Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу
Получена оценка остаточного члена для интерполяционной цепной C-дроби.
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166076 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу / М.М. Пагiря // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 806–814. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166076 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660762020-02-21T01:25:47Z Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу Пагiря, М.М. Статті Получена оценка остаточного члена для интерполяционной цепной C-дроби. We estimate the remainder of the interpolation continued C-fraction. 2014 Article Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу / М.М. Пагiря // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 806–814. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166076 517.518 519.652 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Пагiря, М.М. Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу Український математичний журнал |
| description |
Получена оценка остаточного члена для интерполяционной цепной C-дроби. |
| format |
Article |
| author |
Пагiря, М.М. |
| author_facet |
Пагiря, М.М. |
| author_sort |
Пагiря, М.М. |
| title |
Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу |
| title_short |
Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу |
| title_full |
Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу |
| title_fullStr |
Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу |
| title_full_unstemmed |
Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу |
| title_sort |
оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового c-дробу |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166076 |
| citation_txt |
Оцінка залишкового члена інтерполяційного ланцюгового C-дробу / М.М. Пагiря // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 806–814. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT pagirâmm ocínkazališkovogočlenaínterpolâcíjnogolancûgovogocdrobu |
| first_indexed |
2025-07-14T20:42:54Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:42:54Z |
| _version_ |
1837656467606339584 |
| fulltext |
УДК 517.518:519.652
М. М. Пагiря (Мукачiв. держ. ун-т)
ОЦIНКА ЗАЛИШКОВОГО ЧЛЕНА IНТЕРПОЛЯЦIЙНОГО
ЛАНЦЮГОВОГО C–ДРОБУ
The estimation of the remainder of the interpolation continued C-fraction is obtained.
Получена оценка остаточного члена для интерполяционной цепной C-дроби.
Вступ. Функцiю однiєї дiйсної змiнної на деякому компактi можна iнтерполювати узагальне-
ним багаточленом [1, 2] g(x; f ; c0, c1, . . . , cn) = c0ϕ0(x) + . . .+ cnϕn(x), де
{
ϕi(x)
}
— система
функцiй Чебишова, апроксимантою Ньютона – Паде [3] або ланцюговим дробом [4]. Iнтерпо-
ляцiя функцiй ланцюговими дробами вперше була розглянута Ю. Вронським [5, 6] в 1811 –
1817 рр. та бiльш ґрунтовно Т. Н. Тiле [7] у 1909 р. В монографiї [8] встановлено формулу
залишкового члена iнтерполяцiйного ланцюгового дробу Тiле. Узагальнення формули залишко-
вого члена для випадку, коли частиннi чисельники i знаменники iнтерполяцiйного ланцюгового
дробу — багаточлени, отримано в роботi [9]. У [10] обґрунтовано новi оцiнки залишкового чле-
на iнтерполяцiйного ланцюгового дробу Тiле. Дану роботу присвячено встановленню оцiнки
залишкового члена iнтерполяцiйного ланцюгового C-дробу.
Формула залишкового члена функцiонального iнтерполяцiйного ланцюгового дробу.
Нехай функцiю f(x) ∈ C(n+1)(R), де R ⊂ R — компакт, задано значеннями в iнтерполяцiйних
вузлах
Λ =
{
xi : xi ∈ R, i = 0, 1, . . . , n, xi 6= xj при i 6= j
}
. (1)
Нехай Y =
{
yi : yi = f(xi), xi ∈ Λ
}
— множина значень функцiї f(x) у вузлах (1).
Маємо функцiональний ланцюговий дрiб (ФЛД) вигляду
D(x) = b0(x) +
a1(x)
b1(x) +
a2(x)
b2(x) + . . . +
an(x)
bn(x) + . . .
