Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії
Найдены асимптотические разложения смещения, среднего квадрата отклонения и дисперсии коррелограммной оценки неизвестной ковариационной функции гауссовского стационарного случайного шума в нелинейной модели регрессии с непрерывным временем....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166075 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії / О.В. Iванов, К.К. Москвичова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 787–805. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166075 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660752020-02-19T01:26:46Z Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії Iванов, О.В. Москвичова, К.К. Статті Найдены асимптотические разложения смещения, среднего квадрата отклонения и дисперсии коррелограммной оценки неизвестной ковариационной функции гауссовского стационарного случайного шума в нелинейной модели регрессии с непрерывным временем. We establish asymptotic expansions of the bias, mean-square deviation, and variance for the correlogram estimator of the unknown covariance function of a Gaussian stationary random noise in the nonlinear regression model with continuous time. 2014 Article Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії / О.В. Iванов, К.К. Москвичова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 787–805. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166075 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Iванов, О.В. Москвичова, К.К. Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії Український математичний журнал |
| description |
Найдены асимптотические разложения смещения, среднего квадрата отклонения и дисперсии коррелограммной оценки неизвестной ковариационной функции гауссовского стационарного случайного шума в нелинейной модели регрессии с непрерывным временем. |
| format |
Article |
| author |
Iванов, О.В. Москвичова, К.К. |
| author_facet |
Iванов, О.В. Москвичова, К.К. |
| author_sort |
Iванов, О.В. |
| title |
Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії |
| title_short |
Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії |
| title_full |
Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії |
| title_fullStr |
Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії |
| title_sort |
асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166075 |
| citation_txt |
Асимптотичний розклад моментiв корелограмної оцiнки коварiацiйної функцiї випадкового шуму в нелiнiйнiй моделi регресії / О.В. Iванов, К.К. Москвичова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 787–805. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT ivanovov asimptotičnijrozkladmomentivkorelogramnoíocinkikovariacijnoífunkciívipadkovogošumuvnelinijnijmodeliregresíí AT moskvičovakk asimptotičnijrozkladmomentivkorelogramnoíocinkikovariacijnoífunkciívipadkovogošumuvnelinijnijmodeliregresíí |
| first_indexed |
2025-07-14T20:42:47Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:42:47Z |
| _version_ |
1837656461055885312 |
| fulltext |
УДК 519.21
О. В. Iванов, К. К. Москвичова (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ
КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ ВИПАДКОВОГО ШУМУ
В НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI РЕГРЕСIЇ
We establish asymptotic expansions of the bias, mean-square deviation, and variance for the correlogram estimator of the
unknown covariance function of Gaussian stationary random noise in the nonlinear regression model with continuous time.
Найдены асимптотические разложения смещения, среднего квадрата отклонения и дисперсии коррелограммной
оценки неизвестной ковариационной функции гауссовского стационарного случайного шума в нелинейной модели
регрессии с непрерывным временем.
Вступ. Нехай спостерiгається випадковий процес
X(t) = g(t, θ) + ε(t), t ∈ [0, T ], (1)
де g : [0,+∞) × Θγ → R — неперервна функцiя, що залежить вiд невiдомого параметра
θ = (θ1, . . . , θq) ∈ Θ ⊂ Rq, Θ — обмежена вiдкрита опукла множина, Θγ =
⋃
‖a‖<1 (Θ + aγ) ,
γ > 0 — деяке число, ε(t), t ∈ R, — випадковий шум, вiдносно якого припускаємо, що
I. ε (t) , t ∈ R, — дiйсний неперервний у середньому квадратичному сепарабельний вимiр-
ний стацiонарний гауссiвський процес iз нульовим середнiм i абсолютно iнтегровною коварiа-
цiйною функцiєю B = B (t), t ∈ R.
Модель спостережень (1) є узагальненням класичної моделi нелiнiйної регресiї з незалежни-
ми однаково розподiленими похибками спостережень [1]. З iншого боку, це класична модель
статиcтичної теорiї зв’язку, коли на виходi каналу зв’язку спостерiгається сумiш детермiнова-
ного сигналу та випадкового шуму. Багато статистичних результатiв щодо оцiнок невiдомого
параметра θ моделi (1) наведено в роботах [2 – 7] (див. також наведену в них бiблiографiю).
Якщо коварiацiйна функцiя B є невiдомою, то виникає задача статистичного оцiнювання B
при наявностi заважаючого параметра θ.
Означення 1. Оцiнкою найменших квадратiв невiдомого параметра θ ∈ Θ називається
будь-який випадковий вектор θ̂T = θ̂T (X(t), t ∈ [0, T ]) = (θ̂1T , . . . , θ̂qT ) ∈ Θc (Θc — зами-
кання Θ), для якого
QT (θ̂T ) = min
τ∈Θc
QT (τ), QT (τ) =
T∫
0
[X(t)− g(t, τ)]2 dt.
Означення 2. Корелограмною оцiнкою коварiацiйної функцiї B назвемо корелограму, по-
будовану за вiдхиленнями спостережень X̂(T ) = X(t)− g(t, θ̂T ), t ∈ [0, T +H], а саме:
BT (z, θ̂T ) = T−1
T∫
0
X̂(t+ z)X̂(t)dt, z ∈ [0, H], (2)
де H > 0 — фiксоване число.
c© О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6 787
788 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
Легко бачити, що BT (0, θ̂T ) = T−1QT (θ̂T ) — це оцiнка найменших квадратiв дисперсiї
σ2 = B(0) випадкового процесу ε, а
BT (z) = BT (z, θ) = T−1
T∫
0
ε(t+ z)ε(t)dt, z ∈ [0, H],
— корелограма ε.
У повiдомленнi авторiв [1] було наведено стохастичний асимптотичний розклад оцiнки
BT (z, θ̂T ), що узагальнює теорему 26 iз книги [8] на модель спостережень (1). У данiй робо-
тi вказаний стохастичний асимптотичний розклад використано для отримання асимптотичних
розкладiв перших двох моментiв корелограмної оцiнки (2): зсуву, середнього квадрата вiдхи-
лення та дисперсiї BT (z, θ̂T ).
1. Попереднi зауваження. Для подальших формулювань введемо потрiбнi позначення
та умови. Нехай α = (α1, . . . , αq) — мультиiндекс, |α| = α1 + . . . + αq. Для гладкої функ-
цiї a(τ) позначимо a(α)(τ) =
(
∂|α|/∂α1τ1 . . . ∂
αqτq
)
a(τ), ai1...ir(τ) = (∂r/∂τi1 . . . ∂τir) a(τ),
i1, . . . , ir = 1, q.
