Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе
Нехай f:T²→R — Функція Морса на 2-Topi, S(f) та O(f) — її стабілізатор та орбіта відносно правої дії групи диФєоморФізмів D(T²), Did(T²) — тотожна компонента групи D(T²) i S'(f)=S(f)∩Did(T²). В статті наведено достатні умови, за яких π1O(f)=π1Did(T²)×π0S′(f)≡Z²×π0S′(f). Отриманий результат є...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166102 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе / С.И. Максименко, Б.Г. Фещенко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1205–1212. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166102 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1661022020-02-19T01:26:52Z Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе Максименко, С.И. Фещенко, Б.Г. Статті Нехай f:T²→R — Функція Морса на 2-Topi, S(f) та O(f) — її стабілізатор та орбіта відносно правої дії групи диФєоморФізмів D(T²), Did(T²) — тотожна компонента групи D(T²) i S'(f)=S(f)∩Did(T²). В статті наведено достатні умови, за яких π1O(f)=π1Did(T²)×π0S′(f)≡Z²×π0S′(f). Отриманий результат є справедливим для більш широкого класу функцій, особливості яких еквівалентні однорідним многочленам без кратних множників. Let f : T² → ℝ be a Morse function on a 2-torus, let S(f) and O (f) be, respectively, its stabilizer and orbit with respect to the right action of the group D (T²) of diffeomorphisms of T 2, let D id(T 2), be the identity path component of the group D (T²), and let S′(f) = S(f) ∩ D id(T²). We present sufficient conditions under which π1O(f)=π1Did(T²)×π0S′(f)≡Z²×π0S′(f). The obtained result is true for a larger class of functions whose critical points are equivalent to homogeneous polynomials without multiple factors. 2014 Article Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе / С.И. Максименко, Б.Г. Фещенко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1205–1212. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166102 515.14 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Максименко, С.И. Фещенко, Б.Г. Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе Український математичний журнал |
| description |
Нехай f:T²→R — Функція Морса на 2-Topi, S(f) та O(f) — її стабілізатор та орбіта відносно правої дії групи диФєоморФізмів D(T²), Did(T²) — тотожна компонента групи D(T²) i S'(f)=S(f)∩Did(T²). В статті наведено достатні умови, за яких
π1O(f)=π1Did(T²)×π0S′(f)≡Z²×π0S′(f).
Отриманий результат є справедливим для більш широкого класу функцій, особливості яких еквівалентні однорідним многочленам без кратних множників. |
| format |
Article |
| author |
Максименко, С.И. Фещенко, Б.Г. |
| author_facet |
Максименко, С.И. Фещенко, Б.Г. |
| author_sort |
Максименко, С.И. |
| title |
Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе |
| title_short |
Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе |
| title_full |
Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе |
| title_fullStr |
Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе |
| title_full_unstemmed |
Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе |
| title_sort |
гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166102 |
| citation_txt |
Гомотопические свойства пространств гладких функций на 2-торе / С.И. Максименко, Б.Г. Фещенко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 9. — С. 1205–1212. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT maksimenkosi gomotopičeskiesvojstvaprostranstvgladkihfunkcijna2tore AT feŝenkobg gomotopičeskiesvojstvaprostranstvgladkihfunkcijna2tore |
| first_indexed |
2025-07-14T20:45:56Z |
| last_indexed |
2025-07-14T20:45:56Z |
| _version_ |
1837656658956779520 |
| fulltext |
УДК 515.14
С. И. Максименко, Б. Г. Фещенко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ
ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА 2-ТОРЕ
Let f : T 2 → R be a Morse function on a 2-torus, S(f) and O(f) be, respectively, its stabilizer and orbit with respect
to the right action of the group D(T 2) of diffeomorphisms of T 2, Did(T
2), be the identity path component of the group
D(T 2), and S ′(f) = S(f) ∩ Did(T
2). We present sufficient conditions under which
π1O(f) ∼= π1Did(T
2)× π0S ′(f) ≡ Z2 × π0S ′(f).
