Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних

Предложен подход к построению многомерных аппроксимаций типа Паде аналитических функций, основанный на распространении метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Голуб, А.П., Чернецька, Л.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2014
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166098
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних / А.П. Голуб, Л.О. Чернецька // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1166–1174. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-166098
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1660982020-02-19T01:25:30Z Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних Голуб, А.П. Чернецька, Л.О. Статті Предложен подход к построению многомерных аппроксимаций типа Паде аналитических функций, основанный на распространении метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка. We propose an approach to the construction of multidimensional Pad´e-type approximants for analytic functions based on the extension of Dzyadyk’s method of generalized moment representations. 2014 Article Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних / А.П. Голуб, Л.О. Чернецька // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1166–1174. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166098 517.53 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Голуб, А.П. Чернецька, Л.О. Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних Український математичний журнал
description	Предложен подход к построению многомерных аппроксимаций типа Паде аналитических функций, основанный на распространении метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка.
format	Article
author	Голуб, А.П. Чернецька, Л.О.
author_facet	Голуб, А.П. Чернецька, Л.О.
author_sort	Голуб, А.П.
title	Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних
title_short	Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних
title_full	Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних
title_fullStr	Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних
title_full_unstemmed	Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних
title_sort	багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу паде для функцій багатьох змінних
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166098
citation_txt	Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних / А.П. Голуб, Л.О. Чернецька // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1166–1174. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT golubap bagatovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimacíítipupadedlâfunkcíjbagatʹohzmínnih AT černecʹkalo bagatovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimacíítipupadedlâfunkcíjbagatʹohzmínnih
first_indexed	2025-07-14T20:45:39Z
last_indexed	2025-07-14T20:45:39Z
_version_	1837656639688146944
fulltext	УДК 517.53 А. П. Голуб, Л. О. Чернецька (Iн-т математики НАН України, Київ) БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ ДЛЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ We propose an approach to the construction of multidimensional Padé type approximants for analytic functions based on the extension of Dzyadyk’s method of generalized moment representations. Предложен подход к построению многомерных аппроксимаций типа Паде аналитических функций, основанный на распространении метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка. У 1981 р. В. К. Дзядик [1] запропонував метод узагальнених моментних зображень, що дозволив з єдиних позицiй будувати та дослiджувати апроксиманти Паде багатьох важливих класiв спецi- альних функцiй. Подальший розвиток цього