= b0(x) +
∞
K
k=1
ak(x)
bk(x)
,
де ak(x), bk(x) ∈ C(R), ak(x) 6≡ 0, та n-й пiдхiдний дрiб (n-е наближення) ФЛД
Dn(x) =
Pn(x)
Qn(x)
= b0(x) +
a1(x)
b1(x) +
a2(x)
b2(x) + . . . +
an(x)
bn(x)
= b0(x) +
n
K
k=1
ak(x)
bk(x)
. (2)
Розглянемо множину iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв (IЛД), тобто функцiональних лан-
цюгових дробiв, що задовольняють iнтерполяцiйну умову
Dn(xi) =
Pn(xi)
Qn(xi)
= b0(xi) +
n
K
k=1
ak(xi)
bk(xi)
= yi, i = 0, 1, . . . , n. (3)
Якщо функцiя f(x) ∈ C(n+1)(R), канонiчнi чисельник Pn(x) та знаменник Qn(x) ФЛД (2) —
багаточлени, degPn(x) 6 n, то залишковий член IЛД визначається за формулою [9]
Rn(x) = f(x)− Pn(x)
Qn(x)
=
∏n
k=0
(x− xk)
(n+ 1)!Qn(x)
dn+1
d xn+1
[
f(x)Qn(x)
]∣∣∣
x=ξ
, ξ ∈ R. (4)
c© М. М. ПАГIРЯ, 2014
806 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ОЦIНКА ЗАЛИШКОВОГО ЧЛЕНА IНТЕРПОЛЯЦIЙНОГО ЛАНЦЮГОВОГО C-ДРОБУ 807
Канонiчний знаменник Qn(x) ФЛД (2) визначається через елементи дробу ak(x), bk(x),
k = 0, 1, . . . , n, за допомогою формули Ойлера – Мiндiнґа [11]. Канонiчний знаменник Qn(x)
також можна подати у виглядi [12]
Qn(x) = B
[n]
1 (x)
l∑
k=0
R
[n]
k,1(x), (5)
де
R
[n]
k,s(x) =
n+1−2k∑
i1=s
Xi1(x)
n+3−2k∑
i2=i1+2
Xi2(x) . . .
n−1∑
ik=ik−1+2
Xik(x), R
[n]
0,s(x) = 1, (6)
l = [n/2] , [ ] — цiла частина числа, Xi(x) = ai+1(x)/
(
bi(x)bi+1(x)
)
, B
[n]
1 (x) =
∏n
i=1
bi(x).
У свою чергу R[n]
k,s(x) задовольняють рекурентне спiввiдношення
R
[n]
k,s(x) =
n+1−2k∑
i=s
Xi(x)R
[n]
k−1,i+2(x). (7)
Легко бачити, що R[n]
1,1(x) мiстить n− 1 доданок, R[n]
2,1(x) — (n− 3)(n− 2)/2! доданкiв, R[n]
3,1(x)
— (n− 5)(n− 4)(n− 3)/3! доданкiв, . . . , R[n]
k,1(x) —
∏k
i=1
(n− 2k + i)/k! доданкiв.
