Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів
Для двумерной непрерывной дроби доказано еще одно обобщение теоремы Ворпицкого и предложены граничные множества в теоремах типа Ворпицкого, когда множества элементов двумерной непрерывной дроби заменены их границами....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166093 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів / Х.Й. Кучмінська // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 8. — С. 1106–1116. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166093 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1660932020-02-19T01:28:22Z Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів Кучмінська, Х.Й. Статті Для двумерной непрерывной дроби доказано еще одно обобщение теоремы Ворпицкого и предложены граничные множества в теоремах типа Ворпицкого, когда множества элементов двумерной непрерывной дроби заменены их границами. For a two-dimensional continued fraction another generalization of the Worpitzky theorem is proved and the limit sets are proposed for Worpitzky-like theorems in the case where the element sets of the twodimensional continued fraction are replaced by their boundaries. 2014 Article Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів / Х.Й. Кучмінська // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 8. — С. 1106–1116. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166093 517.524 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кучмінська, Х.Й. Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів Український математичний журнал |
| description |
Для двумерной непрерывной дроби доказано еще одно обобщение теоремы Ворпицкого и предложены граничные множества в теоремах типа Ворпицкого, когда множества элементов двумерной непрерывной дроби заменены их границами. |
| format |
Article |
| author |
Кучмінська, Х.Й. |
| author_facet |
Кучмінська, Х.Й. |
| author_sort |
Кучмінська, Х.Й. |
| title |
Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів |
| title_short |
Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів |
| title_full |
Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів |
| title_fullStr |
Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів |
| title_full_unstemmed |
Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів |
| title_sort |
межові версії теореми ворпіцького для двовимірних неперервних дробів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166093 |
| citation_txt |
Межові версії теореми Ворпіцького для двовимірних неперервних дробів / Х.Й. Кучмінська // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 8. — С. 1106–1116. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kučmínsʹkahj mežovíversííteoremivorpícʹkogodlâdvovimírnihneperervnihdrobív |
| first_indexed |
2025-07-14T20:45:18Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:45:18Z |
| _version_ |
1837656618645323776 |
| fulltext |
© Х. Й. КУЧМІНСЬКА, 2014
1106 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
УДК 517.524
Х. Й. Кучмінська (Ін-т прикл. пробл. механіки і математики НАН України, Львів)
МЕЖОВІ ВЕРСІЇ ТЕОРЕМИ ВОРПІЦЬКОГО
ДЛЯ ДВОВИМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБІВ
For a two-dimensional continued fraction, we prove a new generalization of the Worpitzky theorem and propose the limit
sets for Worpitzky-like theorems when the element sets of a two-dimensional continued fraction are replaced by their
boundaries.
Для двумерной непрерывной дроби доказано еще одно обобщение теоремы Ворпицкого и предложены граничные
множества в теоремах типа Ворпицкого, когда множества элементов двумерной непрерывной дроби заменены их
границами.
Незважаючи на те, що відому теорему збіжності неперервних дробів запропонував Ю. Вор-
піцький ще у 1865 р., нові доведення, узагальнення, застосування цієї теореми знаходимо до
сьогодні [1 – 3]. На випадок гіллястих ланцюгових дробів ця теорема узагальнена Д. І. Бодна-
ром [4, с. 93], гіллястих ланцюгових дробів з нерівнозначними змінними — О. Є. Баран [5],
двовимірних неперервних дробів — Х. Й. Кучмінською [6, 7], О. М. Сусь [8], інтегральних
ланцюгових дробів — М. С. Сявавком [9, с. 25].
Сформулюємо теорему Ворпіцького у формі більш загальній, ніж класична [3, с. 135].
Теорема Ворпіцького [10, с. 136]. Нехай ! "(0,1/2] — деяке додатне число і у непе-
рервному дробі
a1
1+ a2
1+ a3
1+!
=
i=1
!
