Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой
Встановлено точні за порядком оцінки тригонометричного поперечника класів Нікольського - Бєсова періодичних Функцій багатьох змінних у просторі Лебега з мішаною нормою....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166086 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой / Г. Акишев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 723–732. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166086 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660862020-02-19T01:26:48Z Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой Акишев, Г. Статті Встановлено точні за порядком оцінки тригонометричного поперечника класів Нікольського - Бєсова періодичних Функцій багатьох змінних у просторі Лебега з мішаною нормою. We establish exact-order estimates for the trigonometric widths of the Nikol’skii–Besov classes of periodic functions of many variables in the Lebesgue space with mixed norm. 2014 Article Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой / Г. Акишев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 723–732. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166086 517.51 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Акишев, Г. Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой Український математичний журнал |
| description |
Встановлено точні за порядком оцінки тригонометричного поперечника класів Нікольського - Бєсова періодичних Функцій багатьох змінних у просторі Лебега з мішаною нормою. |
| format |
Article |
| author |
Акишев, Г. |
| author_facet |
Акишев, Г. |
| author_sort |
Акишев, Г. |
| title |
Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой |
| title_short |
Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой |
| title_full |
Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой |
| title_fullStr |
Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой |
| title_full_unstemmed |
Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой |
| title_sort |
тригонометрические поперечники классов никольского – бесова в пространстве лебега со смешанной нормой |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166086 |
| citation_txt |
Тригонометрические поперечники классов Никольского – Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой / Г. Акишев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 6. — С. 723–732. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT akiševg trigonometričeskiepoperečnikiklassovnikolʹskogobesovavprostranstvelebegasosmešannojnormoj |
| first_indexed |
2025-07-14T20:44:34Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:44:34Z |
| _version_ |
1837656571897708544 |
| fulltext |
УДК 517.51
Г. Акишев (Караганд. гос. ун-т, Казахстан)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ
НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛЕБЕГА
СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ
We establish exact-order estimates for the trigonometric widths of the Nikol’ski – Besov classes of periodic functions of
many variables in the Lebesgue space with mixed norm.
Встановлено точнi за порядком оцiнки тригонометричного поперечника класiв Нiкольського – Бєсова перiодичних
функцiй багатьох змiнних у просторi Лебега з мiшаною нормою.
Введение. Пусть x = (x1, . . . , xm) ∈ Tm = [0, 2π)m. Через Lp̄(Tm) обозначим пространство
измеримых по Лебегу функций f(x̄), определенных на Rm, имеющих 2π-период по каждой
переменной, для которых
‖f‖p̄ =
2π∫
0
. . .
2π∫
0
∣∣f(x̄)
∣∣p1dx1
p2/p1
. . .
pm/(pm−1)
dxm
1/pm
<∞,
где p = (p1, . . . , pm), 1 ≤ pj <∞, j = 1, . . . ,m (см. [1, с. 128]). В случае, когда p1 = p, . . . , pm =
= p, условимся вместо ‖ · ‖p̄, Lp̄(Tm) и Br
p̄,θ использовать соответственно обозначения ‖ · ‖p,
Lp(Tm) и Br
p,θ.
Функция f ∈ L1(Tm) = L(Tm) разлагается в ряд Фурье∑
n∈Zm
an(f)ei〈n,x〉,
где 〈n̄, x̄〉 =
∑m
j=1
njxj , an(f) — коэффициенты Фурье функции f ∈ L1(Tm) по кратной три-
гонометрической системе
{
ei〈n,x〉
}
n̄∈Zm и Zm — пространство точек из Rm с целочисленными
координатами.
Для функции f ∈ L(Tm) и числа s ∈ Z+ положим
σs(f, x) =
∑
n∈ρ(s)
an(f)ei〈n,x〉,
ρ(s) =
{
k = (k1, . . . , km) ∈ Zm :
[
2s−1
]
≤ max
j=1,...,m
|kj | < 2s
}
,
где [a] — целая часть числа a.
Рассматриваемые классы Никольского – Бесова [1, 2] определим следующим образом. Пусть
1 < pj <∞, j = 1, . . . ,m, 1 ≤ θ ≤ ∞ и r > 0, тогда
c© Г. АКИШЕВ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6 723
724 Г. АКИШЕВ
Br
p̄,θ =
f ∈ Lp (Tm) :
( ∑
s∈Z+
2srθ
∥∥σs(f)
∥∥θ
p̄
)1/θ
≤ 1
,
Hr
p =
{
f ∈ Lp (Tm) : sup
s∈Z+
2sr
∥∥σs(f)
∥∥
p̄
≤ 1
}
.