методу дав можливiсть застосувати його також до вивчення рiзноманiтних узагальнень апроксимант Паде, таких як багатоточковi апроксиманти Паде, апроксиманти Паде – Чебишова, сумiснi апроксиманти Паде та iн. (див. [2]). У роботах [3 – 5] було запропоновано означення дво- та тривимiрних узагальнених моментних зображень i визначено шляхи їх застосування до побудови рацiональних апроксимант типу Паде функцiй двох та трьох змiнних. У данiй статтi цей пiдхiд поширено на випадок довiльної розмiрностi d > 2. Наведемо вiдповiдне означення. Означення 1. Говоритимемо, що для d-вимiрної числової послiдовностi {sk}k∈Zd + справ- джується узагальнене моментне зображення на добутку лiнiйних просторiв X та Y за озна- ченою на цьому добутку бiлiнiйною формою 〈., .〉, якщо у просторi X вказано d-вимiрну послi- довнiсть елементiв {xk}k∈Zd + , а у просторi Y — d-вимiрну послiдовнiсть елементiв {yj}j∈Zd + такi, що sk+j = 〈xk, yj〉, k, j ∈ Zd+. (1) Розглянемо формальний степеневий ряд за d змiнними f(z) = ∑ k∈Zd + skz k, (2) де z = (z1, z2, . . . , zd) ∈ Cd, k = (k1, k2, . . . , kd) ∈ Zd+, zk = zk1 1 zk2 2 . . . zkdd . Введемо для зручностi ряд позначень. При p = 0, 1, . . . , d позначимо через Ωp множину Ωp = {ω ⊆ {1, 2, . . . , d} : \|ω\| = p} . Впорядкуємо елементи кожної з множин ω ∈ Ωp, ω = {l1(ω), l2(ω), . . . , lp(ω)}, так, що 1 6 l1(ω) < l2(ω) < . . . < lp(ω) 6 d. Те ж саме зробимо з елементами доповнення ω = {1, 2, . . . , d} \ ω, c© А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА, 2014 1166 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ . . . 1167 ω = {m1(ω),m2(ω), . . . ,md−p(ω)} ∈ Ωd−p, так що 1 6 m1(ω) < m2(ω) < . . . < md−p(ω) 6 d. Для кожної множини ω ∈ Ωp, p = 0, 1, . . . , d, введемо позначення δ(ω) = (δ1(ω), δ2(ω), . . . , δd(ω)), де δi(ω) = { 0 при i ∈ ω, 1 при i 6∈ ω, ε(ω) = (ε1(ω), ε2(ω), . . . , εd(ω)), εi(ω) = { −1 при i ∈ ω, 1 при i 6∈ ω, так що δi(ω) = εi(ω) + 1 2 , i = 1, 2, . . . , d. Позначимо також 0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ Zd+, 1 = (1, 1, . . . , 1) ∈ Zd+, так що 1 = δ(∅), 0 = δ({1, 2, . . . , d}). Для кожних векторiв a,b ∈ Zd+,a = (a1, a2, . . . , ad),b = (b1, b2, . . . , bd), через a ◦ b позна- чимо покоординатний добуток векторiв a та b a ◦ b = (a1b1, a2b2, . . . , adbd). Позначимо також для кожного вектора a ∈ Zd+ ∆(a) = { j = (j1, j2, . . . , jd) ∈ Zd+ : ji ∈ {0, 1, . . . , ai}, i = 1, 2, . . . , d } . З урахуванням цих позначень встановлено наступний результат, що дозволяє для рядiв вигляду (2) з коефiцiєнтами, для яких справджуються зображення вигляду (1), будувати їх d- вимiрнi апроксиманти типу Паде. Для розмiрностей d = 2 та d = 3 вiдповiднi результати було встановлено у [3 – 5]. Огляд результатiв, що стосуються рiзноманiтних багатовимiрних аналогiв апроксимацiй Паде, наведено в [6, с. 323 – 332]. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1168 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА Теорема 1. Нехай для коефiцiєнтiв формального степеневого ряду вигляду (2) справджу- ється узагальнене моментне зображення вигляду (1). Тодi якщо для деякого N = (N1, N2, . . . . . . , Nd) ∈ Nd iснує узагальнений многочлен YN = ∑ j∈∆(N) c (N) j yj (3) такий, що c(N) N 6= 0, i виконуються умови бiортогональностi 〈xk, YN〉 = 0 (4) при k = ∆(N) \ {N}, то рацiональна функцiя [M /N ]f (z) = P (z) Q(z) , (5) де Q(z) = ∑ j∈∆(N) c (N) N−jz j, (6) а P (z) = d−1∑ p=0 ∑ ω∈Ωp p∏ r=1 z Nlr(ω) lr(ω) ∑ k∈∆(N−δ(ω)◦1) zk ∑ j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k) cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j, (7) матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду (2) для всiх k ∈ ∆(2N)\ {( 2N1, 2N2, . . . , 2Nd )} , а отже, ця рацiональна