Припустимо, що функцiя g (t, τ) для кожного t > 0 має i неперервнi всi частиннi похiднi
за змiнними τ = (τ1, . . . , τq) ∈ Θγ до порядку k ≥ 2 включно, причому функцiї g(α) (t, τ) ,
|α| = 1, k, локально iнтегровнi з квадратом по t для довiльного τ ∈ Θc. Позначимо
d2
iT (τ) =
T∫
0
g2
i (t, τ)dt, gi(t, τ) =
∂g(t, τ)
∂τi
, i = 1, q,
d2
T (α, τ) =
T∫
0
(
g(α)(t, τ)
)2
dt, |α| = 1, k.
Будемо вважати, що limT→∞ d2
iT (θ) > 0, i = 1, q.
Нехай також для |α| ≥ 0
Φ
[α]
T (τ1, τ2) =
T∫
0
(
g(α)(t, τ1)− g(α)(t, τ2)
)2
dt,
I(θ) = (Iij(θ))
q
i,j=1 =
T−1
T∫
0
gi(t, θ)gj(t, θ)dt
q
i,j=1
, Λ(θ) =
(
Λij(θ)
)q
i,j=1
= I−1(θ),
λmin(A) — найменше власне число додатно означеної матрицi А, s∗(z) = T−1
∫ T
0
ε2(t+ z)dt.
Приймемо при z ∈ [0, H]
b
(α)
1 (z, θ) = T−
1
2
T∫
0
ε(t+ z)g(α)(t, θ)dt, b
(α)
2 (z, θ) = T−
1
2
T∫
0
ε(t)g(α)(t+ z, θ)dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 789
b(α)(z, θ) = b
(α)
1 (z, θ) + b
(α)
2 (z, θ),
bi1...ir(z, θ) = T−
1
2
T∫
0
[ε(t+ z)gi1...ir(t, θ) + ε(t)gi1...ir(t+ z, θ)] dt,
bi1...ir(θ) = T−
1
2
T∫
0
ε(t)gi1...ir(t, θ)dt =
1
2
bi1...ir(0, θ),
ai1...ir(z, θ) = EBT,i1...ir(z, θ), Π(i)(j)(z, θ) = T−1
T∫
0
gi(t+ z, θ)gj(t, θ)dt,
Π(i)(jk)(z, θ) = T−1
T∫
0
gi(t+ z, θ)gjk(t, θ)dt, Π(ij)(k)(z, θ) = T−1
T∫
0
gij(t+ z, θ)gk(t, θ)dt.
Тодi
aij(z, θ) = Π(i)(j)(z, θ) + Π(j)(i)(z, θ), aij(θ) = aij(0, θ) = 2Π(i)(j)(0, θ) = 2Iij ,
aijk(z, θ)=Π(ij)(k)(z, θ)+Π(k)(ij)(z, θ)+Π(ik)(j)(z, θ)+Π(j)(ik)(z, θ)+Π(jk)(i)(z, θ)+Π(i)(jk)(z, θ),
aijk(θ) = aijk(0, θ) = 2
(
Π(ij)(k)(0, θ) + Π(ik)(j)(0, θ) + Π(jk)(i)(z, θ)
)
.
Позначимо також ãijk(z, θ) = Π(ij)(k)(z, θ) + Π(k)(ij)(z, θ).
Лiтерами Ci, i ≥ 1, будемо позначати додатнi скiнченнi сталi. Наявнiсть у будь-якому спiв-
вiдношеннi сталої Ci означає, що iснує така стала Ci, що це спiввiдношення виконується.
Припустимо, що справджуються наступнi припущення:
II. Виконуються нерiвностi
sup
τ∈Θc
T−
1
2dT (α; τ) ≤ C1(α), |α| = 1, k, (3)
sup
τ1,τ2∈Θc
T−1Φ
[α]
T (τ1, τ2) ‖τ1 − τ2‖−2 ≤ C2(α), |α| = k. (4)
Зауважимо, що умова (4) для мультиiндексiв α, |α| = 0, k − 1, випливає iз спiввiдношень
(3), що виконуються для α+ ei, i = 1, q, де ei ∈ Rq — i-й одиничний орт.
III. Для деякого λ0 > 0 для достатньо великих T λmin(I(θ)) ≥ λ0.
Сформулюємо теорему про стохастичний асимптотичний розклад оцiнки θ̂T , що є зручним
переформулюванням теореми 3.3.2 iз книги [2].
Теорема 1. Нехай виконано умови I–III, а оцiнка найменших квадратiв θ̂T консистентна
в тому розумiннi, що для будь-якого ρ > 0 i деякого цiлого m ≥ 2
P
{
‖θ̂T − θ‖ ≥ ρ
}
= O
(
T−
m
2
)
, T →∞. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
790 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
Тодi
T
1
2
(
θ̂T − θ
)
=
k−2∑
ν=0
hν (θ)T−
ν
2 + ξk−1(θ)T−
k−1
2 , (6)
де випадковий вектор ξk−1(θ) має властивiсть
P
{
‖ξk−1(θ)‖ ≥ C3 ln
k
2 T
}
= O
(
T−
m
2
)
,
hν(θ) = (hνi(θ))
q
i=1 , ν = 0, k − 2, — однорiднi векторнi полiноми степеня ν + 1 вiд випадкових
змiнних b(α)(θ), |α| = 1, ν + 1, з рiвномiрно по Т обмеженими коефiцiєнтами.
Для запису перших полiномiв розкладу (6) i подальших розкладiв приймемо тензорну угоду,
а саме: якщо в добутку двох або бiльшого числа множникiв деякий iндекс зустрiчається двiчi,
це означає пiдсумовування за цим iндексом вiд 1 до q. Тодi, пропускаючи в запису формул
залежнiсть вiд θ, маємо
h0 =
(
Λii1bi1
)q
i=1
, h1 =
(
Λii1Λi2i3
(
bi1i2bi3 −
1
4
Λi4i5ai1i2i4bi3bi5
))q
i=1
.
Достатнi умови виконання (5) мiстяться в [2] (див. також [8]).
Позначимо
P0(z, θ) = P0(z) = T
1
2 (BT (z)− B(z)) = T−
1
2
T∫
0
(ε(t+ z)ε(t)− B(z)) dt, (7)
Aν(z, θ) =
∑
r+|α(r)|=ν+1
1
r!
ai1...ir(z, θ)hα1,i1(θ) . . . hαr,ir(θ), (8)
Bν(z, θ) =
∑
r+|α(r)|=ν
1
r!
bi1...ir(z, θ)hα1,i1(θ) . . . hαr,ir(θ), (9)
Pν(z, θ) = Aν(z, θ)−Bν(z, θ), ν ≥ 1. (10)
Пiдсумовування в (8), (9) проводиться за r-вимiрними мультиiндексами α(r) = (α1, . . . , αr).