Известно, что для 1 < θ1 < θ2 <∞ справедливы вложения
Br
p̄,1 ⊂ Br
p̄,θ1 ⊂ B
r
p̄,θ2 ⊂ B
r
p̄,∞ = Hr
p̄ . (1)
Пусть дан некоторый класс F ⊂ Lp̄(Tm). Тригонометрическим n-поперечником dTn (F,Lp̄)
класса F в пространстве Lp̄(Tm) называется величина
dTn (F,Lp̄) = inf
Ωn
sup
f∈F
inf
t(Ωn)
∥∥f − t(Ωn)
∥∥
p̄
, (2)
где
t(Ωn, x̄) =
n∑
j=1
cje
i〈k̄(j),x̄〉,
Ωn =
{
k̄(1), k̄(2), . . . , k̄(n)
}
— семейство векторов k̄(j) =
(
k
(j)
1 , . . . , k
(j)
m
)
, j = 1, . . . , n, с цело-
численными координатами, cj — произвольные числа.
Понятие тригонометрического поперечника в одномерном случае впервые введено Р. С. Ис-
магиловым [3], и им установлены оценки для некоторых классов в пространстве непрерывных
функций. Для функций многих переменных тригонометрические поперечники классов Со-
болева W r̄
p и Никольского H r̄
p исследовались Я. С. Бугровым [4], Э. С. Белинским [5, 6],
В. Е. Майоровым [7], Г. Г. Магарил-Ильяевым [8], В. Н. Темляковым [9], а для класса Бесова
Br̄
p,θ — А. С. Романюком [10], для обобщенных классов Никольского – Бесова — С. А. Стасюком
[11, 12], Д. Б. Базархановым [13].
Для рассматриваемого класса Br
p,θ, где r, p, θ — числовые параметры, в работе [14] доказана
следующая теорема.
Теорема [14]. Пусть 1 ≤ p < 2 ≤ q < p
p− 1
, 1 ≤ θ ≤ ∞, r > m, тогда
dTn (Br
p,θ, Lq) � n
− r
m+
1
p−
1
2 .
Цель настоящей статьи — найти точный порядок тригонометрического поперечника опре-
деленного выше класса Br
p̄,θ в пространстве Lq̄(Tm).
В случае выполнения неравенств B ≥ C1A или B ≤ C2A часто будем писать B � A или
B � A соответственно. Запись A � B означает, что A� B и B � A.
Вспомогательные утверждения. Пусть f ∈ Lp̄(Tm) и
{
k̄(j)
}M
j=1
— система векторов k̄(j) =
=
(
k
(j)
1 , . . . , k
(j)
m
)
с целочисленными координатами. Рассмотрим величину
eM (f)p̄ = inf
k̄(j),bj
∥∥∥∥∥∥f −
M∑
j=1
bje
i〈k̄(j),x̄〉
∥∥∥∥∥∥
p̄
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 725
где bj — произвольные числа. Величина eM (f)p̄ называется наилучшим M -членным тригоно-
метрическим приближением функции f ∈ Lp̄(Tm). Для заданного класса F ⊂ Lp̄(Tm) положим
eM (F )p̄ = sup
f∈F
eM (f)p̄ . (3)
Заметим, что согласно определениям (2), (3) величины dTM (F,Lp̄) и eM (F )p̄ связаны неравен-
ством
eM (F )p̄ ≤ d
T
M (F )p̄ . (4)
Для оценки снизу тригонометрического поперечника класса Br
p̄,θ понадобится следующее
утверждение.
Теорема 1 [15]. Пусть p̄ = (p1, . . . , pm), q̄ = (q1, . . . , qm), 1 < pj ≤ 2 < qj < ∞, j =
= 1, . . . ,m, 1 ≤ θ ≤ ∞.
Если r >
∑m
j=1
1
pj
, то
eM
(
Br
p̄,θ
)
q̄
�M−
1
m
(
r−
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
.
Доказательство. Ограничимся установлением только оценки снизу, которую будем ис-
пользовать в дальнейшем. При этом нам понадобится формула (см. [16, с. 25])
eM (f)q̄ = inf
ΩM
sup
P∈L⊥,‖P‖q̄′≤1
∣∣∣∣∣∣
∫
Tm
f(x̄)P̄ (x̄)dx̄
∣∣∣∣∣∣, (5)
где q̄′ = (q′1, . . . , q
′
m),
1
qj
+
1
q′j
= 1, j = 1, . . . ,m, L⊥ — множество функций, ортогональных
подпространству тригонометрических полиномов, с номерами гармоник из множества ΩM .
