Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве
В області гільбертового простору, що погоджена із заданою 6орєлівською мірою, досліджено задачу Діріхлє для визначеного класу еліптичних рівнянь.
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166082 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 733–739. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166082 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660822020-02-19T01:26:18Z Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. Статті В області гільбертового простору, що погоджена із заданою 6орєлівською мірою, досліджено задачу Діріхлє для визначеного класу еліптичних рівнянь. We study the Dirichlet problem for a specified class of elliptic equations in a region of the Hilbert space consistent with a given Borel measure. 2014 Article Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 733–739. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166082 517.98 517.954 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве Український математичний журнал |
| description |
В області гільбертового простору, що погоджена із заданою 6орєлівською мірою, досліджено задачу Діріхлє для визначеного класу еліптичних рівнянь. |
| format |
Article |
| author |
Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. |
| author_facet |
Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. |
| author_sort |
Богданский, Ю.В. |
| title |
Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве |
| title_short |
Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве |
| title_full |
Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве |
| title_fullStr |
Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве |
| title_sort |
задача дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166082 |
| citation_txt |
Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 733–739. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanskijûv zadačadirihleslaplasianompomerenagilʹbertovomprostranstve AT sanžarevskijâû zadačadirihleslaplasianompomerenagilʹbertovomprostranstve |
| first_indexed |
2025-07-14T20:43:36Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:43:36Z |
| _version_ |
1837656521748512768 |
| fulltext |
УДК 517.98+517.954
Ю. В. Богданский, Я. Ю. Санжаревский
(Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С ЛАПЛАСИАНОМ ПО МЕРЕ
НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
We study the Dirichlet problem for a specified class of elliptic equations in the region of a Hilbert space, which is agreed
with a given Borel measure.
В областi гiльбертового простору, що погоджена iз заданою борелiвською мiрою, дослiджено задачу Дiрiхле для
визначеного класу елiптичних рiвнянь.
1. Предварительные сведения. Пусть H — сепарабельное вещественное гильбертово про-
странство (dimH 6∞), µ — конечная (неотрицательная) борелевская мера на H.
Обозначим через Cb = Cb(H) пространство всех ограниченных и непрерывных функций
f : H → R, через Cb(H;H) пространство всех непрерывных ограниченных векторных полей
H → H, через C1
b = C1
b (H) (соответственно C1
b (H;H)) пространство всех функций f ∈ Cb
(соответственно векторных полей X ∈ Cb(H;H)), дифференцируемых по Фреше в каждой
точке x ∈ H с непрерывной и ограниченной на всем H производной f ′(·)
(
соответственно
X ′(·)
)
.
Пусть G — ограниченная область в пространстве H с границей S = ∂G. Через C1(G)
обозначим семейство всех функций на G, допускающих продолжение на все H до функций
класса C1
b ; символом C1
0 (G) обозначим семейство функций из C1(G), носители которых лежат
в G. Аналогично определяем C(G) и C(G;H).
Через L2(G) = L2(G,µ) обозначим пространство интегрируемых с квадратом измеримых
функций наG по отношению к мере µ|G. Аналогично через L2(G;H) = L2(G;H,µ) обозначим
пространство квадратично интегрируемых векторных полей на G. Норму в L2(G;H) задаем
формулой |||Z |||2 =
∫
G
‖Z (x)‖2dµ (интегрируемость векторного поля понимаем в смысле кон-
струкции Бохнера).
Граница S области G предполагается гладким вложенным в H подмногообразием кораз-
мерности 1, а поле единичной внешней нормали границы S предполагается продолжимым до
векторного поля n ∈ C1
b (H;H).
Пусть Φt = Φn
t — поток векторного поля n . Предполагаем дифференцируемость меры µ
относительно поля n в сильном смысле: для каждого борелевского множества A ∈ B(H) су-
ществует предел ϑ(A) = limt→0
1
t
(
µ(ΦtA)−µ(A)
)
, откуда следует, что ϑ = dn µ является боре-
левской мерой (знакопеременной), абсолютно непрерывной относительно µ. Логарифмическую
производную меры µ относительно поля n обозначим символом ρµ = ρn
µ
(
=
dϑ
dµ
= divµ n
)
.