Наступну теорему про стохастичний асимптотичний розклад оцiнки BT
(
z, θ̂T
)
наведено
в [1].
Теорема 2. В умовах теореми 1
T 1/2
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)
=
k−2∑
ν=0
Pν(z, θ)T−ν/2 + ζk−1(θ)T−(k−1)/2, (11)
де полiноми Pν(z, θ) визначено спiввiдношеннями (7) – (10), а випадкова величина ζk−1(θ) у
залишковому членi формули (11) задовольняє спiввiдношення
P
{
|ζk−1(θ)| ≥ C4 ln
k
2 T
}
≤ O
(
T−
m
2
)
. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 791
Вiдправною точкою дослiджень у данiй роботi є наслiдок з теореми 2, який ми запишемо,
не вказуючи залежнiсть вiд θ.
Наслiдок 1. В умовах теореми 1 при k = 4
T
1
2
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)
=
2∑
ν=0
Pν(z)T−
ν
2 + ζ3T
−3
2 , (13)
де
P
{
|ζ3| ≥ C5 ln2 T
}
= O
(
T−
m
2
)
, (14)
P0(z) задано формулою (7),
P1(z) = Λi1j1Λi2j2Πi1i2(z)bj1bj2 − Λi1j1bi1(z)bj1 ,
P2(z) = Λi1j1Λi2j2Λj3j4ai1i2(z)bj1bj2j3bj4 −
1
4
Λi1j1Λi2j2Λj3j4Λj5j6ai1i2(z)aj2j3j5bj1bj4bj6+
(15)
+
1
2
Λi1j1Λi2j2Λi3j3 ãi1i2i3(z)bj1bj2bj3 − Λi1j1Λj2j3bi1(z)bj1j2bj3+
+
1
4
Λi1j1Λj2j3Λj4j5aj1j2j4bi1(z)bj3bj5 −
1
2
Λi1j1Λi2j2bi1i2(z)bj1bj2 .
2. Асимптотичний розклад зсуву корелограмної оцiнки. У цьому пунктi ми знайдемо
асимптотичний розклад величини ET
1
2
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)
. Будемо спиратися на наслiдок 1,
вважаючи, що цiле числоm в (5) i, вiдповiдно, в (14) є достатньо великим (наскiльки великим —
буде вказано у формулюваннi теореми 3). Для цього ж значення m припустимо, що виконується
умова
IV. P
{
T
1
2 ‖θ̂T − θ‖ ≥M
}
≤ C6M
−m (16)
при всiх достатньо великих M .
Достатнi умови справедливостi оцiнки (16) iмовiрностей великих вiдхилень нормованої
оцiнки θ̂T мiстяться в [2] (див. також [8]). Очевидно, (5) випливає з (16) при M = ρT
1
2 .
Позначимо для i, j = 1, q, z ∈ [0, H]
Ψij(z, θ) = E bi(z, θ)bj(θ) = T−1
T∫
0
(B(t−s+z)gi(t,θ)gj(s,θ)+B(t−s)gi(t+z,θ)gj(s,θ)) dtds.
Тодi
Ψij(θ) = E bi(θ)bj(θ) =
1
2
Ψij(0, θ) = T−1
T∫
0
B(t− s)gi(t, θ)gj(s, θ)dtds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
792 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
Теорема 3. Якщо виконано умови I, II для k = 4, III, IV для m ≥ 5, то
T
1
2 E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)
= LT (z)T−
1
2 +O
(
T−
3
2 ln2 T
)
,
де LT (z) = EP1(z) = Λi1j1Λi2j2Π(i1)(i2)(z)Ψj1j2 − Λi1j1Ψi1j1(z).
Доведення. Введемо подiю
WT =
{
|ζ3| < C5 ln2 T
}
, (17)
де C5 — стала з (14). Нехай χ(A) — iндикатор подiї A, χ = 1− χ. Помножимо обидвi частини
рiвностi (13) на χ {WT } i вiзьмемо математичне сподiвання. Тодi отримаємо
ET
1
2
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)
χ {WT } =
2∑
ν=0
EPν(z)χ {WT }T−
ν
2 +O
(
T−
3
2 ln2 T
)
. (18)
Оцiнимо математичнi сподiвання EPν(z)χ {WT } , ν = 1, 2. Полiноми Pν(z), ν = 1, 2,
асимптотичного розкладу (13) за формулами (15) є однорiдними степеня ν + 1 вiд випадкових
величин bi, bij , bi(z), bij(z). Тому для оцiнки EPν(z)χ {WT } достатньо оцiнити величини
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ {WT } , |α| = 1, ν.
Маємо
σ2
αT = E
(
b(α)(z)
)2
≤ 2
(
E
(
b
(α)
1 (z)
)2
+ E
(
b
(α)
2 (z)
)2
)
.
За умови I випадковий процес ε має неперервну та обмежену спектральну щiльнiсть f(λ),
λ ∈ R. Нехай f0 = supλ∈R f(λ) <∞. Тодi
E
(
b
(α)
2 (z)
)2
=
∞∫
−∞
f(λ)T−1
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
eiλtg(α)(t+ z)dt
∣∣∣∣∣∣
2
dλ ≤
≤ 2πf0T
−1
T+z∫
z
(
g(α)(t, θ)
)2
dt ≤ 4πf0(2T )−1d2
2T (α, 0) ≤ 4πf0C
2
1 (α)
за умови (3). Таким чином, σ2
αT (z) ≤ 12πf0C
2
1 (α) <∞.
Для деякого u > 1 позначимо
γjT = σαT (z)(uj +m)
1
2 ln
1
2 T, j ≥ 0, (19)
i введемо подiї
W
(0)
αT =
{∣∣b(α)(z)
∣∣ < γ0T
}
, W
(j)
αT =
{
γj−1,T ≤
∣∣b(α)(z)
∣∣ < γjT
}
, j ≥ 1.