Поскольку оценка величины eM
(
Br
p̄,θ
)
q̄
не зависит от θ, вследствие (1) оценку снизу до-
статочно доказать для Br
p̄,1.
Для натурального числа M выберем число n ∈ N такое, что M � 2nm и 2M ≤ ]ρ(n), где
]ρ(n) — количество элементов множества ρ(n).
Рассмотрим функцию
f1(x̄) = 2
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
)) ∑
k̄∈ρ(n)
ei〈k̄,x̄〉.
Тогда
∥∥σs(f1)
∥∥
p̄
= 0, если s 6= n, и
∥∥σn(f1)
∥∥
p̄
= 2
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
)) m∏
j=1
∥∥∥∥∥∥
2n−1∑
kj=2n−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
pj
.
В силу оценки нормы ядра Дирихле (см. [17, с. 181]) получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
726 Г. АКИШЕВ∥∥∥∥∥∥
2n−1∑
kj=2n−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
pj
� 2
n
(
1− 1
pj
)
для pj ∈ (1,∞), j = 1, . . . ,m. Следовательно,∥∥σn(f1)
∥∥
p̄
� 2−nr.
Поэтому
∞∑
s=1
2sr
∥∥σs(f1)
∥∥
p̄
≤ C1,
т. е. функция C−1
1 f1 ∈ Br
p̄,1.
Далее, рассмотрим функции
v1(x̄) =
∑
k̄∈ρ(n)
ei〈k̄,x̄〉,
u1(x̄) =
∑
k̄∈ρ(n)∩ΩM
ei〈k̄,x̄〉.
Положим w1(x̄) = v1(x̄)− u1(x̄). В силу равенства Парсеваля
‖u1‖2 = (π)m
∑
k̄∈ρ(n)∩ΩM
1
1/2
�M1/2,
‖v1‖2 = (π)m
∑
k̄∈ρ(n)
1
1/2
� 2nm/2.
Из этих соотношений согласно свойству нормы получим
‖w1‖2 ≤ ‖v1‖2 + ‖u1‖2 ≤ C22nm/2.
Значит, функция P1(x̄) = C−1
2 2−nm/2w1(x̄) удовлетворяет требованиям формулы (5) при qj = 2,
j = 1, . . . ,m. Поскольку 2 < qj , j = 1, . . . ,m, то eM (f1)2 � eM (f1)q̄ . Теперь по формуле (5)
имеем
eM (f1)q̄ � eM (f1)2 � inf
ΩM
∫
Tm
f1(x̄)P̄1(x̄)dx̄ =
= C−1
2 2−nm/22
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
))
inf
ΩM
[
]ρ(n)− ](ρ(n) ∩ ΩM )
]
�
� 2−nm/22
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
))[
]ρ(n)−M
]
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 727
� 2−nm/22
−n
(
r+
∑m
j=1
(
1− 1
pj
)) [
]ρ(n)− ]ρ(n)
2
]
� 2−nm/22
−n
(
r−
∑m
j=1
1
pj
)
.
Учитывая (1), последние соотношения и 2nm �M, получаем
eM
(
Br
p̄,θ
)
q̄
≥ eM
(
Br
p̄,1
)
q̄
� eM (f1)q̄ �M
− 1
m
(
r−
m∑
j=1
(
1
pj
−1
2
))
.
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. В случае p1 = . . . = pm = p и q1 = . . . = qm = q теорема 1 доказана
в [18]. Оценки величины eM
(
Br
p,θ
)
q
в случае
m
p
− m
q
< r <
m
p
установлены в [19]. В
одномерном случае теорема 1 доказана в [6]. Кроме того, теорема 1 приведена в [15] и для
других соотношений между параметрами pj , qj , j = 1, . . . ,m.
Теорема Б [20]. Пусть n̄ = (n1, . . . , nm), nj ∈ N, j = 1, . . . ,m, и
Tn̄(x̄) =
∑
|kj |≤nj ,j=1,...,m
ck̄e
i〈k̄,x̄〉.
Тогда для 1 ≤ pj < qj ≤ ∞, j = 1, . . . ,m, выполняется неравенство
‖Tn̄‖q̄ ≤ 2m
m∏
j=1
n
1/pj−1/qj
j ‖Tn̄‖p̄ .