функцiя є d-вимiрною апроксимантою типу Паде ряду (2) порядку [M /N ], де M = ∆(2N) \ ∏d i=1 {Ni, Ni + 1, . . . . . . , 2Ni}, N = ∆(N). Доведення. Зафiксуємо деякий вектор K ∈ Zd+ з досить великими координатами Ki ∈ Z+, i = 1, 2, . . . , d. Домножимо кожну з рiвностей (1) на zk i пiдсумуємо цi рiвностi за всiма k ∈ ∆(K). Злiва отримаємо ∑ k∈∆(K) sk+jz k = z−j ∑ k−j∈∆(K) skz k = = z−j f(z)− d−1∑ p=0 ∑ ω∈Ωp ∑ k∈ ∏d i=1[δi(ω)ji,ji+δi(ω)Ki−δi(ω)] skz k − Ek,j(z), (8) де Ek,j(z) = ∑ k∈Zd +\∆(K) ek,jz k. Домножимо тепер отриманi рiвностi на c (N) j i пiдсумуємо по j ∈ ∆(N). На основi (8) одержимо ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ . . . 1169 ∑ j∈∆(N) c (N) j z−j f(z)− d−1∑ p=0 ∑ ω∈Ωp ∑ k∈ ∏d i=1[δi(ω)ji,ji+δi(ω)Ki−δi(ω)] skz k − Ek,j(z)  = = z−N f(z) ∑ j∈∆(N) c (N) N−jz j − d−1∑ p=0 ∑ ω∈Ωp ∑ j∈∆(N) c (N) j zN−j× × ∑ k∈ d∏ i=1 [δi(ω)ji,ji+δi(ω)Ki−δi(ω)] skz k − ẼK,N(z), де ẼK,N(z) = ∑ k∈Zd +\∆(K) ẽK,Nzk. Для того щоб отримати остаточний вигляд чисельника (7), використаємо наступну лему. Лема 1. Для довiльнихN, K ∈ N, довiльної послiдовностi {sk}∞k=0, довiльного набору чисел {c(N) j }Nj=0 та довiльного z ∈ C мають мiсце такi тотожностi: N∑ j=1 cjz N−j j−1∑ k=0 skz k = N−1∑ k=0 zk k∑ j=0 cN−jsk−j , N∑ j=0 cjz N−j j+K∑ k=j skz k = zN K∑ k=0 zk N∑ j=0 cjsk+j . Для доведення леми досить використати елементарнi замiни змiнних пiдсумовування та змiну порядку пiдсумовування. Враховуючи лему 1 i вибираючи координати вектора K досить великими, переконуємося в справедливостi формули (7). Як i у випадках d = 2, 3 [3 – 5], теорему 1 можна дещо узагальнити, якщо вибирати узагальнений многочлен YN з умов бiортогональностi вигляду (4) до елементiв xk не для k ∈ ∆(N) \ {N}, а для k ∈ HN, де HN — деяка пiдмножина з Zd+, що мiстить рiвно∏d i=1 (Ni + 1)− 1 елементiв. Щоб сформулювати вiдповiдне твердження, розглянемо деяку неперервно диференцiйовну функцiю Φ(x) : Rd+ → R, що має такi властивостi: 1) множина DΦ = { x ∈ Rd+\|ΦN(x) 6 0 } є обмеженою в Rd+; 2) потужнiсть множини DΦ ⋂{ x ∈ Zd+\|xi > Ni, i = 1, 2, . . . , d } дорiвнює ∏d i=1 (Ni + 1)− 1; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1170 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА 3) для всiх i = 1, 2, . . . , d iснують однозначно визначенi функцiї xi = ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) для (x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈ Di := { (x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈ Rd−1 + ∣∣ ∃xi ∈ R+ такi, що Φ(x1, x2, . . . , xd) 6 0 } ; 4) при кожному i = 1, 2, . . . , d ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) > Ni для всiх значень (x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈ Di. За схемою доведення теореми 1 в цьому випадку можна встановити такий результат. Теорема 1′. Нехай за умов теореми 1 для деякого N ∈ Nd iснує узагальнений многочлен вигляду (3) такий, що c (N) N 6= 0, i виконуються умови бiортогональностi (4) при k ∈ {k ∈ ∈ Zd+ : k + N ∈ DΦ}. Тодi рацiональна функцiя вигляду (5), де Q(z) має вигляд (6), а P (z) = d−1∑ p=0 ∑ ω∈Ωp p∏ r=1 z Nlr(ω) lr(ω) ∑ 06kmi(ω)6Nmi(ω)−1,i=1,2,...,d−p Φ(k)60 zk× × ∑ j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k) cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j, матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду (2) для всiх k ∈ DΦ ∩ Zd+, а отже, ця рацiональна функцiя є d-вимiрною апроксимантою типу Паде ряду (2) порядку [M /N ], де M = DΦ ∩ Zd+ \ {x ∈ Zd+ : xi > Ni, i = 1, 2, . . . , d}, а N = ∆(N). У випадку, коли лiнiйнi простори X та Y є нормованими, бiлiнiйна форма 〈., .〉 