Тодi
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ {WT } =
∞∑
j=0
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ
{
W
(j)
αT
}
χ {WT } ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 793
≤ E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ
{
W
(0)
αT
}
χ {WT }+
∞∑
j=1
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ
{
W
(j)
αT
}
. (20)
Використовуючи (17) i (19), отримуємо оцiнку для першого доданка правої частини (20):
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ
{
W
(0)
αT
}
χ {WT } ≤ σν+1
αT (z)(1 +m)
ν+1
2 ln
ν+1
2 T · P
{
W T
}
=
= O
(
T−
m
2 ln
ν+1
2 T
)
. (21)
Для другого доданка правої частини (20) маємо
∞∑
j=1
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ
{
W
(j)
αT
}
≤ σν+1
αT (z) ln
ν+1
2 T
∞∑
j=1
(uj +m)
ν+1
2 ×
×P
{∣∣b(α)(z)
∣∣ ≥ σαT (z)
(
uj−1 +m
)1
2 ln
1
2 T
}
. (22)
За нерiвнiстю (див., наприклад, [2])
∞∫
∆
e−
v2
2 dv ≤ ∆−1e−
∆2
2 , ∆ > 0,
що застосовується до ∆ =
(
uj−1 +m
)1
2 ln
1
2 T, записуємо
P
{∣∣b(α)(z)
∣∣ ≥ σαT (z)
(
uj−1 +m
)1
2 ln
1
2 T
}
≤
(
2
π
)1
2 (
uj−1 +m
)−1
2 ln−
1
2 T×
× exp
{
−1
2
(
uj−1 +m
)
lnT
}
≤
(
2
π
)1
2
u−
j−1
2 ln−
1
2 T · T−
m
2 · T−
1
2u
j−1
, j ≥ 1. (23)
З (22) i (23) отримуємо
∞∑
j=1
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ
{
W
(j)
αT
}
≤ σν+1
αT (z)
(
2
π
)1
2
ln
ν
2 T · T−
m
2
∞∑
j=1
(uj +m)
ν+1
2 u−
j−1
2 T−
1
2u
j−1
.
(24)
Оцiнимо ряд у правiй частинi (24). Оскiльки iснує таке j0, що
1
2
uj−1 ≥ j u
ν
2 для j > j0, то
T−
1
2 uj−1
≥ T−ju
ν
2 для тих самих j. Таким чином, j0∑
j=1
+
∞∑
j=j0+1
(uj +m
)ν+1
2 u−
j−1
2 T−
1
2u
j−1
=
∑
1
+
∑
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
794 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
причому
∑
1
= O
(
T−
1
2
)
,
∑
2
≤ C7u
1/2
∞∑
j=j0+1
(
u
ν
2 T−u
ν
2
)j
= C7u
1/2ρj0+1T−ρ(j0+1)
(
1− ρT−ρ
)−1
, ρ = uν/2.
Це означає, що
∑
2
= o
(
T−
1
2
)
i
∞∑
j=1
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ
{
W
(j)
αT
}
= O
(
T−
m+1
2 ln
ν
2 T
)
. (25)
Спiввiдношення (20), (21), (24) i (25) показують, що
E
∣∣b(α)(z)
∣∣ν+1
χ {WT } = O
(
T−
m
2 ln
ν+1
2 T
)
(26)
або
T−
ν
2 EPν(z)χ {WT } = O
(
T−
m+ν
2 ln
ν+1
2 T
)
, ν = 1, 2. (27)
Оцiнимо тепер EP0(z)χ {WT }. Для цього застосуємо нерiвнiсть [9, с. 205], а саме:
P
{
T−
1
2
∣∣P0(z)
∣∣ >√DT−
1
2P0(z)x
}
≤ 2(1 +
√
2x)
1
2 e−
x
2 , z ≥ 0, x > 0. (28)
За формулою Iсерлiса [10, с. 34] маємо
DT−
1
2P0(z) = E
T−1
T∫
0
(ε(t+ z)ε(t)− B(z)) dt
2
=
= T−2
T∫
0
T∫
0
(
B2(t− s) + B(t− s+ z)B(t− s− z)
)
dtds = T−1K2
T (z), (29)
T−1K2
T (z) = T−1
T∫
0
t∫
−t
(
B2(s) + B(s+ z)B(s− z)
)
ds
dt −→
T→∞
−→
T→∞
∞∫
−∞
(
B2(s) + B(s+ z)B(s− z)
)
ds = K2(z) <∞. (30)
Останнє спiввiдношення випливає з регулярностi аналога узагальненого пiдсумовування рядiв
методом Чезаро для узагальнених значень розбiжних невласних iнтегралiв [11, с. 595 – 597]
(п. 485).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 795
Запишемо нерiвнiсть (28) у зручнiшому виглядi
P
{∣∣P0(z)
∣∣ > √2KT (z)x
}
≤ 2(1 + 2x)
1
2 e
− x√
2 , z ≥ 0, x > 0, (31)
i для деякого u > 1 покладемо
δjT =
√
2KT (z)(uj +m) lnT, j ≥ 0,
W
(0)
T =
{∣∣P0(z)
∣∣ ≤ δ0T
}
,W
(j)
T =
{
δj−1,T <
∣∣P0(z)
∣∣ ≤ δjT} , j ≥ 1.
(32)
Як i ранiше, маємо
E
∣∣P0(z)
∣∣χ {WT } =
∞∑
j=0
E
∣∣P0(z)
∣∣χ {WT }χ
{
W
(j)
T
}
≤
≤ E
∣∣P0(z)
∣∣χ {WT }χ
{
W
(0)
T
}
+
∞∑
j=1
E
∣∣P0(z)
∣∣χ{W (j)
T
}
, (33)
E
∣∣P0(z)
∣∣χ {WT }χ
{
W
(0)
T
}
≤
√
2KT (z)(1 +m) lnT · P
{
W T
}
= O
(
T−
m
2 lnT
)
. (34)
Оцiнимо j-й член ряду у правiй частинi (1) з використанням (31):
E
∣∣P0(z)
∣∣χ{W (j)
T
}
≤
√
2KT (z)(uj +m) lnT ·P
{∣∣P0(z)
∣∣>√2KT (z)(uj−1 +m) lnT
}
≤
≤
√
2KT (z)(uj +m) lnT ·2
(
1 + 2(uj +m) lnT
)1
2 exp
{
− 1√
2
(uj−1 +m) lnT
}
≤
≤ C8T
− m√
2 ln
3
2 T
(
u
3
2T−u
3
2
)j
(35)
для j > j0, причому стала C8 не залежить вiд j. Таким чином, для ряду (1) отримуємо
j0∑
j=1
= O
(
T
−m+1√
2 ln
3
2 T
)
, (36)
∞∑
j=j0+1
≤ C8T
− m√
2
(
ln
3
2 T
)
u
3
2 (j0+1)T−u
3
2 (j0+1) 1
1− u
3
2T−u
3
2
= o
(
T
−m+1√
2 ln
3
2 T
)
. (37)
Iз (1) – (37) випливає, що
E
∣∣P0(z)
∣∣χ {WT } = O
(
T−
m
2 lnT
)
. (38)
Оцiнимо ET
1
2
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)
χ {WT }. Для цього запишемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
796 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
T
1
2
∣∣BT (z, θ̂T )− B(z)
∣∣ ≤ T 1
2
∣∣s∗(z)− B(0)
∣∣+ T
1
2
∣∣s∗(0)− B(0)
∣∣+
+T−
1
2 Φ
[0]
T
(
θ̂T , θ
)
+ T−
1
2 Φ
[0]
2T
(
θ̂T , θ
)
+ 3B(0)T
1
2 . (39)
За умови II
T−
1
2 Φ
[0]
T
(
θ̂T , θ
)
+ T−
1
2 Φ
[0]
2T
(
θ̂T , θ
)
≤ 3C2(0)T
1
2 ‖θ̂T − θ‖2. (40)
Величину s∗(z) можна розглядати як значення корелограми в нулi сепарабельного стацiонар-
ного гауссiвського процесу εz(t) = ε(t+ z), t ∈ R, z ∈ [0, H]. Це означає, що аналогiчно (38)
E
(
T
1
2
∣∣s∗(z)− B(0)
∣∣+ T
1
2
∣∣s∗(0)− B(0)
∣∣)χ {WT } = O
(
T−
m
2 lnT
)
. (41)
З iншого боку,
EB(0)T
1
2χ {WT } = B(0)T
1
2 P
{
W T
}
= O
(
T−
m−1
2
)
, (42)