Пусть ΩM — множество, содержащее не более чем M векторов k̄ = (k1, . . . , km) с целочис-
ленными координатами. Справедлива следующая лемма.
Лемма А [21]. Пусть 2 ≤ q <∞. Тогда для любого тригонометрического полинома
P (ΩM , x̄) =
M∑
j=1
ei〈k̄
(j),x̄〉
и любого натурального числа N ≤ M найдется тригонометрический полином P (ΩN , x̄), со-
держащий не более N гармоник и такой, что∥∥P (ΩM )− P (ΩN )
∥∥
q
�MN−1/2,
причем ΩN ⊂ ΩM , все коэффициенты P (ΩN , x̄) одинаковы и не превышают по модулюMN−1.
Основные результаты. Предварительно докажем вспомогательное утверждение, которое
будет существенно использоваться в процессе доказательства основных результатов. Рассмот-
рим тригонометрический полином
ts(x̄) =
∑
k̄∈ρ(s)
ei〈k̄,x̄〉.
Пусть t(Ωns ; x̄) — тригонометрический полином, приближающий полином ts(x̄) согласно лем-
ме А, т. е. ∥∥ts − t(Ωns)
∥∥
q̄
≤
∥∥ts − t(Ωns)
∥∥
q̃
� 2smn−1/2
s , (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
728 Г. АКИШЕВ
где q̃ = max{qj : j = 1, . . . ,m}, Ωns ⊂ ρ(s) и все коэффициенты полинома t(Ωns ; x̄) равны и
не превышают по модулю 2smn−1
s .
Рассмотрим оператор Ts вида
Tsf(x̄) = f(x̄) ∗
(
ts(x̄)− t(Ωns , x̄)
)
,
где значком ∗ обозначена операция свертки двух функций, т. е.
(ϕ ∗ g)(x̄) := (2π)−m
∫
Tm
ϕ(ȳ)g(x̄− ȳ)dȳ
для ϕ, g ∈ L(Tm).
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть 1 < pj < 2 < qj <
pj
pj − 1
= p′j , j = 1, . . . ,m. Тогда норма оператора
Ts, действующего из Lp̄(Tm) в Lq̄(Tm), удовлетворяет неравенству
‖Ts‖p̄→q̄ = sup
‖f‖p̄≤1
‖Tsf‖q̄ � 2smn
− 1
m
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
s .
Доказательство. Согласно аналогу теоремы Рисса – Торина в пространстве Лебега со сме-
шанной нормой (см. [22]) можем записать
‖Ts‖p̄→q̄ ≤ ‖Ts‖1−λ2→2‖Ts‖
λ
1→q̄∗ , (7)
где 0 < λ < 1 и координаты q̄∗ = (q∗1, . . . , q
∗
m) удовлетворяют равенству
1
qj
=
1− λ
2
+
λ
q∗j
, j = 1, . . . ,m.
Выберем λ =
2
m
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
2
)
.
Коэффициенты полинома ts(x̄)−t(Ωns , x̄) равны и их модули не превышают 2(s+1)mn−1
s +1.
Поэтому в силу равенства Парсеваля имеем
‖Ts‖2→2 � 2smn−1
s . (8)
Далее, используя обобщенное неравенство Минковского (см. [1, с. 27]) и (6), имеем
‖Tsf‖q̄∗ ≤ ‖f‖1
∥∥ts − t(Ωns)
∥∥
q̄∗
� ‖f‖12smn−1/2
s .
Следовательно,
‖Ts‖1→q̄∗ � 2smn−1/2
s . (9)
Теперь, подставляя (8) и (9) в (7), получаем
‖Ts‖p̄→q̄ �
(
2smn−1
s
)1−λ (
2smn−1/2
s
)λ
= C2smn
λ
2−1
s = C2smn
− 1
m
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
s .
Лемма 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 729
Замечание 2. В случае p1 = . . . = pm = p и q1 = . . . = qm = q лемма 1 доказана в [14].
Теперь сформулируем и докажем основной результат работы.
Теорема 2. Пусть 1 < pj < 2 ≤ qj <
pj
pj − 1
, j = 1, . . . ,m, 1 ≤ θ ≤ ∞, r > m. Тогда
dTn (Br
p̄,θ, Lq̄) � n
− r
m+
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
)
.
Доказательство. Оценка снизу, вследствие (4), доказана выше при установлении соответ-
ствующей оценки снизу в теореме 1.