The obtained result is true for a larger class of functions whose critical points are equivalent to homogeneous polynomials
without multiple factors.
Нехай f : T 2 → R — функцiя Морса на 2-торi, S(f) та O(f) — її стабiлiзатор та орбiта вiдносно правої дiї групи
дифеоморфiзмiв D(T 2), Did(T
2) — тотожна компонента групи D(T 2) i S ′(f) = S(f) ∩Did(T
2). В статтi наведено
достатнi умови, за яких
π1O(f) ∼= π1Did(T
2)× π0S ′(f) ≡ Z2 × π0S ′(f).
Отриманий результат є справедливим для бiльш широкого класу функцiй, особливостi яких еквiвалентнi однорiдним
многочленам без кратних множникiв.
1. Введение. Пусть M — гладкая замкнутая ориентированная поверхность и D(M) — группа
ее диффеоморфизмов, действующая справа на C∞(M,R) по закону
(f, h) 7−→ f ◦ h : M
h−−→M
f−−→ R (1)
для f ∈ C∞(M,R) и h ∈ D(M). Обозначим через
S(f) = {f ∈ D(M) | f ◦ h = f} и O(f) = {f ◦ h | h ∈ D(M)}
соответственно стабилизатор и орбиту функции f относительно действия (1). Наделим про-
странства D(M) и C∞(M,R) сильными C∞-топологиями Уитни. Эти топологии индуцируют
некоторые топологии на S(f) и O(f). Обозначим через Did(M) и Sid(f) компоненты линей-
ной связности тождественного отображения групп D(M) и S(f), а через Of (f) компоненту
линейной связности f в орбите O(f).
Пусть Morse(M,R) ⊂ C∞(M,R) — подмножество, состоящее из функций Морса, т. е.
функций, которые имеют только невырожденные критические точки. Известно, что Morse(M,R)
является открытым и всюду плотным множеством в C∞(M,R). Некоторые гомотопические
свойства компонент связности Morse(M,R) описаны в [1 – 4].
Напомним, что ростки гладких функций f, g : (R2, 0) → (R, 0) называются гладко эквива-
лентными в точке 0 ∈ R2, если существуют ростки диффеоморфизмов h : (R2, 0)→ (R2, 0) и φ :
(R, 0)→ (R, 0) такие, что φ ◦ g = f ◦ h.
Обозначим через F(M,R) подмножество в C∞(M,R), которое состоит из функций f,
имеющих свойство (L): для любой критической точки z функции f ее росток в точке z
эквивалентен некоторому однородному многочлену R2 → R без кратных множителей.
Отметим, что если z — невырожденная критическая точка гладкой функции f : M → R, то
росток f в этой точке эквивалентен однородному многочлену ±x2± y2, который, очевидно, не
имеет кратных множителей. Следовательно, имеет место включение
c© С. И. МАКСИМЕНКО, Б. Г. ФЕЩЕНКО, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9 1205
1206 С. И. МАКСИМЕНКО, Б. Г. ФЕЩЕНКО
Morse(M,R) ⊂ F(M,R).
Известно [5, 6] (см. также [7], § 11), что для функций из F(M,R) отображение
p : D(M) −→ O(f), p(h) = f ◦ h, (2)
является расслоением Серра.
В работах [7, 8] установлено, что компонента связности Sid(f) стягиваема, за исключением
единственного случая, когда M = S2 и f : S2 → R — функция Морса, у которой ровно две
невырожденные критические точки, одна из которых максимум, а вторая — минимум. В этом
случае Sid(f) гомотопически эквивалентна окружности S1.
Будем предполагать далее, что Sid(f) стягиваема. Тогда из описания гомотопического типа
групп Did(M) (см. [9 – 11]), точной последовательности гомотопических групп расслоения (2),
а также из результатов [8, 12] следует, что πiOf (f) = πiM для i ≥ 3, π2Of (f) = 0, а для
π1Of (f) имеет место короткая точная последовательность
1 −→ π1Did(M)
p1−−→ π1Of (f)
∂1−−→ π0S ′(f) −→ 1, (3)
в которой S ′(f) = S(f) ∩ Did(M).