Використовуючи формулу Лейбнiца для похiдної i-го порядку добутку двох функцiй, з (5)
маємо
(
Qn(x)
)(i)
=
i∑
j=0
Cj
i
(
B
[n]
1 (x)
)(i−j) l∑
k=0
(
R
[n]
k,1(x)
)(j)
,
тодi
dn+1
dxn+1
[
f(x)Qn(x)
]
= f (n+1)(x)Qn(x) +
n+1∑
i=1
Ci
n+1 f
(n+1−i)(x)×
×
i∑
m=0
Cm
i
(
B
[n]
1 (x)
)(i−m)
l∑
k=0
(
R
[n]
k,1(x)
)(m)
. (8)
Крiм того, з (7) випливає рекурентна формула
(
R
[n]
k,1(x)
)(m)
=
n+1−2k∑
j=1
m∑
i=0
Ci
mX
(i)
j (x)
(
R
[n]
k−1,j+2(x)
)(m−i)
. (9)
Iнтерполяцiйний ланцюговий дрiб Тiле та iнтерполяцiйний ланцюговий C-дрiб. Якщо
наближення функцiї y = f(x) на компактi R шукати у виглядi iнтерполяцiйного ланцюгового
дробу Тiле (Т-IЛД) [7, 9, 13]
D(t)
n (x) =
P
(t)
n (x)
Q
(t)
n (x)
= b0 +
n
K
k=1
x− xk−1
bk
, (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
808 М. М. ПАГIРЯ
то коефiцiєнти bk, k = 0, 1, . . . , n, ланцюгового дробу визначаються з умови (3) через значення
функцiї f(x) в iнтерполяцiйних вузлах (1): або через оберненi подiленi рiзницi [4, 14] bk =
= Φk[x0, . . . , xk], де оберненi подiленi рiзницi Φk[x0, x1, . . . , xk] обчислюються за рекурентною
формулою
Φk[x0, . . . , xk] =
xk − xk−1
Φk−1[x0, . . . , xk−2, xk]− Φk−1[x0, . . . , xk−2, xk−1]
, Φ0[x] = f(x),
або за допомогою рекурентного спiввiдношення у виглядi ланцюгового дробу [12]
b0 = y0, bk =
xk − xk−1
−bk−1 + . . .+
xk − x1
−b1 +
xk − x0
yk − b0
.
Якщо наближення функцiї шукають у виглядi iнтерполяцiйного ланцюгового C-дробу (C-
IЛД) [15, 16]
D(c)
n (x) =
P
(c)
n (x)
Q
(c)
n (x)
= a0 +
n
K
k=1
ak(x− xk−1)
1
, (11)
то коефiцiєнти ak, k = 0, 1, . . . , n, ланцюгового дробу визначаються з умови (3) за значеннями
функцiї f(x) в iнтерполяцiйних вузлах (1) за допомогою рекурентного спiввiдношення у виглядi
ланцюгового дробу
ak =
1
xk − xk−1
(
−1 +
ak−1 (xk − xk−2)
−1 +
ak−2 (xk − xk−3)
−1 + . . .
. . .+
a2 (xk − x1)
−1 +
a1 (xk − x0)
yk − a0
)
, k = 2, 3, . . . , n, a0 = y0, a1 =
y1 − y0
x1 − x0
. (12)
Легко бачити, що C-IЛД (11) еквiвалентний Т-IЛД (10), оскiльки мiж коефiцiєнтами bk та
ak iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв мають мiсце спiввiдношення a0 = b0, a1 = 1/b1, ak =
= 1/(bk bk−1), k = 2, . . . , n. Однак зауважимо, що формула (12) дозволяє знаходити коефiцiєнти
C-IЛД (11) безпосередньо через значення функцiї в iнтерполяцiйних вузлах.
Використовуючи прямий рекурентний алгоритм [4], можна довести наступне твердження.
Теорема 1. Степенi багаточленiв канонiчних чисельника P
(c)
n (x) та знаменника Q
(c)
n (x)
C–IЛД (11) задовольняють нерiвностi degP
(c)
n (x) 6
[
(n+ 1)/2
]
, degQ
(c)
n (x) 6
[
n/2
]
.
Оцiнка залишкового члена C-IЛД. Доведемо для C-IЛД (11) твердження, аналогiчне
теоремi 2 [10] для Т-IЛД.
Теорема 2. Нехай функцiя f(x) належить C(n+1)(R) i за значеннями функцiї f(x) в iн-
терполяцiйних вузлах (1) побудовано C-IЛД (11). Тодi для довiльного x ∈ R залишковий член
C-IЛД Rn(x) = f(x)− P (c)
n (x)/Q
(c)
n (x) задовольняє нерiвнiсть
∣∣Rn(x)
∣∣ 6 f∗
∏n
k=0
|x− xk|
(n+ 1)!