Докажем оценку сверху. Для числа n ∈ N выберем натуральное число l такое, что 2(l−1)m−1 ≤
≤ n < 2lm−1. Положим
α =
r
m
− 1
m
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
2
)
r
m
− 1
m
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
qj
) .
Для s = 0, 1, 2, . . . обозначим ns = 2sm, если 0 ≤ s < l, ns =
[
2lr2sm
(
1− r
m
)]
, если l ≤ s ≤
≤ [αl] + 1, и ns = 0, если s > [αl] + 1, где [y] — целая часть числа y.
Поскольку r > m, то
∑
s
ns ≤
l−1∑
s=0
2sm +
[αl]+1∑
s=l
2lr2sm
(
1− r
m
)
� C
{
2lm + 2lr2lm
(
1− r
m
)}
≤ 2C2lm � n. (10)
Рассмотрим множества
P =
⋃
0≤s<l
ρ(s), Q =
⋃
l≤s≤[αl]+1
Ωns .
Построим подпространство тригонометрических полиномов с гармониками из множества P∪Q
такое, что приближение класса Hr
p̄ в пространстве Lq̄(Tm) этим подпространством реализует
порядок величины dTn (Hr
p̄ , Lq̄).
Пусть f ∈ Hr
p̄ . Рассмотрим приближение функции f полиномами вида
t(x̄) =
l−1∑
s=0
σs(f, x̄) +
[αl]+1∑
s=l
(
t(Ωns ; x̄) ∗ σs(f, x̄)
)
.
В силу соотношения (10) количество гармоник полинома t(x̄) не превышает по порядку n,
тогда по свойству нормы имеем
‖f − t‖q̄ ≤
∥∥∥∥∥∥
[αl]+1∑
s=l
(
σs(f, x̄)−
(
t(Ωns ; x̄) ∗ σs(f, x̄)
))∥∥∥∥∥∥
q̄
+
∥∥∥∥∥∥
∑
s>[αl]+1
σs(f)
∥∥∥∥∥∥
q̄
= J1 + J2. (11)
Оценим J2. Поскольку f ∈ Hr
p̄ , то∥∥σs(f)
∥∥
p̄
≤ 2−sr, s = 0, 1, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
730 Г. АКИШЕВ
Поэтому, используя свойство нормы, неравенство разных метрик (см. теорема Б) и неравенство
r > m, получаем
J2 =
∥∥∥∥∥ ∑
s>[αl]+1
σs(f)
∥∥∥∥∥
q̄
≤
∑
s>[αl]+1
∥∥σs(f)
∥∥
q̄
�
�
∑
s>[αl]+1
2
s
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
qj
)∥∥σs(f)
∥∥
p̄
�
∑
s>[αl]+1
2
s
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
qj
)
2−sr �
� 2
−αl
(
r−
∑m
j=1
(
1
pj
− 1
qj
))
.
Отсюда, учитывая выбор числа α, находим
J2 � 2
−l
(
r−
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
� n−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
. (12)
Оценим J1. Для натурального числа s, удовлетворяющего соотношениям l ≤ s ≤ [αl] + 1,
рассмотрим оператор Ts вида
Tsf(x̄) = f(x̄) ∗
(
ts(x̄)− t(Ωns , x̄)
)
.
Пусть pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m. Применяя неравенство Минковского и лемму 1, получаем
J1 =
∥∥∥∥∥∥
[αl]+1∑
s=l
σs(f, x̄)−
(
t(Ωns ; x̄) ∗ σs(f, x̄)
)∥∥∥∥∥∥
q̄
≤
≤
[αl]+1∑
s=l
∥∥∥σs(f, x̄)−
(
t(Ωns ; x̄) ∗ σs(f, x̄)
)∥∥∥
q̄
�
[αl]+1∑
s=l
∥∥Tsσs(f)
∥∥
q̄
�
�
[αl]+1∑
s=l
‖Ts‖p̄→q̄
∥∥σs(f)
∥∥
p̄
�
[αl]+1∑
s=l
2smn
− 1
m
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
s
∥∥σs(f)
∥∥
p̄
. (13)
Подставляя в (13) значения чисел ns, имеем
J1 �
[αl]+1∑
s=l
2sm
(
2lr2sm
(
1− r
m
))− 1
m
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
) ∥∥σs(f)
∥∥
p̄
�
� 2
−l rm
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
) [αl]+1∑
s=l
2sm2
−s
(
1− r
m
)∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)∥∥σs(f)
∥∥
p̄
�
� 2
−l rm
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
) [αl]+1∑
s=l
22sm2
−s
(
1− r
m
)∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
2−sr. (14)
Простыми вычислениями можно убедиться, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА . . . 731
m−
(
1− r
m
) m∑
j=1
(
1
2
+
1
p′j
)
− r =
(
1− r
m
) m∑
j=1
(
1
pj
− 1
2
)
.