i, завдяки (40), залишається оцiнити T
1
2 E ‖θ̂T − θ‖2χ {WT }.
Для деяких u > 1 i β ∈
(
0,
1
2
)
покладемо
W ∗0T =
{
‖θ̂T − θ‖ < T−β
}
, W ∗jT =
{
uj−1T−β ≤ ‖θ̂T − θ‖ < ujT−β
}
, j ≥ 1. (43)
Тодi
T
1
2 E ‖θ̂T − θ‖2χ {WT } ≤ T
1
2 E ‖θ̂T − θ‖2χ {WT }χ {W ∗0T }+
+
∞∑
j=1
T
1
2 E ‖θ̂T − θ‖2χ
{
W ∗jT
}
= E1 +E2 . (44)
Для першого доданка отримуємо
E1 ≤ T
1
2−2βP
{
W T
}
= O
(
T−
m−1+4β
2
)
. (45)
Оцiнимо другий доданок, використавши умову IV при M = uj−1T
1
2−2β, j ≥ 1:
E2 ≤ T
1
2
∞∑
j=1
(
ujT−β
)2
P
{
‖θ̂T − θ‖ ≥ uj−1T−β
}
≤
≤ C6T
1
2−2β
∞∑
j=1
u2j−(m−1)jT
−m
(
1
2−β
)
= C6
um
um−2 − 1
T−
(m(1−2β)−1+4β)
2 . (46)
Пiдставляючи оцiнки (45) i (46) в (44), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 797
T
1
2 E ‖θ̂T − θ‖2χ
{
W T
}
= O
(
T−
(m(1−2β)−1+4β)
2
)
. (47)
Знайдемо такi значення m, для яких серед оцiнок (27), (38), (41), (42) i (47) найгрубiший порядок
був не менший за порядок залишкового члена в рiвностi (18). Для цього запишемо розв’язок
рiвняння m(1− 2β)− 1 + 4β = 3 у виглядi m = 4 + n, де n =
4β
1− 2β
— натуральне число, або
β =
n
2(2 + n)
∈
(
0,
1
2
)
. Наприклад, якщо n = 1, то β =
1
6
, тощо.
Таким чином, для натуральних m ≥ 5
T
1
2 E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)
= EP1(z)T−
1
2 +O
(
T−
3
2 ln2 T
)
,
тому що EP0(z) = EP2(z) = 0.
Теорему 3 доведено.
Наслiдок 2. В умовах теореми 3
EBT
(
z, θ̂T
)
= B(z) + LT (z)T−1 +O
(
T−2 ln2 T
)
. (48)
Наслiдок 3. Нехай умови теореми 3 виконано для k = 3 i m ≥ 4. Тодi
EBT
(
z, θ̂T
)
= B(z) + LT (z)T−1 +O
(
T−
3
2 ln
3
2 T
)
.
Доведення. Достатньо записати формулювання теореми 2 для k = 3 i повторити вiдповiднi
викладки. Єдина вiдмiннiсть полягає в тому, що рiвняння
1
2
(m(1 − 2β) − 1 + 4β) = 1 має
розв’язок m =2 +
1
1− 2β
, i якщо натуральне n=
1
1− 2β
, то β =
1
2
− 1
2n
∈
(
0,
1
2
)
при n ≥2.
Наслiдок 4. Нехай умови теореми 3 виконано для k = 2 i m ≥ 2. Тодi
EBT
(
z, θ̂T
)
= B(z) +O
(
T−1 lnT
)
.
3. Асимптотичний розклад дисперсiї корелограмної оцiнки. Теореми в цьому пунктi
мають громiздкi формулювання, якi будуть зрозумiлими пiсля проведення деяких обчислень. У
подальших обчисленнях вважаємо, що виконано умови теореми 3. З виразу (13), пiднесеного
до квадрату, отримуємо
T
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
=P 2
0 (z)+2P0(z)P1(z)T−
1
2 +
(
P 2
1 (z)+2P0(z)P2(z)
)
T−1+ζ3T
−3
2 ,
ζ3 = 2P0(z)ζ3 + 2P1(z)P2(z) + 2P1(z)ζ3T
−1
2 + 2P2(z)ζ3T
−1 + ζ2
3T
−3
2 .
Iз мiркувань, викладених у попередньому пунктi, випливає, що
P
{∣∣ζ3
∣∣ ≥ C8 ln3 T
}
= O
(
T−
m
2
)
.
Введемо подiю VT =
{∣∣ζ3
∣∣ < C8 ln3 T
}
. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
798 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
T E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
χ {VT } =
2∑
ν=0
EP ∗ν (z)χ {VT }T−
ν
2 +O
(
T−
3
2 ln3 T
)
,
P ∗0 (z) = P 2
0 (z), P ∗1 (z) = 2P0(z)P1(z), P ∗2 (z) = P 2
1 (z) + 2P0(z)P2(z).
(49)
Оцiнимо EP ∗ν (z)χ {VT } , ν = 0, 1, 2. Оскiльки 2P0(z)Pν(z) ≤ P 2
0 (z) + P 2
ν (z), ν = 1, 2, то
задача зводиться до оцiнювання EP 2
ν (z)χ {VT } , ν = 0, 1, 2, причому для ν = 1, 2 достатньо
оцiнити величини E
∣∣b(α)(z)
∣∣2(ν+1)
χ {VT } , |α| = 1, ν. Оцiнювання цих математичних сподiвань
не вiдрiзняється вiд оцiнювання вiдповiдних величин iз попереднього пункту, i замiсть (26)
отримуємо оцiнку
E
∣∣b(α)(z)
∣∣2(ν+1)
χ {VT } = O
(
T−
m
2 lnν+1 T
)
, ν = 1, 2.