є роздiльно неперервною (див., наприклад, [7, c. 63]) i у просторi X задано попарно комутуючi мiж собою обмеженi лiнiйнi оператори Ai : X →X , i = 1, 2, . . . , d, такi, що Aixk = xk+ei,, i = 1, 2, . . . , d, для кожного k ∈ Zd+, де ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = 1− δ({i}), i = 1, 2, . . . , d, а у просторi Y iснують обмеженi лiнiйнi оператори A?i : Y → Y , i = 1, 2, . . . , d, спряженi вiд- повiдно до операторiв Ai, i = 1, 2, . . . , d, вiдносно бiлiнiйної форми 〈., .〉 (див. [2, c. 18]), за умов теореми 1 матиме мiсце така формула для похибки апроксимацiї: f(z)− [M /N ]f (z) = 1 Q(z) × ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ . . . 1171 ×  d∏ i=1 zNi i 〈 d∏ r=1 R̂zr(Ar)x0, YN 〉 + d−1∑ p=0 ∑ ω∈Ωp p∏ r=1 z Nlr(ω) lr(ω) ∑ k∈π(N)(ω) zk× × ∑ j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k) cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j  , де π(N)(ω) = ( π (N) 1 (ω), π (N) 2 (ω), . . . , π (N) d (ω) ) , а π (N) i (ω) = { [0, Ni − 1] при i 6∈ ω, [Ni + 1,∞] при i ∈ ω. За умов теореми 1′ ця формула набирає вигляду f(z)− [M /N ]f (z) = 1 Q(z) × ×  d∏ i=1 zNi i 〈 d∏ r=1 R̂zr(Ar)x0, YN 〉 + d−1∑ p=0 ∑ ω∈Ωp p∏ r=1 z Nlr(ω) lr(ω) ∑ 06kmi(ω)6Nmi(ω)−1,i=1,2,...,d−p, Φ(k)>0 zk× × ∑ j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k) cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j  . Зауваження. Через R̂z(A) позначено резольвентну функцiю оператора A : R̂z(A) = (I − − zA)−1, де I : X →X — тотожний оператор. Розглянемо тепер випадок, коли всi оператори Ai, i = 1, 2, . . . , d, збiгаються: A1 = A2 = . . . = Ad = A. Тодi наближувана функцiя матиме вигляд f(z) = 〈 d∏ i=1 R̂zi(A)x0, y0 〉 . (9) Встановлено такий результат. Лема 2. Для функцiй вигляду (9) є справедливим зображення f(z) = 1∏ s<t (zs − zt) d∑ i=1 zd−1 i (−1)i+1 ∏ s<t s,t6=i (zs − zt)g(zi), (10) де g(z) = 〈 R̂z(A)x0, y0 〉 . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1172 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА Лему неважко встановити методом iндукцiї. Припустимо тепер, що при цьому операторA є оператором множення на незалежну змiнну у просторi L2 ([0, 1], dµ): де µ — неспадна функцiя, що має нескiнченну кiлькiсть точок зростання на [0, 1]: (Aϕ)(t) = tϕ(t). Нехай також N = (N,N, . . . , N) ∈ Nd. Тодi для того щоб побудувати за теоремами 1, 1′ d-вимiрнi апроксиманти типу Паде функцiї f(z) вигляду (10) з g(z) = 1∫ 0 dµ(t) 1− zt , необхiдно побудувати многочлени YN(t) = ∑ j∈∆(N) c (N) j t\|j\|, де \|j\| = j1 + j2 + . . .+ jd, (11) для яких виконуються умови бiортогональностi 1∫ 0 t\|k\|YN(t)dµ(t) = 0 (12) при k ∈ ∆(N) \ {N}. Це рiвнозначно тому, що 1∫ 0 tkYN(t)dµ(t) = 0 (13) при k = 0, 1, . . . , dN − 1. З (13) випливає, що полiном YN(t) повинен збiгатися з точнiстю до сталого множника з ортонормованим на [0, 1] з мiрою dµ(t) алгебраїчним многочленом PdN (t) = dN∑ j=0 p (dN) j tj . (14) При цьому умова (12) буде виконуватися не лише для k ∈ ∆(N) \ {N}, а i для k ∈ {k ∈ ∈ Zd+ : \|k\| 6 2dN − 1}, а тому за функцiю Φ(x1, x2, . . . , xd), що фiгурує в формулюваннi теореми 1′, потрiбно взяти функцiю Φ(x1, x2, . . . , xd) = \|x\| − 2dN + 1. При цьому функцiї ϕi : Rd−1 + → R матимуть вигляд ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) = 2dN − 1− x1 − x2 − . . .− xi−1 − xi+1 − . . .− xd. Рiвнiсть (11) дозволяє за коефiцiєнтами p(dN) j , j = 0, 1, . . . , dN , визначати коефiцiєнти c(N) j , j ∈ ∆(N), але зробити це можна безлiччю способiв. Для визначеностi будемо вважати, що c (N) j = c (N) k , якщо \|j\| = \|k\|. Встановлено такий допомiжний результат. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 БАГАТОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ТИПУ ПАДЕ . . . 1173 Лема 3. Нехай N ∈ N, 0 6 j 6 dN . Тодi кiлькiсть векторiв k ∈ Zd+ таких, що ki 6 N, i = 1, 2, . . . , d, i \|k\| = j, дорiвнює γ (N) j = [ j N+1 ]∑ r=0 ( d r ) (−1)r (d+ j − r(N + 1)− 1)! (d− 1)!