Существование поля n с указанными выше свойствами постулируем и говорим о „согласован-
ности S с мерой µ” (см. [1]).
Пусть ε > 0. Символом Sε обозначим ε-окрестность множества S. В работе [2] (формула
(13)) доказано, что при согласованности S с мерой µ имеет место равенство µ(Sε) = O(ε) (ε→
→ 0), а потому ([1], предложение 1) C1
0 (G) плотно в L2(G).
c© Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6 733
734 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
Согласованная с S мера µ индуцирует на S поверхностную меру [1, 2], которую обозначим
через µS .
Рассматривается оператор grad : L2(G) → L2(G;H) с естественной областью опреде-
ления C1(G) (C1(G) 3 u 7→ gradu ∈ C(G; H)). Для корректного задания этого операто-
ра следует проверить, что условия u, v ∈ C1(G); u = v(mod µ) влекут за собой равенство
gradu = grad v (mod µ). Данное требование выполнено для тех мер µ, для которых не-
равенство µ(U) > 0 имеет место для любого непустого открытого множества U. Последнее
условие выполнено для квазиинвариантной меры µ, т. е. такой меры µ, для которой множество
квазиинвариантных сдвигов h
(
µh(A) := µ(A + h), µh ∼ µ
)
содержит плотное в H линей-
ное подмногообразие L. Примером такой меры является гауссова мера µ = µA в H, ядерный
корреляционный оператор которой имеет плотный образ в H.
Дальнейшие построения предполагают выполнение следующих двух дополнительных усло-
вий на меру µ:
а) оператор grad : L2(G) ⊃ C1(G) 3 u 7→ gradu ∈ L2(G;H) с областью определения
C1(G) корректно определен (т. е. из условий u, v ∈ C1(G), u = v (mod µ) следует, что
gradu = grad v (mod µ)) и допускает замыкание;
б) ρn
µ
∣∣
G
∈ L∞(G).
Модельный пример меры, согласованной с поверхностью S, для которой выполняются
также одновременно условия а) и б), предложен в заключительной части работы.
Совместное выполнение условий а) и б) позволяет корректно ввести оператор следа γ:
L2(G)→ L2(S) = L2(S, µS) с областью определенияD(grad ) (см. [1]). При этом для функций
u ∈ C1(G) : γ(u) = u|S ; оператор следа γ представляет собой ограниченный оператор из
банахова в норме графика пространства D(grad ) в L2(S).
Оператор div : L2(G;H) → L2(G) определен формулой div = −
(
grad
∣∣
Ker γ
)∗
. Оператор
Лапласа введем формулой 4u = div ◦gradu.
2. Исследование задачи Дирихле. В данном пункте предполагаем согласованность границы
S ограниченной области G с мерой µ и выполнение условий а) и б), наложенных на меру µ.
Лемма 1. Пусть u ∈ D(grad ), ϕ ∈ C1(G). Тогда u · ϕ ∈ D(grad ) и при этом
grad (uϕ) = ugradϕ+ ϕgradu.
Доказательство. Пусть последовательность un ∈ C1(G) такова, что un → u (в L2(G)),
gradun → Z = gradu (в L2(G;H)). Поскольку ϕ ∈ L∞(G), имеют место соотношения
un ·ϕ→ u ·ϕ, grad (un ·ϕ) = gradun ·ϕ+ un · gradϕ→ ϕ · gradu+ u · gradϕ, откуда и
следует утверждение леммы.
Лемма 2. Пусть u ∈ Ker γ, ϕ ∈ C1(G). Тогда u · ϕ ∈ Ker γ.
Доказательство. Поскольку u ∈ Ker γ, существует последовательность un ∈ C1(G), для
которой un → u, gradun → gradu, un|S → 0 в L2(S). Но тогда unϕ→ u ·ϕ, grad (un ·ϕ)→
→ grad (uϕ), (un · ϕ)|S = un|S · ϕ|S → 0 в L2(S), что и доказывает лемму.