При оцiнюваннi EP 2
0 (z)χ {VT } будемо використовувати величини δjT i подiї W (j)
T , j ≥ 0,
означенi в (32). Тодi
EP 2
0 (z)χ {VT }χ
{
W
(0)
T
}
≤ 2K2
T (z)(1 +m)2 ln2 T · P
{
V T
}
= O
(
T−
m
2 ln2 T
)
,
∞∑
j=1
EP 2
0 (z)χ
{
W
(j)
T
}
≤ C9T
− m√
2 ln
5
2 T
∞∑
j=1
u
5
2 jT
−u
j−1
√
2 .
(50)
Оскiльки T
− 1√
2
uj−1
< T−ju
5
2 для j > j0 , то, аналогiчно (36) i (37),
j0∑
j=1
= O
(
T
−m+1√
2 ln
5
2 T
)
,
∞∑
j=j0+1
= o
(
T
−m+1√
2 ln
5
2 T
)
. (51)
Порiвняння (50) i (51) дозволяє стверджувати, що
EP 2
0 (z)χ {VT } = O
(
T−
m
2 ln2 T
)
. (52)
Оцiнимо тепер T E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
χ {VT } . Iз спiввiдношень (39), (40) отримуємо
T
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
≤ 4T (s∗(z)− B(0))2 + 4T (s∗(0)− B(0))2 +
+36C2
2 (0)T‖θ̂T − θ‖4 + 36B2(0)T.
Аналогiчно (41) iз (52) випливає
E
(
T (s∗(z)− B(0))2 + T (s∗(0)− B(0))2
)
χ {VT } = O
(
T−
m
2 ln2 T
)
,
крiм того, аналогiчно (42)
ETχ {VT } = O
(
T−
m−2
2
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 799
Залишилось оцiнити ET‖θ̂T − θ‖4χ {VT } . Використовуючи подiї (43), записуємо
T E ‖θ̂T − θ‖4χ {VT } ≤ T E ‖θ̂T − θ‖4χ {VT } {W ∗0T }+
∞∑
j=1
T E ‖θ̂T − θ‖4χ
{
W ∗jT
}
= E3 +E4,
E3 ≤ T 1−4βP {VT } = O
(
T−
m−2+8β
2
)
,
E4 ≤ T
∞∑
j=1
(
ujT−β
)4
P
{
‖θ̂T − θ‖ ≥ uj−1T−β
}
≤ C6
um
um−4 − 1
T−
m(1−2β)−2+8β
2 .
Як i ранiше, для отриманих оцiнок потрiбно знайти таке значення m, щоб їх найгрубiший
порядок був не менший за порядок залишкового члена формули (49). З цiєю метою запишемо
розв’язки рiвняння m(1 − 2β) − 2 + 8β = 3 у виглядi m = 4 + n, де n =
1
1− 2β
, або
β =
1
2
− 1
2n
∈
(
0,
1
2
)
тодi, коли n ≥ 2 i, вiдповiдно, m ≥ 6. Для таких m
T E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
=
2∑
ν=0
EP ∗ν (z)T−
ν
2 +O
(
T−
3
2 ln3 T
)
. (53)
Запишемо рiвнiсть (11) для k = 3 i пiднесемо її до квадрату:
T
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
= P 2
0 (z) + 2P0(z)P1(z)T−1/2 + ζ2T
−1,
де випадкова величина ζ2 = P 2
1 (z) + 2P0(z)ζ2 + 2P1(z)ζ2T
−1/2 + ζ2
3T
−1,
P
{∣∣ζ2
∣∣ ≥ C10 ln
5
2 T
}
= O
(
T−
m
2
)
.
Якщо m ≥ 4, то, як i при доведеннi наслiдку 3, можно показати, що
T E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
= EP 2
0 (z) + 2EP0(z)P1(z)T−1/2 +O
(
T−1 ln
5
2 T
)
. (54)
Так само при k = 2
T
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
= P 2
0 (z) + ζ1T
−1/2,
де ζ1 = 2P0(z)ζ1 + ζ2
1T
−1/2, причому
P
{∣∣ζ1
∣∣ ≥ C11 ln2 T
}
= O
(
T−
m
2
)
.
Якщо β =
1
4
та m ≥ 2, то
T E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
= EP 2
0 (z) +O
(
T−1/2 ln2 T
)
. (55)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
800 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
Пiдрахуємо математичнi сподiвання правої частини рiвностi (53), пропускаючи в запису
формули залежнiсть вiд θ. За формулами (29), (30)
EP ∗0 (z) = EP 2
0 (z) = K2
T (z).
Далi, використовуючи (15), маємо
EP ∗1 (z) = 2EP0(z)P1(z) = 2Λi1j1Λi2j2Π(i1)(i2)(z)EP0(z)bj1bj2−
−2Λi1j1 EP0(z)bi1(z)bj1 = EP ∗11(z)− EP ∗12(z).
Зауважимо, що
EP0(z)bj1bj2 = (∆j1j2(z) + ∆j2j1(z))T−1/2,
де
∆j1j2(z) = T−1
T∫
0
T∫
0
T∫
0
B(t− s+ z)B(t− u)gj1(s)gj2(u)dtdsdu. (56)
Тепер неважко зрозумiти, що
EP ∗11(z) = 2Λi1j1Λi2j2ai1i2(z)∆j1j2(z)T−1/2. (57)
З iншого боку,
EP ∗12(z) = 2Λi1j1 EP0(z)bi1(z)bj1 = 2Λi1j1
(
ϕ
(1)
i1j1
+
4∑
k=2
ϕ
(k)
i1j1
(z)
)
T−1/2, (58)
ϕ
(1)
i1j1
(z) = T−1
T∫
0
T∫
0
T∫
0
B(t− s)B(t− u)gi1(s)gj1(u)dtdsdu,
ϕ
(2)
i1j1
(z) = T−1
T∫
0
T∫
0
T∫
0
B(t− u+ z)B(t− s− z)gi1(s)gj1(u)dtdsdu,
ϕ
(3)
i1j1
(z) = T−1
T∫
0
T∫
0
T∫
0
B(t− s+ z)B(t− u)gi1(s+ z)gj1(u)dtdsdu,
ϕ
(4)
i1j1
(z) = T−1
T∫
0
T∫
0
T∫
0
B(t− u+ z)B(t− s)gi1(s+ z)gj1(u)dtdsdu.
(59)
Таким чином, з (57) i (58) випливає
EP ∗1 (z) = 2
(
Λi1j1Λi2j2ai1i2(z)∆j1j2(z)− Λi1j1
(
ϕ
(1)
i1j1
+
4∑
k=2
ϕ
(k)
i1j1
(z)
))
T−1/2. (60)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 801
Введемо додаткову умову обмеженостi похiдних функцiї регресiї:
V. supτ∈Θc supt≥0
∣∣gi(t, τ)
∣∣ ≤ C1(ei), i = 1, q.