(j − r(N + 1))! . Доведення. Розглянемо многочлен VN(z) = ∑ k∈∆(N) zk. Очевидно, що VN(z) = d∏ i=1 ( N∑ k=0 zki ) = d∏ i=1 1− zN+1 i 1− zi . Якщо покласти z1 = z2 = . . . = zd = z, то одержимо (1− zN+1)d (1− z)d = dN∑ j=0 γ (N) j zj . Враховуючи розклади (1− zN+1)d = d∑ m=0 ( d m ) (−1)mzm(N+1) та 1 (1− z)d = ∞∑ k=0 (d+ k − 1)! (d− 1)!k! zk, отримуємо твердження леми. З леми 3 випливає, що коефiцiєнти c (N) j , j ∈ ∆(N), многочленiв YN повиннi вибиратися таким чином, щоб c (N) j = p (dN) \|j\| γ (N) \|j\| = p (dN) \|j\|∑[ \|j\| N+1 ] r=0 ( d r ) (−1)r ( d+ \|j\| − r(N + 1)− 1 ) ! (d− 1)! ( \|j\| − r(N + 1) ) ! . (15) На основi наведених мiркувань з використанням теореми 1′ отримаємо такий результат. Теорема 2. При кожному N ∈ N рацiональна функцiя [M /N ]f (z) = P (z) Q(z) , де Q(z) = ∑ j∈∆(N) c (N) N−jz j, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1174 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА P (z) = d−1∑ p=0 ∑ ω∈Ωp p∏ r=1 z Nlr(ω) lr(ω) ∑ 06kmi(ω)6N−1,i=1,2,...,d−p, \|k\|62dN−1 zk× × ∑ j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k) cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsd−p∑ i=1 jmi+\|k\|− p∑ i=1 jli , N = (N,N, . . . , N), коефiцiєнти c(N) j обчислюються за формулами (15), а sk = ∫ 1 0 tkdµ(t), матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду Тейлора – Маклорена для функцiї f(z) вигляду (10) для всiх k ∈ {k ∈ Zd+ : \|k\| 6 2dN − 1}, а отже, ця рацiональна функцiя є d-вимiрною апроксимантою типу Паде функцiї (10) порядку [M /N ], де M = {k ∈ Zd+ : \|k\| 6 2dN − 1}, а N = ∆(N). Зазначимо, що, якщо dµ(t) = tν(1 − t)σdt, ν, σ > −1, то функцiя (10) буде частинним випадком d-вимiрної функцiї Лаурiчелли FD(a, b1, . . . , bd; c; z1, . . . , zd) = ∑ k∈Zd + (a)\|k\|(b1)k1 . . . (bd)kd c\|k\|k1! . . . kd! z1 k1 . . . zd kd при a = ν + 1, b1 = b2 = . . . = bd = 1, c = ρ+ ν + 2 (див. [8; 9, c. 33]). При цьому многочлени (14) будуть зсуненими многочленами Якобi, ортонормованими на [0, 1] з вагою tν(1− t)σ, i їхнi коефiцiєнти можна записати в явному виглядi (див. [10, c. 581]), а отже, за теоремою 2 ми отримаємо явний вигляд d-вимiрних апроксимацiй типу Паде вiдпо- вiдних функцiй. 1. Дзядик В. К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. – 1981. – 6. – С. 8 – 12. 2. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. – 222 c. 3. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображення та рацiональнi апроксимацiї функцiй двох змiнних // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 8. – С. 1035 – 1058. 4. Чернецька Л. О. Тривимiрнi узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї типу Паде для функцiй трьох змiнних // Доп. НАН України. – 2014. – № 7. – С. 36 – 42. 5. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Побудова апроксимацiй Паде для деяких гiпергеометричних рядiв Лаурiчелли за допомогою методу узагальнених моментних зображень // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. – С. 78 – 103. 6. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Р. Аппроксимации Паде. – М.: Мир, 1986. – 502 c. 7. Рудин У. Функциональный анализ. – M.: Мир, 1975. – 444 с. 8. Lauricella G. Sulle funzioni ipergeometriche a piú variabili // Rend. Circ. mat. Palermo. – 1983. – № 7. – P. 111 – 158. 9. Srivastava H. M., Karlsson P. W. Multiple Gaussian hypergeometric series. – New York: John Wiley and Sons, 1985. – 425 p. 10. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 c. Одержано 06.02.14 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9

Багатовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації типу Паде для функцій багатьох змінних

Institution

Ähnliche Einträge