D ai
1
(1)
всі елементи ai , i = 1, 2,… , — комплексні числа, що задовольняють нерівності
ai ! "(1# "), i = 1, 2,… . (2)
Тоді неперервний дріб (1) збігається і його значення належить кругу w ! " .
Х. Воделанд поставив таке питання: що відбуватиметься з множиною значень неперервного
дробу (1), якщо умову (2) у теоремі Ворпіцького замінити умовою ai = !(1" !) , i = 1, 2,… ?
Відповідаючи на це питання, Х. Воделанд довів [10], що множиною значень для неперервного
дробу (1) є кільце !1" !
1+ !
# w # ! . У класичному випадку теореми ! = 1/2( ) , тобто коли
всі ai = 1/4 , i = 1, 2,… , цим кільцем є 1/6 ! w ! 1/2 .
Це ж питання можна поставити і щодо множин значень багатовимірних узагальнень непе-
рервного дробу, таких як, наприклад, гіллястий ланцюговий дріб (ГЛД) чи двовимірний не-
перервний дріб (ДНД).
Виявилося, що для ГЛД відповідь на це питання дає наступна теорема.
Теорема 1 [11, с. 27]. Нехай ! "(0,1/2] і N ! 2 — ціле число. Тоді множиною всіх
можливих значень сім’ї ГЛД
МЕЖОВІ ВЕРСІЇ ТЕОРЕМИ ВОРПІЦЬКОГО ДЛЯ ДВОВИМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБІВ 1107
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1+
ai1
1+
ai1i2
1+
ai1i2i3
1+!i3=1
N
!i2=1
N
!
= 1+
k=1
"
D
ai(k )
1ik=1
N
!
i1=1
N
! ,
де ai1i2!ik — комплексні числа, i(k) = i1i2… ik — мультиіндекс, ai(k ) задовольняють умову
ai(k ) =
!(1" !)
N
, є круг w ! " .
Отже, у цьому випадку множина значень ГЛД не змінюється, якщо його елементи нале-
жать межі круга.
Розглянемо це питання для ДНД [12]
i=0
!
D
ai, i
"i
, "i = 1+ D
j=1
! ai+ j, i
1
+ D
j=1
! ai, i+ j
1
, (3)
елементи якого є ненульовими комплексними (дійсними) числами чи функціями.
Наведемо основні означення.
Скінченний ДНД
fn :=
An
Bn
=
i=0
n!1
D ai,i
"i
(n!1!i) , n = 1, 2,… , (4)
!i
(m) := 1+
j=1
m
D
ai+ j,i
1
+
j=1
m
D
ai,i+ j
1
, !i
(0) = 1, (5)
де ai,i , ai, j !! , називається n -м наближенням або n -м підхідним дробом ДНД (3), An ,
Bn — чисельником і знаменником n -го наближення fn або n -м підхідним чисельником і
n -м підхідним знаменником відповідно.
Скінченні звичайні неперервні дроби
Qi+k,i
(0) := 1, Qi+k,i
(m+1) := 1+ ai+k+1,i
Qi+k+1,i
(m) , i,m = 0,1,…, k = 1, 2,…,
(6)
Qi,i+k
(0) := 1, Qi,i+k
(m+1) := 1+ ai,i+k+1
Qi,i+k+1
(m) , i,m = 0,1,…, k = 1, 2,…,
називаються одновимірними залишками скінченного дробу (5), а ДНД
Qi
(0) : = 1, Qi(m+1) : = 1+ ai+1,i
Qi+1,i
(m) +
ai,i+1
Qi,i+1
(m) +
ai+1,i+1
Qi+1
(m) , i,m = 0,1,…, (7)
1108 Х. Й. КУЧМІНСЬКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
називається загальним i -м залишком ДНД (4) .