Лемма 3. Пусть X ∈ D(div); ϕ ∈ C1(G). Тогда ϕX ∈ D(div) и при этом div(ϕX ) =
=
(
gradϕ, X
)
+ ϕ · div X .
Доказательство. По определению оператора div для каждой функции u ∈ Ker γ имеет
место равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С ЛАПЛАСИАНОМ ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 735∫
G
(
gradu, X
)
dµ = −
∫
G
u · div X dµ.
В силу леммы 2 ϕ · u ∈ Ker γ и, следовательно,
∫
G
(
grad (u · ϕ), X
)
dµ =
= −
∫
G
u · ϕ · div X dµ, откуда, в силу леммы 1, следует равенство∫
G
(
gradu, ϕX
)
dµ = −
∫
G
u
(
(gradϕ, X ) + ϕ · div X
)
dµ,
что и доказывает лемму.
Пусть f ∈ L2(G), k ∈ C1(G), a ∈ C(G), k(x) > δ > 0 (∀x ∈ G), a(x) > α > 0 (∀x ∈ G).
Пусть u ∈ D(4). Тогда gradu ∈ D(div), в силу леммы 3 k · gradu ∈ D(div). Для
u ∈ D(4) рассмотрим уравнение
L(u) = div
(
k · gradu
)
− a · u = f (1)
и поставим вопрос о поиске решения задачи Дирихле для уравнения (1) с краевым условием
γ(u) = ϕ (2)
(здесь ϕ ∈ Im(γ)).
Конечномерный вариант поставленной задачи в случае инвариантной меры исследован,
например, в [3].
Рассмотрим сначала случай ϕ = 0. Тогда u является решением задачи (1), (2) с ϕ = 0 в том
и лишь в том случае, когда u ∈ Ker γ и при всех v ∈ Ker γ удовлетворяет уравнению∫
G
v ·
(
div
(
k · gradu
)
− au
)
dµ = −
∫
G
vf dµ. (3)
Это следует из вложения C1
0 (G) ⊂ Ker γ и плотности C1
0 (G) в L2(G).
Уравнение (3) преобразуем в следующее:∫
G
(
k
(
gradu, grad v
)
+ a · uv
)
dµ = −
∫
G
vf dµ. (4)
При данных условиях на функции k и a левая часть уравнения (4) представляет собой
скалярное произведение (u, v)1 в D(grad ); норма ‖·‖1, индуцированная этим произведением,
эквивалентна норме графика. При этом существует число C > 0 такое, что при всех v ∈ Ker γ
выполняются неравенства
∣∣∣∣∫
G
vfdµ
∣∣∣∣ 6 ‖f‖L2(G)‖v‖L2(G) 6 ‖f‖L2(G) · C‖v‖1.
Теперь ссылка на теорему Рисса
(
в гильбертовом пространстве
(
Ker γ, (·, ·)1
))
позволяет
сделать вывод о существовании единственной функции u ∈ Ker γ, которая при всех v ∈ Ker γ
удовлетворяет уравнению (4).
Пусть u — решение (4) при всех v ∈ Ker γ. Запишем (4) в виде
∫
G
(
k gradu, grad v
)
dµ = −
∫
G
v (f + a u) dµ,
Справедливость последнего равенства при всех v ∈ Ker γ означает, что k · gradu ∈ D(div) и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
736 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
при этом div
(
k · gradu
)
= f + a u.
Поскольку функция
1
k
∈ C1(G), в силу леммы 3 gradu ∈ D(div) и, следовательно,
u ∈ D(4). Тем самым для граничного условия γ(u) = 0 доказаны существование и единствен-
ность решения задачи (1), (2).
Если теперь ϕ ∈ γ
(
D(4)
)
, то существует функция w ∈ D(4), для которой ϕ = γ(w). В
этом случае k · gradw ∈ D(div), а потому определено L(w) и функция u1 = u − w должна
удовлетворять задаче
Lu1 = div
(
k · gradu1
)
− a · u1 = f − div
(
k · gradw
)
+ aw, (5)
γ(u1) = 0. (6)
Задача (5), (6) допускает решение описанным выше приемом.