Отметим, что если M отлична от 2-сферы S2 и 2-тора T 2, то группа Did(M) стягиваема и
мы получаем изоморфизм π1Of (f) ∼= π0S ′(f).
Если же M = S2 или M = T 2, то структура последовательности (3) не ясна.
Цель данной работы — для случая M = T 2 дать достаточные условия, при которых после-
довательность (3) расщепляется (см. теорему 1).
1.1. Граф Кронрода – Риба гладкой функции. Пусть f ∈ F(M,R), t ∈ R и ω — компонента
связности множества уровня f−1(t). Назовем ω критической, если она содержит критическую
точку f, и регулярной — в противном случае.
Рассмотрим разбиение M на связные компоненты множеств уровня f. Известно, что со-
ответствующее фактор-пространство, далее обозначаемое через Γ(f), имеет структуру одно-
мерного CW-комплекса и называется графом Кронрода – Риба или просто графом функции f.
Вершины Γ(f) — критические компоненты множеств уровня f, а открытые ребра — связные
компоненты дополнения M к объединению всех критических компонент множеств уровня f.
Отметим, что f можно представить как композицию
f = φ ◦ pf : M
pf−−→ Γ(f)
φ−−→ R,
где pf — фактор-отображение, а φ — функция на графе, индуцированная f.
1.2. Действие S(f) на Γ(f). Пусть h ∈ S(f). Это означает, что f◦h = f, и, следовательно,
h(f−1(t)) = f−1(t) для всех t ∈ R. Поэтому h переставляет компоненты связности множеств
уровня f, т. е. точки графа Γ(f). Легко проверяется, что h индуцирует некоторый гомеоморфизм
ρ(h) графа Γ(f) такой, что имеет место коммутативная диаграмма
M
pf−−−−→ Γ(f)
φ−−−−→ R
h
y ρ(h)
y ∥∥∥
M
pf−−−−→ Γ(f)
φ−−−−→ R ,
(4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА 2-ТОРЕ 1207
а соответствие h 7→ ρ(h) — гомоморфизм ρ : S(f)→ Aut(Γ(f)) в группу автоморфизмов графа
Γ(f).
Рассмотрим группу S ′(f) = S(f) ∩D(T 2), содержащуюся в правой части точной последо-
вательности (3), и пусть
G := ρ(S ′(f))
— ее образ в Aut(Γ(f)). Таким образом, G — группа автоморфизмов графа Γ(f), индуциро-
ванных изотопными тождественному диффеоморфизмами h из S(f). Отметим, что изотопия
между h и idT 2 не обязательно должна состоять из диффеоморфизмов, принадлежащих S(f).
Заметим также, что из (4) и того, что функция φ : Γ(f)→ R монотонна на ребрах, следует,
что группа G конечна.
Пусть v — вершина графа Γ(f),
Gv = {g ∈ G | g(v) = v}
— стабилизатор v относительно G. Под звездой star(v) вершины v будем понимать произволь-
ную связную замкнутую Gv-инвариантную окрестность v в Γ(f), не содержащую других вер-
шин.
Зафиксируем звезду star(v) вершины v и обозначим через
Gloc
v = {g|star(v) | g ∈ Gv}
подгруппу в Aut(star(v)), состоящую из ограничений элементов из G на star(v). Назовем Gloc
v
локальным стабилизатором вершины v относительно группыG. Очевидно, чтоGloc
v не зависит
от выбора звезды star(v).
Основным результатом данной работы являются следующие утверждения.
Предложение 1. Пусть функция f ∈ F(T 2,R) такова, что Γ(f) — дерево. Тогда суще-
ствует единственная вершина v графа Γ(f) такая, что дополнение T 2 \ p−1f (v) является
несвязным объединением открытых 2-дисков.