Для різниці між n - і m -м наближеннями ДНД (3) справджується формула [12, с. 45]
fn ! fm =
(!1)i ("i
(m!1!i) ! "i
(n!1!i) ) a j, jj=0
i#
Qj
(n!1! j )Qj
(m!1! j )
j=0
i#i=0
m!1
$ +
(!1)m a j, jj=0
m"
Qj
(n!1! j )Qj
(m!1! j )
j=0
m!1"
1
Qm
(n!1!m) . (8)
Для ДНД (3) встановлено ознаку типу Ворпіцького [13] при умові, що всі ai, j обмежені:
ai, j ! 1
2
"(1# ") , 0 < ! " 1/2 . Доведемо теорему про її межову версію.
Теорема 2. Нехай ! — дійсне число з (0,1/2] і F! — сім’я ДНД (3), елементи яких
задовольняють умови
ai, j = 1
2
!(1" !), i, j # 1 . (9)
Тоді множина всіх можливих значень f ДНД (3) з F! є кільцем A! :
R !(1" !)
4R " !(1" !)
# f # R, R = 1
2
1" 2!(1" !) + 1" 4!(1" !)( ) . (10)
Доведення. Нехай f0 — одне з можливих значень ДНД. Тоді всі значення f такі, що
f = f0 , є можливими значеннями ДНД з F! . Отже, множиною значень таких дробів буде
круг чи кільце з центром у початку координат. З теореми типу Ворпіцького [13, с. 182]
випливає, що цей круг чи кільце належить кругу f ! R , R = 1
2
1! 2"(1! ")( +
+ 1! 4"(1! ") ) .
Спочатку доведемо, що множина всіх значень належить кільцю A! . Кожний двовимірний
дріб з F! можна записати у вигляді
1
2
!(1" !)ei#
1+ $
, # %[0, 2&) ,
де ! = q + g , g !F" , а q = j=1
!D
aj,0
1
+ j=1
!D
a0, j
1
.
Оскільки g !F" , то g ! R . З урахуванням умов (9) і того факту, що
МЕЖОВІ ВЕРСІЇ ТЕОРЕМИ ВОРПІЦЬКОГО ДЛЯ ДВОВИМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБІВ 1109
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
1
2
1! 1! 2"(1! ")( ) =
1
2
"(1! ")
1+
! 1
2
"(1! ")
1+
! 1
2
"(1! ")
1+ !
=
1
2
"(1! ")
1
!
1
2
"(1! ")
1 !…
,
маємо
1+ ! " 1# 2$(1# $) # R, 1+ ! % 2 # 1# 2$(1# $) + R ,
тобто
f !
1
2
"(1# ")
1# 2"(1# ") # R
= "(1# ")
1# 2"(1# ") # 1# 4"(1# ")
= R ,
f !
1
2
"(1# ")
2 # 1# 2"(1# ") + R
= "(1# ")
4 # 1# 2"(1# ") # 1# 4"(1# ")( ) = R"(1# ")
4R # "(1# ")
і права частина другої нерівності також належить F! .
Тепер покажемо, що кільце A! належить множині значень ДНД з F! . Оцінимо ! :
! " 2#(1$ #)
1+ 1$ 2#(1$ #)
+ R = 1$ 1$ 2#(1$ #) $ 1$ 4#(1$ #)
2
= r .
За допомогою відображення ! = 1/(1+ ") коло ! = r відображається на коло
! " 1
1" r2
= r
1" r2
.
Тоді, покладаючи
!! 1
2
"(1# ")ei$! , для всіх ! "[0, 2#) отримуємо всі точки кільця (10),
враховуючи, що
1
2
!(1" !) 1
1" r
= !(1" !)
1" 2!(1" !) " 1" 4!(1" !)
= R ,
1
2
!(1" !) 1
1+ r
= !(1" !)
4 " 1" 2!(1" !) " 1" 4!(1" !)( ) = R!(1" !)
4R " !(1" !)
.
1110 Х. Й. КУЧМІНСЬКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
Отже, A! належить множині значень ДНД із F! .
Теорему доведено.
У класичному випадку ! = 1/2( ) кільцем є
8 + 2( )/124 ! f ! 1/2 2 .