С другой стороны, задача (5), (6) описанным выше приемом сводится к задаче поиска
функции u1 ∈ Ker γ, которая при всех v ∈ Ker γ удовлетворяет уравнению∫
G
(
k
(
gradu1, grad v
)
+ a u1 v
)
dµ = −
∫
G
(
v f + k
(
gradw, grad v
)
+ aw v
)
dµ. (7)
Для произвольной ϕ ∈ Im γ существует функция w ∈ D(grad ), для которой γ(w) = ϕ.
Докажем существование функции u1 ∈ Ker γ, которая при всех v ∈ Ker γ удовлетворяет
уравнению (7). Тогда функцию u = u1 + w можно считать „слабым решением” задачи (1), (2).
Действительно, существуют числа C1, C2 > 0 такие, что при всех v ∈ Ker γ выполнены
неравенства ∣∣∣∣∫
G
(
v f + k
(
gradw, grad v
)
+ aw v
)
dµ
∣∣∣∣ 6
6 ‖f + aw‖L2(G) ‖v‖L2(G) + sup
G
k(·)
∣∣∣∣∣∣gradw∣∣∣∣∣∣
L2(G;H)
∣∣∣∣∣∣grad v∣∣∣∣∣∣
L2(G;H)
6
6 C1 ‖v‖+ C2
∣∣∣∣∣∣grad v∣∣∣∣∣∣
и приведенные выше соображения позволяют, на основании теоремы Рисса, сделать вывод о
существовании слабого решения задачи (1), (2) для произвольной функции ϕ ∈ Im γ.
Наконец, единственность решения
(
если ϕ ∈ γ
(
D(4)
))
(или, если ϕ ∈ Im γ, слабого
решения) задачи (1), (2) следует из единственности решения задачи (1), (2) в случае ϕ = 0.
Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1. Пусть граница S ограниченной области G согласована с мерой µ, а сама
мера удовлетворяет условиям а), б). Тогда задача (1), (2) в случае ϕ ∈ γ
(
D(4)
)
имеет,
и притом единственное, решение u ∈ D(4). Если ϕ ∈ Im γ, то задача (1), (2) имеет, и
притом единственное, слабое решение, т. е. существует, и притом единственная, функция
u ∈ D
(
grad
)
, удовлетворяющая условию (2) и при всех v ∈ Ker γ уравнению (4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С ЛАПЛАСИАНОМ ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 737
3. Модельный пример. В данном пункте приводится пример меры, согласованной с по-
верхностью S = ∂G, для которой выполнены условия а), б) из п. 1.
Пусть n ∈ C1
b (H;H); Φt — поток векторного поля n ; µ — (неотрицательная) конечная
борелевская мера наH; ϕ : R→ R — непрерывно дифференцируемая неотрицательная функция,
для которой
∫
R
ϕ(t) dt <∞; ϕ и ϕ′ ограничены на R.
Отображение R × H 3 〈t, x〉 7→ Φ−tx ∈ H является непрерывным и потому для каждого
борелевского множества A ∈ B(H) множество
{
〈t, x〉
∣∣Φ−tx ∈ A} B(R) ⊗B(H)-измеримо.
Поэтому для всехA ∈ B(H) функция t 7→ µ
(
ΦtA
)
=
∫
H
jA ◦ Φ−tdµ является B(R)-измеримой
(и ограниченной) [4, с. 225, 226]. Тем самым определен интеграл
∫
R
ϕ(t)µ
(
ΦtA
)
dt. Формула
µϕ(A) =
∫
R
ϕ(t)µ
(
ΦtA
)
dt (8)
корректно определяет неотрицательную конечную борелевскую меру наH.Мера µϕ дифферен-
цируема вдоль векторного поля n , и при этом для каждого A ∈ B(H) имеет место равенство
d
dt
∣∣∣∣
0
µϕ
(
ΦtA
)
= −
∫
R
ϕ′(s)µ
(
ΦsA
)
ds.