Теорема 1. Пусть функция f ∈ F(T 2,R) такова, что Γ(f) — дерево, и v — вершина графа
Γ(f), описанная в предложении 1. Предположим, что локальный стабилизатор вершины v
тривиален, т. е. Gloc
v = 1. Тогда последовательность (3) расщепляется, а значит,
π1Of (f) ∼= π1Did(T 2)× π0S ′(f) ∼= Z2 × π0S ′(f).
2. Доказательство предложения 1. Пусть функция f ∈ F(T 2,R) такова, что Γ(f) —
дерево. Следующая лемма очевидна.
Лемма 1. Пусть e — открытое ребро дерева Γ(f), z ∈ e — точка на ребре e и C =
= p−1f (z) — соответствующая регулярная компонента некоторого множества уровня f, яв-
ляющаяся простой замкнутой кривой в T 2. Тогда:
(1) z разбивает Γ(f);
(2) C разбивает T 2 и, следовательно, ровно одна из компонент связности T 2 \C является
2-диском.
Пусть e = (u0u1) — открытое ребро дерева Γ(f), z ∈ e и C = p−1f (z), как в лемме 1. Для
i = 0, 1 обозначим через Tzui замыкание связной компоненты Γ(f) \ z, содержащей точку ui,
и положим
Ai = p−1f (Tzui).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1208 С. И. МАКСИМЕНКО, Б. Г. ФЕЩЕНКО
В силу леммы 1 ровно одна из подповерхностей A0 или A1 является 2-диском. Ориентируем
ребро от u0 к u1, если A0 является 2-диском, и от u1 к u0 — в противном случае, т. е. когда
диском является A1.
Таким образом, на каждом ребре графа Γ(f) задано направление, значит, Γ(f) — ориенти-
рованное дерево.
Лемма 2. Из любой вершины u дерева Γ(f) выходит не более одного ребра.
Доказательство. Предположим, что из вершины u выходят два ребра, которые входят
в вершины v0 и v1 соответственно. Выберем произвольные точки z0 ∈ (uv0) и z1 ∈ (uv1) и
обозначим
A = p−1f (Tz0u), A′ = p−1f (Tz0v0), B = p−1f (Tz1u), B′ = p−1f (Tz1v1)
(см. рис. 1). По определению ориентации ребер A и B являются 2-дисками. Более того, так как
T 2 = A ∪A′ = B ∪B′,
A′ ⊂ B, B′ ⊂ A, (5)
а пересечения A ∩ A′ = p−1f (z0) и B ∩ B′ = p−1f (z1) — простые замкнутые кривые, каждая из
поверхностей A′ и B′ является тором с дыркой. Но тогда ни A′, ни B′ не может быть вложена
в 2-диск, что противоречит включениям (5). Следовательно, из каждой вершины дерева Γ(f)
выходит не более одного ребра.
Лемма 2 доказана.
u
z
z
0
1
T u
1
z
T u
0
z
v0
v1T v
1
z
1
B
B'
A'
A
Рис. 1
Пусть v — вершина графа Γ(f). Дополнение T 2 \ p−1f (v) является объединением 2-дисков
тогда и только тогда, когда все ребра, инцидентные v, входят в эту вершину. Назовем такую
вершину максимальной.
Таким образом, для доказательства предложения 1 достаточно установить, что в ориенти-
рованном дереве Γ(f) существует единственная максимальная вершина. Это следует из такой
леммы.
Лемма 3. Пусть Γ — ориентированное дерево.
1. Если Γ конечно, то в нем существуют максимальные вершины.
2. Если из любой вершины Γ выходит не более одного ребра (остальные ребра, инцидент-
ные ей, входят в эту вершину), то максимальных вершин не более одной.
