1. Пусть M — открытое множество M ⊂ I × Rs, V (t, y) ∈ C(M) локально
липшицева по y на M.
Если x(t) — непрерывное решение системы (1) и y = G(t, x(t)) обладает тем свойством,
что точка (t, y) принадлежит M, то верхняя производная Дини функции V вдоль решений
системы (1) в момент t∗ ∈ I имеет вид
D+V (t∗) = lim
h→0+
sup
V (t∗ + h, y∗ + hẏ∗)− V (t, y∗
h
. (13)
Доказательство. Пусть задано нелинейное преобразование y = G(t, x), являющееся пре-
образованием Ляпунова. Находим полную производную
ẏ =
∂G
∂t
+
∂G
∂x
ẋ = F (t, y),
где F (t, y) — некоторая известная функция, удовлетворяющая условию F (t, 0) ≡ 0. Обозначим
y(t∗) = y∗. Для любого малого h > 0 имеем
V (t∗ + h, y(t∗ + h))− V (t?, y(t∗)) =
= V [t∗ + h, y∗ + hF (t?, y?) + hε(t?, y?, h)]− V (t?, y(t∗)) ≤
≤ V [t∗ + h, y∗ + hF (t?, y?)] + kh‖ε(t?, y?, h)‖ − V (t?, y(t∗)).
Здесь ε→ 0 одновременно с h, а k — постоянная Липшица в окрестности y∗. Отсюда получаем
D+V (t∗) = lim
h→0+
sup
V [t∗ + h, y(t∗ + h)]− V (t∗, y(t∗))
h
≤
≤ lim
h→0+
sup
V [t∗ + h, y∗ + hF (t?, y?)]− V (t∗, y(t∗))
h
. (14)
Также для любого малого h > 0 находим
V (t∗ + h, y(t∗ + h))− V (t?, y(t∗)) ≥
≥ V [t∗ + h, y∗ + hF (t?, y?)− hε(t?, y?, h)]− V (t?, y∗).
Отсюда следует
D+V (t∗) ≥ lim
h→0+
sup
V [t∗ + h, y∗ + hF (t?, y?)]− V (t∗, y(t∗))
h
. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ . . . 565
Таким образом, сравнивая (14) и (15), получаем
D+V (t∗) = lim
h→0+
sup
V [t∗ + h, y∗ + hF (t?, y?)]− V (t∗, y(t∗))
h
.
Теорема 4. ПустьM = I×Rq и y является преобразованием Ляпунова, определяемым как
y = q(t, x). Тогда если существует локально липшицева по y на M функция V (t, y) ∈ C(M),
то производная D+V [q(t, x(t))] в момент t∗ ∈ I вычисляется по формуле (13).
Доказательство. Пусть задано нелинейное преобразование y = q(t, x), являющееся пре-
образованием Ляпунова. Поскольку для данной функции известна полная производная, имеем
ẏ =
∂q
∂t
+
∂q
∂x
ẋ = F (t, y),
где F (t, y) — некоторая известная функция, удовлетворяющая условию F (t, 0) ≡ 0. Тогда,
обозначая y(t∗) = y∗, в момент t∗ ∈ I, как и при доказательстве леммы 1, получаем правую
верхнюю производную Дини в виде (13).
1. Bajik V. N. Non-linear function and stability of motions implicit systems // Int. J. Cont. – 1990. – 52, № 5. –
P. 1167 – 1187.
2. Ремизов А.О. О правильных особых точках обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных
относительно производных // Дифференц. уравнения. – 2002. – 38, № 5. – С. 622 – 630.
3. Ремизов А.О Неявные дифференциальные уравнения и векторные поля с неизолированными особыми точками
// Мат. сб. – 2002. – 193, № 11. – С. 105 – 124.
4. Козеренко К.В. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений с конечными состояни-
ями, не разрешенных относительно производной // Автоматика и телемеханика. – 2000. – № 11. – С. 85 – 93.
5. Козеренко К.В. Об исследовании решений неявно заданных обыкновенных дифференциальных уравнений //
Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1999. – 39, № 2. – С. 235 – 238.
6. Самойленко А.М., Яковец В.П. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной канонической
форме // Доп. НАН України. – 1993. – № 4. – С. 10 – 15.
7. Яковець В.П. Деякi властивостi вироджених лiнiйних систем // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 9. – С. 1278 –
1296.
8. Яковець В.П. Про структуру загального розв’язку виродженої лiнiйної системи диференцiальних рiвнянь
другого порядку // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 2. – С. 292 – 298.
9. Weierstrass K. Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen // Monatsh. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin. – 1867.
– S. 310 – 338.
10. Kronecker L. Algebraische Reduktion der Scharen bilinear er Formen // Sitzungsber. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin. –
1890. – S. 763 – 776.
11. Жуматов С.С. Устойчивость и притягиваемость программного многообразия неявных дифференциальных
систем // Тр. 3-й Междунар. конф. „Математическое моделирование и дифференциальные уравнения” (17 – 22
сентября 2012 г., Брест). – Минск, 2012. – С. 143 – 151.
12. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Мир, 1980. – 302 с.
Получено 07.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|