Розглянемо ще одне узагальнення теореми Ворпіцького, для якого також застосуємо
межову версію.
Теорема 3. Нехай елементи ДНД (3) задовольняють умови
ai+1, i + ai, i+1 + ai+1, i+1 ! "(1# ") ! 1/4, a0,0 ! "(1# ") ,
(11)
ai+ j, i ! "(1# ") ! 1
4
, ai, i+ j ! "(1# ") ! 1/4, j $ 2, 0 < " ! 1/2 .
Тоді:
1) ДНД (3) є абсолютно збіжним;
2) справджуються оцінки швидкості збіжності
f ! fm " (1! #) (1! t)t
m
1! t m+1 , m $ 1, 0 < #(1! #) < 1
4
, (12)
f ! fm " 1
2 m +1( ) , m # 1, $(1! $) = 1
4
, (13)
де f — значення нескінченного ДНД (3), fm — його m -те наближення, t =
= 1! 1! 4"(1! ")
1+ 1! 4"(1! ")
= !
1" !
;
3) значення ДНД (3) і всіх його наближень належать області
z ! " . (14)
Доведення. Для ДНД (3) можна записати мажорантний дріб
a0,0
!̂0 + i=1
"D
# ai, i
!̂i
, !̂i = 1+
j=1
"
D
# ai+ j, i
1
+
j=1
"
D
# ai, i+ j
1
. (15)
Це означає, що наближення цих дробів задовольняють співвідношення fn ! fm ≤
≤ M gn ! gm , де gn — n -те наближення ДНД (15), M — довільна стала, m , n — нату–
ральні числа.
Дійсно, аналогічно до залишків (6), (7) ДНД (3) введемо залишки ДНД (15)
МЕЖОВІ ВЕРСІЇ ТЕОРЕМИ ВОРПІЦЬКОГО ДЛЯ ДВОВИМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБІВ 1111
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
Q̂i+k, i
(0) := 1, Q̂i+k, i
(m+1) := 1!
ai+k+1, i
Q̂i+k+1, i
(m) , i,m = 0,1,…, k = 1, 2,… ,
Q̂i, i+k
(0) := 1, Q̂i, i+k
(m+1) := 1!
ai,i+k+1
Q̂i,i+k+1
(m) , i,m = 0,1, … , k = 1, 2, … ,
Q̂i
(0) := 1, Q̂i
(m+1) := 1!
ai+1,i
Q̂i+1,i
(m) !
ai,i+1
Q̂i,i+1
(m) !
ai+1,i+1
Q̂i+1
(m) , i, m = 0,1,… ,
для яких методом повної математичної індукції неважко довести, що
Qi
(n!1!i) " Q̂i
(n!1!i) " hn!1!i , Qi+k, i
(n!1!i!k ) " Q̂i+k, i
(n!1!i!k ) " hn!1!i!k ,
(16)
Qi, i+k
(n!1!i!k ) " Q̂i, i+k
(n!1!i!k ) " hn!1!i!k , i = 0,… , n !1 ,
де hm — m -те наближення неперервного дробу
1! "(1! ")
1 !
"(1! ")
1 ! …
.
Доведемо другу з цих нерівностей. Покладемо k = n !1! i , k = n ! 2 ! i , тоді матимемо
Qn!1, i
(0) = 1 = Q̂n!1, i
(0) = h0 ,
Qn!2, i
(1) = 1+
an!1, i
Qn!1, i
(0) " 1!
an!1, i
Q̂n!1, i
(0) = Q̂n!2, i
(1) " 1! #(1! #)
1
= h1 .
Припустимо, що ця нерівність виконується для k = m +1 , та доведемо її для k = m :
Qi+m, i
(n!1!i!m) = 1+
ai+m+1, i
Qi+m+1, i
(n!2!i!m) " 1!
ai+m+1, i
Q̂i+m+1, i
(n!2!i!m) =
= Q̂i+m, i
(n!1!i!m) " 1! #(1! #)
Q̂i+m+1, i
(n!2!i!m) = hn!1!m!i .