∣∣Q(c)
n (x)
∣∣
κn+1(ρ) +
l∑
m=1
Cm
n+1(a
∗)m
l−m∑
i=0
ρi
i!
m+i∏
j=1
(
n− 2(m+ i) + j
),
(13)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ОЦIНКА ЗАЛИШКОВОГО ЧЛЕНА IНТЕРПОЛЯЦIЙНОГО ЛАНЦЮГОВОГО C-ДРОБУ 809
κn(ρ) =
(
(1 +
√
1 + 4ρ)n − (1−
√
1 + 4ρ )n
)
/2n
√
1 + 4ρ,
f∗ = max06i6l maxx∈R
∣∣f (n+1−i)(x)
∣∣,
ρ = da∗, d = diamR, a∗ = max16i6n |ai| , l = [n/2].
Доведення. У випадку C-IЛД B
[n]
1 ≡ 1, Xj(x) = aj+1(x− xj), X ′j(x) = aj+1 i X(k)
j (x) ≡ 0
для j = 1, 2, . . . , n− 1, k = 2, 3, . . . , n− 1. Формула (9) набирає вигляду(
R
[n]
k,1(x)
)(m)
=
n+1−2k∑
j=1
(
Xj(x)
(
R
[n]
k−1,j+2(x)
)(m)
+maj+1
(
R
[n]
k−1,j+2(x)
)(m−1))
. (14)
Оскiльки R[n]
k,1(x) — багаточлен k-го степеня, то(
R
[n]
k,1(x)
)(m)
= 0 при k < m. (15)
Згiдно з теоремою 1 степiнь багаточлена знаменника deg Qn(x) 6 l, тодi формулу (8) можна
записати у виглядi
dn+1
d xn+1
[
f(x)Q(c)
n (x)
]
= f (n+1)(x)Q(c)
n (x) +
l∑
m=1
Cm
n+1 f
(n+1−m)(x)
l∑
k=m
(
R
[n]
k,1(x)
)(m)
. (16)
Знайдемо значення похiдної
(
R
[n]
k,1(x)
)(m)
при k = m,m+1, . . . , l. При k = m з (14) з урахуван-
ням (15) отримуємо
(
R
[n]
m,1(x)
)(m)
= m!N
[n,0]
m,1 , де
N
[n,0]
s,t =
n+1−2s∑
j1=t
aj1+1
n+3−2s∑
j2=j1+2
aj2+1 . . .
n−1∑
js=js−1+2
ajm+1, s = 1, 2, . . . , l. (17)
При k = m+ 1 iз (14) маємо
(
R
[n]
m+1,1(x)
)(m)
= m!N
[n,1]
m+1,1(x), де
N
[n,1]
s+1,t(x) =
n−1−2s∑
j=t
(
Xj(x)N
[n,0]
s,j+2 + aj+1N
[n,1]
s,j+2(x)
)
, N
[n,1]
1,t (x) = R
[n]
1,t(x). (18)
За iндукцiєю з формули (14) отримуємо
(
R
[n]
m+s,1(x)
)(m)
= m!N
[n,s]
m+s,1(x), s = 1, 2, . . . , l −m,
де
N
[n,s]
m+s,t(x) =
n+1−2(m+s)∑
j=t
(
Xj(x) N
[n,s−1]
m+s−1,j+2(x) + aj+1N
[n,s]
m+s−1,j+2(x)
)
, N
[n,s]
s,t (x) = R
[n]
s,t(x).