Доказательство. 1. Предположим, что в Γ нет максимальных вершин, т. е. из любой
вершины выходит хотя бы одно ребро. Пусть v0, . . . , vn−1, vn — произвольный ориентирован-
ный путь в Γ, состоящий из попарно разных вершин. Поскольку ребро (vn−1vn) входит в
vn, то по предположению 1 найдется ребро (vnvn+1), которое выходит из vn. Отметим, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА 2-ТОРЕ 1209
vn+1 6= vi, i = 0, . . . , n, иначе v0, . . . , vn, vn+1 был бы циклом в дереве Γ, что невозможно.
Следовательно, любой ориентированный путь может быть продолжен до более длинного пути.
Но это противоречит конечности Γ. Следовательно, максимальные вершины существуют.
2. Предположим, что Γ имеет две максимальные вершины v1 и v2, а γ : e0, . . . , ek — един-
ственный путь, соединяющий v1 и v2. Поскольку ребра e0 и ek направлены к v1 и v2 соот-
ветственно, для одной из вершин u пути γ инцидентные ей ребра ei и ei+1 выходят из u,
что невозможно в силу предположения (см. рис. 2). Получили противоречие. Следовательно,
существует не более одной максимальной вершины v графа Γ.
Лемма 3 доказана.
1
2
v
vu
Рис. 2
Существование максимальной вершины в Γ(f) вытекает из пункта 1 леммы 3, а ее един-
ственность — из пункта 2.
Предложение 1 доказано.
3. Доказательство теоремы 1. Пусть функция f ∈ F(T 2,R) такова, что Γ(f) — дерево, и
v — единственная максимальная вершина графа Γ(f), описанная в предложении 1. Предполо-
жим, что Gloc
v = 1. Необходимо показать, что последовательность
1 −→ π1Did(T 2)
p1−−→ π1Of (f)
∂1−−→ π0S ′(f) −→ 1 (6)
расщепляется.
Заметим, что согласно лемме 2.2 из [7] образ p1(π1Did(T 2)) содержится в центре груп-
пы π1Of (f). Поэтому для того, чтобы эта последовательность расщеплялась, достаточно по-
строить сечение s : π0S ′(f)→ π1Of (f), т. е. гомоморфизм такой, что ∂1 ◦ s = id.
Напомним построение граничного гомоморфизма ∂1. Пусть ωt — петля в Of (f), т. е. не-
прерывное отображение ω : [0, 1]→ Of (f) такое, что ω0 = ω1. Поскольку p : D(T 2)→ O(f) —
расслоение Серра, ω поднимается до пути в D(T 2). Другими словами, существует непрерывное
отображение h : [0, 1]→ D(T 2) такое, что ω = p ◦ h, т. е. ωt = p(ht) = f ◦ ht для всех t ∈ [0, 1].
Тогда, по определению, ∂1(ω) = [h1], где [h1] — класс h1 в π0S ′(f).
Таким образом, если h ∈ S ′(f) и h : [0, 1]→ D(T 2) — путь такой, что h0 = id и h1 = h, то
ωt = f ◦ ht — петля в Of (f) такая, что ∂1(ω) = h.
Теорема 1 является следствием такой леммы.
Лемма 4. Пусть v — максимальная вершина графа Γ(f), (vu) — какое-нибудь открытое
ребро графа Γ(f), инцидентное вершине v, z ∈ (vu) — точка и C = p−1f (z) — соответ-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1210 С. И. МАКСИМЕНКО, Б. Г. ФЕЩЕНКО
ствующая простая замкнутая кривая на T 2. Если группа Gloc
v тривиальна, то справедливы
следующие утверждения:
(i) Пусть h ∈ S ′(f). Тогда h(C) = C и существует изотопия ht : T 2 → T 2, t ∈ [0, 1],
такая, что
h0 = idT 2 , h1 = h, ht(C) = C ∀t ∈ [0, 1]. (7)
(ii) Если {h′t} — другая изотопия, удовлетворяющая (7), то пути {ht} и {h′t} гомотопны
в D(T 2) относительно концов. В частности, петли {f ◦ ht} и {f ◦ h′t} представляют один и
тот же элемент π1Of (f). Обозначим его через s(h).