Аналогічно доводимо третю нерівність.
Для першої з нерівностей (16) при i = n !1 маємо Qn!1
(0) = 1 = Q̂n!1
(0) = h0 > 0. Припуска-
ючи, що ця нерівність виконується для i = k +1 , доведемо її для i = k :
1112 Х. Й. КУЧМІНСЬКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
Qk
(n!1!k ) = 1+
ak+1, k
Qk+1, k
(n!2!k ) +
ak, k+1
Qk, k+1
(n!2!k ) +
ak+1, k+1
Qk+1
(n!2!k ) ≥
≥ 1!
ak+1, k
Q̂k+1, k
(n!2!k ) !
ak, k+1
Q̂k, k+1
(n!2!k ) !
ak+1, k+1
Q̂k+1
(n!2!k ) =
= Q̂k
(n!1!k ) ≥ 1!
ak+1, k
hn!2!k
!
ak, k+1
hn!2!k
!
ck+1, k+1
hn!2!k
≥ hn!1!k .
Щоб оцінити зверху різницю !k
(m"1"k ) " !k
(n"1"k ) , використаємо формулу різниці між
наближеннями для неперервних дробів [12] (n > m) :
!k
(m"1"k ) " !k
(n"1"k ) =
=
(!1)m!k ak+i, ki=1
m!k"
Qk+i, k
(m!1!i!k )Qk+i, k
(n!1!i!k )
i=1
m!1!k"
1
Qm, k
(n!1!m) +
(!1)m!k ak, k+ii=1
m!k"
Qk, k+i
(m!1!i!k )Qk, k+i
(n!1!i!k )
i=1
m!1!k"
1
Qk,m
(n!1!m) .
Тоді знаходимо
!k
(m"1"k ) " !k
(n"1"k ) ≤
≤
ak+i, ki=1
m!k"
Qk+i, k
(m!1!i!k ) Qk+i, k
(n!1!i!k )
i=1
m!1!k"
1
Qm, k
(n!1!m) +
+
ak, k+ii=1
m!k"
Qk, k+i
(m!1!i!k ) Qk, k+i
(n!1!i!k )
i=1
m!1!k"
1
Qk,m
(n!1!m) ≤
≤
(!1)m!k ! ak+i, k( )i=1
m!k"
Q̂k+i, k
(m!1!i!k )Q̂k+i, k
(n!1!i!k )
i=1
m!1!k"
1
Q̂m, k
(n!1!m) +
+
(!1)m!k ! ak, k+i( )i=1
m!k"
Q̂k, k+i
(m!1!i!k )Q̂k, k+i
(n!1!i!k )
i=1
m!1!k"
1
Q̂k,m
(n!1!m) =
= !̂k
(m"1"k ) " !̂k
(n"1"k ), k = 0,1,… ,m "1 .
МЕЖОВІ ВЕРСІЇ ТЕОРЕМИ ВОРПІЦЬКОГО ДЛЯ ДВОВИМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБІВ 1113
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
Запишемо формулу різниці між n - і m -м наближеннями ДНД (3), (15) вигляду (8) та отри-
маємо
fn ! fm "
(!1)i+1 #̂i
(m!1!i) ! #̂i
(n!1!i)( ) ! a j, j( )j=0
i$
Q̂ j
(n!1! j )Q̂ j
(m!1! j )
j=0
i$i=0
m!1
% +
+
(!1)m+1 ! a j, j( )j=0
m"
Q̂ j
(n!1! j )Q̂ j
(m!1! j )
j=0
m!1"
1
Q̂m
(n!1!m) = gn ! gm .
Покажемо, що при виконанні умов теореми мажорантою ДНД (15) буде періодичний непе-
рервний дріб
!(1" !)
1 "
!(1" !)
1 "
!(1" !)