(19)
Формула (16) набирає вигляду
dn+1
dxn+1
[
f(x)Q(c)
n (x)
]
= f (n+1)(x)Q(c)
n (x) +
l∑
m=1
Cm
n+1f
(n+1−m)(x)m!
l∑
k=m
N
[n,k−m]
k,1 (x). (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
810 М. М. ПАГIРЯ
Тодi ∣∣∣∣ dn+1
d xn+1
[
f(x)Q(c)
n (x)
]∣∣∣∣ 6 f∗
(∣∣∣Q(c)
n (x)
∣∣∣+
l∑
m=1
Cmn+1m!
l∑
k=m
∣∣∣N [n,k−m]
k,1 (x)
∣∣∣). (21)
Згiдно з теоремою 1 [13] ∣∣∣Q(c)
n (x)
∣∣∣ 6 κn+1(ρ). (22)
Знайдемо оцiнки
∣∣∣N [n,k−m]
k,1 (x)
∣∣∣ при k = m,m+ 1, . . . , l. При k = m з (17) маємо
∣∣∣N [n,0]
m,i+2(x)
∣∣∣ 6 (a∗)m
m!
m∏
j=1
(n− 1− i− 2m+ j).
При k = m+ 1 iз формули (18) отримуємо∣∣∣N [n,1]
m+1,i+2(x)
∣∣∣ 6 n−1−2m∑
j=i+2
(∣∣Xj(x)
∣∣∣∣∣N [n,0]
m,j+2(x)
∣∣∣+ |aj+1|
∣∣∣N [n,1]
m,j+2(x)
∣∣∣). (23)
При m = 0 з (23) маємо
∣∣∣N [n,1]
1,i+2(x)
∣∣∣ =
∣∣∣R[n]
1,i+2(x)
∣∣∣ 6 da∗(n− i− 2). При m = 1 з (23) випливає,
що ∣∣∣N [n,1]
2,i+2(x)
∣∣∣ 6 2d(a∗)2
n−3∑
j=i+2
(n− j − 2) = d (a∗)2(n− i− 4)(n− i− 3).
За iндукцiєю доведемо, що∣∣∣N [n,1]
k,i+2(x)
∣∣∣ 6 d(a∗)k
(k − 1)!
k∏
j=1
(n− i− 2k + j − 1), k = 1, 2, . . . , l. (24)
При k = 1, 2 формула (24) виконується. Припустимо, що вона має мiсце при k = t. Тодi при
k = t+ 1 з (23) отримуємо∣∣∣N [n,1]
t+1,i+2(x)
∣∣∣ 6 n−1−2t∑
j=i+2
(∣∣Xj(x)
∣∣∣∣∣N [n,0]
t,j+2(x)
∣∣∣+ |aj+1|
∣∣∣N [n,1]
t,j+2(x)
∣∣∣) 6
6
n−1−2k∑
j=i+2
(
d a∗
(a∗)t
t!
t∏
l=1
(n− j − 2t+ l − 1) + a∗
d (a∗)t
(t− 1)!
t∏
l=1
(n− j − 2t+ l − 1)
)
=
=
d (a∗)t+1
t!
t+1∏
j=1
(n− i− 2(t+ 1) + j − 1),
тобто формула (24) має мiсце i в цьому випадку.
Покажемо, що∣∣∣N [n,s]
m+s,i+2(x)
∣∣∣ 6 ds(a∗)m+s
m! s!
m+s∏
l=1
(n− i− 2(m+ s) + l − 1), s = 0, 1, . . . , l −m. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ОЦIНКА ЗАЛИШКОВОГО ЧЛЕНА IНТЕРПОЛЯЦIЙНОГО ЛАНЦЮГОВОГО C-ДРОБУ 811
При s = 0, 1 формула (25) виконується. Припустимо, що дана формула виконується при s = k.
Тодi при s = k + 1 з (19) отримуємо
∣∣∣N [n,k+1]
m+k+1,i+2(x)
∣∣∣ 6 n−1−2(m+k)∑
j=i+2
(∣∣Xj(x)
∣∣∣∣∣N [n,k]
m+k,j+2(x)
∣∣∣+ |aj+1|
∣∣∣N [n,k+1]
m+k,j+2(x)
∣∣∣). (26)
При m = 0 з (19) одержуємо
∣∣∣N [n,k+1]
k+1,i+2(x)
∣∣∣ =
∣∣∣R[n]
k+1,i+2(x)
∣∣∣ 6 dk+1 (a∗)k+1
(k + 1)!
k+1∏
j=1
(
n− i− 2(k + 1) + j − 1
)
.