Очевидно, з умови V випливає, що
sup
τ∈Θc
T−1/2diT (τ) ≤ C1(ei), i = 1, q, (61)
тобто умова (3) для перших похiдних по τ функцiї g. При вивченнi асимптотичних властивостей
оцiнки θ̂T широко використовується умова типу
d−1
iT (θ) sup
τ∈Θc
sup
a≤t≤T
∣∣gi(t, θ)∣∣ ≤ C(i)T−1/2, i = 1, q. (62)
Тодi умова V з iншими сталими є наслiдком умов (61) i (62).
Покажемо, що за умови V величини (56) i (59) обмеженi. Отримуємо, наприклад,
∣∣∆j1j2(z)
∣∣ ≤ C1 (ej1)C1 (ej2)
∞∫
−∞
∣∣B(s)
∣∣ds 1
T
T∫
0
T∫
0
∣∣B(t− u)
∣∣dtdu ≤ C12.
Величини (59) оцiнюються аналогiчно. Таким чином, член EP ∗1 (z)T−1/2 у розкладi (53) треба
зсунути на крок вправо до члена EP ∗2 (z)T−1.
Розглянемо
EP ∗2 (z) = EP 2
1 (z) + 2EP0(z)P2(z) = EP 2
1 (z), (63)
тому що добуток P0(z)P2(z) мiстить непарнi степенi гауссiвських випадкових величин. Запи-
шемо
P 2
1 (z) = Λi1j1Λi2j2Λi3j3Λi4j4Π(i1)(i2)(z)Π(i3)(i4)(z)bj1bj2bj3bj4−
−2Λi1j1Λi2j2Λi3j3Π(i1)(i2)(z)bj1bj2bj3bi3(z) + Λi1j1Λi2j2bi1(z)bj1bi2(z)bj2 = I1 − 2I2 + I3.
Неважко бачити, що
E I1 =
(
Λi1j1Λi2j2Π(i1)(i2)(z)Ψj1j2
)2
+ Λi1j1Λi2j2Λi3j3Λi4j4Π(i1)(i4)(z)ai2i3(z)Ψj1j2Ψj3j4 ,
E I2 = Λi1j1Λi2j2Λi3j3
(
Π(i1)(i2)(z)Ψj1j2Ψi3j3(z) + ai1i2(z)Ψj1j3Ψi3j2(z)
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
802 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
Крiм цього,
E I3 = Λi1j1Λi2j2 (Ψi1j1(z)Ψi2j2(z) + Ψi1j2(z)Ψi2j1(z) + Ψi2j2 E bi1(z)bi2(z)) ,
E bi1(z)bi2(z) = Ψi1i2 + 2Ψ
(1)
i1i2
(z) + Ψ
(2)
i1i2
(z),
Ψ
(1)
i1i2
(z) = T−1
T∫
0
T∫
0
B(t− s− z)gi1(t+ z)gi2(s)dtds,
Ψ
(2)
i1i2
(z) = T−1
T∫
0
T∫
0
B(t− s)gi1(t+ z)gi2(s+ z)dtds.
(64)
Таким чином,
E I3 =Λi1j1Λi2j2
(
Ψi1j1(z)Ψi2j2(z)+Ψi1j2(z)Ψi2j1(z)+Ψi2j2
(
Ψi1i2 +2Ψ
(1)
i1i2
(z)+Ψ
(2)
i1i2
(z)
))
.
Ми отримали такий результат.
Теорема 4. Якщо виконано умови I, II при k = 4, III, IV при m ≥ 6, а також V, то
T E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
= K2
T (z) + (MT (z) +NT (z))T−1 +O
(
T−
3
2 ln3 T
)
, (65)
де
K2
T (z) = T−1
T∫
0
T∫
0
(
B2(t− s) + B(t− s+ z)B(t− s− z)
)
dtds,
MT (z) = 2
(
Λi1j1Λi2j2ai1i2(z)∆j1j2(z)− Λi1j1
(
ϕ
(1)
i1j1
+
4∑
k=2
ϕ
(k)
i1j1
(z)
))
,
NT (z) =
(
Λi1j1Λi2j2Π(i1)(i2)(z)Ψj1j2
)2
+Λi1j1Λi2j2Λi3j3Λi4j4Π(i1)(i4)(z)ai2i3(z)Ψj1j2Ψj3j4−
−2Λi1j1Λi2j2Λi3j3
(
Π(i1)(i2)(z)Ψj1j2Ψi3j3(z) + ai1i2(z)Ψj1j3Ψi3j2(z)
)
+
+Λi1j1Λi2j2
(
Ψi1j1(z)Ψi2j2(z)+Ψi1j2(z)Ψi2j1(z)+Ψj1j2
(
Ψi1i2 +2Ψ
(1)
i1i2
(z)+2Ψ
(2)
i1i2
(z)
))
,
величини ∆j1j2(z), ϕ
(1)
i1j1
, ϕ
(k)
i1j1
, k = 2, 3, 4, Ψ
(l)
i1i2
(z), l = 1, 2, означено в (56), (59), (64).
Перепишемо (65) природнiшим чином.
Наслiдок 5. В умовах теореми 4
E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
= K2
T (z)T−1 + (MT (z) +NT (z))T−2 +O
(
T−
5
2 ln3 T
)
. (66)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 803
З рiвностей (54) i (60) випливає такий наслiдок.
Наслiдок 6. Якщо умови теореми 4 виконано для k = 3 i m ≥ 4, то
E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
= K2
T (z)T−1 +O
(
T−2 ln
5
2 T
)
.
В свою чергу з (55) маємо такий наслiдок.
Наслiдок 7. Якщо умови теореми 4 виконано для k = 2 i m ≥ 2, то
E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
= K2
T (z)T−1 +O
(
T−
3
2 ln2 T
)
.
З теорем 3 i 4 випливає наступне твердження.
Теорема 5. За умов теореми 4
DBT
(
z, θ̂T
)
= K2
T (z)T−1 +
(
MT (z) +NT (z)− L2
T (z)
)
T−2 +O
(
T−
5
2 ln3 T
)
. (67)
Доведення. Дiйсно,
DBT
(
z, θ̂T
)
= E
(
BT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
−
(
EBT
(
z, θ̂T
)
− B(z)
)2
. (68)
Пiдставляючи в (68) вирази (66) i (48), отримуємо (67).
Наслiдок 8. Нехай умови теореми 4 виконано для k = 3 та m ≥ 4. Тодi
DBT
(
z, θ̂T
)
= K2
T (z)T−1 +O
(
T−2 ln
5
2 T
)
.
Коли тi ж умови виконано для k = 2 та m ≥ 2, то
DBT
(
z, θ̂T
)
= K2
T (z)T−1 +O
(
T−
3
2 ln2 T
)
.