1 " …
. (17)
Позначаючи через Pn , Qn , qn = Pn/Qn відповідно n -й чисельник, n -й знаменник і n -те
наближення дробу (17) і використовуючи метод математичної індукції, маємо Qn =
= !ii=0
n" (1# !)n#i , Pn = !(1" !)Qn"1 .
Записуючи формулу різниці для наближень неперервного дробу (17)
qn ! qm = "m+1(1! ")m+1
hn!i!1hm!i!1hn!m!1i=0
m!1#
та враховуючи нерівності (16) і формулу різниці для ДНД (15), отримуємо
gn ! gm " #m+1(1! #)m+1
hn!i!1i=0
m$ hm!i!1i=0
m!1$
= qn ! qm .
Отже, неперервний дріб (15) мажорує ДНД (13), а тому і ДНД (3). Періодичний непе-
рервний дріб (15) при 0 < ! " 1/2 є збіжним, тому і ДНД (3) є збіжним. Оскільки hk =
= !(1" !)qk+1"1 = Qk+1
Qk
, то безпосередньо маємо
gn ! gm " #m+1(1! #)m+1Qn!m!1
QnQm
,
1114 Х. Й. КУЧМІНСЬКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
тобто
fn ! fm " #m+1(1! #)m+1Qn!m!1
QnQm
. (18)
При ! = 1/2 Qk = 2!k (k +1) .
Якщо ж 0 ! " < 1/2 , то, як і в [4, c. 96], виконаємо заміну ! = 1/t і отримаємо
Qk = t !1( )k
t k
+ t !1( )k!1
t k
+ t !1( )k!2
t k
+!+ 1
t k
= t !1( )k+1 !1
t k (t ! 2)
, t > 2 .
Повернемося до змінної ! і одержимо Qk = (1! ")k+1 ! "k+1( ) (1! 2")!1 . Оцінка (18) відпо-
відно набере вигляду
fn ! fm "
(1! 2#)#m+1(1! #)m+1 1! #( )n!m ! #n!m( )
1! #( )n+1 ! #n+1( ) 1! #( )m+1 ! #m+1( ) , 0 < # < 1
2
, (19)
fn ! fm " n ! m
2(m +1)(n +1)
, # = 1
2
. (20)
Перейшовши до границі в (19), (20) при n! " , отримаємо оцінки швидкості збіжності
(12), (13).
Доведемо третє твердження теореми 3. Врахувавши (4), (5), запишемо n -те наближення
ДНД (3) у вигляді
z =
a0,0
1+ a1,0
Q1,0
(n!2) +
a0,1
Q0,1
(n!2) +
a1,1
Q1
(n!2)
=
a0,0
1+ w
.
З нерівностей (16) та умов (11) випливає, що w ! "(1# ")/hn#2 = qn#1 . Якщо Q — значення
нескінченного дробу (17), то, враховуючи, що Qn > 0 , n = 1, 2,… , маємо qn ! qn!1 =
= !(1" !)( )n
QnQn"1
≥ 0, тобто послідовність qn{ } монотонно зростає. Отже, w ! Q. Оскільки
Q = !(1" !) 1"Q( )"1 , то, враховуючи, що при ! = 0 Q = 0 , і розв’язуючи квадратне рів-
няння відносно Q , одержуємо Q = !. Тому w ! ", звідки неважко отримати (14).
Теорему доведено.
Теорема 4. Нехай ! — дійсне число з (0,1/2] і F! — сім’я ДНД (3), елементи яких
МЕЖОВІ ВЕРСІЇ ТЕОРЕМИ ВОРПІЦЬКОГО ДЛЯ ДВОВИМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБІВ 1115
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
задовольняють умови
ai+1, i + ai, i+1 + ai+1, i+1 = !(1" !), a0,0 = !(1" !) ,
(21)
ai+ j, i = !(1" !), ai, i+ j = !(1" !), j # 2, 0 < ! $ 1/2 .
Тоді множина всіх можливих значень f ДНД (3) з F! є кільцем A! :
!1" !
1+ !