При m = 1 з (26) знаходимо
∣∣∣N [n,k+1]
k+2,i+2(x)
∣∣∣ 6 dk+1 (a∗)k+2
(k + 1)! 1!
k+2∏
j=1
(
n− i− 2(k + 2) + j − 1
)
.
Припустимо, що (25) виконується при m = t. Тодi при m = t+ 1 з (26) маємо
∣∣∣N [n,k+1]
k+t+2,i+2(x)
∣∣∣ 6 n−3−2(k+t)∑
j=i+2
(
|Xj |
∣∣∣N [n,k]
k+t+1,j+2(x)
∣∣∣+ |aj+1|
∣∣∣N [n,k+1]
k+t+1,j+2(x)
∣∣∣) 6
6
n−3−2(k+t)∑
j=i+2
(
d a∗
dk (a∗)k+t+1
k! (t+ 1)!
k+t+1∏
l=1
(
n− j − 2(k + t+ 1) + l − 1
)
+ a∗
dk+1 (a∗)k+t+1
(k + 1)! t!
×
×
k+t+1∏
l=1
(
n− i− 2(k + t+ 1) + l − 1
))
=
dk+1 (a∗)k+t+2
(k + 1)! (t+ 1)!
k+t+2∏
j=1
(
n− i− 2(k + t+ 2) + j − 1
)
.
Формула (25) є правильною i в цьому випадку, отже, вона є правильною при довiльних s та m.
Iз (25) випливає, що
∣∣∣N [n,s]
m+s,1(x)
∣∣∣ 6 ds (a∗)m+s
m! s!
m+s∏
l=1
(
n− 2(m+ s) + l
)
. (27)
З (4), (21), (22) та (27) отримуємо (13).
Теорему 2 доведено.
Доведемо наступне допомiжне твердження.
Теорема 3. Якщо частиннi чисельники ai(x), i = 1, 2, . . . , n, скiнченного ФЛД
Dn(x) =
Pn(x)
Qn(x)
= a0(x) +
n
K
i=1
ai(x)
1
(28)
при всiх значеннях x ∈ R задовольняють умову типу Пейдона – Уолла
∣∣ai(x)
∣∣ 6 t(1 − t), де
t ∈
(
0;
1
2
]
, то знаменник Qn(x) ФЛД (28) задовольняє нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
812 М. М. ПАГIРЯ
∣∣Qn(x)
∣∣ >
(1− t)n+2 − tn+2
(1− t)n+1 − tn+1
, якщо 0 < t <
1
2
,
n+ 2
2(n+ 1)
, якщо t =
1
2
.
(29)
Доведення. Поряд iз ФЛД (28) розглянемо скiнченний ланцюговий дрiб
fn = 1 +
n
K
i=1
−t(1− t)
1
. (30)
Нехай f (n)k , A
(n)
k , B
(n)
k — вiдповiдно k-й залишок, чисельник та знаменник k-го залишку лан-
цюгового дробу (30)
f
(n)
k =
A
(n)
k
B
(n)
k
= 1 +
n
K
i=k+1
−t(1− t)
1
, k = n− 1, n− 2, . . . , 1, 0, (31′)
f
(n)
n+1 = 1, A
(n)
n+1 = 0, B
(n)
n+1 = 1. (31′′)
Легко бачити, що мають мiсце рекурентнi спiввiдношення
f
(n)
k = 1 +
− t(1− t)
f
(n)
k+1
, (32′)
B
(n)
k = B
(n)
k+1 − t(1− t)B
(n)
k+2, k = n− 1, n− 2, . . . , 1, 0, (32′′)
A
(n)
k = B
(n)
k−1. (32′′′)
Доведемо, що
B
(n)
k =
n−k+1∑
i=0
ti(1− t)n−k+1−i. (33)
При k = n, n− 1 маємо B(n)
n = 1 = (1− t) + t, B
(n)
n−1 = 1− t(1− t) = (1− t)2 + (1− t)t+ t2.