4. Приклад. Припустимо, що g (t, τ) = g (y(t), τ) , де y(·) : [0,∞) → Y — борелева
функцiя, g (y, τ) — функцiя, неперервна за сукупнiстю змiнних (y, τ) ∈ Y × Θγ , Y ⊂ Rm —
компактна область планування регресiйного експерименту. Нехай B — σ-алгебра борелевих
пiдмножин Y.
Розглянемо сiм’ю мiр µT (A) = T−1λ ({t ∈ [0, T ] : y(t) ∈ A}) , A ∈ B, λ — мiра Лебега на
[0,+∞). Припустимо, що виконується наступна умова:
IV. Мiра µT слабко збiгається при T →∞ до деякої мiри µ : µT =⇒ µ.
Наведемо простий приклад виконання цiєї умови при m = 1. Нехай {yi, i ≥ 1} ⊂ Y —
деяка послiдовнiсть та y(t) = yi, t ∈ [i − 1, i), i ≥ 1. Введемо мiру µT = T−1
∑[T ]
i=1
δyi +
+ T−1 {T} δy[T ]+1
, де [T ] та {T} — цiла та дробова частини Т вiдповiдно. Тодi якщо
n−1
∑n
i=1
δyi =⇒ µ, при n→∞, то µT =⇒ µ, при T →∞.
Припустимо, що функцiя g(y, τ) для кожного y ∈ Y має всi частиннi похiднi за змiнними τ =
= (τ1, . . . , τq) ∈ Θγ до порядку k+1 (k ≥ 2) включно, причому функцiї g(α)(y, τ), |α| = 1, k + 1,
неперервнi за сукупнiстю змiнних (y, τ) ∈ Y ×Θc. Тодi виконуються умови II i V.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
804 О. В. IВАНОВ, К. К. МОСКВИЧОВА
За формулою замiни мiри в iнтегралi Лебега
T−1d2
iT (θ) =
∫
Y
g2
i (y, θ)µT (dy) −→
T→∞
∫
Y
g2
i (y, θ)µ(dy),
i умова
lim
T→∞
T−1d2
iT (θ) > 0, i = 1, q,
перетворюється на умову
µ {y ∈ Y: gi(y, θ) 6= 0} > 0, i = 1, q.
З iншого боку,
IT (θ) =
∫
Y
gi(y, θ)gj(y, θ)µT (dy)
q
i,j=1
−→
T→∞
∫
Y
gi(y, θ)gj(y, θ)µ(dy)
q
i,j=1
= I(θ),
i умова III виконується, якщо матриця I(θ) є додатно означеною.
Зауважимо далi, що серед вiдомих достатнiх умов виконання умови IV1 (див. [1, 2]) в
даному прикладi перевiрки потребує лише умова розрiзнення параметрiв функцiєю регресiї.
Для даного прикладу спрощений варiант цiєї умови можна записати у виглядi
IV1. Φ
[0]
T
(
T−1/2u, 0
)
=
T∫
0
(
g
(
y(t), θ + T−1/2u
)
− g (y(t), θ)
)2
dt ≥ k0‖u‖2,
де u ∈ U cT (θ) = T 1/2 (Θc − θ) , k0 > 0 — деяка стала.
Наведемо приклад виконання умови IV1 для нелiнiйної функцiї g. Нехайm = q i g (y(t), τ) =
= e〈y(t),τ〉, 〈y(t), τ〉 =
∑q
i=1
yi(t)τi. Тодi
g
(
y(t), θ + T−1/2u
)
− g (y(t), θ) = e〈y(t),τ〉
(
e〈y(t),T−1/2u〉 − 1
)
.
Оскiльки (ex − 1)2 ≥ x2, x ≥ 0, та (ex − 1)2 > e2xx2, x < 0, то(
e〈y(t),T−1/2u〉 − 1
)2
≥ ∆〈y(t), τ〉2T−1, ∆ = min
{
1, min
y∈Y,τ∈Θc
e〈y,τ〉
}
> 0.
Таким чином,
Φ
[0]
T
(
T−1/2u, 0
)
≥ ∆2T−1
T∫
0
e2〈y(t),θ〉〈y(t), u〉2dt ≥ ∆4
q∑
i,j=1
∫
Y
yiyjµT (dλ)
uiuj .
Якщо матриця A =
(∫
Y
yiyjµ(dλ)
)q
i,j=1
додатно означена, то для достатньо великих T
умова IV1 виконується, наприклад, при k0 =
1
2
λmin(A)∆4.
1. Iванов О. В., Москвичова К. К. Стохастичний асимптотичний розклад корелограмної оцiнки коварiацiйної
функцiї випадкового шуму в моделi „сигнал+шум” // Зб. тез за мат. третьої мiжунiвер. наук. конф. молодих
вчених з математики та фiзики: Тез. докл. конф. (Київ, 25 – 27 квiтня 2013р.). – Київ, 2013. – С. 42 – 43.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
АСИМПТОТИЧНИЙ РОЗКЛАД МОМЕНТIВ КОРЕЛОГРАМНОЇ ОЦIНКИ КОВАРIАЦIЙНОЇ ФУНКЦIЇ . . . 805
2. Ivanov A. V., Leonenko N. N. Statistical analysis of random fields. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1989. –
244 p.
3. Leonenko N.N. Limit theorems for random fields with singular spectrum. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1999.
– 401 p.
4. Ivanov A. V., Leonenko N. N. Robust estimators in non-linear regression models with long-range dependence //
Optimal Design and Relat. Areas in Optim. and Statistics: Springer Optim. and Its Appl. – 2009. – 28. – P. 193 – 221.
5. Iванов О. В., Савич I. М. Про асимптотичний розподiл оцiнки Коенкера – Бассета параметра регресiї з сильно
залежним шумом // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 8. – C. 1030 – 1050.
6. Ivanov A. V., Leonenko N. N., Ruiz-Medina M. D., Savich I. N. Limit theorems for weighted nonlinear transformations
of Gaussian stationary processes with singular spectra // Ann. Probab. – 2013. – 41, № 2. – P. 1088 – 1114.
7. Ivanov A. V., Leonenko N. N., Ruiz-Medina M. D., Zhurakovsky B. M. Estimation of harmonic component in regression
with cyclically dependent errors // Statistics: J. Theor. and Appl. Statist. – DOI: 10.1080/02331888.2013.864656.
8. Ivanov A. V. Asymtotic theory of nonlinear regression. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1997. – 327 p.
9. Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов. – Киев:
ТВiМС, 1998. – 289 c.
10. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. – М.: Наука, 1965. – 656 c.
11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1966. – Т. 2. – 800 с.
Одержано 18.08.13,
пiсля доопрацювання — 04.02.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
|