# f # ! . (22)
Доведення. Використаємо схему доведення теореми 2. Отже, множиною значень таких
дробів з F! буде круг чи кільце з центром у початку координат. З теореми 3 випливає, що
цей круг чи кільце належить кругу f ! ".
Спочатку доведемо, що множина всіх значень належатиме кільцю A! . Кожний ДНД з F!
можна записати у вигляді
!(1" !)ei#
1+ $
, # %[0, 2&) ,
де
! = D
i=1
" ai,0
1
+D
i=1
" a0, i
1
+D
i=1
" ai,i
j=1
"D
ai+ j, i
1
+ j=1
"D
ai, i+ j
1
.
З урахуванням умов (21) і того факту, що
1! " = 1! "(1! ")
1 !
"(1! ")
1 !
"(1! ")
1 ! …
,
маємо ! "
a1,0
1# $
+
a0,1
1# $
+
a1,1
1# $
= $ , а тому f ! " . Оскільки 1+ ! " 1+ # , то f ≥
≥ !1" !
1+ !
, і права частина цієї нерівності також належить F! .
Тепер покажемо, що кільце A! належить множині значень ДНД з F! . За допомогою
відображення ! = 1/(1+ ") коло ! = " відображається на коло
1116 Х. Й. КУЧМІНСЬКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 8
! " 1
1" #2
= #
1" #2
.
Тоді, покладаючи !! "(1# ")ei$! , для всіх ! "[0, 2#) отримуємо всі точки кільця (22),
тобто !1" !
1+ !
# f # ! .
Отже, A! належить множині значень ДНД з F! .
Теорему доведено.
1. Beardon A. F. Worpitzky theorem on continued fractions // J. Comput. and Appl. Math. – 2001. – 131, № 1. –
P. 143–148.
2. Beardon A. F. The Worpitzky–Pringsheim theorem on continued fractions // Rocky Mountain J. Math. – 2001. –
31. – P. 389–399.
3. Lorentzen L., Waadeland H. Continued fractions. Vol. 1. Convergence theory. – Amsterdam; Paris: Atlantis Press /
World Sci., 2008. – 308 p.
4. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби.— Киев: Наук. думка, 1986. – 176 с.
5. Баран О. Є. Аналог ознаки збіжності Ворпіцького для гіллястих ланцюгових дробів спеціального вигляду //
Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1996. – 39, № 2. – С. 35–38.
6. Kuchmins’ka Kh. Worpitzky-like criterion for two-dimensional continued fraction. – Marseille, 1993. – 6 p. – (Re-
print / CNRS, Centre de Physique Theorique; CPT-93/P. 2940).
7. Кучмінська Х. Й. Про теореми типу Ворпіцького для двовимірного неперервного дробу // Мат. методи та фіз.-
мех. поля. – 2010. – 53, № 3. – С. 17–26.
8. Сусь О. М. Збіжність двовимірних ланцюгових дробів з комплексними елементами // Мат. методи та фіз.-мех.
поля. – 1996. – 39, № 2. – С. 75–83.
9. Сявавко М. С. Інтегральні ланцюгові дроби. – Київ: Наук. думка, 1994. – 206 с.
10. Waadeland H. Boundary versions of Worpitzky’s theorem and of parabola theorems // Analytic Theory of Continued
Fractions III. Lect. Notes Math. / Ed. L. Jakobsen. – Berlin: Springer-Verlag, 1989. – 1406. – P. 135–142.
11. Waadeland H. A Worpitzky boundary theorem for N-branched continued fractions // Commun. Anal. Theory Contin.
Fractions. – 1993. – 2. – P. 24–29.
12. Кучмінська Х. Й. Двовимірні неперервні дроби. – Львів: Ін-т прикл. пробл. механіки і математики НАН Укра-
їни, 2010. – 218 с.
13. Kuchminska Kh. On sufficient conditions for convergence of two-dimensional continued fractions // Acta Appl.
Math. – 2000. – 61, № 1—3. – P. 175–183.
Одержано 15.09.13
|