Припустимо, що (33) має мiсце при k = n, n − 1, . . . , s + 1. Тодi при k = s з формули (32′′)
випливає, що B(n)
s = B
(n)
s+1 − t(1 − t)B
(n)
s+2 =
∑n−s+1
i=0
ti(1 − t)n−s+1−i. Таким чином, форму-
ла (33) виконується при довiльному k.
Якщо t =
1
2
, то з (33) маємо
B
(n)
k =
n− k + 2
2n−k+1
. (34)
Нехай 0 < t <
1
2
. В (33) виконаємо замiну t = 1/θ, θ > 2. Тодi
B
(n)
k =
n−k+1∑
i=0
ti(1− t)n−k+1−i =
n−k+1∑
i=0
1
θi
(θ − 1)n−k+1−i
θn−k+1−i =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ОЦIНКА ЗАЛИШКОВОГО ЧЛЕНА IНТЕРПОЛЯЦIЙНОГО ЛАНЦЮГОВОГО C-ДРОБУ 813
=
1
θn−k+1
n−k+1∑
i=0
(θ − 1)n−k+1−i =
1
θn−k+1
(θ − 1)n−k+2 − 1
θ − 2
.
Повертаючись до t, маємо
B
(n)
k =
(1− t)n−k+2 − tn−k+2
1− 2t
. (35)
Через D(n)
k (x) позначимо k-й залишок ланцюгового дробу (28):
D(n)
k (x) = 1 +
n
K
i=k+1
ai(x)
1
, k = n− 1, n− 2, . . . , 1, 0, D(n)
n (x) = 1.
Очевидно, що має мiсце рекурентне спiввiдношення
D(n)
k (x) = 1 +
ak+1(x)
D(n)
k+1(x)
, k = n− 1, . . . , 0. (36)
Доведемо нерiвнiсть ∣∣D(n)
k (x)
∣∣ > f
(n)
k . (37)
При k = n, n− 1 з (36) маємо
∣∣D(n)
n (x)
∣∣ = 1 = f (n)n , |D(n)
n−1(x)| =
∣∣∣∣1 +
an(x)
1
∣∣∣∣ >
∣∣∣∣∣1−
∣∣an(x)
∣∣
1
∣∣∣∣∣ > 1− t(1− t)
1
= f
(n)
n−1.
Припустимо, що нерiвнiсть (37) виконується при k = n− 1, n− 2, . . . , s + 1. Тодi при k = s з
рекурентного спiввiдношення (36) випливає
∣∣D(n)
s (x)
∣∣ =
∣∣∣∣∣1 +
as(x)
D(n)
s+1(x)
∣∣∣∣∣ >
∣∣∣∣∣1−
∣∣an(x)
∣∣∣∣D(n)
s+1(x)
∣∣
∣∣∣∣∣ > 1− t(1− t)
f
(n)
s+1
= f (n)s .
Отже, нерiвнiсть (37) виконується при довiльному k.
Оскiльки
Dn(x) =
Pn(x)
Qn(x)
= 1 +
a1(x)
D(n)
1 (x)
,
то
∣∣Qn(x)
∣∣ > f
(n)
1 ,
∣∣Pn(x)
∣∣ > f
(n)
0 . Враховуючи (31), (32), (34), (35), отримуємо (29).
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай функцiя f(x) належить C(n+1)(R), за значеннями функцiї f(x) в iн-
терполяцiйних вузлах (1) побудовано С-IЛД (11) i частиннi чисельники С-IЛД задовольняють
умову типу Пейдона – Уолла, тобто 0 < ρ 6 t(1 − t), де ρ = a∗ d, a∗ = max16i6n |ai|, d =
= diamR, t ∈
(
0;
1
2
]
. Тодi для довiльного x ∈ R мають мiсце такi оцiнки залишкового члена
Rn(x) = f(x)− P (c)
n (x)/Q
(c)
n (x) iнтерполяцiйного ланцюгового дробу (11):
∣∣Rn(x)
∣∣ 6 f∗dn+1
(n+ 1)!