Поэтому из формулы (14) следует, что
J1 � 2
−l rm
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
) [αl]+1∑
s=l
2
s
(
1− r
m
)∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
)
.
Поскольку
2
pj
− 1 > 0 и 1− r
m
< 0, отсюда получаем
J1 � 2
−l rm
∑m
j=1
(
1
2 +
1
p′j
)
2
l
(
1− r
m
)∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
)
=
= C2
−lm
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
� n−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
.
Таким образом,
J1 � n
−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
(15)
в случае pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m.
Из неравенств (11), (12) и (15) следует, что
‖f − t‖q̄ � n
−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
в случае pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m, для любой функции f ∈ Hr
p̄ . Следовательно,
dTn (Hr
p̄ , Lq̄)� n
−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
в случае pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m. Значит, из включения Br
p̄,θ ⊂ Hr
p̄ (см. (1)) имеем
dTn (Br
p̄,θ, Lq̄)� n
−
(
r
m−
1
m
∑m
j=1
(
1
pj
−1
2
))
в случае pj ∈ (1, 2), j = 1, . . . ,m.
Теорема доказана.
Замечание 3. Из теоремы 2 в случае p1 = . . . = pm = p и q1 = . . . = qm = q следуют
результаты А. С. Романюка и В. С. Романюка [14].
1. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
2. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 81.
3. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
4. Бугров Я. С. Приближение класса функций с доминирующей смешанной производной // Мат. сб. – 1964. –
64(106), № 3. – С. 410 – 418.
5. Белинский Э. С. Приближение периодических функций „плавающей” системой экспонент и тригонометриче-
ские поперечники // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. – Ярославль, 1984. –
C. 10 – 24.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
732 Г. АКИШЕВ
6. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах гладких периодических функций //
Мат. сб. – 1987. – 132, № 1. – С. 20 – 27.
7. Майоров В. Е. Тригонометрические поперечники соболевских классов W r
p в пространстве Lq // Мат. заметки. –
1986. – 40, № 2. – С. 161 – 173.
8. Магарил-Ильяев Г. Г. Тригонометрические поперечники соболевских классов функций в Rn // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1988. – 181. – С. 147 – 155.
9. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 3 – 112.
10. Романюк А. С. Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова Br
p,θ периодических
функций многих переменных // Мат. сб. – 2006. – 197, № 1. – С. 71 – 96.
11. Стасюк С. А. Тригонометричнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат.
журн. – 2002. – 54, № 5. – С. 700 – 705.
12. Стасюк С. А. Найкращi наближения, колмогоровськi та тригонометричнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних
функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 11. – С. 1557 – 1568.
13. Базарханов Д. Б. Оценки некоторых аппроксимативных характеристик пространств Никольского – Бесова
обобщенной смешанной гладкости // Докл. РАН. – 2009. – 426, № 1. – С. 11 – 14.
14. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1348 – 1366.
15. Акишев Г. Об M – членных приближениях класса Бесова // Тез. докл. междунар. конф. „Теория приближения
функции и ее применения”, посвящ. 70-летию А. И. Степанца (1942 – 2007) (Каменец-Подольский, 28 мая –
3 июня 2012 г.). – С. 12.
16. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
17. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М., 1976. – 304 с.
18. De Vore R. A. , Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal. and Appl. –
1995. – 2, № 1. – P. 29 – 48.
19. Стасюк С. А. Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов Br
p,θ функций малой гладкос-
ти // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. – С. 104 – 111.
20. Унинский А. П. Неравенства в смешанной норме для тригонометрических полиномов и целых функций
конечной степени // Теоремы вложения и их приложения: Тр. симп. по теоремам вложения ( Баку, 1966 г.). –
М.: Наука, 1970. – С. 112 – 118.
21. Белинский Э. С., Галеев Э. М. О наименьшей величине норм смешанных производных тригонометрических
полиномов с заданным числом гармоник // Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика. – 1991. – № 2. – С. 3 – 7.
22. Benedek A., Panzone R. The space Lp with mixed norm // Duke Math. J. – 1961. – 28, № 3. – P. 301 – 324.
Получено 27.10.12,
после доработки — 01.04.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 6
|