(iii) Отображение s : h 7−→ s(h) является гомоморфизмом s : π0S ′(f)→ π1Of (f) таким,
что ∂1 ◦ s = id. В частности, s расщепляет последовательность (6).
Доказательство. (i) Нам понадобится следующая лемма (см. также [13]).
Лемма 5. Пусть M — гладкая компактная поверхность, f ∈ F(M,R), Γ(f) — граф функ-
ции f, ρ : S(f) → Aut(Γ(f)) — гомоморфизм действия S(f) на Γ(f), v — вершина Γ(f),
star(v) — какая-нибудь звезда v в Γ(f) и N = p−1f (star(v)). Пусть далее h ∈ S ′(f) и ρ(h) :
Γ(f) → Γ(f) — соответствующий автоморфизм, индуцированный h. Предположим, что
ρ(h)(v) = v и ρ(h)|star(v) = id. Тогда существует изотопия gt : M →M, t ∈ [0, 1], такая, что:
1) g0 = h;
2) gt ∈ S ′(f);
3) g1 неподвижен на N ;
4) ρ(h) = ρ(gt) = id для каждого t ∈ [0, 1].
В частности, [h] = [gt] ∈ π0S ′(f).
Доказательство. Пусть V = p−1f (v) — критическая компонента некоторого критического
уровня f, соответствующая вершине v. Тогда V — конечный граф, вложенный в M, и из
ρ(h)(v) = v следует, что h(V ) = V. Поскольку h изотопен idM и тривиально действует на
star(v), то по теореме 7.1 из [7] h переводит каждое ребро e графа V в себя и сохраняет
ориентацию e. Теперь существование изотопии, удовлетворяющей (1) – (4), следует из лемм 6.4
и 4.14 [7].
Лемма 5 доказана.
Докажем утверждение (i). Не теряя общности можно предполагать, что найдутся две звезды
star1(v) и star(v) такие, что z ∈ star1(v) ⊂ Int(star(v)), где Int(star(v)) — внутренность
star(v). Другими словами, если положить N1 = p−1f (star1(v)) и N = p−1f (star(v)), то N1 ⊂
⊂ Int(N).
Пусть теперь h ∈ S ′(f) и gt : T 2 → T 2, t ∈ [0, 1], — изотопия, имеющая свойства (1) – (4)
леммы 5. Тогда из (3) следует, что ρ(gt)(z) = z, а значит, gt(C) = C для всех t ∈ [0, 1].
Поскольку g1 неподвижен на N, а дополнение T 2 \N1 состоит только из 2-дисков, g1 изотопен
idT 2 с помощью изотопии неподвижной на N1, а значит, и на C.
Следовательно, h изотопен idT 2 с помощью изотопии, оставляющей кривую C инвари-
антной.
(ii) Вначале докажем следующую лемму.
Лемма 6. Пусть ω : T 2 × [0, 1] → T 2 — петля в Did(T 2), т. е. изотопия такая, что
ω0 = ω1 = idT 2 . Пусть также q ∈ T 2 и ωq : {q} × [0, 1] → T 2 — петля в T 2, заданная
формулой ωq(t) = ω(q, t). Петля ω гомотопна нулю в Did(T 2) тогда и только тогда, когда ωq
гомотопна нулю в T 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА 2-ТОРЕ 1211
Доказательство. Поскольку T 2 — связная группа Ли, он действует на себе правыми
сдвигами, которые являются диффеоморфизмами. Это действие индуцирует вложение i : T 2 ↪→
Did(T 2). Известно [9, 11], что i — гомотопическая эквивалентность. В частности, индуциро-
ванный гомоморфизм i∗ : π1T 2 → π1Did(T 2) является изоморфизмом. Из этого легко следует,
что i∗([ωq]) = [ω], а значит, петля ω гомотопна нулю в D(T 2) тогда и только тогда, когда ωq
гомотопна нулю в T 2.