Пусть, дополнительно, существует константа C, для которой при всех s ∈ R выполнено
неравенство
∣∣ϕ′(s)∣∣ 6 C ϕ(s). Тогда для каждого борелевского множества A ⊂ H имеет место
неравенство ∣∣∣∣∣∣
∫
R
ϕ′(t)µ
(
ΦtA
)
dt
∣∣∣∣∣∣ 6 C
∫
R
ϕ(t)µ
(
ΦtA
)
dt,
откуда
∣∣dµϕ(A)
∣∣ 6 C µϕ(A), а потому ρn
µϕ =
d(dµϕ)
dµϕ
∈ L∞(H,µϕ). Примером такой функции
ϕ является сглаженная в окрестности нуля функция
ψ(s) = e−α |s|, α > 0. (9)
Если теперь n — продолжение на H поля единичной внешней нормали к S, то S согласована
с мерой µϕ и при этом мера µϕ удовлетворяет условию б).
Пусть в H существует полная система векторов, вдоль которых исходная мера µ L2-
дифференцируема
(
т. е. такая система векторов h ∈ H, вдоль которых производная меры
dh µ имеет плотность ρhµ =
d(dh µ)
dµ
∈ L2(H)
)
. Примером такой меры является гауссова мера,
корреляционный оператор которой имеет плотный образ в H.
Теорема 2. Пусть конечная борелевская (неотрицательная) мера µ удовлетворяет при-
веденному выше условию. Пусть, дополнительно, µ(U) > 0 для любого непустого открытого
множества U в H. Тогда мера µϕ, определенная формулой (8) с функцией ϕ, представляющей
собой сглаженную в окрестности нуля функцию ψ (см. (9)), согласована с S и удовлетворяет
условиям а), б) из п. 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
738 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
Доказательство. Осталось проверить лишь корректность и замыкаемость оператора grad :
L2(G,µϕ) ⊃ C1(G) 3 u 7→ gradu ∈ L2(G;H,µϕ).
Если U — открытое непустое множество в H, то в силу (8) µϕ(U) > 0. Поэтому если u, v ∈
∈ C1
b (H), u = v (mod µ), то gradu = grad v (mod µ), а поэтому оператор grad определен
корректно.
Из (8) для ограниченных борелевских функций f получим равенство∫
H
f dµϕ =
∫
R
ϕ(t) dt
∫
H
f ◦ Φ−t dµ. (10)
Формула (10) обобщается на случай неотрицательных функций f ∈ L1(H,µϕ). С этой
целью строим последовательность ограниченных измеримых функций fn, для которых fn ↗ f.
Тогда при каждом t ∈ R имеет место сходимость hn(t) =
∫
H
fn ◦ Φ−tdµ ↗ h(t), h(t) ∈
∈ [0; +∞]. Поскольку числовая последовательность
∫
R
ϕ(t)hn(t)dt ограничена сверху инте-
гралом
∫
H
fdµϕ, по теореме Б. Леви функция h(t) интегрируема на R по мере ϕdt и h(t)
почти всюду конечна. Итак, f ◦Φ−t ∈ L1(µ) для почти всех t и равенство (10) справедливо для
f ∈ L1(H,µϕ), f > 0.
Пусть um ∈ C1(G), um → 0 в L2(G,µϕ), gradum → Z в L2(G;H,µϕ). Докажем, что
Z = 0 (mod µϕ).
Допустим противное: пусть
∣∣∣∣∣∣Z ∣∣∣∣∣∣2
L2(G;H,µϕ)
= δ > 0. Поскольку µϕ(S) = 0 (следствие
согласованности S и µϕ), выберем такое ε > 0, что∫
G\Sε
‖Z (·)‖2 dµϕ >
δ
2
.