(1− t)n+1 − tn+1
(1− t)n+2 − tn+2
(
κn+1
(
t(1− t)
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
814 М. М. ПАГIРЯ
+
l∑
m=1
Cm
n+1
tm(1− t)m
dm
l−m∑
i=0
ti(1− t)i
i!
m+i∏
j=1
(
n− 2(m+ i) + j
))
при 0 < t <
1
2
(38)
i ∣∣Rn(x)
∣∣ 6 f∗dn+1
n!
2
n+ 2
(
κn+1
(
1
4
)
+
+
l∑
m=1
Cm
n+1
1
(4d)m
l−m∑
i=0
1
4i i!
m+i∏
j=1
(
n− 2(m+ i) + j
))
при t =
1
2
, (39)
де κn(ρ), f∗, l визначено в умовi теореми 2.
Доведення. Згiдно з умовою даної теореми a∗ 6 t(1 − t)/d. Тодi з теорем 2, 3 отримуємо
нерiвностi (38), (39).
1. Гаврилюк I. П., Макаров В. Л. Методи обчислень: У 2 ч. – Київ: Вища шк., 1995. – Ч. 1. – 367 с.
2. Привалов А. А. Теория интерполирования функций: В 2 кн. – Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1990. – 423 с.
3. Бейкер (мл.) Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. – М.: Мир, 1986. – 502 c.
4. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. –
М.: Наука, 1983. – 312 с.
5. Hoene-Wroński J. M. Introduction à la Philosophie des Mathématiques et Technie de l’Algorithmique. – Paris:
Courcier, 1811. – 269 p.
6. Hoene-Wroński J. M. Philosophie de la Technie Algorithmique: Loi Suprême et universelle des Mathématiques. –
Paris: de L’imprimerie de P. Didot L’Aine, 1815–1817. – 286 p.
7. Thiele T. N. Interpolationsprechnung. – Leipzig: Commisission von B. G. Teubner, 1909. – xii + 175 S.
8. Milne-Thomson L. M. The calculus of finite differences. – London: MacMillan and Co., 1933. – xxiii+558 p.
9. Пагiря М. М. Про ефективнiсть наближення функцiй деякими типами iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв //
Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 4. – С. 57 – 64.
10. Пагiря М. М. Оцiнка залишкового члена iнтерполяцiйного ланцюгового дробу Тiле // Укр. мат. журн. – 2008. –
60, № 11. – С. 1548 – 1554.
11. Perron O. Die Lehre von den Kettenbrüchen. – Stuttgart: Teubner, 1954. – Bd I. – 194 S.
12. Пагiря М. М. Iнтерполяцiя функцiй ланцюговим дробом та гiллястим ланцюговим дробом спецiального виду //
Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. – 1994. – Вип. 1. – С. 72 – 79.
13. Пагiря М. М. Задача iнтерполяцiї функцiй ланцюговими дробами // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. –
2005. – Вип. 10-11. – С. 77 – 87.
14. Hildebrand F. B. Introduction to numerical analysis. – 2 nd ed. – New York: Dover Publ., Inc., 1987. – 669 p.
15. Пагiря М. М. Деякi типи iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв // Комп’ютерна математика. Оптимiзацiя обчис-
лень: Зб. наук. праць. – Київ: Iн-т кiбернетики НАН України, 2001. – Т. 1. – С. 328 – 333.
16. Pahirya M. M. Interpolation function of non-Thiele continued fractions // Commun. Anal. Theory Contin. Fractions –
2002. – 10. – P. 59 – 62.
Одержано 27.05.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
|