Лемма 6 доказана.
Пусть теперь α = {ht} и β = {h′t}— два пути, удовлетворяющие условиям (7), иD — 2-диск,
который ограничивает C в T 2. Рассмотрим петлю ω = αβ−1 в Did(T 2). Так как ω(C × t) = C,
t ∈ [0, 1], то ω(D × t) = D. Следовательно, для всех q ∈ D петля ωq : {q} × [0, 1] → T 2
гомотопна нулю в T 2. Тогда по лемме 6 петля ω гомотопна нулю в Did(T 2), т. е. α и β
гомотопны относительно концов.
(iii) Пусть {ht} и {h′t} — пути в S ′(f), удовлетворяющие (7). Рассмотрим путь
gt =
h2t, t ∈
[
0,
1
2
]
,
h ◦ h′2t−1, t ∈
[
1
2
, 1
]
,
в Did(T 2) и соответствующую ему петлю
f ◦ gt =
f ◦ h2t, t ∈
[
0,
1
2
]
,
f ◦ h ◦ h′2t−1 = f ◦ h′2t−1, t ∈
[
1
2
, 1
]
,
в Of (f). Тогда, по определению групповой операции в π1Of (f), имеем
[{f ◦ ht}] · [{f ◦ h′t}] = [{f ◦ gt}].
С другой стороны, g1 = h ◦h′ и gt(C) = C для всех t, т. е. [{f ◦ gt}] = s(h ◦h′). Следовательно,
s(h) ◦ s(h′) = s(h ◦ h′).
Лемма 4 доказана.
1. Шарко В. В. Функции на поверхностях, I // Некоторые проблемы современной математики: Працi Iн-ту
математики НАН України. – 1998. – 25. – С. 408 – 434.
2. Кудрявцева Е. А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты // Мат. сб. – 1999. –
190, № 3. – С. 29 – 88.
3. Maksymenko S. Path-components of Morse mappings spaces of surfaces // Comment. math. helv. – 2005. – 80, № 3. –
P. 655 – 690.
4. Кудрявцева Е. А. О гомотопическом типе пространств функций Морса на поверхностях // Мат. сб. – 2013. –
204, № 1. – С. 79 – 118.
5. Poénaru V. Un théorème des fonctions implicites pour les espaces d’applications C∞ // Inst. Hautes Études Sci. Publ.
Math. – 1970. – № 38. – P. 93 – 124.
6. Sergeraert F. Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications // Ann.
sci. École norm. super. – 1972. – 5. – P. 599 – 660.
7. Maksymenko S. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces // Ann. Global Anal. Geom. –
2006. – 29, № 3. – P. 241 – 285.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
1212 С. И. МАКСИМЕНКО, Б. Г. ФЕЩЕНКО
8. Maksymenko S. Functions with isolated singularities on surfaces // Geometry and Topology of Functions on Manifolds:
Pr. Inst. Mat. Nat. Akad. Nauk Ukr. – 2010. – 7, № 4. – P. 7 – 66.
9. Earle C. J., Eells J. A fibre bundle description of Teichmüller theory // J. Different. Geom. – 1969. – 3. – P. 19 – 43.
10. Earle C. J., Schatz A. Teichmüller theory for surfaces with boundary // J. Different. Geom. – 1970. – 4. – P. 169 – 185.
11. Gramain A. Le type d’homotopie du groupe des difféomorphismes d’une surface compacte // Ann. sci. École norm.
super. – 1973. – 6. – P. 53 – 66.
12. Максименко С. И. Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 9. – С. 1186 – 1203.
13. Кудрявцева Е. А., Фоменко А. Т. Группы симметрий правильных функций Морса на поверхностях // Докл.
Академии наук. – 2012. – 446, № 6. – С. 615 – 617.
Получено 08.01.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 9
|