Пусть функция η ∈ C1
0 (G) такова, что 0 6 η(x) 6 1 и при этом η(x) = 0 при x ∈ S ε
2
,
η(x) = 1 при x ∈ G\Sε. Тогда η um → 0 в L2(G,µϕ), grad (η um) = η gradum+um grad η →
→ ηZ . При этом
∣∣∣∣∣∣η Z
∣∣∣∣∣∣2
L2(G;H,µϕ)
>
δ
2
> 0. Поэтому, не теряя общности, можно считать, что
um ∈ C1
0 (G) и suppum ⊂ G \ S ε
2
.
Поскольку теперь um ∈ C1
0 (G), применив формулу (10), сходимость gradum → Z в
L2(G;H,µϕ) запишем в виде∫
R
ϕ(t) dt
∫
H
∥∥(gradum)(Φ−t x)− Z (Φ−t x)
∥∥2 dµ→ 0. (11)
Переходя к подпоследовательностям из (11), получаем для почти всех t сходимость:∫
H
∥∥(gradumk
)(Φ−t x)− Z (Φ−t x)
∥∥2 dµ→ 0, k →∞. (12)
Однако
(
grad (um ◦ Φ−t)
)
(x) =
[
∂
∂x
(Φ−t x)
]∗
(gradum)(Φ−t x), откуда∥∥∥∥grad (um ◦ Φ−t)(x)−
[
∂
∂x
(Φ−t x)
]∗
Z (Φ−t x)
∥∥∥∥ 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С ЛАПЛАСИАНОМ ПО МЕРЕ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 739
6
∥∥∥∥( ∂
∂x
(Φ−t x)
)∗∥∥∥∥∥∥(gradum)(Φ−t x)− Z (Φ−t x)
∥∥ 6
6 eC |t|
∥∥(gradum)(Φ−t x)− Z (Φ−t x))
∥∥,
где C = supH ‖n ′(·)‖.
Теперь из (12) делаем вывод о том, что для почти всех t имеет место сходимость∫
H
∥∥∥∥grad (umk
◦ Φ−t)(x)−
[
∂
∂x
(Φ−t x)
]∗
Z (Φ−t x)
∥∥∥∥2 dµ→ 0, k →∞. (13)
Исходное условие umk
→ 0 в L2(G,µϕ) из тех же соображений приводит к сходимости (для
почти всех t) ∫
H
u2mks
◦ Φ−t dµ→ 0, s→∞. (14)
Покажем, что в условиях теоремы оператор grad : L2(H,µ) ⊃ C1
b (H) 3 v 7→ grad v ∈
∈ L2(H;H,µ) замыкаем.
Действительно, положим vm → 0, grad vm → Z (здесь vm ∈ C1
b (H)). Тогда для ψ ∈ C1
b (H)
запишем формулу интегрирования по частям в направлении h
(
ρhµ ∈ L2(H,µ)
)
:∫
H
(
grad vm, ψ h
)
dµ = −
∫
H
vm
(
gradψ, h
)
dµ−
∫
H
vm · ψ · ρhµ dµ
(см., например, [5, с. 179]).
Предельным переходом получим
∫
H
(
Z , ψ h
)
dµ = 0, и осталось заметить, что из последне-
го равенства следует ортогональность Z в L2(H;H,µ) всевозможным линейным комбинациям
индикаторов открытых подмножеств в H (с векторными коэффициентами), которые плотны в
L2(H;H,µ).
Теперь из (13), (14) можно сделать вывод о том, что для почти всех t имеет место равенство[
∂
∂x
(Φ−t x)
]∗
Z (Φ−t x) = 0 (mod µ),
откуда, в силу невырожденности оператора
∂
∂x
(Φ−t x), Z (Φ−t x) = 0 (mod µ). Отсюда∫
H
‖Z ‖2 dµϕ =
∫
R
ϕ(t) dt
∫
H
‖Z ◦ Φ−t‖2 dµ = 0.
Полученное противоречие доказывает теорему 2.
1. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2-версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1169 – 1178.
2. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
3. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1976. – 392 с.
4. Богачев В. И. Основы теории меры. – М.; Ижевск: РХД, 2006. – Т. 1. – 584 с.
5. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – М.; Ижевск: РХД, 2008. – 544 с.
Получено 15.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
|